Функцийг эргүүлэхэд шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл. Функцийн графикийн гүдгэр ба хотгорын интервалууд

Функцийг шалгаж, түүний графикийг байгуулахдаа аль нэг үе шатанд бид гулзайлтын цэг ба гүдгэр интервалыг тодорхойлдог. Эдгээр өгөгдөл нь өсөлт, бууралтын интервалын хамт судалж буй функцийн графикийг бүдүүвчээр харуулах боломжийг бидэнд олгодог.

Дараахь зүйл бол та тодорхой дараалал, янз бүрийн төрлийг мэддэг гэж үздэг.

Материалын судалгааг шаардлагатай тодорхойлолт, ойлголтоос эхэлцгээе. Дараа нь бид тодорхой интервал дээрх функцийн хоёр дахь деривативын утга ба түүний гүдгэрийн чиглэлийн хоорондын хамаарлыг хэлнэ. Үүний дараа функцийн графикийн гулзайлтын цэгүүдийг тодорхойлох нөхцөлүүд рүү шилжье. Текстэд бид нарийвчилсан шийдэл бүхий ердийн жишээг өгөх болно.

Хуудасны навигаци.

Гүдгэр, функцын хонхор, гулзайлтын цэг.

Тодорхойлолт.

гүдгэр доош X интервал дээр, хэрэв түүний график нь X интервалын аль ч цэгт шүргэгчээс багагүй байвал.

Тодорхойлолт.

Дифференциалагдах функцийг дуудна дээш гүдгэр X интервал дээр, хэрэв түүний график нь X интервалын аль ч цэгт шүргэгчээс өндөргүй байвал.

Дээш чиглэсэн гүдгэр функцийг ихэвчлэн дууддаг гүдгэр, мөн доошоо гүдгэр - хотгор.

Эдгээр тодорхойлолтыг харуулсан зургийг харна уу.

Тодорхойлолт.

цэг гэж нэрлэдэг функцийн графикийн гулзайлтын цэг y \u003d f (x) хэрэв өгөгдсөн цэг дээр функцийн графикт шүргэгч байвал (энэ нь Ой тэнхлэгтэй параллель байж болно) мөн тухайн цэгийн хөрш зэргэлдээ, зүүн ба баруун талд байгаа бол М цэгийн функцийн график байна өөр өөр чиглэлүүдтовойсон.

Өөрөөр хэлбэл, энэ цэгт шүргэгч байх ба функцийн график гүдгэрийн чиглэлийг өөрчилснөөр түүгээр дамжин өнгөрч байвал М цэгийг функцийн графикийн гулзайлтын цэг гэнэ.

Шаардлагатай бол босоо бус ба босоо шүргэгч байх нөхцөлийг эргэн санахын тулд хэсгийг үзнэ үү.

Доорх зураг нь нугалах цэгүүдийн хэд хэдэн жишээг харуулж байна (улаан цэгээр тэмдэглэсэн). Зарим функц нь нугалах цэггүй байж болох бол зарим нь нэг, хэд хэдэн эсвэл хязгааргүй олон нугалах цэгтэй байж болохыг анхаарна уу.

Функцийн гүдгэр интервалыг олох.

Бид функцийн гүдгэр интервалыг тодорхойлох боломжийг олгодог теоремыг томъёолдог.

Теорем.

Хэрэв y=f(x) функц нь X интервал дээр хязгаарлагдмал секундын деривативтай бол тэгш бус байдал (), тэгвэл функцийн график нь X дээр доош (дээш) чиглэсэн гүдгэртэй байна.

Энэ теорем нь функцийн гүдгэр ба гүдгэр интервалыг олох боломжийг олгодог бөгөөд та зөвхөн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх шаардлагатай бөгөөд анхны функцийн тодорхойлолтын муж дээр тус тусад нь шийдвэрлэх хэрэгтэй.

y=f(x) функц тодорхойлогдсон, хоёр дахь дериватив байхгүй цэгүүд нь хотгор ба гүдгэрийн интервалд багтах болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Үүнийг жишээгээр авч үзье.

Жишээ.

Функцийн график байх интервалуудыг ол дээш чиглэсэн гүдгэр, доош чиглэсэн гүдгэр байна.

Шийдвэр.

Функцийн домэйн нь бодит тоонуудын бүхэл бүтэн багц юм.

Хоёр дахь деривативыг олъё.

Хоёрдахь деривативын тодорхойлолтын талбар нь анхны функцийг тодорхойлох мужтай давхцаж байгаа тул хотгор ба гүдгэрийн интервалыг олж мэдэхийн тулд тус тусад нь шийдвэрлэхэд хангалттай.

Тиймээс функц нь интервал дээр доошоо гүдгэр, интервал дээр дээшээ гүдгэр байна.

График дүрслэл.

Гүдгэр интервал дээрх функцын графикийн хэсгийг цэнхэр, хонхорхойн интервал дээр улаанаар үзүүлэв.

Одоо хоёр дахь деривативын домэйн нь функцийн домэйнтэй давхцдаггүй жишээг авч үзье. Энэ тохиолдолд бид аль хэдийн дурьдсанчлан эцсийн хоёр дахь дериватив байхгүй тодорхойлолтын домэйны цэгүүдийг гүдгэр ба (эсвэл) хонхорхойн интервалд оруулах ёстой.

Жишээ.

Функцийн графикийн гүдгэр ба хотгорын интервалыг ол.

Шийдвэр.

Функцийн хамрах хүрээнээс эхэлцгээе:

Хоёр дахь деривативыг олъё:

Хоёрдахь деривативын домэйн нь олонлог юм . Таны харж байгаагаар x=0 нь анхны функцийн мужид байгаа боловч хоёр дахь деривативын мужид байдаггүй. Энэ цэгийн талаар бүү мартаарай, үүнийг гүдгэр ба (эсвэл) хонхорхойн интервалд оруулах шаардлагатай болно.

Одоо бид анхны функцийн домэйн болон тэгш бус байдлыг шийдэж байна. Хэрэглэх боломжтой. Илэрхийллийн тоологч цагт тэг болно эсвэл , хуваагч - x = 0 эсвэл x = 1 үед. Бид эдгээр цэгүүдийг тоон шулуун дээр бүдүүвчээр зурж, анхны функцийн тодорхойлолтын мужид багтсан интервал бүр дээрх илэрхийллийн тэмдгийг олж мэдэв (үүнийг доод талын тоон шугамын сүүдэрлэсэн хэсэгт харуулав). Эерэг утга нь нэмэх тэмдэг, сөрөг утга нь хасах тэмдэг юм.

Тиймээс,

болон

Тиймээс x=0 цэгийг оруулснаар бид хариултыг авна.

At функцийн график нь доош чиглэсэн гүдгэртэй байна, хамт - дээш чиглэсэн товойсон.

График дүрслэл.

Гүдгэр интервал дээрх функцын графикийн нэг хэсгийг цэнхэр өнгөөр, хонхорхойн интервал дээр улаанаар, хар тасархай шугам нь босоо асимптот байна.

Гулзайлтын зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл.

Хувцасны зайлшгүй нөхцөл.

