Ev / Arpa/ Verilen düzlemler arasındaki açıyı bulun. Düzlemler arasındaki açıyı bulma (dihedral açı)

Verilen düzlemler arasındaki açıyı bulun. Düzlemler arasındaki açıyı bulma (dihedral açı)

$\blacktriangleright$ Dihedral açı, iki yarım düzlem ve bunların ortak sınırı olan bir düz çizgi $a$ tarafından oluşturulan bir açıdır.

$\blacktriangleright$ $\xi$ ve $\pi$ düzlemleri arasındaki açıyı bulmak için doğrusal açıyı bulmanız gerekir (ve baharatlı veya dümdüz) $\xi$ ve $\pi$ düzlemlerinin oluşturduğu dihedral açı :

Adım 1: Let $\xi\cap\pi=a$ (düzlemlerin kesişme çizgisi). $\xi$ düzleminde rastgele bir $F$ noktası işaretliyoruz ve $FA\perp a$ çiziyoruz;

Adım 2: $FG\perp \pi$ komutunu uygulayın;

Adım 3: TTP'ye göre ($FG$ – dikey, $FA$ – eğik, $AG$ – projeksiyon) elimizde: $AG\perp a$ ;

Adım 4: $\angle FAG$ açısına $\xi$ ve $\pi$ düzlemlerinin oluşturduğu dihedral açının doğrusal açısı denir.

$AG$ üçgeninin dik açılı olduğuna dikkat edin.
Ayrıca bu şekilde oluşturulan $AFG$ düzleminin hem $\xi$ hem de $\pi$ düzlemlerine dik olduğuna dikkat edin. Bu nedenle farklı söyleyebiliriz: düzlemler arasındaki açı$\xi$ ve $\pi$, ve $\xi\'ye dik bir düzlem oluşturan \(c\in \xi$ ve $b\in\pi$ ile kesişen iki çizgi arasındaki açıdır. ) ve $\pi$ .

Görev 1 #2875

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

Tüm kenarları eşit olan ve tabanı kare olan dörtgen bir piramit verilmiştir. $6\cos \alpha$ öğesini bulun; burada $\alpha$, bitişik yan yüzleri arasındaki açıdır.

$SABCD$ kenarları $a$'ya eşit olan belirli bir piramit ($S$ bir tepe noktasıdır) olsun. Sonuç olarak, tüm yan yüzler eşit eşkenar üçgenlerdir. $SAD$ ve $SCD$ yüzleri arasındaki açıyı bulalım.

Hadi $CH\perp SD$ yapalım. Çünkü $\üçgen SAD=\üçgen SCD$ ise $AH$ aynı zamanda $\triangle SAD$'nin yüksekliği olacaktır. Bu nedenle, tanım gereği, $\angle AHC=\alpha$, $SAD$ ve $SCD$ yüzleri arasındaki dihedral açının doğrusal açısıdır.
Taban kare olduğundan $AC=a\sqrt2$ olur. Ayrıca $CH=AH$'ın yükseklik olduğunu unutmayın eşkenar üçgen$a$ tarafıyla, bu nedenle $CH=AH=\frac(\sqrt3)2a$ .
Daha sonra $\triangle AHC$'den kosinüs teoremine göre: \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Cevap: -2

Görev 2 #2876

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

$\pi_1$ ve $\pi_2$ düzlemleri, kosinüsü $0,2$'ye eşit olan bir açıda kesişir. $\pi_2$ ve $\pi_3$ düzlemleri dik açılarda kesişir ve $\pi_1$ ve $\pi_2$ düzlemlerinin kesişme çizgisi, düzlemler $\pi_2$ ve $\ pi_3$ . $\pi_1$ ve $\pi_3$ düzlemleri arasındaki açının sinüsünü bulun.

$\pi_1$ ve $\pi_2$'nin kesişme çizgisi düz bir çizgi $a$, $\pi_2$ ve $\pi_3$'in kesişme çizgisi bir düz çizgi olsun $b$ çizgisi ve $\pi_3$ ile $\pi_1$ kesişim çizgisi – $c$ düz çizgisi. $a\parallel b$ olduğundan, $c\parallel a\parallel b$ (teorik referans “Uzayda Geometri” $\rightarrow$ “Sterometriye giriş bölümündeki teoreme göre, paralellik”).

$A\in a, B\in b$ noktalarını $AB\perp a, AB\perp b$ olacak şekilde işaretleyelim (bu, $a\parallel b$ olduğundan mümkündür). $C\in c$'yi $BC\perp c$ olacak şekilde işaretleyelim, dolayısıyla $BC\perp b$ . Sonra $AC\perp c$ ve $AC\perp a$ .
Aslında, $AB\perp b, BC\perp b$ olduğundan, $b$, $ABC$ düzlemine diktir. $c\paralel a\paralel b$ olduğundan, $a$ ve $c$ çizgileri de $ABC$ düzlemine ve dolayısıyla bu düzlemden herhangi bir çizgiye diktir, özellikle , \ (AC\) satırı.

Şunu takip ediyor $\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)$, $\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ$, $\açı BCA=\açı (\pi_3, \pi_1)$. $\ABC üçgeni$'nin dikdörtgen olduğu ortaya çıkıyor, bu da şu anlama geliyor: \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0,2.\]

Cevap: 0,2

Görev 3 #2877

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

Bir noktada kesişen $a, b, c$ düz çizgileri verildiğinde ve bunlardan herhangi ikisi arasındaki açı $60^\circ$ değerine eşittir. $\cos^(-1)\alpha$ öğesini bulun; burada $\alpha$, $a$ ve $c$ doğrularının oluşturduğu düzlem ile $ doğrularının oluşturduğu düzlem arasındaki açıdır. b\ ) ve \(c$ . Cevabınızı derece cinsinden verin.

Doğruların $O$ noktasında kesişmesine izin verin. Bunlardan herhangi ikisi arasındaki açı $60^\circ$'a eşit olduğundan, bu durumda üç düz çizginin tümü aynı düzlemde olamaz. $a$ doğrusu üzerinde $A$ noktasını işaretleyelim ve $AB\perp b$ ve $AC\perp c$ çizelim. Daha sonra $\üçgen AOB=\üçgen AOC$ hipotenüs ve dar açı boyunca dikdörtgen şeklindedir. Bu nedenle, $OB=OC$ ve $AB=AC$ .
Hadi $AH\perp (BOC)$ yapalım. Daha sonra teoreme göre yaklaşık üç dik $HC\perp c$ , $HB\perp b$ . $AB=AC$ olduğundan, o zaman $\üçgen AHB=\üçgen AHC$ hipotenüs ve kenar boyunca dikdörtgen şeklindedir. Bu nedenle $HB=HC$ . Bu, $OH$'nin $BOC$ açısının açıortayı olduğu anlamına gelir (çünkü $H$ noktası açının kenarlarından eşit uzaklıktadır).

