Comment résoudre des exemples avec des fractions. Soustraction de fractions avec les mêmes dénominateurs. Actions avec fractions

) et le dénominateur par le dénominateur (on obtient le dénominateur du produit).

Formule de multiplication de fraction :

Par example:

Avant de procéder à la multiplication des numérateurs et des dénominateurs, il est nécessaire de vérifier la possibilité d'une réduction de fraction. Si vous parvenez à réduire la fraction, il vous sera plus facile de continuer à faire des calculs.

Division d'une fraction ordinaire par une fraction.

Division de fractions impliquant un nombre naturel.

Ce n'est pas aussi effrayant qu'il n'y paraît. Comme dans le cas de l'addition, on convertit un entier en une fraction avec une unité au dénominateur. Par example:

Multiplication de fractions mixtes.

Règles de multiplication des fractions (mixte):

• convertir des fractions mixtes en impropres ;
• multiplier les numérateurs et les dénominateurs des fractions ;
• nous réduisons la fraction;
• si nous obtenons une fraction impropre, nous convertissons la fraction impropre en une fraction mixte.

Note! Multiplier fraction mixteà une autre fraction mixte, vous devez d'abord les amener sous la forme de fractions impropres, puis multiplier selon la règle de multiplication fractions ordinaires.

La deuxième façon de multiplier une fraction par un nombre naturel.

Il est plus pratique d'utiliser la deuxième méthode de multiplication d'une fraction ordinaire par un nombre.

Note! Multiplier une fraction par entier naturel il faut diviser le dénominateur de la fraction par ce nombre, et laisser le numérateur inchangé.

D'après l'exemple ci-dessus, il est clair que cette option est plus pratique à utiliser lorsque le dénominateur d'une fraction est divisé sans reste par un nombre naturel.

Fractions à plusieurs niveaux.

Au lycée, on trouve souvent des fractions de trois étages (ou plus). Exemple:

Pour ramener une telle fraction à sa forme habituelle, on utilise la division par 2 points :

Note! Lors de la division de fractions, l'ordre de division est très important. Attention, il est facile de s'embrouiller ici.

Note, par exemple:

En divisant un par n'importe quelle fraction, le résultat sera la même fraction, seulement inversée :

Conseils pratiques pour multiplier et diviser des fractions :

1. La chose la plus importante dans le travail avec des expressions fractionnaires est la précision et l'attention. Effectuez tous les calculs avec soin et précision, avec concentration et clarté. Il vaut mieux écrire quelques lignes supplémentaires dans un brouillon que de se perdre dans les calculs dans sa tête.

2. Dans les tâches avec différents types de fractions - accédez au type de fractions ordinaires.

3. Nous réduisons toutes les fractions jusqu'à ce qu'il ne soit plus possible de réduire.

4. Nous transformons des expressions fractionnaires à plusieurs niveaux en expressions ordinaires, en utilisant la division par 2 points.

5. Nous divisons l'unité en une fraction dans notre esprit, simplement en retournant la fraction.

Le numérateur, et ce par quoi il est divisé est le dénominateur.

Pour écrire une fraction, écrivez d'abord son numérateur, puis tracez une ligne horizontale sous ce nombre et écrivez le dénominateur sous la ligne. La ligne horizontale séparant le numérateur et le dénominateur s'appelle une barre fractionnaire. Parfois, il est représenté par un "/" ou un "∕" oblique. Dans ce cas, le numérateur est écrit à gauche de la ligne et le dénominateur à droite. Ainsi, par exemple, la fraction "deux tiers" s'écrira 2/3. Pour plus de clarté, le numérateur est généralement écrit en haut de la ligne et le dénominateur en bas, c'est-à-dire qu'au lieu de 2/3, vous pouvez trouver : ⅔.

Pour calculer le produit de fractions, multipliez d'abord le numérateur de un fractionsà un autre numérateur. Ecrire le résultat au numérateur du nouveau fractions. Puis multipliez également les dénominateurs. Spécifiez la valeur finale dans le nouveau fractions. Par exemple, 1/3 ? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1 ; 3 × 5 = 15).

Pour diviser une fraction par une autre, multipliez d'abord le numérateur de la première par le dénominateur de la seconde. Faites de même avec la deuxième fraction (diviseur). Ou, avant d'effectuer toutes les étapes, commencez par "retourner" le diviseur, si cela vous convient mieux : le dénominateur doit être à la place du numérateur. Multipliez ensuite le dénominateur du dividende par le nouveau dénominateur du diviseur et multipliez les numérateurs. Par exemple, 1/3 : 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5 ; 3 × 1 = 3).

Sources:

• Tâches de base pour les fractions

Les nombres fractionnaires permettent d'exprimer en forme différente la valeur exacte de la quantité. Avec les fractions, vous pouvez effectuer les mêmes opérations mathématiques qu'avec les nombres entiers : soustraction, addition, multiplication et division. Pour apprendre à décider fractions, il est nécessaire de rappeler certaines de leurs caractéristiques. Ils dépendent du type fractions, la présence d'une partie entière, un dénominateur commun. Certains opérations arithmétiques après exécution, ils nécessitent la réduction de la partie fractionnaire du résultat.

