2つの分数から。 分数の比較。 分母が異なる分数を比較する方法

2つの分数から 同じ分母分子が大きい方が大きく、分子が小さい方が小さい。 実際、分母は 1 つの値全体がいくつの部分に分割されたかを示し、分子はそのような部分がいくつ取られたかを示します。

それぞれの円全体を同じ数字で割ったことがわかります 5 、しかし彼らは取った 異なる量部品：彼らはもっと多くの部分を必要とし、そしてそれが判明しました。

同じ分子を持つ 2 つの分数のうち、分母が小さい方の分数は大きく、分母が大きい方は小さくなります。さて、実際に 1 つの円を分割すると、 8 部品、およびその他 5 パーツを作成し、各サークルから 1 つのパーツを取り出します。 どの部分が大きくなるでしょうか？

もちろん、円を割ってから、 5 部品！ ここで、彼らが円ではなくケーキを分割していたと想像してください。 5 番目と 8 番目のどちらの作品、あるいはどちらのシェアを好みますか?

分子が異なる分数を比較するには、 分母が異なる、分数を最小公倍数まで減らしてから、同じ分母を持つ分数を比較する必要があります。

例。 比較する 公分数:

これらの分数を最小公倍数に還元してみましょう。 NOZ(4) ; 6)=12。 それぞれの分数に対して追加の因子を見つけます。 最初の部分には追加の係数が必要です 3 (12: 4=3 ）。 2 番目の部分については追加の係数 2 (12: 6=2 ）。 次に、同じ分母を持つ 2 つの結果の分数の分子を比較します。 最初の分数の分子は 2 番目の分数の分子より小さいため ( 9<10) の場合、最初の分数自体は 2 番目の分数よりも小さくなります。

このレッスンでは、分数を互いに比較する方法を学びます。 これは、より複雑な問題のクラス全体を解決するために必要な、非常に便利なスキルです。

まず、分数の等価性の定義を思い出させてください。

ad = bc の場合、分数 a /b と c /d は等しいと言われます。

1. 5 24 = 8 15 = 120 なので、5/8 = 15/24。
2. 3 18 = 2 27 = 54 なので、3/2 = 27/18。

それ以外の場合はすべて、分数は等しくなく、次のステートメントのいずれかが当てはまります。

1. 分数 a/b は分数 c/d より大きいです。
2. 分数 a /b は分数 c /d より小さくなります。

a /b − c /d > 0 の場合、分数 a /b は分数 c /d より大きいと言われます。

x /y − s /t の場合、分数 x /y は分数 s /t より小さいと言われます。< 0.

指定：

したがって、分数の比較は結局、引き算になります。 質問: 「以上」(>) と「未満」(<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. コクマルガラスのフレア部分は常に大きい方の番号を指します。
2. コクマルガラスの鋭い鼻は常に低い数字を指します。

数値を比較する必要がある問題では、数値の間に「∨」記号が配置されることがよくあります。 これは鼻を下げた暁であり、どちらの数字が大きいかはまだ決まっていないことを示唆しているようです。

タスク。 数値を比較します:

定義に従って、分数を互いに減算します。

各比較では、分数を共通の分母に減らす必要がありました。 具体的には、十字法を使用して最小公倍数を求めます。 意図的にこれらの点には焦点を当てませんでしたが、何かが明確でない場合は、「分数の足し算と引き算」のレッスンを見てください。とても簡単です。

小数の比較

小数の場合は、すべてがはるかに単純になります。 ここでは何も減算する必要はなく、数字を比較するだけです。 数値の重要な部分が何であるかを覚えておくと良いでしょう。 忘れてしまった人には、「小数の掛け算と割り算」のレッスンを繰り返すことをお勧めします。これも数分で終わります。

