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三角関数の式を解く。「三角関数式を単純化する」タグの投稿

ビデオチュートリアル「簡素化」三角関数の式» は、基本的な三角関数の恒等式を使用して三角関数の問題を解決する生徒のスキルを開発するように設計されています。ビデオレッスンでは、三角関数の恒等式の種類と、それを使用した問題解決の例について説明します。視覚補助を使用すると、教師はレッスンの目標を達成しやすくなります。教材の鮮やかなプレゼンテーションにより暗記が促進されます重要な点。アニメーション効果やナレーションを活用することで、教材を説明する段階で教師を完全に置き換えることができます。したがって、この視覚補助を数学の授業で使用することにより、教師は指導の効果を高めることができます。

ビデオレッスンの最初に、そのトピックが発表されます。それから彼らは思い出します三角恒等式以前に勉強した。画面には等式 sin 2 t+cos 2 t=1、tg t=sin t/cos t、kϵZ の場合は t≠π/2+πk、ctg t=cos t/sin t、t≠πk で修正、が表示されます。ここで、kϵZ、tg t・ctg t=1、t≠πk/2の場合、kϵZは基本三角恒等式と呼ばれます。これらの恒等式は、等価性を証明したり式を簡略化する必要がある問題を解決する際によく使用されることに注意してください。

以下では、問題解決におけるこれらのアイデンティティの適用例を検討します。まず、表現を簡略化する問題の解決を検討することを提案します。例 1 では、式 cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t を簡略化する必要があります。この例を解くには、まず括弧内の共通因数 cos 2 t を取り出します。この括弧内の変換の結果、式 1- cos 2 t が得られます。三角法の主な恒等式からその値は sin 2 t に等しくなります。式を変換した後、もう 1 つの共通因数 sin 2 t を括弧から取り出すことができることは明らかで、その後、式は sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t) の形式になります。同じ基本的な同一性から、括弧内の式の値は 1 に等しいと導き出されます。単純化の結果、cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t が得られます。

例 2 では、式コスト/(1- sint)+ コスト/(1+ sint) を簡略化する必要があります。両方の分数の分子には式コストが含まれるため、共通因数として括弧内に取り出すことができます。次に、括弧内の分数は、(1- sint)(1+ sint) を乗算して共通の分母に減算されます。同様の項を導いた後、分子は 2 のままで、分母は 1 - sin 2 t になります。画面の右側では、基本的な三角関数の単位 sin 2 t+cos 2 t=1 が表示されます。これを使用して、分数 cos 2 t の分母を求めます。端数を減らすと、コスト/(1- sint)+コスト/(1+sint)=2/コストという式の簡略化された形式が得られます。

次に、三角法の基本恒等法について得た知識を利用した恒等証明の例を考えます。例３では、同一性（ｔｇ２ｔ－ｓｉｎ２ｔ）・ｃｔｇ２ｔ＝ｓｉｎ２ｔを証明する必要がある。画面の右側には、証明に必要な 3 つの恒等式、tg t・ctg t=1、ctg t=cos t/sin t、制限付き tg t=sin t/cos t が表示されます。同一性を証明するには、最初に括弧が開かれ、その後、主要な三角関数の恒等式 tg t・ctg t=1 の式を反映する積が形成されます。次に、コタンジェントの定義からの恒等式に従って、ctg 2 t が変換されます。変換の結果、式 1-cos 2 t が得られます。主なアイデンティティを使用して、式の意味を見つけます。したがって、（ｔｇ２ｔ－ｓｉｎ２ｔ）・ｃｔｇ２ｔ＝ｓｉｎ２ｔであることが証明された。

例 4 では、tg t+ctg t=6 の場合、式 tg 2 t+ctg 2 t の値を見つける必要があります。式を計算するには、まず等式 (tg t+ctg t) 2 =6 2 の右辺と左辺を 2 乗します。省略された乗算公式が画面の右側に表示されます。式の左側のかっこを開くと、合計 tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t が形成され、これを変換して、三角恒等式 tg t·ctg t=1 の 1 つを適用できます。、そのフォームは画面の右側に表示されます。変換後、等式tg 2 t+ctg 2 t=34が得られる。等式の左辺は問題の条件と一致するので、答えは 34 になります。問題は解決されました。

