三角関数の等式。 基本的な三角関数の恒等式、その定式化と導出

三角関数のサイン (sin x) とコサイン (cos x) に関する参考情報。 幾何学的定義、プロパティ、グラフ、数式。 サインとコサイン、導関数、積分、級数展開、セカント、コセカントの表。 複雑な変数を使用した式。 双曲線関数との接続。

サインとコサインの幾何学的定義

|BD|- 点を中心とする円の弧の長さ あ.
α - ラジアンで表される角度。

意味
サイン（sinα）は、直角三角形の斜辺と脚の間の角度 α に依存する三角関数であり、長さの比に等しい 反対側の足|BC| 斜辺の長さ |AC| まで。

コサイン(cosα)は、直角三角形の斜辺と脚の間の角度 α に依存する三角関数であり、長さの比に等しい 隣接する脚|AB| 斜辺の長さ |AC| まで。

受け入れられる表記法

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;
.

サイン関数のグラフ、y = sin x

コサイン関数のグラフ、y = cos x

サインとコサインの性質

周期性

関数 y = 罪×そしてy = cosxピリオド付きの定期的 2π.

パリティ

正弦関数は奇数です。 コサイン関数は偶数です。

定義と値の領域、極値、増加、減少

サイン関数とコサイン関数は、その定義領域、つまりすべての x について連続です (連続性の証明を参照)。 それらの主なプロパティを表に示します (n - 整数)。

	y = 罪×	y = cosx
範囲と継続性	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
値の範囲	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
増加中
降順
マキシマ、y= 1
最小値、y = - 1
ゼロ、y = 0
縦軸との交点 x = 0	y = 0	y = 1

基本的な公式

サインとコサインの二乗和

和と差からサインとコサインを求める公式

;
;

サインとコサインの積の公式

和と差の公式

サインからコサインまでを表現する

;
;
;
.

コサインをサインで表現する

;
;
;
.

接線による表現

; .

の場合、次のようになります。
; .

で ：
; .

サインとコサイン、タンジェントとコタンジェントの表

この表は、引数の特定の値に対するサインとコサインの値を示しています。

複雑な変数による式

;

オイラーの公式

{ -∞ < x < +∞ }

セカント、コセカント

逆関数

逆関数サインとコサインのそれぞれは、アークサインとアークコサインです。

逆正弦、逆正弦

逆余弦、アークコス

参考文献:
で。 ブロンスタイン、K.A. Semendyaev、エンジニアと大学生のための数学ハンドブック、「Lan」、2009 年。

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タンジェント (tg x) およびコタンジェント (ctg x) の参考データ。 幾何学的定義、プロパティ、グラフ、式。 接線と余接、導関数、積分、級数展開の表。 複雑な変数を使用した式。 双曲線関数との接続。

幾何学的定義

|BD| - 点 A を中心とする円の弧の長さ。
α はラジアンで表される角度です。

タンジェント ( タンα) は、直角三角形の斜辺と脚の間の角度 α に依存する三角関数で、反対側の脚の長さの比 |BC| に等しくなります。 隣接する脚の長さ |AB| 。

コタンジェント ( ctgα) は、直角三角形の斜辺と脚の間の角度 α に依存する三角関数で、隣接する脚の長さの比 |AB| に等しくなります。 反対側の脚の長さ |BC| 。

正接

どこ n- 全体。

西洋の文献では、タンジェントは次のように表されます。
.
;
;
.

正接関数のグラフ、y = Tan x

コタンジェント

どこ n- 全体。

西洋文献では、コタンジェントは次のように表されます。
.
次の表記も使用できます。
;
;
.

コタンジェント関数のグラフ、y = ctg x

正接と余接の性質

周期性

関数 y = tgxそしてy = ctgxは周期πで周期的です。

パリティ

タンジェント関数とコタンジェント関数は奇数です。

定義と値の領域、増加、減少

タンジェント関数とコタンジェント関数は、定義領域内で連続です (連続性の証明を参照)。 タンジェントとコタンジェントの主なプロパティを表に示します ( n- 全体）。

	y = tgx	y = ctgx
範囲と継続性
値の範囲	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
増加中		-
降順	-
エクストリーム	-	-
ゼロ、y = 0
縦軸との交点 x = 0	y = 0	-

数式

サインとコサインを使った式

; ;
; ;
;

和と差からの正接と余接の公式

残りの式は簡単に入手できます。たとえば、

接線の積

接線の和と差の公式

この表は、引数の特定の値に対する正接と余接の値を示しています。

複素数を使った式

双曲線関数による式

;
;

デリバティブ

; .