Томьёолъё нугалахад зайлшгүй шаардлагатай нөхцөлфункцийн график.

y=f(x) функцийн график нь цэг дээр гулзайлттай ба -ын хувьд тасралтгүй хоёр дахь деривативтэй байвал тэгш байдал үнэн болно.

Энэ нөхцлөөс харахад гулзайлтын цэгүүдийн абсциссуудыг функцийн хоёр дахь дериватив алга болох цэгүүдийн дунд хайх хэрэгтэй. ГЭХДЭЭ энэ нөхцөл хангалтгүй, өөрөөр хэлбэл хоёр дахь дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх бүх утгууд нь гулзайлтын цэгүүдийн абсцисса биш юм.

Гулзайлтын цэгийн тодорхойлолтоор шүргэгч шугам байх шаардлагатай бөгөөд энэ нь босоо байж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ юу гэсэн үг вэ? Энэ нь дараахь зүйлийг илэрхийлнэ: гулзайлтын цэгүүдийн абсцисса нь функцийн домэйноос эхлээд бүх зүйл байж болно. болон . Ихэвчлэн эдгээр нь эхний деривативын хуваагч алга болох цэгүүд юм.

Гулзайлтын эхний хангалттай нөхцөл.

Гулзайлтын цэгүүдийн абсцисса байж болохыг олж мэдсэний дараа та үүнийг ашиглах хэрэгтэй гулзайлтын эхний хангалттай нөхцөлфункцийн график.

y=f(x) функц нь цэг дээр тасралтгүй, тангенс (босоо байж болно) байх ба энэ функц нь цэгийн аль нэг хэсэгт хоёр дахь деривативтэй байг. Дараа нь, хэрэв энэ хөршийн дотор -ын зүүн ба баруун талд байгаа бол хоёр дахь дериватив нь байна өөр өөр шинж тэмдэг, дараа нь функцийн графикийн гулзайлтын цэг болно.

Таны харж байгаагаар эхний хангалттай нөхцөл нь тухайн цэг дээр хоёр дахь дериватив байхыг шаарддаггүй, харин тухайн цэгийн ойролцоо байх ёстой.

Одоо бид бүх мэдээллийг алгоритм хэлбэрээр нэгтгэн дүгнэж байна.

Функцийн гулзайлтын цэгийг олох алгоритм.

Функцийн графикийн боломжит гулзайлтын цэгүүдийн бүх абсциссуудыг бид олдог (эсвэл болон ) ба хоёр дахь дериватив нь тэмдэгийг өөрчилдөг болохыг олж мэд. Ийм утгууд нь гулзайлтын цэгүүдийн абсциссууд байх ба тэдгээрт тохирох цэгүүд нь функцийн графикийн гулзайлтын цэгүүд байх болно.

Тодруулга авахын тулд гулзайлтын цэгийг олох хоёр жишээг авч үзье.

Жишээ.

Функцийн графикийн гүдгэр ба хотгорын гулзайлтын цэг, интервалыг ол .

Шийдвэр.

Функцийн домэйн нь бодит тоонуудын бүхэл бүтэн багц юм.

Эхний деривативыг олъё:

Эхний деривативын домэйн нь мөн бодит тоонуудын бүхэл бүтэн багц тул тэгш байдал болон аль нэгнийх нь төлөө гүйцэтгэгдээгүй.

Хоёр дахь деривативыг олъё:

Хоёр дахь дериватив x аргументийн ямар утгууд алга болохыг олж мэдье.

Тэгэхээр боломжит гулзайлтын цэгүүдийн абсцисс нь x=-2 ба x=3 байна.

Одоо шалгах л үлдлээ хангалттай тэмдэггулзайлтын, эдгээр цэгүүдийн алинд нь хоёр дахь дериватив тэмдэг өөрчлөгдөнө. Үүнийг хийхийн тулд x=-2 ба x=3 цэгүүдийг бодит тэнхлэг дээр байрлуулж, дараах байдалтай байна ерөнхий интервалын арга, бид хоёр дахь деривативын тэмдгүүдийг интервал бүр дээр байрлуулна. Интервал бүрийн дор функцийн графикийн гүдгэрийн чиглэлийг нум хэлбэрээр схемээр харуулав.

Хоёрдахь дериватив нь x=-2 цэгээр дамжин зүүнээс баруун тийш тэмдгээ нэмэхээс хасах руу, x=3 -аар дамжих үед тэмдгийг хасахаас нэмэх рүү өөрчилдөг. Иймд x=-2 ба x=3 хоёулаа функцийн графикийн гулзайлтын цэгүүдийн абсцисса юм. Тэдгээр нь графикийн цэгүүд болон .

Бодит тэнхлэг ба түүний интервал дээрх хоёр дахь деривативын тэмдгүүдийг дахин харвал бид гүдгэр ба хотгорын интервалын талаар дүгнэлт хийж болно. Функцийн график нь интервал дээр гүдгэр, интервалууд дээр хонхор ба .

График дүрслэл.

Гүдгэр интервал дээрх функцийн графикийн нэг хэсгийг хөх өнгөөр, хонхорхойн интервал дээр - улаанаар, гулзайлтын цэгүүдийг хар цэгээр харуулав.

Жишээ.

Функцийн графикийн бүх гулзайлтын цэгүүдийн абсциссуудыг ол .

Шийдвэр.

Энэ функцийн домэйн нь бодит тоонуудын бүхэл бүтэн багц юм.

Деривативыг олцгооё.

Анхны функцээс ялгаатай нь эхний дериватив нь x=3 дээр тодорхойлогдоогүй байна. Гэхдээ болон . Иймд abscissa x=3 цэгт анхны функцийн графикт босоо шүргэгч байна. Тэгэхээр х=3 нь функцийн графикийн гулзайлтын цэгийн абсцисса байж болно.

Бид хоёр дахь дериватив, түүний тодорхойлолтын хүрээ, алга болох цэгүүдийг олдог.

Бид гулзайлтын цэгүүдийн өөр хоёр боломжтой абсцисс авсан. Бид бүх гурван цэгийг тоон шулуун дээр тэмдэглэж, олж авсан интервал бүр дээр хоёр дахь деривативын тэмдгийг тодорхойлно.

Хоёрдахь дериватив нь цэг бүрээр дамждаг тэмдгийг өөрчилдөг тул тэдгээр нь бүгд гулзайлтын цэгүүдийн абсцисса юм.

Үүнийг анхаарч үзэх хэрэгтэй Графикийн гүдгэр, хотгор, гулзайлт. Сайтын зочдод маш их хайртай хүмүүсээс эхэлцгээе дасгал хийх. Босоод урагшаа эсвэл хойшоо бөхий. Энэ бол товойсон юм. Одоо гараа урагш сунган, алгаа дээш өргөн, цээжин дээрээ том дүнз бариад байна гэж төсөөлөөд үз дээ... …за, хэрэв та дүнзэнд дургүй бол ямар нэг зүйл/хүн байгаасай =) Энэ бол хонхорхой юм . Зарим эх сурвалжид ижил утгатай нэр томъёо байдаг товойхболон доошоо товойх, гэхдээ би богино нэрийг дэмждэг.

