Uzay Araştırma Laboratuvarı. "Fraktal" kelimesi ne anlama geliyor?

Fraktal örnek

"Fraktal", matematikçiler tarafından yarım asırdan daha kısa bir süre önce kullanılmaya başlandı ve çok geçmeden, sinerji ve çekiciyle birlikte, genç Deterministik Kaos Teorisinin "üç sütunundan" biri haline geldi ve bugün şimdiden en iyilerden biri olarak kabul ediliyor. Evrenin yapısının temel unsurları.

İLE Latince fractus kelimesi tercüme edilmiştir"kırık" gibi, modern Latin dilleri ona "yırtık" anlamını verdi. Fraktal, parçası olduğu bütünün aynısı/daha büyüğü olan ve aynı zamanda kendisinin her birini kopyalayan bir şeydir. bileşen. Dolayısıyla “fraktallık”, “her şeyin” bileşenlerine olan sonsuz benzerliğidir, yani her düzeyde kendine benzerliktir. Fraktal dalın her seviyesine "yineleme" adı verilir; tanımlanan veya grafiksel olarak gösterilen sistem ne kadar gelişmişse, gözlemci o kadar fazla fraktal yineleme görür. Bu durumda, bölünmenin meydana geldiği noktaya (örneğin, bir gövdenin dallara ayrılması, bir nehrin iki akıntıya ayrılması vb.) çatallanma noktası denir.

Fraktus terimi 1975 yılında matematikçi Benoit Mandelbrot tarafından bilimsel bir keşfi tanımlamak için seçildi ve birkaç yıl sonra konuyu Doğanın Fraktal Geometrisi adlı kitabında daha geniş bir kitleye yönelik olarak geliştirdikten sonra popüler oldu.

Günümüzde fraktal, bilgisayar programları tarafından oluşturulan ve “fraktal sanat” olarak adlandırılan fantastik desenler olarak biliniyor. Ancak bir bilgisayarın yardımıyla yalnızca güzel soyut resimler değil, aynı zamanda çok inandırıcı doğal manzaralar da (dağlar, nehirler, ormanlar) oluşturabilirsiniz. Aslında bilim ile gerçek hayat arasındaki geçiş noktası da burasıdır, ya da genel olarak onları ayırmanın mümkün olduğunu varsayarsak tam tersi.

Gerçek şu ki fraktal prensibi yalnızca kesin bilimlerdeki keşifleri tanımlamak için uygun değildir. Bu, her şeyden önce doğanın yapısının ve gelişiminin ilkesidir. Çevremizdeki her şey fraktaldır! En belirgin örnek grubu, kolları olan nehirler, kılcal damarlı toplardamar sistemi, yıldırımlar, don desenleri, ağaçlar... Son zamanlarda bilim insanları, testler fraktal teori, bir ağacın diyagramına dayanarak, bu ağaçların yetiştiği orman alanı hakkında sonuçlar çıkarılabileceğini deneysel olarak doğruladılar. Fraktal grupların diğer örnekleri: atom - molekül - gezegen sistemi - güneş sistemi - galaksiler - evren... Dakika - saat - gün - hafta - ay - yıl - yüzyıl... Hatta bir insan topluluğu bile kendisini şu prensiplere göre organize eder: fraktallık: ben - aile - klan - milliyet - milliyetler - ırklar... Birey - grup - parti - devlet. Çalışan - departman - departman - işletme - endişe... Farklı dinlerin ilahi panteonları bile, Hıristiyanlık da dahil olmak üzere aynı prensip üzerine inşa edilmiştir: Baba Tanrı - Üçlü - azizler - kilise - inananlar, ilahi panteonların organizasyonundan bahsetmeye bile gerek yok. pagan dinleri.

Hikaye kendine benzer kümelerin ilk kez 19. yüzyılda Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff gibi bilim adamlarının çalışmalarında fark edildiğini belirtiyor, ancak gerçek şu ki pagan Slavlar bize insanların bireysel varoluşu küçük bir ayrıntı olarak anladıklarına dair kanıt bıraktılar. evrenin sonsuzluğunda. Bu, Belarus ve Ukrayna sanat tarihçileri tarafından incelenen, "örümcek" adı verilen bir halk kültürü nesnesidir. O bir çeşit heykel prototipi modern tarz"mobil" (parçalar içeride sürekli hareket birbirlerine göre). "Örümcek" genellikle samandan yapılır, aynı şekle sahip küçük, orta ve büyük elemanlardan oluşur, birbirlerinden asılır, böylece her küçük parça daha büyük olanı ve bir bütün olarak tüm yapıyı tam olarak tekrarlar. Bu tasarım, sanki kişinin evini tüm dünyanın bir unsuru olarak ifade ediyormuşçasına evin ana köşesine asıldı.

Fraktallık teorisi bugün felsefe de dahil olmak üzere her yerde işe yarar; bu teori, her yaşamda ve bir bütün olarak tüm yaşamın fraktal olduğunu, daha fazla olduğunda "çatallanma noktalarının" meydana geldiğini söyler. yüksek seviyeler Gelişim farklı yollar izleyebilir ve insanın “kendini bir seçimle karşı karşıya bulduğu” an, hayatının fraktallarındaki gerçek “çatallanma noktası”dır.

Deterministik Kaos teorisi, her fraktalın gelişiminin sonsuz olmadığını söylüyor. Bilim adamları, belirli bir anda, yinelemelerin büyümesinin durduğu ve fraktalın "daralmaya" başladığı, yavaş yavaş orijinal birim ölçüsüne ulaştığı ve ardından sürecin tekrar bir daire içine girdiğine - nefes alma ve nefes vermeye benzer şekilde - bir sınır geldiğine inanıyor. Doğada sabah ve gecenin, kış ve yazın değişimleri.

En çok parlak keşifler Bilimde insan hayatını kökten değiştirebilir. İcat edilen aşı milyonlarca insanı kurtarabilir; silahların yaratılması ise tam tersine bu hayatları yok eder. Daha yakın zamanlarda (insan evrimi ölçeğinde) elektriği "evcilleştirmeyi" öğrendik - ve artık elektrik kullanan tüm bu kullanışlı cihazlar olmadan hayatı hayal edemiyoruz. Ancak hayatımızı büyük ölçüde etkilemesine rağmen çok az insanın önemsediği keşifler de var.

Bu “göze çarpmayan” keşiflerden biri de fraktallardır. Muhtemelen bu akılda kalıcı kelimeyi daha önce duymuşsunuzdur, ancak bunun ne anlama geldiğini ve bu terimin içinde ne kadar ilginç bilgilerin saklı olduğunu biliyor musunuz?

Her insanın doğal bir merakı, etrafındaki dünyayı anlama arzusu vardır. Ve bu çabasında kişi, hükümlerinde mantığa bağlı kalmaya çalışır. Çevresinde meydana gelen süreçleri analiz ederek olup bitenlerin mantığını bulmaya ve bir model çıkarmaya çalışır. Gezegendeki en büyük beyinler bu görevle meşgul. Kabaca söylemek gerekirse, bilim insanları olmaması gereken bir model arıyorlar. Ancak kaos ortamında bile olaylar arasında bağlantılar bulmak mümkündür. Ve bu bağlantı bir fraktaldır.

Dört buçuk yaşındaki küçük kızımız artık “Neden?” sorularının çoğaldığı o harika yaşta. çoğu zaman yetişkinlerin vermeyi başardığı cevapların sayısını aşıyor. Kısa bir süre önce yerden kaldırılan bir dalı incelerken kızım birdenbire bu dalın dalları ve dallarıyla birlikte bir ağaca benzediğini fark etti. Ve tabii ki bunu, ebeveynlerin çocuğun anlayabileceği basit bir açıklama araması gereken olağan "Neden?" sorusu izledi.

Bir çocuğun keşfettiği tek bir dalın bütün bir ağaca benzerliği, doğadaki yinelemeli kendine benzerlik ilkesine bir kez daha tanıklık eden çok doğru bir gözlemdir. Doğadaki birçok organik ve inorganik form benzer şekilde oluşur. Bulutlar, deniz kabukları, bir salyangozun “evi”, ağaçların kabukları ve tepeleri, dolaşım sistemi vb. tüm bu nesnelerin rastgele şekilleri bir fraktal algoritma ile tanımlanabilir.

⇡ Benoit Mandelbrot: fraktal geometrinin babası

"Fraktal" kelimesi, parlak bilim adamı Benoit B. Mandelbrot sayesinde ortaya çıktı.

Bu terimi 1970'lerde Latince'den ödünç alarak, kelimenin tam anlamıyla "kırılmış" veya "ezilmiş" anlamına gelen fractus kelimesini kendisi icat etti. Nedir? Günümüzde "fraktal" kelimesi çoğunlukla, daha büyük ölçekte kendisine benzeyen bir yapının grafik temsili anlamına gelir.

Fraktal teorisinin ortaya çıkışının matematiksel temeli, Benoit Mandelbrot'un doğumundan yıllar önce atılmıştı, ancak ancak bilgisayar cihazlarının ortaya çıkışıyla gelişebildi. Onun başlangıcında bilimsel aktivite Benoit, IBM araştırma merkezinde çalışıyordu. O sırada merkezin çalışanları uzak mesafelere veri aktarımı üzerinde çalışıyordu. Araştırma sırasında bilim adamları gürültü girişiminden kaynaklanan büyük kayıplar sorunuyla karşı karşıya kaldılar. Benoit zor ve çok önemli bir görevle karşı karşıyaydı: gürültü girişiminin oluşumunun nasıl tahmin edileceğini anlamak. elektronik devreler istatistiksel yöntemin etkisiz olduğu ortaya çıktığında.

Mandelbrot, gürültü ölçümlerinin sonuçlarını incelerken garip bir model fark etti; farklı ölçeklerdeki gürültü grafikleri aynı görünüyordu. Bir günlük, bir haftalık veya bir saatlik gürültü grafiği olmasına bakılmaksızın aynı model gözlemlendi. Grafiğin ölçeğini değiştirmek gerekiyordu ve resim her seferinde tekrarlanıyordu.

Benoit Mandelbrot yaşamı boyunca defalarca formüller çalışmadığını, sadece resimlerle oynadığını söyledi. Bu adam mecazi olarak düşündü ve herhangi bir cebir problemini geometri alanına çevirdi, ona göre doğru cevap her zaman açıktır.

Fraktal geometrinin babası olan kişinin bu kadar zengin bir mekansal hayal gücüne sahip bir adam olması şaşırtıcı değil. Sonuçta, fraktalların özüne dair farkındalık, tam olarak çizimleri incelemeye başladığınızda ve garip girdap desenlerinin anlamını düşündüğünüzde gelir.

Fraktal desen aynı öğelere sahip değildir ancak her ölçekte benzerdir. Böyle bir görüntü oluşturun yüksek derece Daha önce manüel detaylandırma imkansızdı, çok fazla hesaplama gerekiyordu. Örneğin Fransız matematikçi Pierre Joseph Louis Fatou, bu kümeyi Benoit Mandelbrot'un keşfinden yetmiş yıldan fazla bir süre önce tanımlamıştı. Kendine benzerlik ilkelerinden bahsedecek olursak Leibniz ve Georg Cantor'un eserlerinde bunlardan bahsedilmiştir.

İlk fraktal çizimlerden biri, Gaston Maurice Julia'nın araştırması sayesinde doğan Mandelbrot kümesinin grafiksel yorumuydu.

Gaston Julia (her zaman maske takıyor - Birinci Dünya Savaşı'ndan kalma yaralanma)

Bu Fransız matematikçi, bir kümenin, bir geri bildirim döngüsü yoluyla yinelenen basit bir formülden oluşturulmuş olsaydı nasıl görüneceğini merak etti. Bunu "parmaklarımızla" açıklarsak, bu, belirli bir sayı için formülü kullanarak yeni bir değer bulduğumuz ve ardından onu tekrar formülde yerine koyup başka bir değer elde ettiğimiz anlamına gelir. Sonuç büyük bir sayı dizisidir.

Böyle bir kümenin tam bir resmini elde etmek için çok sayıda hesaplama yapmanız gerekir - yüzlerce, binlerce, milyonlarca. Bunu manuel olarak yapmak kesinlikle imkansızdı. Ancak güçlü bilgi işlem cihazları matematikçilerin kullanımına sunulduğunda, uzun süredir ilgilerini çeken formüllere ve ifadelere yeni bir bakış açısı getirebildiler. Mandelbrot, klasik fraktalı hesaplamak için bilgisayar kullanan ilk kişiydi. Benoit, çok sayıda değerden oluşan bir diziyi işledikten sonra sonuçları bir grafik üzerinde çizdi. Aldığı şey bu.

Daha sonra bu görüntü renklendirildi (örneğin, renklendirme yöntemlerinden biri yineleme sayısına göredir) ve insanoğlunun şimdiye kadar yarattığı en popüler görüntülerden biri haline geldi.