Tu auras besoin de

• - calculatrice

Instruction

Regardez bien les chiffres. S'il y a des décimales et des irréguliers parmi les fractions, il est parfois plus pratique d'effectuer d'abord des actions avec des décimales, puis de les convertir dans la mauvaise forme. Peux-tu traduire fractions sous cette forme initialement, en écrivant la valeur après la virgule au numérateur et en mettant 10 au dénominateur. Si nécessaire, réduisez la fraction en divisant les nombres au-dessus et au-dessous par un diviseur. Les fractions dans lesquelles la partie entière se détache, conduisent à la mauvaise forme en la multipliant par le dénominateur et en ajoutant le numérateur au résultat. Cette valeur deviendra le nouveau numérateur fractions. Pour extraire toute la partie de l'initialement incorrect fractions, diviser le numérateur par le dénominateur. Ecrire le résultat entier de fractions. Et le reste de la division devient le nouveau numérateur, le dénominateur fractions tout en ne changeant pas. Pour les fractions avec une partie entière, il est possible d'effectuer des actions séparément, d'abord pour l'entier puis pour les parties fractionnaires. Par exemple, la somme de 1 2/3 et 2 ¾ peut être calculée :
- Conversion de fractions sous la mauvaise forme :
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12 ;
- Sommation séparée des parties entières et fractionnaires des termes :
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Réécrivez-les à travers le séparateur ":" et continuez la division habituelle.

Pour obtenir le résultat final, réduisez la fraction résultante en divisant le numérateur et le dénominateur par un nombre entier, le plus grand possible dans ce cas. Dans ce cas, il doit y avoir des nombres entiers au-dessus et au-dessous de la ligne.

Remarque

Ne faites pas d'arithmétique avec des fractions qui ont des dénominateurs différents. Choisissez un nombre tel que lorsque le numérateur et le dénominateur de chaque fraction sont multipliés par celui-ci, les dénominateurs des deux fractions sont égaux.

Conseil utile

Lors de l'enregistrement nombres fractionnaires le dividende est écrit au-dessus de la ligne. Cette quantité est appelée le numérateur d'une fraction. Sous la ligne, le diviseur, ou le dénominateur, de la fraction est écrit. Par exemple, un kilogramme et demi de riz sous forme de fraction s'écrira comme suit : 1 ½ kg de riz. Si le dénominateur d'une fraction est 10, on parle de fraction décimale. Dans ce cas, le numérateur (dividende) est écrit à droite de la partie entière séparée par une virgule : 1,5 kg de riz. Pour la commodité des calculs, une telle fraction peut toujours être écrite sous la mauvaise forme : 1 2/10 kg de pommes de terre. Pour simplifier, vous pouvez réduire les valeurs du numérateur et du dénominateur en les divisant par un seul nombre entier. Dans cet exemple, il est possible de diviser par 2. Le résultat est 1 1/5 kg de pommes de terre. Assurez-vous que les nombres avec lesquels vous allez faire des calculs sont sous la même forme.

Les mathématiques sont l'une des sciences les plus importantes, dont l'application peut être observée dans des disciplines telles que la chimie, la physique et même la biologie. L'étude de cette science vous permet de développer certaines qualités mentales, d'améliorer la capacité de concentration. L'un des sujets qui méritent une attention particulière dans le cours "Mathématiques" est l'addition et la soustraction de fractions. Beaucoup d'étudiants ont du mal à étudier. Peut-être que notre article aidera à mieux comprendre ce sujet.

Comment soustraire des fractions dont les dénominateurs sont les mêmes

Les fractions sont les mêmes nombres avec lesquels vous pouvez effectuer diverses actions. Leur différence avec les nombres entiers réside dans la présence d'un dénominateur. C'est pourquoi, lorsque vous effectuez des actions avec des fractions, vous devez étudier certaines de leurs caractéristiques et règles. Le cas le plus simple est la soustraction de fractions ordinaires, dont les dénominateurs sont représentés par le même nombre. Il ne sera pas difficile d'effectuer cette action si vous connaissez une règle simple :

• Pour soustraire la seconde d'une fraction, il faut soustraire le numérateur de la fraction à soustraire du numérateur de la fraction réduite. Nous écrivons ce nombre au numérateur de la différence et laissons le dénominateur le même : k / m - b / m = (k-b) / m.

Exemples de soustraction de fractions dont les dénominateurs sont les mêmes

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Du numérateur de la fraction réduite "7" soustrayez le numérateur de la fraction soustraite "3", nous obtenons "4". Nous écrivons ce nombre au numérateur de la réponse et mettons au dénominateur le même nombre qui était dans les dénominateurs des première et deuxième fractions - "19".

L'image ci-dessous montre quelques autres exemples de ce type.

Prenons un exemple plus complexe où des fractions sont soustraites de mêmes dénominateurs:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Du numérateur de la fraction réduite "29" en soustrayant tour à tour les numérateurs de toutes les fractions suivantes - "3", "8", "2", "7". En conséquence, nous obtenons le résultat "9", que nous écrivons au numérateur de la réponse, et au dénominateur, nous écrivons le nombre qui se trouve dans les dénominateurs de toutes ces fractions - "47".

Additionner des fractions avec le même dénominateur

L'addition et la soustraction de fractions ordinaires s'effectuent selon le même principe.

• Pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner les numérateurs. Le nombre résultant est le numérateur de la somme, et le dénominateur reste le même : k/m + b/m = (k + b)/m.

Voyons à quoi cela ressemble dans un exemple :

1/4 + 2/4 = 3/4.

Au numérateur du premier terme de la fraction - "1" - nous ajoutons le numérateur du deuxième terme de la fraction - "2". Le résultat - "3" - est écrit au numérateur du montant, et le dénominateur reste le même que celui présent dans les fractions - "4".

