家 / 火傷の種類/ ベクトルが空間内の基底を形成していることを確認します。ベクトルの線形依存性と線形独立性。ベクトルの基礎。アフィン座標系

ベクトルが空間内の基底を形成していることを確認します。ベクトルの線形依存性と線形独立性。ベクトルの基礎。アフィン座標系

空間の基礎彼らは、空間内の他のすべてのベクトルが基底に含まれるベクトルの線形結合として表現できるようなベクトル系と呼んでいます。
実際には、これはすべて非常に簡単に実装されます。原則として、基底は平面または空間上でチェックされます。そのためには、ベクトル座標で構成される 2 次、3 次の行列の行列式を見つける必要があります。以下に概略的に書きます ベクトルが基底を形成する条件

に ベクトル b を基底ベクトルに展開します
e,e...,e[n] ベクトル e,e...,e[n] の線形結合が次の値に等しい係数 x, ..., x[n] を見つける必要があります。ベクター b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b。
これを行うには、ベクトル方程式をシステムに変換する必要があります。一次方程式そして解決策を見つけます。これも非常に簡単に実装できます。
見つかった係数 x、...、x[n] は呼び出されます。 基底におけるベクトル b の座標 e、e...、e[n]。
トピックの実践的な側面に移りましょう。

ベクトルの基底ベクトルへの分解

タスク1。 ベクトル a1、a2 が平面上の基底を形成しているかどうかを確認する

1) a1 (3; 5)、a2 (4; 2)
解決策: ベクトルの座標から行列式を構成し、計算します。

決定要因はそうではありませんゼロに等しい したがって、 ベクトルは線形に独立しています。これは、ベクトルが基底を形成することを意味します。.

2) a1 (2;-3)、a2 (5;-1)
解決策: ベクトルで構成される行列式を計算します。

行列式は 13 (ゼロではありません) です。このことから、ベクトル a1、a2 が平面上の基底であることがわかります。

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「高等数学」分野における MAUP プログラムの典型的な例を見てみましょう。

タスク2。ベクトル a1、a2、a3 が 3 次元ベクトル空間の基底を形成していることを示し、この基底に従ってベクトル b を展開します (連立線形代数方程式を解く場合は Cramer の方法を使用します)。
1) a1 (3; 1; 5)、a2 (3; 2; 8)、a3 (0; 1; 2)、b (−3; 1; 2).
解決策: まず、ベクトル a1、a2、a3 の系を考え、行列 A の行列式を確認します。

ゼロ以外のベクトルに基づいて構築されます。行列にはゼロ要素が 1 つ含まれているため、行列式を 1 列目または 3 行目のスケジュールとして計算する方が適切です。

計算の結果、行列式はゼロではないことがわかりました。 ベクトル a1、a2、a3 は線形独立です.
定義上、ベクトルは R3 の基礎を形成します。をもとにベクトルbのスケジュールを書いてみましょう。

ベクトルは、対応する座標が等しい場合に等しいです。
したがって、ベクトル方程式から連立一次方程式が得られます。

SLAEを解決しましょう クレーマー法。これを行うには、連立方程式を次の形式で記述します。

SLAE の主な行列式は、常に基底ベクトルで構成される行列式と等しくなります。

したがって、実際には 2 回カウントされることはありません。補助行列式を見つけるには、主行列式の各列の代わりに自由項の列を置きます。行列式は三角定規を使用して計算されます

見つかった行列式をクラマーの公式に代入してみましょう

したがって、基底に関するベクトル b の展開は、b=-4a1+3a2-a3 の形式になります。基底 a1、a2、a3 におけるベクトル b の座標は (-4,3,1) になります。

2)a1 (1; -5; 2)、a2 (2; 3; 0)、a3 (1; -1; 1)、b (3; 5; 1)。
解決策: ベクトルの基底を確認します。ベクトルの座標から行列式を構成し、それを計算します。

行列式はゼロに等しくないので、 ベクトルは空間の基礎を形成します。この基礎を通じてベクトル b のスケジュールを見つけることが残っています。これを行うには、ベクトル方程式を書きます。

そして連立一次方程式に変換します

行列方程式を書きます

次に、Cramer の公式に対して補助行列式を求めます。

Cramerの公式を適用します

したがって、指定されたベクトル b には 2 つの基底ベクトル b=-2a1+5a3 によるスケジュールがあり、基底内のその座標は b(-2,0, 5) に等しくなります。

線形依存性と線形独立性ベクトル。
ベクトルの基礎。アフィンシステム座標

講堂にはチョコレートの入ったカートがあり、今日の訪問者は全員、線形代数を使用した解析幾何学という甘いカップルを手に入れることになります。この記事では、2 つのセクションを一度に説明します。高等数学、そしてそれらが1つのラッパーでどのように連携するかを見てみましょう。休憩して、Twix を食べましょう! ...くそー、なんてナンセンスなのだろう。まあ、点は取れませんが、結局は勉強に対して前向きな姿勢が大切です。