Efesli Herakleitos'a atfedilen kadim atasözünün dediği gibi: "Aynı nehre iki kez girilmez." Fraktalların geometrisini yorumlamak için mükemmel bir şekilde uygundur. Fraktal bir görüntüye ne kadar detaylı bakarsak bakalım, her zaman benzer bir desen görürüz.

Mandelbrot uzayının bir görüntüsünün defalarca yakınlaştırıldığında nasıl görüneceğini görmek isteyenler bunu animasyonlu GIF'i indirerek yapabilirler.

⇡ Lauren Carpenter: doğanın yarattığı sanat

Fraktal teorisi kısa sürede pratik uygulama buldu. Kendine benzeyen görüntülerin görselleştirilmesiyle yakından ilgili olduğundan, algoritmaları ve yapım ilkelerini ilk benimseyenlerin olması şaşırtıcı değildir. sıradışı şekiller sanatçılar vardı.

Efsanevi Pixar stüdyosunun gelecekteki kurucu ortağı Loren C. Carpenter, 1967 yılında ünlü şirketin yeni uçak geliştiren bölümlerinden biri olan Boeing Bilgisayar Hizmetleri'nde çalışmaya başladı.

1977 yılında prototip uçan modellerle sunumlar hazırladı. Loren'in sorumlulukları arasında tasarlanmakta olan uçağın görsellerinin geliştirilmesi de vardı. Gelecekteki uçakları farklı açılardan gösteren yeni modellerin resimlerini yaratması gerekiyordu. Bir noktada, Pixar Animasyon Stüdyoları'nın gelecekteki kurucusu, dağların görüntüsünü arka plan olarak kullanma konusunda yaratıcı bir fikir ortaya attı. Bugün herhangi bir okul çocuğu böyle bir sorunu çözebilir, ancak geçen yüzyılın yetmişli yıllarının sonlarında bilgisayarlar bu kadar karmaşık hesaplamalarla baş edemiyordu - 3D grafiklere yönelik uygulamalardan bahsetmeye bile gerek yok, grafik editörleri yoktu. 1978'de Lauren yanlışlıkla Benoit Mandelbrot'un Fraktallar: Form, Şans ve Boyut kitabını bir mağazada gördü. Bu kitapta Benoit'in fraktal formlara birçok örnek vermesi dikkatini çekmişti. gerçek hayat matematiksel bir ifadeyle tanımlanabileceklerini savundu.

Bu benzetme matematikçi tarafından tesadüfen seçilmedi. Gerçek şu ki, araştırmasını yayınlar yayınlamaz büyük bir eleştiri yağmuruyla karşı karşıya kaldı. Meslektaşlarının onu suçladığı asıl şey, geliştirilmekte olan teorinin işe yaramazlığıydı. “Evet” dediler, “bunlar çok güzel resimler, ama daha fazlası değil. Fraktal teorisinin pratik bir değeri yok.” Fraktal modellerin, yetmişli yılların sonlarında pek çok kişiye tamamen güvenilemeyecek kadar karmaşık ve keşfedilmemiş bir şey gibi görünen "şeytani makinelerin" çalışmasının bir yan ürünü olduğuna genel olarak inananlar da vardı. Mandelbrot fraktal teori için bariz uygulamalar bulmaya çalıştı ama genel şemada buna ihtiyacı yoktu. Sonraki 25 yıl boyunca, Benoit Mandelbrot'un takipçileri böyle bir "matematik merakının" muazzam faydalarını kanıtladılar ve Lauren Carpenter, fraktal yöntemi pratikte deneyen ilk kişilerden biriydi.

Kitabı inceledikten sonra, geleceğin animatörü fraktal geometrinin ilkelerini ciddi şekilde inceledi ve bunu bilgisayar grafiklerinde uygulamanın bir yolunu aramaya başladı. Lauren yalnızca üç günlük çalışmayla bilgisayarında dağ sisteminin gerçekçi bir görüntüsünü oluşturmayı başardı. Başka bir deyişle, tamamen tanınabilir bir dağ manzarası çizmek için formüller kullandı.

Lauren'in amacına ulaşmak için kullandığı prensip çok basitti. Daha büyük bir parçayı bölmekten ibaretti geometrik şekil küçük öğelere ve bunlar da benzer daha küçük şekillere bölünür.

Carpenter daha büyük üçgenler kullanarak bunları dört küçük üçgene böldü ve gerçekçi bir dağ manzarası elde edene kadar bu işlemi defalarca tekrarladı. Böylece bilgisayar grafiklerinde görüntü oluşturmak için fraktal algoritmayı kullanan ilk sanatçı olmayı başardı. Çalışmanın haberi duyulur duyulmaz, dünya çapındaki meraklılar bu fikri benimsediler ve gerçekçi doğal şekilleri taklit etmek için fraktal algoritmayı kullanmaya başladılar.

Fraktal algoritma kullanan ilk 3 boyutlu görselleştirmelerden biri

Sadece birkaç yıl sonra Lauren Carpenter, geliştirmelerini çok daha büyük bir projeye uygulayabildi. Animatör onlardan Vol Libre'nin iki dakikalık bir demosunu oluşturdu ve bu demo 1980'de Siggraph'ta gösterildi. Bu video gören herkesi şok etti ve Lauren, Lucasfilm'den bir davet aldı.

Animasyon, Digital Equipment Corporation'ın VAX-11/780 bilgisayarında beş megahertz saat hızında oluşturuldu ve her karenin işlenmesi yaklaşık yarım saat sürdü.

Lucasfilm Limited için çalışan animatör, Star Trek destanındaki ikinci uzun metrajlı film için aynı şemayı kullanarak 3 boyutlu manzaralar yarattı. Carpenter, Han'ın Gazabı'nda aynı fraktal yüzey modelleme ilkesini kullanarak bütün bir gezegeni yaratmayı başardı.

Şu anda, 3 boyutlu manzaralar oluşturmaya yönelik tüm popüler uygulamalar, doğal nesneler oluşturmak için benzer bir prensibi kullanıyor. Terragen, Bryce, Vue ve diğer 3D editörler, yüzeyleri ve dokuları modellemek için fraktal bir algoritmaya güveniyor.

⇡ Fraktal antenler: daha az daha çoktur

Geçtiğimiz yarım yüzyılda hayat hızla değişmeye başladı. Çoğumuz modern teknolojinin ilerlemelerini hafife alıyoruz. Hayatı daha konforlu hale getiren her şeye çok çabuk alışıyorsunuz. Nadiren kimse “Bu nereden geldi?” sorusunu sorar. ve “Nasıl çalışıyor?” Mikrodalga kahvaltıyı ısıtır - harika, akıllı telefon size başka biriyle konuşma fırsatı verir - harika. Bu bize açık bir ihtimal gibi görünüyor.

Ancak kişi meydana gelen olaylara bir açıklama aramasaydı hayat tamamen farklı olabilirdi. Örneğin cep telefonlarını ele alalım. İlk modellerdeki geri çekilebilir antenleri hatırlıyor musunuz? Müdahale ettiler, cihazın boyutunu büyüttüler ve sonunda çoğu zaman bozuldu. Sonsuza kadar unutulmaya yüz tuttuklarına inanıyoruz ve bunun nedenlerinden biri de... fraktallar.

Fraktal desenler desenleriyle büyüleyicidir. Kesinlikle kozmik nesnelerin (nebulalar, galaksi kümeleri vb.) görüntülerine benziyorlar. Bu nedenle Mandelbrot fraktal teorisini dile getirdiğinde araştırmasının astronomi öğrencileri arasında artan bir ilgi uyandırması oldukça doğaldır. Bu amatörlerden Nathan Cohen, Budapeşte'de Benoit Mandelbrot'un verdiği bir konferansa katıldıktan sonra, edindiği bilgilerin pratikte uygulanması fikrinden ilham aldı. Doğru, bunu sezgisel olarak yaptı ve keşfinde şans önemli bir rol oynadı. Bir radyo amatörü olarak Nathan mümkün olan en yüksek hassasiyete sahip bir anten yaratmaya çalıştı.

O dönemde bilinen antenin parametrelerini iyileştirmenin tek yolu geometrik boyutlarının arttırılmasıydı. Ancak Nathan'ın Boston şehir merkezinde kiraladığı mülkün sahibi çatıya büyük cihazlar kurulmasına kategorik olarak karşıydı. Daha sonra Nathan, minimum boyutlarla maksimum sonuçları elde etmeye çalışarak farklı anten şekillerini denemeye başladı. Fraktal formlar fikrinden ilham alan Cohen, dedikleri gibi, rastgele telden en ünlü fraktallardan biri olan "Koch kar tanesi" ni yaptı. İsveçli matematikçi Helge von Koch, 1904'te bu eğriyi ortaya attı. Bir doğru parçasının üç parçaya bölünmesi ve orta parçanın yerine bu parçaya denk gelen bir kenarı olmayan bir eşkenar üçgen konulmasıyla elde edilir. Tanımı anlamak biraz zor ama şekilde her şey açık ve basit.

Koch eğrisinin başka varyasyonları da vardır ancak eğrinin yaklaşık şekli benzerdir.

Nathan anteni radyo alıcısına bağladığında çok şaşırdı; hassasiyet önemli ölçüde arttı. Bir dizi deneyden sonra, Boston Üniversitesi'ndeki geleceğin profesörü, fraktal desene göre yapılmış bir antenin yüksek verimliliğe sahip olduğunu ve klasik çözümlere kıyasla çok daha geniş bir frekans aralığını kapsadığını fark etti. Ek olarak antenin fraktal eğri şeklindeki şekli geometrik boyutların önemli ölçüde azaltılmasını mümkün kılar. Nathan Cohen, geniş bantlı bir anten oluşturmak için ona kendine benzeyen bir fraktal eğri şekli vermenin yeterli olduğunu kanıtlayan bir teorem bile ortaya attı.

Yazar, keşfinin patentini aldı ve fraktal antenlerin Fractal Antenna Systems geliştirilmesi ve tasarımı için bir şirket kurdu; bu keşif sayesinde gelecekte cep telefonlarının hantal antenlerden kurtulup daha kompakt hale gelebileceğine haklı olarak inanıyordu.

Prensipte olan budur. Doğru, Nathan bugüne kadar, keşfini kompakt iletişim cihazları üretmek için yasa dışı olarak kullanan büyük şirketlerle hukuki bir mücadele içinde. Motorola gibi bazı tanınmış mobil cihaz üreticileri, fraktal antenin mucidiyle zaten dostane bir anlaşmaya vardı.

⇡ Fraktal boyutlar: aklınızla anlayamazsınız

Benoit bu soruyu ünlü Amerikalı bilim adamı Edward Kasner'dan ödünç aldı.

İkincisi, diğer birçok ünlü matematikçi gibi, çocuklarla iletişim kurmayı, onlara sorular sormayı ve beklenmedik yanıtlar almayı seviyordu. Bazen bu şaşırtıcı sonuçlara yol açtı. Örneğin, Edward Kasner'ın dokuz yaşındaki yeğeni, artık çok iyi bilinen, birin ardından yüz sıfır gelmesi anlamına gelen "googol" kelimesini ortaya attı. Ama fraktallara dönelim. Amerikalı matematikçi, ABD kıyı şeridinin ne kadar olduğu sorusunu sormaktan hoşlanıyordu. Muhatabının fikrini dinledikten sonra Edward doğru cevabı kendisi söyledi. Bir harita üzerinde uzunluğu kırık bölümler kullanarak ölçerseniz sonuç hatalı olacaktır çünkü kıyı şeridinde çok sayıda düzensizlik vardır. Mümkün olduğunca doğru ölçüm yaparsak ne olur? Her eşitsizliğin uzunluğunu hesaba katmanız gerekecek - her burnu, her körfezi, kayayı, kayalık çıkıntının uzunluğunu, üzerindeki taşı, kum tanesini, atomu vb. ölçmeniz gerekecek. Düzensizliklerin sayısı sonsuza doğru gittiğinden, her yeni düzensizlik ölçülürken kıyı şeridinin ölçülen uzunluğu sonsuza kadar artacaktır.

Ölçme sırasında ölçü ne kadar küçük olursa, ölçülen uzunluk da o kadar uzun olur

İlginç bir şekilde, Edward'ın talimatlarını takip eden çocuklar yetişkinlerden çok daha hızlı konuştu. doğru çözüm ikincisi ise böylesine inanılmaz bir cevabı kabul etmekte zorlandı.

Bu problemi örnek olarak kullanan Mandelbrot, yeni yaklaşımölçümlere. Kıyı şeridi fraktal bir eğriye yakın olduğundan, bu, ona fraktal boyut adı verilen bir karakterize edici parametrenin uygulanabileceği anlamına gelir.