正の 10 進数 X に次のような小数点以下の桁が含まれる場合、正の 10 進数 X は正の 10 進数 Y より大きくなります。

1. 分数 X のこの場所の数字は、分数 Y の対応する数字より大きいです。
2. 分数 X と Y のこれより上位の桁はすべて同じです。

1. 12.25 > 12.16。 最初の 2 桁は同じ (12 = 12)、3 番目の桁の方が大きい (2 > 1)。
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

つまり、小数点以下を 1 桁ずつ調べて違いを探します。 この場合、数値が大きいほど、より大きな分数に対応します。

ただし、この定義には明確化が必要です。 たとえば、小数点以下の桁をどのように書いて比較するか? 覚えておいてください: 10 進数形式で書かれた数値には、左側に任意の数のゼロを追加できます。 さらにいくつかの例を次に示します。

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (私たちが話しているのは上級ランクについて）。
2. 2300.5 > 0.0025、なぜなら 0.0025 = 0000.0025 - 左側に 3 つのゼロが追加されました。 これで、違いが最初の桁から始まることがわかります: 2 > 0。

もちろん、ゼロを含む与えられた例には明らかにやりすぎがありましたが、重要なのはまさにこれです。左側の欠落しているビットを埋めてから比較するのです。

タスク。 分数を比較する:

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

定義により、次のようになります。

1. 0.029 > 0.007。 最初の 2 桁が一致すると (00 = 00)、差が始まります (2 > 0)。
2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
3. 0.00003 > 0.0000099。 ここでは、ゼロを慎重に数える必要があります。 両方の分数の最初の 5 桁は 0 ですが、最初の小数には 3 があり、2 番目の小数には 0 があります。明らかに、3 > 0;
4. 1700.1 > 0.99501。 2 番目の小数部分を、左側に 3 つのゼロを追加して 0000.99501 として書き換えてみましょう。 これで、すべてが明らかです。1 > 0 - 違いは最初の桁で検出されます。

残念ながら、指定された比較スキームは 小数普遍的ではありません。 この方法では比較のみが可能です 正の数。 一般的な場合、動作アルゴリズムは次のとおりです。

1. 正の分数は常に負の分数より大きくなります。
2. 上記のアルゴリズムを使用して、2 つの正の部分が比較されます。
3. 2 つの負の分数は同じ方法で比較されますが、最後に不等号が反転されます。

まあ、悪くないですか？ それでは見てみましょう 具体的な例-そしてすべてが明らかになります。

タスク。 分数を比較する:

1. 0,0027 ∨ 0,0072;
2. −0,192 ∨ −0,39;
3. 0,15 ∨ −11,3;
4. 19,032 ∨ 0,0919295;
5. −750 ∨ −1,45.

1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
2. −0.192 > −0.39。 分数がマイナスの場合、2桁目が異なります。 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
3. 0,15 > −11,3. 正数常にもっとネガティブです。
4. 19.032 > 0.091。 2 番目の小数部分を 00.091 の形式に書き換えるだけで、最初の桁ですでに違いが生じていることがわかります。
5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45。 違いは最初のカテゴリーにあります。

2 つの等しくない分数は、どちらの分数が大きいか、どちらの分数が小さいかを調べるためにさらに比較されます。 2 つの分数を比較するには、分数を比較するための規則があります。これを以下に定式化します。また、同じような分母と異なる分母を持つ分数を比較する場合のこの規則の適用例も見ていきます。 結論として、同じ分子を持つ分数を共通の分母に還元せずに比較する方法を示し、また、共通の分数を自然数と比較する方法も見ていきます。

ページナビゲーション。

分母が同じ分数の比較

分母が同じ分数の比較本質的には同一株数の比較です。 たとえば、共通の分数 3/7 は 3 つの部分 1/7 を決定し、分数 8/7 は 8 つの部分 1/7 に対応するため、同じ分母 3/7 と 8/7 を持つ分数を比較することは、数値を比較することになります。 3 と 8、つまり 分子を比較します。

これらの考察から次のことがわかります 分母が似ている分数を比較するためのルール: 同じ分母を持つ 2 つの分数のうち、分子が大きい方の分数が大きくなり、分子が小さい方の分数が小さくなります。

記載されているルールは、同じ分母を持つ分数を比較する方法を説明しています。 分母が似ている分数を比較するルールを適用する例を見てみましょう。

例。

65/126 と 87/126 のどちらの分数が大きいですか?