ベクトルの線形依存性, 線形ベクトルの独立性, ベクトルの基礎他の用語には幾何学的な解釈だけでなく、何よりも代数的な意味があります。線形代数の観点から見た「ベクトル」という概念自体が、平面や空間上に表現できる「通常の」ベクトルであるとは限りません。証拠を探す必要はありません。5 次元空間のベクトルを描いてみてください。。または、天気ベクトル。これについては Gismeteo に行きました。 – 気温と大気圧それぞれ。もちろん、この例はベクトル空間の特性の観点からは正しくありませんが、それでも、これらのパラメーターをベクトルとして形式化することを禁止する人はいません。秋の息吹…

いいえ、理論や線形ベクトル空間に退屈させるつもりはありません。課題は次のとおりです。 理解する定義と定理。新しい用語 (線形依存性、独立性、線形結合、基底など) は代数的な観点からすべてのベクトルに適用されますが、幾何学的例が示されます。したがって、すべてがシンプルでアクセスしやすく、明確です。解析幾何学の問題に加えて、いくつかの典型的な代数問題も検討します。教材をマスターするには、レッスンに慣れることをお勧めします ダミー用のベクトルそして 行列式を計算するにはどうすればよいですか?

平面ベクトルの線形依存性と独立性。
平面基底とアフィン座標系

コンピューターデスクの平面を考えてみましょう (テーブル、ベッドサイドテーブル、床、天井など、好きなものなら何でも)。タスクは次のアクションで構成されます。

1) 平面基準を選択してください。大まかに言えば、テーブルトップには長さと幅があるため、基礎を構築するには 2 つのベクトルが必要であることが直感的にわかります。 1 つのベクトルでは明らかに不十分で、3 つのベクトルでは多すぎます。

2) 選択した基準に基づいて 座標系を設定する(座標グリッド) を使用して、テーブル上のすべてのオブジェクトに座標を割り当てます。

驚かないでください。最初は指で説明されます。さらに、あなたのものです。置いてください 人差し指左手テーブルトップの端に座ってモニターを見ます。これはベクトルになります。今場所 小指右手 同様にテーブルの端に置き、モニター画面に向けます。これはベクトルになります。笑顔、素敵ですね！ベクトルについて何が言えるでしょうか? データベクトル 同一直線上にある、つまり線形お互いを通して表現し合う：
、まあ、またはその逆: 、ここで、はゼロとは異なる数値です。

このアクションの写真を授業で見ることができます。 ダミー用のベクトルでは、ベクトルと数値を乗算する規則を説明しました。

あなたの指はコンピューターデスクの平面に基礎を置きますか? 明らかに違います。同一線上のベクトルが前後に移動します 一人で方向があり、平面には長さと幅があります。

このようなベクトルは次のように呼ばれます。 線形依存性.

参照： 「線形」、「線形」という言葉は、数学の方程式や式には、平方、立方体、その他の累乗、対数、正弦などが存在しないという事実を示します。線形 (1 次) 式と依存関係のみがあります。

2 つの平面ベクトル線形依存性それらが同一線上にある場合に限り、.

テーブルの上で指を交差させ、指の間に 0 度または 180 度以外の角度ができるようにします。 2 つの平面ベクトル線形ない同一線上にない場合にのみ依存します。ということで、基礎が得られました。異なる長さの非垂直ベクトルによって基底が「歪んでいる」ことが判明したとしても、恥ずかしがる必要はありません。すぐに、90 度の角度だけがその構築に適しているわけではなく、同じ長さの単位ベクトルだけが適しているわけでもないことがわかるでしょう。

どれでも平面ベクトル 唯一の方法は次の基準に従って展開されます。
, ここで、は実数です。数字は呼ばれます ベクトル座標この根拠で。

とも言われています ベクターとして提示される線形結合基底ベクトル。つまり、式は次のように呼ばれます。 ベクトル分解根拠によってまたは 線形結合基底ベクトル。

たとえば、ベクトルは平面の正規直交基底に沿って分解されると言うことができ、またはベクトルの線形結合として表されると言うことができます。

定式化しましょう 基礎の定義正式には: 飛行機の基礎は線形に独立した (非共線的) ベクトルのペアと呼ばれます。ここで、 どれでも平面ベクトルは基底ベクトルの線形結合です。

定義の重要な点は、ベクトルが取られるという事実です。特定の順序で。拠点 – これらはまったく異なる 2 つのベースです。よく言われるように、左手の小指を右手の小指に置き換えることはできません。

