入り口斜辺に対する隣接する脚の比率を見つける方法。 定義と価値の領域、増加、減少。 正接関数のグラフ、y = Tan x
直角三角形を解く問題が検討された場合、私はサインとコサインの定義を覚えるためのテクニックを紹介することを約束しました。 これを使用すると、どの辺が斜辺に属するか (隣接または反対側) をいつでもすぐに思い出すことができます。 あまり長く放置しないことに決めたのですが、 必要な材料以下、読んでください😉
実際、私は 10 年生から 11 年生の生徒がこれらの定義を覚えるのがいかに難しいかを繰り返し観察してきました。 彼らは脚が斜辺を指すことをよく覚えていますが、どれが斜辺なのか- 彼らは忘れてしまいます、そして 混乱した。 試験ではご存知のとおり、間違いの代償は減点です。
私が紹介する情報は数学とは直接関係ありません。 彼女はとつながっています 想像力豊かな思考、そして言語的論理的コミュニケーションの方法を使用します。 まさにそれが私が覚えている方法です、一度きり定義データ。 忘れてしまった場合でも、ここで紹介するテクニックを使えばいつでも簡単に思い出すことができます。
サインとコサインの定義を思い出してください。 直角三角形:
余弦 鋭角直角三角形の場合、これは斜辺に対する隣接する脚の比率です。
副鼻腔直角三角形の鋭角は、斜辺に対する反対側の辺の比です。
それでは、コサインという言葉からどのような連想を抱きますか?
おそらく誰もが独自のものを持っています😉リンクを覚えておいてください:
したがって、その表現はすぐにあなたの記憶に現れます -
«… ADJACENT 脚と斜辺の比».
コサインの決定に関する問題は解決されました。
直角三角形のサインの定義を覚えておく必要がある場合は、コサインの定義を覚えておけば、直角三角形の鋭角のサインが斜辺に対する反対側の辺の比であることを簡単に証明できます。 結局のところ、脚は 2 つしかありません。隣接する脚が余弦によって「占有」されている場合、反対側の脚だけが正弦とともに残ります。
タンジェントとコタンジェントはどうでしょうか？ 混乱も同様だ。 生徒はこれが脚の関係であることは知っていますが、問題は、どちらがどちらを指しているのか、つまり反対側と隣接する脚、またはその逆を思い出すことです。
定義:
正接直角三角形の鋭角は、隣接する辺に対する反対側の辺の比です。
コタンジェント直角三角形の鋭角は、隣接する辺と反対側の辺の比です。
どうやって覚えるの？ 方法は 2 つあります。 1 つは言語と論理の接続を使用し、もう 1 つは数学的な接続を使用します。
数学的方法
そのような定義があります - 鋭角のタンジェントは、角度のサインとコサインの比です。
*公式を覚えておけば、直角三角形の鋭角の接線が、隣り合う辺に対する反対側の辺の比であることをいつでも求めることができます。
同じく。鋭角のコタンジェントは、角度の余弦とその正弦の比です。
それで！ これらの公式を覚えておけば、いつでも次のことを判断できます。
- 直角三角形の鋭角の接線は、隣接する辺に対する反対側の辺の比です。
— 直角三角形の鋭角の余接は、隣接する辺と反対側の辺の比です。
ワードロジカルメソッド
タンジェントについて。 リンクを覚えておいてください:
つまり、接線の定義を覚える必要がある場合、この論理接続を使用すると、接線が何であるかを簡単に思い出すことができます。
「…隣り合う辺に対する反対側の辺の比率」
コタンジェントについて話す場合、タンジェントの定義を覚えていれば、コタンジェントの定義を簡単に説明できます。
「…隣接する辺と反対側の比率」
タンジェントとコタンジェントを覚えるための興味深いトリックがウェブサイトにあります。 " 数学的タンデム " 、 見て。
ユニバーサルメソッド
暗記するだけで済みます。しかし、実践が示すように、言語と論理のつながりのおかげで、人は数学的な情報だけでなく、情報を長期間記憶します。
この資料がお役に立てば幸いです。
よろしくお願いします、アレクサンダー・クルチツキーク
P.S: ソーシャルネットワーク上でこのサイトについて教えていただければ幸いです。
角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントとは何かは、直角三角形を理解するのに役立ちます。
直角三角形の辺を何といいますか? そうです、斜辺と脚です。斜辺は直角の反対側にある辺です (この例では、これは辺 \(AC\) です)。 脚は残りの 2 つの辺 \(AB\) と \(BC\) (隣接する辺) です。 直角) そして、角度 \(BC\) に対して脚を考慮すると、脚 \(AB\) は隣接する脚であり、脚 \(BC\) は反対側の脚です。 それでは、角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントとは何ですか?という質問に答えましょう。
角度の正弦– これは、斜辺に対する反対側 (遠い) 脚の比率です。
私たちの三角形では:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
角度の余弦– これは、斜辺に対する隣接する (近い) 脚の比率です。
私たちの三角形では:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
角度の正接– これは、反対側 (遠い側) と隣接する側 (近い側) の比率です。
私たちの三角形では:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
角度の余接– これは、隣接する (近い) 脚と反対側 (遠い) 脚の比率です。
私たちの三角形では:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
これらの定義は必要です 覚えて！ どの脚を何に分割するかを覚えやすくするには、次のことを明確に理解する必要があります。 正接そして コタンジェント脚だけが座っており、斜辺はのみに現れます。 副鼻腔そして 余弦。 そして、一連の連想を思いつくことができます。 たとえば、これは次のとおりです。
コサイン→タッチ→タッチ→隣接。
コタンジェント→タッチ→タッチ→隣接。
まず第一に、三角形の辺の比率は (同じ角度での) これらの辺の長さに依存しないため、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを覚えておく必要があります。 信じないで？ 次に、画像を見て確認してください。
