Bir fonksiyonun bükülmesi için gerekli ve yeterli koşul. Bir fonksiyonun grafiğinin dışbükeylik ve içbükeylik aralıkları

Bir fonksiyonu incelerken ve grafiğini oluştururken, aşamalardan birinde bükülme noktalarını ve dışbükeylik aralıklarını belirleriz. Bu veriler, artış ve azalma aralıkları ile birlikte, incelenen fonksiyonun grafiğini şematik olarak sunmamızı sağlar.

Aşağıdakiler, belirli bir düzene ve farklı türlere kadar bildiğinizi varsayar.

Malzemenin çalışmasına gerekli tanım ve kavramlarla başlayalım. Daha sonra, belirli bir aralıktaki bir fonksiyonun ikinci türevinin değeri ile dışbükeyliğinin yönü arasındaki ilişkiyi dile getiriyoruz. Ardından fonksiyon grafiğinin büküm noktalarını belirlememizi sağlayan koşullara geçelim. Metinde ayrıntılı çözümlerle tipik örnekler vereceğiz.

Sayfa gezintisi.

Dışbükeylik, bir fonksiyonun içbükeyliği, bükülme noktası.

Tanım.

aşağı dışbükey X aralığında, grafiği X aralığının herhangi bir noktasında kendisine teğetten daha düşük değilse.

Tanım.

türevlenebilir fonksiyon denir dışbükey yukarı X aralığında, grafiği X aralığının herhangi bir noktasında kendisine teğetten daha yüksek değilse.

Yukarı doğru dışbükey bir fonksiyon genellikle dışbükey, ve dışbükey aşağı - içbükey.

Bu tanımları gösteren çizime bakın.

Tanım.

nokta denir fonksiyonun grafiğinin bükülme noktası y \u003d f (x) belirli bir noktada fonksiyon grafiğine bir teğet varsa (Oy eksenine paralel olabilir) ve noktanın içinde sola ve sağa doğru böyle bir mahallesi varsa M noktasının fonksiyon grafiğinde farklı güzergahlarçıkıntılar.

Başka bir deyişle, bu noktada bir teğet varsa ve fonksiyonun grafiği, içinden geçen dışbükeyliğin yönünü değiştirirse, M noktasına bir fonksiyonun grafiğinin bükülme noktası denir.

Gerekirse, dikey olmayan ve dikey bir teğetin varlığına ilişkin koşulları hatırlamak için bölüme bakın.

Aşağıdaki şekil, birkaç bükülme noktası örneğini göstermektedir (kırmızı noktalarla işaretlenmiştir). Bazı fonksiyonların büküm noktaları bulunmayabileceğini, bazılarının ise bir, birkaç veya sonsuz sayıda büküm noktası olabileceğini unutmayın.

Bir fonksiyonun dışbükeylik aralıklarını bulma.

Bir fonksiyonun dışbükeylik aralıklarını belirlememize izin veren bir teorem formüle ediyoruz.

Teorem.

y=f(x) fonksiyonunun X aralığında sonlu bir ikinci türevi varsa ve eşitsizlik (), o zaman fonksiyonun grafiği X üzerinde aşağı (yukarı) yönlendirilmiş bir dışbükeyliğe sahiptir.

Bu teorem, bir fonksiyonun içbükeylik ve dışbükeylik aralıklarını bulmanızı sağlar, yalnızca eşitsizlikleri ve sırasıyla orijinal işlevin tanım alanında çözmeniz gerekir.

Unutulmamalıdır ki, y=f(x) fonksiyonunun tanımlandığı ve ikinci türevinin bulunmadığı noktalar, içbükeylik ve dışbükeylik aralıklarına dahil edilecektir.

Bunu bir örnekle ele alalım.

Misal.

Fonksiyonun grafiğinin hangi aralıklarda verildiğini bulun. yukarı doğru bir dışbükeyliğe ve aşağı doğru bir dışbükeyliğe sahiptir.

Karar.

Bir fonksiyonun tanım kümesi, gerçek sayılar kümesinin tamamıdır.

İkinci türevi bulalım.

İkinci türevin tanım alanı, orijinal fonksiyonun tanım alanı ile çakışır, bu nedenle, içbükeylik ve dışbükeylik aralıklarını bulmak için sırasıyla çözmek yeterlidir.

Bu nedenle, fonksiyon aralıkta aşağı dışbükey ve aralıkta yukarı dışbükeydir.

Grafik illüstrasyon.

Dışbükey aralıktaki fonksiyonun grafiğinin bir kısmı mavi, içbükeylik aralığında - kırmızı renkte gösterilir.