ビデオレッスン「三角関数の式の簡略化」は、伝統的な学校の数学の授業での使用をお勧めします。この資料は、遠隔教育を行う教師にも役立ちます。三角関数の問題を解くスキルを身につけるため。

テキストのデコード:

「三角関数の式の簡略化」

平等

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (サイン 2 乗 te とコサイン 2 乗 te は 1 に等しい)

2)tgt =、t ≠ + πk の場合、kϵZ (タンジェント te はサイン te とコサイン te の比に等しく、te は pi の 2 プラス pi ka に等しくありません。ka は zet に属します)

3) ctgt = 、t ≠ πk、kϵZ の場合 (余接 te は余弦 te と正弦 te の比に等しく、te は pi ka に等しくなく、ka は zet に属します)。

4) tgt ∙ ctgt = 1 for t ≠ , kϵZ (te がピーク ka に等しくない場合、接線 te と余接 te の積は 1 に等しく、2 で割ると、ka は zet に属します)

は基本三角恒等式と呼ばれます。

これらは、三角関数の式を簡略化して証明する際によく使用されます。

これらの公式を使用して三角関数の式を簡略化する例を見てみましょう。

例 1. 式を簡略化します: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t。 (式 a コサイン 2 乗 te マイナス 4 次のコサイン te プラス 4 次のサイン te)。

解決。 cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(共通因数のコサイン 2 乗 te を取り出します。括弧内で 1 と 2 乗コサイン te の差を取得します。これは、最初の恒等式による 2 乗サイン te に等しいです。次の 4 乗のサイン te の合計を取得します。コサイン二乗 te とサイン二乗 te の積です。括弧の外側にある共通因数サイン二乗 te を取り出し、括弧内でコサインとサインの二乗の和を求めます。これは基本的な三角関数の恒等式によれば 1 に等しくなります。結果として、正弦 te) の 2 乗が得られます。

例 2. 式を単純化します: + 。

(式は、最初のコサイン te の分子の分母 1 マイナスサイン te、2 番目のコサイン te の分子の分母の 2 番目のコサイン te プラスサイン te の 2 つの分数の合計になります)。

(共通因数の余弦 te を括弧から取り出し、括弧内でそれを公分母に導きます。これは、1 から正弦 te を引いたものと 1 を加えた正弦 te の積です。

分子では、1 プラスサインテプラス 1 マイナスサインテを取得します。同様のものを与えます。同様のものを取得すると、分子は 2 に等しくなります。

分母では、短縮された乗算公式 (二乗の差) を適用して、基本的な三角関数恒等式に従って、1 と正弦関数の 2 乗の差を取得できます。

コサイン te の 2 乗に等しい。コサイン te で減算すると、最終的な答え (2 をコサイン te で割ったもの) が得られます。

三角関数の式を証明するときにこれらの公式を使用する例を見てみましょう。

例 3. 同一性を証明する (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (接線 te と正弦 te の二乗の差と余接 te の二乗の積は、サインテ）。

証拠。

等式の左辺を変形してみましょう。

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = 罪 2 t

(括弧を開けましょう。以前に得られた関係から、接線 te と余接 te の二乗の積は 1 に等しいことがわかります。余接 te が余弦 te と正弦 te の比に等しいことを思い出してください。コタンジェントの二乗は、コサイン te の二乗とサイン te の二乗の比であることを意味します。

正弦二乗 te による削減後、1 と余弦二乗 te の差が得られます。これは正弦二乗 te に等しいです)。 Q.E.D.