基礎は理解できましたが、座標グリッドを設定し、コンピューターデスク上の各アイテムに座標を割り当てるだけでは十分ではありません。なぜ十分ではないのでしょうか? ベクトルは自由で、平面全体をさまよっています。では、週末の楽しい時間を過ごした後に残ったテーブル上の小さな汚れた箇所に、どのように座標を割り当てるのでしょうか? 出発点が必要です。そして、そのようなランドマークは誰もが知っている点、つまり座標の原点です。座標系を理解しましょう。

まずは「学校」システムから見ていきましょう。すでに入門レッスン中 ダミー用のベクトル直交座標系と正規直交基底の間のいくつかの違いを強調しました。標準的な画像は次のとおりです。

彼らが話しているとき 直交座標系、その後、ほとんどの場合、原点、座標軸、および軸に沿ったスケールを意味します。検索エンジンに「直交座標系」と入力してみると、5 年生から 6 年生でおなじみの座標軸や、平面上に点をプロットする方法について多くの情報源が表示されます。

一方、直交座標系は正規直交基底で完全に定義できるようです。そしてそれはほぼ真実です。文言は次のとおりです。

起源、そして 正規直交基礎は決まっている デカルト直交平面座標系 。つまり、直交座標系は 絶対には、単一の点と 2 つの単位直交ベクトルによって定義されます。これが、私が上で示した図を見られる理由です。幾何学的な問題多くの場合 (常にではありませんが)、ベクトルと座標軸の両方が描画されます。

点（原点）と正規直交基底を使用することは誰もが理解していると思います 平面上の任意の点と平面上の任意のベクトル座標を割り当てることができます。比喩的に言えば、「飛行機上のすべてのものに番号を付けることができる」ということです。

座標ベクトルは単位である必要がありますか? いいえ、ゼロ以外の任意の長さを持つことができます。 1 つの点と、ゼロ以外の長さの 2 つの直交ベクトルを考えます。

このような基礎をこう呼ぶ直交。ベクトルの座標の原点は座標グリッドによって定義され、平面上の任意の点、任意のベクトルは指定された基底での座標を持ちます。たとえば、または。明らかな不便さは、座標ベクトルが 一般的に単位以外の長さは異なります。長さが 1 に等しい場合、通常の正規直交基底が得られます。

！注記 : 直交基底、および以下の平面および空間のアフィン基底では、軸に沿った単位が考慮されます。 条件付き。たとえば、x 軸の 1 単位には 4 cm が含まれ、縦軸の 1 単位には 2 cm が含まれます。この情報は、必要に応じて「非標準」座標を「通常のセンチメートル」に変換するのに十分です。

2 番目の質問は、実際にはすでに答えられていますが、基底ベクトル間の角度は 90 度に等しくなければならないかどうかです。いいえ！定義にあるように、基底ベクトルは次のようにする必要があります。非共線性のみ。したがって、角度は 0 度と 180 度以外の任意の角度にすることができます。

と呼ばれる平面上の点起源、そして 非共線的ベクトル、、セット アフィン平面座標系 :

このような座標系は時々呼ばれます斜めシステム。例として、図には点とベクトルが示されています。

ご存知のとおり、アフィン座標系はさらに便利ではありません。レッスンの 2 番目の部分で説明したベクトルとセグメントの長さの公式は、アフィン座標系では機能しません。 ダミー用のベクトル、関連するおいしい公式がたくさんあります。 ベクトルのスカラー積。ただし、ベクトルの加算とベクトルの数値の乗算の規則、この関係でセグメントを分割する公式、およびすぐに検討する他のタイプの問題は有効です。

そして結論は、アフィン座標系の最も便利な特殊なケースはデカルト直方体系であるということです。だからこそ、あなたは最も頻繁に彼女に会わなければなりません、私の愛する人。 ...しかし、この人生のすべては相対的です - 斜めの角度（または他の角度、たとえば、極地) 座標系。そしてヒューマノイドはそのようなシステムを好むかもしれません =)

実践的な部分に移りましょう。このレッスンのすべての問題は、直交座標系と一般的なアフィンの場合の両方に当てはまります。ここには複雑なことは何もなく、すべての教材は小学生でもアクセスできます。

平面ベクトルの共線性を判断するにはどうすればよいですか?

典型的なこと。 2 つの平面ベクトルの場合同一線上にある場合、それらの対応する座標が比例していることが必要かつ十分です基本的に、これは明らかな関係を座標ごとに詳細に示したものです。

例1

a) ベクトルが同一線上にあるかどうかを確認します。 .
b) ベクトルは基礎を形成していますか? ?