! Анхаар : зарим зохиолчид гүдгэр ба хотгорыг яг эсрэгээр нь тодорхойлно. Энэ нь математик, логикийн хувьд ч үнэн боловч бодит байдлын үүднээс, тэр дундаа нэр томьёоны талаарх бидний филистист ойлголтын түвшинд ихэнхдээ бүрэн буруу байдаг. Жишээлбэл, хоёр гүдгэр линзийг "сүрьеэтэй" линз гэж нэрлэдэг боловч "доголтой" (хоёр хонхойлт) биш юм.
"Хүнхэр" ор гэж хэлье - энэ нь "наалддаггүй" хэвээр байна =) (гэхдээ хэрэв та түүний доор авирах юм бол бид товойсон тухай ярих болно; =)) Би байгалийн жам ёсны байдалд тохирсон аргыг баримталдаг. хүний ​​холбоо.

Графикийн гүдгэр ба хонхор байдлын албан ёсны тодорхойлолт нь цайны аяганд нэлээд хэцүү байдаг тул бид энэ тухай ойлголтыг геометрийн тайлбараар хязгаарладаг. тодорхой жишээнүүд. гэсэн функцийн графикийг авч үзье Үргэлжилсэнбүх тооны мөрөнд:

Үүнийг бүтээхэд хялбар байдаг геометрийн хувиргалт, магадгүй олон уншигчид үүнийг куб параболаас хэрхэн олж авдагийг мэддэг байх.

За дуудъя хөвчхолбох сегмент хоёр янз бүрийн цэгүүд график урлаг.

Функцийн график нь гүдгэрбайрлаж байгаа бол зарим интервал дээр бага бишөгөгдсөн интервалын дурын хөвч. Туршилтын шугам нь дээр гүдгэр байх ба энд графикийн аль ч хэсэг өөрийнх нь ДЭЭШ байрласан нь ойлгомжтой. хөвч. Тодорхойлолтыг тайлбарлахдаа би гурван хар сегментийг зурсан.

График функцууд нь хотгоринтервал дээр, хэрэв энэ нь байрладаг бол өндөр бишэнэ интервалын дурын хөвч. Энэ жишээнд өвчтөн завсарт нь хонхойсон байна. Хос бор сегмент нь энд болон графикийн аль ч хэсэг түүний доор байрлаж байгааг баттай харуулж байна. хөвч.

График дээрх гүдгэрээс хотгор руу шилжих цэг эсвэлхотгорыг гүдгэр гэж нэрлэдэг гулзайлтын цэг. Бид үүнийг нэг хуулбараар (эхний тохиолдол) авсан бөгөөд практик дээр гулзайлтын цэг нь тухайн шугамд хамаарах ногоон цэг болон "x" утгыг илэрхийлж болно.

ЧУХАЛ!График дахь гулзайлтыг цэвэрхэн дүрсэлсэн байх ёстой маш жигд. Бүх төрлийн "зөрчил" болон "барзгар байдал" нь хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй. Энэ бол бага зэрэг дадлага хийх асуудал юм.

Онолын хувьд гүдгэр / хотгорыг тодорхойлох хоёр дахь аргыг шүргэгчээр дамжуулан өгсөн болно.

Гүдгэринтервал дээр график байрлана өндөр бишөгөгдсөн интервалын дурын цэг дээр түүн рүү татсан шүргэгч. Хонхоринтервалын график дээр ижил - бага бишЭнэ интервал дээрх дурын шүргэгч.

Гипербола нь интервал дээр хонхор, гүдгэр байна:

Гарал үүслээр дамжин өнгөрөх үед хотгор нь гүдгэр болж өөрчлөгддөг боловч цэг БҮҮ АНХААРфункцээс хойш гулзайлтын цэг тодорхойгүйтүүний дотор.

Сэдвийн талаархи илүү хатуу мэдэгдэл, теоремуудыг сурах бичгээс олж авах боломжтой бөгөөд бид баялаг практик хэсэг рүү шилжлээ.

Гүдгэр интервал, хотгор интервалыг хэрхэн олох вэ
болон графикийн гулзайлтын цэгүүд?

Материал нь энгийн, stencil, бүтцийн хувьд давтагддаг экстремумын функцийг судлах.

Графикийн гүдгэр / хотгорыг тодорхойлдогхоёр дахь дериватив функцууд.

Функцийг аль нэг интервал дээр хоёр дахин ялгах боломжтой байг. Дараа нь:

– хэрэв хоёр дахь дериватив интервал дээр байвал функцийн график өгөгдсөн интервал дээр гүдгэр байна;

– хэрэв хоёр дахь дериватив интервал дээр байвал функцийн график өгөгдсөн интервал дээр хотгор байна.

Орон зайн талаархи хоёр дахь деривативын тэмдгүүдийн зардлаар боловсролын байгууллагуудбалар эртний холбоо алхаж байна: "-" нь "функцийн график руу ус асгах боломжгүй" (товойж),
ба "+" - "ийм боломжийг олгодог" (хоолой).

Товчлолын зайлшгүй нөхцөл

Тухайн цэг дээрх функцийн графикт гулзайлтын, дараа нь:
эсвэл үнэ цэнэ байхгүй(Үүнийг ойлгоцгооё, уншаарай!).

Энэ хэллэг нь функц гэсэн үг юм Үргэлжилсэннэг цэгт болон тохиолдолд нь түүний зарим хөршид хоёр дахин ялгагдах боломжтой.

Нөхцөл байдлын зайлшгүй шаардлага нь эсрэг заалт нь үргэлж үнэн байдаггүйг харуулж байна. Өөрөөр хэлбэл, тэгш байдал (эсвэл үнэ цэнэ байхгүй байх) хараахан болоогүй байнацэг дээр функцийн графикийн гулзайлт байгаа нь . Гэхдээ хоёр тохиолдолд тэд дууддаг хоёр дахь деривативын чухал цэг.

Хангалттай гулзайлтын нөхцөл

Хэрэв хоёр дахь дериватив нь цэгээр дамжин өнгөрөхдөө тэмдэгээ өөрчилдөг бол энэ үед функцийн графикт гулзайлт үүснэ.

Гулзайлтын цэгүүд (жишээг аль хэдийн хангасан) огт байхгүй байж магадгүй бөгөөд энэ утгаараа зарим энгийн дээжүүд нь шинж тэмдэг юм. Функцийн хоёр дахь деривативт дүн шинжилгээ хийцгээе:

Эерэг тогтмол функцийг олж авдаг, өөрөөр хэлбэл "x"-ийн дурын утгын хувьд. Гадаргуу дээр хэвтэж буй баримтууд: парабола бүхэлдээ хотгор юм домэйнууд, гулзайлтын цэг байхгүй. Сөрөг коэффициент нь параболыг "эргэж" гүдгэр болгодог (энэ нь хоёр дахь дериватив - сөрөг тогтмол функцээр бидэнд мэдэгдэх болно) гэдгийг харахад хялбар байдаг.

Экспоненциал функцмөн хонхойж:

"x"-ийн дурын утгын хувьд.

Мэдээжийн хэрэг, графикт гулзайлтын цэг байхгүй.

