標準形式の例における単項式。 単項式の定義: 関連する概念、例

このレッスンでは、単項式の厳密な定義を示し、教科書のさまざまな例を見ていきます。 べき乗の規則を思い出してみましょう。 同じ根拠で。 単項式の標準形式、単項式の係数、およびその文字部分を定義しましょう。 単項式に対する 2 つの主な典型的な操作、すなわち、標準形式への縮小と、単項式に含まれるリテラル変数の指定された値に対する単項式の特定の数値の計算を考えてみましょう。 単項式を標準形式に縮約するための規則を定式化しましょう。 任意の単項式を使用した標準問題の解き方を学びましょう。

主題：単項式。 単項式の算術演算

レッスン：単項式の概念。 単項式の標準形式

いくつかの例を考えてみましょう。

3. ;

見つけます 共通の特徴与えられた式に対して。 3 つのケースすべてにおいて、式は数値と変数のべき乗の積です。 これに基づいて、私たちは与える 単項式定義 : 単項式は、累乗と数値の積で構成される代数式です。

次に、単項式ではない式の例を示します。

これらの式と前の式の違いを見つけてみましょう。 これは、例 4 ～ 7 には加算、減算、または除算の演算があるのに対し、単項式である例 1 ～ 3 にはこれらの演算が存在しないという事実にあります。

さらにいくつかの例を次に示します。

式番号 8 は累乗と数値の積なので単項式ですが、例 9 は単項式ではありません。

さあ、調べてみましょう 単項式に対するアクション .

1. 簡素化。 例 3 を見てみましょう ;そして例その 2 /

2 番目の例では、係数 - が 1 つだけ表示され、各変数は 1 回だけ表示されます。つまり、変数 " あ" は 1 つのコピーで "" として表されます。同様に、変数 "" と "" は 1 回だけ現れます。

例 No. 3 では、反対に、2 つの異なる係数があります - と 、変数 "" が 2 回表示されます - "" と "" として、同様に、変数 "" が 2 回表示されます。 つまり、この式は簡略化される必要があり、次のようになります。 単項式に対して実行される最初のアクションは、単項式を標準形式に縮小することです。 。 これを行うには、例 3 の式を標準形式に縮小し、次にこの演算を定義して、単項式を標準形式に縮小する方法を学習します。

そこで、次の例を考えてみましょう。

標準形式への簡約の操作における最初のアクションは、常にすべての数値因数を乗算することです。

;

このアクションの結果は次のように呼ばれます。 単項式の係数 .

次に、パワーを乗算する必要があります。 変数のべき乗を掛けてみましょう」 バツ「同じ底を持つべき乗の規則によれば、乗算の際には指数が加算されると定められています。

さあ、力を倍増させましょう」 で»:

;

そこで、簡略化した式を次に示します。

;

任意の単項式は標準​​形式に変換できます。 定式化しましょう 標準化ルール :

すべての数値係数を乗算します。

結果の係数を最初の場所に置きます。

すべての次数を掛けます。つまり、文字部分を取得します。

つまり、単項式は係数と文字部分によって特徴付けられます。 今後は、同じ文字部分を持つ単項式が類似していると呼ばれることに注意してください。

今、私たちは解決する必要があります 単項式を標準形式に減らすためのテクニック 。 教科書の例を考えてみましょう。

割り当て: 単項式を標準形式にし、係数と文字部分に名前を付けます。

このタスクを完了するには、単項式を標準形式とべき乗の特性に還元するためのルールを使用します。

1. ;

3. ;

最初の例についてのコメント: まず、この式が本当に単項式であるかどうかを判断しましょう。これを行うには、数とべき乗の演算が含まれているかどうか、および加算、減算、または除算の演算が含まれているかどうかを確認しましょう。 上記の条件が満たされるため、この式は単項式であると言えます。 次に、単項式を標準形式に縮小するための規則に従って、数値因数を乗算します。

- 与えられた単項式の係数を見つけました。

; ; ; つまり、式のリテラル部分が取得されます。

答えを書き留めてみましょう: ;

2 番目の例についてのコメント: ルールに従って次のことを実行します。

1) 数値係数を乗算します。

2) 累乗を乗算します。

変数は 1 つのコピーで表現されます。つまり、何も乗算することはできず、変更せずに書き換えられ、次数が乗算されます。

答えを書き留めてみましょう。

;

この例では、単項式の係数は 1に等しい、文字部分は です。

3 番目の例に関するコメント:前の例と同様に、次のアクションを実行します。

1) 数値係数を乗算します。

;

2) 累乗を乗算します。

;

答えを書き留めてみましょう: ;

この場合、単項式の係数は「」となり、文字部分は .