Düzenli bir boyutun ne olduğu herkes için açıktır. Boyut bire eşitse, düz bir çizgi elde ederiz, eğer iki - düz bir şekil, üç - bir hacim. Ancak matematikteki bu boyut anlayışı, bu parametrenin kesirli bir değere sahip olduğu fraktal eğrilerde işe yaramamaktadır. Matematikte fraktal boyut geleneksel olarak “pürüzlülük” olarak değerlendirilebilir. Eğrinin pürüzlülüğü ne kadar yüksek olursa fraktal boyutu da o kadar büyük olur. Mandelbrot'a göre topolojik boyutundan daha yüksek bir fraktal boyuta sahip olan bir eğri, boyut sayısına bağlı olmayan yaklaşık bir uzunluğa sahiptir.

Şu anda bilim adamları fraktal teorisini uygulayacak daha fazla alan buluyorlar. Fraktalları kullanarak borsa fiyatlarındaki dalgalanmaları analiz edebilir, tür sayısındaki dalgalanmalar gibi her türlü doğal süreci inceleyebilir veya akış dinamiklerini simüle edebilirsiniz. Fraktal algoritmalar, görüntü sıkıştırma gibi veri sıkıştırma için kullanılabilir. Bu arada, bilgisayar ekranınızda güzel bir fraktal elde etmek için doktora sahibi olmanıza gerek yok.

⇡ Tarayıcıda fraktal

Fraktal bir desen elde etmenin belki de en kolay yollarından biri, genç yetenekli programcı Toby Schachman'ın çevrimiçi vektör düzenleyicisini kullanmaktır. Bu basit grafik düzenleyicinin araçları aynı kendi kendine benzerlik ilkesine dayanmaktadır.

Emrinizde yalnızca iki basit şekil vardır - bir dörtgen ve bir daire. Bunları tuvale ekleyebilir, ölçeklendirebilir (eksenlerden biri boyunca ölçeklemek için Shift tuşunu basılı tutarak) ve döndürebilirsiniz. Boole toplama işlemleri ilkesine göre üst üste binen bu en basit öğeler, yeni, daha az önemsiz formlar oluşturur. Bu yeni şekiller daha sonra projeye eklenebilir ve program bu görüntüleri oluşturmayı sonsuza kadar tekrarlayacaktır. Fraktal üzerinde çalışmanın herhangi bir aşamasında karmaşık bir şeklin herhangi bir bileşenine dönebilir ve konumunu ve geometrisini düzenleyebilirsiniz. Eğlenceli bir aktivite, özellikle de oluşturmanız gereken tek aracın bir tarayıcı olduğunu düşündüğünüzde. Bu özyinelemeli vektör düzenleyiciyle çalışmanın ilkesini anlamıyorsanız, projenin resmi web sitesinde bir fraktal oluşturma sürecinin tamamını ayrıntılı olarak gösteren videoyu izlemenizi tavsiye ederiz.

⇡ XaoS: her zevke uygun fraktallar

Birçok grafik düzenleyicide fraktal desenler oluşturmaya yönelik yerleşik araçlar bulunur. Ancak bu araçlar genellikle ikincildir ve oluşturulan fraktal modelin ince ayarına izin vermez. Matematiksel olarak doğru bir fraktal oluşturmanın gerekli olduğu durumlarda, platformlar arası editör XaoS kurtarmaya gelecektir. Bu program yalnızca kendine benzer bir görüntü oluşturmayı değil, aynı zamanda onunla çeşitli manipülasyonlar gerçekleştirmeyi de mümkün kılar. Örneğin, gerçek zamanlı olarak, ölçeğini değiştirerek bir fraktal üzerinde "yürüyüş" yapabilirsiniz. Bir fraktal boyunca animasyonlu hareket, bir XAF dosyası olarak kaydedilebilir ve daha sonra programın kendisinde çoğaltılabilir.

XaoS, rastgele bir dizi parametre yükleyebilir ve ayrıca çeşitli görüntü işleme sonrası filtreleri kullanabilir; bulanık bir hareket efekti ekleyebilir, fraktal noktalar arasındaki keskin geçişleri yumuşatabilir, 3 boyutlu bir görüntüyü simüle edebilir vb.

⇡ Fraktal Zoomer: kompakt fraktal üreteci

Diğer fraktal görüntü oluşturucularla karşılaştırıldığında birçok avantajı vardır. Öncelikle boyutu çok küçüktür ve kurulum gerektirmez. İkinci olarak, bir resmin renk paletini belirleme yeteneğini uygular. RGB, CMYK, HVS ve HSL renk modellerinde renk tonlarını seçebilirsiniz.

Renk tonlarını rastgele seçme seçeneğini ve resimdeki tüm renkleri tersine çevirme işlevini kullanmak da çok kullanışlıdır. Rengi ayarlamak için, döngüsel gölge seçimi işlevi vardır - ilgili modu açtığınızda, program görüntüyü canlandırarak üzerindeki renkleri döngüsel olarak değiştirir.

Fraktal Zoomer 85 farklı fraktal fonksiyonu görselleştirebilmektedir ve formüller program menüsünde açıkça gösterilmektedir. Programda küçük miktarlarda da olsa görüntü işleme sonrası filtreler bulunmaktadır. Atanan her filtre herhangi bir zamanda iptal edilebilir.

⇡ Mandelbulb3D: 3 boyutlu fraktal düzenleyici

"Fraktal" terimi kullanıldığında çoğunlukla düz, iki boyutlu bir görüntüye atıfta bulunulur. Ancak fraktal geometri 2 boyutlu boyutun ötesine geçer. Doğada, hem düz fraktal formların örneklerini, örneğin yıldırımın geometrisini hem de üç boyutlu hacimsel şekilleri bulabilirsiniz. Fraktal yüzeyler üç boyutlu olabilir ve günlük yaşamdaki 3 boyutlu fraktalların çok açık bir örneği lahana başıdır. Belki de fraktalları görmenin en iyi yolu, karnabahar ve brokoli melezi olan Romanesco çeşididir.

Bu fraktalı da yiyebilirsiniz

Mandelbulb3D programı benzer şekle sahip üç boyutlu nesneler oluşturabilir. Fraktal algoritma kullanarak 3 boyutlu bir yüzey elde etmek için bu uygulamanın yazarları Daniel White ve Paul Nylander, Mandelbrot kümesini küresel koordinatlara dönüştürdüler. Oluşturdukları Mandelbulb3D programı, farklı şekillerdeki fraktal yüzeyleri modelleyen gerçek bir üç boyutlu editördür. Doğada fraktal desenleri sıklıkla gözlemlediğimizden, yapay olarak oluşturulmuş üç boyutlu bir fraktal nesne inanılmaz derecede gerçekçi ve hatta "canlı" görünüyor.

Bir bitkiye benzeyebilir, tuhaf bir hayvana, bir gezegene ya da başka bir şeye benzeyebilir. Bu efekt, gerçekçi yansımalar elde etmeyi, şeffaflığı ve gölgeleri hesaplamayı, alan derinliği efektini simüle etmeyi vb. mümkün kılan gelişmiş bir oluşturma algoritmasıyla güçlendirilir. Mandelbulb3D'nin çok sayıda ayarı ve oluşturma seçeneği vardır. Işık kaynaklarının tonlarını kontrol edebilir, simüle edilen nesnenin arka planını ve ayrıntı düzeyini seçebilirsiniz.

Incendia fraktal düzenleyici, çift görüntü yumuşatmayı destekler, elli farklı üç boyutlu fraktaldan oluşan bir kitaplık içerir ve temel şekilleri düzenlemek için ayrı bir modüle sahiptir.

Uygulama, yeni fraktal tasarım türlerini bağımsız olarak tanımlayabileceğiniz fraktal kodlamayı kullanır. Incendia'nın doku ve malzeme editörleri vardır ve işleme motoru, hacimsel sis efektlerini ve çeşitli gölgelendiricileri kullanmanıza olanak tanır. Program, uzun süreli oluşturma sırasında arabellek kaydetme seçeneğini uygular ve animasyon oluşturulmasını destekler.

Incendia, fraktal bir modeli popüler 3D grafik formatlarına (OBJ ve STL) aktarmanıza olanak tanır. Incendia, fraktal bir yüzeyin 3 boyutlu bir modele aktarılmasını ayarlamak için özel bir araç olan Geometrica adı verilen küçük bir yardımcı program içerir. Bu yardımcı programı kullanarak 3 boyutlu bir yüzeyin çözünürlüğünü belirleyebilir ve fraktal yinelemelerin sayısını belirleyebilirsiniz. Dışa aktarılan modeller, Blender, 3ds max ve diğerleri gibi 3B düzenleyicilerle çalışırken 3B projelerde kullanılabilir.

İÇİNDE Son zamanlarda Incendia projesi üzerindeki çalışmalar bir miktar yavaşladı. Açık şu an yazar programı geliştirmesine yardımcı olacak sponsorlar arıyor.

Bu programda güzel bir üç boyutlu fraktal çizmek için yeterli hayal gücünüz yoksa, bunun bir önemi yok. INCENDIA_EX\parameters klasöründe bulunan parametreler kitaplığını kullanın. PAR dosyalarını kullanarak, animasyonlu olanlar da dahil olmak üzere en sıra dışı fraktal şekilleri hızlı bir şekilde bulabilirsiniz.

⇡ İşitsel: fraktallar nasıl şarkı söyler

Genellikle üzerinde çalışılan projelerden bahsetmiyoruz ancak bu durumda bir istisna yapmamız gerekiyor çünkü bu çok alışılmadık bir uygulama. Aural adı verilen proje, Incendia'yı yaratan aynı kişi tarafından icat edildi. Ancak bu sefer program fraktal seti görselleştirmiyor, seslendirerek elektronik müziğe dönüştürüyor. Özellikle fraktalların alışılmadık özellikleri göz önüne alındığında, fikir çok ilginç. Aural, fraktal algoritmalar kullanarak melodiler üreten bir ses düzenleyicidir, yani özünde bir ses sentezleyici-sıralayıcıdır.

Bu program tarafından üretilen seslerin sırası alışılmadık ve... çok güzel. Modern ritimler yazmak için yararlı olabilir ve bize öyle geliyor ki, özellikle televizyon ve radyo programlarının ekran koruyucuları için müziklerin yanı sıra bilgisayar oyunları için arka plan müziği "döngüleri" oluşturmak için çok uygundur. Ramiro henüz programının bir demosunu sunmadı, ancak bunu yaptığında Aural ile çalışmak için fraktal teoriyi incelemenize gerek kalmayacağının sözünü veriyor; yalnızca bir dizi oluşturmak için algoritmanın parametreleriyle oynamanız gerekecek notlardan. Fraktalların nasıl ses çıkardığını dinleyin ve.

Fraktallar: müzikal mola

Aslında fraktallar yazılım olmadan bile müzik yazmanıza yardımcı olabilir. Ancak bu yalnızca doğal uyum fikriyle gerçekten aşılanmış ve talihsiz bir "inek" e dönüşmemiş biri tarafından yapılabilir. Diğer şeylerin yanı sıra Popular Science dergisi için besteler yazan Jonathan Coulton adlı bir müzisyenden örnek almak mantıklı olacaktır. Ve diğer sanatçılardan farklı olarak Colton, tüm çalışmalarını Creative Commons Atıf-Ticari Olmayan lisansı altında yayınlar; bu lisans (ticari olmayan amaçlarla kullanıldığında), eserin ücretsiz kopyalanmasını, dağıtılmasını, başkalarına aktarılmasını ve değiştirilmesini sağlar ( türev çalışmaların oluşturulması) böylece onu görevlerinize uyarlayabilirsiniz.

Jonathan Colton'un elbette fraktallar hakkında bir şarkısı var.

⇡ Sonuç

Bizi çevreleyen her şeyde sıklıkla kaos görüyoruz, ama aslında bu bir tesadüf değil, fraktalların ayırt etmemize yardımcı olduğu ideal bir form. Doğa en iyi mimar, ideal inşaatçı ve mühendistir. Oldukça mantıklı bir şekilde yapılandırılmıştır ve eğer bir yerde bir model göremiyorsak, bu onu farklı bir ölçekte aramamız gerektiği anlamına gelir. İnsanlar doğal formları birçok yönden taklit etmeye çalışarak bunu giderek daha iyi anlıyorlar. Mühendisler kabuk şeklinde hoparlör sistemleri tasarlıyor, kar tanesi şeklinde antenler yaratıyor vb. Fraktalların hala birçok sır içerdiğinden ve bunların çoğunun henüz insanlar tarafından keşfedilmediğinden eminiz.