Şimdi ikinci türevin tanım kümesinin fonksiyonun tanım kümesiyle çakışmadığı bir örneği ele alalım. Bu durumda, daha önce belirttiğimiz gibi, tanım alanının sonlu ikinci türevi olmayan noktaları, dışbükeylik ve (veya) içbükeylik aralıklarına dahil edilmelidir.

Misal.

Fonksiyon grafiğinin dışbükeylik ve içbükeylik aralıklarını bulun.

Karar.

Fonksiyonun kapsamı ile başlayalım:

İkinci türevi bulalım:

İkinci türevin alanı kümedir. . Gördüğünüz gibi, x=0 orijinal fonksiyonun alanındadır, ancak ikinci türevin alanında değildir. Bu noktayı unutmayınız, dışbükeylik ve (veya) içbükeylik aralığına dahil edilmesi gerekecektir.

Şimdi orijinal fonksiyonun tanım kümesindeki eşitsizlikleri çözüyoruz. uygulanabilir. ifade pay sıfıra gidiyor veya , payda - x = 0 veya x = 1'de. Bu noktaları sayı doğrusu üzerinde şematik olarak çizeriz ve orijinal fonksiyonun tanım alanına dahil edilen aralıkların her birinde ifadenin işaretini buluruz (alt sayı satırındaki gölgeli alan ile gösterilir). Pozitif bir değer artı işaretidir, negatif bir değer eksi işaretidir.

Böylece,

ve

Bu nedenle, x=0 noktasını dahil ederek cevabı alırız.

saat fonksiyonun grafiği, aşağıya doğru yönlendirilmiş bir dışbükeyliğe sahiptir. - yukarı doğru yönlendirilmiş çıkıntı.

Grafik illüstrasyon.

Dışbükey aralıktaki fonksiyonun grafiğinin bir kısmı mavi, içbükeylik aralıklarında gösterilir - kırmızı, siyah noktalı çizgi dikey asimptottur.

Bir bükülme için gerekli ve yeterli koşullar.

Bir bükülme için gerekli koşul.

formüle edelim bükülme için gerekli koşul fonksiyon grafiği.

y=f(x) fonksiyonunun grafiğinin bir noktada bükülmesi ve için sürekli bir ikinci türevi olmasına izin verin, o zaman eşitlik doğrudur.

Bu koşuldan, bükülme noktalarının apsislerinin, fonksiyonun ikinci türevinin kaybolduğu noktalar arasında aranması gerektiği sonucu çıkar. AMA, bu koşul yeterli değildir, yani ikinci türevin sıfıra eşit olduğu tüm değerler, bükülme noktalarının apsisi değildir.

Ayrıca, büküm noktasının tanımı gereği teğet bir çizginin varlığının gerekli olduğu, dikey de olabileceği belirtilmelidir. Ne anlama geliyor? Ve bu şu anlama gelir: bükülme noktalarının apsisi, fonksiyonun etki alanından her şey olabilir, bunun için ve . Genellikle bunlar birinci türevin paydasının kaybolduğu noktalardır.

Bir bükülme için ilk yeterli koşul.

Bükülme noktalarının apsisi olabileceği bulunduktan sonra, kullanmalısınız. büküm için ilk yeterli koşul fonksiyon grafiği.

y=f(x) fonksiyonu noktada sürekli olsun, tanjantı (dikey olabilir) olsun ve bu fonksiyonun noktanın bazı komşuluklarında ikinci bir türevi olsun. O halde, 'nin solunda ve sağında bu komşuluk içinde ise, ikinci türev farklı işaretler, o zaman fonksiyonun grafiğinin bükülme noktasıdır.

Görüldüğü gibi birinci yeter koşul, ikinci türevin noktanın kendisinde bulunmasını değil, noktanın yakınında bulunmasını gerektirir.

Şimdi tüm bilgileri bir algoritma şeklinde özetliyoruz.

Bir fonksiyonun bükülme noktalarını bulmak için algoritma.

Fonksiyon grafiğinin (veya ve ) ve ikinci türevin işaret değiştirdiği geçişi bulun. Bu değerler büküm noktalarının apsisleri olacak ve bunlara karşılık gelen noktalar fonksiyon grafiğinin büküm noktaları olacaktır.

Açıklığa kavuşturmak için bükülme noktaları bulmanın iki örneğini düşünün.

Misal.

Bir fonksiyon grafiğinin bükülme noktalarını ve dışbükeylik ve içbükeylik aralıklarını bulun .

Karar.