Fractions avec différents dénominateurs et leur soustraction

Nous avons déjà considéré l'action avec des fractions qui ont le même dénominateur. Comme on le voit, sachant règles simples, il est assez facile de résoudre de tels exemples. Mais que se passe-t-il si vous devez effectuer une action avec des fractions qui ont des dénominateurs différents ? Beaucoup d'élèves du secondaire sont troublés par de tels exemples. Mais même ici, si vous connaissez le principe de la solution, les exemples ne vous seront plus difficiles. Il y a aussi une règle ici, sans laquelle la solution de telles fractions est tout simplement impossible.

Pour soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, elles doivent être réduites au même plus petit dénominateur.



Nous parlerons plus en détail de la façon de procéder.

Propriété fractionnaire

Afin de réduire plusieurs fractions au même dénominateur, vous devez utiliser la propriété principale de la fraction dans la solution : après avoir divisé ou multiplié le numérateur et le dénominateur par le même nombre, vous obtenez une fraction égale à celle donnée.

Ainsi, par exemple, la fraction 2/3 peut avoir des dénominateurs tels que "6", "9", "12", etc., c'est-à-dire qu'elle peut ressembler à n'importe quel nombre multiple de "3". Après avoir multiplié le numérateur et le dénominateur par "2", nous obtenons une fraction de 4/6. Après avoir multiplié le numérateur et le dénominateur de la fraction originale par "3", nous obtenons 6/9, et si nous effectuons une action similaire avec le nombre "4", nous obtenons 8/12. Dans une équation, cela peut s'écrire :

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Comment ramener plusieurs fractions au même dénominateur

Considérez comment réduire plusieurs fractions au même dénominateur. Par exemple, prenez les fractions indiquées dans l'image ci-dessous. Vous devez d'abord déterminer quel nombre peut devenir le dénominateur de chacun d'eux. Pour simplifier, décomposons les dénominateurs disponibles en facteurs.

Le dénominateur de la fraction 1/2 et de la fraction 2/3 ne peut pas être factorisé. Le dénominateur de 7/9 a deux diviseurs 7/9 = 7/(3 x 3), le dénominateur de la fraction 5/6 = 5/(2 x 3). Vous devez maintenant déterminer quels facteurs seront les plus petits pour ces quatre fractions. Puisque la première fraction a le nombre "2" au dénominateur, cela signifie qu'elle doit être présente dans tous les dénominateurs, dans la fraction 7/9 il y a deux triplets, ce qui signifie qu'ils doivent également être présents dans le dénominateur. Compte tenu de ce qui précède, nous déterminons que le dénominateur est composé de trois facteurs : 3, 2, 3 et est égal à 3 x 2 x 3 = 18.



Considérez la première fraction - 1/2. Son dénominateur contient "2", mais il n'y a pas un seul "3", mais il devrait y en avoir deux. Pour ce faire, on multiplie le dénominateur par deux triplets, mais, selon la propriété de la fraction, il faut multiplier le numérateur par deux triplets :
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

De même, nous effectuons des actions avec les fractions restantes.

• 2/3 - un trois et un deux manquent au dénominateur :
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 ou 7/(3 x 3) - il manque deux au dénominateur :
  7/9 = (7x2)/(9x2) = 14/18.
• 5/6 ou 5/(2 x 3) - il manque un triple au dénominateur :
  5/6 = (5x3)/(6x3) = 15/18.

Tout ensemble ça ressemble à ça :



Comment soustraire et additionner des fractions avec différents dénominateurs

Comme mentionné ci-dessus, pour additionner ou soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, il faut les réduire au même dénominateur, puis utiliser les règles de soustraction des fractions avec le même dénominateur, qui ont déjà été décrites.

Considérez ceci avec un exemple : 4/18 - 3/15.

Trouver des multiples de 18 et 15 :

• Le nombre 18 est composé de 3 x 2 x 3.
• Le nombre 15 est composé de 5 x 3.
• Le multiple commun sera composé des facteurs suivants 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Une fois le dénominateur trouvé, il est nécessaire de calculer un facteur qui sera différent pour chaque fraction, c'est-à-dire le nombre par lequel il faudra multiplier non seulement le dénominateur, mais également le numérateur. Pour ce faire, nous divisons le nombre que nous avons trouvé (multiple commun) par le dénominateur de la fraction pour laquelle des facteurs supplémentaires doivent être déterminés.

• 90 divisé par 15. Le nombre résultant "6" sera un multiplicateur pour 3/15.
• 90 divisé par 18. Le nombre résultant "5" sera un multiplicateur pour 4/18.

La prochaine étape de notre solution consiste à amener chaque fraction au dénominateur "90".

Nous avons déjà expliqué comment cela se fait. Voyons comment cela s'écrit dans un exemple :

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

S'il s'agit de fractions avec de petits nombres, vous pouvez déterminer le dénominateur commun, comme dans l'exemple illustré dans l'image ci-dessous.



Produit de la même manière et ayant des dénominateurs différents.

Soustraction et avoir des parties entières

Soustraction de fractions et leur addition, nous avons déjà analysé en détail. Mais comment soustraire si la fraction a une partie entière ? Encore une fois, utilisons quelques règles :

• Convertissez toutes les fractions qui ont une partie entière en fractions impropres. parlant en termes simples, retirez toute la pièce. Pour ce faire, le nombre de la partie entière est multiplié par le dénominateur de la fraction, le produit résultant est ajouté au numérateur. Le nombre qui sera obtenu après ces actions est le numérateur d'une fraction impropre. Le dénominateur reste inchangé.
• Si les fractions ont des dénominateurs différents, elles doivent être réduites au même.
• Effectuez des additions ou des soustractions avec les mêmes dénominateurs.
• Lors de la réception d'une fraction impropre, sélectionnez la partie entière.