Belediye bütçesi Eğitim kurumu

"Siverskaya ortalaması Kapsamlı okul Numara 3"

Araştırma

matematik.

işi yaptım

8-1.sınıf öğrencisi

Emelin Pavel

Bilimsel yönetmen

matematik öğretmeni

Tupitsyna Natalya Alekseevna

Siversky köyü

yıl 2014

Matematiğin tamamına güzellik ve uyum nüfuz etmiştir,

Bu güzelliği görmeniz yeterli.

B. Mandelbrot

Giriş__________________________________________3-4s.

Bölüm 1. Fraktalların ortaya çıkışının tarihi._______5-6pp.

Bölüm 2. Fraktalların sınıflandırılması ______6-10pp.

Geometrik fraktallar

Cebirsel fraktallar

Stokastik fraktallar

Bölüm 3. "Doğanın fraktal geometrisi"______11-13pp.

Bölüm 4. Fraktalların uygulanması_______________13-15pp.

Bölüm 5 Pratik çalışma__________________16-24pp.

Sonuç____________________________________25.sayfa

Referansların ve İnternet kaynaklarının listesi_________26 sayfa.

giriiş

Matematik,

eğer doğru bakarsanız,

yalnızca gerçeği yansıtmaz,

ama aynı zamanda eşsiz bir güzellik.

Bertrand Russell

“Fraktal” kelimesi bugünlerde bilim adamlarından öğrencilere kadar pek çok insanın bahsettiği bir şey. lise. Birçok matematik ders kitabının, bilimsel derginin ve bilgisayar kutusunun kapağında yer almaktadır. yazılım. Fraktalların renkli görüntüleri günümüzde her yerde bulunabilir: kartpostallardan tişörtlere, kişisel bilgisayarın masaüstündeki resimlere kadar. Peki etrafımızda gördüğümüz bu renkli şekiller neler?

Matematik en eski bilimdir. Çoğu insan doğadaki geometrinin çizgi, daire, çokgen, küre gibi basit şekillerle sınırlı olduğunu düşünüyordu. Görünüşe göre, birçok doğal sistem o kadar karmaşık ki, onları modellemek için yalnızca sıradan geometriye sahip tanıdık nesnelerin kullanılması umutsuz görünüyor. Örneğin, bir dağ silsilesinin veya bir ağaç tepesinin modelini geometri açısından nasıl inşa edebilirsiniz? Bu çeşitliliği nasıl tanımlayabiliriz? biyolojik çeşitlilik bitki ve hayvanların dünyasında gözlemlediğimiz? Çok sayıda kılcal damar ve damardan oluşan ve insan vücudunun her hücresine kan dağıtan dolaşım sisteminin karmaşıklığını nasıl hayal edebiliriz? Dallı taçlı ağaçların yapısını anımsatan akciğerlerin ve böbreklerin yapısını hayal edin?

Fraktallar bu soruları araştırmak için uygun araçlardır. Çoğu zaman doğada gördüklerimiz, aynı modelin birkaç kez artırılıp azaltılarak sonsuz tekrarı ile ilgimizi çeker. Örneğin bir ağacın dalları vardır. Bu dallarda daha küçük dallar vb. vardır. Teorik olarak dallanma elemanı süresiz olarak tekrarlanır ve gittikçe küçülür. Dağlık arazinin fotoğrafına bakıldığında da aynı şey görülebilir. Sıradağlara biraz daha yakınlaşmaya çalışın; dağları tekrar göreceksiniz. Fraktalların kendine benzerlik özelliği bu şekilde kendini gösterir.

Fraktalların incelenmesi, hem sonsuz sayıda uygulamanın incelenmesinde hem de matematik alanında harika olasılıkların önünü açıyor. Fraktalların uygulamaları çok kapsamlıdır! Sonuçta, bu nesneler o kadar güzel ki tasarımcılar, sanatçılar tarafından kullanılıyor, onların yardımıyla grafiklerde birçok unsur çiziliyor: ağaçlar, bulutlar, dağlar vb. Ancak fraktallar birçok cep telefonunda anten olarak bile kullanılıyor.

Pek çok kaolog (fraktallar ve kaos üzerinde çalışan bilim insanları) için bu yalnızca matematik, teorik fizik, sanat ve bilgisayar teknolojisini birleştiren yeni bir bilgi alanı değil, aynı zamanda bir devrimdir. Bu, etrafımızdaki dünyayı tanımlayan ve sadece ders kitaplarında değil, doğada ve sınırsız evrenin her yerinde görülebilen yeni bir geometri türünün keşfidir..

Çalışmamda ben de güzellik dünyasına “dokunmaya” karar verdim ve kendim için kararlıyım...

İşin amacı: Görüntüleri doğal olanlara çok benzeyen nesneler yaratmak.

Araştırma Yöntemleri: karşılaştırmalı analiz, sentez, modelleme.

Görevler:

B. Mandelbrot'un kavramı, kökeni tarihi ve araştırması ile tanışma,

G. Koch, V. Sierpinsky ve diğerleri;

ile tanışma çeşitli türler fraktal kümeler;

Bu konuyla ilgili popüler bilimsel literatürü incelemek, bilgi sahibi olmak

bilimsel hipotezler;

çevredeki dünyanın fraktallık teorisinin onayını bulmak;

fraktalların diğer bilimlerde ve pratikte kullanımının incelenmesi;

kendi fraktal görüntülerinizi oluşturmak için bir deney yapmak.

Çalışmanın temel sorusu:

Matematiğin kuru, ruhsuz bir konu olmadığını, bireyin bireysel ve toplumsal ruhsal dünyasını bir bütün olarak ifade edebildiğini göstermek.

Çalışma konusu: Fraktal geometri.

Çalışmanın amacı: matematikte ve gerçek dünyada fraktallar.

Hipotez: Gerçek dünyada var olan her şey bir fraktaldır.

Araştırma Yöntemleri: analitik, arama.

Alaka düzeyi Belirtilen konu öncelikle araştırma konusu olan fraktal geometri tarafından belirlenmektedir.

Beklenen sonuçlar:Çalışma sırasında matematik alanındaki bilgimi genişletebileceğim, fraktal geometrinin güzelliğini görebileceğim ve kendi fraktallarımı yaratmaya başlayabileceğim.

Çalışmanın sonucunda bir bilgisayar sunumu, haber bülteni ve kitapçık oluşturulacak.

Bölüm 1. Tarih

B ne zaman Mandelbrot

Fraktal kavramı Benoit Mandelbrot tarafından icat edildi. Kelime Latince "kırılmış, kırılmış" anlamına gelen "fractus" kelimesinden gelmektedir.

Fraktal (enlem. fractus - ezilmiş, kırılmış, kırılmış), kendine benzerlik özelliğine sahip, yani her biri şeklin tamamına benzeyen birkaç parçadan oluşan karmaşık bir geometrik şekil anlamına gelen bir terimdir.

Bahsettiği matematiksel nesneler son derece ilginç özelliklerle karakterize edilir. Sıradan geometride bir çizginin bir boyutu, bir yüzeyin iki boyutu vardır ve mekansal şekil 3 boyutlu. Fraktallar çizgiler ya da yüzeyler değil, eğer hayal edebiliyorsanız aradaki bir şeydir. Boyut arttıkça fraktalın hacmi de artar, ancak boyutu (üs) bir bütün değil, kesirli bir değerdir ve bu nedenle fraktal şeklin sınırı bir çizgi değildir: yüksek büyütmede açıkça ortaya çıkar ki bulanıktır ve şeklin düşük büyütme ölçeğinde tekrarlanan spiraller ve kıvrımlardan oluşur. Bu geometrik düzenliliğe ölçek değişmezliği veya kendine benzerlik denir. Fraktal rakamların kesirli boyutunu belirleyen şey budur.

Fraktal geometrinin ortaya çıkmasından önce bilim, üç uzamsal boyuttaki sistemlerle ilgileniyordu. Einstein sayesinde üç boyutlu uzayın gerçekliğin kendisi değil, yalnızca gerçekliğin bir modeli olduğu ortaya çıktı. Aslında dünyamız dört boyutlu bir uzay-zaman sürekliliğinde yer almaktadır.
Mandelbrot sayesinde, dört boyutlu uzayın mecazi anlamda Kaos'un fraktal yüzünün neye benzediği netleşti. Benoit Mandelbrot, dördüncü boyutun yalnızca ilk üç boyutu değil, aynı zamanda (bu çok önemli!) aralarındaki aralıkları da içerdiğini keşfetti.

Özyinelemeli (veya fraktal) geometri, Öklid geometrisinin yerini alıyor. Yeni bilim, cisimlerin ve olayların gerçek doğasını tanımlayabilmektedir. Öklid geometrisi yalnızca üç boyuta ait yapay, hayali nesnelerle ilgileniyordu. Yalnızca dördüncü boyut bunları gerçeğe dönüştürebilir.

Sıvı, gaz, katı - üç tanıdık Fiziksel durumuüç boyutlu dünyada var olan madde. Peki türbülanslı hava hareketi tarafından sürekli olarak aşındırılan bir duman bulutunun, bir bulutun, daha doğrusu sınırlarının boyutu nedir?

Temel olarak fraktallar üç gruba ayrılır:

Cebirsel fraktallar

Stokastik fraktallar

Geometrik fraktallar

Her birine daha yakından bakalım.

Bölüm 2. Fraktalların sınıflandırılması

Geometrik fraktallar

Benoit Mandelbrot, halihazırda klasik hale gelen ve sıklıkla hem tipik bir fraktal örneğini göstermek hem de araştırmacıları, sanatçıları ve sadece ilgilenen insanları da cezbeden fraktalların güzelliğini göstermek için kullanılan bir fraktal modeli önerdi.

Fraktalların tarihi burada başladı. Bu tür fraktal basit geometrik yapılarla elde edilir. Genellikle, bu fraktalları oluştururken şunu yaparlar: Fraktalın inşa edileceği temel alınarak bir "tohum" - bir aksiyom - bir dizi bölüm alırlar. Daha sonra bu “tohum”a, onu bir tür geometrik şekle dönüştüren bir dizi kural uygulanır. Daha sonra bu şeklin her bir parçasına aynı kurallar dizisi tekrar uygulanır. Her adımda şekil giderek daha karmaşık hale gelecek ve (en azından zihnimizde) sonsuz sayıda dönüşüm gerçekleştirirsek geometrik bir fraktal elde edeceğiz.

Bu sınıfın fraktalları en görsel olanlardır çünkü kendi benzerlikleri herhangi bir gözlem ölçeğinde anında görülebilir. İki boyutlu durumda, bu tür fraktallar, jeneratör adı verilen bazı kesikli çizgilerin belirtilmesiyle elde edilebilir. Algoritmanın bir adımında sürekli çizgiyi oluşturan bölümlerin her biri, uygun ölçekte bir jeneratör sürekli çizgisiyle değiştirilir. Bu prosedürün sonsuz tekrarı sonucunda (veya daha doğrusu sınıra giderken) bir fraktal eğri elde edilir. Ortaya çıkan eğrinin görünürdeki karmaşıklığına rağmen, genel görünümü yalnızca jeneratörün şekliyle belirlenir. Bu tür eğrilerin örnekleri şunlardır: Koch eğrisi (Şekil 7), Peano eğrisi (Şekil 8), Minkowski eğrisi.

Yirminci yüzyılın başında matematikçiler hiçbir noktada teğeti olmayan eğriler arıyorlardı. Bu, eğrinin yönünü aniden ve son derece yüksek bir hızda değiştirdiği anlamına geliyordu (türev sonsuza eşitti). Bu eğrilerin araştırılması sadece matematikçilerin boş ilgisinden kaynaklanmıyordu. Gerçek şu ki, yirminci yüzyılın başında kuantum mekaniği çok hızlı gelişti. Araştırmacı M. Brown, sudaki asılı parçacıkların hareket yörüngesini çizdi ve bu olguyu şu şekilde açıkladı: Sıvının rastgele hareket eden atomları, asılı parçacıklara çarparak onları harekete geçirdi. Bu açıklamanın ardından Brown hareketi Bilim insanları Brown parçacıklarının hareketini en iyi şekilde gösterecek bir eğri bulma göreviyle karşı karşıyaydı. Bunu yapmak için eğrinin şu özellikleri karşılaması gerekiyordu: hiçbir noktada teğetinin olmaması. Matematikçi Koch böyle bir eğri önerdi.

İLE Koch eğrisi tipik bir geometrik fraktaldır. Yapım süreci şu şekildedir: Tek bir parça alıyoruz, onu üç eşit parçaya bölüyoruz ve orta aralığı bu parça olmadan bir eşkenar üçgenle değiştiriyoruz. Sonuç olarak, 1/3 uzunluğunda dört bağlantıdan oluşan kesikli bir çizgi oluşur. Bir sonraki adımda, elde edilen dört bağlantının her biri için işlemi tekrarlıyoruz, vb.

Limit eğrisi Koch eğrisi.