たとえば、角度 \(\beta \) の余弦を考えてみましょう。 定義により、三角形 \(ABC\) から: \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \)ですが、三角形 \(AHI \) から角度 \(\beta \) の余弦を計算できます。 \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \)。 ご覧のとおり、辺の長さは異なりますが、1 つの角度の余弦の値は同じです。 したがって、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの値は角度の大きさのみに依存します。
定義を理解したら、先に進んでそれらを統合してください。
下の図に示されている三角形 \(ABC \) について、次のことがわかります。 \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)
さて、わかりましたか？ それから、自分で試してみてください。角度 \(\beta \) についても同じことを計算してください。
答え: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
単位（三角関数）円
度やラジアンの概念を理解して、半径が \(1\) に等しい円について考えました。 このようなサークルをこう呼びます シングル。 三角関数を勉強するときにとても役立ちます。 したがって、もう少し詳しく見てみましょう。
ご覧のとおり、この円はデカルト座標系で構築されています。 円の半径 1に等しい、円の中心は原点にありますが、動径ベクトルの初期位置は \(x\) 軸の正の方向に沿って固定されます (この例では、これは半径 \(AB\) です)。
円上の各点は、 \(x\) 軸に沿った座標と \(y\) 軸に沿った座標という 2 つの数値に対応します。 これらの座標番号は何ですか? そして一般的に、彼らは目の前の話題と何の関係があるのでしょうか？ これを行うには、考慮された直角三角形について覚えておく必要があります。 上の図では、2 つの完全な直角三角形が見えます。 三角形 \(ACG\) について考えてみましょう。 \(CG\) は \(x\) 軸に垂直であるため、長方形になります。
三角形 \(ACG \) から \(\cos \ \alpha \) は何ですか? それは正しい \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \)。 さらに、 \(AC\) は単位円の半径であることがわかり、これは \(AC=1\) を意味します。 この値をコサインの式に代入してみましょう。 何が起こるかというと、次のとおりです。
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
三角形 \(ACG \) からの \(\sin \ \alpha \) は何に等しいでしょうか? もちろん、 \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)！ 半径 \(AC\) の値をこの式に代入すると、次のようになります。
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
では、その円に属する点 \(C\) がどの座標にあるかわかるでしょうか。 まあ、まさか？ \(\cos \ \alpha \) と \(\sin \alpha \) が単なる数字だと気づいたらどうなるでしょうか? \(\cos \alpha \) はどの座標に対応しますか? もちろん、座標 \(x\) です。 \(\sin \alpha \) はどの座標に対応するのでしょうか? そう、\(y\) の座標です。 それでポイントは \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
では、\(tg \alpha \) と \(ctg \alpha \) は何に等しいのでしょうか? そうです、タンジェントとコタンジェントの対応する定義を使用して、それを取得しましょう \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \)、A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
角度がもっと大きかったらどうなるでしょうか？ たとえば、この図のように:
この例では何が変わったのでしょうか? それを理解しましょう。 これを行うには、もう一度直角三角形に戻りましょう。 直角三角形 \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : 角度 (角度 \(\beta \) に隣接するもの) を考えてみましょう。 角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの値は何ですか? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? そうです、三角関数の対応する定義に従います。
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(配列) \)
ご覧のとおり、角度のサインの値は依然として座標 \(y\) に対応しています。 角度の余弦の値 - 座標 \(x\) ; そして、対応する比率のタンジェントとコタンジェントの値。 したがって、これらの関係は動径ベクトルのあらゆる回転に適用されます。
動径ベクトルの初期位置は \(x\) 軸の正の方向に沿っていることはすでに述べました。 ここまではこのベクトルを反時計回りに回転させてきましたが、時計回りに回転させたらどうなるでしょうか? 特別なことは何もありません。特定の値の角度も得られますが、それはマイナスになるだけです。 したがって、動径ベクトルを反時計回りに回転すると、次のようになります。 正の角度、時計回りに回転すると – ネガティブ。
したがって、円の周りの動径ベクトルの全回転は \(360()^\circ \) または \(2\pi \) であることがわかります。 半径ベクトルを \(390()^\circ \) または \(-1140()^\circ \) だけ回転させることは可能ですか? もちろん、できますよ！ 最初のケースでは、 \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \)したがって、動径ベクトルは 1 回転し、 \(30()^\circ \) または \(\dfrac(\pi )(6) \) の位置で停止します。
2 番目のケースでは、 \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \)つまり、動径ベクトルは 3 回転し、 \(-60()^\circ \) または \(-\dfrac(\pi )(3) \) の位置で停止します。