Il existe un autre moyen d'additionner et de soustraire des fractions avec des parties entières. Pour cela, les actions sont effectuées séparément avec des parties entières et séparément avec des fractions, et les résultats sont enregistrés ensemble.



L'exemple ci-dessus se compose de fractions qui ont le même dénominateur. Dans le cas où les dénominateurs sont différents, ils doivent être réduits au même, puis suivre les étapes comme indiqué dans l'exemple.

Soustraire des fractions d'un nombre entier

Une autre des variétés d'actions avec des fractions est le cas où la fraction doit être soustraite de À première vue, un tel exemple semble difficile à résoudre. Cependant, tout est assez simple ici. Pour le résoudre, il faut convertir un entier en une fraction, et avec un tel dénominateur, qui est dans la fraction à soustraire. Ensuite, nous effectuons une soustraction similaire à la soustraction avec les mêmes dénominateurs. Par exemple, cela ressemble à ceci :

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

La soustraction de fractions donnée dans cet article (6e année) est la base pour résoudre plus exemples difficiles qui sont abordés dans les cours ultérieurs. La connaissance de ce sujet est utilisée par la suite pour résoudre des fonctions, des dérivées, etc. Par conséquent, il est très important de comprendre et de comprendre les actions avec les fractions décrites ci-dessus.

Maintenant que nous avons appris à additionner et à multiplier des fractions individuelles, nous pouvons envisager plus structures complexes. Par exemple, que se passe-t-il si l'addition, la soustraction et la multiplication de fractions se produisent dans un problème ?

Tout d'abord, vous devez convertir toutes les fractions en fractions impropres. Ensuite, nous effectuons séquentiellement les actions requises - dans le même ordre que pour les nombres ordinaires. À savoir:

1. Tout d'abord, l'exponentiation est effectuée - débarrassez-vous de toutes les expressions contenant des exposants ;
2. Ensuite - division et multiplication;
3. La dernière étape est l'addition et la soustraction.

Bien sûr, s'il y a des parenthèses dans l'expression, l'ordre des actions change - tout ce qui est entre parenthèses doit être considéré en premier. Et rappelez-vous des fractions impropres: vous devez sélectionner la partie entière uniquement lorsque toutes les autres actions ont déjà été effectuées.

Traduisons toutes les fractions de la première expression en fractions impropres, puis effectuons les actions suivantes :

Trouvons maintenant la valeur de la deuxième expression. Il n'y a pas de fractions avec une partie entière, mais il y a des parenthèses, donc nous effectuons d'abord l'addition, puis seulement la division. Notez que 14 = 7 2 . Puis:

Enfin, considérons le troisième exemple. Il y a des parenthèses et un degré ici - il vaut mieux les compter séparément. Sachant que 9 = 3 3 , on a :

Faites attention au dernier exemple. Pour élever une fraction à une puissance, vous devez élever séparément le numérateur à cette puissance, et séparément le dénominateur.

Vous pouvez décider différemment. Si l'on rappelle la définition du degré, le problème se ramènera à la multiplication usuelle des fractions :

Fractions à plusieurs étages

Jusqu'à présent, nous n'avons considéré que des fractions "pures", lorsque le numérateur et le dénominateur sont nombres ordinaires. Ceci est cohérent avec la définition d'une fraction numérique donnée dans la toute première leçon.

Mais que se passe-t-il si un objet plus complexe est placé au numérateur ou au dénominateur ? Par exemple, une autre fraction numérique ? De telles constructions se produisent assez souvent, en particulier lorsque vous travaillez avec longues phrases. Voici quelques exemples:

Il n'y a qu'une seule règle pour travailler avec des fractions à plusieurs étages: vous devez vous en débarrasser immédiatement. La suppression d'étages "supplémentaires" est assez simple, si vous vous souvenez que la barre fractionnaire signifie l'opération de division standard. Par conséquent, toute fraction peut être réécrite comme suit :

En utilisant ce fait et en suivant la procédure, nous pouvons facilement réduire toute fraction à plusieurs étages en une fraction régulière. Jetez un œil aux exemples :

Une tâche. Convertissez des fractions à plusieurs étages en fractions communes :

Dans chaque cas, nous réécrivons la fraction principale en remplaçant la ligne de séparation par un signe de division. Rappelez-vous également que tout nombre entier peut être représenté sous la forme d'une fraction avec un dénominateur de 1. C'est-à-dire, 12 = 12/1 ; 3 = 3/1. On a:

Dans le dernier exemple, les fractions ont été réduites avant la multiplication finale.

Les spécificités du travail avec des fractions à plusieurs étages

Il y a une subtilité dans les fractions à plusieurs étages dont il faut toujours se souvenir, sinon vous pouvez obtenir la mauvaise réponse, même si tous les calculs étaient corrects. Regarde:

1. Au numérateur, il y a un nombre séparé 7, et au dénominateur - la fraction 12/5;
2. Le numérateur est la fraction 7/12 et le dénominateur est le nombre unique 5.

Donc, pour un disque, nous avons eu deux interprétations complètement différentes. Si vous comptez, les réponses seront également différentes :

Pour vous assurer que l'enregistrement est toujours lu sans ambiguïté, utilisez une règle simple : la ligne de séparation de la fraction principale doit être plus longue que la ligne imbriquée. De préférence plusieurs fois.