Fonksiyonun tanım kümesi gerçek sayılar kümesinin tamamıdır.

İlk türevi bulalım:

Birinci türevin alanı aynı zamanda tüm reel sayılar kümesidir, dolayısıyla eşitlikler ve hiçbiri için yürütülmez.

İkinci türevi bulalım:

İkinci türevin x argümanının hangi değerlerinde kaybolduğunu bulalım:

Dolayısıyla olası bükülme noktalarının apsisleri x=-2 ve x=3'tür.

Şimdi kontrol etmek için kalır yeterli işaret bu noktalardan hangisinde ikinci türev işaret değiştirir. Bunu yapmak için x=-2 ve x=3 noktalarını gerçek eksene koyun ve aşağıdaki gibi genelleştirilmiş aralık yöntemi, ikinci türevin işaretlerini her aralığın üzerine yerleştiririz. Her aralığın altında, fonksiyonun grafiğinin dışbükeyliğinin yönü şematik olarak yaylarla gösterilir.

İkinci türev, x=-2 noktasından soldan sağa geçerek işareti artıdan eksiye, x=3 noktasından geçerek eksiden artıya değiştirir. Bu nedenle, hem x=-2 hem de x=3, fonksiyon grafiğinin bükülme noktalarının apsisleridir. Grafik noktalarına karşılık gelirler ve .

Reel eksene ve ikinci türevin aralıklarındaki işaretlerine tekrar baktığımızda, dışbükeylik ve içbükeylik aralıkları hakkında sonuca varabiliriz. Fonksiyonun grafiği aralıkta dışbükey ve ve aralıklarda içbükeydir.

Grafik illüstrasyon.

Dışbükey aralıktaki fonksiyonun grafiğinin bir kısmı mavi renkte, içbükeylik aralıklarında gösterilir - kırmızı renkte, bükülme noktaları siyah noktalar olarak gösterilir.

Misal.

Bir fonksiyon grafiğinin tüm bükülme noktalarının apsislerini bulun .

Karar.

Bu fonksiyonun etki alanı, gerçek sayılar kümesinin tamamıdır.

Türevini bulalım.

Birinci türev, orijinal fonksiyondan farklı olarak, x=3'te tanımlanmamıştır. Ancak ve . Bu nedenle, apsis x=3 olan noktada, orijinal fonksiyonun grafiğine dikey bir teğet vardır. Yani x=3, fonksiyon grafiğinin bükülme noktasının apsisi olabilir.

İkinci türevi, tanım alanını ve kaybolduğu noktaları buluyoruz:

Bükülme noktalarının iki olası apsisi daha var. Sayı doğrusunda üç noktayı da işaretliyoruz ve elde edilen aralıkların her birinde ikinci türevin işaretini belirliyoruz.

İkinci türev, her bir noktadan geçerek işaret değiştirir, bu nedenle, hepsi bükülme noktalarının apsisleridir.

Düşünmek için kalır grafiğin dışbükeyliği, içbükeyliği ve bükülmeleri. Site ziyaretçileri tarafından çok sevilenlerle başlayalım egzersiz yapmak. Lütfen ayağa kalkın ve öne veya arkaya yaslanın. Bu bir şişkinlik. Şimdi kollarınızı önünüze doğru uzatın, avuçlarınız yukarı ve göğsünüzde büyük bir kütük tuttuğunuzu hayal edin… …peki, kütüğü beğenmiyorsanız, bırakın bir şey/başka biri olsun =) Bu içbükeyliktir. . Bazı kaynaklarda eşanlamlı terimler vardır. şişkinlik ve aşağı şişkinlik, ama ben kısa isimlerin destekçisiyim.

! Dikkat : bazı yazarlar dışbükeyliği ve içbükeyliği tam tersi olarak tanımlar. Bu aynı zamanda matematiksel ve mantıksal olarak da doğrudur, ancak terimlere ilişkin dar görüşlü anlayışımız düzeyi de dahil olmak üzere, esaslı bir bakış açısından genellikle tamamen yanlıştır. Bu nedenle, örneğin, bikonveks merceğe "tüberküllü" mercek denir, ancak "çentikli" (iki içbükey) mercek yoktur.
Ve diyelim ki, "içbükey" bir yatak - hala açıkça "yapışmıyor" =) (ancak, altına tırmanırsanız, o zaman zaten şişkinlik hakkında konuşacağız; =)) Doğal olana karşılık gelen bir yaklaşıma bağlıyım insan dernekleri.