解決：
a) ベクトルがあるかどうか調べてみましょう次の等式が満たされるような比例係数。

このルールを適用した「おしゃれな」バージョンについては、必ずお話ししますが、実際には非常にうまく機能します。アイデアは、直ちに比率を計算し、それが正しいかどうかを確認することです。

ベクトルの対応する座標の比率から比例を計算してみます。

短くしましょう:
、したがって、対応する座標は比例するため、

関係を逆にすることもできます。これは同等のオプションです。

自己テストには、共線ベクトルが相互に線形に表現されるという事実を利用できます。この場合、等式が成り立ちます。それらの有効性は、ベクトルを使用した基本的な操作を通じて簡単に検証できます。

b) 2 つの平面ベクトルが同一直線上にない (線形独立している) 場合、基底を形成します。ベクトルの共線性を調べます。システムを作成しましょう:

最初の方程式からは次のことがわかり、2 番目の方程式からはということがわかります。つまり、 システムに一貫性がない（解決策はありません）。したがって、ベクトルの対応する座標は比例しません。

結論: ベクトルは線形独立であり、基底を形成します。

ソリューションの簡略版は次のようになります。

ベクトルの対応する座標から比例を計算しましょう :
、これは、これらのベクトルが線形独立であり、基底を形成することを意味します。

通常、このオプションはレビュー担当者によって拒否されることはありませんが、一部の座標がゼロに等しい場合に問題が発生します。このような：。または次のようにします。。または次のようにします。。ここで比例関係をどのように処理すればよいでしょうか? (実際、ゼロで割ることはできません)。私がこの単純化されたソリューションを「おしゃれ」と呼んだのはこのためです。

答え： a) 、b) の形式。

ちょっとクリエイティブな例としては、独立した決定:

例 2

ベクトルはパラメータのどの値にあるのかそれらは同一直線上にあるでしょうか？

サンプル溶液では、パラメータは比率によって求められます。

優雅さがある代数的方法ベクトルの共線性をチェックする知識を体系化して、これを 5 番目のポイントとして追加しましょう。

2 つの平面ベクトルの場合、次のステートメントは同等です。:

2) ベクトルが基礎を形成します。
3) ベクトルは同一線上にありません。

+ 5) これらのベクトルの座標で構成される行列式は非ゼロです.

それぞれ、 次の反対のステートメントは同等です:
1) ベクトルは線形依存します。
2) ベクトルは基礎を形成しません。
3) ベクトルは同一線上にあります。
4) ベクトルは相互に線形に表現できます。
+ 5) これらのベクトルの座標で構成される行列式はゼロに等しい.

本当に本当にそう願っていますこの瞬間あなたは、出てくるすべての用語や記述をすでに理解しています。

新しい 5 番目のポイントを詳しく見てみましょう。 2つの平面ベクトル指定されたベクトルの座標で構成される行列式がゼロに等しい場合に限り、共線的になります。:。もちろん、この機能を適用するには、次のことができる必要があります。 決定要因を見つける.

決めましょう 2 番目の方法の例 1:

a) ベクトルの座標から構成される行列式を計算してみましょう :
これは、これらのベクトルが同一線上にあることを意味します。

b) 2 つの平面ベクトルが同一直線上にない (線形独立している) 場合、基底を形成します。ベクトル座標からなる行列式を計算してみましょう :
これは、ベクトルが線形独立であり、基底を形成することを意味します。

答え： a) 、b) の形式。

プロポーションのあるソリューションよりもはるかにコンパクトで美しく見えます。

検討した材料の助けを借りて、ベクトルの共線性を確立するだけでなく、セグメントと直線の平行性を証明することもできます。特定の幾何学的形状に関するいくつかの問題を考えてみましょう。

例 3

四角形の頂点が与えられます。四角形が平行四辺形であることを証明してください。

証拠: 解決策は純粋に分析的なものとなるため、問題に図面を作成する必要はありません。平行四辺形の定義を思い出してみましょう。
平行四辺形 対辺が平行な四角形を 2 つ組といいます。

したがって、次のことを証明する必要があります。
1) 反対側の平行度、および;
２）対辺の平行度と。

私たちは証明します:

1) ベクトルを見つけます。

2) ベクトルを見つけます。

結果は同じベクトルになります (「学校によると」 – 等しいベクトル)。共線性は非常に明白ですが、取り決めを設けて決定を明確に形式化することをお勧めします。ベクトル座標で構成される行列式を計算してみましょう。
、これは、これらのベクトルが同一線上にあることを意味します。

結論: 四角形の反対側の辺はペアで平行です。これは、定義上、平行四辺形であることを意味します。 Q.E.D.