Kar tanesi Koch. Yanlarda da benzer dönüşümler gerçekleştirerek eşkenar üçgen Koch kar tanesinin fraktal görüntüsünü elde edebilirsiniz.

T
Geometrik fraktalın bir başka basit temsilcisi Sierpinski meydanı. Oldukça basit bir şekilde inşa edilmiştir: Kare, kenarlarına paralel düz çizgilerle 9 eşit kareye bölünmüştür. Merkez meydan meydandan kaldırılıyor. Sonuç, kalan 8 "birinci derece" kareden oluşan bir settir. Birinci sıradaki karelerin her biri için aynısını yaparak ikinci sıradaki 64 kareden oluşan bir set elde ediyoruz. Bu işlemi süresiz olarak sürdürerek sonsuz bir dizi veya Sierpinski karesi elde ederiz.

Cebirsel fraktallar

Bu fraktalların en büyük grubudur. Cebirsel fraktallar, basit cebirsel formüller kullanılarak oluşturuldukları için isimlerini alırlar.

Doğrusal olmayan süreçler kullanılarak elde edilirler. N boyutlu uzaylar. Doğrusal olmayan dinamik sistemlerin birçok kararlı duruma sahip olduğu bilinmektedir. Belirli sayıda yinelemeden sonra dinamik sistemin kendini bulduğu durum, başlangıç ​​durumuna bağlıdır. Bu nedenle, her kararlı durum (veya dedikleri gibi çekici), sistemin mutlaka söz konusu son durumlara düşeceği belirli bir başlangıç ​​durumları bölgesine sahiptir. Böylece sistemin faz uzayı ikiye ayrılır. cazibe alanlarıçekiciler. Faz uzayı iki boyutlu ise çekim alanları farklı renklerle renklendirilerek elde edilebilir. renkli faz portre bu sistem (yinelemeli süreç). Renk seçim algoritmasını değiştirerek tuhaf çok renkli desenlere sahip karmaşık fraktal desenler elde edebilirsiniz. Matematikçiler için sürpriz olan şey, ilkel algoritmalar kullanarak çok karmaşık yapılar üretebilme yeteneğiydi.

Örnek olarak Mandelbrot kümesini ele alalım. Bunu karmaşık sayıları kullanarak inşa ediyorlar.

Mandelbrot kümesinin sınırının 200 kez büyütülmüş bir bölümü.

Mandelbrot kümesi şu noktaları içerir:sonsuz yinelemelerin sayısı sonsuza gitmez (siyah noktalar). Kümenin sınırına ait noktalar(karmaşık yapıların ortaya çıktığı yer burasıdır) sınırlı sayıda yinelemede sonsuza gider ve kümenin dışında kalan noktalar birkaç yinelemeden sonra (beyaz arka plan) sonsuza gider.

P



Başka bir cebirsel fraktalın örneği Julia kümesidir. Bu fraktalın 2 çeşidi vardır.Şaşırtıcı bir şekilde Julia kümeleri Mandelbrot kümesiyle aynı formül kullanılarak oluşturulmuştur. Julia kümesi, Fransız matematikçi Gaston Julia tarafından icat edildi ve kümeye adı verildi.

VE
ilginç gerçek Bazı cebirsel fraktallar, hayvanların, bitkilerin ve diğer biyolojik nesnelerin görüntülerine çarpıcı bir şekilde benzemektedir ve bunun sonucunda bunlara biyomorf adı verilmektedir.

Stokastik fraktallar

Fraktalların iyi bilinen bir başka sınıfı da stokastik fraktallardır; bunlar, bazı parametrelerinin yinelemeli bir süreçte rastgele değiştirilmesi durumunda elde edilir. Bu durumda ortaya çıkan nesneler doğal olanlara çok benzer: asimetrik ağaçlar, sağlam kıyı şeridi vesaire.

Bu fraktal grubunun tipik bir temsilcisi “plazma”dır.

D
Bunu oluşturmak için bir dikdörtgen alın ve her köşesine bir renk atayın. Daha sonra dikdörtgenin merkez noktası bulunur ve dikdörtgenin köşelerindeki renklerin aritmetik ortalaması artı bir miktar rastgele sayıya eşit bir renkle boyanır. Rastgele sayı ne kadar büyük olursa çizim o kadar "düzensiz" olacaktır. Noktanın renginin deniz seviyesinden yüksekliği olduğunu varsayarsak plazma yerine dağ sırası elde ederiz. Çoğu programda dağlar bu prensibe göre modellenmiştir. Plazmaya benzer bir algoritma kullanılarak bir yükseklik haritası oluşturulur, ona çeşitli filtreler uygulanır, bir doku uygulanır ve fotogerçekçi dağlar hazır olur

e
Bu fraktale kesitsel olarak bakarsak, bu fraktalın hacimsel olduğunu ve bir "pürüzlülüğe" sahip olduğunu görürüz, tam da bu "pürüzlülük" nedeniyle bu fraktalın çok önemli bir uygulaması vardır.

Diyelim ki bir dağın şeklini tanımlamanız gerekiyor. Öklid geometrisinden alınan sıradan rakamlar burada yardımcı olmayacaktır çünkü yüzey topoğrafyasını hesaba katmazlar. Ancak geleneksel geometriyi fraktal geometriyle birleştirdiğinizde bir dağın "pürüzlülüğünü" elde edebilirsiniz. Plazmayı normal bir koniye uygulamamız gerekiyor ve bir dağın rahatlamasını elde edeceğiz. Bu tür işlemler doğadaki birçok başka nesneyle de yapılabiliyor; stokastik fraktallar sayesinde doğanın kendisi de tanımlanabiliyor.

Şimdi geometrik fraktallardan bahsedelim.

.

Bölüm 3 "Doğanın fraktal geometrisi"

" Geometri neden sıklıkla "soğuk" ve "kuru" olarak adlandırılır? Bunun bir nedeni, bir bulutun, dağın, kıyı şeridinin veya ağacın şeklini tanımlayamamasıdır. Bulutlar küre değildir, dağlar koni değildir, kıyı şeritleri daire değildir, ağaç kabuğu değildir Daha genel olarak, Doğadaki pek çok nesnenin o kadar düzensiz ve parçalı olduğunu ve Öklid (bu çalışmada tüm standart geometri anlamına gelen bir terim) ile karşılaştırıldığında Doğanın yalnızca daha karmaşık olmadığını savunuyorum. ama tamamen farklı bir düzeyde karmaşıklık. Doğal nesnelerin farklı uzunluk ölçeklerinin sayısı, tüm pratik amaçlar açısından sonsuzdur."

(Benoit Mandelbrot "Doğanın fraktal geometrisi" ).

İLE Fraktalların güzelliği iki yönlüdür: Peitgen ve Richter liderliğindeki bir grup Bremen matematikçisi tarafından düzenlenen dünya çapındaki fraktal görüntüler sergisinin de gösterdiği gibi, göze keyif verir. Daha sonra bu görkemli serginin sergileri, aynı yazarların "Fraktalların Güzelliği" kitabının illüstrasyonlarında ele alındı. Ancak fraktalların güzelliğinin, R. Feynman'a göre yalnızca bir teorisyenin zihinsel bakışına açık olan, daha soyut veya yüce başka bir yönü daha vardır; bu anlamda fraktallar, zor bir matematik probleminin güzelliğinden dolayı güzeldir. . Benoit Mandelbrot, çağdaşlarına (ve muhtemelen soyundan gelenlere) Öklid'in Elementleri'ndeki sinir bozucu bir boşluğa dikkat çekti; bu boşluk sayesinde, neredeyse iki bin yıllık insanlık, ihmali fark etmeden, kendisini çevreleyen dünyanın geometrisini anladı ve sunumun matematiksel kesinliğini öğrendi. Elbette, fraktalların güzelliğinin her iki yönü de birbiriyle yakından ilişkilidir ve her biri kendi kendine yeterli olmasına rağmen birbirini dışlamaz, tamamlar.

Mandelbrot'a göre doğanın fraktal geometrisi, F. Klein'ın Erlangen Programında önerdiği geometri tanımını karşılayan gerçek bir geometridir. Gerçek şu ki, Öklid dışı geometrinin ortaya çıkmasından önce N.I. Lobaçevski - L. Bolyai, yalnızca bir geometri vardı - "İlkeler" de belirtilen geometri ve geometrinin ne olduğu ve geometrilerden hangisinin gerçek dünyanın geometrisi olduğu sorusu ortaya çıkmadı ve çıkamadı. kalkmak. Ancak başka bir geometrinin ortaya çıkışıyla birlikte genel olarak geometrinin ne olduğu ve birçok geometriden hangisinin gerçek dünyaya karşılık geldiği sorusu ortaya çıktı. F. Klein'a göre geometri, dönüşümler altında değişmez olan nesnelerin bu tür özelliklerinin incelenmesiyle ilgilidir: Öklid - hareket grubunun değişmezleri (herhangi bir iki nokta arasındaki mesafeyi değiştirmeyen, yani paralel ötelemelerin üst üste binmesini temsil eden dönüşümler) ve yönelimi değiştiren veya değiştirmeyen rotasyonlar), Lobachevsky-Bolyai geometrisi - Lorentz grubunun değişmezleri. Fraktal geometri, kendine afin dönüşümler grubunun değişmezlerinin incelenmesiyle ilgilenir; Güç yasalarıyla ifade edilen özellikler.

Gerçek dünyaya uygunluğuna gelince, fraktal geometri çok geniş bir doğal süreç ve fenomen sınıfını tanımlar ve bu nedenle B. Mandelbrot'u takip ederek doğanın fraktal geometrisinden haklı olarak bahsedebiliriz. Yeni - fraktal nesneler var olağandışı özellikler. Bazı fraktalların uzunlukları, alanları ve hacimleri sıfır olurken bazılarınınki ise sonsuza döner.

Doğa çoğu zaman ideal geometri ve öyle bir uyumla şaşırtıcı ve güzel fraktallar yaratır ki hayranlıkla donup kalırsınız. Ve işte onların örnekleri:

Deniz kabukları

Yıldırım güzelliklerine hayran kalırlar. Yıldırımın yarattığı fraktallar rastgele veya düzenli değildir

Fraktal şekil karnabaharın alt türleri(Brassica cauliflora). Bu özel tür özellikle simetrik bir fraktaldır.

P eğrelti otu aynı zamanda flora arasındaki fraktalın güzel bir örneğidir.

Tavus kuşları Herkes katı fraktalların saklandığı rengarenk tüyleriyle tanınır.

Buz, ayaz desenler pencerelerde bunlar da fraktallardır

HAKKINDA
t büyütülmüş resim yaprak, önce Ağaç dalları- Fraktallar her şeyde bulunabilir

Fraktallar çevremizdeki doğanın her yerinde ve her yerindedir. Tüm Evren, matematiksel hassasiyetle inanılmaz derecede uyumlu yasalara göre inşa edilmiştir. Bundan sonra gezegenimizin rastgele bir parçacık dizilimi olduğunu düşünmek mümkün mü? Zorlu.

Bölüm 4. Fraktalların uygulanması

Fraktallar bilimde giderek daha fazla uygulama buluyor. Bunun temel nedeni, gerçek dünyayı bazen geleneksel fizik veya matematikten bile daha iyi tanımlamalarıdır. İşte bazı örnekler:

HAKKINDA
Fraktalların en güçlü uygulamalarının olduğu günler bilgisayar grafikleri. Bu fraktal görüntü sıkıştırmadır. Modern fizik ve mekanik, fraktal nesnelerin davranışını incelemeye yeni başlıyor.

Fraktal görüntü sıkıştırma algoritmalarının avantajları, paketlenmiş dosyanın çok küçük boyutu ve kısa görüntü kurtarma süresidir. Fraktal paketlenmiş görüntüler, pikselleşme (düşük görüntü kalitesi - büyük kareler) ortaya çıkmadan ölçeklenebilir. Ancak sıkıştırma işlemi uzun zaman alır ve bazen saatlerce sürer. Fraktal kayıplı paketleme algoritması, jpeg formatına benzer şekilde sıkıştırma düzeyini ayarlamanıza olanak tanır. Algoritma, görüntünün bazı küçük parçalara benzeyen büyük parçalarını aramaya dayanmaktadır. Ve çıktı dosyasına yalnızca hangi parçanın benzer olduğu yazılır. Sıkıştırma sırasında genellikle kare bir ızgara kullanılır (parçalar karedir), bu da görüntüyü geri yüklerken hafif bir açısallığa yol açar; altıgen ızgaranın bu dezavantajı yoktur.

Iterated, fraktal ve "dalga" (jpeg gibi) kayıpsız sıkıştırmayı birleştiren yeni bir görüntü formatı olan "Sting" geliştirdi. Yeni format, daha sonra yüksek kaliteli ölçeklendirme olanağı sunan görüntüler oluşturmanıza olanak tanır ve grafik dosyalarının hacmi, sıkıştırılmamış görüntülerin hacminin% 15-20'sidir.