例 4. tgt + ctgt = 6 の場合、式 tg 2 t + ctg 2 t の値を求めます。

(タンジェントとコタンジェントの合計が 6 の場合、タンジェント te とコタンジェント te の二乗の合計)。

解決。 (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

元の等式の両辺を二乗してみましょう。

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (接線 te と余接 te の和の 2 乗は 6 の 2 乗に等しい)。省略された乗算の公式を思い出してみましょう。2 つの量の合計の 2 乗は、最初の量の 2 乗に、最初の量と 2 番目の積の 2 倍を加えたものに 2 番目の量の 2 乗を加えたものに等しくなります。 (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (正接 2 乗 te と正接 te と余接 te の積の 2 倍と余接 te と余接 2 乗 te は等しい) が得られます。 36）。

タンジェント te とコタンジェント te の積は 1 に等しいため、tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (タンジェント te とコタンジェント te の二乗と 2 の和は 36 に等しい)、

レッスン1

主題： 11年生（統一国家試験対策）

三角関数の式を簡略化します。

簡単な三角方程式を解く。（2時間）

目標:

三角関数の公式の使用と単純な三角方程式の解法に関する生徒の知識とスキルを体系化し、一般化し、拡張します。

レッスン用の備品：

レッスンの構成:

組織化の瞬間
ラップトップでのテスト。結果についての議論。
三角関数式の簡略化
単純な三角方程式を解く
独立した作品。
レッスンのまとめ。宿題の説明。

1. 組織的な瞬間。 (2分)

教師は聴衆に挨拶し、レッスンのトピックを発表し、以前に三角関数の公式を繰り返すという課題が与えられたことを思い出させ、生徒にテストの準備をさせます。

2. テスト。 (15分+ディスカッション3分)

目標は、三角関数の公式の知識とそれを適用する能力をテストすることです。各生徒は机の上にテストのバージョンが入ったラップトップを持っています。

オプションはいくつでもありますが、そのうちの 1 つの例を示します。

私はオプションです。

式を簡略化します。

a) 基本的な三角恒等式

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) 加算式

3. sin5x - sin3x;

c) 積を和に変換する

6. 2sin8y cos3y;

d) 倍角の公式

7. 2sin5x cos5x;

e) 半角の公式

f) 三重角の公式

g) 汎用置換

h) 程度の低下

16. cos 2 (3x/7);

生徒はラップトップ上の各公式の横に自分の答えを表示します。

作品はすぐにコンピューターでチェックされます。結果は大きな画面に表示され、誰でも見ることができます。

また、作業終了後は生徒のノートパソコンに正解が表示されます。各生徒はどこで間違いがあったか、どの公式を繰り返す必要があるかを確認します。

3. 三角関数の式の簡略化。 (25分)

目標は、基本的な三角法の公式の使用を繰り返し、練習し、定着させることです。統一国家試験の問題 B7 を解く。

この段階では、クラスを強い生徒（その後のテストに独立して取り組む）と、教師と協力する弱い生徒のグループに分けることをお勧めします。

得意な生徒向けの課題（事前に印刷して作成）。 2011 年の統一州試験によれば、主に縮小と倍角の公式に重点が置かれています。

式を簡略化します (強い生徒向け):

同時に、教師は弱い生徒と協力し、生徒の口述に従って画面上で話し合い、課題を解決します。

計算します:

5) sin(270° - α) + cos (270° + α)

簡略化する：

強力なグループの研究結果について話し合う時が来ました。

回答は画面に表示されるほか、ビデオカメラを使用して、5 人の異なる生徒の課題が表示されます (各 1 課題)。

弱いグループは、解決の条件と方法を確認します。議論と分析が進行中です。使用する技術的手段それはすぐに起こります。

4. 簡単な三角方程式を解く。（30分。）

目標は、最も単純な三角方程式の解法を繰り返し、体系化し、一般化し、その根を書き留めることです。問題B3の解決策。

どのような三角方程式も、どのように解いても最も単純な方程式に行き着きます。

課題を完了するとき、生徒は特殊な場合の方程式の根を書き留めることに注意を払う必要があります。一般的な見解そして最後の方程式の根の選択について。

方程式を解く：

最小の正の根を答えとして書き留めてください。

5. 自主制作（10分）

目標は、習得したスキルをテストし、問題、エラー、およびそれらを除去する方法を特定することです。

生徒の選択に応じて、複数レベルの課題が提供されます。

オプション「3」

1) 式の値を求める

2) 式 1 - sin 2 3α - cos 2 3α を簡略化します。

3) 方程式を解く

「4」のオプション

1) 式の値を求める

2) 方程式を解く答えの中で最小の正の根を書き留めてください。

オプション「5」

1) 次の場合にtanαを求めます。

2) 方程式の根を求める最小の正の根を答えとして書き留めてください。

6. レッスンの概要 (5 分)