さらに優れた異なる数値:

例 4

四角形の頂点が与えられます。四角形が台形であることを証明してください。

証明をより厳密に定式化するには、もちろん台形の定義を取得する方が良いですが、それがどのようなものかを単に覚えておくだけで十分です。

これはあなた自身で解決していただく課題です。完全なソリューションレッスンの終わりに。

そして今度は飛行機からゆっくりと宇宙へ移動します。

空間ベクトルの共線性を判断するにはどうすればよいですか?

ルールは非常に似ています。 2 つの空間ベクトルが同一線上にあるためには、それらの対応する座標が比例していることが必要かつ十分です。.

例5

次の空間ベクトルが同一線上にあるかどうかを調べます。

A）;
b)
V)

解決：
a) ベクトルの対応する座標に比例係数があるかどうかを確認してみましょう。

システムには解がありません。これは、ベクトルが同一線上にないことを意味します。

「簡略化」は割合を確認することで形式化されます。この場合：
– 対応する座標は比例していません。これは、ベクトルが同一線上にないことを意味します。

答え：ベクトルは同一線上にありません。

b-c) これらは独立した決定のためのポイントです。 2 つの方法で試してみてください。

3 次行列式を使用して空間ベクトルの共線性をチェックする方法があります。この方法については記事で説明しています。 ベクトルのベクトル積.

平面の場合と同様に、考慮されているツールを使用して、空間セグメントと直線の平行性を調べることができます。

2 番目のセクションへようこそ:

3 次元空間におけるベクトルの線形依存性と独立性。
空間基底とアフィン座標系

平面上で調べたパターンの多くは宇宙でも有効です。理論上のメモを最小限に抑えようとしました。最大の分け前情報はすでに噛み砕かれています。ただし、新しい用語や概念が登場するため、導入部分を注意深く読むことをお勧めします。

ここでは、コンピューターデスクの平面の代わりに、3 次元空間を探索します。まずはその基礎を作りましょう。誰かが屋内にいて、誰かが屋外にいますが、いずれにせよ、私たちは幅、長さ、高さの 3 次元から逃れることはできません。したがって、基底を構築するには 3 つの空間ベクトルが必要になります。 1 つまたは 2 つのベクトルでは十分ではなく、4 つ目のベクトルは余分です。

そして再び指でウォームアップします。手を上げていろんな方向に広げてください 親指、人差し指、中指。これらはベクトルであり、異なる方向を向き、異なる長さを持ち、それらの間の角度も異なります。おめでとうございます。3 次元空間の基礎が完成しました。ちなみに、指をどれだけ強くひねっても、これを教師に示す必要はありませんが、定義から逃れることはできません =)

次に、重要な質問をしてみましょう。 3 つのベクトルは 3 次元空間の基礎を形成しますか?? パソコンデスクの上面を3本の指でしっかりと押してください。どうしたの？ 3 つのベクトルが同じ平面上にあり、大まかに言えば、次元の 1 つである高さが失われています。そのようなベクトルは、 同一平面上のそして、三次元空間の基礎が作られていないことは明らかです。

同一平面上のベクトルは同じ平面上にある必要はなく、同じ平面内にあってもよいことに注意してください。平行面(指でこれを行わないでください。この方法で成功したのはサルバドールダリだけです =))。

意味: ベクトルが呼び出されます 同一平面上のそれらが平行な平面がある場合。このような平面が存在しない場合、ベクトルは同一平面上にないことをここで付け加えることは論理的です。

3 つの同一平面上にあるベクトルは常に線形に依存します、つまり、それらは相互に線形に表現されます。簡単にするために、それらが同じ平面上にあると再び想像してみましょう。まず、ベクトルは同一平面上にあるだけでなく、同一直線上にあることもあり、任意のベクトルを任意のベクトルを介して表現できます。 2 番目のケースでは、たとえばベクトルが同一線上にない場合、3 番目のベクトルはそれらを介して独自の方法で表現されます。 (その理由は、前のセクションの資料から簡単に推測できます)。

逆もまた真です: 3 つの非共面ベクトルは常に線形独立ですつまり、それらは決して相互を通じて表現されるものではありません。そして明らかに、そのようなベクトルのみが 3 次元空間の基礎を形成できます。

意味: 三次元空間の基礎は線形に独立した (非同一平面上にある) ベクトルのトリプルと呼ばれます。特定の順序で撮影される、および空間の任意のベクトル唯一の方法は指定された基底で分解されます。この基底におけるベクトルの座標は次のとおりです。

ベクトルは次の形式で表されるとも言えることを思い出してください。 線形結合基底ベクトル。

座標系の概念は、平面の場合とまったく同じ方法で導入されます。1 つの点と任意の 3 つの線形独立ベクトルで十分です。

起源、そして 非共面上ベクトル、特定の順序で撮影される、セット 3次元空間のアフィン座標系 :