Mekanik ve fizikte Fraktallar sayesinde kullanılır benzersiz özellik birçok doğal nesnenin ana hatlarını tekrarlayın. Fraktallar, segment veya çokgen kümelerini (aynı miktarda depolanan veriyle) kullanan yaklaşımlardan daha yüksek doğrulukla ağaçlara, dağ yüzeylerine ve çatlaklara yaklaşık olarak yaklaşmanıza olanak tanır. Fraktal desenler, doğal nesneler, bir “pürüzlülüğe” sahiptir ve modelin büyütülmesi ne kadar büyük olursa olsun bu özellik korunur. Fraktallar üzerinde tekdüze bir ölçümün varlığı, entegrasyonun, potansiyel teorinin uygulanmasına ve önceden çalışılmış denklemlerde standart nesneler yerine bunların kullanılmasına olanak tanır.

T
Fraktal geometri ayrıca şu amaçlarla da kullanılır: anten cihazları tasarlama. Bu ilk olarak, daha sonra binalara harici anten kurulumunun yasak olduğu Boston'un merkezinde yaşayan Amerikalı mühendis Nathan Cohen tarafından kullanıldı. Cohen, alüminyum folyodan bir Koch eğrisi şekli kesip bunu bir kağıt parçasına yapıştırdı ve ardından alıcıya yapıştırdı. Böyle bir antenin normalden daha kötü çalışmadığı ortaya çıktı. Ve böyle bir antenin fiziksel prensipleri henüz incelenmemiş olsa da bu, Cohen'in kendi şirketini kurmasını ve seri üretimine başlamasını engellemedi. Şu anda Amerikan şirketi “Fractal Antenna System” yeni bir anten türü geliştirdi. Artık cep telefonlarında çıkıntılı harici antenleri kullanmayı bırakabilirsiniz. Fraktal anten olarak adlandırılan anten, doğrudan cihazın içindeki ana kartta bulunur.

Fraktalların kullanımıyla ilgili birçok hipotez de vardır - örneğin lenfatik ve dolaşım sistemleri, akciğerler ve çok daha fazlası da fraktal özelliklere sahiptir.

Bölüm 5. Pratik çalışma.

Öncelikle “Kolye”, “Zafer” ve “Kare” fraktallarına bakalım.

Birinci - "Kolye"(Şekil 7). Bu fraktalın başlatıcısı bir dairedir. Bu daire belirli sayıda aynı daireden oluşur, ancak daha küçük boyutlardadır ve kendisi de aynı, ancak daha büyük boyutlardaki birkaç daireden biridir. Yani eğitim süreci sonsuzdur ve hem tek yönde hem de ters yönde gerçekleştirilebilir. Onlar. şekil sadece bir küçük yay alınarak büyütülebilir veya daha küçük olanlardan yapısı dikkate alınarak küçültülebilir.

pirinç. 7.

Fraktal “Kolye”

İkinci fraktal ise "Zafer"(Şekil 8). Latince “V” harfine, yani “zafer”e benzediği için bu ismi almıştır. Bu fraktal, büyük bir "V" oluşturan belirli sayıda küçük "vs"den oluşur ve küçüklerin, sol yarıları tek bir düz çizgi oluşturacak şekilde yerleştirildiği sol yarıda, sağ kısım, aynı yol. Bu “v”lerin her biri aynı şekilde inşa edilmiş ve bu sonsuza kadar devam etmektedir.

Şekil 8. Fraktal "Zafer"

Üçüncü fraktal ise "Kare" (Şek. 9). Kenarlarının her biri, kare şeklinde bir sıra hücreden oluşur; bu hücrelerin kenarları da hücre sıralarını vb. temsil eder.

Şekil 9. Fraktal “Kare”

Fraktal, bu çiçeğe dışsal benzerliğinden dolayı “Gül” (Şekil 10) olarak adlandırılmıştır. Bir fraktalın inşası, yarıçapı belirli bir orana göre değişen bir dizi eşmerkezli dairenin inşasını içerir (bu durumda, Rm / Rb = ¾ = 0,75.). Bundan sonra, her daireye, kenarı etrafında açıklanan dairenin yarıçapına eşit olan normal bir altıgen yazılır.

Pirinç. 11. Fraktal “Gül *”

Sonra köşegenlerini çizdiğimiz normal bir beşgene dönelim. Daha sonra ortaya çıkan beşgende karşılık gelen bölümlerin kesişiminde yine köşegenler çiziyoruz. Bu işleme sonsuza kadar devam edelim ve “Pentagram” fraktalını elde edelim (Şekil 12).

Bir yaratıcılık unsuru ekleyelim ve fraktalımız daha görsel bir nesne biçimini alacaktır (Şekil 13).

R
dır-dir. 12. Fraktal “Pentagram”.

Pirinç. 13. Fraktal “Pentagram *”

Pirinç. 14 fraktal “Kara delik”

Deney No. 1 “Ağaç”

Artık fraktalın ne olduğunu ve nasıl oluşturulacağını anladığım için kendi fraktal görüntülerimi oluşturmaya çalıştım. Adobe Photoshop'ta küçük bir alt program veya eylem oluşturdum, bu eylemin özelliği benim yaptığım eylemleri tekrarlamasıdır ve bu şekilde bir fraktal elde ederim.

Başlangıç ​​olarak, gelecekteki fraktalımız için 600'e 600 çözünürlükte bir arka plan oluşturdum. Daha sonra bu arka plan üzerine gelecekteki fraktalımızın temeli olan 3 çizgi çizdim.

İLE Bir sonraki adım senaryoyu yazmaktır.

katmanı çoğaltın ( katman > kopyala) ve karıştırma türünü " olarak değiştirin Ekran" .

Onu arayalım" fr1". Bu katmanı kopyalayın (" fr1") 2 kez daha.

Şimdi son katmana geçmemiz gerekiyor (fr3) ve öncekiyle iki kez birleştirin ( Ctrl+E). Katman parlaklığını azaltın ( Görüntü > Ayarlamalar > Parlaklık/Kontrast , parlaklık ayarı 50% ). Tekrar önceki katmanla birleştirin ve görünmez parçaları kaldırmak için tüm çizimin kenarlarını kesin.

Son adım, bu görüntüyü kopyalayıp daha küçük ve döndürülmüş olarak yapıştırmaktı. Bu nihai sonuçtur.

Çözüm

Bu çalışma fraktalların dünyasına bir giriş niteliğindedir. Fraktalların ne olduğu ve hangi ilkelere göre oluşturulduklarının yalnızca en küçük kısmını ele aldık.

Fraktal grafikler yalnızca kendini tekrarlayan bir dizi görüntü değil, mevcut herhangi bir şeyin yapısının ve ilkesinin bir modelidir. Tüm hayatımız fraktallarla temsil edilir. Çevremizdeki tüm doğa onlardan oluşuyor. Arazi kabartmalarının genellikle karmaşık kümelerin üç boyutlu modellerine dayanan fraktal görüntüler olduğu bilgisayar oyunlarında fraktalların yaygın kullanımını not etmemek imkansızdır. Fraktallar bilgisayar grafiklerinin çizimini büyük ölçüde kolaylaştırır; fraktalların yardımıyla birçok özel efekt, çeşitli muhteşem ve inanılmaz resimler vb. yaratılır. Ayrıca ağaçlar, bulutlar, kıyılar ve diğer tüm doğa fraktal geometri kullanılarak çizilmektedir. Fraktal grafiklere her yerde ihtiyaç duyulmaktadır ve “fraktal teknolojilerin” geliştirilmesi günümüzün önemli görevlerinden biridir.

Gelecekte karmaşık sayıları daha detaylı inceledikten sonra cebirsel fraktalların nasıl oluşturulacağını öğrenmeyi planlıyorum. Ayrıca döngüleri kullanarak Pascal programlama dilinde kendi fraktal görüntülerimi oluşturmaya çalışmak istiyorum.

Bilgisayar ekranında güzel görüntüler oluşturmanın yanı sıra, bilgisayar teknolojisinde fraktalların kullanımına dikkat etmek önemlidir. Bilgisayar teknolojisinde fraktallar aşağıdaki alanlarda kullanılmaktadır:

1. Görüntüleri ve bilgileri sıkıştırmak

2. Görüntüdeki, sesteki bilgileri gizlemek…

3. Fraktal algoritmalar kullanarak veri şifreleme

4. Fraktal müzik yapmak

5. Sistem modelleme

Çalışmamız, fraktal teorisinin uygulama bulduğu insan bilgisinin tüm alanlarını listelemiyor. Sadece teorinin ortaya çıkışından bu yana üçte birinden fazla bir süre geçmediğini söylemek istiyoruz, ancak bu süre zarfında birçok araştırmacı için fraktallar gecenin karanlığında ani parlak bir ışık haline geldi ve belirli veri alanlarındaki şimdiye kadar bilinmeyen gerçekleri ve modelleri aydınlattı. . Fraktal teorisinin yardımıyla galaksilerin evrimini ve hücrelerin gelişimini, dağların ortaya çıkışını ve bulutların oluşumunu, borsadaki fiyatların hareketini, toplum ve ailenin gelişimini açıklamaya başladılar. Belki de ilk başta fraktallara olan bu tutku çok yoğundu ve her şeyi fraktal teorisini kullanarak açıklama girişimleri yersizdi. Ama şüphesiz bu teori var olma hakkı var ve son zamanlarda bir şekilde unutulduğuna ve elitlerin elinde kaldığına üzülüyoruz. Bu çalışmayı hazırlarken TEORİ'nin PRATİK'teki uygulamalarını bulmak bizim için çok ilginçti. Çünkü çoğu zaman teorik bilginin yaşam gerçekliğinden ayrı olduğu hissi vardır.

Böylece fraktal kavramı yalnızca “saf” bilimin bir parçası değil, aynı zamanda evrensel insan kültürünün bir unsuru haline geliyor. Fraktal bilimi hala çok genç ve önünde büyük bir gelecek var. Fraktalların güzelliği tükenmekten çok uzak ve bize hala birçok başyapıt verecek - hem göze hoş gelen hem de zihne gerçek zevk verenler.

10. Referanslar

Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fraktallar ve multifraktallar. Sağdan direksiyonlu 2001 .

Vitolin D. Fraktalların bilgisayar grafiklerinde uygulanması. // Computerworld-Rusya.-1995

Mandelbrot B. Kendine afin fraktal kümeler, “Fizikte Fraktallar.” M.: Mir 1988

Mandelbrot B. Doğanın fraktal geometrisi. - M .: "Bilgisayar Araştırma Enstitüsü", 2002.

Morozov M.S. Fraktal teorisine giriş. N. Novgorod: Nizhny Novgorod yayınevi. Üniversite 1999

Peitgen H.-O., Richter P.H. Fraktalların güzelliği. - M .: “Mir”, 1993.

İnternet kaynakları

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://sakva.narod.ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fractals/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html

Fraktal

Fraktal (lat. kırık- ezilmiş, kırılmış, kırılmış) kendine benzerlik özelliğine sahip, yani her biri şeklin tamamına benzeyen birkaç parçadan oluşan geometrik bir şekildir. Matematikte fraktallar, Öklid'deki nokta kümeleri olarak anlaşılır. kesirli bir metrik boyuta (Minkowski veya Hausdorff anlamında) veya topolojik olandan farklı bir metrik boyuta sahip uzay. Fraktazma, fraktalları inceleyen ve oluşturan bağımsız bir kesin bilimdir.

Başka bir deyişle fraktallar kesirli boyuta sahip geometrik nesnelerdir. Örneğin bir çizginin boyutu 1, alanı 2, hacmi 3'tür. Bir fraktal için boyut değeri 1 ile 2 arasında veya 2 ile 3 arasında olabilir. Örneğin buruşuk bir çizginin fraktal boyutu Kağıt topu yaklaşık 2,5'tur. Matematikte fraktalların boyutunu hesaplamak için özel bir karmaşık formül vardır. Trakeal tüplerin dalları, ağaçlardaki yapraklar, eldeki damarlar, bir nehir - bunlar fraktallardır. Basit bir ifadeyle fraktal, belirli bir kısmı tekrar tekrar tekrarlanan, boyutu değişen geometrik bir şekildir - bu, kendi kendine benzerlik ilkesidir. Fraktallar kendilerine benzerler, her seviyede (yani her ölçekte) kendilerine benzerler. Pek çok farklı fraktal türü vardır. Prensip olarak, ister bulut ister oksijen molekülü olsun, gerçek dünyada var olan her şeyin bir fraktal olduğu iddia edilebilir.

“Kaos” kelimesi insana öngörülemeyen bir şeyi hatırlatıyor ama aslında kaos oldukça düzenli ve belirli kanunlara uyuyor. Kaos ve fraktallar üzerinde çalışmanın amacı, ilk bakışta öngörülemez ve tamamen kaotik görünebilecek kalıpları tahmin etmektir.