Si vous suivez cette règle, les fractions ci-dessus doivent être écrites comme suit :

Oui, c'est probablement moche et prend trop de place. Mais vous compterez correctement. Enfin, quelques exemples où des fractions à plusieurs niveaux se produisent réellement :

Une tâche. Rechercher des valeurs d'expression :

Alors, travaillons avec le premier exemple. Convertissons toutes les fractions en fractions impropres, puis effectuons les opérations d'addition et de division :

Faisons de même avec le deuxième exemple. Convertissez toutes les fractions en fractions impropres et effectuez les opérations requises. Afin de ne pas ennuyer le lecteur, j'omettrai quelques calculs évidents. Nous avons:

Du fait que le numérateur et le dénominateur des fractions principales contiennent des sommes, la règle d'écriture des fractions à plusieurs étages est automatiquement observée. Aussi, dans le dernier exemple, nous avons délibérément laissé le nombre 46/1 sous forme de fraction afin d'effectuer la division.

Je note également que dans les deux exemples, la barre fractionnaire remplace en fait les parenthèses: tout d'abord, nous avons trouvé la somme, et ensuite seulement - le quotient.

Quelqu'un dira que la transition vers des fractions impropres dans le deuxième exemple était clairement redondante. C'est peut-être ainsi. Mais de cette façon, nous nous assurons contre les erreurs, car la prochaine fois, l'exemple peut s'avérer beaucoup plus compliqué. Choisissez vous-même ce qui est le plus important : la vitesse ou la fiabilité.

Contenu de la leçon

Additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs

L'addition de fractions est de deux types :

1. Additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs
2. Additionner des fractions avec des dénominateurs différents

Commençons par additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs. Tout est simple ici. Pour ajouter des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez ajouter leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé. Par exemple, ajoutons les fractions et . Nous additionnons les numérateurs et laissons le dénominateur inchangé :

Cet exemple peut être facilement compris si l'on pense à une pizza divisée en quatre parties. Si vous ajoutez de la pizza à la pizza, vous obtenez de la pizza :

Exemple 2 Ajouter des fractions et .

La réponse est une fraction impropre. Si la fin de la tâche arrive, il est de coutume de se débarrasser des fractions impropres. Pour vous débarrasser d'une fraction incorrecte, vous devez sélectionner la partie entière qu'elle contient. Dans notre cas, la partie entière est allouée facilement - deux divisé par deux est égal à un :

Cet exemple peut être facilement compris si l'on pense à une pizza divisée en deux parties. Si vous ajoutez plus de pizzas à la pizza, vous obtenez une pizza entière :

Exemple 3. Ajouter des fractions et .

Encore une fois, additionnez les numérateurs et laissez le dénominateur inchangé :

Cet exemple peut être facilement compris si l'on pense à une pizza divisée en trois parties. Si vous ajoutez plus de pizzas à la pizza, vous obtenez des pizzas :

Exemple 4 Trouver la valeur d'une expression

Cet exemple se résout exactement de la même manière que les précédents. Les numérateurs doivent être additionnés et le dénominateur laissé inchangé :

Essayons de représenter notre solution à l'aide d'une image. Si vous ajoutez des pizzas à une pizza et ajoutez plus de pizzas, vous obtenez 1 pizza entière et plus de pizzas.

Comme vous pouvez le voir, ajouter des fractions avec les mêmes dénominateurs n'est pas difficile. Il suffit de comprendre les règles suivantes :

1. Pour ajouter des fractions avec le même dénominateur, vous devez ajouter leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé ;

Additionner des fractions avec des dénominateurs différents

Nous allons maintenant apprendre à additionner des fractions avec des dénominateurs différents. Lors de l'addition de fractions, les dénominateurs de ces fractions doivent être les mêmes. Mais ce ne sont pas toujours les mêmes.

Par exemple, des fractions peuvent être additionnées parce qu'elles ont les mêmes dénominateurs.

Mais les fractions ne peuvent pas être ajoutées immédiatement, car ces fractions ont différents dénominateurs. Dans de tels cas, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (commun).

Il existe plusieurs façons de réduire des fractions au même dénominateur. Aujourd'hui, nous n'en considérerons qu'une seule, car le reste des méthodes peut sembler compliqué pour un débutant.

L'essence de cette méthode réside dans le fait que le premier (LCM) des dénominateurs des deux fractions est recherché. Ensuite, le LCM est divisé par le dénominateur de la première fraction et le premier facteur supplémentaire est obtenu. Ils font de même avec la deuxième fraction - le LCM est divisé par le dénominateur de la deuxième fraction et le deuxième facteur supplémentaire est obtenu.

Ensuite, les numérateurs et les dénominateurs des fractions sont multipliés par leurs facteurs supplémentaires. À la suite de ces actions, les fractions qui avaient des dénominateurs différents se transforment en fractions qui ont les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment additionner de telles fractions.

Exemple 1. Ajouter des fractions et

Tout d'abord, nous trouvons le plus petit commun multiple des dénominateurs des deux fractions. Le dénominateur de la première fraction est le nombre 3 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 2. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 6

LCM (2 et 3) = 6

Revenons maintenant aux fractions et . Tout d'abord, nous divisons le LCM par le dénominateur de la première fraction et obtenons le premier facteur supplémentaire. LCM est le nombre 6, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 3. Divisez 6 par 3, nous obtenons 2.

Le nombre résultant 2 est le premier facteur supplémentaire. Nous l'écrivons à la première fraction. Pour ce faire, nous faisons une petite ligne oblique au-dessus de la fraction et notons le facteur supplémentaire trouvé au-dessus :

On fait de même avec la deuxième fraction. Nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction et obtenons le deuxième facteur supplémentaire. LCM est le nombre 6 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 2. Divisez 6 par 2, nous obtenons 3.