もちろん、座標グリッドは「斜め」で不便ですが、それでも、構築された座標系により、 絶対に任意のベクトルの座標と空間内の任意の点の座標を決定します。平面と同様に、すでに述べたいくつかの公式は空間のアフィン座標系では機能しません。

誰もが推測しているように、アフィン座標系の最も馴染みがあり便利な特殊ケースは次のとおりです。 直方空間座標系:

と呼ばれる空間上の点起源、そして 正規直交基礎は決まっている デカルト直方空間座標系 。よくある写真:

実際のタスクに進む前に、情報をもう一度体系化してみましょう。

3 つの空間ベクトルの場合、次のステートメントは同等です。:
1) ベクトルは線形独立です。
2) ベクトルが基礎を形成します。
3) ベクトルは同一平面上にありません。
4) ベクトルは相互に線形に表現できません。
5) これらのベクトルの座標で構成される行列式はゼロではありません。

反対の意見も理解できると思います。

空間ベクトルの線形依存性/独立性は伝統的に行列式を使用してチェックされます (ポイント 5)。残りの実践的なタスクは、顕著な代数的な性質のものになります。幾何学棒を手放し、線形代数のバットを振る時が来ました。

空間の 3 つのベクトル与えられたベクトルの座標で構成される行列式が 0 に等しい場合に限り、同一平面上にあります。 .

小さな技術的なニュアンスに注目していただきたいのですが、ベクトルの座標は列だけでなく行にも書き込むことができます (これにより行列式の値は変わりません - 行列式のプロパティを参照してください)。ただし、いくつかの実際的な問題を解決するのにより有益であるため、コラムの方がはるかに優れています。

行列式の計算方法を少し忘れてしまった、またはまったく理解していない読者には、私の最も古いレッスンの 1 つをお勧めします。 行列式を計算するにはどうすればよいですか?

例6

次のベクトルが 3 次元空間の基礎を形成しているかどうかを確認します。

解決: 実際、解決策全体は行列式の計算に帰着します。

a) ベクトル座標で構成される行列式を計算してみましょう (行列式は最初の行で示されています)。

これは、ベクトルが線形に独立しており (同一平面上ではなく)、3 次元空間の基礎を形成していることを意味します。

答え: これらのベクトルが基礎を形成します

b) これは独立した決定のポイントです。完全な解決策と答えはレッスンの最後にあります。

クリエイティブなタスクもあります。

例 7

パラメーターのどの値でベクトルは同一平面上になりますか?

解決: ベクトルは、これらのベクトルの座標で構成される行列式が 0 に等しい場合に限り、同一平面上にあります。

基本的に、行列式を使用して方程式を解く必要があります。トビネズミの凧のようにゼロを急降下させます。2 行目の行列式を開いてすぐにマイナスを取り除くのが最善です。

さらに単純化を実行して、問題を最も単純な線形方程式に還元します。

答え：で

ここで確認するのは簡単です。これを行うには、結果の値を元の行列式に代入し、次のことを確認する必要があります。、再度開きます。

最後に、本質的により代数的であり、伝統的に線形代数コースに含まれている別の典型的な問題を検討します。これは非常に一般的であるため、独自のトピックを作成する価値があります。

3 つのベクトルが 3 次元空間の基礎を形成することを証明する
この基底で 4 番目のベクトルの座標を見つけます

例8

ベクトルが与えられます。ベクトルが 3 次元空間で基底を形成することを示し、この基底でのベクトルの座標を見つけます。

解決: まず、条件を処理しましょう。条件ごとに 4 つのベクトルが与えられ、ご覧のとおり、それらはすでに何らかの基底で座標を持っています。この根拠が何であるかは、私たちには興味がありません。そして次のことは興味深いことです: 3 つのベクトルが新しい基礎を形成する可能性があります。そして、最初の段階は例 6 の解決策と完全に一致します。ベクトルが本当に線形独立であるかどうかを確認する必要があります。

ベクトル座標で構成される行列式を計算してみましょう。

これは、ベクトルが線形に独立しており、3 次元空間の基礎を形成していることを意味します。

！重要 : ベクトル座標必然的に書き留める列に入れる文字列ではなく決定要因です。そうしないと、その後の解法アルゴリズムで混乱が生じる可能性があります。

テスト課題

タスク 1 ～ 10。ベクトルが与えられます。ベクトルが 3 次元空間の基礎を形成していることを示し、この基礎におけるベクトルの座標を見つけます。

ベクトル ε 1 (3;1;6)、ε 2 (-2;2;-3)、ε 3 (-4;5;-1)、X(3;0;1) があるとします。ベクトルが 3 次元空間の基礎を形成していることを示し、この基礎におけるベクトル X の座標を求めます。

