入り口平面が通過する方程式。 平行面の方程式。 空間内の線形不等式
設定できます 違う方法(1 つの点とベクトル、2 つの点とベクトル、3 つの点など)。 これを念頭に置いた上で、平面の方程式は次のようになります。 異なる種類。 また、特定の条件に従って、平面は平行、垂直、交差などになることがあります。 この記事ではこれについて説明します。 平面の一般方程式の作り方などを学びます。
方程式の正規形
直交する XYZ 座標系を持つ空間 R 3 があるとします。 最初の点 O から解放されるベクトル α を定義しましょう。ベクトル α の端を通して、それに垂直な平面 P を描きます。
P 上の任意の点を Q = (x, y, z) と表します。 点 Q の動径ベクトルに文字 p を付けてみましょう。 この場合、ベクトル α の長さは、р=IαI および Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ) に等しくなります。
ベクトルαと同様に横向きの単位ベクトルです。 α、β、γ は、それぞれベクトル Ʋ と空間軸 x、y、z の正の方向との間に形成される角度です。 任意の点 QϵП のベクトル Ʋ への射影は、p に等しい定数値です: (p,Ʋ) = p(p≥0)。
上の方程式は、p=0 の場合に意味を成します。 唯一のことは、この場合の平面 P は座標の原点である点 O (α=0) と交差し、点 O から放たれる単位ベクトル Ʋ はその向きに関係なく P に垂直になるということです。ベクトルƲが符号に対して正確に決定されることを意味します。 前述の方程式は、ベクトル形式で表された平面 P の方程式です。 しかし、座標では次のようになります。
ここでの P は 0 以上です。正規形の空間における平面の方程式が見つかりました。
一般式
座標の方程式にゼロ以外の数値を乗算すると、まさにその平面を定義する、これと等価な方程式が得られます。 次のようになります。
ここで、A、B、C は同時にゼロとは異なる数です。 この方程式を一般平面方程式といいます。
平面の方程式。 特殊なケース
の方程式 一般的な見解追加の条件に従って変更される場合があります。 それらのいくつかを見てみましょう。
係数 A が 0 であると仮定します。これは、この平面が指定された Ox 軸に平行であることを意味します。 この場合、方程式の形式は Ву+Cz+D=0 のように変わります。
同様に、方程式の形式は次の条件下で変化します。
- まず、B = 0 の場合、方程式は Ax + Cz + D = 0 に変わり、Oy 軸との平行度を示します。
- 次に、C=0 の場合、方程式は Ax+By+D=0 に変換され、指定された Oz 軸との平行度を示します。
- 第三に、D=0 の場合、方程式は Ax+By+Cz=0 のようになり、平面が O (原点) と交差することを意味します。
- 第 4 に、A=B=0 の場合、方程式は Cz+D=0 に変わり、Oxy と平行であることがわかります。
- 第 5 に、B=C=0 の場合、方程式は Ax+D=0 になります。これは、Oyz に対する平面が平行であることを意味します。
- 第 6 に、A=C=0 の場合、方程式は Ву+D=0 の形式になります。つまり、並列性が Oxz に報告されます。
セグメントの方程式のタイプ
数値 A、B、C、D がゼロではない場合、式 (0) の形式は次のようになります。
x/a + y/b + z/c = 1、
ここで、a = -D/A、b = -D/B、c = -D/C。
この平面は、座標 (a,0,0)、Oy - (0,b,0)、および Oz - (0,0,c) の点で Ox 軸と交差することに注意してください。 ）。
方程式 x/a + y/b + z/c = 1 を考慮すると、特定の座標系に対する平面の配置を視覚的に想像するのは難しくありません。
法線ベクトル座標
平面 P に対する法線ベクトル n には係数となる座標があります。 一般方程式与えられた平面、つまり n (A、B、C) の。
法線 n の座標を決定するには、特定の平面の一般方程式を知るだけで十分です。
x/a + y/b + z/c = 1 の形式を持つ方程式をセグメントで使用する場合は、一般方程式を使用する場合と同様に、特定の平面の法線ベクトルの座標を次のように書くことができます。(1/a + 1/b + 1/ 付き）。
法線ベクトルがさまざまな問題の解決に役立つことは注目に値します。 最も一般的なものには、平面の垂直度または平行度を証明する問題、平面間の角度、または平面と直線間の角度を求める問題が含まれます。
点と法線ベクトルの座標に応じた平面方程式の種類
特定の平面に垂直な非ゼロのベクトル n は、特定の平面の法線と呼ばれます。
座標空間 (直交座標系) で Oxyz が与えられると仮定します。
- 座標 (xₒ,yₒ,zₒ) を持つ点 Mₒ;
- ゼロベクトル n=A*i+B*j+C*k。
点 Mₒ を通り法線 n に垂直な平面の方程式を作成する必要があります。
空間内の任意の点を選択し、それを M (x y, z) と表します。 任意の点 M (x,y,z) の半径ベクトルを r=x*i+y*j+z*k とし、点 Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* の半径ベクトルとする。 i+yₒ*j+zₒ*k。 ベクトル MₒM がベクトル n に垂直であれば、点 M は特定の平面に属します。 スカラー積を使用して直交条件を書いてみましょう。
[MₒM, n] = 0。
MₒM = r-rₒ であるため、平面のベクトル方程式は次のようになります。
この方程式は別の形式をとることもできます。 これを行うには、スカラー積の特性が使用され、方程式の左側が変換されます。 = - 。 これを c と表すと、次の方程式が得られます: - c = 0 または = c。これは、平面に属する指定された点の動径ベクトルの法線ベクトルへの投影の恒常性を表します。
これで、平面 = 0 のベクトル方程式を記述する座標形式を取得できます。 r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k、および n = A*i+B *j+С*k の場合、次のようになります。
法線 n に垂直な点を通過する平面の方程式があることがわかります。
A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0。
2 点の座標と平面と同一線上にあるベクトルに基づく平面方程式のタイプ
2 つの任意の点 M' (x',y',z') および M'' (x'',y'',z'') とベクトル a (a',a'',a‴) を定義しましょう。
これで、既存の点 M' と M''、および指定されたベクトル a に平行な座標 (x, y, z) を持つ任意の点 M を通過する指定された平面の方程式を作成できます。
この場合、ベクトル M'M=(x-x';y-y';z-z') および M''M=(x''-x';y''-y';z''-z') は、ベクトルと同一平面上にある必要があります。 a=(a',a'',a‴)、これは (M'M, M''M, a)=0 を意味します。
したがって、空間における平面方程式は次のようになります。
3 点と交差する平面の方程式の種類
同じ直線に属さない 3 つの点 (x′,y′,z′)、(x″,y″,z″)、(x‴,y‴,z‴) があるとします。 与えられた３点を通る平面の方程式を書く必要があります。 幾何学の理論では、この種の平面は実際に存在すると主張していますが、それは唯一のものであり、ユニークです。 この平面は点 (x',y',z') と交差するため、方程式の形式は次のようになります。
ここで、A、B、C は同時にゼロとは異なります。 また、指定された平面はさらに 2 つの点 (x'',y'',z'') と (x‴,y‴,z‴) と交差します。 この点に関して、次の条件を満たす必要があります。
これで、未知数 u、v、w を含む同次系を作成できます。
私たちの中で ケースx、yまたは、z は式 (1) を満たす任意の点として機能します。 方程式 (1) と方程式系 (2) および (3) を考慮すると、上図に示された方程式系はベクトル N (A,B,C) によって満たされますが、これは自明ではありません。 このシステムの行列式がゼロに等しいのはこのためです。
得られた式(1)は平面の方程式です。 正確に3点を通過するので確認しやすいです。 これを行うには、行列式を最初の行の要素に展開する必要があります。 行列式の既存の性質から、平面は最初に与えられた 3 つの点 (x′,y′,z′)、(x″,y″,z″)、(x‴,y‴,z‴) と同時に交差することがわかります。 。 つまり、私たちは自分に割り当てられた課題を解決しました。
平面間の上反角
二面角は空間を表します 幾何学模様、1 本の直線から伸びる 2 つの半平面によって形成されます。 言い換えれば、これはこれらの半平面によって制限される空間の部分です。
次の方程式を持つ 2 つの平面があるとします。
次の式に従って、ベクトル N=(A,B,C) と N¹=(A¹,B¹,C¹) が垂直であることがわかります。 与えられた飛行機。 この点に関して、ベクトル N と N¹ の間の角度 φ は、これらの平面の間に位置する角度 (二面角) に等しくなります。 スカラー積の形式は次のとおりです。
NN¹=|N||N¹|cos φ、
まさにそのため
cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²))。
0≤φ≤π を考慮すれば十分です。
実際、交差する 2 つの平面は 2 つの角度 (二面角)、φ 1 と φ 2 を形成します。 それらの合計は π (φ 1 + φ 2 = π) に等しくなります。 それらの余弦は、絶対値が等しいですが、符号が異なります。つまり、cos φ 1 = -cos φ 2 となります。 方程式 (0) で A、B、C をそれぞれ数字 -A、-B、-C に置き換えると、得られる方程式は同じ平面、唯一の平面、方程式 cos の角度 φ を決定します。 φ= NN 1 /| N||N 1 | は π-φ に置き換えられます。
垂直面の方程式
間の角度が 90 度である平面は垂直と呼ばれます。 上に示した材料を使用すると、別の平面に垂直な平面の方程式を見つけることができます。 Ax+By+Cz+D=0 と A¹x+B¹y+C¹z+D=0 の 2 つの平面があるとします。 cosφ=0であれば直交すると言えます。 これは、NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0を意味します。
平行平面の方程式
共通点を含まない 2 つの平面は平行と呼ばれます。
条件 (それらの方程式は前の段落と同じです) は、それらに垂直なベクトル N と N¹ が同一線上にあることです。 これは、次の比例条件が満たされていることを意味します。
A/A¹=B/B¹=C/C¹。
比例条件を拡張すると、A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹、
これは、これらの平面が一致していることを示します。 これは、方程式 Ax+By+Cz+D=0 および A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 が 1 つの平面を表すことを意味します。
点から平面までの距離
方程式 (0) で与えられる平面 P があるとします。 座標(xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒの点からそこまでの距離を求める必要があります。 これを行うには、平面 P の方程式を正規形にする必要があります。
(ρ,v)=р (р≥0)。
この場合、ρ (x,y,z) は P 上にある点 Q の動径ベクトル、p はゼロ点から解放された垂線 P の長さ、v は単位ベクトルで、方向
P に属するある点 Q = (x, y, z) の差 ρ-ρ° 半径ベクトル、および与えられた点 Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) の半径ベクトルもそのようなベクトルです。 v への投影の絶対値は、Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) から P までの距離 d に等しくなります。
D=|(ρ-ρ 0 ,v)| しかし、
(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v)。
それで判明しました
d=|(ρ 0 ,v)-р|。
それで私たちは見つけます 絶対値結果として得られる式、つまり目的の d。
パラメーター言語を使用すると、明らかなことがわかります。
d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²)。
もし 設定点 Q 0 は座標の原点のように、平面 P の反対側にあり、したがってベクトル ρ-ρ 0 と v の間に位置します。
d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0。
点 Q 0 が座標の原点とともに P の同じ側に位置する場合、作成される角度は鋭角になります。
d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 ,v)>0。
その結果、最初のケースでは (ρ 0 ,v)>р、2 番目のケースでは (ρ 0 ,v) であることがわかります。<р.