Le nombre résultant 3 est le deuxième facteur supplémentaire. Nous l'écrivons à la deuxième fraction. Encore une fois, nous faisons une petite ligne oblique au-dessus de la deuxième fraction et écrivons le facteur supplémentaire trouvé au-dessus :

Maintenant, nous sommes tous prêts à ajouter. Il reste à multiplier les numérateurs et les dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires :

Regardez attentivement où nous en sommes arrivés. Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions qui avaient des dénominateurs différents se transformaient en fractions qui avaient les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment additionner de telles fractions. Complétons cet exemple jusqu'au bout :

Ainsi se termine l'exemple. Pour ajouter, il s'avère.

Essayons de représenter notre solution à l'aide d'une image. Si vous ajoutez des pizzas à une pizza, vous obtenez une pizza entière et un autre sixième de pizza :

La réduction des fractions au même dénominateur (commun) peut également être représentée à l'aide d'une image. En ramenant les fractions et à un dénominateur commun, on obtient les fractions et . Ces deux fractions seront représentées par les mêmes tranches de pizzas. La seule différence sera qu'ils seront cette fois divisés en parts égales (ramenées au même dénominateur).

Le premier dessin montre une fraction (quatre pièces sur six) et la deuxième image montre une fraction (trois pièces sur six). En rassemblant ces pièces, nous obtenons (sept pièces sur six). Cette fraction est incorrecte, nous avons donc mis en surbrillance la partie entière qu'elle contient. Le résultat était (une pizza entière et une autre sixième pizza).

Notez que nous avons peint cet exemple avec trop de détails. À les établissements d'enseignement il n'est pas d'usage d'écrire de manière aussi détaillée. Vous devez être en mesure de trouver rapidement le LCM des dénominateurs et des facteurs supplémentaires, ainsi que de multiplier rapidement les facteurs supplémentaires trouvés par vos numérateurs et dénominateurs. Pendant que nous étions à l'école, nous devrions écrire cet exemple comme suit :

Mais il y a aussi verso médailles. Si des notes détaillées ne sont pas prises aux premières étapes de l'étude des mathématiques, alors des questions du genre « D'où vient ce nombre ? », « Pourquoi les fractions se transforment-elles soudainement en fractions complètement différentes ? «.

Pour faciliter l'addition de fractions avec différents dénominateurs, vous pouvez utiliser les instructions étape par étape suivantes :

1. Trouvez le PPCM des dénominateurs des fractions ;
2. Divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction et obtenez un multiplicateur supplémentaire pour chaque fraction ;
3. Multipliez les numérateurs et les dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires ;
4. Additionnez des fractions qui ont les mêmes dénominateurs ;
5. Si la réponse s'est avérée être une fraction impropre, sélectionnez sa partie entière;

Exemple 2 Trouver la valeur d'une expression .

Utilisons les instructions ci-dessus.

Étape 1. Trouver le LCM des dénominateurs des fractions

Trouvez le PPCM des dénominateurs des deux fractions. Les dénominateurs des fractions sont les nombres 2, 3 et 4

Étape 2. Divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction et obtenez un multiplicateur supplémentaire pour chaque fraction

Divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 2. Divisez 12 par 2, nous obtenons 6. Nous obtenons le premier facteur supplémentaire 6. Nous l'écrivons sur la première fraction :

Maintenant, nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 12 par 3, nous obtenons 4. Nous obtenons le deuxième facteur supplémentaire 4. Nous l'écrivons sur la deuxième fraction :

Maintenant, nous divisons le LCM par le dénominateur de la troisième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la troisième fraction est le nombre 4. Divisez 12 par 4, nous obtenons 3. Nous obtenons le troisième facteur supplémentaire 3. Nous l'écrivons sur la troisième fraction :

Étape 3. Multipliez les numérateurs et les dénominateurs des fractions par vos facteurs supplémentaires

Nous multiplions les numérateurs et les dénominateurs par nos facteurs supplémentaires :

Étape 4. Additionnez des fractions qui ont les mêmes dénominateurs

Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions qui avaient des dénominateurs différents se transformaient en fractions qui avaient les mêmes dénominateurs (communs). Il reste à additionner ces fractions. Additionner:

L'ajout ne tenait pas sur une ligne, nous avons donc déplacé l'expression restante sur la ligne suivante. C'est permis en mathématiques. Lorsqu'une expression ne tient pas sur une ligne, elle est reportée sur la ligne suivante, et il faut mettre un signe égal (=) à la fin de la première ligne et au début d'une nouvelle ligne. Le signe égal sur la deuxième ligne indique qu'il s'agit d'une continuation de l'expression qui était sur la première ligne.

Étape 5. Si la réponse s'est avérée être une fraction impropre, sélectionnez la partie entière qu'elle contient

Notre réponse est une fraction impropre. Nous devons en isoler toute la partie. Nous soulignons :

J'ai une réponse

Soustraction de fractions avec les mêmes dénominateurs

Il existe deux types de soustraction de fraction :

1. Soustraction de fractions avec les mêmes dénominateurs
2. Soustraction de fractions avec différents dénominateurs

Tout d'abord, apprenons à soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs. Tout est simple ici. Pour soustraire un autre d'une fraction, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laisser le même dénominateur.

Par exemple, recherchons la valeur de l'expression . Pour résoudre cet exemple, il faut soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction, et laisser le dénominateur inchangé. Faisons cela:

Cet exemple peut être facilement compris si l'on pense à une pizza divisée en quatre parties. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas :

Exemple 2 Trouvez la valeur de l'expression .