Bu şekilde aynı zamanda $a$ ve $c$ doğrularının oluşturduğu düzlemin oluşturduğu dihedral açının ve $b$ ve $c$ doğrularının oluşturduğu düzlemin doğrusal açısını da oluşturduğumuza dikkat edin. \). Bu $ACH$ açısıdır.

Bu açıyı bulalım. $A$ noktasını keyfi olarak seçtiğimize göre $OA=2$ olacak şekilde seçelim. Daha sonra dikdörtgen şeklinde $\triangle AOC$ : \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ]$OH$ bir açıortay olduğundan, $\angle HOC=30^\circ$ , dolayısıyla dikdörtgen bir $\triangle HOC$ içinde: \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Sonra dikdörtgen $\üçgen ACH$'den: \[\cos\açı \alpha=\cos\açı ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Cevap: 3

Görev 4 #2910

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

$\pi_1$ ve $\pi_2$ düzlemleri, üzerinde $M$ ve $N$ noktalarının bulunduğu $l$ düz çizgisi boyunca kesişir. $MA$ ve $MB$ parçaları $l$ düz çizgisine diktir ve sırasıyla $\pi_1$ ve $\pi_2$ düzlemlerinde yer alır ve $MN = 15 $ , $AN = 39$ , $BN = 17$ , $AB = 40$ . $3\cos\alpha$ öğesini bulun; burada $\alpha$, $\pi_1$ ve $\pi_2$ düzlemleri arasındaki açıdır.

$AMN$ üçgeni dik açılıdır, $AN^2 = AM^2 + MN^2$, dolayısıyla \ $BMN$ üçgeni dik açılıdır, $BN^2 = BM^2 + MN^2$, bundan $AMB$ üçgeni için kosinüs teoremini yazıyoruz: \ Daha sonra \ Düzlemler arasındaki $\alpha$ açısı dar bir açı olduğundan ve $\angle AMB$ geniş olduğu ortaya çıktığından, $\cos\alpha=\dfrac5(12)$ . Daha sonra \

Cevap: 1.25

Görev 5 #2911

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ bir paralelyüzdür, $ABCD$ kenarı $a$ olan bir karedir, $M$ noktası $A_1$ noktasından \ düzlemine bırakılan dikmenin tabanıdır ((ABCD)\) ayrıca $M$, $ABCD$ karesinin köşegenlerinin kesişme noktasıdır. biliniyor ki $A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a$. $(ABCD)$ ve $(AA_1B_1B)$ düzlemleri arasındaki açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.

Şekilde gösterildiği gibi $MN$'yi $AB$'ye dik olarak oluşturalım.

$ABCD$ kenarı $a$ ve $MN\perp AB$ ve $BC\perp AB$ olan bir kare olduğundan, $MN\parallel BC$ . $M$ karenin köşegenlerinin kesişme noktası olduğundan, $M$ $AC\'nin ortasıdır), dolayısıyla \(MN$ orta çizgidir ve $MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a$.
$MN$, $A_1N$'nin $(ABCD)$ düzlemine izdüşümüdür ve $MN$ $AB\'ye diktir), o halde üç dik teoremine göre, \ (A_1N$, $AB $'ye diktir ve $(ABCD)$ ve $(AA_1B_1B)$ düzlemleri arasındaki açı $\angle A_1NM$'dir.
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]

Cevap: 60

Görev 6 #1854

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

Bir karede $ABCD$ : $O$ – köşegenlerin kesişme noktası; $S$ – karenin düzleminde yer almıyor, $SO \perp ABC$ . $SO = 5$ ve $AB = 10$ ise $ASD$ ve $ABC$ düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

Dik üçgenler $\triangle SAO$ ve $\triangle SDO$ iki tarafta eşittir ve aralarındaki açı ($SO \perp ABC$ $\Rightarrow$ $\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ$; $AO = DO$ , çünkü $O$ – karenin köşegenlerinin kesişme noktası, $SO$ – ortak kenar) $\Rightarrow$ $AS = SD$ $\Rightarrow$ $\triangle ASD\ ) – ikizkenar. \(K$ noktası $AD\'nin ortasıdır), bu durumda \(SK$ üçgendeki yüksekliktir $\triangle ASD$ ve $OK$ üçgendeki yüksekliktir $ AOD$ $\ Rightarrow$ düzlemi $SOK$ $ASD$ ve $ABC$ $\Rightarrow$ $\angle SKO$ düzlemlerine diktir – istenene eşit doğrusal açı Dihedral açı.

$\triangle SKO$ içinde: $OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO$$\Rightarrow$ $\triangle SOK$ – ikizkenar dik üçgen $\Rightarrow$ $\angle SKO = 45^\circ$ .

Cevap: 45

Görev 7 #1855

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

Bir karede $ABCD$ : $O$ – köşegenlerin kesişme noktası; $S$ – karenin düzleminde yer almıyor, $SO \perp ABC$ . $SO = 5$ ve $AB = 10$ ise $ASD$ ve $BSC$ düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

$\triangle SAO$ , $\triangle SDO$ , $\triangle SOB$ ve $\triangle SOC$ dik üçgenlerinin iki tarafı eşittir ve aralarındaki açı ($SO \perp ABC) $ $\Sağ ok$ $\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ$; $AO = OD = OB = OC$, çünkü $O$ – karenin köşegenlerinin kesişme noktası, $SO$ – ortak kenar) $\Rightarrow$ $AS = DS = BS = CS$ $\Rightarrow$ $ \triangle ASD$ ve $\triangle BSC$ ikizkenardır. $K$ noktası $AD\'nin ortasıdır), bu durumda \(SK$ üçgendeki yüksekliktir $\triangle ASD$ ve $OK$ üçgendeki yüksekliktir $ AOD$ $\ Rightarrow$ düzlemi $SOK$, $ASD$ düzlemine diktir. $L$ noktası $BC\'nin ortasıdır), o zaman \(SL$ $\üçgen BSC$ üçgenindeki yüksekliktir ve $OL$ üçgendeki yüksekliktir $ BOC$ $\ Rightarrow$ düzlemi $SOL$ (aka $SOK$) düzlemi $BSC$ düzlemine diktir. Böylece, $\angle KSL$'nin istenilen dihedral açıya eşit bir doğrusal açı olduğunu elde ederiz.

$KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10$$\Rightarrow$ $OL = 5$ ; $SK = SL$ – Pisagor teoremi kullanılarak bulunabilen eşit ikizkenar üçgenlerdeki yükseklikler: $SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50$. Şu fark edilebilir ki $SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2$$\Rightarrow$ bir üçgen için $\üçgen KSL$ ters Pisagor teoremi şunu tutar: $\Rightarrow$ $\üçgen KSL$ – dik üçgen $\Rightarrow$ $\angle KSL = 90 ^\ circ$ .

Cevap: 90

Öğrencileri matematikte Birleşik Devlet Sınavına girmeye hazırlamak, kural olarak, düzlemler arasındaki açıyı belirlemenize izin verenler de dahil olmak üzere temel formüllerin tekrarlanmasıyla başlar. Geometrinin bu bölümünün okul müfredatında yeterince ayrıntılı olarak ele alınmasına rağmen, birçok mezunun temel materyali tekrarlaması gerekiyor. Düzlemler arasındaki açının nasıl bulunacağını anlayan lise öğrencileri, bir sorunu çözerken doğru cevabı hızlı bir şekilde hesaplayabilecek ve birleşik devlet sınavını geçme sonuçlarında iyi puanlar alacaklarına güvenebilecekler.

Ana nüanslar

Dihedral açının nasıl bulunacağı sorusunun zorluğa neden olmamasını sağlamak için, Birleşik Durum Sınavı görevleriyle başa çıkmanıza yardımcı olacak bir çözüm algoritması izlemenizi öneririz.

Öncelikle düzlemlerin kesiştiği düz çizgiyi belirlemeniz gerekir.

Daha sonra bu doğru üzerinde bir nokta seçip ona iki dik çizgi çizmeniz gerekiyor.

Bir sonraki adım bulmaktır trigonometrik fonksiyon dik açıların oluşturduğu dihedral açı. Bunu yapmanın en uygun yolu, açının da bir parçası olduğu ortaya çıkan üçgenin yardımıyladır.

Cevap açının değeri veya trigonometrik fonksiyonu olacaktır.

Shkolkovo ile sınav testine hazırlanmak başarınızın anahtarıdır

Bir gün önce dersler sırasında Birleşik Devlet Sınavını geçmek Pek çok okul çocuğu, 2 düzlem arasındaki açıyı hesaplamalarına olanak tanıyan tanım ve formül bulma sorunuyla karşı karşıyadır. Bir okul ders kitabı her zaman tam olarak ihtiyaç duyulduğunda elinizin altında olmayabilir. Ve gerekli formülleri ve bunların örneklerini bulmak için doğru uygulamaİnternetten uçaklar arasındaki açıyı bulmak da dahil olmak üzere bazen çok fazla zaman harcamanız gerekebilir.

Matematiksel portal "Shkolkovo" şunları sunuyor: yeni yaklaşım devlet sınavına hazırlanmak için. Web sitemizdeki dersler, öğrencilerin kendileri için en zor bölümleri belirlemelerine ve bilgi boşluklarını doldurmalarına yardımcı olacaktır.

Her şeyi hazırladık ve açıkça sunduk gerekli malzeme. Temel tanımlar ve formüller “Teorik Bilgiler” bölümünde sunulmaktadır.

Materyali daha iyi anlamak için uygun alıştırmaları yapmanızı da öneririz. Örneğin, çeşitli karmaşıklık derecelerine sahip çok çeşitli görevler "Katalog" bölümünde sunulmaktadır. Tüm görevler, doğru cevabı bulmak için ayrıntılı bir algoritma içerir. Web sitesindeki egzersizlerin listesi sürekli olarak desteklenmekte ve güncellenmektedir.

Öğrenciler, iki düzlem arasındaki açıyı bulmayı gerektiren problemleri çözme alıştırmaları yaparken, istedikleri görevi çevrimiçi olarak "Favoriler" olarak kaydetme olanağına sahip oluyorlar. Bu sayede gerekli sayıda geri dönebilecekler ve çözümünün ilerleyişini bir okul öğretmeni veya özel öğretmenle tartışabilecekler.

İki uçağı düşünün R 1 ve R 2 normal vektörlerle N 1 ve N 2. Düzlemler arasındaki açı φ R 1 ve R 2, ψ = $\widehat((n_1; n_2))$ açısıyla şu şekilde ifade edilir: if ψ < 90°, bu durumda φ = ψ (Şekil 202, a); ψ > 90° ise ψ = 180° - ψ (Şekil 202.6).

Her durumda eşitliğin doğru olduğu açıktır

çünkü φ = |cos ψ|

Sıfır olmayan vektörler arasındaki açının kosinüsü, bu vektörlerin skaler çarpımının uzunluklarının çarpımına bölünmesine eşit olduğundan, şunu elde ederiz:

$$ cos\psi=cos\widehat((n_1; n_2))=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) $$

ve dolayısıyla düzlemler arasındaki φ açısının kosinüsü R 1 ve R 2 formülü kullanılarak hesaplanabilir

$$ cos\phi=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) (1)$$

Düzlemler genel denklemlerle verilirse

1 X+ B1 sen+ C1 z+ D 1 = 0 ve A 2 X+ B2 sen+ C2 z+ D 2 = 0,

o zaman normal vektörleri için vektörleri alabiliriz N 1 = (A 1; B 1; C 1) ve N 2 = (A2; B2; C2).

Formül (1)'in sağ tarafını koordinat cinsinden yazarak şunu elde ederiz:

$$ cos\phi=\frac(|A_1 A_2 + B_1 B-2 + C_1 C_2|)(\sqrt((A_1)^2+(B_1)^2+(C_1)^2)\sqrt((A_2) ^2+(B_2)^2+(C_2)^2)) $$

Görev 1. Düzlemler arasındaki açıyı hesaplayın

X - √2 sen + z- 2 = 0 ve x+ √2 sen - z + 13 = 0.

Bu durumda A 1 .=1, B 1 = - √2, C 1 = 1, A 2 =1, B 2 = √2, C 2 = - 1.