Grafiğin dışbükeyliğinin ve içbükeyliğinin resmi tanımı bir çaydanlık için oldukça zordur, bu nedenle kendimizi kavramın geometrik bir yorumuyla sınırlandırıyoruz. somut örnekler. olan bir fonksiyonun grafiğini düşünün. sürekli tüm sayı doğrusunda:

ile inşa etmek kolaydır geometrik dönüşümler ve muhtemelen birçok okuyucu bunun kübik bir parabolden nasıl elde edildiğinin farkındadır.

Hadi arayalım akor bağlanan segment iki çeşitli noktalar grafik Sanatları.

fonksiyonun grafiği dışbükey bir aralıkta, eğer bulunursa Az değil verilen aralığın herhangi bir akoru. Deneysel çizgi dışbükeydir ve açıkçası, burada grafiğin herhangi bir kısmı kendi alanının ÜSTÜNDE yer almaktadır. akor. Tanımı göstermek için üç siyah parça çizdim.

grafik fonksiyonları içbükey aralıkta, eğer bulunursa daha yüksek değil bu aralığın herhangi bir akoru. Bu örnekte, hasta boşlukta içbükeydir. Bir çift kahverengi parça, burada ve çizelgenin herhangi bir parçasının onun ALTINDA yer aldığını ikna edici bir şekilde gösteriyor. akor.

Grafikte dışbükeyden içbükeye değiştiği nokta veya içbükeyliğe dışbükeylik denir dönüm noktası. Tek bir kopyada var (ilk durum) ve pratikte, bükülme noktası hem çizginin kendisine ait yeşil nokta hem de "x" değeri anlamına gelebilir.

ÖNEMLİ! Grafikteki bükümler düzgün bir şekilde gösterilmeli ve çok düzgün. Her türlü "düzensizlik" ve "pürüzlülük" kabul edilemez. Bu biraz pratik meselesi.

Teoride dışbükeylik / içbükeylik tanımına ikinci yaklaşım teğetler aracılığıyla verilir:

dışbükey grafiğin bulunduğu aralıkta daha yüksek değil verilen aralığın keyfi bir noktasında kendisine çizilen teğet. İçbükey aralık grafiğinde aynı - Az değil bu aralıktaki herhangi bir teğet.

Hiperbol, aralıkta içbükey ve dışbükeydir:

Orijinden geçerken, içbükeylik dışbükeyliğe dönüşür, ancak nokta DİKKATE ALMA fonksiyon olduğundan, bükülme noktası belirtilmemiş Onu içinde.

Konuyla ilgili daha titiz ifadeler ve teoremler ders kitabında bulunabilir ve zengin pratik kısma geçiyoruz:

Dışbükey aralıklar, içbükeylik aralıkları nasıl bulunur
ve grafiğin bükülme noktaları?

Malzeme basit, şablon ve yapısal olarak tekrar ediyor bir ekstremum için bir fonksiyonun incelenmesi.

Grafiğin dışbükeyliği / içbükeyliği karakterize eder ikinci türev fonksiyonlar.

Fonksiyonun bir aralıkta iki kez türevlenebilir olmasına izin verin. Sonra:

– ikinci türev aralıkta ise, fonksiyonun grafiği verilen aralıkta dışbükeydir;

– ikinci türev aralıkta ise, fonksiyonun grafiği verilen aralıkta içbükeydir.

Boşluklara göre ikinci türevin işaretleri pahasına Eğitim Kurumları tarih öncesi bir dernek yürüyor: “-”, “fonksiyon grafiğine su dökülemeyeceğini” gösterir (çıkıntı),
ve "+" - "böyle bir fırsat verir" (içbükeylik).

Büküm için gerekli koşul

Noktadaki fonksiyonun grafiğinde bir bükülme varsa, o zamanlar:
veya değer mevcut değil(hadi çözelim, okuyalım!).

Bu ifade, işlevin sürekli bir noktada ve durumda, bazı komşuluklarında iki kez türevlenebilir.

Koşulun gerekliliği, tersinin her zaman doğru olmadığını gösterir. Yani eşitlikten (veya değerin yokluğundan) henüz değil noktasında fonksiyonun grafiğinin bükülmesinin varlığı . Ama her iki durumda da ararlar ikinci türevin kritik noktası.

Yeterli Bükülme Koşulu

İkinci türev bir noktadan geçerken işaret değiştirirse, bu noktada fonksiyonun grafiğinde bir bükülme vardır.