Encore une fois, du numérateur de la première fraction, soustrayez le numérateur de la deuxième fraction et laissez le dénominateur inchangé :

Cet exemple peut être facilement compris si l'on pense à une pizza divisée en trois parties. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas :

Exemple 3 Trouver la valeur d'une expression

Cet exemple se résout exactement de la même manière que les précédents. Du numérateur de la première fraction, vous devez soustraire les numérateurs des fractions restantes :

Comme vous pouvez le voir, il n'y a rien de compliqué à soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs. Il suffit de comprendre les règles suivantes :

1. Pour soustraire un autre d'une fraction, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur inchangé ;
2. Si la réponse s'est avérée être une fraction impropre, vous devez sélectionner la partie entière.

Soustraction de fractions avec différents dénominateurs

Par exemple, une fraction peut être soustraite d'une fraction, puisque ces fractions ont les mêmes dénominateurs. Mais une fraction ne peut pas être soustraite d'une fraction, puisque ces fractions ont des dénominateurs différents. Dans de tels cas, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (commun).

Le dénominateur commun est trouvé selon le même principe que nous avons utilisé lors de l'addition de fractions avec des dénominateurs différents. Tout d'abord, trouvez le PPCM des dénominateurs des deux fractions. Ensuite, le LCM est divisé par le dénominateur de la première fraction et le premier facteur supplémentaire est obtenu, qui est écrit sur la première fraction. De même, le LCM est divisé par le dénominateur de la deuxième fraction et un deuxième facteur supplémentaire est obtenu, qui est écrit sur la deuxième fraction.

Les fractions sont ensuite multipliées par leurs facteurs supplémentaires. À la suite de ces opérations, des fractions qui avaient des dénominateurs différents se transforment en fractions qui ont les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions.

Exemple 1 Trouver la valeur d'une expression :

Ces fractions ont des dénominateurs différents, vous devez donc les ramener au même dénominateur (commun).

Tout d'abord, nous trouvons le PPCM des dénominateurs des deux fractions. Le dénominateur de la première fraction est le nombre 3 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 4. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 12

LCM (3 et 4) = 12

Revenons maintenant aux fractions et

Trouvons un facteur supplémentaire pour la première fraction. Pour ce faire, nous divisons le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 3. Divisez 12 par 3, nous obtenons 4. Nous écrivons les quatre sur la première fraction :

On fait de même avec la deuxième fraction. Nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 4. Divisez 12 par 4, nous obtenons 3. Écrivez un triplet sur la deuxième fraction :

Maintenant, nous sommes tous prêts pour la soustraction. Il reste à multiplier les fractions par leurs facteurs supplémentaires :

Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions qui avaient des dénominateurs différents se transformaient en fractions qui avaient les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions. Complétons cet exemple jusqu'au bout :

J'ai une réponse

Essayons de représenter notre solution à l'aide d'une image. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas.

il version détaillée solutions. Étant à l'école, nous aurions à résoudre cet exemple de manière plus courte. Une telle solution ressemblerait à ceci :

La réduction des fractions et à un dénominateur commun peut également être représentée à l'aide d'une image. En ramenant ces fractions à un dénominateur commun, on obtient les fractions et . Ces fractions seront représentées par les mêmes tranches de pizza, mais cette fois elles seront divisées en les mêmes fractions (réduites au même dénominateur) :

Le premier dessin montre une fraction (huit pièces sur douze), et la deuxième image montre une fraction (trois pièces sur douze). En coupant trois morceaux de huit morceaux, on obtient cinq morceaux sur douze. La fraction décrit ces cinq pièces.

Exemple 2 Trouver la valeur d'une expression

Ces fractions ont des dénominateurs différents, vous devez donc d'abord les amener au même dénominateur (commun).

Trouvez le PPCM des dénominateurs de ces fractions.

Les dénominateurs des fractions sont les nombres 10, 3 et 5. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 30

PPCM(10, 3, 5) = 30

Maintenant, nous trouvons des facteurs supplémentaires pour chaque fraction. Pour ce faire, nous divisons le LCM par le dénominateur de chaque fraction.

Trouvons un facteur supplémentaire pour la première fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 10. Divisez 30 par 10, nous obtenons le premier facteur supplémentaire 3. Nous l'écrivons sur la première fraction :

Maintenant, nous trouvons un facteur supplémentaire pour la deuxième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 30 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 30 par 3, nous obtenons le deuxième facteur supplémentaire 10. Nous l'écrivons sur la deuxième fraction :

Maintenant, nous trouvons un facteur supplémentaire pour la troisième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la troisième fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la troisième fraction est le nombre 5. Divisez 30 par 5, nous obtenons le troisième facteur supplémentaire 6. Nous l'écrivons sur la troisième fraction :

Maintenant, tout est prêt pour la soustraction. Il reste à multiplier les fractions par leurs facteurs supplémentaires :

Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions qui avaient des dénominateurs différents se transformaient en fractions qui avaient les mêmes dénominateurs (communs). Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions. Terminons cet exemple.

La suite de l'exemple ne tient pas sur une seule ligne, nous déplaçons donc la suite à la ligne suivante. N'oubliez pas le signe égal (=) sur la nouvelle ligne :

La réponse s'est avérée être une fraction correcte, et tout semble nous convenir, mais c'est trop encombrant et moche. Nous devrions le rendre plus facile. Ce qui peut être fait? Vous pouvez réduire cette fraction.

Pour réduire une fraction, vous devez diviser son numérateur et son dénominateur par (pgcd) les nombres 20 et 30.