Formül (2)'den şunu elde ederiz:

$$ cos\phi=\frac(|1\cdot 1 - \sqrt2 \cdot \sqrt2 - 1 \cdot 1|)(\sqrt(1^2+(-\sqrt2)^2+1^2)\sqrt (1^2+(\sqrt2)^2+(-1)^2))=\frac(1)(2) $$

Dolayısıyla bu düzlemler arasındaki açı 60°'dir.

Normal vektörlere sahip düzlemler N 1 ve N 2:

a) ancak ve ancak vektörler paralel ise N 1 ve N 2'si eşdoğrusaldır;

b) dik ancak ve ancak vektörler N 1 ve N 2 diktir, yani. N 1 N 2 = 0.

Buradan gerekli olanı elde ederiz ve yeterli koşullar Genel denklemlerle verilen iki düzlemin paralelliği ve dikliği.

Uçağa

1 X+ B1 sen+ C1 z+ D 1 = 0 ve A 2 X+ B2 sen+ C2 z+ D 2 = 0

paralel olsaydı, eşitliğin sağlanması gerekli ve yeterliydi

$$ \frac(A_1)(A_2)=\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2) \;\; (3)$$

A 2 , B 2 , C 2 katsayılarından herhangi biri varsa sıfıra eşit, karşılık gelen A 1 , B 1 , C 1 katsayısının sıfıra eşit olduğu varsayılmaktadır.

Bu iki eşitlikten en az birinin olmaması, düzlemlerin paralel olmadığı, yani kesiştiği anlamına gelir.

Düzlemlerin dikliği için

1 X+ B1 sen+ C1 z+ D 1 = 0 ve A 2 X+ B2 sen+ C2 z+ D 2 = 0

eşitliğin sağlanması gerekli ve yeterlidir

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0. (4)

Görev 2. Aşağıdaki uçak çiftleri arasında:

2X + 5en + 7z- 1 = 0 ve 3 X - 4en + 2z = 0,

en - 3z+ 1 = 0 ve 2 en - 6z + 5 = 0,

4X + 2en - 4z+ 1 = 0 ve 2 X + en + 2z + 3 = 0

paralel veya dik olduğunu gösterir. İlk uçak çifti için

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 2 3 + 5 (- 4) + 7 2 = 0,

yani diklik koşulu sağlanır. Düzlemler diktir.

İkinci uçak çifti için

$\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2)$, çünkü $\frac(1)(2)=\frac(-3)(-6)$

ve A 1 ve A 2 katsayıları sıfıra eşittir. Bu nedenle ikinci çiftin düzlemleri paraleldir. Üçüncü çift için

$\frac(B_1)(B_2)\neq\frac(C_1)(C_2)$, çünkü $\frac(2)(1)\neq\frac(-4)(2)$

ve A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 4 2 + 2 1 - 4 2 =/= 0, yani üçüncü çiftin düzlemleri ne paralel ne de diktir.

Bu makale düzlemler arasındaki açı ve bunun nasıl bulunacağı hakkındadır. Öncelikle iki düzlem arasındaki açının tanımı ve grafiksel gösterimi verilmiştir. Daha sonra kesişen iki düzlem arasındaki açının koordinat yöntemi kullanılarak bulunması prensibi incelendi ve kesişen düzlemler arasındaki açının koordinat yöntemi kullanılarak hesaplanmasına olanak sağlayan bir formül elde edildi. bilinen koordinatlar bu düzlemlerin normal vektörleri. Sonuç olarak gösterilmiştir detaylı çözümler karakteristik görevler.

Sayfada gezinme.

Düzlemler arasındaki açı - tanım.

Kesişen iki düzlem arasındaki açının belirlenmesine kademeli olarak yaklaşmamızı sağlayacak argümanlar sunalım.

Bize kesişen iki düzlem verilsin. Bu düzlemler, c harfiyle gösterdiğimiz düz bir çizgi boyunca kesişir. C doğrusunun M noktasından geçen ve c doğrusuna dik bir düzlem çizelim. Bu durumda düzlem düzlemlerle kesişecektir ve. Düzlemlerin kesiştiği düz çizgiyi a, düzlemlerin kesiştiği düz çizgiyi b olarak gösterelim. Açıkçası, a ve b doğruları M noktasında kesişiyor.

Kesişen a ve b çizgileri arasındaki açının, düzlemin içinden geçtiği c doğrusu üzerindeki M noktasının konumuna bağlı olmadığını göstermek kolaydır.

c doğrusuna dik ve düzlemden farklı bir düzlem çizelim. Düzlem, sırasıyla 1 ve b 1 olarak gösterdiğimiz düzlemlerle ve düz çizgiler boyunca kesişir.

Düzlem oluşturma yönteminden, a ve b çizgilerinin c çizgisine dik olduğu ve a 1 ve b 1 çizgilerinin c çizgisine dik olduğu sonucu çıkar. a ve a 1 doğruları aynı düzlemde olduklarından ve c doğrusuna dik olduklarından paraleldirler. Benzer şekilde, b ve b 1 çizgileri aynı düzlemde bulunur ve c doğrusuna diktir, dolayısıyla paraleldirler. Böylece, düzlemin, düz çizgi a 1'in düz çizgi a ile ve düz çizgi b düz çizgi b 1 ile çakıştığı düzleme paralel bir aktarımı gerçekleştirmek mümkündür. Bu nedenle, kesişen iki çizgi a 1 ve b 1 arasındaki açı açıya eşit kesişen a ve b çizgileri arasında.

Bu, kesişen düzlemlerde yer alan a ve b çizgileri arasındaki açının, düzlemin içinden geçtiği M noktasının seçimine bağlı olmadığını kanıtlar. Bu nedenle bu açıyı kesişen iki düzlem arasındaki açı olarak almak mantıklıdır.

Artık kesişen iki düzlem arasındaki açının tanımını seslendirebilirsiniz.

Tanım.

Düz bir çizgide kesişen iki düzlem arasındaki açı ve- bu, düzlemlerin c çizgisine dik düzlemle kesiştiği, kesişen iki çizgi a ve b arasındaki açıdır.

İki düzlem arasındaki açının tanımı biraz farklı verilebilir. Düzlemlerin kesiştiği düz çizgi c üzerinde, bir M noktasını işaretleyin ve bunun içinden, düz çizgi c'ye dik ve düzlemlerde yatan düz çizgiler a ve b çizin ve sırasıyla düz çizgiler a arasındaki açı ve b, düzlemler arasındaki açıdır ve. Genellikle pratikte düzlemler arasındaki açıyı elde etmek için bu tür yapılar yapılır.