接平面とその方程式
接触点 M° における表面への接平面は、表面上のこの点を通って引かれた曲線へのすべての可能な接線を含む平面です。
このタイプの表面方程式 F(x,y,z)=0 では、接点 M°(x°,y°,z°) における接平面の方程式は次のようになります。
F x (x°,y°,z°)(x- x°)+ F x (x°, y°, z°)(y- y°)+ F x (x°, y°,z°)(z-z°)=0。
明示的な形式 z=f (x,y) でサーフェスを指定すると、接平面は次の方程式で記述されます。
z-z° =f(x°, y°)(x- x°)+f(x°, y°)(y- y°)。
2 つの平面の交点
Oxyz が位置する座標系 (長方形) には、交差して一致しない 2 つの平面 П′ と П″ が与えられます。 直交座標系にある平面は一般方程式によって決定されるため、P' と P'' は式 A'x+B'y+C'z+D'=0 および A''x で与えられると仮定します。 +B”y+С”z+D”=0。 この場合、平面 P' の法線 n' (A',B',C') と平面 P'' の法線 n'' (A'',B'',C'') があります。 私たちの平面は平行ではなく、一致しないため、これらのベクトルは同一線上にありません。 数学の言語を使用すると、この条件は次のように書くことができます: n'≠ n'' ↔ (A',B',C') ≠ (λ*A'',λ*B'',λ*C''), λϵR。 P' と P'' の交点にある直線を文字 a で表すとします。この場合、a = P' ∩ P''。
aは、(共通)平面P'およびP''のすべての点の集合からなる直線です。 これは、線 a に属する任意の点の座標が方程式 A'x+B'y+C'z+D'=0 および A''x+B''y+C''z+D''=0 を同時に満たさなければならないことを意味します。 。 これは、点の座標が次の方程式系の部分解となることを意味します。
その結果、この連立方程式の（一般的な）解法により、P' と P'' の交点となる直線の各点の座標が決まり、直線が決定されることがわかります。空間の Oxyz (直方体) 座標系における a。
同じ線上にない 3 つの与えられた点を通過する平面の方程式を見つける必要があるとします。 それらの半径ベクトルを 、現在の半径ベクトルを で表すと、必要な方程式をベクトル形式で簡単に取得できます。 実際、ベクトルは同一平面上にある必要があります (ベクトルはすべて目的の平面内にあります)。 したがって、これらのベクトルのベクトルとスカラー積はゼロに等しくなければなりません。
これは、指定された 3 つの点を通過する平面の方程式をベクトル形式で表したものです。
座標に移ると、座標の方程式が得られます。
指定された 3 つの点が同じ線上にある場合、ベクトルは同一線上になります。 したがって、式 (18) の行列式の最後の 2 行の対応する要素は比例し、行列式はまったくゼロに等しくなります。 したがって、式 (18) は x、y、z のどの値についても同一になります。 幾何学的に、これは、空間内の各点を介して、指定された 3 つの点が存在する平面を通過することを意味します。
注 1. ベクトルを使用しなくても同じ問題を解くことができます。
与えられた 3 つの点の座標をそれぞれ示し、最初の点を通過する任意の平面の方程式を書きます。
目的の平面の方程式を取得するには、方程式 (17) が他の 2 点の座標によって満たされることを要求する必要があります。
式(19)から、2つの係数と3番目の係数の比を決定し、求められた値を式(17)に入力する必要があります。
例 1. 点を通過する平面の方程式を書きます。
これらの点の最初の点を通過する平面の方程式は次のようになります。
平面 (17) が他の 2 点と最初の点を通過するための条件は次のとおりです。
2 番目の方程式を最初の方程式に追加すると、次のようになります。
2 番目の方程式に代入すると、次のようになります。
式 (17) に A、B、C の代わりに、それぞれ 1、5、-4 (これらに比例する数値) を代入すると、次のようになります。
例 2. 点 (0, 0, 0)、(1, 1, 1)、(2, 2, 2) を通過する平面の方程式を書きます。
点 (0, 0, 0) を通過する任意の平面の方程式は次のようになります。
この平面が点 (1, 1, 1) と (2, 2, 2) を通過するための条件は次のとおりです。
2 番目の方程式を 2 で減らすと、2 つの未知数を決定するには、次の式が 1 つ存在することがわかります。
ここから、 が得られます。 ここで、平面の値を方程式に代入すると、次のことがわかります。
これは目的の平面の方程式です。 それは任意に依存します
量 B、C (つまり、関係から、つまり、3 つの与えられた点を通過する無限の数の平面が存在します (3 つの与えられた点は同じ直線上にあります)。
注 2. 同じ線上にない 3 つの与えられた点を通る平面を描く問題は、行列式を使用すれば一般形式で簡単に解くことができます。 実際、方程式 (17) と (19) では、係数 A、B、C が同時に 0 に等しくなることはありえないため、これらの方程式を 3 つの未知数 A、B、C を持つ均質系と考えると、必要かつ十分な式を書くことができます。ゼロとは異なる、この系の解が存在する条件 (パート 1、第 VI 章、§ 6):
この行列式を最初の行の要素に拡張すると、現在の座標に関する 1 次の方程式が得られます。これは、特に指定された 3 つの点の座標によって満たされます。
後者は、 の代わりにこれらの点の座標を代入して直接検証することもできます。 左側では、最初の行の要素がゼロであるか、または 2 つの同一の行が存在する行列式が得られます。 したがって、構築された方程式は、指定された 3 つの点を通過する平面を表します。
このレッスンでは、行列式を使用して作成する方法を見ていきます。 平面方程式。 行列式が何なのかわからない場合は、レッスンの最初の部分「行列と行列式」に進んでください。 そうしないと、今日の内容を何も理解できなくなる危険があります。
3 点を使用した平面の方程式
そもそもなぜ平面方程式が必要なのでしょうか? それは簡単です。それがわかれば、問題 C2 の角度、距離、その他のくだらない計算を簡単に計算できます。 一般に、この方程式なしではやっていけません。 したがって、次のように問題を定式化します。
タスク。 同じ線上にない空間に 3 つの点が与えられます。 彼らの座標:
M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);これら 3 点を通過する平面の方程式を作成する必要があります。 さらに、方程式は次のようになります。
Ax + By + Cz + D = 0
ここで、数値 A、B、C、D は実際に見つける必要がある係数です。
さて、点の座標だけがわかっている場合、どうやって平面の方程式を求めるのでしょうか? 最も簡単な方法は、座標を方程式 Ax + By + Cz + D = 0 に代入することです。簡単に解ける 3 つの方程式系が得られます。
多くの学生は、この解決策は非常に面倒で信頼性が低いと感じています。 昨年の数学の統一州試験では、計算ミスをする可能性が非常に高いことが示されました。
したがって、最も先進的な教師は、よりシンプルで洗練されたソリューションを探し始めました。 そして彼らはそれを見つけたのです！ 確かに、得られた技術はむしろ高等数学に関連しています。 私個人としては、何の正当性も証拠もなくこの手法を使用する権利があることを確認するために、連邦教科書のリスト全体を調べなければなりませんでした。
行列式による平面の方程式
歌詞はこれくらいにして、本題に入りましょう。 まずは行列の行列式と平面方程式の関係についての定理。
定理。 平面を描画するために通過する 3 点の座標を次のように指定します。 M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3)。 次に、この平面の方程式は行列式を介して次のように書くことができます。
例として、問題 C2 で実際に発生する平面のペアを見つけてみましょう。 すべてがどれほど速く計算されるかを見てください。
A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);
行列式を作成し、それをゼロと同等とします。
行列式を展開します。
a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;
ご覧のとおり、数値 d を計算するとき、変数 x、y、z が正しい順序になるように方程式を少し「検討」しました。 それだけです！ 平面の方程式が完成しました!
タスク。 点を通過する平面の方程式を書きます。
A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);
すぐに点の座標を行列式に代入します。
行列式を再度展開します。
a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;
ということで、再び平面方程式が得られました！ 繰り返しますが、最後のステップで、より「美しい」式を得るために記号を変更する必要がありました。 この解決策ではこれを行う必要はまったくありませんが、問題のさらなる解決策を簡素化するために、そうすることをお勧めします。
ご覧のとおり、平面の方程式を作成するのがはるかに簡単になりました。 行列に点を代入し、行列式を計算します。これで方程式の準備は完了です。
これでレッスンが終了する可能性があります。 しかし、多くの学生は行列式の中身を常に忘れてしまいます。 たとえば、どの行に x 2 または x 3 が含まれているか、どの行に x だけが含まれているかなどです。 この問題を本当に解決するために、それぞれの数字がどこから来たのかを見てみましょう。
行列式を含む公式はどこから来たのでしょうか?
それでは、行列式を含むこのような厳しい方程式がどこから来たのかを考えてみましょう。 これは、それを覚えてうまく適用するのに役立ちます。
問題 C2 に登場するすべての平面は 3 つの点によって定義されます。 これらの点は常に図面上にマークされているか、問題の本文に直接示されている場合もあります。 いずれの場合でも、方程式を作成するには、座標を書き留める必要があります。
M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3)。
任意の座標を持つ平面上の別の点を考えてみましょう。
T = (x, y, z)
最初の 3 つの点 (たとえば、点 M) から任意の点を取得し、そこから残りの 3 つの点のそれぞれにベクトルを描画します。 3 つのベクトルが得られます。
MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 )。
ここで、これらのベクトルから正方行列を構成し、その行列式をゼロとみなしてみましょう。 ベクトルの座標は行列の行になり、定理で示されているまさに行列式が得られます。
この式は、ベクトル MN、MK、MT 上に構築される平行六面体の体積がゼロに等しいことを意味します。 したがって、3 つのベクトルはすべて同じ平面上にあります。 特に、任意の点 T = (x, y, z) はまさに私たちが探していたものです。
行列式の点と線を置き換える
行列式には、それをさらに簡単にするいくつかの優れた特性があります。 問題 C2 の解決策。 たとえば、どの点からベクトルを描くかは私たちにとって重要ではありません。 したがって、次の行列式は上記と同じ平面方程式を与えます。
行列式の行を入れ替えることもできます。 方程式は変わりません。 たとえば、多くの人は点 T = (x; y; z) の座標を一番上に持つ線を書きたがります。 ご都合がよければ：
行の 1 つに変数 x、y、z が含まれており、点を置き換えてもこれらの変数が消えないという事実に混乱する人もいます。 しかし、彼らは消えてはいけません！ 行列式に数値を代入すると、次の構造が得られます。
次に、レッスンの最初に示した図に従って行列式が展開され、平面の標準方程式が得られます。
Ax + By + Cz + D = 0
例を見てみましょう。 今日のレッスンの最後です。 答えが同じ平面の方程式を与えるように、意図的に行を入れ替えます。
タスク。 点を通過する平面の方程式を書きます。
B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1)。
そこで、次の 4 つのポイントを考慮します。
B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z)。
まず、標準の行列式を作成し、それをゼロとみなします。
行列式を展開します。
a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;
以上です。x + y + z − 2 = 0 という答えが得られました。
ここで、行列式の数行を並べ替えて、何が起こるかを見てみましょう。 たとえば、変数 x、y、z を一番下ではなく一番上に持つ行を書いてみましょう。
結果の行列式を再度展開します。
a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;
まったく同じ平面方程式、x + y + z − 2 = 0 が得られました。これは、実際には行の順序に依存しないことを意味します。 あとは答えを書き留めるだけです。
したがって、平面の方程式は直線の順序に依存しないと確信しています。 同様の計算を実行すると、平面の方程式が他の点から座標を差し引く点に依存しないことが証明できます。
上で検討した問題では、点 B 1 = (1, 0, 1) を使用しましたが、C = (1, 1, 0) または D 1 = (0, 1, 1) を採用することも十分に可能でした。 一般に、目的の平面上にある既知の座標を持つ任意の点。
最初のレベル
座標とベクトル。 総合ガイド (2019)
この記事では、多くの幾何学問題を単純な算術に落とし込むことを可能にする 1 つの「魔法の杖」について説明します。 この「スティック」を使用すると、特に空間図形やセクションなどの構築に自信が持てないときに、作業がはるかに楽になります。これにはすべて、一定の想像力と実践的なスキルが必要です。 ここで検討を開始する方法を使用すると、あらゆる種類の幾何学的構造や推論をほぼ完全に抽象化できます。 メソッドは次のように呼ばれます 「コーディネートメソッド」。 この記事では、次の質問について検討します。
- 座標平面
- 平面上の点とベクトル
- 2 点からベクトルを構築する
- ベクトルの長さ (2 点間の距離)
- セグメントの中央の座標
- ベクトルの内積
- 2 つのベクトル間の角度
座標メソッドがなぜそのように呼ばれるかはすでに想像できたと思います。 そう、幾何学的な物体ではなく、その数値的な性質（座標）を使って動作することからこの名前がついたのです。 そして、幾何学から代数への移行を可能にする変換そのものは、座標系を導入することにあります。 元の図形が平面であれば座標は 2 次元、図形が 3 次元であれば座標は 3 次元になります。 この記事では、2 次元の場合のみを検討します。 そして、この記事の主な目的は、座標法のいくつかの基本的なテクニックの使用方法を教えることです (これらのテクニックは、統一州試験のパート B の面積測定の問題を解くときに役立つことがあります)。 このトピックに関する次の 2 つのセクションでは、問題 C2 (立体測定の問題) を解決する方法について説明します。
座標方法についてどこから議論するのが論理的でしょうか? おそらく座標系の概念から来ているのでしょう。 初めて彼女に出会ったときのことを思い出してください。 たとえば、一次関数の存在を習ったのは中学一年生のときだったと思います。 ポイントごとに構築したことを思い出させてください。 覚えていますか？ 任意の数値を選択し、それを式に代入して、そのように計算しました。 たとえば、if、then、if、then など、最終的に何が得られましたか? そして、座標付きのポイントを受け取りました: そして。 次に、「十字」（座標系）を描き、その上でスケール（単位セグメントとして持つセルの数）を選択し、その上に得られた点をマークし、それを直線で結んだ結果、次のようになります。折れ線は関数のグラフです。
ここでもう少し詳しく説明する必要がある点がいくつかあります。
1. すべてが図面内に美しくコンパクトに収まるように、便宜上 1 つのセグメントを選択します。
2. 軸は左から右へ、軸は下から上へ向かうことが認められます
3. それらは直角に交差し、その交点を原点と呼びます。 それは文字で示されます。
4. たとえば点の座標を書く場合、括弧内の左側には軸に沿った点の座標があり、右側には軸に沿った点の座標があります。 特に、それは単にその時点で次のことを意味します
5. 座標軸上の任意の点を指定するには、その座標 (2 つの数字) を指定する必要があります。
6. 軸上にある任意の点について、
7. 軸上にある任意の点について、
8. 軸は x 軸と呼ばれます
9. 軸は y 軸と呼ばれます
次のステップに進みましょう。2 つの点にマークを付けます。 これら 2 点を線分で結びましょう。 そして、点から点へ線分を描くかのように矢印を配置します。つまり、線分に方向性を持たせます。
もう 1 つの方向セグメントが何と呼ばれているか覚えていますか? そうです、それはベクトルと呼ばれるものです！
したがって、点と点を接続すると、 始まりは点A、終わりは点Bになります。次にベクトルを取得します。 あなたもこの工作を中学 2 年生のときにやったのを覚えていますか?