.
関数の変数 x に関する n 次微分:
.
接線の公式を導出する > > > ; コタンジェントの場合 > > >

積分

シリーズ展開

タンジェントの x 乗の展開を取得するには、次の展開のいくつかの項を取得する必要があります。 パワーシリーズ関数用 罪×そして cosxこれらの多項式を互いに除算します。 これにより、次の式が生成されます。

で 。

で 。
どこ Bn- ベルヌーイ数。 それらは、次のいずれかの漸化関係から決定されます。
;
;
どこ 。
または、ラプラスの公式によれば、次のようになります。

逆関数

タンジェントとコタンジェントの逆関数は、それぞれアークタンジェントとアークコタンジェントです。

逆正接、arctg

、 どこ n- 全体。

逆余接、arctg

、 どこ n- 全体。

参考文献:
で。 ブロンスタイン、K.A. Semendyaev、エンジニアと大学生のための数学ハンドブック、「Lan」、2009 年。
G. コーン、科学者および技術者のための数学ハンドブック、2012 年。

三角恒等式- これらは、ある角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの間の関係を確立する等式であり、他の関数が既知であれば、これらの関数のいずれかを見つけることができます。

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

この恒等式は、1 つの角度のサインの 2 乗と 1 つの角度のコサインの 2 乗の合計が 1 に等しいことを示しています。これにより、実際には、ある角度のコサインがわかっている場合は、ある角度のサインを計算することが可能になり、その逆も同様です。 。

三角関数の式を変換する場合、この恒等式がよく使用されます。これにより、ある角度のコサインとサインの二乗和を 1 に置き換えたり、逆の順序で置換操作を実行したりすることができます。

サインとコサインを使用してタンジェントとコタンジェントを求める

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

これらの恒等式は、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義から形成されます。 結局のところ、これを見ると、定義上、縦座標 y はサイン、横座標 x はコサインです。 そうすれば、タンジェントは比率に等しくなります \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)、および比率 \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- は余接になります。

角度 \alpha に含まれる三角関数が意味をなす場合にのみ恒等式が成り立つことを付け加えましょう。 ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

例えば： tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)は、角度 \alpha が異なる場合に有効です。 \frac(\pi)(2)+\pi z、A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z 以外の角度 \alpha の場合、z は整数です。

タンジェントとコタンジェントの関係

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

この恒等式は、角度 \alpha が異なる場合にのみ有効です。 \frac(\pi)(2) z。 それ以外の場合、コタンジェントまたはタンジェントは決定されません。

上記の点に基づいて、次のことがわかります。 tg \alpha = \frac(y)(x)、A ctg \alpha=\frac(x)(y)。 したがって、 tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1。 したがって、意味をなす同じ角度の正接と余接は、相互に逆数になります。

タンジェントとコサイン、コタンジェントとサインの関係

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- 角度 \alpha の正接の 2 乗と 1 の和は、この角度の余弦の逆 2 乗に等しい。 この ID は、\alpha 以外のすべての \alpha に対して有効です。 \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 と角度 \alpha の余接の 2 乗の合計は、指定された角度の正弦の逆 2 乗に等しい。 この ID は、\pi z とは異なるあらゆる \alpha に対して有効です。

三角恒等式を使用した問題の解決策の例

例1

\sin \alpha と tg \alpha を検索します。 \cos \alpha=-\frac12そして \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

解決策を表示する

解決

関数 \sin \alpha と \cos \alpha は次の式で関連付けられます。 \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1。 この式に代入すると \cos \alpha = -\frac12、 我々が得る：

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

この方程式には 2 つの解があります。

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

条件別 \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi 。 第 2 四半期では、正弦が正であるため、 \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Tan \alpha を求めるには、次の式を使用します。 tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

例 2

\cos \alpha と ctg \alpha を検索します。 \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

解決策を表示する

解決

式に代入すると \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1指定された番号 \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2)、 我々が得る \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1。 この方程式には 2 つの解があります \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

条件別 \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi 。 第 2 四半期ではコサインが負であるため、 \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

ctg \alpha を見つけるには、次の式を使用します。 ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)。 対応する値はわかっています。

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).