このタスクは 2 つの部分で構成されます。まず、ベクトルが基底を形成しているかどうかを確認する必要があります。これらのベクトルの座標で構成される行列式がゼロ以外の場合、ベクトルは基底を形成します。それ以外の場合、ベクトルは基底ではないため、ベクトル X をこの基底上に拡張できません。

行列の行列式を計算してみましょう。

∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37

行列の行列式は ∆ =37 です

行列式がゼロではないため、ベクトルは基底を形成し、したがってベクトル X はこの基底上で拡張できます。それらの。等式が成り立つような数値 α 1、α 2、α 3 があります。

X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3

この等式を座標形式で書いてみましょう。

(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)

ベクトルのプロパティを使用すると、次の等式が得られます。

(3;0;1) = (3α 1 ;1α 1 ;6α 1 ;) + (-2α 2 ;2α 2 ;-3α 2 ;) + (-4α 3 ;5α 3 ;-1α 3 ;)

(3;0;1) = (3α 1 -2α 2 -4α 3 ;1α 1 + 2α 2 + 5α 3 ;6α 1 -3α 2 -1α 3)

ベクトルの等価性の性質により、次のようになります。

3α 1 -2α 2 -4α 3 = 3

1α 1 + 2α 2 + 5α 3 = 0

6α 1 -3α 2 -1α 3 = 1

結果として得られる連立方程式を解きますガウス法またはクレーマー法.

X = ε 1 + 2ε 2 -ε 3

ソリューションは次のサービスを使用して受信および処理されました。

基底内のベクトル座標

この問題に加えて、次のことも解決します。

行列方程式を解く

クレーマー法

ガウス法

Jordano-Gauss 法を使用した逆行列

代数補数による逆行列

オンライン行列乗算

例8

ベクトルが与えられます。ベクトルが 3 次元空間で基底を形成することを示し、この基底でのベクトルの座標を見つけます。

解決：まず、条件を処理しましょう。条件ごとに 4 つのベクトルが与えられ、ご覧のとおり、それらはすでに何らかの基底で座標を持っています。この根拠が何であるかは、私たちには興味がありません。そして次のことは興味深いことです: 3 つのベクトルが新しい基礎を形成する可能性があります。そして、最初の段階は例 6 の解決策と完全に一致します。ベクトルが本当に線形独立であるかどうかを確認する必要があります。

！重要: ベクトル座標必然的に書き留める列に入れる文字列ではなく決定要因です。そうしないと、その後の解法アルゴリズムで混乱が生じる可能性があります。

ここで、理論的な部分を思い出してください。ベクトルが基底を形成する場合、任意のベクトルを独自の方法で特定の基底に拡張できます。、ここで、は基底内のベクトルの座標です。

私たちのベクトルは 3 次元空間の基礎を形成しているため (これはすでに証明されています)、ベクトルはこの基礎の上に独自の方法で拡張できます。
, ここで、は基底内のベクトルの座標です。

状況に応じて座標を見つける必要があります。

説明を簡単にするために、パーツを交換します。。それを見つけるには、この等値を座標ごとに書き留める必要があります。

係数はどのような基準に基づいて設定されていますか? 左側のすべての係数は行列式から正確に転送されます。、ベクトルの座標は右側に書かれています。

結果は、3 つの未知数を含む 3 つの線形方程式からなるシステムになります。通常、それは次のようにして解決されます クラマーの公式、多くの場合、問題文にもそのような要件があります。

このシステムの主な決定要因はすでに見つかっています。
これは、システムに独自のソリューションがあることを意味します。

以下はテクニックの問題です。

したがって：
– 基底に従ったベクトルの分解。

答え：

すでに述べたように、この問題は本質的に代数的なものです。考慮されたベクトルは、必ずしも空間に描画できるベクトルである必要はありませんが、まず第一に、線形代数コースの抽象的なベクトルです。 2 次元ベクトルの場合も、同様の問題を定式化して解くことができ、解決策ははるかに簡単になります。ただし、実際にはそのようなタスクに遭遇したことがないため、前のセクションでは省略しました。

独立した解法を求める 3 次元ベクトルに関する同じ問題:

例9

ベクトルが与えられます。ベクトルが基底を形成していることを示し、この基底でのベクトルの座標を見つけます。 Cramer 法を使用して連立一次方程式を解きます。

レッスンの最後には、完全なソリューションと最終デザインのおおよそのサンプルが提供されます。

同様に、4次元、5次元なども考えることができます。ベクトル空間。ベクトルはそれぞれ 4、5、またはそれ以上の座標を持ちます。これらのベクトル空間には、ベクトルの線形依存性、線形独立性の概念もあり、正規直交基底を含む基底、基底に対するベクトルの拡張があります。はい、そのような空間は幾何学的に描くことはできませんが、2 次元および 3 次元の場合のすべての規則、性質、定理は、純粋な代数として機能します。実は、この記事ではすでに哲学的な問題について話したい気持ちに駆られていました。 3 変数関数の偏導関数、このレッスンより前に登場したものです。

ベクトルを愛すれば、ベクトルもあなたを愛するでしょう!

