ベクトルはオンラインの基盤を形成しますか? ベクトルの線形依存性と線形独立性。 ベクトルの基礎。 アフィン座標系

例8

ベクトルが与えられます。 ベクトルが 3 次元空間で基底を形成することを示し、この基底でのベクトルの座標を見つけます。

解決：まず、条件を処理しましょう。 条件ごとに 4 つのベクトルが与えられ、ご覧のとおり、それらはすでに何らかの基底で座標を持っています。 この根拠が何であるかは、私たちには興味がありません。 そして次のことは興味深いことです: 3 つのベクトルが新しい基礎を形成する可能性があります。 そして、最初の段階は例 6 の解決策と完全に一致します。ベクトルが本当に線形独立であるかどうかを確認する必要があります。

ベクトル座標で構成される行列式を計算してみましょう。

これは、ベクトルが線形に独立しており、3 次元空間の基礎を形成していることを意味します。

！ 重要: ベクトル座標 必然的に書き留める 列に入れる文字列ではなく決定要因です。 そうしないと、その後の解法アルゴリズムで混乱が生じる可能性があります。

ここで、理論的な部分を思い出してください。ベクトルが基底を形成する場合、任意のベクトルを独自の方法で特定の基底に拡張できます。 、ここで、 は基底内のベクトルの座標です。

私たちのベクトルは 3 次元空間の基礎を形成しているため (これはすでに証明されています)、ベクトルはこの基礎の上に独自の方法で拡張できます。
, ここで、 は基底内のベクトルの座標です。

状況に応じて座標を見つける必要があります。

説明を簡単にするために、パーツを交換します。 。 それを見つけるには、この等値を座標ごとに書き留める必要があります。

係数はどのような基準に基づいて設定されていますか? 左側のすべての係数は行列式から正確に転送されます。 、ベクトルの座標は右側に書かれています。

結果的には 3 つのシステムになります 一次方程式未知の3つを抱えて。 通常、それは次のようにして解決されます クラマーの公式、多くの場合、問題文にもそのような要件があります。

このシステムの主な決定要因はすでに見つかっています。
これは、システムに独自のソリューションがあることを意味します。

以下はテクニックの問題です。

したがって：
– 基底に従ったベクトルの分解。

答え：

すでに述べたように、この問題は本質的に代数的なものです。 考慮されたベクトルは、必ずしも空間に描画できるベクトルである必要はありませんが、まず第一に、線形代数コースの抽象的なベクトルです。 2 次元ベクトルの場合も、同様の問題を定式化して解くことができ、解決策ははるかに簡単になります。 ただし、実際にはそのようなタスクに遭遇したことがないため、前のセクションでは省略しました。

3 次元ベクトルでも同じ問題が発生します。 独立した決定:

例9

ベクトルが与えられます。 ベクトルが基底を形成していることを示し、この基底でのベクトルの座標を見つけます。 Cramer 法を使用して連立一次方程式を解きます。

完全なソリューションレッスンの最後には、最終デザインのおおよそのサンプルが表示されます。

同様に、4次元、5次元なども考えることができます。 ベクトル空間。ベクトルはそれぞれ 4、5、またはそれ以上の座標を持ちます。 これらのベクトル空間には、ベクトルの線形依存性、線形独立性の概念もあり、正規直交基底を含む基底、基底に対するベクトルの拡張があります。 はい、そのような空間は幾何学的に描くことはできませんが、2 次元および 3 次元の場合のすべての規則、性質、定理は、純粋な代数として機能します。 実は、この記事ではすでに哲学的な問題について話したい気持ちに駆られていました。 3 変数関数の偏導関数、このレッスンより前に登場したものです。

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解決策と答え:

例 2: 解決: ベクトルの対応する座標から比率を作成しましょう:

答え： で

例 4: 証拠: 空中ブランコ 2つの辺が平行で、他の2つの辺が平行でない四角形を四角形といいます。
1) 対辺と の平行度を確認してみましょう。
ベクトルを見つけてみましょう。


これは、これらのベクトルが同一線上になく、辺が平行ではないことを意味します。
2) 対辺と の平行度を確認してください。
ベクトルを見つけてみましょう。

ベクトル座標で構成される行列式を計算してみましょう。
、これは、これらのベクトルが同一線上にあることを意味します。
結論： 四角形の 2 つの辺は平行ですが、他の 2 つの辺は平行ではありません。これは、定義上、台形であることを意味します。 Q.E.D.