したがって、上記の例から、角度は \(360()^\circ \cdot m \) または \(2\pi \cdot m \) (\(m \) は任意の整数) だけ異なると結論付けることができます。動径ベクトルの同じ位置に対応します。
下の図は、角度 \(\beta =-60()^\circ \) を示しています。 同じ画像がコーナーに対応します \(-420()^\circ 、-780()^\circ 、\ 300()^\circ 、660()^\circ \)等 このリストは無期限に継続できます。 これらすべての角度は、次の一般式で表すことができます。 \(\beta +360()^\circ \cdot m\)または \(\beta +2\pi \cdot m \) (\(m \) は任意の整数)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
さて、基本的な三角関数の定義を理解し、 単位円、値が何であるかを答えてみてください。
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
以下に単位円を示します。
何か問題がありますか? それからそれを理解しましょう。 したがって、次のことがわかります。
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(配列)\)
ここから、特定の角度の尺度に対応する点の座標を決定します。 さて、順番に始めましょう：のコーナー \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)は座標 \(\left(0;1 \right) \) の点に対応するため、次のようになります。
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- 存在しない;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
さらに、同じロジックに従うと、次のことがわかります。 \(180()^\circ 、\ 270()^\circ 、\ 360()^\circ 、\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )座標を持つ点に対応します \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \右) \)、 それぞれ。 これがわかれば、対応する点での三角関数の値を求めるのは簡単です。 まずは自分で試してみて、それから答えを確認してください。
答え:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- 存在しない
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- 存在しない
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- 存在しない
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- 存在しない
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
したがって、次の表を作成できます。
これらの値をすべて覚えておく必要はありません。 単位円上の点の座標と三角関数の値の対応を覚えておくだけで十分です。
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(覚えているか、表示できるようにする必要があります!! \) !}
しかし、 と の角度の三角関数の値は \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)以下の表に示すとおり、次のことを覚えておく必要があります。
怖がらないでください。対応する値の非常に単純な記憶の一例を示します。
この方法を使用するには、角度の 3 つの尺度すべての正弦値を覚えておくことが重要です ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\))、および \(30()^\circ \) の角度の正接の値。 これらの \(4\) の値がわかれば、テーブル全体を復元するのは非常に簡単です。コサイン値は矢印に従って転送されます。
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(配列) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \)、これを知っていると、次の値を復元できます。 \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \)。 分子「\(1 \)」は \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) に対応し、分母「\(\sqrt(\text(3)) \)」はに対応します。 \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . コタンジェント値は、図に示されている矢印に従って転送されます。 これを理解し、矢印の付いた図を覚えていれば、表の \(4\) の値だけを覚えておけば十分です。
円上の点の座標
円の中心の座標、半径、回転角がわかっていれば、円上の点（その座標）を見つけることは可能でしょうか？ もちろん、できますよ！ 出してみましょう 一般式点の座標を見つけます。 たとえば、これは私たちの目の前にある円です。
私たちにはその点が与えられています \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- 円の中心。 円の半径は \(1.5\) です。 点 \(O\) を \(\delta \) 度回転して得られる点 \(P\) の座標を求める必要があります。
図からわかるように、点 \(P\) の座標 \(x\) は、線分 \(TP=UQ=UK+KQ\) の長さに対応します。 線分 \(UK\) の長さは円の中心の座標 \(x\) に対応します。つまり、 \(3\) に等しくなります。 セグメント \(KQ\) の長さは、コサインの定義を使用して表すことができます。
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
次に、点 \(P\) の座標が得られます。 \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).