Bu bilgi alanındaki öncü Fransız-Amerikalı matematikçi Profesör Benoit B. Mandelbrot'du. 1960'ların ortalarında kırık, buruşuk ve bulanık şekilleri analiz etmeyi amaçlayan fraktal geometriyi geliştirdi. Mandelbrot kümesi (şekilde gösterilmiştir), bir kişide "fraktal" kelimesini duyduğunda ortaya çıkan ilk çağrışımdır. Bu arada Mandelbrot, İngiltere kıyı şeridinin fraktal boyutunun 1,25 olduğunu tespit etti.

Fraktallar bilimde giderek daha fazla kullanılmaktadır. Gerçek dünyayı geleneksel fizik veya matematikten bile daha iyi tanımlıyorlar. Brown hareketi, örneğin suda asılı duran toz parçacıklarının rastgele ve kaotik hareketidir. Bu tür hareket belki de fraktal geometrinin en pratik kullanıma sahip yönüdür. Rastgele Brown hareketi, büyük miktarda veri ve istatistik içeren olayları tahmin etmek için kullanılabilecek bir frekans tepkisine sahiptir. Örneğin Mandelbrot, Brownian hareketini kullanarak yün fiyatlarındaki değişiklikleri tahmin etti.

"Fraktal" kelimesi sadece matematiksel bir terim olarak kullanılamaz. Basında ve popüler bilim literatüründe bir fraktal, aşağıdaki özelliklerden herhangi birine sahip olan bir figür olarak adlandırılabilir:

Her ölçekte önemsiz olmayan bir yapıya sahiptir. Bu, normal şekillerin (daire, elips, düzgün fonksiyonun grafiği gibi) tam tersidir: eğer çok büyük ölçekte düzenli bir şeklin küçük bir parçasını düşünürsek, düz bir çizginin parçası gibi görünecektir. Bir fraktal için ölçeğin arttırılması yapının basitleştirilmesine yol açmaz; tüm ölçeklerde eşit derecede karmaşık bir resim göreceğiz.

Kendine benzer veya yaklaşık olarak kendine benzer.

Kesirli bir metrik boyutu veya topolojik olanı aşan bir metrik boyutu vardır.

Fraktalların bilgisayar teknolojisindeki en kullanışlı kullanımı fraktal veri sıkıştırmasıdır. Aynı zamanda görüntüler, geleneksel yöntemlerle yapıldığından çok daha iyi bir şekilde (600:1'e kadar) sıkıştırılır. Fraktal sıkıştırmanın bir başka avantajı da büyütüldüğünde görüntüyü önemli ölçüde kötüleştiren pikselleşme etkisinin olmamasıdır. Üstelik, fraktal olarak sıkıştırılmış bir görüntü, büyütüldükten sonra genellikle eskisinden daha iyi görünür. Bilgisayar bilimcileri ayrıca sonsuz karmaşıklık ve güzellikteki fraktalların basit formüllerle üretilebileceğini de biliyorlar. Film endüstrisi gerçekçi manzara öğeleri (bulutlar, kayalar ve gölgeler) oluşturmak için fraktal grafik teknolojisini yaygın olarak kullanıyor.

Akışlardaki türbülansın incelenmesi fraktallara çok iyi uyum sağlar. Bu, karmaşık akışların dinamiklerini daha iyi anlamamızı sağlar. Fraktalları kullanarak alevleri de simüle edebilirsiniz. Gözenekli malzemeler, çok karmaşık bir geometriye sahip olmaları nedeniyle fraktal biçimde iyi temsil edilir. Verileri mesafeler üzerinden iletmek için, boyutlarını ve ağırlıklarını büyük ölçüde azaltan fraktal şekilli antenler kullanılır. Fraktallar yüzeylerin eğriliğini tanımlamak için kullanılır. Pürüzlü bir yüzey, iki farklı fraktalın birleşimiyle karakterize edilir.

Doğadaki birçok nesne, örneğin kıyılar, bulutlar, ağaç taçları, kar taneleri, insan veya hayvanların dolaşım sistemi ve alveolar sistemi gibi fraktal özelliklere sahiptir.

Fraktallar, özellikle düzlem üzerinde, güzelliğin bilgisayar kullanılarak yapım kolaylığı ile birleşimi nedeniyle popülerdir.

Alışılmadık özelliklere sahip kendine benzer kümelerin ilk örnekleri 19. yüzyılda ortaya çıktı (örneğin, Bolzano işlevi, Weierstrass işlevi, Cantor kümesi). "Fraktal" terimi, 1975 yılında Benoit Mandelbrot tarafından icat edildi ve 1977'de "Doğanın Fraktal Geometrisi" kitabının yayınlanmasıyla yaygın bir popülerlik kazandı.

Soldaki resim, birbirine ezilmiş bir grup beşgen gibi görünen Darer Pentagon fraktalının basit bir örneğini gösteriyor. Aslında, başlatıcı olarak bir beşgen ve büyük kenarın küçüğüne oranının tam olarak altın orana (1.618033989 veya 1/(2cos72°)) eşit olduğu ikizkenar üçgenler kullanılarak oluşturulur. bir jeneratör. Bu üçgenler her bir beşgenin ortasından kesilerek, bir büyük beşgene yapıştırılmış 5 küçük beşgen gibi görünen bir şekil elde edilir.

Kaos teorisi, karmaşık doğrusal olmayan sistemlerin kalıtsal olarak öngörülemez olduğunu söylüyor, ancak aynı zamanda bu tür öngörülemeyen sistemleri ifade etmenin yolunun tam eşitliklerde değil, sistemin davranışının temsillerinde - garip grafiklerde - doğru olduğunu iddia ediyor. fraktal formundaki çekiciler. Böylece pek çok kişinin öngörülemezlik olarak düşündüğü kaos teorisinin, en kararsız sistemlerde bile öngörülebilirliğin bilimi olduğu ortaya çıkıyor. Dinamik sistemlerin incelenmesi, basit denklemlerin, sistemin asla kararlı bir duruma dönmediği ve hiçbir modelin ortaya çıkmadığı kaotik davranışlara yol açabileceğini göstermektedir. Genellikle bu tür sistemler, bir anahtar parametrenin belirli bir değerine kadar oldukça normal davranır, daha sonra daha fazla gelişme için iki olasılığın, ardından dört olasılığın ve son olarak da kaotik bir dizi olasılığın olduğu bir geçiş deneyimi yaşarlar.

Teknik nesnelerde meydana gelen süreç şemaları açıkça tanımlanmış bir fraktal yapıya sahiptir. Minimal teknik sistemin (TS) yapısı, TS içinde iki tür sürecin (ana süreç ve destekleyici süreç) ortaya çıktığını ima eder ve bu bölünme koşullu ve görecelidir. Herhangi bir süreç, destekleyici süreçlerle ilgili olarak ana süreç olabilir ve destekleyici süreçlerden herhangi biri, "onun" destekleyici süreçleriyle ilgili olarak ana süreç olarak kabul edilebilir. Diyagramdaki daireler, özel olarak "kendi" araçlarınızı yaratmanın gerekli olmadığı süreçlerin gerçekleşmesini sağlayan fiziksel etkileri göstermektedir. Bu süreçler maddeler, alanlar, maddeler ve alanlar arasındaki etkileşimlerin sonucudur. Daha doğrusu fiziksel etki, çalışma prensibini etkileyemediğimiz, tasarımına müdahale etmek istemediğimiz veya müdahale etme imkanımızın olmadığı bir araçtır.

Diyagramda gösterilen ana sürecin akışı, onları üreten TS için ana süreçler olan üç destekleyici sürecin varlığıyla sağlanır. Adil olmak gerekirse, minimal bir TS'nin bile işleyişi için üç sürecin açıkça yeterli olmadığını belirtiyoruz; Plan çok ama çok abartılı.

Her şey şemada gösterildiği kadar basit olmaktan uzaktır. Faydalı (kişinin ihtiyaç duyduğu) bir işlem yüzde yüz verimle gerçekleştirilemez. Dağıtılan enerji, zararlı süreçlerin (ısıtma, titreşim vb.) yaratılmasına harcanır. Sonuçta faydalı sürece paralel olarak zararlılar da ortaya çıkar. “Kötü” bir süreci “iyi” bir süreçle değiştirmek her zaman mümkün olmadığından, sisteme zarar verecek sonuçları telafi etmeye yönelik yeni süreçlerin düzenlenmesi gerekmektedir. Tipik bir örnek, kişiyi ustaca yağlama planları düzenlemeye, pahalı sürtünme önleyici malzemeler kullanmaya veya bileşenlerin ve parçaların yağlanması veya bunların periyodik olarak değiştirilmesi için zaman harcamaya zorlayan sürtünmeyle mücadele etme ihtiyacıdır.

Değişken bir Ortamın kaçınılmaz etkisi nedeniyle yararlı bir sürecin yönetilmesi gerekebilir. Kontrol, otomatik cihazlar kullanılarak veya doğrudan bir kişi tarafından gerçekleştirilebilir. Süreç diyagramı aslında bir dizi özel komuttan oluşur; algoritma. Her komutun özü (açıklaması), tek bir yararlı sürecin, ona eşlik eden zararlı süreçlerin ve bir dizi gerekli kontrol sürecinin bütünlüğüdür. Böyle bir algoritmada, destekleyici süreçler kümesi düzenli bir alt rutindir ve burada ayrıca bir fraktal keşfederiz. Çeyrek yüzyıl önce oluşturulan R. Koller'in yöntemi, yalnızca 12 çift işlevden (süreçten) oluşan oldukça sınırlı bir diziye sahip sistemler oluşturmayı mümkün kılıyor.

Matematikte alışılmadık özelliklere sahip kendine benzer kümeler

19. yüzyılın sonlarından itibaren matematikte klasik analiz açısından patolojik özelliklere sahip kendine benzer nesnelerin örnekleri ortaya çıkmıştır. Bunlar aşağıdakileri içerir:

Cantor kümesi hiçbir yerde yoğun sayılamayan mükemmel bir kümedir. Prosedürü değiştirerek, hiçbir yerde yoğun olmayan bir pozitif uzunluk seti de elde edilebilir.

Sierpinski üçgeni ("masa örtüsü") ve Sierpinski halısı, düzlemde yer alan Cantor'un analoglarıdır.

Menger'in süngeri, Cantor'un üç boyutlu uzaydaki setinin bir benzeridir;

Hiçbir yerde türevlenemeyen sürekli fonksiyonun Weierstrass ve Van der Waerden örnekleri.

Koch eğrisi, herhangi bir noktada teğeti olmayan, kendisiyle kesişmeyen, sonsuz uzunlukta sürekli bir eğridir;

Peano eğrisi karenin tüm noktalarından geçen sürekli bir eğridir.

Bir Brown parçacığının yörüngesi de hiçbir yerde 1 olasılıkla türevlenemez. Hausdorff boyutu ikidir

Fraktal eğriler elde etmek için yinelemeli prosedür

Koch eğrisinin inşası

Bir düzlemde fraktal eğriler elde etmek için basit bir özyinelemeli prosedür vardır. Jeneratör adı verilen, sınırlı sayıda bağlantıya sahip keyfi bir kesikli çizgi tanımlayalım. Daha sonra içindeki her parçayı bir jeneratörle (daha doğrusu jeneratöre benzer kesikli bir çizgiyle) değiştirelim. Ortaya çıkan kesikli çizgide yine her segmenti bir jeneratörle değiştiriyoruz. Sonsuza kadar devam edersek limitte fraktal bir eğri elde ederiz. Sağdaki şekil Koch eğrisi için bu prosedürün ilk dört adımını göstermektedir.

Bu tür eğrilerin örnekleri şunlardır:

ejderha Eğrisi,

Koch eğrisi (Koch kar tanesi),

Lewy Eğrisi,

Minkowski eğrisi,

Hilbert eğrisi,

Bir ejderhanın kırık (eğrisi) (Harter-Haithway Fractal),

Peano eğrisi.

Benzer bir prosedür kullanılarak Pisagor ağacı elde edilir.

Sıkıştırma eşlemelerinin sabit noktaları olarak fraktallar

Kendine benzerlik özelliği matematiksel olarak tam olarak aşağıdaki gibi ifade edilebilir. Düzlemin daralmalı haritalamaları olsun. Düzlemin tüm kompakt (kapalı ve sınırlı) alt kümelerinin kümesi üzerinde aşağıdaki eşlemeyi göz önünde bulundurun:

Haritalamanın kompakta kümesi üzerinde Hausdorff metriği ile bir daralma haritalaması olduğu gösterilebilir. Dolayısıyla Banach teoremine göre bu eşlemenin tek bir sabit noktası vardır. Bu sabit nokta bizim fraktalımız olacak.

