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中心角は 2 つの半径の間の角度です。内接角と中心角の値の関係

平均レベル

円と内接角。ビジュアルガイド (2019)

基本用語。

サークルに関連する名前をすべてどれくらい覚えていますか? 念のため、写真を見て知識を新たにしてください。

まず第一に - 円の中心は、円上のすべての点からの距離が同じである点です。

第二に - 半径 - 円上の中心と点を結ぶ線分。

半径はたくさんありますが（円上の点の数と同じくらい）、 すべての半径は同じ長さです。

時々略して半径彼らはそれを正確に呼んでいます セグメントの長さ「中心は円上の点」であり、セグメントそのものではありません。

そして、ここで何が起こりますか 円上の2点を結ぶと? セグメントも？

したがって、このセグメントは次のように呼ばれます "コード".

半径の場合と同様に、直径は多くの場合、円上の 2 点を結び中心を通過する線分の長さです。ところで、直径と半径はどのような関係にあるのでしょうか？よく見て。もちろん、 半径は直径の半分に等しい。

コード以外にも、 セカント。

最も単純なことを覚えていますか?

中心角は 2 つの半径の間の角度です。

そして今 - 内接角

内接角 - 円上の点で交差する 2 つの弦間の角度.

この場合、内接角は円弧 (または弦) 上にあると言われます。

写真を見てください:

円弧と角度の測定。

周。円弧と角度は度およびラジアンで測定されます。まず、度について。角度については問題ありません。円弧を度単位で測定する方法を学ぶ必要があります。

度単位 (円弧サイズ) は、対応する中心角の値 (度単位) です。

ここでの「適切」という言葉は何を意味するのでしょうか？注意深く見てみましょう:

2 つの円弧と 2 つの中心角が見えますか? そうですね、より大きな円弧はより大きな角度に対応し (それが大きくても問題ありません)、より小さな円弧はより小さな角度に対応します。

したがって、円弧には対応する中心角と同じ度数が含まれるということで合意しました。

さて、恐ろしいこと、ラジアンについてです。

この「ラディアン」とは一体どんな獣なのでしょうか？

これを想像してみてください: ラジアンは角度を半径で測定する方法です。

ラジアン角は、円弧の長さが円の半径に等しい中心角です。

そこで疑問が生じます - 直角は何ラジアンですか?

言い換えれば、半円に「収まる」半径はいくつあるでしょうか? あるいは別の言い方をすると、半円の長さは半径の何倍になるでしょうか?

科学者たちは古代ギリシャでこの質問をしました。

そこで、長い調査の結果、円周と半径の比率は、などの「人間の」数値で表現したくないことがわかりました。

そして、この態度をルーツを通して表現することさえ不可能です。つまり、半円が半径の何倍も何倍も大きいとは言えないことがわかります。これを初めて発見した人々がどれほど驚いたか想像できますか?! 半円の長さと半径の比率については、「通常の」数値では十分ではありませんでした。手紙を入力しなければなりませんでした。

つまり、これは半円の長さと半径の比率を表す数値です。

これで、直角は何ラジアンになるのかという質問に答えることができます。ラジアンが含まれています。まさに、円の半分が半径の何倍も大きいからです。

何世紀にもわたる古代の（そしてそれほど古代ではない）人々 (!) 博士らは、この謎の数字をより正確に計算し、「普通の」数字で（少なくとも近似的には）よりよく表現しようとしました。そして今、私たちは信じられないほど怠け者です - 忙しい一日の後に2つの兆候で十分です、私たちはそれに慣れています

考えてみてください。これは、たとえば、半径 1 の円の長さがほぼ等しいことを意味しますが、この正確な長さを「人間の」数字で書き留めることはまったく不可能です。文字が必要です。そして、この円周は等しくなります。そしてもちろん、半径の円周は等しいです。

ラジアンの話に戻りましょう。

直角にはラジアンが含まれることはすでにわかっています。

私たちが持っているもの:

つまり嬉しい、つまり嬉しいということです。同様に、最も一般的な角度のプレートが得られます。

内接角と中心角の値の関係。

驚くべき事実があります。

内接角は、対応する中心角の半分のサイズです。

このステートメントが図でどのように見えるかを見てください。「対応する」中心角とは、その端が内接角の端と一致し、頂点が中心にある中心角です。そして同時に、「対応する」中心角は、内接角と同じ弦 () を「見」なければなりません。

なぜそうなるのでしょうか? まずは簡単なケースを見てみましょう。コードの 1 つが中心を通過するようにします。時々そんなことありますよね？

ここでは何が起きるのですか？考えてみましょう。結局のところ、それは二等辺、そして半径です。それで、（ラベルを付けました）。

それでは見てみましょう。こちらは外側のコーナーです！外角は隣接しない 2 つの内角の合計に等しいことを思い出して、次のように書きます。

あれは！予想外の効果。しかし、内接には中心角もあります。

これは、この場合、中心角が内接角の 2 倍であることが証明されたことを意味します。しかし、これは痛ましいほど特殊なケースです。コードが常に中心をまっすぐに通過するとは限らないのは本当ではないでしょうか? でも大丈夫、この特定のケースは私たちにとって大いに役立つでしょう。見てください: 2 番目のケース: 中心を内側に置きます。