例 5: 解決:
b) ベクトルの対応する座標に比例係数があるかどうかを確認してみましょう。

システムには解がありません。これは、ベクトルが同一線上にないことを意味します。
よりシンプルなデザイン:
– 2 番目と 3 番目の座標は比例していません。これは、ベクトルが同一線上にないことを意味します。
答え： ベクトルは同一線上にありません。
c) ベクトルの共線性を調べます 。 システムを作成しましょう:

ベクトルの対応する座標は比例します。つまり、
ここで、「おしゃれな」設計手法が失敗します。
答え：

例6: 解決: b) ベクトル座標で構成される行列式を計算しましょう (行列式は最初の行で明らかにされます)。

これは、ベクトルが線形に依存しており、3 次元空間の基礎を形成していないことを意味します。
答え : これらのベクトルは基礎を形成しません

例9: 解決：ベクトル座標で構成される行列式を計算してみましょう。


したがって、ベクトルは線形独立であり、基底を形成します。
ベクトルを基底ベクトルの線形結合として表しましょう。

座標的に:

Cramer の公式を使用してこの系を解いてみましょう。
これは、システムに独自のソリューションがあることを意味します。

答え：ベクトルが基礎を形成し、

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ベクトルの外積。
ベクトルの混合積

このレッスンでは、ベクトルを使用したさらに 2 つの演算を見ていきます。 ベクトル積ベクトルそして 混合作業ベクトル。 大丈夫、時々、完全な幸福のために、それに加えて、 ベクトルのスカラー積、ますます必要になります。 これはベクトル依存症です。 私たちは解析幾何学のジャングルに入り込んでいるように見えるかもしれません。 これは間違っています。 このセクションで 高等数学一般に薪が足りませんが、おそらくピノキオには十分でしょう。 実際、この材料は非常に一般的でシンプルであり、同じものよりも複雑なものはほとんどありません。 スカラー積、典型的なタスクはさらに少なくなります。 多くの人が確信している、またはすでに確信しているように、解析幾何学で最も重要なことは、計算で間違いを犯さないことです。 呪文のように繰り返せば幸せになれます =)

ベクトルがどこか遠くで輝いていても、地平線上の稲妻のように、問題ではない、レッスンから始めてください ダミー用のベクトルベクターに関する基本的な知識を回復または再取得します。 より準備ができている読者は、選択的に情報を知ることができます。私は、よくある例の最も完全なコレクションを集めようとしました。 実務

あなたをすぐに幸せにしてくれるものは何ですか？ 幼い頃は、ボールを 2 つ、さらには 3 つジャグリングすることができました。 うまくいきました。 これからは、次のことを考慮するので、ジャグリングする必要はまったくありません。 空間ベクトルのみ、2 つの座標を持つ平面ベクトルは除外されます。 なぜ？ これがこれらのアクションが生まれた方法です。ベクトルとベクトルの混合積が定義され、3 次元空間で動作します。 もう簡単になりました！

テスト課題

タスク 1 ～ 10。ベクトルが与えられます。 ベクトルが 3 次元空間の基礎を形成していることを示し、この基礎におけるベクトルの座標を見つけます。

ベクトル ε 1 (3;1;6)、ε 2 (-2;2;-3)、ε 3 (-4;5;-1)、X(3;0;1) があるとします。 ベクトルが 3 次元空間の基礎を形成していることを示し、この基礎におけるベクトル X の座標を求めます。

このタスクは 2 つの部分で構成されます。 まず、ベクトルが基底を形成しているかどうかを確認する必要があります。 これらのベクトルの座標で構成される行列式がゼロ以外の場合、ベクトルは基底を形成します。それ以外の場合、ベクトルは基底ではないため、ベクトル X をこの基底上に拡張できません。

行列の行列式を計算してみましょう。

∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37

行列の行列式は ∆ =37 です

行列式がゼロではないため、ベクトルは基底を形成し、したがってベクトル X はこの基底上で拡張できます。 それらの。 等式が成り立つような数値 α 1、α 2、α 3 があります。

X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3

この等式を座標形式で書いてみましょう。

(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)

ベクトルのプロパティを使用すると、次の等式が得られます。

(3;0;1) = (3α 1 ;1α 1 ;6α 1 ;) + (-2α 2 ;2α 2 ;-3α 2 ;) + (-4α 3 ;5α 3 ;-1α 3 ;)

(3;0;1) = (3α 1 -2α 2 -4α 3 ;1α 1 + 2α 2 + 5α 3 ;6α 1 -3α 2 -1α 3)

ベクトルの等価性の性質により、次のようになります。

3α 1 -2α 2 -4α 3 = 3

1α 1 + 2α 2 + 5α 3 = 0

6α 1 -3α 2 -1α 3 = 1

受け取った問題を解決します 方程式系 ガウス法または クレーマー法.