Бид графикийн гүдгэр / хотгор байдлыг шалгана логарифм функц :

Тиймээс логарифмын салбар интервал дээр гүдгэр байна. Хоёрдахь дериватив нь мөн интервал дээр тодорхойлогддог, гэхдээ үүнийг анхаарч үзээрэй ХОРИГЛОНО, учир нь энэ интервалыг оруулаагүй болно домэйнфункцууд. Шаардлага нь ойлгомжтой - тэнд логарифмын график байхгүй тул гүдгэр / хотгор / гулзайлтын тухай ярихгүй байх нь ойлгомжтой.

Таны харж байгаагаар бүх зүйл түүхийг үнэхээр санагдуулдаг функцийн өсөлт, бууралт, экстремум. Өөртэйгөө адилхан харагдаж байна функцийн график судалгааны алгоритмгүдгэр, хонхорхой, гулзайлтын хувьд:

2) Бид чухал үнэт зүйлсийг хайж байна. Үүнийг хийхийн тулд бид хоёр дахь деривативыг авч, тэгшитгэлийг шийднэ. 2-р дериватив байхгүй, гэхдээ функцын домэйнд багтсан цэгүүдийг бас чухал гэж үзнэ!

3) Бид бүх олдсон тасалдал ба чухал цэгүүдийг тоон мөрөнд тэмдэглэв ( аль нь ч биш, нөгөө нь ч болохгүй - тэгвэл та юу ч зурах шаардлагагүй (хэтэрхий энгийн тохиолдол шиг), зөвхөн бичсэн тайлбараар хязгаарлагдахад хангалттай). интервалын аргабид олж авсан интервал дээрх тэмдгүүдийг тодорхойлно. Дөнгөж тайлбарласны дагуу нэгийг бодох хэрэгтэй зөвхөн тэдгээрфункцийн хамрах хүрээнд багтсан интервалууд . Функцийн графикийн гүдгэр / хотгор, гулзайлтын цэгүүдийн талаар бид дүгнэлт гаргадаг. Бид хариулт өгдөг.

Алгоритмыг шинж чанаруудад нь амаар хэрэглэхийг хичээ . Хоёр дахь тохиолдолд, дашрамд хэлэхэд, эгзэгтэй цэг дээр муруйн гулзайлт байхгүй байх жишээ бий. Гэсэн хэдий ч арай илүү төвөгтэй ажлуудаас эхэлцгээе:

Жишээ 1

Шийдвэр:
1) Функц нь бүхэлдээ бодит мөрөнд тодорхойлогдсон бөгөөд тасралтгүй байна. Маш сайн.

2) Хоёр дахь деривативыг ол. Та урьдчилан шоо хийж болно, гэхдээ үүнийг ашиглах нь илүү ашигтай байдаг нийлмэл функцийн дүрмийн ялгаа:

Үүнийг анзаараарай , энэ нь функц байна гэсэн үг буурдаггүй. Хэдийгээр энэ нь даалгавартай холбоогүй ч ийм баримтыг үргэлж анхаарч үзэхийг зөвлөж байна.

Хоёрдахь деривативын чухал цэгүүдийг ол:

- чухал цэг

3) Хангалттай гулзайлтын нөхцлийн биелэлтийг шалгая. Хоёрдахь деривативын шинж тэмдгийг олж авсан интервал дээр тодорхойлъё.

Анхаар!Одоо бид хоёр дахь дериватив дээр ажиллаж байна (мөн функцтэй биш!)

Үүний үр дүнд нэг чухал цэг гарч ирнэ: .

3) Бид тасалдсан хоёр цэгийг тоон шулуун дээрх чухал цэгийг тэмдэглэж, хоёр дахь деривативын тэмдгийг олж авсан интервал дээр тодорхойлно.

Би танд нэг чухал зүйлийг сануулж байна интервалын арга, энэ нь шийдлийг ихээхэн хурдасгаж чадна. Хоёр дахь дериватив Энэ нь маш төвөгтэй болсон тул түүний утгыг тооцоолох шаардлагагүй, интервал бүр дээр "тооцоолол" хийхэд хангалттай. Жишээлбэл, зүүн интервалд хамаарах цэгийг сонгоцгооё.
мөн орлуулалтыг хий:

Одоо үржүүлэгчид дүн шинжилгээ хийцгээе:

Хоёр "хасах" ба "нэмэх" нь "нэмэх" гэсэн утгыг өгдөг бөгөөд энэ нь хоёр дахь дериватив нь бүхэл бүтэн интервал дээр эерэг байна гэсэн үг юм.

Сэтгэгдэл бичсэн үйлдлүүд нь амаар хийхэд хялбар байдаг. Үүнээс гадна үржүүлэгчийг бүхэлд нь үл тоомсорлох нь давуу талтай - энэ нь ямар ч "x"-ийн хувьд эерэг бөгөөд бидний хоёр дахь деривативын шинж тэмдгүүдэд нөлөөлөхгүй.

Тэр бидэнд ямар мэдээлэл өгсөн бэ?

Хариулах: функцийн график нь хотгор дээр байна ба гүдгэр дээр . Гарал үүслээр нь (энэ нь ойлгомжтой)графикт гулзайлт байна.

Цэгүүдээр дамжин өнгөрөх үед хоёр дахь дериватив нь мөн тэмдгийг өөрчилдөг боловч функц нь тэдгээрт нөлөөлдөг тул гулзайлтын цэг гэж тооцогддоггүй. эцэс төгсгөлгүй завсарлага.

Шинжилсэн жишээнд эхний дериватив функцийн өсөлтийг бүхэлд нь хэлж өгдөг домэйнууд. Энэ нь үргэлж ийм үнэгүй байх болно =) Үүнээс гадна, гурван оршихуй асимптот. Маш их мэдээлэл хүлээн авсан бөгөөд энэ нь боломжийг олгодог өндөр зэрэгтэйилтгэх найдвартай байдал Гадаад төрхграфик урлаг. Овоолгын хувьд функц нь бас сондгой юм. Тогтсон баримт дээр үндэслэн ноорог зурахыг хичээ. Хичээлийн төгсгөлд байгаа зураг.

Даалгавар бие даасан шийдвэр:

Жишээ 6

Функцийн графикийг гүдгэр, хонхорхойг шинжилж, хэрэв байгаа бол графын гулзайлтын цэгүүдийг ол.

Түүвэрт ямар ч зураг байхгүй, гэхдээ таамаглал дэвшүүлэхийг хориглодоггүй;)

Бид алгоритмын цэгүүдийг дугаарлахгүйгээр материалыг нунтагладаг.

Жишээ 7

Функцийн графикийг гүдгэр, хонхорхойг судалж, хэрэв байгаа бол гулзайлтын цэгийг ол.

Шийдвэр: функц тогтвортой байна төгсгөлгүй цоорхойцэг дээр.

Ердийнх шиг бидний хувьд бүх зүйл сайхан байна:

Дериватив нь хамгийн хэцүү зүйл биш, гол зүйл бол "үс засалт" -аа болгоомжтой хийх явдал юм.
Өдөөгдсөн марафетад хоёр дахь деривативын хоёр чухал цэг олддог.

Хүлээн авсан интервал дээрх тэмдгүүдийг тодорхойлъё.

Графикийн нугалах цэг байгаа тул цэгийн ординатыг олъё.

Цэгээр дамжин өнгөрөхөд хоёрдахь дериватив тэмдэг өөрчлөгддөггүй тул графикт гулзайлт байхгүй болно.