教師はレッスンで繰り返され強化された内容を要約します三角関数の公式、簡単な三角方程式を解きます。

宿題は（事前にプリントベースで作成して）割り当てられ、次のレッスンでランダムにチェックされます。

方程式を解く：

10) 回答では、最小の正の根を示してください。

レッスン 2

主題： 11年生（統一国家試験対策）

三角方程式を解く方法。ルートの選択。（2時間）

目標:

さまざまなタイプの三角方程式を解くための知識を一般化し、体系化します。
生徒の数学的思考、観察、比較、一般化、分類する能力の発達を促進します。
精神活動の過程で困難を克服し、自制し、自分の活動を内省するよう生徒を励まします。

レッスン用の備品： KRMu、各生徒にラップトップ。

レッスンの構成:

組織化の瞬間
d/zと自分自身についての議論。前回のレッスンの作業
三角方程式の解き方の復習。
三角方程式を解く
三角方程式の根の選択。
独立した作品。
レッスンのまとめ。宿題。

1. 組織化の瞬間 (2 分)

教師は聴衆に挨拶し、レッスンのトピックと作業計画を発表します。

2. a) 分析宿題（5分。）

目的は実行を確認することです。ビデオカメラを使用して 1 つの作品が画面に表示され、残りの作品は教師のチェックのために選択的に収集されます。

b) 分析独立した仕事(3分)

目標は、間違いを分析し、それを克服する方法を示すことです。

答えと解決策は画面上に表示され、生徒には事前に課題が配布されます。分析は迅速に進みます。

3. 三角方程式の解き方の復習（5分）

目標は、三角方程式を解く方法を思い出すことです。

生徒たちに、三角方程式を解く方法をどのように知っているか尋ねます。いわゆる基本的な (頻繁に使用される) メソッドがあることを強調します。

変数の置換、
因数分解、
同次方程式、

応用されたメソッドもあります:

和を積に、積を和に変換する公式を使用し、
式によると程度の低下,
普遍的な三角関数の置換
補助角度の導入、
何らかの乗算三角関数.

1 つの方程式はさまざまな方法で解くことができることも思い出してください。

4. 三角方程式を解く（30分）

目標は、このトピックに関する知識とスキルを一般化し、統合して、統一州試験の C1 ソリューションの準備をすることです。

学生と一緒にそれぞれの手法の方程式を解いてみるとよいと思います。

生徒が解決策を口述し、教師がそれをタブレットに書き留めると、プロセス全体が画面に表示されます。これにより、記憶の中にある以前に取り上げた内容を迅速かつ効果的に思い出すことができます。

方程式を解く：

1) 変数 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0 を置き換えます。

2) 因数分解 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) 同次方程式 sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) 和を積に変換 cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) 積を和 2sinx sin2x + cos3x = 0 に変換します。

6) 次数の減少 sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0.5

7) 汎用三角関数置換 sinx + 5cosx + 5 = 0。

この方程式を解く際、サインとコサインが tg(x/2) に置き換えられるため、この方法を使用すると定義範囲が狭くなることに注意してください。したがって、答えを書き出す前に、集合 π + 2πn, n Z の数値がこの方程式の馬であるかどうかを確認する必要があります。

8) 補助角の導入 √3sinx + cosx - √2 = 0

9) 何らかの三角関数を掛ける cosx cos2x cos4x = 1/8。

5. 三角方程式の根の選択 (20 分)

大学入学時の熾烈な競争状況では、試験の前半部分を解くだけでは十分ではないため、多くの学生は後半部分（C1、C2、C3）の課題に注意を払う必要があります。

したがって、レッスンのこの段階の目標は、以前に学習した内容を思い出し、2011 年の統一州試験の問題 C1 を解く準備をすることです。

存在する三角方程式、答えを書き出すときにルートを選択する必要があります。これは、いくつかの制限によるものです。たとえば、分数の分母は次のとおりです。ゼロに等しい、偶数根の下の式は非負、対数符号の下の式は正などです。