これをやってみましょう: 直径を描きます。そして...最初のケースですでに分析された 2 つの写真が表示されます。したがって、すでにそれを持っています

これは、(図では a) を意味します。

さて、これで最後のケースは残ります。中心がコーナーの外側にあります。

同じことを行います。点を通る直径を描きます。すべては同じですが、合計ではなく違いがあります。

それだけです！

それでは、メインと非常に 2 つの要素を形成しましょう。重要な結果円周角は中心角の半分であるという記述から。

結果 1

1 つの円弧に基づくすべての内接角は互いに等しい。

以下のことを説明します。

同じ円弧に基づく無数の内接角があり (この円弧があります)、それらはまったく異なって見えるかもしれませんが、それらはすべて同じ中心角 () を持っています。これは、これらすべての内接角が互いに等しいことを意味します。

結果 2

直径によって定められる角度は直角です。

見てください。中心はどの角度ですか?

確かに、。しかし、彼は平等です！したがって、 (さらに多くの内接角と同様に) とは等しい。

2 つの弦と正割の間の角度

しかし、関心のある角度が内接しておらず、中心でもない場合はどうなるでしょうか。たとえば、次のようになります。

それともこのように？

中心的な角度でなんとか表現できないでしょうか？それは可能であることがわかります。見てください、私たちは興味があります。

a) (外側のコーナーとして)。しかし - 刻まれ、円弧上にあります -。 - 刻まれており、円弧上にあります - 。

美しさについて、彼らはこう言います。

弦間の角度は、この角度に囲まれた円弧の角度値の合計の半分に等しくなります。

彼らは簡潔にするためにこれを書いていますが、もちろん、この公式を使用するときは中心角に留意する必要があります。

b) そして今 - 「外側」！どうすればいいですか？はい、ほぼ同じです！今だけです（ここでも外角のプロパティを適用します）。それが今です。

それはつまり... メモと文言に美しさと簡潔さをもたらしましょう。

セカント間の角度は、この角度で囲まれた円弧の角度値の差の半分に等しくなります。

さて、これで円に関連する角度に関する基本的な知識がすべて身に付きました。さあ、チャレンジしてください！

円と内側の角度。平均レベル

5歳児でも円が何なのか知っていますよね？いつものように、数学者はこの主題について難解な定義を持っていますが、私たちはそれを与えるのではなく（参照）、円に関連付けられた点、線、および角度が何と呼ばれているかを思い出してください。

重要な規約

まず:

円の中心- 円上のすべての点から同じ距離にある点。

第二に:

もう 1 つ受け入れられている表現があります。「コードがアークを収縮する」です。たとえば、この図では、弦が円弧の範囲を定めています。そして、弦が突然中心を通過する場合、その弦には「直径」という特別な名前が付けられます。

ところで、直径と半径はどのような関係にあるのでしょうか？よく見て。もちろん、

そして今度はコーナーの名前です。

当然ですね。角度の側面は中心から伸びています。これは、角度が中心であることを意味します。

ここで、時々困難が生じることがあります。注意してください - 円の内側にどの角度も内接することはありません。ただし、その頂点が円自体の上に「位置」するものは 1 つだけです。

写真で違いを見てみましょう:

彼らは別の言い方でこう言います。

ここで注意が必要な点が 1 つあります。「対応する」または「独自の」中心角とは何ですか? 円の中心にある頂点と円弧の端にある端との角度だけですか？確かにそのような意味ではありません。図面を見てください。

しかし、そのうちの 1 つは角にも見えません。それはさらに大きいものです。しかし、三角形はそれ以上の角度を持つことができませんが、円はそれ以上の角度を持つことができます。したがって、小さい円弧 AB は小さい角度 (オレンジ色) に対応し、大きい円弧はより大きい角度に対応します。まさにその通りですね。

内接角と中心角の大きさの関係

この非常に重要なステートメントを覚えておいてください。

教科書では、同じ事実を次のように書きたがります。

中心角があると定式化が簡単になるのは本当ではないでしょうか？

それでも、2 つの公式間の対応関係を見つけて、同時に図面内で「対応する」中心角と、内接角が「置かれる」円弧を見つける方法を学びましょう。

見てください。これは円と内接角です。

その「対応する」中心角はどこでしょうか?

もう一度見てみましょう:

ルールとは何ですか?

しかし！この場合、円弧を片側から見た内接角と中心角が「見える」ことが重要です。例えば：

不思議なことに、青い！弧が長いので、円の半分よりも長いです。だから決して混乱しないでください！

円周角の「半値」からどのような結果が推測できるでしょうか?