ベクトルは、点と同様に 2 つの数値で表すことができることがわかりました。これらの数値はベクトル座標と呼ばれます。 質問: ベクトルの座標を見つけるには、ベクトルの先頭と末尾の座標がわかれば十分だと思いますか? そうです！ そして、これは非常に簡単に行われます。
したがって、ベクトルでは点が開始点であり、点が終了点であるため、ベクトルの座標は次のようになります。
たとえば、次の場合、ベクトルの座標は
今度は逆のことをして、ベクトルの座標を見つけてみましょう。 そのためには何を変える必要があるでしょうか? はい、始まりと終わりを入れ替える必要があります。これで、ベクトルの始まりが点に、終わりが点になります。 それから：
よく見てください、ベクトルとベクトルの違いは何ですか? 唯一の違いは座標の符号です。 彼らは正反対です。 この事実は通常次のように書かれます。
場合によっては、どの点がベクトルの始点でどの点が終点であるかが具体的に指定されていない場合、ベクトルは 2 つの大文字ではなく 1 つの小文字で示されます (例: など)。
さあ、少し 練習する自分で調べて、次のベクトルの座標を見つけます。
検査：
次に、もう少し難しい問題を解決します。
点で始まるベクトルには、co-or-di-na-you があります。 abs-cis-su 点を見つけます。
同じことは非常に平凡です。点の座標を とします。 それから
ベクトル座標とは何かという定義に基づいてシステムをコンパイルしました。 次に、その点には座標があります。 横座標に興味があります。 それから
答え：
ベクトルを使って他に何ができるでしょうか? はい、ほとんどすべてが通常の数値と同じです (除算はできませんが、2 つの方法で乗算ができる点を除きます。そのうちの 1 つについては後で説明します)。
- ベクトルは互いに追加できます
- ベクトルは互いに減算できます
- ベクトルはゼロ以外の任意の数値で乗算 (または除算) できます。
- ベクトルは互いに乗算できます
これらすべての操作は非常に明確な幾何学的表現を持っています。 たとえば、足し算と引き算の三角形 (または平行四辺形) ルールは次のとおりです。
ベクトルは、数値を乗算または除算すると、伸びたり縮んだり、方向を変えたりします。
ただし、ここでは座標がどうなるかという問題に興味があります。
1. 2 つのベクトルを加算 (減算) する場合、それらの座標を要素ごとに加算 (減算) します。 あれは：
2. ベクトルを数値で乗算 (除算) する場合、そのすべての座標がこの数値で乗算 (除算) されます。
例えば：
· co-or-di-nat Century-to-RAの量を求めます。
まず各ベクトルの座標を見つけてみましょう。 両方とも同じ原点、つまり原点を持っています。 それらの目的は異なります。 それから、 。 次に、ベクトルの座標を計算してみましょう。結果のベクトルの座標の合計は等しくなります。
答え：
次の問題を自分で解決してください。
· ベクトル座標の和を求める
私たちは以下をチェックします:
ここで次の問題を考えてみましょう。座標平面上に 2 つの点があります。 それらの間の距離を見つけるにはどうすればよいですか? 最初の点を次の点としましょう。 それらの間の距離を で表しましょう。 わかりやすくするために次の図を作成してみましょう。
私が何をしてしまったのか？ まず点を結び、さらにその点から軸に平行な線を引き、その点から軸に平行な線を引きます。 それらはある点で交差し、注目すべき図形を形成したのでしょうか？ 彼女の何がそんなに特別なのでしょうか？ はい、あなたも私も直角三角形についてほぼすべてを知っています。 そうですね、確かにピタゴラスの定理ですね。 必要なセグメントはこの三角形の斜辺であり、そのセグメントは脚です。 点の座標は何ですか? はい、図から簡単に見つけることができます。セグメントは軸に平行であるため、それぞれの長さを見つけるのは簡単です。セグメントの長さをそれぞれ で表すと、次のようになります。
ここでピタゴラスの定理を使ってみましょう。 脚の長さがわかっているので、斜辺を見つけます。
したがって、2 点間の距離は、座標との差の二乗和の根になります。 または - 2 つの点の間の距離は、それらを接続する線分の長さになります。 点間の距離が方向に依存しないことが簡単にわかります。 それから：
ここから、次の 3 つの結論が導き出されます。
2 点間の距離の計算について少し練習してみましょう。
たとえば、次の場合、 と の間の距離は次のようになります。
または、別の方法でベクトルの座標を見つけてみましょう。
そしてベクトルの長さを求めます。
ご覧のとおり、同じものです！
では、自分でも少し練習してみましょう。
タスク: 指定された点間の距離を求める:
私たちは以下をチェックします:
少し違うように聞こえますが、同じ公式を使用した問題をさらにいくつか示します。
1. まぶたの長さの二乗を求めます。
2. まぶたの長さの二乗を求めます
問題なく対処できたと思いますか？ 私たちは以下をチェックします:
1. これは注意のためです) ベクトルの座標はすでに見つけています: 。 次に、ベクトルは座標を持ちます。 その長さの二乗は次のようになります。
2. ベクトルの座標を見つける
すると、その長さの二乗は次のようになります。
何も複雑なことはありませんね? 単純な算術、それ以上のものはありません。
以下の問題は明確に分類することはできません。一般的な知識と簡単な絵を描く能力が問われます。
1. 横軸と点を結ぶカットからの角度の正弦を求めます。
そして
ここはどうやって進めばいいのでしょうか？ と軸の間の角度の正弦を見つける必要があります。 正弦はどこで探せばいいのでしょうか？ そう、直角三角形です。 では、何をする必要があるのでしょうか？ この三角形を作ろう！
点の座標は and であるため、セグメントは and セグメントに等しくなります。 角度の正弦を見つける必要があります。 サインは斜辺の反対側の比であることを思い出してください。
私たちには何が残されているのでしょうか？ 斜辺を見つけます。 これを行うには 2 つの方法があります。1 つはピタゴラスの定理を使用する方法 (脚は既知です!)、もう 1 つは 2 点間の距離の公式を使用する方法 (実際には、最初の方法と同じです!) です。 私は 2 番目の方法で行きます。
答え：
次のタスクはさらに簡単に見えるでしょう。 彼女はその点の座標上にいます。
タスク2。その点から、per-pen-di-ku-lyar が ab-cis 軸上に下げられます。 ナイ・ディ・テ・アブ・シス・ス・オス・ノー・ヴァ・ニヤ・ペル・ペン・ディ・ク・ラ・ラ。
絵を描いてみましょう:
垂線の底辺は、x 軸 (軸) と交差する点であり、私にとってこれは点です。 この図は、座標が であることを示しています。 私たちは横座標、つまり「x」成分に興味があります。 彼女は平等だ。
答え： .
タスク3。前の問題の条件で、点から座標軸までの距離の和を求めます。
点から軸までの距離がわかっていれば、このタスクは一般的に初歩的なものです。 あなたが知っている？ そう願っていますが、それでも念を押しておきます。
では、上の図で、そのような垂線を既に描いたでしょうか? どの軸にあるのでしょうか？ 軸へ。 そしてその長さはどれくらいでしょうか？ 彼女は平等だ。 次に、自分で軸に垂線を引き、その長さを求めます。 平等になりますよね？ すると、それらの合計は等しくなります。
答え： .
タスク4。問題2の条件において、横軸に対して点と対称な点の縦軸を求めよ。
対称性が何であるかは直感的に理解できると思います。 多くの建物、テーブル、飛行機、球、円柱、正方形、菱形などの多くの幾何学的形状など、多くの物体にそれがあります。大まかに言えば、対称性は次のように理解できます。図形は 2 つ (またはそれ以上) の同一の半分で構成されています。 この対称性を軸対称といいます。 では軸とは何でしょうか？ これはまさに、相対的に言えば、図を等しい半分に「切断」できる線です (この図では、対称軸は直線です)。
さて、タスクに戻りましょう。 軸に関して対称な点を探していることがわかります。 そして、この軸が対称軸になります。 これは、軸がセグメントを 2 つの等しい部分に分割するように点をマークする必要があることを意味します。 そのような点を自分でマークしてみてください。 次に、私の解決策と比較してください。
あなたにとっても同じようにうまくいきましたか？ 大丈夫！ 見つかった点の座標に興味があります。 平等です
答え：
さて、数秒考えた後、縦軸に対して点 A に対称な点の横軸は何になるでしょうか? あなたの答えは何ですか？ 正解： 。
一般に、ルールは次のように記述できます。
横軸に対して対称な点の座標は次のとおりです。
縦軸に対して対称な点の座標は次のとおりです。
いや、もう完全に怖いですよ タスク: 原点に対して対称な点の座標を求めます。 まずは自分の頭で考えてから、私の絵を見てください！
答え：
今 平行四辺形の問題:
タスク 5: 点が ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma に表示されます。 その点で or-di-を見つけてください。
この問題は、ロジックと座標方法という 2 つの方法で解決できます。 最初に座標法を使用してから、別の方法で解決する方法を説明します。
点の横座標が等しいことは明らかです。 (点から横軸に引いた垂線上にあります)。 座標を見つける必要があります。 私たちの図形が平行四辺形であるという事実を利用しましょう。これはつまり、ということです。 2 点間の距離の公式を使用して、セグメントの長さを求めてみましょう。
点と軸を結ぶ垂線を下げます。 交点を文字で表します。
セグメントの長さは等しい。 (この点については、私たちが議論したところで自分で問題を見つけてください)、次に、ピタゴラスの定理を使用してセグメントの長さを求めます。
セグメントの長さはその縦座標と正確に一致します。
答え： .
別の解決策 (それを説明する図を示します)
解決策の進捗状況:
1. 行動
2. 点の座標と長さを見つけます
3. それを証明してください。
もう一つ セグメントの長さの問題:
三角形の上に点が表示されます。 平行な正中線の長さを求めます。
三角形の中心線は何か覚えていますか? したがって、このタスクはあなたにとって初歩的なものです。 覚えていない場合は、思い出させてください。三角形の中心線は、反対側の中点を結ぶ線です。 それは底辺と平行であり、その半分に等しい。
ベースはセグメントです。 先ほどの長さを調べる必要がありましたが、それは等しいです。 すると、中央の線の長さは半分になり、同じになります。
答え： .