では、考えてみましょう 単項式の 2 番目の標準演算 。 単項式は特定の数値を取ることができるリテラル変数で構成される代数式であるため、次の算術式が得られます。 数値式、計算する必要があります。 つまり、多項式に対する次の演算は次のようになります。 具体的な数値を計算する .

例を見てみましょう。 単項式が与えられる:

この単項式はすでに標準形式に変換されており、その係数は 1 に等しく、文字部分は

先ほど、代数式は常に計算できるわけではない、つまり、代数式に含まれる変数はいかなる値も取ることができないと述べました。 単項式の場合、それに含まれる変数は任意であり、これが単項式の特徴です。

したがって、指定された例では、 、 、 、 における単項式の値を計算する必要があります。

単項式のべき乗

単項式には次数の概念があります。 それが何なのか考えてみましょう。

意味。

単項式のべき乗標準形式は、レコードに含まれるすべての変数の指数の合計です。 単項式の表記に変数がなく、それがゼロではない場合、その次数が考慮されます。 ゼロに等しい; 数値ゼロは次数が定義されていない単項式とみなされます。

単項式の次数を決定すると、例を示すことができます。 a は 1 であるため、単項式 a の次数は 1 に等しくなります。 単項式 5 のべき乗はゼロではなく、その表記法に変数が含まれていないため、ゼロになります。 そして、積 7・a 2 ・x・y 3 ・a 2 は、すべての変数 a、x、y の指数の合計が 2+1+3+2=8 に等しいため、8 次の単項式になります。

ちなみに、単項式の次数は書かれていません。 標準形式、標準形式の対応する単項式の次数に等しい。 これを説明するために、単項式の次数を計算してみましょう。 3×2y 3×(−2)×5y。 標準形式のこの単項式は -6 · x 8 · y 4 の形式を持ち、その次数は 8+4=12 です。 したがって、元の単項式の次数は 12 です。

単項係数

表記法に少なくとも 1 つの変数を含む標準形式の単項式は、単一の数値因数、つまり数値係数を含む積です。 この係数を単項係数といいます。 上記の議論を定義の形で定式化してみましょう。

意味。

単項係数- これ 数値要素標準形式で書かれた単項式。

ここで、さまざまな単項式の係数の例を示します。 数字 5 は、定義上、単項式 5・a 3 の係数であり、同様に、単項式 (-2,3)・x・y・z の係数は -2,3 です。

単項式の係数 (1 と -1 に等しい) は特別な注意に値します。 ここで重要なのは、それらは通常、録音中に明示的に存在しないということです。 表記に数値因子を持たない標準形式の単項式の係数は 1 に等しいと考えられています。 たとえば、単項式 a、x・z 3、a・t・x などです。 a は 1・a、x・z 3 - 1・x・z 3 などとみなせるため、係数は 1 になります。

同様に、単項式の係数 (標準形式では数値因数を持たず、マイナス記号で始まるエントリ) はマイナス 1 とみなされます。 たとえば、単項式 −x、−x 3 y z 3 などです。 −x=(−1) x であるため、係数は−1 になります。 −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3等々。

ところで、単項式の係数の概念は、文字因数のない数値である標準形式の単項式と呼ばれることがよくあります。 このような単項式数の係数は、これらの数とみなされます。 したがって、たとえば、単項式 7 の係数は 7 と等しいとみなされます。

参考文献。

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単項式は、学校の代数コースで学習される主なタイプの式の 1 つです。 この資料では、これらの式が何であるかを説明し、その標準形式を定義して例を示し、また、単項式の次数やその係数などの関連概念も理解します。