このような方程式は、より複雑になった方程式とみなされ、統一国家試験のバージョン 2 番目の部分、つまり C1 にあります。

方程式を解きます。

次の場合、分数はゼロに等しいを使用して単位円ルートを選択しましょう (図 1 を参照)

写真1。

x = π + 2πn、n Z が得られます。

答え: π + 2πn、n Z

画面上では、ルートの選択がカラー画像の円上に表示されます。

因子の少なくとも 1 つがゼロに等しい場合、積はゼロに等しく、円弧はその意味を失いません。それから

単位円を使用してルートを選択します (図 2 を参照)

ご要望に応じて。

6. 式を簡略化します。

なぜなら 90°までの互いに補い合う角度の共関数は等しい, 次に、分数の分子の sin50° を cos40° に置き換え、double 引数の正弦の公式を分子に適用します。分子に 5sin80° が得られます。 sin80° を cos10° に置き換えてみましょう。これにより、端数を減らすことができます。

適用される式: 1) sinα=cos(90°-α); 2) sin2α=2sinαcosα。

7. で等差数列、その差が 12、第 8 項が 54 である場合、負の項の数を求めます。

解決策の計画。この数列の一般項の式を作成し、n 個の負の項がどのような値になるかを調べてみましょう。これを行うには、進行の最初の項を見つける必要があります。

d=12、a 8 =54 となります。式 a n =a 1 +(n-1)・d を使用すると、次のように書きます。

ａ８＝ａ１＋７ｄ。利用可能なデータを置き換えてみましょう。 54=a 1 +7∙12;

a 1 = -30。この値を式 a n =a 1 +(n-1)・d に代入します。

a n =-30+(n-1)∙12 または a n =-30+12n-12。単純化しましょう: a n =12n-42。

負の項の数を探しているので、不等式を解く必要があります。

あ、ん<0, т.е. неравенство: 12n-42<0;

12n<42 ⇒ n<3,5. Из чего заключаем, что в данной прогрессии всего три отрицательных члена, т.е. n=3.

8. 次の関数の値の範囲を見つけます: y=x-|x|。

モジュラーブラケットを開いてみましょう。 x≧0の場合、y=x-x ⇒ y=0。グラフは原点の右側の Ox 軸になります。 ×の場合<0, то у=х+х ⇒ у=2х. Графиком будет та часть прямой у=2х, которая лежит ниже оси Ох. Таким образом, график данной функции y=x-|x| есть объединение полупрямых. Областью значений служат все неположительные числа, т.е. E(y)=(-∞; 0].

9. 母線が 18 cm、底面の面積が 36 cm 2 の場合、直円錐の側表面積を求めます。

軸方向断面 MAV を持つ円錐が与えられています。ジェネレーター VM=18、S メイン。 =36π。次の式を使用して円錐の側面の面積を計算します: S 側。 =πRl、ここで l は発電機で、条件によれば 18 cm に等しく、R は底面の半径です。式 S cr を使用して求めます。 = πR 2 。 S cr があります。 =Sベーシック = 36π。したがって、πR 2 =36π ⇒ R=6。

続いてS面。 =π・6・18 ⇒ S側。 =108πcm2。

12. 対数方程式を解く。分数は、分子が分母と等しい場合、1 に等しくなります。

log(x 2 +5x+4)=2logx (logx≠0)。等式の右辺に、対数記号の下の数値の累乗の特性を適用します: lg(x 2 +5x+4)=lgx 2。これらの 10 進対数は等しいため、対数記号の下の数値は等しいです。、したがって：

x 2 +5x+4=x 2、したがって 5x=-4; x=-0.8 が得られます。ただし、対数の符号の下にあるのは正の数のみであるため、この値を取得することはできません。したがって、この方程式には解がありません。注記。意思決定の最初に ODZ を見つけるべきではありません (時間の無駄です!)。(現在行っているように) 最後に確認する方が良いでしょう。

13. 式 (x o – y o) の値を求めます。(x o; y o) は連立方程式の解です。