コメント: この問題は別の方法で解決できます。これについては後で説明します。
それまでの間、ここにいくつかの問題があります。練習してください。非常に単純ですが、座標法の使い方が上手になるのに役立ちます。
1. ポイントはトラペションの上部です。 その正中線の長さを求めます。
2. ポイントと外観 ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma。 その点で or-di-を見つけてください。
3. カットした部分と点を結んで長さを求めます。
4. 座標平面上で色付きの図形の後ろの領域を見つけます。
5. na-cha-le ko-or-di-nat を中心とする円が点を通過します。 彼女のラジアスを見つけてください。
6. サークルのディテ・ラ・ディ・アスを見つけて、直角のカについて説明して、何かの頂点にはコーまたはディ・ナがある、あなたはとても責任がある
解決策:
1. 台形の正中線はその底辺の合計の半分に等しいことが知られています。 底は等しい、底。 それから
答え：
2. この問題を解決する最も簡単な方法は、(平行四辺形の規則) に注意することです。 ベクトルの座標を計算することは難しくありません。 ベクトルを追加すると、座標が追加されます。 次に座標があります。 ベクトルの原点はその座標を持つ点であるため、その点もこれらの座標を持ちます。 私たちは縦座標に興味があります。 彼女は平等だ。
答え：
3. 2 点間の距離の公式に従って直ちに行動します。
答え：
4. 写真を見て、影付きの領域が「挟まれている」 2 つの図を教えてください。 2つの正方形の間に挟まれています。 次に、目的の図形の面積は、大きな正方形の面積から小さな正方形の面積を引いたものに等しくなります。 小さな正方形の辺は点を結んだ線分であり、その長さは
すると、小さな正方形の面積は、
大きな正方形でも同じことを行います。その辺は点を結ぶ線分であり、その長さは次のようになります。
すると、大きな正方形の面積は、
次の式を使用して、目的の図形の面積を求めます。
答え：
5. 円が中心として原点を持ち、点を通過する場合、その半径はセグメントの長さに正確に等しくなります (図を作成すると、これがなぜ明白であるかがわかります)。 このセグメントの長さを調べてみましょう。
答え：
長方形に外接する円の半径は、その対角線の半分に等しいことが知られています。 2 つの対角線の長さを調べてみましょう (結局のところ、長方形では対角線は等しいのです!)。
答え：
さて、すべてに対処できましたか？ それを理解するのはそれほど難しくありませんでしたね? ここでのルールは 1 つだけです。それは、視覚的な画像を作成し、そこからすべてのデータを単に「読み取る」ことができることです。
もう残りわずかです。 文字通り、議論したい点があと 2 つあります。
この簡単な問題を解決してみましょう。 ２点とさせていただきます。 セグメントの中点の座標を見つけます。 この問題の解決策は次のとおりです。点を目的の中央にすると、その点の座標が決まります。
あれは： セグメントの中央の座標 = セグメントの端の対応する座標の算術平均。
このルールは非常に単純で、通常は生徒にとって困難を引き起こすことはありません。 どのような問題が発生し、どのように使用されるかを見てみましょう。
1. カットから探したり、探したり、ポイントを接続したり、
2. ポイントは世界トップのようです。 彼の dia-go-na-ley の per-re-se-che-niya を見つけてください。
3. 円の中心を見つけて、abs-cis-su、長方形の ka について記述-san-noy、何かの上部には co-or-di-na-you so-responsibility-but があります。
解決策:
1. 最初の問題は単に古典的なものです。 すぐにセグメントの中央を決定します。 座標があります。 縦軸は等しい。
答え：
2. この四角形は平行四辺形 (ひし形でも!) であることが簡単にわかります。 これは、辺の長さを計算し、互いに比較することで自分で証明できます。 平行四辺形について何を知っていますか? 対角線は交点によって半分に分割されます。 うん！ では、対角線の交点はどこになるでしょうか? これは対角線の真ん中です。 特に対角線を選択します。 この場合、点は座標を持ちます。点の縦座標は次のようになります。
答え：
3. 長方形に外接する円の中心は何と一致しますか? それは対角線の交点と一致します。 長方形の対角線について何を知っていますか? それらは等しく、交点によりそれらは半分に分割されます。 タスクは前のタスクに減らされました。 たとえば、対角線を考えてみましょう。 次に、 が外接円の中心であれば、 は中点になります。 座標を探しています。横座標は等しいです。
答え：
では、自分で少し練習してください。各問題の答えだけを示しますので、自分でテストしてください。
1. 円のディテ・ラ・ディ・アスを見つけて、三角のカについて説明して、何かの頂点にはコー・オア・ディ・ノー・ミスターがある
2. 円の中心を見つけて、三角の点について説明します。その頂点には座標があります。
3. 横軸に接する点を中心とする円はどのようなラジウサでなければなりませんか?
4. 軸とカットからの再切断点を見つけて、その点を接続し、
答え:
すべては成功しましたか？ 本当に期待しています！ さて、最後のひと押しです。 今は特に注意してください。 これから説明する内容は、パート B の座標法の単純な問題に直接関係しているだけでなく、問題 C2 の随所にも含まれています。
私がまだ守っていない約束はどれですか? 私が導入すると約束したベクトルの操作と、最終的に導入した操作を覚えていますか? 本当に何も忘れていませんか？ 忘れた！ ベクトル乗算の意味を説明するのを忘れていました。
ベクトルとベクトルを乗算するには 2 つの方法があります。 選択した方法に応じて、さまざまな性質のオブジェクトが取得されます。
外積は非常に巧妙に計算されます。 その方法とそれが必要な理由については、次の記事で説明します。 そして今回はスカラー積に焦点を当てます。
計算するには 2 つの方法があります。
ご想像のとおり、結果は同じになるはずです。 それでは、まず最初のメソッドを見てみましょう。
座標による内積
検索: - スカラー積の一般に受け入れられている表記法
計算式は次のとおりです。
つまり、スカラー積 = ベクトル座標の積の和です。
例：
探して
解決：
各ベクトルの座標を見つけてみましょう。
次の式を使用してスカラー積を計算します。
答え：
わかりますか、複雑なことはまったくありません。
さて、それでは自分で試してみてください。
· 何世紀にもわたるスカラー プロジェクトを見つけて、
あなたは管理しましたか？ もしかしたら小さな落とし穴に気づいたでしょうか？ 確認しよう：
前の問題と同様にベクトル座標です。 答え： 。
座標以外に、スカラー積を計算する別の方法があります。つまり、ベクトルの長さとそれらの間の角度の余弦を使用します。
ベクトルとベクトルの間の角度を示します。
つまり、スカラー積は、ベクトルの長さとそれらの間の角度の余弦の積に等しくなります。
最初の公式があり、それははるかに単純で、少なくともその中にコサインが含まれていないのに、なぜこの 2 番目の公式が必要なのでしょうか。 そして、これは、最初と 2 番目の式から、あなたと私がベクトル間の角度を見つける方法を推測できるようにするために必要です。
それでは、ベクトルの長さの公式を覚えてみましょう。
次に、このデータをスカラー積の式に代入すると、次のようになります。
しかし、別の方法では:
それで、あなたと私は何を手に入れましたか？ これで、2 つのベクトル間の角度を計算できる式が完成しました。 簡潔にするために次のように書かれることもあります。
つまり、ベクトル間の角度を計算するアルゴリズムは次のとおりです。
- 座標を介してスカラー積を計算します
- ベクトルの長さを求めて乗算します。
- ポイント 1 の結果をポイント 2 の結果で割ります。
例を使って練習してみましょう:
1. まぶたと間の角度を見つけます。 答えはグラドゥサーで答えてください。
2. 前の問題の条件で、ベクトル間の余弦を求めます。
やってみましょう。最初の問題を解決するのを手伝って、2 番目の問題は自分で解決してみてください。 同意する？ それでは始めましょう!
1. これらのベクトルは私たちの古い友人です。 すでにスカラー積を計算しましたが、それは等しかったです。 それらの座標は次のとおりです: 、 。 次に、それらの長さを求めます。
次に、ベクトル間のコサインを探します。
角度の余弦は何ですか? ここがコーナーです。
答え：
では、2 番目の問題を自分で解いて比較してみましょう。 非常に短い解決策だけを紹介します。
2. 座標があります、座標があります。
ベクトル間の角度を とすると、
答え：
試験問題のパート B でベクトルと座標法に直接関係する問題は非常にまれであることに注意してください。 ただし、C2 の問題の大部分は、座標系を導入することで簡単に解決できます。 したがって、この記事は、複雑な問題を解決するために必要な非常に賢い構造を作成するための基礎であると考えることができます。
座標とベクトル。 平均レベル
あなたと私はコーディネート方法の研究を続けています。 最後の部分では、次のことを可能にする多くの重要な公式を導き出しました。
- ベクトル座標を見つける
- ベクトルの長さを求めます (または、2 点間の距離)
- ベクトルを加算および減算します。 それらを実数で乗算します
- セグメントの中点を見つける
- ベクトルの内積を計算する
- ベクトル間の角度を求める
もちろん、座標方法全体がこの 6 点に当てはまるわけではありません。 これは、大学でよく知ることになる解析幾何学などの科学の基礎となっています。 単一の状態で問題を解決できる基盤を構築したいだけです。 テスト。 パート B のタスクを処理しました。今度は、まったく新しいレベルに進むときです。 この記事では、座標法に切り替えることが妥当な C2 問題を解決する方法について説明します。 この合理性は、問題で何が求められているか、どのような数値が与えられているかによって決まります。 したがって、次のような質問がある場合は、座標メソッドを使用します。
- 2 つの平面間の角度を求める
- 直線と平面の間の角度を求めます
- 2 本の直線の間の角度を求めます
- 点から平面までの距離を求める
- 点から線までの距離を求める
- 直線から平面までの距離を求める
- 2 本の線の間の距離を求める
問題文で指定された図形が回転体 (球、円柱、円錐など) の場合
座標法に適した数値は次のとおりです。
- 直方体
- ピラミッド（三角形、四角形、六角形）
私の経験からも 座標メソッドを使用するのは不適切です:
- 断面積を求める
- 物体の体積の計算
ただし、調整方法にとって 3 つの「不利な」状況が実際には非常にまれであることにすぐに注意してください。 ほとんどのタスクにおいて、特に 3 次元の構造 (非常に複雑な場合もあります) が苦手な場合には、これが救世主となる可能性があります。
上に挙げた数字は一体何なのでしょうか? それらは、正方形、三角形、円などの平らではなくなり、ボリュームがあります。 したがって、2次元ではなく3次元の座標系を考慮する必要があります。 構築は非常に簡単です。横軸と縦軸に加えて、もう 1 つの軸であるアプリケーション軸を導入します。 図は、それらの相対位置を概略的に示しています。
それらはすべて互いに直交しており、一点で交差します。これを座標の原点と呼びます。 前と同様に、横軸、縦軸 - 、導入された適用軸 - を示します。
以前に平面上の各点が 2 つの数値 (横座標と縦座標) で特徴付けられていた場合、空間内の各点はすでに 3 つの数値 (横座標、縦座標、および応用) で記述されています。 例えば：
したがって、点の横座標は等しく、縦座標は 、アプリケートは です。
点の横座標は、横座標軸への点の投影、縦座標 - 縦軸への点の投影、およびアプリケート - アプリケート軸への点の投影とも呼ばれることもあります。 したがって、点が与えられた場合、座標を持つ点は次のようになります。
平面上への点の投影と呼ばれる
平面上への点の投影と呼ばれる
当然の疑問が生じます。2 次元の場合に導出された式はすべて空間内で有効ですか? 答えは「はい」です。それらは公平で、見た目も同じです。 細かい点については。 それがどれであるかはすでに推測していると思います。 すべての式で、適用軸を担当する項をもう 1 つ追加する必要があります。 つまり。
1. 2 つの点が与えられた場合: 、次のようになります。