解決。

比較される普通の分数の分母は等しく、分数 87/126 の分子 87 は分数 65/126 の分子 65 より大きくなります (必要に応じて、自然数の比較を参照してください)。 したがって、分母が同じ分数を比較するルールによれば、分数 87/126 は分数 65/126 より大きくなります。

答え：

分母の異なる分数を比較する

分母の異なる分数を比較する同じ分母を持つ分数を比較することに還元できます。 これを行うには、比較した普通の分数を共通の分母にするだけです。

したがって、分母が異なる 2 つの分数を比較するには、次のようにする必要があります。

• 分数を公分母に換算します。
• 結果の分母を同じ分母で比較します。

例の解決策を見てみましょう。

例。

分数 5/12 と分数 9/16 を比較します。

解決。

まず、分母が異なるこれらの分数を共通の分母にまとめてみましょう (分数を共通の分母にまとめるルールと例を参照してください)。 共通分母として、LCM(12, 16)=48 に等しい最小公分母を採用します。 次に、分数 5/12 の追加因数は数値 48:12=4 となり、分数 9/16 の追加因数は数値 48:16=3 になります。 我々が得る そして .

得られた分数を比較すると、 が得られます。 したがって、分数 5/12 は分数 9/16 より小さくなります。 これで、分母の異なる分数の比較が完了しました。

答え：

分母の異なる分数を比較する別の方法を考えてみましょう。これにより、分数を共通の分母に換算したり、このプロセスに伴うすべての困難を回避したりすることなく、分数を比較できるようになります。

分数 a/b と c/d を比較するには、比較する分数の分母の積に等しい共通の分母 b・d に減らすことができます。 この場合、分数 a/b と c/d の追加因数はそれぞれ数値 d と b となり、元の分数は共通の分母 b・d を持つ分数に分解されます。 同じ分母を持つ分数を比較するためのルールを思い出して、元の分数 a/b と c/d の比較は、積 a・d と c・b の比較に帰着すると結論付けます。

これは次のことを意味します 分母が異なる分数を比較するためのルール: if a d>b c 、 then 、および if a d

このように分母の異なる分数を比較してみましょう。

例。

公分数 5/18 と 23/86 を比較します。

解決。

この例では、 a=5 、 b=18 、 c=23 、および d=86 です。 積 a・d と b・c を計算してみましょう。 a・d=5・86=430、b・c=18・23=414となります。 430>414 であるため、分数 5/18 は分数 23/86 より大きくなります。

答え：

同じ分子を持つ分数の比較

分子が同じで分母が異なる分数は、前の段落で説明したルールを使用して確実に比較できます。 ただし、このような分数の比較結果は、これらの分数の分母を比較することで簡単に得られます。

そんな事あるんですね 同じ分子を持つ分数を比較するための規則: 同じ分子を持つ 2 つの分数のうち、分母が小さい分数の方が大きく、分母が大きい分数は小さくなります。

解決策の例を見てみましょう。

例。

分数 54/19 と 54/31 を比較します。

解決。

比較される分数の分子は等しく、分数 54/19 の分母 19 は分数 54/31 の分母 31 より小さいため、54/19 は 54/31 より大きくなります。

レッスンの目標:

1. 教育:分数の比べ方を教える さまざまな種類さまざまなテクニックを使用します。
2. 教育:精神活動の基本的な技術の開発、比較の一般化、主要なことの強調。 記憶、言語の発達。
3. 教育:お互いの意見に耳を傾け、相互扶助、コミュニケーションと行動の文化を育むことを学びます。

