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与えられた点での関数への接線の方程式。関数グラフに接する

この記事では、見つけるためにすべてのタイプの問題を分析します

覚えておきましょう 幾何学的な感覚デリバティブ：ある点で関数のグラフに接線が描かれている場合、接線の傾き（接線と軸の正の方向との間の角度の接線に等しい）は、での関数の導関数に等しくなります。ポイント。

座標を持つ接線上の任意の点を取ります：

そして直角三角形を考えてみましょう。

この三角形で

ここから

これは、その点で関数のグラフに描かれた接線の方程式です。

接線の方程式を書くには、関数の方程式と接線が描かれる点を知るだけで済みます。次に、を見つけることができます。

接線方程式の問題には主に3つのタイプがあります。

1.連絡先を指定します

2.接線の傾き係数、つまり、点での関数の導関数の値が与えられます。

3.接線が描画される点の座標が与えられますが、これは接点ではありません。

それぞれのタイプの問題を見てみましょう。

1 。関数のグラフに接線の方程式を書く その時点で .

b）点での導関数の値を見つけます。まず、関数の導関数を見つけます

見つかった値を接線方程式に代入します：

方程式の右辺の括弧を開きましょう。我々が得る：

答え： .

2.2。関数がグラフに接する点の横座標を見つけます x軸に平行。

接線がx軸に平行である場合、接線と軸の正の方向との間の角度はゼロであるため、接線の勾配の接線はゼロです。したがって、関数の導関数の値接触点ではゼロです。

a）関数の導関数を見つける .

b）導関数をゼロに等しくし、接線が軸に平行である値を見つけます：

各係数をゼロに等しくすると、次のようになります。

回答：0; 3; 5

3。関数のグラフに接線の方程式を書く , 平行 真っ直ぐ .

接線は線に平行です。この直線の傾きは-1です。したがって、接線はこの線に平行であるため、接線の傾きも-1になります。つまり、 接線の傾きがわかります、したがって 接触点での導関数の値.

これは、接線方程式を見つけるための2番目のタイプの問題です。

したがって、接触点での導関数の関数と値が与えられます。

a）関数の導関数が-1に等しくなる点を見つけます。

まず、微分方程式を見つけましょう。

導関数を数-1と同等にしましょう。

ポイントでの関数の値を見つけます。

（条件による）

b）点での関数のグラフへの接線の方程式を見つけます。

ポイントでの関数の値を見つけます。

（条件による）。

これらの値を接線方程式に代入します：

答え：

4。曲線の接線の方程式を書く , ポイントを通過する

まず、ポイントがタッチポイントではないかどうかを確認します。点が接点である場合、それは関数のグラフに属し、その座標は関数の方程式を満たす必要があります。関数の方程式の点の座標を代入します。

Title = "（！LANG：1sqrt（8-3 ^ 2）">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} 連絡先ではありません。

これは、接線方程式を見つけるための最後のタイプの問題です。初めにすること 接点の横座標を見つける必要があります.

値を見つけましょう。

連絡先にしましょう。この点は、関数のグラフの接線に属します。この点の座標を接線方程式に代入すると、正しい等式が得られます。

その時点での関数の値は次のとおりです。 .

点での関数の導関数の値を見つけます。

最初に関数の導関数を見つけましょう。これは。

ある点での導関数は .

接線の方程式の式とを代入してみましょう。次の方程式が得られます。

この方程式を解いてみましょう。

分数の分子と分母を2つ減らします。

方程式の右辺を最小公分母にします。我々が得る：

分数の分子を単純化し、両方の部分に-を掛けます。この式は厳密にゼロより大きくなります。

方程式を得る

それを解決しましょう。これを行うには、両方の部分を二乗してシステムに移動します。

Title = "（！LANG：delim（lbrace）（matrix（2）（1）（（64-48（x_0）+9（x_0）^ 2 = 8-（x_0）^ 2）（8-3x_0> = 0 ）））（）">!}

最初の方程式を解きましょう。

決定します二次方程式、我々が得る

2番目のルートが条件title="（！LANG：8-3x_0>=0]を満たしていません">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

点での曲線の接線の方程式を書いてみましょう。これを行うには、式の値を代入しますすでに録音しました。

答え：
.

正接は、曲線の点を通り、この点で1次まで一致する直線です（図1）。

その他の定義：これはΔでの割線の限界位置ですバツ→0.

説明：2点で曲線と交差する線を取ります。 しかしと b（写真を参照）。これは割線です。カーブとの共通点が1つだけになるまで、時計回りに回転させます。したがって、接線を取得します。

接線の厳密な定義：

関数グラフに接する f、ある時点で微分可能バツ約、は点を通る線です（バツ約; f(バツ約））そして持っているスロープ f′( バツ約).