- ベクトル座標:
- 2 点間の距離 (またはベクトルの長さ)
- セグメントの中点には座標があります
2. 2 つのベクトルが指定された場合: and の場合:
- それらのスカラー積は次のようになります。
- ベクトル間の角度の余弦は次のようになります。
しかし、宇宙はそれほど単純ではありません。 ご存知のとおり、座標をもう 1 つ追加すると、この空間に「存在する」図形の範囲に大幅な多様性が導入されます。 さらに詳しく説明するには、大まかに言って、直線の「一般化」をいくつか紹介する必要があります。 この「一般化」が平面になります。 飛行機について何を知っていますか? 飛行機とは何ですか?という質問に答えてみてください。 言うのはとても難しいです。 しかし、私たちは皆、それがどのようなものかを直感的に想像します。
ざっくり言うと、これは空間に突き刺さった無限の「シート」のようなものです。 「無限大」とは、平面が全方向に広がること、つまりその面積が無限大に等しいことを意味します。 しかし、この「実践的な」説明では、飛行機の構造についてはまったく理解できません。 そして、私たちに興味を持っているのは彼女です。
幾何学の基本的な公理の 1 つを思い出してみましょう。
- 直線は平面上の 2 つの異なる点を通過しますが、その点は 1 つだけです。
または、宇宙におけるその類似物:
もちろん、指定された 2 つの点から直線の方程式を導き出す方法は覚えていますが、それはまったく難しいことではありません。最初の点に座標があり、2 番目の点の座標がある場合、直線の方程式は次のようになります。
あなたはこれを7年生で受けました。 空間では、直線の方程式は次のようになります。 座標を持つ 2 つの点が与えられるとします。すると、それらを通過する直線の方程式は次の形式になります。
たとえば、線は点を通過します。
これはどのように理解すべきでしょうか? これは次のように理解する必要があります。点の座標が次の系を満たす場合、点は直線上にあります。
直線の方程式にはあまり興味がありませんが、直線の方向ベクトルという非常に重要な概念に注意を払う必要があります。 - 指定された線上またはそれに平行な非ゼロのベクトル。
たとえば、両方のベクトルは直線の方向ベクトルです。 を線上にある点とし、その方向ベクトルをとします。 次に、直線の方程式は次の形式で書くことができます。
もう一度言いますが、直線の方程式にはあまり興味がありませんが、方向ベクトルとは何かをぜひ覚えておいてください。 また： これは、直線上またはそれに平行なゼロ以外のベクトルです。
撤回する 与えられた 3 つの点に基づく平面の方程式はもはやそれほど些細なことではなく、この問題は通常高校の授業では取り上げられません。 しかし無駄だ！ このテクニックは、複雑な問題を解決するために座標法を使用する場合に不可欠です。 しかし、あなたは何か新しいことを学びたいと思っているのではないでしょうか？ さらに、通常は解析幾何学のコースで学習されるテクニックの使用方法をすでに知っていることが判明すると、大学の先生に感銘を与えることができます。 それでは始めましょう。
平面の方程式は、平面上の直線の方程式とあまり変わりません。つまり、次の形式になります。
いくつかの数値 (すべてがゼロに等しいわけではありません) と変数、たとえば: など。 ご覧のとおり、平面の方程式は直線 (一次関数) の方程式とそれほど変わりません。 しかし、あなたと私が何を議論したか覚えていますか? 同じ線上にない 3 つの点がある場合、それらから平面の方程式を一意に再構成できると述べました。 しかし、どうやって？ 説明してみます。
平面の方程式は次のとおりです。
そして、点はこの平面に属しているので、各点の座標を平面の方程式に代入すると、正しい恒等性が得られるはずです。
したがって、未知数を含む 3 つの方程式を解く必要があります。 ジレンマ！ ただし、常にそう仮定することができます (これを行うには、で割る必要があります)。 したがって、3 つの未知数を含む 3 つの方程式が得られます。
ただし、このようなシステムを解決するのではなく、そこから生じる謎の式を書き出します。
与えられた 3 つの点を通過する平面の方程式
\[\左| (\begin(配列)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(配列)) \right| = 0\]
停止！ これは何ですか？ とても珍しいモジュールです！ ただし、目の前にあるオブジェクトはモジュールとは何の関係もありません。 このオブジェクトは 3 次行列式と呼ばれます。 今後、平面上の座標の方法を扱うとき、これらと同じ決定要因に頻繁に遭遇することになります。 三次行列式とは何ですか? 奇妙なことに、それは単なる数字です。 どの特定の数値を行列式と比較するのかを理解する必要があります。
まず、より一般的な形式で 3 次行列式を書いてみましょう。
数字はどこにありますか。 さらに、最初のインデックスは行番号を意味し、インデックスは列番号を意味します。 たとえば、この数値が 2 行目と 3 列目の交点にあることを意味します。 次の質問を立ててみましょう: このような行列式はどのように正確に計算するのでしょうか? つまり、具体的にどのような数字と比較するのでしょうか。 3 次行列式にはヒューリスティックな (視覚的な) 三角形ルールがあり、次のようになります。
- 主対角線 (左上隅から右下隅まで) の要素の積 主対角線に「垂直」な最初の三角形を形成する要素の積 主対角線に「垂直」な 2 番目の三角形を形成する要素の積主対角線
- 二次対角線 (右上隅から左下隅まで) の要素の積 二次対角線に「垂直」な最初の三角形を形成する要素の積 二次対角線に「垂直」な 2 番目の三角形を形成する要素の積二次対角線
- 次に、行列式は、ステップで取得された値と次の値の差に等しくなります。
これらすべてを数値で書き出すと、次の式が得られます。
ただし、この形式での計算方法を覚える必要はありません。三角形と、何を足して何から何を引くかという考え方を頭の中に入れておくだけで十分です)。
三角形の方法を例で説明してみましょう。
1. 行列式を計算します。
何を追加し、何を減算するかを考えてみましょう。
プラスが付いた用語:
これは主対角線です。要素の積は次と等しいです。
最初の三角形、「主対角線に垂直: 要素の積は次と等しい」
2 番目の三角形、「主対角線に垂直: 要素の積は次と等しい」
3 つの数字を合計します。
マイナスがつく用語
これは側対角線です。要素の積は次と等しいです。
最初の三角形、「二次対角線に垂直: 要素の積は次の値に等しい」
2 番目の三角形、「二次対角線に垂直: 要素の積は次の値に等しい」
3 つの数字を合計します。
あとは、「マイナス」項の合計から「プラス」項の合計を引くだけです。
したがって、
ご覧のとおり、3 次行列式の計算には複雑なことや超自然的なことは何もありません。 三角形について覚えて、算術ミスをしないことが重要です。 今度は自分で計算してみます。
私たちは以下をチェックします:
- 主対角線に垂直な最初の三角形:
- 主対角線に垂直な 2 番目の三角形:
- プラスを含む項の合計:
- 2番目の対角線に垂直な最初の三角形:
- 辺の対角線に垂直な 2 番目の三角形:
- マイナスを含む項の合計:
- プラスを含む項の合計 - マイナスを含む項の合計:
ここにさらにいくつかの決定要因があります。それらの値を自分で計算し、答えと比較してください。
答え:
さて、すべてが一致しましたか？ わかりました。次に進んでください。 問題がある場合、私のアドバイスは次のとおりです。インターネット上には、オンラインで行列式を計算するためのプログラムがたくさんあります。 必要なのは、独自の行列式を考え出し、それを自分で計算し、プログラムが計算したものと比較することだけです。 結果が一致し始めるまで、同様に繰り返します。 この瞬間が訪れるまでにそれほど時間はかからないと確信しています。
さて、与えられた 3 つの点を通過する平面の方程式について話したときに書き出した行列式に戻りましょう。
必要なのは、その値を直接 (三角法を使用して) 計算し、結果をゼロに設定することだけです。 当然、これらは変数であるため、変数に応じた式が得られます。 この式は、同じ直線上にない 3 つの与えられた点を通過する平面の方程式になります。
これを簡単な例で説明してみましょう。
1. 点を通過する平面の方程式を作成します。
これら 3 つの点の決定要因をコンパイルします。
単純化してみましょう:
ここで、三角定規を使用して直接計算します。
\[(\left| (\begin(配列)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(配列)) \ right| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]
したがって、点を通過する平面の方程式は次のようになります。
次に、1 つの問題を自分で解決してみて、それについて話し合います。
2. 点を通る平面の方程式を求めます。
それでは、解決策について説明しましょう。
行列式を作成しましょう:
そしてその値を計算します。
この場合、平面の方程式は次の形式になります。
または、 で削減すると、次のようになります。
ここで自制のための 2 つのタスクを実行します。
- 3 点を通過する平面の方程式を作成します。
答え:
すべてが一致しましたか？ 繰り返しますが、特定の困難がある場合の私のアドバイスは次のとおりです。頭から 3 つの点を取り出し (高い確率でそれらは同じ直線上にありません)、それらに基づいて平面を構築します。 そして、オンラインで自分自身をチェックします。 たとえば、サイトでは次のようになります。
ただし、行列式の助けを借りて、平面の方程式を構築するだけではありません。 ベクトルに対して定義されるのは内積だけではないことをお話しました。 ベクター製品や混合製品もあります。 2 つのベクトルのスカラー積が数値の場合、2 つのベクトルのベクトル積はベクトルになり、このベクトルは指定されたベクトルに垂直になります。
さらに、そのモジュールはベクトルと上に構築された平行四辺形の面積に等しくなります。 点から線までの距離を計算するには、このベクトルが必要になります。 ベクトルの座標が指定されている場合、ベクトルのベクトル積を計算するにはどうすればよいでしょうか? 三次行列式が再び役に立ちます。 ただし、ベクトル積を計算するアルゴリズムに進む前に、少し余談をしておく必要があります。
この脱線は基底ベクトルに関するものです。
それらを図に模式的に示します。
なぜベーシックと呼ばれているのだと思いますか? 事実は次のとおりです。
または写真で:
この式の妥当性は次の理由から明らかです。
ベクターアートワーク
これで、外積の導入を開始できます。
2 つのベクトルのベクトル積はベクトルであり、次の規則に従って計算されます。
外積を計算する例をいくつか挙げてみましょう。
例 1: ベクトルの外積を求めます。
解決策: 私は決定要因を考えます:
そして私はそれを計算します:
基底ベクトルの記述から、通常のベクトル表記に戻ります。
したがって：
さあ、試してみましょう。
準備ができて？ 私たちは以下をチェックします:
そして伝統的に2つ 制御のためのタスク:
- 次のベクトルのベクトル積を求めます。
- 次のベクトルのベクトル積を求めます。
答え:
3 つのベクトルの混合積
必要となる最後の構築は、3 つのベクトルの混合積です。 スカラーと同様に、それは数値です。 計算方法は 2 つあります。 - 決定要因を介して、 - 混合生成物を介して。
つまり、次の 3 つのベクトルが与えられるとします。
次に、 で示される 3 つのベクトルの混合積は、次のように計算できます。
1. - つまり、混合積は、1 つのベクトルのスカラー積と、他の 2 つのベクトルのベクトル積です。
たとえば、3 つのベクトルの混合積は次のようになります。
ベクトル積を使用して自分で計算して、結果が一致することを確認してください。
もう一度、独立したソリューションの 2 つの例を示します。
答え:
座標系の選択
さて、これで、複雑な立体幾何学問題を解決するために必要な知識の基礎がすべて揃いました。 ただし、それらを解決するための例とアルゴリズムに直接進む前に、次の質問について検討することが役立つと思います。 特定の図形の座標系を選択します。結局のところ、計算がどれほど面倒になるかを最終的に決定するのは、座標系と空間内の図形の相対位置の選択です。
このセクションでは次の図を考慮することに注意してください。
- 直方体