しかし、例えば:

直径によって決まる角度

数学者が同じことについて話すのが大好きであることにはすでに気づいています。別の言葉で? なぜこれが必要なのでしょうか? ご存知のとおり、数学の言語は、形式的ではありますが、生きているため、通常の言語と同様に、より便利な方法で言いたくなるたびに必要になります。さて、「角度が円弧上にある」が何を意味するかはすでに見てきました。そして、同じ絵が「弦の上にある角度」と呼ばれていると想像してください。何の上に？そう、もちろんこの弧を引き締める一本に！

円弧よりも弦に頼ったほうが便利なのはどのような場合ですか?

特に、この弦が直径の場合です。

このような状況に驚くほどシンプルで美しく便利なステートメントがあります。

見てください。これが円、直径、その上の角度です。

円と内側の角度。主な内容について簡単に説明

1. 基本的な概念。

3. 円弧と角度の測定。

ラジアン角は、円弧の長さが円の半径に等しい中心角です。

半円の長さと半径の比率を表す数値です。

半径の円周は等しい。

4. 表記数量と数値の関係中央の角.

導入。与えられた半径 R に対する 2 つの直線、直線と円弧、および 2 つの円弧の共役を順番に考えてみましょう。

与えられた半径 R に対する 2 つの直線、直線と円弧、および 2 つの円弧の共役を順番に考えてみましょう。

2 つの交差する直線の共役を作成するには l 1 または l 2 与えられた半径 R の距離に、与えられた直線に平行な 2 本の補助直線をそれぞれ描きます。 l1 そして l 2 (図32)。これらの線の交点は共役中心 O です。結果の中心から、指定された線への垂線を下げ、共役点 M と N を取得します。 . 中心Oから所定の半径の大きさで R見つかった点 M と N の間の範囲内に円弧を描きます。

直線 l と半径の円弧の共役を作成するにはR1 、センターから実施 O1 (図 33)、線に平行な補助線を引きます。私、指定された共役半径の距離にある R、そして中心から O1 半径のある補助円弧を描く R1+R。これらの補助線の交点で合致の中心を取得します。 について。この中心から直線への垂線を下げます - 直線上の共役点を取得します M、次にセンターを接続します について円弧中心付き ○ 1 - 線の交差点で ○○1 与えられた円弧を使用して、円弧上の共役点、つまり点を取得します。 N。見つかった点の間 Mそして N半径 R嵌合円弧を描きます。

図 32 図 33

2 つの円弧の共役を作成するには:円弧 R1 中心から O1 と円弧 R2中心から O2(図 34)、それぞれ等しい半径で 2 つの補助円弧を描きます。 R1+R そして R2+R 。補助円弧の交点によって合致の中心、つまり点が決まります。 について。合致点を定義するには Mそして N嵌合中心を接続します について与えられた円弧の中心と O1 そして O2。半径 R内部に活用弧を描く ミネソタ州.

図34

指定された半径での 2 つの円弧の共役 R以下の条件下で可能です。 O1 O 2 ≦ R 1 + 2R + R 2

特定の半径の合致の最も典型的なケースを考慮すると、そのような場合の合致を構築するための一般的な規則を特定することができます。嵌合の中心は、指定された円弧に平行で、指定された線から嵌合半径の距離だけ離れた 2 本の補助線の交点で決定されます。

嵌合点は次のように決定されます。 直線上で- 垂直、合致の中心から直線まで下げられます。 円弧上- 合致の中心と特定の円弧の中心を結ぶ直線 (図 32 ～ 34)。

7.2.2 指定された合致点

共役点が 1 つ与えられたときの 2 つの直線、直線と円弧、および 2 つの円弧の共役のいくつかの典型的なケースを考えてみましょう。 M.

2 つの交差する直線の共役を作成するにはl1とl2 (図 35) メイトセンター について線に対する垂線の交点で決定されます l1 、指定された時点から復元される M、直線で形成される角の二等分線 l1 そして l 2 。 2番目のメイトポイント N直線上にある l 2 中心から下ろした垂線を使用して決定されます ○ 直接 l 2 。合致半径はグラフィカルに決定されます。 R X =| OM|= |オン| .

図35

直線合致 l の構築 c 半径 R 1 の円弧、センターから実施 O1 。この問題は 2 つの方法で解決できます。 M円弧上と直線上で指定できます。両方のオプションを順番に検討してみましょう。

最初のオプション。ドット M円弧上で指定します。時点で M円弧に接線を引きます。接線と指定された直線によって形成される角度の二等分線との交点私、半径延長あり O 1M 嵌合円弧の中心を決定する について(図 36)。

2番目のメイトポイント N直線上は点から下ろした垂線によって決まります について直接私。合致半径はグラフで決定されました。 R X =| OM|= |オン| .

図 36 図 37

2 番目のオプション。ドット M直線上で与えられます。ある地点から M線に対する垂線を復元する私に等しい距離を置きます R1(図 37)。結果として得られるポイントにセンターに接続する O1 そしてセグメントを分割します O1 に ○セグメントの中央から復元された垂線の交点で決定されます O1 にそして点を通る線 Mそしてに.