同じロジックを使用して、点 \(P\) の y 座標の値を求めます。 したがって、
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).
それで、 一般的な見解点の座標は次の式で決定されます。
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(配列) \)、 どこ
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - 円の中心の座標、
\(r\) - 円の半径、
\(\delta \) - ベクトル半径の回転角度。
ご覧のとおり、検討している単位円の場合、中心の座標が 0 に等しく、半径が 1 に等しいため、これらの式は大幅に短縮されます。
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
お使いのブラウザでは Javascript が無効になっています。計算を実行するには、ActiveX コントロールを有効にする必要があります。
まず、半径 1 で中心が (0;0) の円を考えます。 任意の αЄR について、0A と 0x 軸の間の角度のラジアン単位が α に等しくなるように、半径 0A を描くことができます。 反時計回りの方向が正とみなされます。 半径 A の端の座標を (a,b) とします。
正弦の定義
定義: 上記の方法で構築された単位半径の縦座標に等しい数値 b は、sinα で示され、角度 α のサインと呼ばれます。
例: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0
コサインの定義
定義: 上記の方法で構築された単位半径の端の横座標に等しい数値 a は、cosα で示され、角度 α の余弦と呼ばれます。
例: cos0 cos3π + cos3.5π = 1 (-1) + 0 = 2
これらの例では、単位半径と単位円の端の座標に関する角度のサインとコサインの定義を使用しています。 より視覚的に表現するには、単位円を描画し、その上に対応する点をプロットし、その横座標を数えてコサインを計算し、縦座標を数えてサインを計算する必要があります。
接線の定義
定義: x≠π/2+πk、kЄZ に対する関数 tgx=sinx/cosx は、角度 x の余接と呼ばれます。 ドメイン tgx関数これらは、x=π/2+πn、nЄZ を除き、すべて実数です。
例: tg0 tgπ = 0 0 = 0
この例は前の例と似ています。 角度の正接を計算するには、点の縦座標を横座標で割る必要があります。
コタンジェントの定義
定義: x≠πk、kЄZ の関数 ctgx=cosx/sinx は、角度 x の余接と呼ばれます。 関数 ctgx = の定義域は、点 x=πk、kЄZ を除くすべての実数です。
正直角三角形を使用した例を見てみましょう
コサイン、サイン、タンジェント、コタンジェントが何であるかをより明確にするため。 角度 y の正直角三角形を使用した例を見てみましょう。 面a、b、c。 斜辺 c、脚 a と b です。 斜辺 c と脚 b y の間の角度。
意味：角度 y のサインは、斜辺の反対側の比です: siny = a/c
意味：角度 y の余弦は、隣接する脚と斜辺の比です: cozy = v/c
意味：角度 y の正接は、反対側と隣接する側の比です: tgy = a/b
意味：角度 y の余接は、隣接する側と反対側の比です: ctgy= in/a
サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントは三角関数とも呼ばれます。 各角度には独自のサインとコサインがあります。 そして、ほぼすべての人が独自のタンジェントとコタンジェントを持っています。
角度が与えられれば、そのサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントが分かると考えられています。 およびその逆。 サインまたはその他の三角関数がそれぞれ与えられると、角度がわかります。 角度ごとに三角関数が書かれた特別な表も作成されています。
科学としての三角法は古代東洋で生まれました。 最初の三角比は、星の正確な暦と方位を作成するために天文学者によって導かれました。 これらの計算は球面三角法に関連しており、学校のコースでは平面三角形の辺と角度の比を学習します。
三角法は、三角関数の特性と三角形の辺と角度の関係を扱う数学の一分野です。
西暦 1 千年紀の文化と科学の全盛期に、知識は古代東方からギリシャまで広がりました。 しかし、三角法の主な発見はアラブのカリフ時代の人々の功績です。 特に、トルクメンの科学者アル・マラズウィは、タンジェントやコタンジェントなどの関数を導入し、サイン、タンジェント、コタンジェントの値の最初の表を編集しました。 サインとコサインの概念はインドの科学者によって導入されました。 三角法は、ユークリッド、アルキメデス、エラトステネスなどの古代の偉大な人物の著作で多くの注目を集めました。
三角法の基本量