- 直角柱（三角柱、六角柱…）
- ピラミッド（三角形、四角形）
- 四面体（三角錐と同じ）
直方体または立方体の場合は、次の構築をお勧めします。
つまり、フィギュアを「隅」に配置します。 立方体と直方体は非常に優れた図形です。 彼らにとって、頂点の座標はいつでも簡単に見つけることができます。 たとえば、(図に示すように)
この場合、頂点の座標は次のようになります。
もちろん、これを覚える必要はありませんが、立方体や直方体の最適な配置方法を覚えておくことをお勧めします。
直進プリズム
プリズムはさらに有害な存在です。 さまざまな方法で空間に配置できます。 ただし、次のオプションが最も受け入れられるように思えます。
三角柱：
つまり、三角形の辺の 1 つを完全に軸上に配置し、頂点の 1 つが座標の原点と一致します。
六角柱：
つまり、頂点の 1 つは原点と一致し、辺の 1 つは軸上にあります。
四角錐と六角錐：
この状況は立方体と似ています。底面の 2 つの辺を座標軸に合わせ、頂点の 1 つを座標の原点に合わせます。 唯一のわずかな困難は、点の座標を計算することです。
六角錐の場合 - 六角柱の場合と同じです。 主なタスクは、やはり頂点の座標を見つけることです。
四面体（三角錐）
この状況は、三角柱の場合に示した状況と非常によく似ています。つまり、1 つの頂点が原点と一致し、もう 1 つの側面が座標軸上にあります。
さて、あなたと私はいよいよ問題の解決に着手するところまで来ました。 記事の冒頭で述べたことから、次の結論を導き出すことができます。ほとんどの C2 問題は、角度の問題と距離の問題の 2 つのカテゴリに分類されます。 まず、角度を求める問題を見ていきます。 これらは、(複雑さが増すにつれて) 次のカテゴリに分類されます。
角度を求める問題
- 2 本の直線間の角度を求める
- 2 つの平面間の角度を求める
これらの問題を順番に見てみましょう。まず 2 つの直線間の角度を求めます。 さて、覚えておいてください、あなたと私は以前に同様の例を解いたことがありませんか? 覚えていますか、似たようなものがすでにありました...私たちは 2 つのベクトルの間の角度を探していました。 2 つのベクトルが与えられた場合、それらの間の角度は次の関係から求められます。
ここでの目標は、2 つの直線の間の角度を見つけることです。 「平面図」を見てみましょう。
2本の直線が交差したときの角度はいくつでしょうか? ほんの少しだけ。 確かに、それらのうち 2 つだけが等しくありませんが、他のものはそれらに対して垂直です (したがって、それらと一致します)。 では、2 つの直線の間の角度はどちらの角度を考慮すべきでしょうか。それとも? ここでのルールは次のとおりです。 2 つの直線の間の角度は常に度以下です。 つまり、2 つの角度から常に最小度数の角度を選択します。 つまり、この図では 2 本の直線間の角度は等しいということです。 2 つの角度のうち最小のものを毎回見つける手間を省くために、狡猾な数学者は係数を使用することを提案しました。 したがって、2 つの直線間の角度は次の式で求められます。
注意深い読者であるあなたは、角度の余弦を計算するために必要な数値を正確にどこで入手するのでしょうか?という疑問を抱いたはずです。 答え: 線の方向ベクトルからそれらを取得します。 したがって、2 つの直線の間の角度を求めるアルゴリズムは次のようになります。
- 式 1 を適用します。
またはもっと詳しく言うと:
- 最初の直線の方向ベクトルの座標を探しています。
- 2番目の直線の方向ベクトルの座標を探しています
- スカラー積の係数を計算します。
- 最初のベクトルの長さを探しています
- 2 番目のベクトルの長さを探しています
- ポイント 4 の結果とポイント 5 の結果を掛けます。
- ポイント 3 の結果をポイント 6 の結果で割ります。線間の角度の余弦を求めます。
- この結果により角度を正確に計算できる場合は、角度を探します。
- それ以外の場合は逆余弦で書き込みます
さて、今度は問題に移ります。最初の 2 つの問題の解決策を詳しく説明し、別の問題の解決策を簡単に示します。最後の 2 つの問題については答えだけを示します。すべての計算を自分で実行する必要があります。
タスク:
1. 右側のテトラエドレで、テトラエドラの高さと中央の辺の間の角度を見つけます。
2. 右側の 6 隅のピラミデで、100 個のオス ノ ヴァ ニヤが等しく、辺も等しいので、線と線の間の角度を求めます。
3. 右側の 4 つの石炭のピラミディのすべての辺の長さは互いに等しい。 直線間の角度を見つけます。カットから見た場合、指定されたピラミディの場合、ポイントはそのボコ第 2 リブ上にあります。
4. 立方体の端に点があるので、直線と直線の間の角度を見つけます。
5. 立方体の端にある点 - 直線と直線の間の角度を見つけます。
この順序でタスクを並べたのは偶然ではありません。 あなたはまだ座標法の操作を始めていませんが、最も「問題のある」図形は私自身が分析し、最も単純な立方体についてはあなたに任せておきます。 徐々にすべての図の操作方法を学ぶ必要がありますが、トピックごとにタスクの複雑さを増していきます。
問題の解決を始めましょう:
1. 四面体を描画し、前に提案したように座標系に配置します。 正四面体は正四面体なので、すべての面（底辺を含む）は正三角形です。 辺の長さは与えられていないので、等しいとみなすことができます。 角度は実際には四面体がどれだけ「伸ばされているか」に依存しないことが理解できたと思います。 四面体の高さと中央値も描きます。 途中で、そのベースを描きます（これは私たちにとっても役立ちます）。
と の間の角度を見つける必要があります。 私たちは何を知っているのでしょうか？ 私たちが知っているのは点の座標だけです。 これは、点の座標を見つける必要があることを意味します。 ここで、点とは三角形の高さ (または二等分線または中央線) の交点であると考えます。 そしてポイントは盛り上がったポイントです。 ポイントはセグメントの中央です。 次に、最後に点の座標を見つける必要があります。
最も単純なもの、つまり点の座標から始めましょう。 図を見てください: 点の適用がゼロに等しい (点が平面上にある) ことは明らかです。 その縦軸は等しい（中央値であるため）。 横軸を見つけるのはさらに困難です。 ただし、これはピタゴラスの定理に基づいて簡単に行うことができます。三角形を考えてみましょう。 その斜辺が等しく、その脚の 1 つが等しい場合、次のようになります。
最後に次のようになります。
次に、点の座標を見つけてみましょう。 その applicate が再びゼロに等しく、その縦座標が点の縦座標と同じであることは明らかです。 その横軸を求めてみましょう。 覚えていれば、これは非常に簡単に実行できます 正三角形の交点による高さを比例分割します。、上から数えて。 次のとおりであるため、セグメントの長さに等しい点の必要な横座標は次のようになります。 したがって、点の座標は次のようになります。
点の座標を求めてみましょう。 その横座標と縦座標が点の横座標と縦座標と一致していることは明らかです。 そして、applicate はセグメントの長さに等しくなります。 - これは三角形の足の 1 つです。 三角形の斜辺はセグメント、つまり脚です。 それは私が太字で強調した理由によって求められています。
ポイントはセグメントの中央です。 次に、セグメントの中点の座標の公式を覚えておく必要があります。
これで、方向ベクトルの座標を探すことができます。
さて、すべての準備が整いました。すべてのデータを式に代入します。
したがって、
答え：
このような「恐ろしい」答えに怯える必要はありません。C2 タスクではこれが一般的な方法です。 むしろ、この部分の「美しい」答えに驚きたいと思います。 また、お気づきのとおり、私はピタゴラスの定理と正三角形の高度の性質以外にはほとんど頼っていません。 つまり、立体測定の問題を解決するために、最小限の立体測定を使用しました。 この利点は、かなり面倒な計算によって部分的に「消失」します。 しかし、それらは非常にアルゴリズム的です。
2. 正六角錐とその底辺を座標系とともに描いてみましょう。
線と線の間の角度を見つける必要があります。 したがって、私たちの仕事は、点の座標を見つけることになります。 小さな図面を使用して最後の 3 つの座標を見つけ、点の座標を通じて頂点の座標を見つけます。 やるべきことはたくさんありますが、まずは始めましょう!
a) 座標: その適用範囲と座標がゼロに等しいことは明らかです。 横軸を求めてみましょう。 これを行うには、直角三角形を考えてみましょう。 残念ながら、この中で私たちは斜辺、つまり等しいことしか知りません。 脚を見つけようとします (脚の長さを 2 倍にすると点の横座標が得られるのは明らかです)。 どうやって探せばいいのでしょうか？ ピラミッドの底辺にどのような図形があるかを思い出してみましょう。 これは正六角形です。 それはどういう意味ですか？ これは、すべての辺とすべての角度が等しいことを意味します。 私たちはそのような角度を見つける必要があります。 何か案は？ アイデアはたくさんありますが、公式があります。
正n角形の角度の合計は次のようになります。 .
したがって、正六角形の角度の合計は度に等しくなります。 この場合、それぞれの角度は次と等しくなります。
もう一度写真を見てみましょう。 セグメントが角度の二等分線であることは明らかです。 この場合、角度は度に等しくなります。 それから：
ではどこから。
したがって、座標があります
b) これで、点の座標を簡単に見つけることができます。
c) 点の座標を見つけます。 横軸はセグメントの長さと一致するため、等しくなります。 縦座標を見つけることもそれほど難しくありません。点を接続し、線の交点をたとえば のように指定すると、次のようになります。 （簡単な構造を自分で行います）。 したがって、点 B の縦座標はセグメントの長さの合計に等しくなります。 もう一度三角形を見てみましょう。 それから
その後、点は座標を持ちます
d) 次に、点の座標を見つけてみましょう。 長方形を考えて、次のことを証明してください。 したがって、点の座標は次のようになります。
e) 頂点の座標を見つけることが残っています。 その横座標と縦座標が点の横座標と縦座標と一致していることは明らかです。 アプリを探してみましょう。 それ以来。 直角三角形を考えてみましょう。 問題の条件によると、サイドエッジ。 これは私の三角形の斜辺です。 するとピラミッドの高さは脚の高さになります。
次に、点には次の座標があります。
これで、興味のあるすべての点の座標がわかりました。 直線の方向ベクトルの座標を探しています。
これらのベクトルの間の角度を探します。
答え：
繰り返しになりますが、この問題を解く際に、正 n 角形の角度の合計の公式と、直角三角形のコサインとサインの定義以外の高度なテクニックは使用しませんでした。
3. ここでもピラミッドの辺の長さが与えられていないので、それらは 1 に等しいと考えます。 したがって、側面だけでなくすべての辺が互いに等しいため、ピラミッドの底面と私には正方形があり、側面は正三角形になります。 問題のテキストに示されているすべてのデータに注目して、このようなピラミッドとその底面を平面上に描画してみましょう。
と の間の角度を探しています。 点の座標を検索するときは、非常に簡単な計算を行います。 それらを「解読」する必要があります。
b) - セグメントの中央。 その座標:
c) 三角形のピタゴラスの定理を使って線分の長さを求めます。 三角形のピタゴラスの定理を使って求めることができます。
座標:
d) - セグメントの中央。 その座標は
e) ベクトル座標
f) ベクトル座標
g) 角度を探す:
立方体は最も単純な図形です。 きっと自分で解決できると思います。 問題 4 と 5 の答えは次のとおりです。
直線と平面の間の角度を求める
さて、単純なパズルの時間は終わりました。 例はさらに複雑になります。 線と平面の間の角度を見つけるには、次のように進めます。
- 3 つの点を使用して、平面の方程式を構築します。
,
三次行列式を使用します。 - 2 つの点を使用して、直線の方向ベクトルの座標を探します。
- 次の公式を適用して、直線と平面の間の角度を計算します。
ご覧のとおり、この式は 2 つの直線の間の角度を求めるために使用した式と非常によく似ています。 右側の構造は単純に同じで、左側では以前のコサインではなくサインを探しています。 さて、厄介なアクションが 1 つ追加されました - 平面の方程式を検索するというものです。
先延ばしにしないようにしましょう 解決策の例:
1. メインだがヴァニームの直接プリズム、つまり私たちは等しい対貧しい三角形です。 直線と平面の間の角度を求めます
2. 西から見た長方形のパラル・ル・ル・ピ・ペ・デで、直線と平面の間の角度を見つけます
3. 直角六隅のプリズムでは、すべての辺が等しいです。 直線と平面の間の角度を求めます。
4. 既知の肋骨のオス・ノ・ヴァ・ニエムのある右三角形のピ・ラ・ミ・デで、灰色の部分を通る、底面が平らでまっすぐな角を見つけます。肋骨と
5. 頂点をもつ直角四角形パイラミディのすべての辺の長さは等しい。 点がピラミディの端の側にある場合、直線と平面の間の角度を見つけます。
繰り返しますが、最初の 2 つの問題は詳しく解決し、3 つ目は簡単に解決します。最後の 2 つは自分で解決してください。 また、三角錐と四角錐はすでに扱っていますが、角柱はまだ扱っていません。
解決策:
1. プリズムとその底面を描いてみましょう。 これを座標系と組み合わせて、問題ステートメントで指定されているすべてのデータに注目してみましょう。
比率に準拠していない点があったことをお詫びしますが、問題を解決するためには、これは実際にはそれほど重要ではありません。 平面は単に私のプリズムの「後壁」です。 このような平面の方程式は次の形式になると単純に推測するだけで十分です。
ただし、これは次のように直接示すことができます。
この平面上の任意の 3 点を選択してみましょう。たとえば、 です。
平面の方程式を作成しましょう。
演習: この行列式を自分で計算してください。 成功しましたか？ この場合、平面の方程式は次のようになります。
あるいは単に
したがって、
この例を解決するには、直線の方向ベクトルの座標を見つける必要があります。 点は座標の原点に一致しているので、ベクトルの座標は単純に点の座標に一致しますが、そのためにはまず点の座標を求めます。
これを行うには、三角形を考えてみましょう。 頂点からの高さ (中央値や二等分線とも呼ばれます) を描きましょう。 したがって、点の縦座標は に等しい。 この点の横座標を見つけるには、セグメントの長さを計算する必要があります。 ピタゴラスの定理によれば、次のようになります。
次に、点には次の座標があります。
ドットは「盛り上がった」ドットです。
この場合、ベクトル座標は次のようになります。
答え：
ご覧のとおり、このような問題を解決するとき、基本的に難しいことは何もありません。 実際には、プリズムなどの図形の「直線性」によってプロセスがもう少し簡略化されます。 次の例に進みましょう。
2. 直方体を描き、その中に平面と直線を描き、さらにその下底を個別に描きます。
まず、平面の方程式、つまりその中にある 3 点の座標を求めます。
(最初の 2 つの座標は明白な方法で取得され、最後の座標は画像からポイントに簡単に見つけることができます)。 次に、平面の方程式を作成します。
計算します:
誘導ベクトルの座標を探しています。その座標が点の座標と一致しているのは明らかですよね。 座標を見つけるにはどうすればよいですか? これらは、適用軸に沿って 1 つ上げられた点の座標です。 。 次に、目的の角度を探します。
答え：
3. 正六角錐を描き、その中に平面と直線を描きます。
ここでは、この問題を解決することは言うまでもなく、平面を描くことさえ問題になりますが、座標方法は関係ありません。 その多用途性が主な利点です。
平面は 3 つの点を通過します。 私たちは彼らの座標を探しています:
1) 。 最後の 2 点の座標を自分で見つけてください。 これには六角錐の問題を解く必要があります。
2) 平面の方程式を構築します。
ベクトルの座標を探しています: 。 （三角錐問題をもう一度見てください！）
3) 角度を探す:
答え：
ご覧のとおり、これらのタスクには超自然的に難しいことは何もありません。 ただ根元には細心の注意が必要です。 最後の 2 つの問題のみに答えます。
ご覧のとおり、問題を解決するためのテクニックはどこでも同じです。主なタスクは、頂点の座標を見つけて特定の式に代入することです。 角度を計算するために、さらにもう 1 つのクラスの問題を考慮する必要があります。
2 つの平面間の角度の計算
解決アルゴリズムは次のようになります。
- 3 つの点を使用して、最初の平面の方程式を求めます。
- 他の 3 つの点を使用して、2 番目の平面の方程式を求めます。
- 次の式を適用します。
ご覧のとおり、この公式は前の 2 つの公式と非常によく似ており、これを利用して直線間の角度、および直線と平面間の角度を求めました。 したがって、これを覚えるのは難しくありません。 タスクの分析に進みましょう。
1. 直角三角柱の底面の辺は等しく、側面の対角も等しい。 平面とプリズムの軸の平面との間の角度を見つけます。
2. すべての辺が等しい右の四隅のピラミデで、ペンディクの点を通る平面と平面の骨の間の角度の正弦を求めます。嘘つきだけどストレート。
3. 正四隅角柱は、底辺の辺が等しく、辺の辺も等しい。 端にフロム・メー・チェ・オンという点があります。 平面間の角度を見つけて、
4. 直角柱では、底辺の辺は等しく、辺の辺も等しい。 点から端に点があるので、平面とのなす角を求めます。
5. 立方体で、平面と平面の間の角度の余弦を求めます。
問題の解決策:
1. 正三角柱 (底辺が正三角形) を描き、その上に問題文に現れる平面をマークします。
2 つの平面の方程式を見つける必要があります。基底の方程式は自明です。3 つの点を使用して対応する行列式を作成できますが、すぐに方程式を作成します。
ここで方程式を見つけてみましょう。 Point は座標 Point を持ちます。 は三角形の中央値と高度なので、三角形のピタゴラスの定理を使用して簡単に見つけることができます。 次に、点は座標を持ちます: 点の適用対象を見つけましょう。これを行うには、直角三角形を考えてください。
次に、次の座標を取得します。 平面の方程式を作成します。
平面間の角度を計算します。
答え：
2. 図面の作成:
最も難しいのは、この点を垂直に通過するこの謎の飛行機がどのようなものであるかを理解することです。 さて、肝心なことは、それは何ですか？ 主なことは注意力です！ 実際、この線は垂直です。 直線も垂直です。 この場合、これら 2 つの直線を通る平面は直線に対して垂直になり、ちなみに点を通過します。 この平面はピラミッドの頂上も通過します。 それから希望の飛行機 - そしてその飛行機はすでに私たちに与えられています。 点の座標を探しています。
点を介して点の座標を見つけます。 小さな画像から、点の座標は次のようになることが容易に推測できます。ピラミッドの頂点の座標を見つけるには、何が残っているでしょうか? 高さも計算する必要があります。 これは、同じピタゴラスの定理を使用して行われます。まず、それを証明します (底辺で正方形を形成する小さな三角形から自明のこと)。 条件によると、次のようになります。
これですべての準備が整いました: 頂点座標:
平面の方程式を作成します。
あなたはすでに行列式の計算の専門家です。 問題なく、次のものを受け取ることができます。
またはそうでない場合 (両辺に 2 の根を掛ける場合)
次に、平面の方程式を求めてみましょう。
(平面方程式の求め方を忘れたわけではありませんよね? このマイナス 1 がどこから来たのか理解できない場合は、平面の方程式の定義に戻ってください! それは、その前にいつも判明しただけです私の飛行機は座標の原点に属していました!)
行列式を計算します。
(平面の方程式が点を通る直線の方程式と一致していることに気づくかもしれません。その理由を考えてください!)
次に、角度を計算してみましょう。
正弦を見つける必要があります。
答え：
3. 難しい質問: 直方体とは何だと思いますか? これはまさにあなたがよく知っている直方体です。 早速絵を描いてみましょう！ ベースを個別に描く必要さえありません。ここではあまり役に立ちません。
前に述べたように、平面は方程式の形式で記述されます。
では、平面を作成しましょう
すぐに平面の方程式を作成します。
角度を探しています:
最後の 2 つの問題に対する答えは次のとおりです。
さて、今は少し休憩するときです。あなたも私も素晴らしく、素晴らしい仕事をしてきたからです。
座標とベクトル。 上級レベル
この記事では、座標法を使用して解決できる別のクラスの問題、つまり距離計算問題について説明します。 つまり、次の場合を考えます。
- 交差する線間の距離の計算。
これらの課題を難易度の高い順に並べました。 最も見つけやすいことが判明しました 点から面までの距離、そして最も難しいのは見つけることです 交差する線間の距離。 もちろん、不可能なことはありません。 先延ばしにせず、すぐに最初のクラスの問題の検討に進みましょう。
点から平面までの距離を計算する
この問題を解決するには何が必要でしょうか?
1. 点座標
したがって、必要なデータをすべて受信したらすぐに、次の式を適用します。
最後の部分で説明した以前の問題から、平面の方程式をどのように構築するかはすでに知っているはずです。 早速タスクに取り掛かりましょう。 スキームは次のとおりです。 1、2 - 決定をお手伝いします。詳細については、3、4 - 答えだけを示します。解決策を自分で実行して比較します。 はじめましょう！
タスク:
1. 立方体が与えられます。 立方体の辺の長さは等しい。 セーレディーナの切り口から平面までの距離を求めます
2. 右の 4 つの石炭 pi-ra-mi-yes を考えると、辺の辺は底辺に等しい。 エッジ上の点から平面までの距離を求めます。
3. オス・ノ・ヴァ・ニエムのある直角三角形のピ・ラ・ミ・デでは、辺が等しく、オス・ノ・ヴァ・ニエムの百ロも等しい。 頂上から平面までの距離を求めます。
4. 正六角柱では、すべての辺が等しい。 点から平面までの距離を求めます。
解決策:
1. 単一のエッジを持つ立方体を描き、セグメントと平面を作成し、セグメントの中央を文字で示します
.
まず、点の座標を見つけるという簡単なことから始めましょう。 それ以来 (セグメントの中央の座標を覚えておいてください!)
次に、3 つの点を使用して平面の方程式を作成します。
\[\左| (\begin(配列)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(配列)) \right| = 0\]
これで、距離を求め始めることができます。
2. すべてのデータをマークした図面から再開します。
ピラミッドの場合は、その底辺を個別に描画すると便利です。
たとえ私が前足で鶏のように絵を描いたとしても、この問題を簡単に解決することはできます。
点の座標を見つけるのが簡単になりました
点の座標なので、
2. 点 a の座標はセグメントの中央であるため、次のようになります。
問題なく、平面上のさらに 2 つの点の座標を見つけることができたので、平面の方程式を作成して簡略化します。
\[\左| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(配列)) \right|) \right| = 0\]
点の座標は であるため、距離を計算します。
答え (非常にまれです!):
さて、わかりましたか？ ここでの内容はすべて、前のパートで説明した例と同様に技術的なものであるように思えます。 ですから、その内容をマスターしていれば、残りの 2 つの問題を解くのは難しくないと思います。 答えだけをお伝えします。
直線から平面までの距離を計算する
実際、ここには何も新しいことはありません。 直線と平面を相互に配置するにはどうすればよいでしょうか? 可能性は 1 つだけです。交差するか、直線が平面に平行であるかです。 直線からこの直線が交差する平面までの距離は何だと思いますか? ここでは、そのような距離がゼロに等しいことが明らかであるように私には思えます。 興味深いケースではありません。
2 番目のケースはさらに厄介です。ここでは距離がすでにゼロではありません。 ただし、線は平面に平行であるため、線の各点はこの平面から等距離になります。
したがって：
これは、私のタスクが以前のタスクに減らされたことを意味します。直線上の任意の点の座標を探し、平面の方程式を探し、点から平面までの距離を計算します。 実際、統一国家試験ではそのような課題は非常にまれです。 なんとか問題を 1 つだけ見つけることができました。その中のデータは、座標法があまり適用できないものでした。
ここで、別の、より重要な問題のクラスに移りましょう。
点から線までの距離を計算する
私たちは何が必要なのか？
1. 距離を求める点の座標:
2. 線上にある任意の点の座標
3. 直線の方向ベクトルの座標
どのような公式を使用するのでしょうか?