2番目のメイトポイント N円弧上で線の交点を決定します ○ O1与えられた円弧で。ブレンド半径 R X =| OM| = |オン| .

中心から 2 つの円弧 R 1 の共役を作成します。 O1と 中心からR 2 O 2。嵌合点 M 中心から引かれた円弧上に定義されます O1 。接続中与えられたポイント Mセンター付き O1 そして半径の続きを脇に置きます O 1M に等しい距離 R2(図 38)。さらなる構築は前のケースと同様です。受け取ったポイントにセンターに接続する O2そしてセグメントを分割します KO 2半分に。嵌合円弧中心 についてセグメントの中央から復元された垂線の交点で決定されます KO 2と点を通る線 M そして O1 。 2 番目の円弧上の 2 番目の共役点は、円弧と直線の交点で決定されます。 ○○2。ブレンド半径 R X =| OM|= |オン| .

図38

共役線をトレースするときは、まず円弧を共役点までトレースし、次に直線部分をトレースする必要があります。

7.3 パターン曲線

パターン曲線はテクノロジーで広く使用されています。平面曲線を作成する最も一般的な方法、楕円、放物線、サイクロイド、正弦波、インボリュートを考えてみましょう。これらの曲線は通常、パターンを使用して輪郭が描かれるため、パターン曲線と呼ばれます。

楕円(図 39)。楕円は、その点のいずれかから同じ平面の 2 点 (楕円の焦点) までの距離の合計が、楕円の長軸に等しい定数値である閉じた平面曲線です。線分 MN は楕円の長軸と呼ばれ、線分 DE は楕円の短軸と呼ばれます。点 D または E から半径 R=MN の円弧を描くと、次のようになります。 2 、次に、楕円の長軸上にその焦点 (点) F1そして F2).

図39

楕円を作成するには、直径が楕円の軸に等しい 2 つの同心円を描きます。これらの円はいくつかの部分 (12...16) に分かれています。大きな円の分割点を通って垂直線が引かれ、小さな円の対応する分割点を通って水平線が引かれます。これらの線の交点は楕円の点を与えます私, Ⅱ, Ⅲ... (楕円を作成する他の方法については、推奨される文献を参照してください)。

放物線(図40)。放物線は平面曲線であり、各点は準線と呼ばれる特定の直線から等距離に位置し、放物線の焦点と呼ばれる同じ平面上に位置します。

放物線を作成する方法の 1 つを考えてみましょう。与えられた: 放物線の頂点 について、放物線 D の点の 1 つと OS 軸の方向。線分ＯＳ、ＣＤ上に長方形を構築し、この長方形の辺ＯＢ、ＢＤを任意の等数に分割し、分割点に番号を付ける。頂点Ｏは分割点ＢＤに接続されており、線分ＯＢの分割点から軸に平行な直線が引かれる。同じ番号の点を通過する線の交点によって、放物線の点の数が決まります (放物線を作成する他の方法については、推奨される文献を参照してください)。

図40

サイクロイド(図41)。点の軌跡あ滑らずに直線に沿って転がる円に属するものをサイクロイドといいます。それを構築するには開始位置ポイントあセグメントをストレートガイド上に配置 AA1、指定された円の長さに等しい 2πR 。円とセグメント AA1同じ数の等しい部分に分割されます。線分を分割する点から垂線を再構成する AA1与えられた円の中心に平行に通る線と交わるまで AA1、回転円の中心の一連の連続した位置 O 1、O 2、O 3、...、O 8 をマークします。これらの中心から半径Rの円を描き、それらと平行な直線の交点をマークします。 AA1、円の分割点を通って 1 、2、3など。

点 1 を通る水平線と中心 O 1 から描かれた円との交点に、サイクロイドの点の 1 つが位置します。点2を通る直線と中心O 2 から描いた円との交点にサイクロイドの点が存在するなど、得られた点を滑らかな曲線で結ぶとサイクロイドが得られます。

図41

正弦波(図42)。正弦波を作成するには、指定された半径の円を等しい部分に分割します ( 6 , 8 , 12 など）条件付き開始点からの中心線の継続上にありますあ- 直線セグメントを描画します AB、等しい 2πR 。次に、直線を円と同じ数の等しい部分に分割します ( 6 , 8 , 12 等。）。円上の点から 1, 2、3、...、12 は、線の分割点から復元または省略された対応する垂線と交差するまで、選択した線に平行な直線を描きます。結果として得られる交点 ( 1" , 2" , 3" , ... , 12" ) は、振動周期が次の正弦波の点になります。 2πR 。曲線の点 3" と 9" は点 A の頂点、6 と B は変曲点です。