数値引数の基本的な三角関数は、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントです。 それぞれに独自のグラフ (サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント) があります。
これらの量の値を計算する式はピタゴラスの定理に基づいています。 直角二等辺三角形の例を使って証明が行われているため、「ピタゴラスのパンツ、全方向に等しい」という公式は、学童によく知られています。
サイン、コサイン、その他の関係は、直角三角形の鋭角と辺の間の関係を確立します。 角度 A のこれらの量を計算する式を示し、三角関数間の関係を追跡してみましょう。
ご覧のとおり、tg と ctg は 逆関数。 脚 a を sin A と斜辺 c の積、脚 b を cos A * c と想像すると、正接と余接について次の式が得られます。
三角円
前述の量間の関係をグラフで表すと、次のようになります。
この場合、円は角度 α のすべての可能な値 (0° から 360°) を表します。 図からわかるように、各関数は負の値または 正の値角度の大きさにもよりますが。 たとえば、α が円の 1 番目と 2 番目の 4 分の 1 に属する場合、つまり 0° ～ 180° の範囲にある場合、sin α には「+」符号が付きます。 180° ～ 360° (III および IV 四半期) の α の場合、sin α は負の値のみになります。
特定の角度について三角関数の表を作成して、量の意味を調べてみましょう。
30°、45°、60°、90°、180°などに等しいαの値は、特殊な場合と呼ばれます。 それらの三角関数の値は計算され、特別なテーブルの形式で表示されます。
これらの角度は無作為に選択されたものではありません。 表中の π はラジアンを表します。 Rad は、円の円弧の長さが半径に対応する角度です。 この値は普遍的な依存関係を確立するために導入されたものであり、ラジアンで計算する場合、実際の半径の長さ (cm) は重要ではありません。
三角関数の表内の角度はラジアン値に対応します。
したがって、2π が完全な円、つまり 360 度であることを推測するのは難しくありません。
三角関数の性質: サインとコサイン
サインとコサイン、タンジェントとコタンジェントの基本的な性質を検討し比較するには、それらの関数を描く必要があります。 これは、2 次元座標系に配置された曲線の形式で実行できます。
サインとコサインのプロパティの比較表を考えてみましょう。
| 正弦波 | 余弦 |
|---|---|
| y = 罪x | y = cos x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| sin x = 0、x = πk の場合、k ϵ Z | cos x = 0、x = π/2 + πk、ここで k ϵ Z |
| sin x = 1、x = π/2 + 2πk、ここで k ϵ Z | cos x = 1、x = 2πk、k ϵ Z |
| sin x = - 1、x = 3π/2 + 2πk、ここで k ϵ Z | cos x = - 1、x = π + 2πk の場合、k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x、つまり関数は奇数です | cos (-x) = cos x、つまり関数は偶数です |
| 関数は周期的で、最小周期は 2π です | |
| sin x › 0、x は第 1 四半期と第 2 四半期、または 0° ～ 180° (2πk、π + 2πk) に属します。 | cos x › 0、x は I および IV の四半期、または 270° ～ 90° (- π/2 + 2πk、π/2 + 2πk) に属します。 |
| sin x ‹ 0、x は第 3 四半期と第 4 四半期、または 180° ～ 360° (π + 2πk、2π + 2πk) に属します。 | cos x ‹ 0、x は第 2 および第 3 四半期、または 90° ～ 270° (π/2 + 2πk、3π/2 + 2πk) に属します。 |
| 区間 [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] の増加 | 区間 [-π + 2πk, 2πk] で増加します |
| 間隔 [π/2 + 2πk、3π/2 + 2πk] で減少します | 間隔を置いて減少する |
| 導関数 (sin x)’ = cos x | 導関数 (cos x)’ = - sin x |
関数が偶数かどうかを判断するのは非常に簡単です。 三角関数の量の符号を備えた三角関数の円を想像し、OX 軸に対してグラフを頭の中で「折りたたむ」だけで十分です。 符号が一致する場合、関数は偶数であり、一致しない場合は奇数です。
ラジアンの導入とサイン波とコサイン波の基本特性のリストにより、次のパターンを示すことができます。