単項式とは

学校の教科書では通常、この概念について次のように定義されています。

定義 1

単項式には以下が含まれます数値、変数、およびそれらの自然指数とべき乗 他の種類それらを編集した作品。

この定義に基づいて、そのような表現の例を挙げることができます。 したがって、すべての数値 2、8、3004、0、-4、-6、0、78、1 4、-4 3 7 は単項式になります。 すべての変数 (x、a、b、p、q、t、y、z など) も定義により単項式になります。 これには、変数や数値の累乗も含まれます。たとえば、6 3、(− 7、41) 7、x 2、および t15、65 · x、9 · (− 7) · x · y 3 · 6、x · x · y 3 · x · y 2 · z などの形式の式も含まれます。 単項式には 1 つまたは複数の数値または変数を含めることができ、それらは 1 つの多項式内で複数回指定できることに注意してください。

整数、有理数、自然数などの種類の数も単項式に属します。 ここに実数と複素数を含めることもできます。 したがって、 2 + 3 · i · x · z 4, 2 · x, 2 · π · x 3 の形式の式も単項式になります。

単項式の標準形式とは何ですか、また式をそれに変換する方法は何ですか?

使いやすくするために、すべての単項式は最初に標準と呼ばれる特別な形式に変換されます。 これが何を意味するのかを具体的に定式化してみましょう。

定義 2

単項式の標準形式は数値因子の積である形式と呼ばれます。 自然度異なる変数。 単項式の係数とも呼ばれる数値因数は、通常、左側の最初に書かれます。

明確にするために、標準形式のいくつかの単項式を選択しましょう: 6 (これは変数のない単項式です)、4 · a、− 9 · x 2 · y 3、2 3 5 · x 7。 という表現もこれに含まれます ｘ ｙ(ここでは係数は 1 になります)、 −×3(ここでは係数は - 1 です)。

ここで、標準形式に変換する必要がある単項式の例を示します。 4、2、3(ここでは同じ変数を組み合わせる必要があります)、 5×(−1)3y2(ここでは、左側の数値係数を組み合わせる必要があります)。

通常、単項式に文字で書かれた複数の変数がある場合、文字の因数はアルファベット順に書かれます。 たとえば、次のように書くことが望ましいです。 6 a b 4 c z 2、 どうやって b 4 6 a z 2 c。 ただし、計算の目的により順序が異なる場合があります。

任意の単項式は標準​​形式に変換できます。 これを行うには、必要なすべての項目を完了する必要があります アイデンティティ変換.

単項式の次数の概念

単項式の次数に付随する概念は非常に重要です。 この概念の定義を書き留めてみましょう。

定義 3

単項式の力によって標準形式で書かれた、その表記法に含まれるすべての変数の指数の合計です。 変数が存在せず、単項式自体が 0 以外の場合、その次数は 0 になります。

単項式の累乗の例を示しましょう。

例1

したがって、a = a 1 であるため、単項式 a の次数は 1 になります。 単項式 7 がある場合、変数がなく 0 とは異なるため、次数は 0 になります。 そして、これがその記録です 7 a 2 xy 3 a 2これに含まれる変数のすべての次数の指数の合計が 8 に等しいため、 は 8 次の単項式になります。 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

標準形式に変換された単項式と元の多項式は同じ次数になります。

例 2

単項式の次数を計算する方法を示します 3×2y 3×(−2)×5y。 標準形式では次のように書くことができます − 6×8y4。 次のように計算します。 8 + 4 = 12 。 これは、元の多項式の次数も 12 に等しいことを意味します。

単項係数の概念

少なくとも 1 つの変数を含む標準形式に変換された単項式がある場合、それを 1 つの数値因子を含む積として扱います。 この係数は数値係数または単項係数と呼ばれます。 定義を書いてみましょう。

定義 4

単項式の係数は、単項式を標準形式に換算した数値因数です。

例として、さまざまな単項式の係数を考えてみましょう。

例 3

したがって、式では、 8a3係数は数字の 8 になり、 (− 2 , 3) x y z彼らはそうするだろう − 2 , 3 .