図42

インボリュート(サークルスキャン、図 43)。インボリュートとは、滑らずに円の周りを転がる直線の各点によって描かれる軌跡です。機械工学では、歯車の歯の輪郭はインボリュートを使用して輪郭が描かれます。インボリュートを作成するには、まず円を任意の数の等しい部分に分割します。分割点では、円の接線が一方向に描かれます。最後の分割点を通って引いた接線上に、円周に等しい線分を置きます。 2πR、同じ数字で割ります n等しい部分。最初の接線を 1 目盛りに置くと、 πD/n、2 回目 - 2、3 回目 - 3 回など、一連のポイントを獲得します。私, Ⅱ, Ⅲなど、パターンに従って接続されます。

図43

双曲線、外サイクロイド、内サイクロイド、アルキメデスの螺旋、ストロフォイドなどの作成については、推奨される文献を参照してください。

パターンに従って曲線をトレースするには、曲線に可能な限り滑らかな輪郭を与えるようにしながら、結果として得られる点を細い線で目で結び、その後でのみ、曲線の曲率に対応するパターンを選択することをお勧めします。少なくとも 3 つの点を同時に接続する、その一部のセクション (図 44)。

図44

7.4 直線とパターン曲線の共役(パターン曲線の接線)

これまで、直線、円弧を伴う直線、および 2 つの円弧を共役させるさまざまなケースが検討されました。実際には、直線をパターン曲線と組み合わせるのは珍しいことではありません。その場合、組み合わせる直線は、特定の共役点を通って引かれた曲線に接するように向ける必要があります。

施工例を見てみましょう 直線と楕円の合致(図45)。交点の指定 D。特定の点における楕円の接線は、直線によって形成される角度の二等分線に垂直です F1Dそして F2D、どこ F1そして F2- 楕円の焦点。

図45

図 46 に構造を示します 放物線の接線ある時点で M。接線は指定された点を接続します Mドット付きに、その位置は次の関係によって決まります。 AK=AN。他の所定のパターン曲線への接線を構築する方法は、推奨される文献で調べることができます。

図46

7.5 セルフテストの質問

トピック 1 のセルフテストの質問:

1. A1 シートには A4 シートが何枚入りますか?

2. 追加の描画形式はどのように作成されますか?

3. フォントサイズは何によって決まりますか?

4. 高さはどれくらいですか? 小文字と比べて
大文字で？

5. 図面にローマ字フォントを使用することはできますか?

6. 目に見える輪郭のストローク線の太さの選択は何によって決まりますか?

7. 軸線、中心線、延長線、寸法線、および非表示の等高線はどのような種類と太さで描画されますか?

8. 小さな直径 (12 mm 未満) の円の中心線はどのように描画されますか?

9. 図面上の寸法はどのような単位で表示されますか?

11. 寸法線の矢印が点や線に置き換えられるのはどのような場合ですか?

12. 角度サイズの番号はどのように配置されますか?

13. 直径記号 Æ はどのような場合に置かれますか?

14. 1:1 以外の縮尺で図面を作成する場合の寸法はどのくらいですか?

15. 合致関係の構築はジオメトリのどの 2 つの位置に基づいていますか?

16. 合致要素をリストします。

導入

マイクロエレクトロニクスやマイクロプロセッサー技術など、集中的に発展し知識が集約されている主題分野を研究することは、継続的な改善、獲得した知識の補充、および関連する科学および技術分野への精通を必要とする、興味深い複雑な作業です。電子制御システムの普及により、効果的な解決策あらゆる応用タスクの現代の専門家は、専門的にコンピュータ技術に関連しているかどうかに関係なく、現代の電子システム構築の基本概念を基本的に理解しているだけでなく、システムの開発の現状と見通しについても十分に理解していなければなりません。要素のベース。

コンピュータ技術の発展 - 最高の業績エレクトロニクス - 過去 10 年間の進歩は、パーソナルコンピューターから最も複雑なシステムの管理に至るまで、今日ではマイクロプロセッサ (MP) が使用されない生活分野を想像することはほとんど不可能なほどです。技術的プロセス、家計管理から洗濯機および携帯電話 - ワークステーションとマルチプロセッサスーパーコンピュータを設計します。

わずか四半世紀余りの歴史の中で、マイクロプロセッサは真に巨大な進歩を遂げました。

1971 年にインテルによってリリースされた最初の MP マイクロ回路は、108 kHz のクロック周波数で動作し、2300 個のトランジスタを含み、10 ミクロン技術を使用して作られ、価格は約 200 ドルでした。 INTEL PENTIUM-4 チップの最新改良版の 1 つは、0.09 ミクロン技術を使用して作られており、87 平方ミリメートルの半導体結晶内に 1 億 4,000 万個のトランジスタを備えています。

上記のデータを比較すると、インテルの創設者であり取締役会会長でもあるゴードン・ムーア氏が述べた、マイクロプロセッサ業界の成功に関する比喩的な評価も裏付けられます。当時、ロールスロイスは今なら 3 ドルで、ガソリン 1 ガロンで 50 万マイル走行でき、駐車場代を払うよりも捨てたほうが安いでしょう。」