Хариулах: гүдгэр интервал: ; хонхорхойн интервал: ; гулзайлтын цэг: .

Нэмэлт хонх, шүгэл бүхий эцсийн жишээнүүдийг авч үзье.

Жишээ 8

Графикийн гүдгэр, хотгор, гулзайлтын цэгүүдийн интервалыг ол

Шийдвэр: байршилтай домэйнуудонцгой асуудал байхгүй:
, мөн функц нь цэгүүдэд тасалдалд ордог.

Заавал зам руугаа явцгаая:

- чухал цэг.

Интервалуудыг авч үзэхийн зэрэгцээ тэмдгүүдийг тодорхойлъё зөвхөн функцийн хамрах хүрээнээс:

Графикийн гулзайлтын үед бид ординатыг тооцоолно.

Заавар

оноо нугалах функцууднь түүний тодорхойлолтын хүрээнд хамаарах ёстой бөгөөд үүнийг хамгийн түрүүнд олох ёстой. Хуваарь функцууд- энэ нь тасралтгүй эсвэл завсарлагатай, буурах эсвэл нэг хэвийн өсөлттэй, хамгийн бага эсвэл хамгийн их байж болох шугам юм оноо(асимптотууд), гүдгэр эсвэл хотгор байх. Хоёрын огцом өөрчлөлт сүүлийн үеийн мужуудба kink гэж нэрлэдэг.

Оршихуйн зайлшгүй нөхцөл нугалах функцуудхоёр дахь нь тэгтэй тэнцүү байхаас бүрдэнэ. Тиймээс функцийг хоёр удаа ялгаж, үр дүнгийн илэрхийлэлийг тэгтэй тэнцүү болгосноор бид боломжит цэгүүдийн абсциссуудыг олж чадна. нугалах.

Графикийн гүдгэр ба гүдгэр байдлын шинж чанаруудын тодорхойлолтоос энэ нөхцөл байдал үүсдэг функцууд, өөрөөр хэлбэл сөрөг ба эерэг утгахоёр дахь дериватив. Яг цэг дээр нугалахэдгээр шинж чанаруудын огцом өөрчлөлт нь дериватив нь тэг тэмдгийг дамжуулдаг гэсэн үг юм. Гэсэн хэдий ч тэгтэй тэнцүү байх нь гулзайлтын цэгийг харуулахад хангалтгүй хэвээр байна.

Өмнөх шатанд олдсон абсцисс нь тухайн цэгт хамаарах хангалттай хоёр нөхцөл бий нугалах: Энэ цэгээр дамжуулан та шүргэгч зурж болно функцууд. Хоёрдахь дериватив нь хүлээгдэж буй зүйлийн баруун болон зүүн талд өөр өөр тэмдэгтэй байна оноо нугалах. Иймд тухайн цэг дээр түүний оршин тогтнох нь өөрөө шаардлагагүй бөгөөд энэ нь тэмдэгтийг өөрчилдөгийг тодорхойлоход хангалттай юм.Хоёр дахь дериватив функцуудтэг, гурав дахь нь үгүй.

Шийдэл: олох. Энэ тохиолдолд ямар ч хязгаарлалт байхгүй тул энэ нь бодит тоонуудын бүхэл бүтэн орон зай юм. Эхний деривативыг тооцоол: y' = 3 ∛ (x - 5) + (3 x + 3) / ∛ (x - 5)².

Анхаарал хандуулах . Үүнээс үзэхэд деривативын тодорхойлолтын хүрээ хязгаарлагдмал байна. x = 5 цэг цоорсон бөгөөд энэ нь шүргэгч дамжин өнгөрөх боломжтой гэсэн үг бөгөөд энэ нь хангалттай байдлын эхний шинж тэмдэгтэй хэсэгчлэн тохирч байна. нугалах.

Үүссэн илэрхийлэлийг x → 5 - 0 ба x → 5 + 0-д тодорхойл. Тэдгээр нь -∞ ба +∞-тэй тэнцүү байна. Босоо шүргэгч x=5 цэгээр дамждаг гэдгийг та нотолсон. Энэ цэг нь цэг байж болох юм нугалах, гэхдээ эхлээд хоёр дахь деривативыг тооцоол: (2 x - 22)/∛(x - 5)^5.

Та x = 5 цэгийг аль хэдийн харгалзан үзсэн тул хуваагчийг орхи. 2 x - 22 \u003d 0 тэгшитгэлийг шийд. Энэ нь нэг үндэстэй x \u003d 11. Сүүлийн алхам бол үүнийг батлах явдал юм. оноо x=5 ба x=11 цэгүүд байна нугалах. Тэдний ойр орчмын хоёр дахь деривативын зан төлөвт дүн шинжилгээ хий. Мэдээжийн хэрэг, x = 5 цэг дээр тэмдэг нь "+" -ээс "-" болж, x = 11 цэг дээр эсрэгээр өөрчлөгддөг. Дүгнэлт: хоёулаа оноооноо юм нугалах. Эхний хангалттай нөхцөл хангагдсан байна.

Функцийг зурахдаа гүдгэр интервал болон гулзайлтын цэгүүдийг тодорхойлох нь чухал юм. График хэлбэрээр функцийг тодорхой дүрслэн харуулахын тулд бид буурах, нэмэгдүүлэх интервалуудын хамт хэрэгтэй.

Энэ сэдвийг ойлгохын тулд функцийн дериватив гэж юу болох, түүнийг тодорхой дарааллаар хэрхэн үнэлэх, мөн шийдвэрлэх чадвартай байх шаардлагатай. янз бүрийн төрөлтэгш бус байдал.

Өгүүллийн эхэнд үндсэн ойлголтуудыг тодорхойлсон. Дараа нь бид тодорхой интервал дахь гүдгэрийн чиглэл ба хоёр дахь деривативын утгын хооронд ямар хамаарал байгааг харуулах болно. Дараа нь бид графикийн гулзайлтын цэгүүдийг тодорхойлох нөхцөлийг зааж өгөх болно. Бүх үндэслэлийг асуудлын шийдлийн жишээн дээр харуулах болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Тодорхойлолт 1

График нь энэ интервалын аль ч цэгт шүргэгчээс багагүй байх тохиолдолд тодорхой интервал дээр доошоо чиглэнэ.

Тодорхойлолт 2

Дифференциалагдах функц нь гүдгэрЭнэ функцийн график нь энэ интервалын аль ч цэгт шүргэгчээс өндөргүй байх тохиолдолд тодорхой интервал дээр дээшээ.

Доош чиглэсэн гүдгэр функцийг мөн хотгор гэж нэрлэж болно. Хоёр тодорхойлолтыг доорх графикт тодорхой харуулав.

Тодорхойлолт 3

Функцийн гулзайлтын цэг- энэ нь функцийн график байгаа x 0 цэгийн ойролцоо дериватив байгаа тохиолдолд функцийн графикт шүргэгч байх M (x 0 ; f (x 0)) цэг юм. зүүн ба баруун талдаа гүдгэр янз бүрийн чиглэлийг авдаг.