Kesişen çizgiler arasındaki açı aşmadığından, belirtilen tanımdan, kesişen iki düzlem arasındaki açının derece ölçüsünün aralıktan bir gerçek sayı ile ifade edildiği sonucu çıkar. Bu durumda kesişen düzlemlere denir. dik aralarındaki açı doksan derece ise. Paralel düzlemler arasındaki açı ya hiç belirlenmez ya da sıfıra eşit kabul edilir.

Kesişen iki düzlem arasındaki açının bulunması.

Genellikle, kesişen iki düzlem arasında bir açı bulurken, önce aralarındaki açı istenen açıya eşit olan kesişen düz çizgileri görmek için ek yapılar yapmanız ve ardından eşitlik testleri, benzerlik kullanarak bu açıyı orijinal verilerle bağlamanız gerekir. testler, kosinüs teoremi veya sinüs, kosinüs ve açının tanjantının tanımları. Geometri dersinde lise benzer sorunlar yaşanıyor.

Örnek olarak, 2012 Matematikte Birleşik Devlet Sınavından Problem C2'nin çözümünü verelim (koşul kasıtlı olarak değiştirildi, ancak bu, çözümün ilkesini etkilemez). İçinde kesişen iki düzlem arasındaki açıyı bulmanız gerekiyordu.

Örnek.

Çözüm.

İlk önce bir çizim yapalım.

Düzlemler arasındaki açıyı “görmek” için ek yapılar yapalım.

Öncelikle ABC ve BED 1 düzlemlerinin kesiştiği bir düz çizgi tanımlayalım. B noktası ortak noktalarından biridir. Bu düzlemlerin ikinci ortak noktasını bulalım. DA ve D 1 E çizgileri aynı ADD 1 düzleminde yer alır ve paralel değildirler ve bu nedenle kesişirler. Öte yandan, DA çizgisi ABC düzleminde ve D 1 E çizgisi - BED 1 düzleminde yer alır, bu nedenle DA ve D 1 E çizgilerinin kesişme noktası ABC ve BED 1 düzlemlerinin ortak noktası olacaktır. Öyleyse DA ve D 1 E çizgilerini F harfiyle kesiştikleri noktayı belirten kesişme noktasına kadar devam ettirelim. O halde BF, ABC ve BED 1 düzlemlerinin kesiştiği düz çizgidir.

Sırasıyla ABC ve BED 1 düzlemlerinde uzanan, BF çizgisi üzerindeki bir noktadan geçen ve BF çizgisine dik olan iki çizgi oluşturmaya devam ediyor - bu çizgiler arasındaki açı, tanım gereği, aralarında istenen açıya eşit olacaktır. ABC ve BED 1 uçakları. Hadi yapalım.

Nokta A, E noktasının ABC düzlemine izdüşümüdür. M noktasında dik açıyla BF çizgisiyle kesişen bir düz çizgi çizelim. O halde AM düz çizgisi, EM düz çizgisinin ABC düzlemine izdüşümüdür ve üç dik teoremine göredir.

Böylece ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki gerekli açı eşittir.

Eğer iki kenarının uzunluğunu biliyorsak, AEM dik üçgeninden bu açının sinüsünü, kosinüsünü veya tanjantını (ve dolayısıyla açının kendisini) belirleyebiliriz. Koşuldan AE uzunluğunu bulmak kolaydır: E noktası AA 1 kenarını A noktasından itibaren sayarak 4'e 3 oranında böldüğüne ve AA 1 kenarının uzunluğu 7 olduğuna göre AE = 4 olur. AM uzunluğunu bulalım.

Bunu yapmak için, AM'nin yüksekliği olduğu A dik açısına sahip bir ABF dik üçgenini düşünün. AB = 2 koşuluna göre. AF kenarının uzunluğunu DD 1 F ve AEF dik üçgenlerinin benzerliğinden bulabiliriz:

Pisagor teoremini kullanarak ABF üçgenini buluyoruz. AM uzunluğunu ABF üçgeninin alanı boyunca buluyoruz: bir tarafta ABF üçgeninin alanı şuna eşittir: , diğer tarafta , Neresi .

Böylece, AEM dik üçgeninden elimizdeki .

Bu durumda ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki gerekli açı eşittir (not edin ki ).

Cevap:

Bazı durumlarda kesişen iki düzlem arasındaki açıyı bulmak için Oxyz'i ayarlamak ve koordinat yöntemini kullanmak uygundur. Orada duralım.

Görevi belirleyelim: kesişen iki düzlem arasındaki açıyı bulun. İstenilen açıyı olarak gösterelim.

Belirli bir Oxyz dikdörtgen koordinat sisteminde kesişen düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatlarını bildiğimizi ve veya bunları bulma fırsatına sahip olduğumuzu varsayacağız. İzin vermek düzlemin normal vektörüdür ve düzlemin normal vektörüdür. Kesişen düzlemler arasındaki açının nasıl bulunacağını ve bu düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatları aracılığıyla göstereceğiz.

Düzlemlerin kesiştiği doğruyu c olarak gösterelim. C doğrusu üzerindeki M noktasından c doğrusuna dik bir düzlem çiziyoruz. Düzlem düzlemleri keser ve sırasıyla a ve b çizgileri boyunca a ve b çizgileri M noktasında kesişir. Tanım gereği, kesişen düzlemler arasındaki açı, kesişen a ve b çizgileri arasındaki açıya eşittir.

Düzlemdeki M noktasından itibaren normal vektörleri ve düzlemleri çizelim. Bu durumda, vektör a doğrusuna dik bir doğru üzerinde, vektör de b doğrusuna dik bir doğru üzerinde yer alır. Dolayısıyla düzlemde vektör a doğrusuna ait normal vektördür, b doğrusuna ait normal vektördür.

Kesişen çizgiler arasındaki açıyı bulma yazımızda normal vektörlerin koordinatlarını kullanarak kesişen çizgiler arasındaki açının kosinüsünü hesaplamamızı sağlayan bir formül aldık. Böylece, a ve b çizgileri arasındaki açının kosinüsü ve sonuç olarak, kesişen düzlemler arasındaki açının kosinüsü ve formülle bulunur, burada Ve sırasıyla düzlemlerin normal vektörleridir ve. Daha sonra şu şekilde hesaplanır .

Önceki örneği koordinat yöntemini kullanarak çözelim.

Örnek.

AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 ve E noktasının AA 1 kenarını A noktasından sayarak 4 ila 3 oranında böldüğü dikdörtgen paralel yüzlü ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 verilmiştir. ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

Çözüm.

Bir tepe noktasındaki dikdörtgen paralel yüzlü kenarları çiftler halinde dik olduğundan, Oxyz dikdörtgen koordinat sistemini aşağıdaki şekilde tanıtmak uygundur: başlangıcı C tepe noktasıyla hizalayın ve Ox, Oy ve Oz koordinat eksenlerini CD kenarları boyunca yönlendirin. , CB ve CC 1 sırasıyla.

ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki açı, bu düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatları aracılığıyla aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir; burada ve sırasıyla ABC ve BED 1 düzlemlerinin normal vektörleridir. Normal vektörlerin koordinatlarını belirleyelim.

İş türü: 14
Konu: Düzlemler arası açı

Durum

Normal bir ABCDA_1B_1C_1D_1 prizması verildiğinde, M ve N sırasıyla AB ve BC kenarlarının orta noktalarıdır, K noktası MN'nin orta noktasıdır.

A) KD_1 ve MN doğrularının dik olduğunu kanıtlayın.

B) Aşağıdaki durumda MND_1 ve ABC düzlemleri arasındaki açıyı bulun. AB=8, AA_1=6\sqrt 2.

Çözümü göster

Çözüm

A)\triangle DCN ve \triangle MAD'de elimizde: \angle C=\angle A=90^(\circ), CN=AM=\frac12AB, CD=DA.

Dolayısıyla \triangle DCN=\triangle MAD iki ayak üzerindedir. Daha sonra MD=DN, \üçgen DMN ikizkenar. Bu, medyan DK'nin aynı zamanda yükseklik olduğu anlamına gelir. Bu nedenle DK \perp MN.

Koşula göre DD_1 \perp MND, D_1K - eğik, KD - projeksiyon, DK \perp MN.

Dolayısıyla teoreme göre üç dik MN\perp D_1K.

B) Kanıtlandığı gibi A), DK \perp MN ve MN \perp D_1K, ancak MN, MND_1 ve ABC düzlemlerinin kesişme çizgisidir; bu, \angle DKD_1'in, MND_1 ve ABC düzlemleri arasındaki dihedral açının doğrusal açısı olduğu anlamına gelir.

Pisagor teoremine göre \üçgen DAM'de DM= \sqrt (DA^2+AM^2)= \sqrt (64+16)= 4\sqrt 5, MN= \sqrt (MB^2+BN^2)= \sqrt (16+16)= 4\sqrt 2. Bu nedenle Pisagor teoremine göre DKM \üçgeninde DK= \sqrt (DM^2-KM^2)= \sqrt (80-8)= 6\sqrt 2. Daha sonra \triangle DKD_1'de, tg\angle DKD_1=\frac(DD_1)(DK)=\frac(6\sqrt 2)(6\sqrt 2)=1.

Bu, \angle DKD_1=45^(\circ) anlamına gelir.

Cevap

45^(\circ).

İş türü: 14
Konu: Düzlemler arası açı

Durum

ABCDA_1B_1C_1D_1 düzgün dörtgen prizmasında tabanın kenarları 4'e, yan kenarları ise 6'ya eşittir. M noktası CC_1 kenarının ortasıdır, N noktası BB_1 kenarı üzerinde BN:NB_1=1:2 olacak şekilde işaretlenir.

A) AMN düzlemi DD_1 kenarını hangi oranda böler?

B) ABC ve AMN düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

Çözümü göster

Çözüm

A) AMN düzlemi, belirli bir prizmanın bu düzlem tarafından kesitinin dördüncü köşesi olan DD_1 kenarını K noktasında keser. Kesit bir paralelkenar ANMK'dir çünkü belirli bir prizmanın zıt yüzleri paraleldir.

BN =\frac13BB_1=2. KL \paralel CD çizelim, sonra ABN ve KLM üçgenleri eşittir, yani ML=BN=2, LC=MC-ML=3-2=1, KD=LC=1. O zaman KD_1=6-1=5. Artık KD:KD_1=1:5 oranını bulabilirsiniz.

B) F, CD ve KM düz çizgilerinin kesişme noktasıdır. ABC ve AMN düzlemleri AF düz çizgisi boyunca kesişir. Açı \angle KHD =\alpha dihedral açının doğrusal açısıdır (HD\perp AF, o zaman teorem gereği üç dik yönünde teoremin tersi, KH \perp AF) ve dar açı dik üçgen KHD, kenar KD=1.

FKD ve FMC üçgenleri benzerdir (KD \paralel MC), dolayısıyla FD:FC=KD:MC, FD:(FD+4)=1:3 oranını çözersek, FD=2 elde ederiz. İÇİNDE dik üçgen AFD (\angle D=90^(\circ)) ayak 2 ve 4 ile hipotenüsü hesaplar AF=\sqrt (4^2+2^2)=2\sqrt 5, DH= AD\cdot FD:AF= \frac(4\cdot 2)(2\sqrt 5)= \frac4(\sqrt 5).

Bir dik üçgende KHD'yi buluyoruz tg \alpha =\frac(KD)(DH)=\frac(\sqrt 5)4, bu istenilen açı anlamına gelir \alpha =arctg\frac(\sqrt 5)4.

Cevap

A) 1:5;

B) arctg\frac(\sqrt 5)4.

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil düzeyi" Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.Kulabukhova.

İş türü: 14
Konu: Düzlemler arası açı

Durum

Taban tarafı MNPQ'su 6'ya eşit ve bir yan kenarı olan düzenli bir dörtgen piramit KMNPQ verildiğinde 3\sqrt (26).

A) F noktası MK kenarının ortası ise, piramidin MP köşegenine paralel NF çizgisinden geçen bir düzlemle bir kesiti oluşturun.

B) Kesit düzlemi ile KMP düzlemi arasındaki açıyı bulun.

Çözümü göster

Çözüm

A) KO piramidin yüksekliği olsun, F MK'nin orta noktası olsun; FE \paralel MP (PKM düzleminde) . FE, PKM üçgeninin orta çizgisi olduğundan, o zaman FE=\frac(MP)2.

Piramidin NF'den geçen ve MP'ye paralel bir düzlemi, yani NFE düzlemi olan bir kesitini oluşturalım. L, EF ve KO'nun kesişme noktasıdır. L ve N noktaları istenen kesite ait olduğundan ve KQN düzleminde yer aldığından, LN ve KQ'nun kesişimi olarak elde edilen T noktası aynı zamanda istenen kesit ile KQ kenarının kesişme noktasıdır. NETF gerekli bölümdür.