今日、コンピュータ化が主要な方向性の 1 つであることを理解するのは難しくありません。科学技術の進歩そしてその凝縮された表現。 MP はエンジニアリングの最先端の成果を体現しており、この国の経済的可能性だけでなく軍事的可能性も、最も多様な生産分野がコンピュータ技術でどの程度飽和しているかによって決まります。

「記述幾何学とエンジニアリンググラフィックス」という分野を学ぶとき、学生は幾何学的な構築と接続を実行するためのルールと順序を学ばなければなりません。この点において、建設スキルを習得する最良の方法は、複雑な部品の輪郭を描く作業を通じて行うことです。

テストタスクを開始する前に、方法論マニュアルに従って幾何学的構造と接続を実行する技術を学習する必要があります。

ラインメイト

活用とは、ある行から別の行にスムーズに移行することです。指定された半径の円弧をもつ合致を作成するには、以下を見つける必要があります。

共役中心 – 弧が描かれる中心。
共役点 (接触点) は、ある線が別の線に交わる点です。

合致の中心は、合致点から合致半径 R に等しい等距離に位置します。直線が円に触れると、直線から円への移行はスムーズになります。共役点Kは円の中心Oから直線に下ろした垂線上にあります（図1）

円が接触していると、ある円から別の円への移行がスムーズになります。

円弧間の接触には、外部接触 (図 2) と内部接触 (図 3) の 2 つのケースがあります。

外側から接触すると、円の中心は共通接線 L の反対側に位置します (図 2)。それらの中心間の距離ＯＯ１は、円Ｒ＋Ｒ１の半径の合計に等しく、接点はそれらの中心を結ぶ直線ＯＯ１上にある。

内接線では、円の中心は共通接線 L の片側にあります。それらの中心間の距離 OO 1 は、それらの中心間の差に等しいです。半径 R-R１と円の接点Ｋは直線ＯＯ１の延長上にある（図３）。

円の接線円弧:

米。 2– 2 つの円の共役 (外部接線)

米。 3– 2 つの円の共役 (内部接線)

2 本の交差する線の共役

直角、鋭角、鈍角で交差する直線が与えられます。

与えられた半径 R の円弧を持つこれらの直線の合致関係を構築する必要があります。

共役の中心を見つけるには、半径 R に等しい距離でデータに平行な補助直線を引きます。これらの直線の交点が共役円弧の中心になります (図 4)。
共役円弧 t.O の中心からこれらの直線に下ろした垂線によって、接点 K と N が決まります。
点 O を中心として、与えられた半径 R の円弧を描きます。

注記。直角の場合は、コンパスを使用して嵌合の中心を見つける方が便利です (図 5)。

円弧と、指定された半径の円弧を持つ直線の共役。

外部タッチ

半径 R の円と直線 AB が与えられるとします。半径 R1 の円弧で接続する必要があります。

メイトの中心を見つけるには、指定された円の中心 O から円弧を描きます。 メートル半径 R + R 1、距離 R 1 – 直線 n// AB。直線の交点の点O 1 nと円弧 メートル活用の中心になります。
接続点を取得するには、K と K 1 で中心 OO 1 の線を引き、直線 AB に対する垂線 OK 1 を復元します。
点 K と K 1 の間の合致 O 1 の中心から、半径 R 1 の合致円弧を描きます。

インナータッチ

内部接触の場合も同様の構成ですが、補助円の円弧 m は半径 R - R 1 で描かれます。

指定された半径の円弧を持つ 2 つの円の共役

半径 R 1 および R 2 の 2 つの円が与えられます。指定された半径 R の円弧をもつ合致関係を構築する必要があります。

外部タッチ

共役の中心 O を決定するには、半径 R + R 1 の円の中心 O 1 から、および半径 R + R 2 の円の中心 O 2 から、補助円弧が描かれます。これらの円弧の交点の点 O が共役の中心になります。
中心OとO 1 、およびOとO 2 を結ぶことにより、共役点K 1 とK 2 が決まります。
中心Oから半径Rで点K 1 とK 2 の間に共役の円弧を描きます。

インナータッチ

内部タッチでは、同じ構築が実行されますが、円弧は半径で描画されます。

R-R1 および R-R2 。

ミックスタッチ

嵌合相手 O の中心は、中心 O 1 から半径 R - R 1 で、中心 O 2 から半径 R + R 2 で描かれる 2 つの円弧の交点に位置します。

注記。混合共役では、嵌合円弧の一方の中心 O 1 は半径 R の共役円弧の内側にあり、もう一方の円弧の中心 O 2 はその外側にあります。

特殊なケース

指定された半径の円弧の中心を見つけます。

2 本の平行線を結ぶ半径 R の円弧が与えられるとします。 メートルそして n点 A ∈ を通過 メートル(図11)。与えられた円弧の中心 O を見つけることが必要です。

この構築は、指定された線から等距離にある点 O を見つけることに基づいています (図 11)。

点Aから∈ メートル、中心からのように、与えられた半径 R の補助円の円弧を描きます。
補助線を引く私、線に平行 n、指定された半径 R に等しい距離にあります。
点 O - これらの補助線の交点は、指定された円弧の中心です。 (図12)

文学

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2 本の平行線の共役

2 本の平行線があり、そのうちの 1 つに共役点があるとします。 M(図2.19、あ）。ペアリングを構築する必要があります。

1) メイトの中心と円弧の半径を見つけます (図 2.19、b)。これをポイントから行うには M点における線との交点に対する垂線を復元します N.線分 ミネソタ州半分に分割します（図 2.7 を参照）。
2) ある点から について– 半径のある合致の中心 OM = の上接続点から円弧を描く Mそして N(図2.19、 V).