Энгийнээр хэлбэл гулзайлтын цэг гэдэг нь граф дээрх шүргэгч байх газар бөгөөд энэ газраар өнгөрөхөд графын гүдгэрийн чиглэл нь гүдгэрийн чиглэлийг өөрчилнө. Хэрэв та ямар нөхцөлд босоо болон босоо бус шүргэгч байх боломжтойг санахгүй байгаа бол функцийн графикийн тангенсийн хэсгийг нэг цэгт давтахыг зөвлөж байна.

Улаан өнгөөр ​​тодруулсан олон нугалах цэг бүхий функцийн графикийг доор харуулав. Гулзайлтын цэгүүд заавал байх албагүй гэдгийг тодруулъя. Нэг функцийн график дээр нэг, хоёр, хэд хэдэн, хязгааргүй олон эсвэл аль нь ч байж болно.

Энэ хэсэгт бид тодорхой функцийн график дээрх гүдгэр интервалыг тодорхойлж болох теоремын талаар ярих болно.

Тодорхойлолт 4

Хэрэв f "" (x) ≥ 0 ∀ x тэгш бус байдал нь заасан x интервал дээр харгалзах y = f (x) функц нь хоёр дахь төгсгөлөг деривативтай бол функцийн график нь доош эсвэл дээш чиглэсэн гүдгэр хэлбэртэй байна. ∈ X (f "" (x) ≤ 0 ∀ x ∈ X) үнэн байх болно.

Энэ теоремыг ашиглан функцийн аль ч график дээрх хотгор ба гүдгэрийн интервалыг олох боломжтой. Үүнийг хийхийн тулд та харгалзах функцийн муж дээрх f "" (x) ≥ 0 ба f "" (x) ≤ 0 тэгш бус байдлыг шийдэхэд л хангалттай.

Хоёрдахь дериватив байхгүй боловч y = f (x) функц тодорхойлогдсон цэгүүд нь гүдгэр ба хотгорын интервалд багтах болно гэдгийг тодруулцгаая.

Энэ теоремыг хэрхэн зөв хэрэглэх талаар тодорхой асуудлын жишээг авч үзье.

Жишээ 1

Нөхцөл: y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 функц өгөгдсөн. Түүний график ямар интервалд гүдгэр ба хотгор байхыг тодорхойлно.

Шийдвэр

Энэ функцийн домэйн нь бодит тоонуудын бүхэл бүтэн багц юм. Хоёр дахь деривативыг тооцоолж эхэлцгээе.

y "= x 3 6 - x 2 + 3 x - 1" = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y "" = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2

Хоёрдахь деривативын муж нь функцийн өөрийнхтэй давхцаж байгааг бид харж байна.Иймд гүдгэрийн интервалуудыг тодорхойлохын тулд f "" (x) ≥ 0 ба f "" (x) ≤ 0 тэгш бус байдлыг шийдэх хэрэгтэй. .

y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2

Бид ийм хуваарийг авсан өгөгдсөн функцсегмент дээр хонхорхойтой байх болно [ 2 ; + ∞) ба сегмент дэх гүдгэр (- ∞ ; 2 ] .

Тодорхой болгохын тулд функцийн графикийг зурж, гүдгэр хэсгийг цэнхэрээр, хонхор хэсгийг улаанаар тэмдэглэнэ.

Хариулт:өгөгдсөн функцийн график нь сегмент дээр хонхорхойтой байна [ 2 ; + ∞) ба сегмент дэх гүдгэр (- ∞ ; 2 ] .

Гэхдээ хоёр дахь деривативын домэйн функцийн домэйнтэй давхцахгүй бол яах вэ? Энд дээр дурдсан тайлбар нь бидэнд ашигтай юм: эцсийн хоёр дахь дериватив байхгүй цэгүүдийг бид мөн хонхор ба гүдгэр хэсгүүдэд оруулах болно.

Жишээ 2

Нөхцөл: y = 8 x x - 1 функц өгөгдсөн. Түүний график ямар интервалд хонхор, ямар интервалд гүдгэр байхыг тодорхойл.

Шийдвэр

Эхлээд функцийн хамрах хүрээг олж мэдье.

x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞)

Одоо бид хоёр дахь деривативыг тооцоолно.

y "= 8 x x - 1" = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 "= - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2" x (x - 1) 4 = = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) x x - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 (x - 1) 3

Хоёрдахь деривативын муж нь x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) олонлог юм. Тэгтэй тэнцүү x нь анхны функцийн мужид байх боловч хоёр дахь деривативын мужид байхгүй гэдгийг бид харж байна. Энэ цэгийг хотгор эсвэл гүдгэр сегментэд оруулах ёстой.

Үүний дараа өгөгдсөн функцийн муж дээрх f "" (x) ≥ 0 ба f "" (x) ≤ 0 тэгш бус байдлыг шийдэх хэрэгтэй. Үүний тулд бид интервалын аргыг ашигладаг: x \u003d - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 эсвэл x \u003d - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 тоологч 2 (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 x - 1 3 нь 0 болж, хуваагч нь x үед 0 болно, тэгэсвэл нэгж.

Гарсан цэгүүдийг график дээр тавьж, анхны функцийн тодорхойлолтын мужид хамаарах бүх интервал дээрх илэрхийллийн тэмдгийг тодорхойлъё. График дээр энэ хэсгийг ангаахайгаар зааж өгсөн болно. Хэрэв утга эерэг байвал интервалыг нэмэх, сөрөг бол хасах тэмдэгээр тэмдэглээрэй.

Тиймээс,

f "" (x) ≥ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , ба f "" (x) ≤ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; нэг)

Бид өмнө нь тэмдэглэсэн x = 0 цэгийг асааж, хүссэн хариултаа авна. Анхны функцийн график 0-д доошоо товойсон байх болно; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , ба түүнээс дээш - x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; нэг).

Гүдгэр хэсгийг цэнхэрээр, хонхор хэсгийг улаанаар тэмдэглэж график зуръя. Босоо асимптотыг хар тасархай шугамаар тэмдэглэв.

Хариулт:Анхны функцийн график 0-д доошоо товойсон байх болно; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , ба түүнээс дээш - x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; нэг).

Функцийн графикийн гулзайлтын нөхцөл

Зарим функцийн графикийг эргүүлэхэд шаардлагатай нөхцөлийг томъёолж эхэлцгээе.

Тодорхойлолт 5

График нь гулзайлтын цэгтэй y = f(x) функцтэй гэж үзье. x = x 0-ийн хувьд энэ нь тасралтгүй хоёр дахь деривативтай тул f "" (x 0) = 0 тэгшитгэлийг хангана.

Энэ нөхцөлийг харгалзан бид хоёр дахь дериватив 0 болж хувирах нугалах цэгүүдийг хайх хэрэгтэй. Энэ нөхцөл хангалтгүй байх болно: ийм бүх цэгүүд бидэнд тохирохгүй.

Мөн ерөнхий тодорхойлолтын дагуу босоо эсвэл босоо бус шүргэгч шугам хэрэгтэй болно гэдгийг анхаарна уу. Практикт энэ нь гулзайлтын цэгүүдийг олохын тулд энэ функцийн хоёр дахь дериватив нь 0 болсон цэгүүдийг авах ёстой гэсэн үг юм. Тиймээс гулзайлтын цэгүүдийн абсциссуудыг олохын тулд функцийн мужаас бүх x 0-ийг авах шаардлагатай бөгөөд энд lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ ба lim x → x 0 + 0 f " байна. (x) = ∞ . Ихэнхдээ эдгээр нь эхний деривативын хуваагч 0 болж хувирдаг цэгүүд юм.