解決策と答え:

例 2: 解決: ベクトルの対応する座標から比率を作成しましょう:

答え： で

例 4: 証拠: 空中ブランコ 2つの辺が平行で、他の2つの辺が平行でない四角形を四角形といいます。
1) 対辺との平行度を確認してみましょう。
ベクトルを見つけてみましょう。

これは、これらのベクトルが同一線上になく、辺が平行ではないことを意味します。
2) 対辺との平行度を確認してください。
ベクトルを見つけてみましょう。

ベクトル座標で構成される行列式を計算してみましょう。
、これは、これらのベクトルが同一線上にあることを意味します。
結論： 四角形の 2 つの辺は平行ですが、他の 2 つの辺は平行ではありません。これは、定義上、台形であることを意味します。 Q.E.D.

例 5: 解決:
b) ベクトルの対応する座標に比例係数があるかどうかを確認してみましょう。

システムには解がありません。これは、ベクトルが同一線上にないことを意味します。
よりシンプルなデザイン:
– 2 番目と 3 番目の座標は比例していません。これは、ベクトルが同一線上にないことを意味します。
答え： ベクトルは同一線上にありません。
c) ベクトルの共線性を調べます。システムを作成しましょう:

ベクトルの対応する座標は比例します。つまり、
ここで、「おしゃれな」設計手法が失敗します。
答え：

例6: 解決: b) ベクトル座標で構成される行列式を計算しましょう (行列式は最初の行で明らかにされます)。

これは、ベクトルが線形に依存しており、3 次元空間の基礎を形成していないことを意味します。
答え : これらのベクトルは基礎を形成しません

例9: 解決：ベクトル座標で構成される行列式を計算してみましょう。

したがって、ベクトルは線形独立であり、基底を形成します。
ベクトルを基底ベクトルの線形結合として表しましょう。

座標的に:

Cramer の公式を使用してこの系を解いてみましょう。
これは、システムに独自のソリューションがあることを意味します。

答え：ベクトルが基礎を形成し、

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ベクトルの外積。
ベクトルの混合積

このレッスンでは、ベクトルを使用したさらに 2 つの演算を見ていきます。 ベクトル積ベクトルそして 混合作業ベクトル。大丈夫、時々、完全な幸福のために、それに加えて、 ベクトルのスカラー積、ますます必要になります。これはベクトル依存症です。私たちは解析幾何学のジャングルに入り込んでいるように見えるかもしれません。これは間違っています。高等数学のこのセクションでは、おそらくピノキオには十分な木を除いて、一般に木がほとんどありません。実際、この材料は非常に一般的でシンプルであり、同じものよりも複雑なものはほとんどありません。 スカラー積、典型的なタスクはさらに少なくなります。多くの人が確信している、またはすでに確信しているように、解析幾何学で最も重要なことは、計算で間違いを犯さないことです。呪文のように繰り返せば幸せになれます =)

ベクトルがどこか遠くで輝いていても、地平線上の稲妻のように、問題ではない、レッスンから始めてください ダミー用のベクトルベクターに関する基本的な知識を回復または再取得します。より準備ができている読者は、選択的に情報を知ることができます。私は、よくある例の最も完全なコレクションを集めようとしました。実務

あなたをすぐに幸せにしてくれるものは何ですか？幼い頃は、ボールを 2 つ、さらには 3 つジャグリングすることができました。うまくいきました。これからは、次のことを考慮するので、ジャグリングする必要はまったくありません。 空間ベクトルのみ、2 つの座標を持つ平面ベクトルは除外されます。なぜ？これがこれらのアクションが生まれた方法です。ベクトルとベクトルの混合積が定義され、3 次元空間で動作します。もう簡単になりました！

1 (1, 2, 0, 1) , 2 (0, 1, 2, 3) , 3 (1, 3, 2, 2) , 4 (0, 1, 3, 1) , (1, 0, 1, 5).

解決。ベクトル 1 (1, 2, 0, 1) 、 2 (0, 1, 2, 3) 、 3 (1, 3, 2, 2) 、 4 (0, 1, 3, 1) が次の形式になることを示します。基礎。これらのベクトルの座標から構成される行列式を見つけてみましょう。

基本的な変換を実行します。

3 行目から減算 1 行目と (-1) を掛けます