B) NFE ve MPK düzlemleri FE düz çizgisi boyunca kesişiyor. Bu, bu düzlemler arasındaki açının OFEN dihedral açısının doğrusal açısına eşit olduğu anlamına gelir, hadi bunu oluşturalım: LO\perpMP, MP\paralel FE, buradan, LO\perpFE;\triangle NFE ikizkenardır (KPN ve KMN eşit üçgenlerinin karşılık gelen medyanları olarak NE=NF), NL onun medyanıdır (EL=LF, çünkü PO=OM ve \triangle KEF \sim \triangle KPM). Dolayısıyla NL \perp FE ve \angle NLO arzu edilendir.

ON=\frac12QN=\frac12MN\sqrt 2=3\sqrt 2.

\triangle KON - dikdörtgen.

Pisagor teoremine göre bacak KO eşittir KO=\sqrt (KN^2-ON^2).

OL= \frac12KO= \frac12\sqrt(KN^2-ON^2)= \frac12\sqrt (9\cdot 26-9\cdot 2)= \frac12\sqrt(9(26-2))= \frac32\sqrt (24)= \frac32\cdot 2\sqrt 6= 3\sqrt 6.

tg\açı NLO =\frac(ON)(OL)=\frac(3\sqrt 2)(3\sqrt 6)=\frac1(\sqrt 3),

\angle NLO=30^(\circ).

Cevap

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil seviyesi." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.Kulabukhova.

İş türü: 14
Konu: Düzlemler arası açı

Durum

ABCA_(1)B_(1)C_(1) düzgün üçgen prizmasının tüm kenarları 6'ya eşittir. AC ve BB_(1) kenarları ile A_(1) tepe noktasının orta noktalarından bir kesme düzlemi çizilir.

A) BC kenarının kesme düzlemine C noktasından başlayarak 2:1 oranında bölündüğünü kanıtlayın.

B) Kesme düzlemi ile taban düzlemi arasındaki açıyı bulun.

Çözümü göster

Çözüm

A) D ve E sırasıyla AC ve BB_(1) kenarlarının orta noktaları olsun.

AA_(1)C_(1) düzleminde, CC_(1) düz çizgisini K noktasında kesen, BB_(1)C_(1) düzleminde - düz bir çizgi olan A_(1)D düz çizgisini çiziyoruz BC kenarını F noktasında kesen KE. AA_(1)B_(1) düzleminde yer alan A_(1) ve E noktaları ile ABC düzleminde yer alan D ve F noktalarını birleştirerek A_(1)EFD kesitini elde ederiz.

\bigtriangleup AA_(1)D=\bigtriangleup CDK bacak boyunca AD=DC ve dar açı.

\angle ADA_(1)=\angle CDK - dikey olanlar gibi, AA_(1)=CK=6 şeklinde olur. \bigtriangleup CKF ve \bigtriangleup BFE iki açıda benzerdir \angle FBE=\angle KCF=90^\circ,\angle BFE=\angle CFK - dikey olanlar gibi.

\frac(CK)(BE)=\frac(6)(3)=2, yani benzerlik katsayısı 2'dir, bu da CF:FB=2:1 anlamına gelir.

B) AH \perp DF'yi gerçekleştirelim. Kesit düzlemi ile taban düzlemi arasındaki açı AHA_(1) açısına eşittir. Aslında, AH \perp DF parçası (DF, bu düzlemlerin kesişme çizgisidir) A_(1)H parçasının taban düzlemine izdüşümüdür, dolayısıyla üç dik teoremine göre, A_(1)H \perp DF. \angle AHA_(1)=arctg\frac(AA_(1))(AH). AA_(1)=6.

AH'yi bulalım. \angle ADH =\angle FDC (dikey ile aynı).

\bigtriangleup DFC'deki kosinüs teoremine göre:

DF^2=FC^2+DC^2- 2FC \cdot DC \cdot \cos 60^\circ,

DF^2=4^2+3^2-2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac(1)(2)=13.

FC^2=DF^2+DC^2- 2DF\cdot DC\cdot\cos\açı FDC,

4^2=13+9-2\sqrt(13) \cdot 3 \cdot \cos \angle FDC,

\cos \angle FDC=\frac(6)(2\sqrt(13) \cdot 3)=\frac(1)(\sqrt(13)).

Temel trigonometrik özdeşliğin sonucu olarak

\sin \angle FDC=\sqrt(1-\left (\frac(1)(\sqrt(13))\right)^2)=\frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13)) .\bigtriangleup ADH'den AH'yi buluruz:

AH=AD \cdot \sin \angle ADH, (\angle FDC=\angle ADH). AH=3 \cdot \frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13))=\frac(6\sqrt(13))(\sqrt(13)).

\angle AHA_(1)= arctg\frac(AA_(1))(AH)= arctg\frac(6 \cdot \sqrt(13))(6\sqrt(3))= arctg\frac(\sqrt(39))(3).

Cevap

arctg\frac(\sqrt(39))(3).

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil seviyesi." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.Kulabukhova.

İş türü: 14
Konu: Düzlemler arası açı

Durum

ABCDA_(1)B_(1)C_(1)D_(1) dik prizmasının tabanı, geniş B açısı 120^\circ'ye eşit olan bir eşkenar dörtgendir. Bu prizmanın tüm kenarları 10'a eşittir. P ve K noktaları sırasıyla CC_(1) ve CD kenarlarının orta noktalarıdır.

A) PK ve PB_(1) doğrularının dik olduğunu kanıtlayın.

B) PKB_(1) ve C_(1)B_(1)B düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

Çözümü göster

Çözüm

A) Koordinat yöntemini kullanacağız. \vec(PK) ve \vec(PB_(1)) vektörlerinin skaler çarpımını ve ardından bu vektörler arasındaki açının kosinüsünü bulalım. Oy eksenini CD boyunca, Oz eksenini CC_(1) boyunca ve Ox eksenini \perp CD boyunca yönlendirelim. C kökendir.

Daha sonra C (0;0;0); C_(1)(0;0;10); P(0;0;5); K(0;5;0); B(BC \cos 30^\circ; BC\sin 30^\circ; 0), yani B(5\sqrt(3); 5;0), B_(1)(5\sqrt(3); 5;10).