Функцийн графикийн гулзайлтын цэг байх эхний хангалттай нөхцөл

Бид гулзайлтын цэгүүдийн абсцисса болгон авч болох бүх x 0 утгыг олсон. Үүний дараа бид эхний хангалттай гулзайлтын нөхцлийг ашиглах хэрэгтэй.

Тодорхойлолт 6

М цэг дээр үргэлжилсэн y = f (x) функц байна гэж үзье (x 0 ; f (x 0)) . Түүгээр ч барахгүй, энэ цэг дээр шүргэгчтэй бөгөөд функц өөрөө энэ цэгийн ойролцоо хоёр дахь деривативтай байна x 0 . Энэ тохиолдолд хоёрдахь дериватив нь зүүн ба баруун талд эсрэг шинж тэмдгийг олж авбал энэ цэгийг гулзайлтын цэг гэж үзэж болно.

Энэ нөхцөл нь хоёр дахь дериватив нь энэ үед заавал байх ёстойг шаарддаггүй бөгөөд үүнийг x 0 цэгийн ойролцоо байлгахад хангалттай гэдгийг бид харж байна.

Дээрх бүгдийг үйлдлүүдийн дараалал болгон хялбархан танилцуулж болно.

1. Эхлээд та боломжит гулзайлтын цэгүүдийн бүх абсцисса х 0-ийг олох хэрэгтэй, энд f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ .
2. Дериватив ямар цэгүүдэд тэмдэг өөрчлөгдөхийг олж мэдээрэй. Эдгээр утгууд нь гулзайлтын цэгүүдийн абсциссууд бөгөөд тэдгээрт тохирох M (x 0 ; f (x 0)) цэгүүд нь өөрөө гулзайлтын цэгүүд юм.

Тодорхой болгохын тулд хоёр асуудлыг авч үзье.

Жишээ 3

Нөхцөл: y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x функц өгөгдсөн. Энэ функцийн график хаана гулзайлтын болон товойсон цэгтэй болохыг тодорхойл.

Шийдвэр

Энэ функц нь бодит тоонуудын бүхэл бүтэн багц дээр тодорхойлогддог. Бид эхний деривативыг авч үзье.

y "= 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x" = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2

Одоо эхний деривативын домайныг олъё. Энэ нь мөн бүх бодит тоонуудын багц юм. Иймээс lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ ба lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ тэгшитгэлийг x 0-ийн аль ч утгын хувьд хангаж чадахгүй.

Бид хоёр дахь деривативыг тооцоолно:

y "" = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 x 2 - x - 6

y "" = 0 ⇔ 1 10 (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 \u003d - 2, x 2 \u003d 1 + 25 2 \u003d 3

Бид 2 ба 3 гэсэн хоёр нугалах цэгийн абсциссуудыг олсон. Бидний хийх зүйл бол дериватив ямар үед тэмдэгээ өөрчлөхийг шалгах явдал юм. Тоон тэнхлэгийг зурж, үүн дээр эдгээр цэгүүдийг зурж, дараа нь үүссэн интервалууд дээр хоёр дахь деривативын тэмдгүүдийг байрлуулна.

Нуманууд нь интервал бүр дэх графикийн гүдгэрийн чиглэлийг харуулдаг.

Хоёрдахь дериватив нь абсцисса 3-тай цэгийн тэмдгийг (нэмэхээс хасах) урвуу, зүүнээс баруун тийш дайран өнгөрөх ба абсцисса 3-тай цэг дээр мөн адил (хасахаас нэмэх) хийнэ. Ингээд бид x = - 2 ба x = 3 нь функцийн графикийн гулзайлтын цэгүүдийн абсцисса гэж дүгнэж болно. Тэд графикийн цэгүүдтэй тохирно - 2; - 4 3 ба 3; - 15 8 .

Хонхор, гүдгэр газруудын талаар дүгнэлт гаргахын тулд тоон тэнхлэгийн дүрс, тэдгээрийн үр дүнд үүссэн тэмдгүүдийг интервал дээр дахин харцгаая. Энэ нь товойсон сегмент дээр байрлах болно гэж болж байна - 2; 3 , сегментүүд дээрх хонхорхой (- ∞ ; - 2 ] ба [ 3 ; + ∞) .

Асуудлын шийдлийг график дээр тодорхой харуулав. цэнхэр өнгө- гүдгэр, улаан - хотгор, хар нь гулзайлтын цэг гэсэн үг.

Хариулт:товойсон хэсэг нь сегмент дээр байрлах болно - 2; 3 , сегментүүд дээрх хонхорхой (- ∞ ; - 2 ] ба [ 3 ; + ∞) .

Жишээ 4

Нөхцөл: y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 функцийн графикийн бүх гулзайлтын цэгүүдийн абсциссуудыг тооцоол.

Шийдвэр

Өгөгдсөн функцийн муж нь бүх бодит тоонуудын олонлог юм. Бид деривативыг тооцоолно:

y "= 1 8 (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5" = = 1 8 x 2 + 3 x + 2 " (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 (x) - 3) 2 5

Функцээс ялгаатай нь түүний анхны дериватив нь 3-ийн x утгаар тодорхойлогддоггүй, гэхдээ:

lim x → 3 - 0 y "(x) = 13 (3 - 0) 2 - 6 (3 - 0) - 39 40 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y " (x) = 13 (3 + 0) 2 - 6 (3 + 0) - 39 40 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞

Графиктай босоо шүргэгч энэ цэгээр дамжин өнгөрнө гэсэн үг. Тиймээс 3 нь гулзайлтын цэгийн абсцисса байж болно.

Бид хоёр дахь деривативыг тооцоолно. Мөн бид түүний тодорхойлолтын талбай болон 0 болж хувирах цэгүүдийг олдог.

y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39 " (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 x - 3 2 5 "(x - 3) 4 5 = = 1 25 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y "" ( x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3 , 4556 , x 2 = 51 - 15096 2.

Бидэнд өөр хоёр боломжит нугалах цэг бий. Бид бүгдийг нь тоон мөрөнд байрлуулж, үүссэн интервалуудыг тэмдгээр тэмдэглэнэ.

Заасан цэг бүрээр дамжин өнгөрөх үед тэмдгийн өөрчлөлт гарах бөгөөд энэ нь бүгд гулзайлтын цэг гэсэн үг юм.

Хариулт:Функцийн графикийг зурж, хонхорхойг улаанаар, гүдгэрийг цэнхэрээр, гулзайлтын цэгийг хараар тэмдэглэе.

Эхний хангалттай гулзайлтын нөхцлийг мэдсэнээр бид хоёр дахь дериватив байх шаардлагагүй шаардлагатай цэгүүдийг тодорхойлж чадна. Үүний үндсэн дээр эхний нөхцөлийг хамгийн түгээмэл бөгөөд янз бүрийн төрлийн асуудлыг шийдвэрлэхэд тохиромжтой гэж үзэж болно.