1 とマイナス 1 に等しい係数には特に注意を払う必要があります。 原則として、明示的には示されません。 数値因数のない標準形式の単項式では、たとえば式 a、x · z 3、a · t · x の係数は 1 に等しいと考えられます。 1 · a, x · z 3 とみなされる – どのように 1×z3等

同様に、数値因数を持たず、マイナス記号で始まる単項式では、-1 が係数であると考えることができます。

例 4

たとえば、式 − x, − x 3 · y · z 3 は、− x = (− 1) · x, − x 3 · y · z 3 = (− 1) として表すことができるため、そのような係数を持ちます。 )・x 3 y z 3 など。

単項式に単一文字の因数がまったくない場合、この場合の係数について話すことができます。 このような単項式数値の係数は、これらの数値そのものになります。 したがって、たとえば、単項式 9 の係数は 9 になります。

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単項式の概念

単項式の定義: 単項式は、乗算のみを使用する代数式です。

単項式の標準形式

単項式の標準形式は何ですか? 単項式は標準​​形式で記述されます。最初に数値因数があり、この因数が単項式の係数と呼ばれる場合、単項式には 1 つだけ存在し、単項式の文字はアルファベット順に配置され、各文字はは一度だけ出現します。

標準形式の単項式の例:

ここに最初にあるのは数値、つまり単項式の係数です。この数値は単項式では 1 つだけです。各文字は 1 回だけ出現し、文字はアルファベット順に配置されています。この場合はラテン語のアルファベットです。

標準形式の単項式の別の例:

各文字は 1 回だけ出現し、ラテン語のアルファベット順に並べられていますが、単項式の係数はどこにありますか。 最初に来るべき数値要素は何ですか? ここでは、1 に相当します: 1adm。

単項式の係数が負になることはありますか? はい、おそらく、例: -5a。

単項式の係数を分数にすることはできますか? はい、おそらく、例: 5.2a。

単項式が数値のみで構成されている場合、つまり 文字がないのですが、どうすれば標準形式に戻すことができますか? 数値である単項式はすでに標準形式になっています。たとえば、数値 5 は標準形式の単項式です。

単項式を標準形式に簡約する

単項式を標準形式にするにはどうすればよいですか? 例を見てみましょう。

単項式 2a4b が与えられるとします; これを標準形式にする必要があります。 2 つの数値係数を乗算すると、8ab が得られます。 これで、単項式は標準​​形式で記述されます。つまり、 最初に書かれた数値因数は 1 つだけで、単項式の各文字は 1 回だけ出現し、これらの文字はアルファベット順に配置されます。 したがって、2a4b = 8ab となります。

単項式 2a4a が与えられた場合、単項式を標準形式にします。 数値 2 と 4 を掛けて、積 aa を 2 の 2 乗に置き換えます。 8a 2 が得られます。 これはこの単項式の標準形式です。 したがって、 2a4a = 8a 2 となります。

類似の単項式

相似単項式とは何ですか? 単項式が係数のみ異なるか等しい場合、それらは類似していると呼ばれます。

類似の単項式の例: 5a と 2a。 これらの単項式は係数のみが異なるため、類似していることを意味します。

単項式 5abc と 10cba は似ていますか? 2 番目の単項式を標準形式にして、10abc を取得しましょう。 これで、単項式 5abc と 10abc は係数のみが異なることがわかります。これは、それらが類似していることを意味します。

単項式の加算

単項式の和は何ですか? 同様の単項式のみを合計できます。 単項式を追加する例を見てみましょう。 単項式 5a と 2a の和は何ですか? これらの単項式の合計は、それらに類似した単項式になり、その係数は 合計に等しい項の係数。 したがって、単項式の合計は 5a + 2a = 7a となります。

単項式を追加するその他の例:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

また。 追加できるのは類似した単項式のみであり、加算はその係数を加算することになります。

単項式の減算

単項式の違いは何ですか? 同様の単項式を減算することしかできません。 単項式の減算の例を見てみましょう。 単項式 5a と 2a の違いは何ですか? これらの単項式の差はそれらに類似した単項式となり、その係数はこれらの単項式の係数の差に等しい。 したがって、単項式の差は 5a - 2a = 3a になります。