Vektörlerin koordinatlarını bulalım: \vec(PK)=$0;5;-5$; \vec(PB_(1))=$5\sqrt(3); 5;5$.

\vec(PK) ve \vec(PB_(1)) arasındaki açı \alpha'ya eşit olsun.

\cos \alpha =0, \vec(PK) \perp \vec(PB_(1)) anlamına gelir ve PK ve PB_(1) doğruları diktir.

B) Düzlemler arasındaki açı, bu düzlemlere dik sıfır olmayan vektörler arasındaki açıya (veya açı genişse, ona bitişik açıya) eşittir. Bu tür vektörlere düzlemlerin normalleri denir. Onları bulalım.

\vec(n_(1))=$x; y; z$ PKB_(1) düzlemine dik olsun. Sistemi çözerek bulalım \begin(cases) \vec(n_(1)) \perp \vec(PK), \\ \vec(n_(1)) \perp \vec(PB_(1)). \end(durumlar)

\begin(cases) \vec(n_(1)) \cdot \vec(PK)=0, \\ \vec(n_(1)) \cdot \vec(PB_(1))=0; \end(durumlar)

\begin(cases) 0x+5y-5z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+5z=0; \end(durumlar)

\begin(cases)y=z, \\ x=\frac(-y-z)(\sqrt(3)). \end(durumlar)

Hadi alalım y=1; z=1; x=\frac(-2)(\sqrt(3)), \vec(n_(1))=\left $ \frac(-2)(\sqrt(3)); 1;1 \right $.

\vec(n_(2))=$x; y; z$ C_(1)B_(1)B düzlemine dik olsun. Sistemi çözerek bulalım \begin(cases) \vec(n_(2)) \perp \vec(CC_(1)) \\ \vec(n_(2)) \perp \vec(CB). \end(durumlar)

\vec(CC_(1))=$0;0;10$, \vec(CB)=$5\sqrt(3); 5; 0$.

\begin(cases) \vec(n_(2)) \cdot \vec(CC_(1))=0, \\ \vec(n_(2)) \cdot \vec(CB)=0; \end(durumlar)

\begin(cases) 0x+0y+10z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+0z=0; \end(durumlar)

\begin(cases)z=0, \\ y=-\sqrt(3)x. \end(durumlar)

Hadi alalım x=1; y=-\sqrt(3); z=0, \vec(n_(2))=$1; -\sqrt(3);0$.

İstenilen \beta açısının kosinüsünü bulalım (\vec(n_(1)) ve \vec(n_(2)) arasındaki açının kosinüsünün modülüne eşittir).

\cos \beta =\frac(\sqrt(10))(4), \beta=\arccos\frac(\sqrt(10))(4).

Cevap

\arccos\frac(\sqrt(10))(4)

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil seviyesi." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.Kulabukhova.

ABCD bir karedir ve yan yüzleri eşit dikdörtgenlerdir.

Kesit düzlemi AC köşegenine paralel M ve D noktalarından geçtiğinden, onu M noktasından geçen A_(1)AC düzleminde oluşturmak için AC'ye paralel bir MN doğru parçası çizeriz. Doğrunun ve düzlemin paralelliğine dayanarak AC \paralel (MDN) elde ederiz.

MDN düzlemi A_(1)AD ve B_(1)BC paralel düzlemleriyle kesişir, bu durumda özellik gereği paralel düzlemler A_(1)ADD_(1) ve B_(1)BCC_(1) yüzlerinin MDN düzlemiyle kesişme çizgileri paraleldir.

NE doğru parçasını MD doğru parçasına paralel olarak çizelim.

Dörtgen DMEN gerekli bölümdür.

B) Kesit düzlemi ile taban düzlemi arasındaki açıyı bulalım. Kesit düzleminin taban düzlemini D noktasından geçen bir p düz çizgisi boyunca kesmesine izin verin. AC \parallel MN, dolayısıyla AC \parallel p (eğer bir düzlem başka bir düzleme paralel bir çizgiden geçiyorsa ve bu düzlemle kesişiyorsa, o zaman düzlemlerin kesişme çizgisi bu çizgiye paraleldir). Bir karenin köşegenleri olarak BD \perp AC, yani BD \perp p. BD, ED'nin ABC düzlemine izdüşümüdür, o zaman üç dik açının teoremine göre ED \perp p, dolayısıyla \angle EDB kesit düzlemi ile taban düzlemi arasındaki dihedral açının doğrusal açısıdır.

Dörtgen DMEN türünü ayarlayın. MD \parallel EN, ME \parallel DN'ye benzer, yani DMEN bir paralelkenardır ve MD=DN olduğundan (MAD ve NCD dik üçgenleri iki ayak üzerinde eşittir: karenin kenarları olarak AD=DC, AM=CN olarak) AC ve MN paralel çizgileri arasındaki mesafeler), dolayısıyla DMEN bir eşkenar dörtgendir. Dolayısıyla F, MN'nin orta noktasıdır.

AM:MA_(1)=2:3 koşuluna göre, o zaman AM=\frac(2)(5)AA_(1)=\frac(2)(5) \cdot 5\sqrt(6)=2\sqrt(6).

AMNC bir dikdörtgendir, F, MN'nin ortasıdır, O, AC'nin ortasıdır. Araç, FO\paralel MA, FO\perp AC, FO=MA=2\sqrt(6).

Bir karenin köşegeninin olduğunu bilmek a\sqrt(2), a karenin kenarı nerede, şunu elde ederiz BD=4\sqrt(2). OD=\frac(1)(2)BD=\frac(1)(2) \cdot 4\sqrt(2)=2\sqrt(2).

Bir dik üçgende FOD\enspace tg \angle FDO=\frac(FO)(OD)=\frac(2\sqrt(6))(2\sqrt(2))=\sqrt(3). Bu nedenle \angle FDO=60^\circ.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit etmemiz halinde, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Verilen düzlemler arasındaki açıyı bulun. Düzlemler arasındaki açıyı bulma (dihedral açı)

Ana nüanslar

Shkolkovo ile sınav testine hazırlanmak başarınızın anahtarıdır

Düzlemler arasındaki açı - tanım.

Kesişen iki düzlem arasındaki açının bulunması.

Durum

Çözüm

Cevap

Durum

Çözüm

Cevap

Durum

Çözüm

Cevap

Durum

Çözüm

Cevap

Durum

Çözüm

Cevap

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Kişisel bilgilerin korunması

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Şifre kurtarma