式が正しいかどうかを確認するのは非常に簡単です。 たとえば、x = π/2 の場合、サインは 1 で、x = 0 のコサインは 1 です。チェックは、テーブルを参照するか、指定された値の関数曲線をトレースすることによって実行できます。
接接面と余接面のプロパティ
タンジェント関数とコタンジェント関数のグラフは、サイン関数やコサイン関数とは大きく異なります。 tg と ctg の値は相互に逆数です。
- Y = タン x。
- 接線は、x = π/2 + πk での y の値に向かう傾向がありますが、それらには決して到達しません。
- 接線の最小の正の周期は π です。
- Tg (- x) = - tg x、つまり関数は奇数です。
- Tg x = 0、x = πk。
- 機能が増えています。
- Tg x › 0、x ϵ (πk、π/2 + πk) の場合。
- Tg x ‹ 0、x ϵ (— π/2 + πk, πk)。
- 導関数 (tg x)’ = 1/cos 2 x。
本文中の以下のコタンジェントイドのグラフィック イメージを考えてみましょう。
コタンジェントイドの主な特性:
- Y = 簡易ベッド x。
- サイン関数やコサイン関数とは異なり、タンジェントイドでは Y はすべての実数のセットの値を取ることができます。
- コタンジェントイドは、x = πk での y の値に近づく傾向がありますが、それらには決して到達しません。
- コタンジェントイドの最小の正の周期は π です。
- Ctg (- x) = - ctg x、つまり関数は奇数です。
- Ctg x = 0、x = π/2 + πk。
- 機能が低下しています。
- Ctg x › 0、x ϵ (πk、π/2 + πk) の場合。
- Ctg x ‹ 0、x ϵ (π/2 + πk, πk) の場合。
- 導関数 (ctg x)’ = - 1/sin 2 x 正解
副鼻腔直角三角形の鋭角αは比です 反対脚から斜辺まで。
それは次のように表されます: sin α。
余弦直角三角形の鋭角 α は、隣接する脚と斜辺の比です。
それは次のように指定されます: cos α。
正接鋭角 α は、隣接する辺に対する反対側の辺の比です。
それは次のように指定されます:tg α。
コタンジェント鋭角 α は、隣接する辺と反対側の辺の比です。
これは、ctg α として指定されます。
角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントは、角度の大きさにのみ依存します。
ルール:
基本 三角恒等式直角三角形の場合：
(α – 脚の反対側の鋭角 b そして脚の隣に ある 。 側 と – 斜辺。 β – 2 番目の鋭角)。
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
ある | 1 | |
b | 1 | |
ある | 1 1 | |
罪α |
鋭角が大きくなるにつれて罪αとTanαが増加し、cosαが減少します。
任意の鋭角 α の場合:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
例と説明:
直角三角形ABCを入れてみましょう
AB = 6、
BC = 3、
角度 A = 30°。
角度Aのサインと角度Bのコサインを求めてみましょう。
解決 。
1) まず、角度 B の値を求めます。ここではすべてが簡単です。直角三角形では鋭角の合計が 90 度であるため、角度 B = 60 度になります。
B = 90° – 30° = 60°。
2) sin A を計算してみましょう。sin は斜辺の反対側の比に等しいことがわかっています。 角度Aの場合 反対側太陽の側です。 それで：
紀元前3 1
sin A = -- = - = -
AB62
3) 次に、cos B を計算しましょう。コサインは、隣接する脚と斜辺の比に等しいことがわかっています。 角度 B の場合、隣接する脚は同じサイド BC です。 これは、再び BC を AB で割る必要があることを意味します。つまり、角度 A の正弦を計算するときと同じ操作を実行します。
紀元前3 1
cos B = -- = - = -
AB62
結果は次のとおりです。
sin A = cos B = 1/2。
sin 30° = cos 60° = 1/2。
このことから、直角三角形では、ある鋭角のサインは別の鋭角のコサインに等しく、またその逆も成り立ちます。 これはまさに 2 つの式が意味するものです。
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
これをもう一度確認してみましょう。
1) α = 60°とします。 α の値をサイン公式に代入すると、次のようになります。
sin (90° – 60°) = cos 60°。
sin 30° = cos 60°。
2) α = 30°とします。 α の値をコサイン公式に代入すると、次のようになります。
cos (90° – 30°) = sin 30°。
cos 60° = sin 30°。
(三角法の詳細については、「代数」セクションを参照してください)