単項式の減算のその他の例:

10a 2 - 3a 2 = 7a 2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

単項式の乗算

単項式の積は何ですか? 例を見てみましょう:

それらの。 単項式の積は、その因数が元の単項式の因数で構成される単項式と等しくなります。

もう一つの例：

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 。

この結果はどのようにして生じたのでしょうか? 各因子には「a」の乗が含まれます。最初の因子では「a」の 2 乗、2 番目の因子では「a」の 5 乗が含まれます。これは、積に「a」の 2 乗が含まれることを意味します。なぜなら、同じ文字を掛け合わせると、それらの累乗の指数が折り畳まれるからです。

A 2 * a 5 = a 7 。

係数「b」についても同様です。

最初の係数の係数は 2、2 番目の係数は 1 であるため、結果は 2 * 1 = 2 となります。

結果は次のように計算されました: 2a 7 b 12。

これらの例から、単項式の係数が乗算され、積内の同じ文字がそれらの累乗の合計に置き換えられることは明らかです。

任意の単項式が可能であることに注意しました。 標準的な形にする。 この記事では、単項式を標準形式に戻すとはどういうことなのか、このプロセスを実行できるようにするアクションを理解し、詳細な説明とともに例の解決策を検討します。

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単項式を標準形式に縮小するとはどういう意味ですか?

単項式は標準​​形式で記述されていると便利です。 ただし、単項式は標準​​とは異なる形式で指定されることがよくあります。 このような場合、恒等変換を実行することで、いつでも元の単項式から標準形式の単項式に移行できます。 このような変換を実行するプロセスは、単項式を標準形式に縮小すると呼ばれます。

以上の議論をまとめてみましょう。 単項式を標準形式に変換します- これは、標準的な形式になるように、同じ変換を実行することを意味します。

単項式を標準形式にするにはどうすればよいですか?

単項式を標準形式に減らす方法を考え出す時が来ました。

定義からわかるように、非標準形式の単項式は、数値、変数、およびそれらの累乗の積であり、場合によっては繰り返しの積です。 また、標準形式の単項式は、その表記法に 1 つの数値と非反復変数またはそのべき乗のみを含めることができます。 ここで、最初のタイプの製品を2番目のタイプの製品に移行する方法を理解する必要があります。

これを行うには、次を使用する必要があります 単項式を標準形式に縮小するための規則次の 2 つのステップで構成されます。

• まず、数値因子のグループ化、および同一の変数とその累乗が実行されます。
• 次に、数値の積が計算されて適用されます。

規定されたルールを適用した結果、単項式は標準​​形式に変換されます。

例、解決策

残っているのは、例を解くときに前の段落のルールを適用する方法を学ぶことだけです。

例。

単項式 3 x 2 x 2 を標準形式に縮小します。

解決。

数値要因と変数 x を持つ要因をグループ化してみましょう。 グループ化後、元の単項式は (3・2)・(x・x 2) の形式になります。 最初の括弧内の数値の積は 6 に等しく、同じ底を持つべき乗の規則により、2 番目の括弧内の式は x 1 +2=x 3 として表すことができます。 その結果、標準形式 6 x 3 の多項式が得られます。

解決策の簡単な概要は次のとおりです。 3 × 2 × 2 =(3 2) (x × 2)=6 × 3.

答え：

3×2×2＝6×3。

したがって、単項式を標準形式にするには、因数をグループ化し、数値を乗算し、べき乗を操作できる必要があります。

内容を整理するために、もう 1 つの例を解いてみましょう。

例。

単項式を標準形式で表示し、その係数を示します。

解決。

元の単項式の表記には 1 つの数値因数 −1 が含まれています。これを先頭に移動しましょう。 この後、因子を変数 a で個別にグループ化し、変数 b で個別にグループ化します。変数 m をグループ化するものは何もないので、そのままにしておきます。 。 括弧内のべき乗を使用して演算を実行すると、単項式は必要な標準形式になり、そこから単項式の係数が −1 に等しいことがわかります。 マイナス 1 はマイナス記号に置き換えることができます: 。