Өөр хоёр гулзайлтын нөхцөл байдгийг анхаарна уу, гэхдээ зөвхөн заасан цэг дээр хязгаарлагдмал дериватив байгаа тохиолдолд л хэрэглэж болно.

Хэрэв бидэнд f "" (x 0) = 0 ба f """ (x 0) ≠ 0 байвал x 0 нь y = f (x) графикийн гулзайлтын цэгийн абсцисса болно.

Жишээ 5

Нөхцөл: y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 функц өгөгдсөн. Функцийн график 3-р цэгт гулзайлгах эсэхийг тодорхойлох; 4 5 .

Шийдвэр

Хамгийн эхний хийх зүйл бол өгөгдсөн цэг нь энэ функцийн графикт хамаарах эсэхийг шалгах явдал юм.

y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5

Заасан функц нь бодит тоо бүхий бүх аргументуудад тодорхойлогддог. Бид эхний болон хоёр дахь деривативуудыг тооцоолно.

y "= 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10" = 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)

Хэрэв x нь 0-тэй тэнцүү бол хоёр дахь дериватив 0 болно гэдгийг бид олж мэдсэн. Энэ нь энэ цэгт шаардлагатай гулзайлтын нөхцөл хангагдана гэсэн үг юм. Одоо бид хоёр дахь нөхцөлийг ашиглаж байна: бид гурав дахь деривативыг олж, 3-д 0 болж хувирах эсэхийг олж мэдээрэй.

y " " " = 1 10 (x - 3) " = 1 10

Гурав дахь дериватив нь x-ийн аль ч утгын хувьд алга болохгүй. Тиймээс энэ цэг нь функцийн графикийн гулзайлтын цэг болно гэж бид дүгнэж болно.

Хариулт:Зурган дээр шийдлийг үзүүлье:

f "(x 0) = 0, f "" (x 0) = 0, . . ., f (n) (x 0) = 0 ба f (n + 1) (x 0) ≠ 0 гэж үзье. Энэ тохиолдолд n-ийн хувьд ч гэсэн x 0 нь y \u003d f (x) графикийн гулзайлтын цэгийн абсцисса юм.

Жишээ 6

Нөхцөл: y = (x - 3) 5 + 1 функц өгөгдсөн. Графикийн гулзайлтын цэгүүдийг тооцоол.

Шийдвэр

Энэ функц нь бодит тоонуудын бүхэл бүтэн багц дээр тодорхойлогддог. Деривативыг тооцоол: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . Энэ нь аргументийн бүх бодит утгуудын хувьд тодорхойлогдох тул графикийн аль ч цэгт босоо бус шүргэгч байх болно.

Одоо хоёр дахь дериватив ямар утгыг 0 болгохыг тооцоолъё:

y "" = 5 (x - 3) 4 " = 20 x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

Бид x = 3-ын хувьд функцийн график гулзайлтын цэгтэй байж болохыг олж мэдсэн. Үүнийг батлахын тулд бид гурав дахь нөхцөлийг ашигладаг:

y " " " = 20 (x - 3) 3 " = 60 x - 3 2 , y " " " (3) = 60 3 - 3 2 = 0 у (4) = 60 (x - 3) 2 " = 120 (x - 3) , у (4) (3) = 120 (3 - 3) = 0 у (5) = 120 (x - 3) " = 120 , у (5) (3 ) = 120 ≠ 0

Гурав дахь хангалттай нөхцөлөөр бид n = 4 байна. Энэ бол тэгш тоо, тэгэхээр x = 3 нь гулзайлтын цэгийн абсцисса байх ба энэ нь (3 ; 1) функцийн графикийн цэгтэй тохирч байна.

Хариулт:Энэ функцийн гүдгэр, хотгор, гулзайлтын цэг бүхий графикийг энд харуулав.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Онлайн тооцоолуур ашиглан та олох боломжтой функцийн графикийн гулзайлтын цэг ба гүдгэр интервалууд Word дээрх шийдлийн дизайнтай. f(x1,x2) хоёр хувьсагчийн функц гүдгэр эсэхийг Гессийн матрицаар шийддэг.

у=

Функцийг оруулах дүрэм:

Функцийн графикийн гүдгэрийн чиглэл. Гулзайлтын цэгүүд

Тодорхойлолт: y=f(x) муруй нь (a; b) интервалын аль ч цэгт шүргэгчээс дээш байрласан бол доошоо гүдгэр гэж нэрлэгддэг.

Тодорхойлолт: y=f(x) муруй нь (a; b) интервалын аль ч цэгт шүргэгчээс доогуур байвал дээшээ гүдгэр гэж нэрлэнэ.

Тодорхойлолт: Функцийн график дээш доош гүдгэр байх интервалыг функцийн графикийн гүдгэр интервал гэнэ.

y=f(x) функцийн график болох муруйгаас доош эсвэл дээш чиглэсэн гүдгэр байдал нь түүний хоёр дахь деривативын тэмдгээр тодорхойлогддог: хэрэв зарим интервалд f''(x) > 0 байвал муруй нь гүдгэр байна. энэ интервал дээр доошоо; хэрэв f''(x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Тодорхойлолт: y=f(x) функцийн графикийн энэ графын эсрэг талын гүдгэр интервалыг зааглах цэгийг гулзайлтын цэг гэнэ.

Зөвхөн хоёр дахь төрлийн чухал цэгүүд гулзайлтын цэг болж чадна; y = f(x) функцийн мужид хамаарах цэгүүд бөгөөд энэ үед f''(x) хоёр дахь дериватив алга болох буюу тасрах болно.

y = f(x) функцийн графикийн гулзайлтын цэгийг олох дүрэм.

1. f''(x) хоёр дахь деривативыг ол.
2. y=f(x) функцийн хоёр дахь төрлийн эгзэгтэй цэгүүдийг ол. f''(x) алга болох буюу тасрах цэг.
3. Олдсон эгзэгтэй цэгүүд f(x) функцийн мужийг хуваах интервал дахь f''(x) хоёр дахь деривативын тэмдгийг судал. Хэрэв энэ тохиолдолд эгзэгтэй цэг x 0 нь эсрэг чиглэлийн гүдгэр интервалуудыг тусгаарладаг бол x 0 нь функцийн графикийн гулзайлтын цэгийн абсцисса юм.
4. Гулзайлтын цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоолох.

Жишээ 1. Дараах муруйн гүдгэрийн завсар ба гулзайлтын цэгийг ол: f(x) = 6x 2 –x 3 .
Шийдэл: f '(x) = 12x - 3x 2 , f ''(x) = 12 - 6x-ийг ол.
12-6x=0 тэгшитгэлийг шийдэж 2 дахь деривативын критик цэгүүдийг олъё. x=2.


f(2) = 6*2 2 - 2 3 = 16
Хариулт: Функц нь x∈(2; +∞) хувьд дээшээ гүдгэр; функц нь x∈(-∞; 2)-ын хувьд доошоо гүдгэр; гулзайлтын цэг (2;16) .

Жишээ 2. Функц нугалах цэгтэй юу: f(x)=x 3 -6x 2 +2x-1

Жишээ 3. Функцийн график гүдгэр ба гүдгэр байх интервалуудыг ол: f(x)=x 3 -6x 2 +12x+4