Donc, on trouve le PGCD des nombres 20 et 30 :

Revenons maintenant à notre exemple et divisons le numérateur et le dénominateur de la fraction par le PGCD trouvé, c'est-à-dire par 10

J'ai une réponse

Multiplier une fraction par un nombre

Pour multiplier une fraction par un nombre, vous devez multiplier le numérateur de la fraction donnée par ce nombre et laisser le même dénominateur.

Exemple 1. Multipliez la fraction par le nombre 1.

Multiplier le numérateur de la fraction par le nombre 1

L'entrée peut être comprise comme prenant la moitié 1 fois. Par exemple, si vous prenez une pizza 1 fois, vous obtenez une pizza

D'après les lois de la multiplication, nous savons que si le multiplicande et le multiplicateur sont échangés, le produit ne changera pas. Si l'expression est écrite comme , alors le produit sera toujours égal à . Encore une fois, la règle pour multiplier un entier et une fraction fonctionne :

Cette entrée peut être comprise comme prenant la moitié de l'unité. Par exemple, s'il y a 1 pizza entière et qu'on en prend la moitié, alors on aura de la pizza :

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression

Multiplier le numérateur de la fraction par 4

La réponse est une fraction impropre. Prenons-en une partie entière :

L'expression peut être comprise comme prenant deux quarts 4 fois. Par exemple, si vous prenez des pizzas 4 fois, vous obtenez deux pizzas entières.

Et si nous échangeons le multiplicande et le multiplicateur par endroits, nous obtenons l'expression. Il sera également égal à 2. Cette expression peut être comprise comme prenant deux pizzas parmi quatre pizzas entières :

Multiplication de fractions

Pour multiplier des fractions, vous devez multiplier leurs numérateurs et leurs dénominateurs. Si la réponse est une fraction impropre, vous devez sélectionner la partie entière qu'elle contient.

Exemple 1 Trouvez la valeur de l'expression .

J'ai une réponse. Il est souhaitable de réduire cette fraction. La fraction peut être réduite de 2. Alors la solution finale prendra la forme suivante :

L'expression peut être comprise comme prendre une pizza d'une demi-pizza. Disons que nous avons une demi-pizza :

Comment prendre les deux tiers de cette mi-temps ? Vous devez d'abord diviser cette moitié en trois parties égales :

Et prenez deux de ces trois pièces :

Nous prendrons une pizza. Rappelez-vous à quoi ressemble une pizza divisée en trois parties :

Une tranche de cette pizza et les deux tranches que nous avons prises auront les mêmes dimensions :

En d'autres termes, nous parlonsà peu près la même taille de pizza. Par conséquent, la valeur de l'expression est

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression

Multipliez le numérateur de la première fraction par le numérateur de la seconde fraction, et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde fraction :

La réponse est une fraction impropre. Prenons-en une partie entière :

Exemple 3 Trouver la valeur d'une expression

Multipliez le numérateur de la première fraction par le numérateur de la seconde fraction, et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde fraction :

La réponse s'est avérée être une fraction correcte, mais ce sera bien si elle est réduite. Pour réduire cette fraction, vous devez diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le plus grand commun diviseur (PGCD) des nombres 105 et 450.

Alors, trouvons le PGCD des nombres 105 et 450 :

Maintenant, nous divisons le numérateur et le dénominateur de notre réponse au PGCD que nous avons maintenant trouvé, c'est-à-dire par 15

Représenter un entier sous forme de fraction

Tout nombre entier peut être représenté par une fraction. Par exemple, le nombre 5 peut être représenté par . À partir de là, le cinq ne changera pas de sens, puisque l'expression signifie «le nombre cinq divisé par un», et cela, comme vous le savez, est égal à cinq:

Numéros inversés

Nous allons maintenant faire connaissance avec sujet intéressant en mathématiques. C'est ce qu'on appelle les "nombres inversés".

Définition. Inverser le numéroun est le nombre qui, multiplié parun donne une unité.

Remplaçons dans cette définition au lieu d'une variable un numéro 5 et essayez de lire la définition :

Inverser le numéro 5 est le nombre qui, multiplié par 5 donne une unité.

Est-il possible de trouver un nombre qui, multiplié par 5, donne un ? Il s'avère que vous pouvez. Représentons cinq comme une fraction :

Multipliez ensuite cette fraction par elle-même, échangez simplement le numérateur et le dénominateur. En d'autres termes, multiplions la fraction par elle-même, seulement inversée :

Quel en sera le résultat ? Si nous continuons à résoudre cet exemple, nous en obtenons un :

Cela signifie que l'inverse du nombre 5 est le nombre, puisque lorsque 5 est multiplié par un, on obtient un.

L'inverse peut également être trouvé pour tout autre entier.

Vous pouvez également trouver l'inverse de toute autre fraction. Pour ce faire, il suffit de le retourner.

Division d'une fraction par un nombre

Disons que nous avons une demi-pizza :

Partageons-le également entre deux. Combien de pizzas recevra chacun ?

On peut voir qu'après avoir divisé la moitié de la pizza, on a obtenu deux morceaux égaux, dont chacun constitue une pizza. Alors tout le monde prend une pizza.

La division des fractions se fait à l'aide d'inverses. Les réciproques vous permettent de remplacer la division par la multiplication.

Pour diviser une fraction par un nombre, il faut multiplier cette fraction par l'inverse du diviseur.

En utilisant cette règle, nous allons écrire la division de notre moitié de pizza en deux parties.

Donc, vous devez diviser la fraction par le nombre 2. Ici, le dividende est une fraction et le diviseur est 2.

Pour diviser une fraction par le nombre 2, vous devez multiplier cette fraction par l'inverse du diviseur 2. L'inverse du diviseur 2 est une fraction. Il faut donc multiplier par