この分数の分母が何を意味するかは明らかです。これは直線の方向ベクトルの長さです。 これは非常に難しい分子です。 この式は、ベクトルのベクトル積の係数 (長さ) を意味し、ベクトル積の計算方法は、作業の前の部分で学習しました。 知識をリフレッシュしてください。今すぐに必要になります。
したがって、問題を解決するためのアルゴリズムは次のようになります。
1. 距離を求めたい点の座標を探します。
2. 距離を求める直線上の任意の点の座標を探します。
3. ベクトルを構築する
4. 直線の方向ベクトルを構築する
5. ベクトル積を計算する
6. 結果のベクトルの長さを調べます。
7. 距離を計算します。
やるべきことはたくさんあり、例は非常に複雑になります。 だから今、すべての注意を集中してください！
1. 頂点のある直角三角形のピラミダが与えられます。 ピ・ラ・ミ・ディに基づく百路は平等、あなたも平等です。 灰色の端から直線までの距離を見つけます。ここで、点 と は灰色の端と獣医からの距離です。
2. リブの長さと直角のダメな部分の長さは等しいので、頂点から直線までの距離を求めます。
3. 正六角柱ではすべての辺が等しいので、点から直線までの距離を求めます
解決策:
1. すべてのデータをマークしたきちんとした図面を作成します。
やるべきことはたくさんあります！ まず、何をどのような順序で探すのかを言葉で説明します。
1. 点の座標と
2. 点座標
3. 点の座標と
4. ベクトルの座標と
5. 外積
6. ベクトルの長さ
7. ベクトル積の長さ
8. からの距離
さて、私たちにはこれからたくさんの仕事が待っています！ 袖をまくって挑戦しましょう！
1. ピラミッドの高さの座標を見つけるには、点の座標を知る必要があります。その適用値は 0 であり、その縦座標はその横座標と等しく、その横座標はセグメントの長さに等しくなります。正三角形の場合、ここから頂点から数えて比率で分割します。 最後に、座標を取得しました。
点座標
2. - セグメントの中央
3. - セグメントの中央
セグメントの中点
4.座標
ベクトル座標
5. ベクトル積を計算します。
6. ベクトルの長さ: 置き換える最も簡単な方法は、セグメントを三角形の中線にすることです。これは、セグメントが底辺の半分に等しいことを意味します。 それで。
7. ベクトル積の長さを計算します。
8. 最後に、距離を求めます。
うーん、それです！ 正直に言いますが、この問題は従来の方法 (構築による) を使用して解決した方がはるかに早く解決できます。 しかし、ここではすべてを既成のアルゴリズムに縮小しました。 解決アルゴリズムは理解できたと思いますか? したがって、残りの 2 つの問題はご自身で解決していただきます。 答えを比べてみませんか？
繰り返しますが、これらの問題は、座標法に頼るよりも、構築によって解決する方が簡単 (迅速) です。 私がこの解決方法を示したのは、「何も構築し終えなくても」できる普遍的な方法を示すためだけです。
最後に、最後のクラスの問題を考えてみましょう。
交差する線間の距離の計算
ここで、問題を解決するためのアルゴリズムは前のアルゴリズムと同様になります。 私たちが持っているもの:
3. 1 番目と 2 番目の線の点を接続する任意のベクトル:
線間の距離はどうやって調べるのでしょうか?
式は次のとおりです。
分子は混合積の係数 (前のパートで導入しました)、分母は前の式と同様に (直線の方向ベクトルのベクトル積の係数、直線間の距離) です。探しています）。
それを思い出させておきます
それから 距離の式は次のように書き換えることができます。:
これは行列式を行列式で割ったものです。 とはいえ、正直に言うと、ここで冗談を言っている暇はありません。 実際、この式は非常に面倒で、非常に複雑な計算が必要になります。 私だったら、最後の手段としてのみそれに頼るでしょう。
上記の方法を使用していくつかの問題を解決してみましょう。
1. すべての辺が等しい直角三角柱の直線と直線の間の距離を求めます。
2. 直角三角柱を考えると、底面のすべての辺は本体リブを通る断面に等しく、セ・レ・ディ・ウェルリブは正方形になります。 直線間の距離を求めて、
1つ目は私が決めて、それを踏まえて2つ目はあなたが決めるのです！
1. プリズムを描いて直線をマークし、
点Cの座標：そのとき
点座標
ベクトル座標
点座標
ベクトル座標
ベクトル座標
\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(配列)(*(20)(l))(\begin(配列)(*(20)(c))0&1&0\end(配列))\\(\begin(配列)(*(20) (c))0&0&1\end(配列))\\(\begin(配列)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(配列))\end(配列)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]
ベクトル間のベクトル積を計算します。
\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(配列)(l)\begin(配列)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(配列)\\\begin(配列)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(配列)\end(配列) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]
次に、その長さを計算します。
答え：
次に、2 番目のタスクを慎重に完了してみてください。 それに対する答えは次のようになります。
座標とベクトル。 簡単な説明と基本的な公式
ベクトルは有向線分です。 - ベクトルの始まり、 - ベクトルの終わり。
ベクトルは or で表されます。
絶対値ベクトル - ベクトルを表すセグメントの長さ。 として示されます。
ベクトル座標:
,
ここで、ベクトル \displaystyle a の端は です。
ベクトルの合計: 。
ベクトルの積:
ベクトルの内積：
この資料では、同じ直線上にない 3 つの異なる点の座標がわかっている場合に、平面の方程式を見つける方法を見ていきます。 これを行うには、3 次元空間における直交座標系が何であるかを覚えておく必要があります。 まず、この方程式の基本原理を紹介し、特定の問題を解決するためにそれを使用する方法を正確に示します。
Yandex.RTB R-A-339285-1
まず、次のような公理を 1 つ覚えておく必要があります。
定義 1
3 つの点が互いに一致せず、同じ線上にない場合、3 次元空間では 1 つの平面だけがそれらを通過します。
つまり、座標が一致せず、直線で結ぶことができない 3 つの異なる点がある場合、その点を通る平面を求めることができます。
直交座標系があるとします。 それを O xy z と表しましょう。 これには、接続できない座標 M 1 (x 1, y 1, z 1)、M 2 (x 2, y 2, z 2)、M 3 (x 3, y 3, z 3) を持つ 3 つの点 M が含まれています。直線。 これらの条件に基づいて、必要な平面の方程式を書き留めることができます。 この問題を解決するには 2 つのアプローチがあります。
1. 最初のアプローチでは、一般的な平面方程式を使用します。 文字形式では、A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 と書きます。 これを利用すると、最初に指定された点 M 1 (x 1, y 1, z 1) を通過する特定のアルファ平面を直交座標系で定義できます。 平面αの法線ベクトルの座標はA、B、Cとなることが分かります。
Nの定義
法線ベクトルの座標と平面が通過する点の座標がわかれば、この平面の一般方程式を書き留めることができます。
今後はこれをベースに進めていきます。
したがって、問題の条件に従って、平面が通過する目的の点 (3 点でも) の座標が得られます。 方程式を見つけるには、その法線ベクトルの座標を計算する必要があります。 それを n → と表します。
ルールを思い出してください。特定の平面のゼロ以外のベクトルは、同じ平面の法線ベクトルに垂直です。 次に、 n → は、元の点 M 1 M 2 → と M 1 M 3 → で構成されるベクトルに垂直であることがわかります。 次に、n → を M 1 M 2 → · M 1 M 3 → の形式のベクトル積として表すことができます。
M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) および M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 なので(これらの等式の証明は、点の座標からベクトルの座標を計算することに特化した記事で示されています)。すると、次のことがわかります。
n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1
行列式を計算すると、必要な法線ベクトルの座標 n → が得られます。 これで、与えられた 3 つの点を通過する平面に必要な方程式を書き留めることができます。
2. M 1 (x 1, y 1, z 1)、M 2 (x 2, y 2, z 2)、M 3 (x 3, y 3, z 3) を通る方程式を見つける 2 番目のアプローチ。ベクトルの同一平面性などの概念に基づいています。
一連の点 M (x, y, z) がある場合、直交座標系では、指定された点 M 1 (x 1, y 1, z 1)、M 2 (x 2, y 2) の平面を定義します。 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) は、ベクトル M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 の場合のみです。 → = ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) と M 1 M 3 → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) は同一平面上になります。 。
図では次のようになります。
これは、ベクトル M 1 M → 、M 1 M 2 → 、M 1 M 3 → の混合積がゼロに等しいことを意味します: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 、これが共平面性の主な条件であるため、M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1)、M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) 、z 2 - z 1 ) および M 1 M 3 → = (x 3 - x 1、y 3 - y 1、z 3 - z 1)。
結果として得られる方程式を座標形式で書いてみましょう。
行列式を計算した後、同じ線上にない 3 つの点 M 1 (x 1, y 1, z 1)、M 2 (x 2, y 2, z 2) に必要な平面方程式を取得できます。 、Ｍ ３ （ｘ ３ 、ｙ ３ 、ｚ ３ ）。
問題の条件で必要な場合は、結果の方程式から、セグメント内の平面の方程式または平面の正規方程式に進むことができます。
次の段落では、これまでに示したアプローチが実際にどのように実装されているかの例を示します。
3点を通る平面の方程式を作る問題の例
以前、目的の方程式を見つけるために使用できる 2 つのアプローチを特定しました。 問題を解決するためにこれらがどのように使用されるのか、また、それぞれをいつ選択する必要があるのかを見てみましょう。
例1
同一線上にない 3 つの点があり、座標は M 1 (- 3, 2, - 1)、M 2 (- 1, 2, 4)、M 3 (3, 3, - 1) です。 それらを通過する平面の方程式を書きます。
解決
両方の方法を交互に使用します。
1. 必要な 2 つのベクトル M 1 M 2 →、M 1 M 3 → の座標を見つけます。
M 1 M 2 → = - 1 - - 3 、 2 - 2 、 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 、 0 、 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 、 3 - 2 、 - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0
次に、ベクトル積を計算してみましょう。 行列式の計算については説明しません。
n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →
必要な 3 つの点を通過する平面の法線ベクトルがあります: n → = (- 5, 30, 2) 。 次に、点の 1 つ、たとえば M 1 (- 3, 2, - 1) を取得し、ベクトル n → = (- 5, 30, 2) を持つ平面の方程式を書き留める必要があります。 - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0 がわかります。
これは、3 点を通過する平面に必要な方程式です。
2. 別のアプローチをとってみましょう。 3 つの点 M 1 (x 1, y 1, z 1)、M 2 (x 2, y 2, z 2)、M 3 (x 3, y 3, z 3) を持つ平面の方程式を次のように書きます。次の形式:
x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0
ここで、問題ステートメントのデータを置き換えることができます。 x 1 = - 3、y 1 = 2、z 1 = - 1、x 2 = - 1、y 2 = 2、z 2 = 4、x 3 = 3、y 3 = 3、z 3 = - 1 なので、その結果、次のようになります。
x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73
必要な方程式が得られました。
答え：-5x+30y+2z-73。
しかし、与えられた点がまだ同じ線上にあり、それらの点に対して平面方程式を作成する必要がある場合はどうなるでしょうか? ここで、この条件が完全に正しいわけではないことをすぐに言わなければなりません。 このような点を通過できる飛行機の数は無限にあるため、単一の答えを計算することは不可能です。 このような問題の定式化が正しくないことを証明するために、このような問題を考えてみましょう。
例 2
3 次元空間には直交座標系があり、その中に 3 つの点が座標 M 1 (5, - 8, - 2)、M 2 (1, - 2, 0)、M 3 (- 1, 1) で配置されています。 、1) 。 それを通過する平面の方程式を作成する必要があります。
解決
最初の方法を使用して、2 つのベクトル M 1 M 2 → と M 1 M 3 → の座標を計算することから始めましょう。 それらの座標を計算してみましょう: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2)、M 1 M 3 → = - 6, 9, 3。
外積は次のようになります。
M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →
M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → なので、ベクトルは共線的になります (この概念の定義を忘れた場合は、ベクトルに関する記事をもう一度読んでください)。 したがって、初期点 M 1 (5, - 8, - 2)、M 2 (1, - 2, 0)、M 3 (- 1, 1, 1) は同一線上にあり、問題には無限に多くの点があります。選択肢の答え。
2 番目の方法を使用すると、次の結果が得られます。
x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0
結果の等価性から、指定された点 M 1 (5, - 8, - 2)、M 2 (1, - 2, 0)、M 3 (- 1, 1, 1) が同じ線上にあることもわかります。
この問題に対する無数の選択肢から少なくとも 1 つの答えを見つけたい場合は、次の手順に従う必要があります。
1. 直線 M 1 M 2、M 1 M 3、または M 2 M 3 の方程式を書き留めます (必要に応じて、このアクションに関する資料を参照してください)。
2. 直線 M 1 M 2 上にない点 M 4 (x 4, y 4, z 4) を取ります。
3. 同一直線上にない 3 つの異なる点 M 1、M 2、M 4 を通過する平面の方程式を書き留めます。
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