レッスンの手順:

1. 組織。

フランスの作家 A. フランスの言葉からレッスンを始めましょう。「学ぶことは楽しいことです。知識を消化するには、食欲を持って吸収する必要があります。」

このアドバイスに従い、注意を払い、意欲的に知識を吸収していきましょう。なぜなら... それらは将来私たちにとって役立つでしょう。

2. 生徒の知識を更新する。

1.) 生徒の正面口頭作業。

目標: 取り上げられた内容を繰り返すこと。これは、新しいことを学ぶときに必要です。

A) 正分数と仮分数。
B) 分数を新しい分母にする。
C) 最小公倍数を見つける。

（私たちはファイルを使って作業しています。生徒は毎回の授業でファイルを入手できます。ファイルにサインペンで答えを書きます。その後、不要な情報は消去されます。）

口頭作業の課題。

1. チェーン内の余分な部分に名前を付けます。

A) 5/6; 1/3; 7/10; 11/3; 4/7。
B) 2/6; 6/18; 1/3; 4/5; 4/12。

2. 分数を新しい分母 30 に減算します。

1/2; 2/3; 4/5; 5/6; 1/10.

分数の最小公倍数を求める：

1/5 と 2/7; 3/4 と 1/6。 2/9と1/2。

2.) 試合状況。

皆さん、私たちの友人であるピエロ（生徒たちは学年の初めに彼に会いました）が私に、問題を解決するのを手伝ってほしいと頼んできました。 でも、あなた達なら私がいなくても私たちの友人を助けることができると信じています。 そして課題は次です。

「分数を比較する:

a) 1/2 および 1/6。
b) 3/5 と 1/3。
c) 5/6 と 1/6。
d) 12/7 および 4/7。
e) 3 1/7 および 3 1/5。
e) 7 5/6 および 3 1/2。
g) 1/10 と 1;
h) 10/3 と 1;
i) 7/7 と 1。」

皆さん、ピエロを助けるためには何を学べばいいでしょうか？

レッスンの目的、課題（生徒が自主的に作成）。

教師は次のような質問をして生徒を助けます。

a) すでに比較できる分数のペアはどれですか?

b) 分数を比較するにはどのようなツールが必要ですか?

3. グループ内のメンバー（常設の複数レベルのグループ）。

各グループにはタスクとそれを完了するための指示が与えられます。

最初のグループ : 帯分数を比較する：

a) 1 1/2 および 2 5/6。
b) 3 1/2 および 3 4/5

そして方程式ルールを導き出します 混合分数同一の部分と異なる部分全体を使用します。

説明: 帯分数の比較 (数値ビームを使用)

1. 分数の全体部分を比較して結論を​​導き出します。
2. 小数部分を比較します (小数部分を比較するためのルールを表示しません)。
3. ルール - アルゴリズムを作成します。

2 番目のグループ: 分母と分子が異なる分数を比較します。 (ナンバービームを使用)

a) 6/7 と 9/14。
b) 5/11 と 1/22

説明書

1. 分母を比較する
2. 分数を公分母に減らすことができるかどうかを検討する
3. ルールは「分母が異なる分数を比較するには、...」という言葉で始めます。

3 番目のグループ: 分数と 1 の比較。

a) 2/3 と 1;
b) 8/7 と 1。
c) 10/10 と 1 を計算してルールを作成します。

説明書

すべてのケースを考慮します: (番号ビームを使用)

a) 分数の分子が分母と等しい場合、………;
b) 分数の分子が分母より小さい場合………;
c) 分数の分子が分母より大きい場合………。 。

ルールを策定します。

4 番目のグループ: 分数を比較する:

a) 5/8 と 3/8。
b) 1/7 と 4/7 を計算し、同じ分母を持つ分数を比較するための規則を定式化します。

説明書

ナンバービームを使用します。

分子を比較し、「同じ分母を持つ 2 つの分数の……」という言葉で始まる結論を導き出します。

5 番目のグループ: 分数を比較する:

a) 1/6 と 1/3;
b) 4/9 と 4/3、ナンバービームを使用:

0__.__.__1/6__.__.__1/3__.__.4/9__.__.__.__.__.__.__.__.__.__1__.__.__.__.__.__4/3__.__

同じ分子を持つ分数を比較するためのルールを定式化します。

説明書

分母を比較し、次の言葉から始めて結論を導き出します。

「分子が同じ 2 つの分数のうち…………」。

6 番目のグループ: 分数を比較する:

a) 4/3 と 5/6。 b) ナンバービームを使用した 7/2 および 1/2

0__.__.__1/2__.__5/6__1__.__4/3__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__7/2__.__

適正分数と仮分数を比較するためのルールを作成します。

説明書。

適切か不適切か、どちらの分数が常に大きいかを考えてください。

4. グループでの結論についてのディスカッション。

各グループに一言。 生徒のルールを策定し、対応するルールの基準と比較する。 次に、さまざまな種類の普通分数を比較するルールのプリントが各生徒に渡されます。

5. レッスンの最初に提示されたタスクに戻りましょう。 （私たちはピエロの問題を一緒に解決します）。

6. ノートブックで作業します。 分数を比較するためのルールを使用して、生徒は教師の指導の下で分数を比較します。

a) 8/13 と 8/25。
b) 11/42 と 3/42;
c) 7/5 と 1/5;
d) 18/21 および 7/3;
e) 2 1/2 および 3 1/5。
e) 5 1/2 および 5 4/3。

（学生を理事会に招待することは可能です）。

7. 生徒は、分数を 2 つの選択肢で比較するテストに答えるように求められます。

オプション1。

1) 分数の比較: 1/8 と 1/12

a) 1/8 > 1/12;
b) 1/8<1/12;
c) 1/8=1/12

2) 5/13 と 7/13 ではどちらが大きいですか?

a) 5/13;
b) 7/13;
c) 等しい

3) 2\3 と 4/6 のどちらが小さいですか?

a) 2/3;
b) 4/6;
c) 等しい

4) 1: 3/5 より小さい分数はどれですか。 9/17; 7/7？

a) 3/5;
b) 17/9;
c) 7/7

5) 1 より大きい分数はどれですか: ?; 7/8; 4/3？

a) 1/2;
b) 7/8;
c) 4/3

6) 分数を比較: 2 1/5 と 1 7/9

a) 2 1/5<1 7/9;
b) 2 1/5 = 1 7/9;
c) 2 1/5 > 1 7/9

オプション 2。

1) 分数を比較します: 3/5 と 3/10

a) 3/5 > 3/10;
b) 3/5<3/10;
c) 3/5=3/10

2) 10/12 と 1/12 のどちらが大きいですか?

a) 等しい。
b) 10/12;
c) 1/12

3) 3/5 と 1/10 はどちらが少ないですか?

a) 3/5;
b) 1/10;
c) 等しい

4) 1 より小さい分数はどれですか: 4/3、1/15、16/16?

a) 4/3;
b) 1/15;
c) 16/16

5) 1 より大きい分数はどれですか: 2/5;9/8;11/12?

a) 2/5;
b) 9/8;
c) 11/12

6) 分数を比較: 3 1/4 と 3 2/3

a) 3 1/4=3 2/3;
b) 3 1/4 > 3 2/3;
c) 3 1/4< 3 2/3

テストの答え:

オプション 1: 1a、2b、3c、4a、5b、6a

オプション 2: 2a、2b、3b、4b、5b、6c

8. もう一度レッスンの目的に戻ります。

比較ルールをチェックし、差別化された宿題を出します。

グループ 1、2、3 – ルールごとに 2 つの比較例を考え出し、それらを解決します。

4、5、6 グループ - No. 83 a、b、c、No. 84 a、b、c (教科書より)。