斜面は直線です y =kx +b。係数 kそして スロープファクターこの直線。

角度係数は接線に等しい鋭角横軸とのこの直線によって形成されます：

k =tgα

ここで、角度αは線の間の角度です y =kx +b x軸の正の（つまり反時計回りの）方向。という 真っ直ぐな傾斜角（図1および2）。

傾斜角がまっすぐな場合 y =kx +b鋭い場合、勾配は正数。グラフが大きくなります（図1）。

傾斜角がまっすぐな場合 y =kx +b鈍い場合、勾配は負の数になります。グラフは減少しています（図2）。

線がx軸に平行である場合、線の傾きはゼロです。この場合、線の傾きもゼロになります（ゼロの接線がゼロであるため）。直線方程式はy=bのようになります（図3）。

直線の傾斜角が90°（π/ 2）の場合、つまりx軸に垂直である場合、直線は次の式で与えられます。 x =c、どこ c-実数（図4）。

関数のグラフへの接線の方程式y = f(バツ）その時点でバツ約:

例：関数のグラフの接線の方程式を見つけましょう f(バツ) = バツ 3 – 2バツ横軸2のポイントで2+1。

決断。

アルゴリズムに従います。

1）タッチポイントバツ約 2に等しい。計算する f(バツ約):

f(バツ約) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2）検索 f′( バツ）。これを行うには、前のセクションで概説した微分式を使用します。これらの公式によると、バツ 2 = 2バツ、バツ 3 = 3バツ 2.2。意味：

f′( バツ) = 3バツ 2 – 2 ∙ 2バツ = 3バツ 2 – 4バツ.

ここで、結果の値を使用します f′( バツ）、計算する f′( バツ約):

f′( バツ約) = f′（2）=3∙22 –4∙2= 12 – 8=4。

3）したがって、必要なデータはすべて揃っています。バツ約 = 2, f(バツ約) = 1, f ′( バツ約）= 4.これらの数値を接線方程式に代入し、最終的な解を見つけます。

y = f(バツ約) + f′( バツ約) (x – x o）\ u003d 1 + 4∙（x-2）\ u003d 1 + 4x-8 \ u003d -7 + 4x \u003d4x-7。

回答：y \u003d4x-7。

関数fが与えられ、ある時点でx 0は有限の導関数f（x 0）を持ちます。次に、傾きf'（x 0）を持つ点（x 0; f（x 0））を通る線は、接線と呼ばれます。

しかし、点x 0の導関数が存在しない場合はどうなりますか？ 2つのオプションがあります。

グラフの接線も存在しません。典型的な例は、関数y = |x|です。ポイント（0; 0）で。
接線は垂直になります。これは、たとえば、点（1;π/ 2）での関数y =arcsinxの場合に当てはまります。

接線方程式

非垂直直線は、y = kx + bの形式の方程式で与えられます。ここで、kは勾配です。接線も例外ではなく、ある点x 0で方程式を構成するには、この点での関数の値と導関数を知るだけで十分です。

したがって、関数にy \ u003d f（x）を与えます。これは、セグメント上に導関数y \ u003d f'（x）を持ちます。次に、任意の点x0∈（a; b）で、この関数のグラフに接線を描くことができます。これは、次の方程式で与えられます。

y \ u003d f'（x 0）（x-x 0）+ f（x 0）

ここで、f’（x 0）は点x 0での導関数の値であり、f（x 0）は関数自体の値です。

タスク。与えられた関数y=x3。点x0=2でのこの関数のグラフの接線の方程式を書きます。

接線方程式：y \ u003d f'（x 0）（x --x 0）+ f（x 0）。点x0= 2が与えられますが、値f（x 0）とf'（x 0）を計算する必要があります。

まず、関数の値を見つけましょう。ここではすべてが簡単です：f（x 0）= f（2）= 2 3 = 8;
次に、導関数を見つけましょう。f'（x）\ u003d（x 3）' \ u003d 3x 2;
導関数x0= 2に代入します：f'（x 0）= f'（2）= 3 2 2 = 12;
したがって、次のようになります。y = 12（x-2）+ 8 = 12x-24 + 8=12x-16。
これが接線方程式です。

タスク。関数f（x）\ u003d 2sin x+5の点x0\u003dπ/2でのグラフの接線の方程式を作成します。

今回は、各アクションの詳細については説明しません。重要なステップのみを示します。我々は持っています：

f（x 0）\ u003d f（π/ 2）\ u003d 2sin（π/ 2）+ 5 \ u003d 2 + 5 \ u003d 7;
f'（x）\ u003d（2sin x + 5）' \ u003d 2cos x;
f'（x 0）\ u003d f'（π/ 2）\ u003d 2cos（π/ 2）\ u003d 0;

接線方程式：

y = 0（x −π / 2）+7⇒y= 7

後者の場合、線は水平であることがわかりました。その傾きk=0。それは何も悪いことではありません-私たちはちょうど極値点に出くわしました。

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接線は直線です 、1つの点で関数のグラフに接触し、そのすべての点が関数のグラフから最小の距離にあります。したがって、接線は特定の角度で関数グラフの接線を通過し、複数の接線は異なる角度で接点を通過できません。接線方程式と関数のグラフの法線方程式は、導関数を使用してコンパイルされます。

接線方程式は直線方程式から導き出されます .

接線の方程式を導き出し、次に関数のグラフの法線の方程式を導き出します。

y = kx + b .

彼の中で k-角度係数。

ここから、次のエントリを取得します。

y - y 0 = k(バツ - バツ 0 ) .

微分値 f "(バツ 0 ) 関数 y = f(バツ) その時点で バツ0 勾配に等しい k= tg φ 点を介して描かれた関数のグラフに接する M0 (バツ 0 , y 0 ) 、どこ y0 = f(バツ 0 ) 。これは何 導関数の幾何平均 .