米。 2.19。

中心のある円が与えられる について点Aから描く必要があります。あ円の接線。

1. ポイントあ円の指定された中心Oに直線を接続します。

に等しい直径を持つ補助円を作成します。 OA(図2.20、あ）。中心を見つけるには について 1、セグメントを分割する OA半分に切ります（図 2.7 を参照）。

2. ポイント Mそして N補助円と指定された円の交点、つまり必要な接点。終点あ直線と点を結ぶ Mまたは N(図2.20、 b）。真っ直ぐ 午前。線に対して垂直になります ああ、角度からして AMO直径に基づいて。

米。 2.20。

2つの円に接する線を引く

2 つの円の半径が与えられると、 Rそして R 1. それらに接する直線を作成する必要があります。

タッチには 2 つのケースがあります: 外部 (図 2.21、 b）および内部（図2.21、 V).

で 外部接触構築は次のように行われます。

1) 中心から について与えられた円の半径の差に等しい半径を持つ補助円を描きます。つまり、 R-R 1 (図2.21、あ）。この円に中心O1から接線を引きます Ο 1Ν. 接線の構成を図に示します。 2.20;
2) 点 O から点までの半径 Ν, 点で交差するまで続けます M与えられた円半径で R.半径に平行 OM描画半径 Ο 1Ρ 周囲が小さくなります。接続点を結ぶ直線 Mそして R、– に接する与えられた円(図2.21、 b).

米。 2.21。

で 内なるタッチ構築は同様の方法で実行されますが、補助円は半径で描画されます。金額に等しい半径 R+R 1 (図2.21、 V）。それでは中心から について 1 補助円に接線を引きます（図 2.20 参照）。終点 N中心に半径で接続します について。半径に平行の上描画半径 O1 R周囲が小さくなります。必要な接線は接続点を通過します Mそして R.

指定された半径の円弧と直線円弧の共役

半径の円の円弧が与えられると、 Rそしてまっすぐ。半径の円弧で接続する必要があります R 1.

1. 嵌合の中心を見つけます (図 2.22、あ）、距離が離れている必要があります R 1 円弧からと直線から。したがって、与えられた直線と平行に、嵌合円弧の半径 R1 に等しい距離に補助直線が引かれます (図 2.22)。あ）。指定された半径の合計に等しいコンパスの開き方 R+R図１では、中心Ｏから補助線と交差するまでの円弧を描いている。結果として得られる点 O1 は合致の中心です。
2. によって原則接続点を見つけます (図 2.22、 b): 嵌合円弧 O1 と O の中心を直線で結び、嵌合中心から下げます。 Ο 1 指定された線に垂直です。
3. メイトセンターから Οχ 接続点間 Μ そして Ν 半径が次の円弧を描きます R 1 (図2.22、 b).

米。 2.22

2 つの円弧と指定された半径の円弧の共役

半径が次の 2 つの円弧があるとします。 R 1と R 2. 半径を指定した円弧で合致関係を構築する必要があります。

タッチには 3 つのケースがあります。外部 (図 2.23、 a、b)、内部 (図 2.23、 V) と混合します (図 2.25 を参照)。すべての場合において、合致関係の中心は、指定された円弧から合致円弧の半径から離れた位置にある必要があります。

米。 2.23。

建設は次のように行われます。

外部タッチの場合:

1) センターから Ο 1 と O2 は、指定された円弧と嵌合円弧の半径の合計に等しいコンパス解を使用して、補助円弧を描きます (図 2.23、あ); 中心から引いた円弧の半径 Ο 1、等しい R 1 +R 3; 中心 O2 から描かれた円弧の半径は次のようになります。 R 2 + R 3. 補助円弧の交点に、メイトの中心が位置します - 点 O3。
2) 点Ο1と点03、点O2と点O3を直線で結び、接続点を求めます。 Mそして N(図2.23、 b);
3) 点 03 から、次と等しいコンパス解を使用 R 3、点間 Μ そして Ν 共役弧を説明します。

のために 内なるタッチ同じ構築を実行しますが、円弧の半径は、指定された円弧と嵌合する円弧の半径の差に等しいとみなされます。 R 4 –R 1と R 4 – R 2.接続箇所 Rそしてに点 O4 と点 O1 および O2 を結ぶ線の延長線上にあります (図 2.23、 V).