Yukarıda açıklanan fraktal eğrilerin elde edilmesine yönelik yinelemeli prosedür, bu yapının özel bir durumudur. İçindeki tüm eşlemeler benzerlik eşlemeleridir ve jeneratör bağlantılarının sayısıdır.

Sierpinski üçgeni ve harita için , merkezleri düzgün bir üçgenin köşelerinde olan ve katsayısı 1/2 olan homotetiklerdir. Sierpinski üçgeninin sergilendiğinde kendine dönüştüğünü görmek kolaydır.

Eşlemelerin katsayılı benzerlik dönüşümleri olması durumunda, fraktalın boyutu (bazı ek teknik koşullar altında) denklemin çözümü olarak hesaplanabilir. Böylece Sierpinski üçgeni için şunu elde ederiz: .

Aynı Banach teoremini kullanarak, herhangi bir kompakt kümeyle başlayıp haritanın yinelemelerini ona uygulayarak, fraktalımıza (Hausdorff metriği anlamında) yakınsayan bir dizi kompakt küme elde ederiz.

Karmaşık dinamiklerde fraktallar

Julia seti

Başka bir Julia seti

Doğrusal olmayan dinamik sistemler incelenirken fraktallar doğal olarak ortaya çıkar. En çok çalışılan durum, dinamik bir sistemin düzlemde bir karmaşık değişkenin bir polinomunun veya holomorfik fonksiyonunun yinelemeleri ile belirlendiği durumdur. Bu alandaki ilk çalışmalar 20. yüzyılın başlarına kadar uzanıyor ve Fatou ve Julia isimleriyle ilişkilendiriliyor.

İzin vermek F(z) - polinom, z 0 karmaşık bir sayıdır. Aşağıdaki sırayı göz önünde bulundurun: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Biz bu dizinin davranışıyla ilgileniyoruz N sonsuzluğa. Bu sıra şunları yapabilir:

Sonsuzluğa doğru çabalamak,

nihai sınır için çabalamak

limitte döngüsel davranış sergiler, örneğin: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

düzensiz davranırlar, yani bahsedilen üç davranış türünden hiçbirini göstermezler.

Değer kümeleri z Dizinin belirli bir tür davranış sergilediği ve farklı türler arasında birden fazla çatallanma noktası sergilediği 0, genellikle fraktal özelliklere sahiptir.

Dolayısıyla Julia kümesi polinom için çatallanma noktaları kümesidir. F(z)=z 2 +C(veya başka bir benzer işlev), yani bu değerler z 0 bunun için dizinin davranışı ( z N) keyfi küçük değişikliklerle çarpıcı biçimde değişebilir z 0 .

Fraktal kümeler elde etmek için başka bir seçenek de polinoma bir parametre eklemektir. F(z) ve dizinin ( z N) sabit bir noktada belirli bir davranış sergiler z 0. Dolayısıyla Mandelbrot kümesi hepsinin kümesidir, bunun için ( z N) İçin F(z)=z 2 +C Ve z 0 sonsuza gitmez.

Bu türün bir diğer ünlü örneği ise Newton havuzlarıdır.

Karşılık gelen dinamik sistemlerin davranışına bağlı olarak düzlem noktalarını renklendirerek karmaşık dinamiklere dayalı güzel grafik görüntüler oluşturmak popülerdir. Örneğin Mandelbrot setini tamamlamak için noktaları aspirasyon hızına göre renklendirebilirsiniz ( z N) sonsuza kadar (örneğin en küçük sayı olarak tanımlanır) N, hangi noktada | z N| sabit bir büyük değeri aşacak A.

Biyomorflar karmaşık dinamikler üzerine inşa edilmiş ve canlı organizmaları anımsatan fraktallardır.

Stokastik fraktallar

Julia setine dayalı rastgele fraktal

Doğal nesneler genellikle fraktal bir şekle sahiptir. Stokastik (rastgele) fraktallar bunları modellemek için kullanılabilir. Stokastik fraktal örnekleri:

düzlemde ve uzayda Brown hareketinin yörüngesi;

Bir düzlemde Brown hareketinin yörüngesinin sınırı. 2001 yılında Lawler, Schramm ve Werner, Mandelbrot'un boyutunun 4/3 olduğu hipotezini kanıtladılar.

Schramm-Löwner evrimleri, istatistiksel mekaniğin kritik iki boyutlu modellerinde, örneğin Ising modelinde ve süzülmede ortaya çıkan, uyumlu olarak değişmez fraktal eğrilerdir.

çeşitli tipteki rastgele fraktallar, yani her adımda rastgele bir parametrenin dahil edildiği yinelemeli bir prosedür kullanılarak elde edilen fraktallar. Plazma, böyle bir fraktalın bilgisayar grafiklerinde kullanılmasına bir örnektir.

Doğada

Trakea ve bronşların önden görünümü

Bronş ağacı

Kan damarları ağı

Başvuru

Doğa Bilimleri

Fizikte fraktallar, türbülanslı sıvı akışı, karmaşık difüzyon-adsorpsiyon süreçleri, alevler, bulutlar vb. gibi doğrusal olmayan süreçleri modellerken doğal olarak ortaya çıkar. Fraktallar, örneğin petrokimyada gözenekli malzemeleri modellerken kullanılır. Biyolojide popülasyonları modellemek ve iç organ sistemlerini (kan damarı sistemi) tanımlamak için kullanılırlar.

Radyo mühendisliği

Fraktal antenler

Anten cihazlarının tasarımında fraktal geometrinin kullanımı ilk olarak, daha sonra binalara harici anten kurulumunun yasak olduğu Boston şehir merkezinde yaşayan Amerikalı mühendis Nathan Cohen tarafından kullanıldı. Nathan alüminyum folyodan bir Koch eğrisi şekli kesip bunu bir kağıt parçasına yapıştırdı ve ardından alıcıya yapıştırdı. Cohen kendi şirketini kurdu ve seri üretime başladı.

Bilgisayar Bilimi

Görüntü sıkıştırma

Ana makale: Fraktal sıkıştırma algoritması

Fraktal ağaç

Fraktallar kullanan görüntü sıkıştırma algoritmaları vardır. Bunlar, görüntünün kendisi yerine, bu görüntünün (veya yakın bir görüntünün) sabit bir nokta olduğu bir sıkıştırma haritasının saklanabileceği fikrine dayanmaktadır. Bu algoritmanın varyantlarından biri kullanıldı [ kaynak belirtilmedi 895 gün] Microsoft tarafından ansiklopedisini yayınlarken kullanıldı, ancak bu algoritmalar yaygın olarak kullanılmıyordu.

Bilgisayar grafikleri

Başka bir fraktal ağaç

Fraktallar bilgisayar grafiklerinde ağaçlar, çalılar, dağ manzaraları, deniz yüzeyleri vb. gibi doğal nesnelerin görüntülerini oluşturmak için yaygın olarak kullanılır. Fraktal görüntüler oluşturmak için kullanılan birçok program vardır, bkz. Fraktal Jeneratör (program).

Merkezi olmayan ağlar

Netsukuku ağındaki IP adresi atama sistemi, ağ düğümleri hakkındaki bilgileri kompakt bir şekilde depolamak için fraktal bilgi sıkıştırma ilkesini kullanır. Netsukuku ağındaki her düğüm, komşu düğümlerin durumu hakkında yalnızca 4 KB bilgi depolarken, herhangi bir yeni düğüm, örneğin IP adreslerinin dağıtımının merkezi olarak düzenlenmesine gerek kalmadan ortak ağa bağlanır. İnternet. Böylece, fraktal bilgi sıkıştırma ilkesi, tamamen merkezi olmayan ve dolayısıyla tüm ağın en istikrarlı çalışmasını garanti eder.

Fraktallar neredeyse bir asırdan beri biliniyor, iyi çalışılıyor ve yaşamda çok sayıda uygulamaya sahip. Bu olgu çok basit bir fikre dayanmaktadır: Yalnızca iki işlem (kopyalama ve ölçekleme) kullanılarak nispeten basit tasarımlardan sonsuz sayıda güzel ve çeşitli şekil elde edilebilir.

Bu kavramın kesin bir tanımı yoktur. Dolayısıyla "fraktal" kelimesi matematiksel bir terim değildir. Bu genellikle aşağıdaki özelliklerden bir veya daha fazlasını karşılayan geometrik bir şekle verilen addır:

• her büyütmede karmaşık bir yapıya sahiptir;
• (yaklaşık olarak) kendine benzerdir;
• topolojik boyuttan daha büyük olan kesirli bir Hausdorff (fraktal) boyuta sahiptir;
• yinelemeli prosedürlerle oluşturulabilir.

19. ve 20. yüzyılların başında fraktalların incelenmesi sistematik olmaktan çok bölümseldi, çünkü daha önce matematikçiler çoğunlukla genel yöntemler ve teoriler kullanılarak incelenebilecek "iyi" nesneler üzerinde çalışıyorlardı. 1872'de Alman matematikçi Karl Weierstrass, hiçbir yerde türevi alınamayan sürekli bir fonksiyonun örneğini oluşturdu. Ancak yapısı tamamen soyuttu ve anlaşılması zordu. Bu nedenle 1904 yılında İsveçli Helge von Koch, hiçbir yerde teğeti olmayan ve çizilmesi oldukça kolay olan sürekli bir eğri buldu. Bir fraktalın özelliklerine sahip olduğu ortaya çıktı. Bu eğrinin bir çeşidine “Koch kar tanesi” denir.

Figürlerin kendine benzerliği fikri, Benoit Mandelbrot'un gelecekteki akıl hocası Fransız Paul Pierre Levy tarafından benimsendi. 1938'de başka bir fraktal olan Lévy C eğrisini tanımlayan "Düzlemsel ve uzaysal eğriler ve bütüne benzer parçalardan oluşan yüzeyler" başlıklı makalesi yayınlandı. Yukarıda listelenen bu fraktalların tümü, koşullu olarak bir sınıf yapıcı (geometrik) fraktallar olarak sınıflandırılabilir.

Başka bir sınıf, Mandelbrot kümesini içeren dinamik (cebirsel) fraktallardır. Bu yöndeki ilk araştırmalar 20. yüzyılın başlarına kadar uzanıyor ve Fransız matematikçiler Gaston Julia ve Pierre Fatou'nun isimleriyle ilişkilendiriliyor. 1918'de Julia, karmaşık rasyonel fonksiyonların yinelemeleri üzerine neredeyse iki yüz sayfalık bir çalışma yayınladı; bu çalışma, Mandelbrot kümesiyle yakından ilişkili tüm bir fraktal ailesi olan Julia kümelerini tanımladı. Bu çalışma Fransız Akademisi tarafından ödüle layık görüldü, ancak tek bir illüstrasyon içermiyordu, bu nedenle açık nesnelerin güzelliğini takdir etmek imkansızdı. Bu çalışma Julia'yı o zamanın matematikçileri arasında ünlü kılsa da hızla unutuldu.

Julia ve Fatou'nun çalışmalarına olan ilgi ancak yarım yüzyıl sonra bilgisayarların ortaya çıkmasıyla yeniden değişti: Fraktallar dünyasının zenginliğini ve güzelliğini görünür kılanlar onlardı. Sonuçta Fatou, artık Mandelbrot kümesinin görüntüleri olarak bildiğimiz görüntülere asla bakamazdı çünkü gerekli sayıda hesaplama elle yapılamaz. Bunun için bilgisayarı kullanan ilk kişi Benoit Mandelbrot'tur.

1982 yılında, yazarın o dönemde fraktallar hakkında mevcut olan hemen hemen tüm bilgileri toplayıp sistematik hale getirdiği ve bunları kolay ve erişilebilir bir şekilde sunduğu Mandelbrot'un “Doğanın Fraktal Geometrisi” kitabı yayınlandı. Mandelbrot sunumunda esas vurguyu ağır formüller ve matematiksel yapılara değil, okuyucuların geometrik sezgilerine yaptı. Yazarın monografın bilimsel bileşenini ustaca sulandırdığı bilgisayar kullanılarak elde edilen resimler ve tarihi hikayeler sayesinde kitap en çok satanlar arasına girdi ve fraktallar halk tarafından tanındı. Matematikçi olmayanlar arasındaki başarıları büyük ölçüde, bir lise öğrencisinin bile anlayabileceği çok basit yapılar ve formüller yardımıyla inanılmaz karmaşıklık ve güzellikte görüntüler elde edilmesinden kaynaklanmaktadır. Kişisel bilgisayarlar yeterince güçlü hale geldiğinde, sanatta bütün bir yön bile ortaya çıktı - fraktal resim ve neredeyse her bilgisayar sahibi bunu yapabilirdi. Artık internette bu konuya ayrılmış birçok siteyi kolayca bulabilirsiniz.