X = ε 1 + 2ε 2 -ε 3

ソリューションは次のサービスを使用して受信および処理されました。

基底内のベクトル座標

この問題に加えて、次のことも解決します。

行列方程式を解く

クレーマー法

ガウス法

Jordano-Gauss 法を使用した逆行列

代数補数による逆行列

オンライン行列乗算

空間の基礎彼らは、空間内の他のすべてのベクトルが基底に含まれるベクトルの線形結合として表現できるようなベクトル系と呼んでいます。
実際には、これはすべて非常に簡単に実装されます。 原則として、基底は平面または空間上でチェックされます。そのためには、ベクトル座標で構成される 2 次、3 次の行列の行列式を見つける必要があります。 以下に概略的に書きます ベクトルが基底を形成する条件

に ベクトル b を基底ベクトルに展開します
e,e...,e[n] ベクトル e,e...,e[n] の線形結合が次の値に等しい係数 x, ..., x[n] を見つける必要があります。ベクター b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b。
これを行うには、ベクトル方程式を線形方程式系に変換し、解を見つける必要があります。 これも非常に簡単に実装できます。
見つかった係数 x、...、x[n] は呼び出されます。 基底におけるベクトル b の座標 e、e...、e[n]。
トピックの実践的な側面に移りましょう。

ベクトルの基底ベクトルへの分解

タスク1。 ベクトル a1、a2 が平面上の基底を形成しているかどうかを確認する

1) a1 (3; 5)、a2 (4; 2)
解決策: ベクトルの座標から行列式を構成し、計算します。

決定要因はそうではありません ゼロに等しい したがって、 ベクトルは線形に独立しています。これは、ベクトルが基底を形成することを意味します。.

2) a1 (2;-3)、a2 (5;-1)
解決策: ベクトルで構成される行列式を計算します。

行列式は 13 (ゼロではありません) です。このことから、ベクトル a1、a2 が平面上の基底であることがわかります。

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「高等数学」分野における MAUP プログラムの典型的な例を見てみましょう。

タスク2。 ベクトル a1、a2、a3 が 3 次元ベクトル空間の基底を形成し、この基底に従ってベクトル b を展開することを示します (線形系を解く場合)。 代数方程式 Cramer の方法を使用します)。
1) a1 (3; 1; 5)、a2 (3; 2; 8)、a3 (0; 1; 2)、b (−3; 1; 2).
解決策: まず、ベクトル a1、a2、a3 の系を考え、行列 A の行列式を確認します。

ゼロ以外のベクトルに基づいて構築されます。 行列にはゼロ要素が 1 つ含まれているため、行列式を 1 列目または 3 行目のスケジュールとして計算する方が適切です。

計算の結果、行列式はゼロではないことがわかりました。 ベクトル a1、a2、a3 は線形独立です.
定義上、ベクトルは R3 の基礎を形成します。 をもとにベクトルbのスケジュールを書いてみましょう。

ベクトルは、対応する座標が等しい場合に等しいです。
したがって、ベクトル方程式から連立一次方程式が得られます。

SLAEを解決しましょう クレーマー法。 これを行うには、連立方程式を次の形式で記述します。

SLAE の主な行列式は、常に基底ベクトルで構成される行列式と等しくなります。

したがって、実際には 2 回カウントされることはありません。 補助行列式を見つけるには、主行列式の各列の代わりに自由項の列を置きます。 行列式は三角定規を使用して計算されます



見つかった行列式をクラマーの公式に代入してみましょう



したがって、基底に関するベクトル b の展開は、b=-4a1+3a2-a3 の形式になります。 基底 a1、a2、a3 におけるベクトル b の座標は (-4,3,1) になります。

2)a1 (1; -5; 2)、a2 (2; 3; 0)、a3 (1; -1; 1)、b (3; 5; 1)。
解決策: ベクトルの基底を確認します。ベクトルの座標から行列式を構成し、それを計算します。

行列式はゼロに等しくないので、 ベクトルは空間の基礎を形成します。 この基礎を通じてベクトル b のスケジュールを見つけることが残っています。 これを行うには、ベクトル方程式を書きます。

そして連立一次方程式に変換します

行列方程式を書きます

次に、Cramer の公式に対して補助行列式を求めます。



Cramerの公式を適用します



したがって、指定されたベクトル b には 2 つの基底ベクトル b=-2a1+5a3 によるスケジュールがあり、基底内のその座標は b(-2,0, 5) に等しくなります。