のために 混合された (外部と内部) 触る(1番目のケース):

1) 半径の合計に等しいコンパスの解 R 1と R図 3 では、中心からと同様に、点 O2 から円弧が描かれます (図 2.24、a)。
2) 半径の差に等しいコンパスの解 R 2と R図 3 では、点 O2 から 2 番目の円弧が描かれ、点 O3 で最初の円弧と交差します (図 2.24、 b);
3) 点 O1 から点 O3 まで直線を描き、2 番目の中心 (点 O2) から点 O3 を通る直線を点で円弧と交差するまで描きます。 M(図2.24、c)。

点 O3 は合致の中心、点です。 Mそして N –インターフェースポイント。

4) コンパスの足を半径のある点 O3 に置きます。 R 3 接続点間に円弧を描きます Μ そして Ν (図2.24、 G).

米。 2.24。

のために ミックスタッチ(2 番目のケース):

1) 半径の円の 2 つの共役円弧 R 1と R 2 (図2.25);
2) 中心間の距離 私についてこれら 2 つの円弧の O2。
3) 半径 R 3 つの嵌合アーク。

必須：

1) 嵌合円弧の中心 O3 の位置を決定します。
2) 嵌合円弧上の接続点を見つけます。
3) 嵌合円弧を描きます

建設順序

中心間の指定された距離を確保する Ο 1とO2。中心から について 1 半径の嵌合円弧の半径の合計に等しい半径を持つ補助円弧を描きます。 R 1 と共役円弧半径 R 3、中心 O2 から、半径の差に等しい半径で 2 番目の補助円弧が描かれます。 R 3と R点 O3 で最初の補助円弧と交差するまで、図 2 に沿って移動します。点 O3 は、嵌合円弧の目的の中心になります (図 2.25)。

米。 2.25。

共役点は、円弧 O3 と O1 の中心を直線で結び、一般規則に従って求められます。、お 3とO2。これらの線と対応する円の円弧との交点に点が見つかります。 Mそして N.

パターンカーブ

テクノロジーでは、楕円、インボリュート円、アルキメデスの螺旋など、表面が平坦な曲線で制限されている部品があります。そのような曲線はコンパスでは描くことができません。

これらは、パターンを使用した滑らかな線で接続された点に沿って構築されます。したがって、名前は パターンの曲線。

図に示されています。 2.26 直線の各点が円に沿って滑らずに回転すると、インボリュートを表します。

米。 2.26

ほとんどの歯車の歯の作用面にはインボリュート歯車が付いています (図 2.27)。

米。 2.27。

アルキメデスの螺旋図に示されています。 2.28。これは、中心から均一に移動する点によって記述される平坦な曲線です。 について回転半径に沿って。

米。 2.28。

アルキメデスの螺旋に沿って溝が切ってあり、そこに旋盤の自動調心三爪チャックのカムの突起が入ります（図2.29）。かさ歯車が回転すると、裏側螺旋状の溝が刻まれているため、カムが圧縮されます。

図面内でこれらの (およびその他の) パターン曲線を作成するときは、参考書を使用すると作業が容易になります。

楕円の寸法は、楕円の長さによって決まります。 ABそして小さい CD軸 (図 2.30)。 2 つの同心円を説明します。大きい方の直径は楕円の長さ（長径）に等しくなります。 AB）、小さい方の直径が楕円の幅（短軸）になります。 CD）。大きな円を、たとえば 12 などの均等な部分に分割します。分割点は、円の中心を通る直線で結ばれます。図に示すように、直線と円の交点から、楕円の軸に平行な線を引きます。これらの線が互いに交差すると、楕円に属する点が得られます。これらの点は、事前に手動で細い滑らかな曲線で接続されており、パターンを使用して輪郭が描かれます。

米。 2.29。

米。 2.30。

幾何学構造の実用化

与えられたタスク: 図に示すキーの図を作成します。 2.31。どうやってするの？

描画を開始する前に、画像のグラフィック構成の分析が実行され、幾何学的構造のどのケースを適用する必要があるかを判断します。図では、図 2.31 にこれらの構成を示します。

米。 2.31。

キーを描くには、互いに直交する直線を引いたり、円を描いたり、上下の頂点を直線で結んで六角形を作ったり、円弧と直線を一定の半径の円弧で結んだりする必要があります。

この作品の順番はどうなっているのでしょうか？

まず、指定された寸法によって位置が決定され、追加の構築を必要としない線を描画します (図 2.32、あ)、つまり軸線と中心線を引き、指定された寸法に従って 4 つの円を描き、小さな円の垂直直径の端を直線で結びます。

米。 2.32

図面の実行に関するさらなる作業では、2.2 項と 2.3 項で説明されている幾何学的構造を使用する必要があります。

この場合、六角形を構築し、円弧と直線を組み合わせる必要があります (図 2.32、 b）。これが作業の第 2 段階になります。

中心角は 2 つの半径の間の角度です。 内接角と中心角の値の関係

円と内接角。 ビジュアルガイド (2019)