Bükülme noktaları (bir örnek zaten karşılanmıştır) hiç olmayabilir ve bu anlamda bazı temel örnekler gösterge niteliğindedir. Fonksiyonun ikinci türevini inceleyelim:

Pozitif bir sabit fonksiyon elde edilir, yani herhangi bir "x" değeri için. Yüzeyde yatan gerçekler: parabol baştan sona içbükeydir etki alanları, bükülme noktaları yoktur. Negatif bir katsayının parabolü "döndürdüğünü" ve dışbükey hale getirdiğini görmek kolaydır (bize ikinci türev tarafından rapor edilecektir - negatif bir sabit fonksiyon).

Üstel İşlev ayrıca içbükey:

herhangi bir "x" değeri için.

Elbette grafikte bükülme noktası yok.

Grafiğin dışbükeyliğini / içbükeyliğini inceliyoruz logaritmik fonksiyon :

Böylece, logaritmanın dalı aralıkta dışbükeydir. İkinci türev de aralıkta tanımlanır, ancak bunu göz önünde bulundurun. YASAKTIR, bu aralık dahil edilmediğinden alan adı işlevler. Gereklilik açıktır - orada logaritma grafiği olmadığından, doğal olarak herhangi bir dışbükeylik / içbükeylik / bükülme hakkında bir konuşma yoktur.

Gördüğünüz gibi, her şey gerçekten çok fazla hikayeyi andırıyor. fonksiyonun artması, azalması ve ekstremi. kendim gibi görünüyor fonksiyon grafiği araştırma algoritmasıdışbükeylik, içbükeylik ve bükülmelerin varlığı için:

2) Kritik değerler arıyoruz. Bunu yapmak için ikinci türevi alıyoruz ve denklemi çözüyoruz. 2. türevin olmadığı, ancak fonksiyonun kendi alanında yer alan noktalar da kritik olarak kabul edilir!

3) Bulunan tüm süreksizlik noktalarını ve kritik noktaları sayı doğrusu üzerinde işaretliyoruz ( ne biri ne de diğeri çıkmayabilir - o zaman hiçbir şey çizmenize gerek yoktur (çok basit bir durumda olduğu gibi), kendinizi yazılı bir yorumla sınırlamanız yeterlidir). aralık yöntemi elde edilen aralıklar üzerindeki işaretleri belirleriz. Az önce açıklandığı gibi, dikkate alınmalı sadece şunlar işlevin kapsamına dahil edilen aralıklar. Fonksiyon grafiğinin dışbükeylik / içbükeylik ve bükülme noktaları hakkında sonuçlar çıkarıyoruz. Cevap veriyoruz.

Algoritmayı özelliklere sözlü olarak uygulamaya çalışın . İkinci durumda, bu arada, kritik noktada eğri bükülmesinin olmadığı bir örnek var. Ancak, biraz daha zor görevlerle başlayalım:

örnek 1

Karar:
1) Fonksiyon tanımlı ve gerçek çizginin tamamında süreklidir. Çok iyi.

2) İkinci türevi bulun. Önceden küp yapabilirsiniz, ancak kullanmak çok daha karlı karmaşık fonksiyonun kural farklılaşması:

dikkat edin , bu, işlevin olduğu anlamına gelir azalmayan. Bu, görevle ilgili olmasa da, bu tür gerçeklere her zaman dikkat edilmesi tavsiye edilir.

İkinci türevin kritik noktalarını bulun:

- kritik nokta

3) Yeterli bükülme koşulunun sağlandığını kontrol edelim. Elde edilen aralıklar üzerinde ikinci türevin işaretlerini belirleyelim.

Dikkat!Şimdi ikinci türevle çalışıyoruz (bir fonksiyonla değil!)

Sonuç olarak, bir kritik nokta elde edilir: .

3) Sayı doğrusu üzerinde kritik bir nokta olan iki süreksizlik noktasını işaretliyoruz ve elde edilen aralıklarda ikinci türevin işaretlerini belirliyoruz:

önemli bir şeyi hatırlatırım aralık yöntemi, bu da çözümü önemli ölçüde hızlandırabilir. İkinci türev çok hantal olduğu ortaya çıktı, bu nedenle değerlerini hesaplamak gerekli değil, her aralıkta bir “tahmin” yapmak yeterli. Örneğin sol aralığa ait bir nokta seçelim,
ve değiştirmeyi yapın:

Şimdi çarpanları analiz edelim:

İki "eksi" ve "artı", bir "artı" verir, bu nedenle, bu, ikinci türevin tüm aralıkta pozitif olduğu anlamına gelir.

Yorumlanan eylemlerin sözlü olarak gerçekleştirilmesi kolaydır. Ayrıca, çarpanı tamamen yok saymak avantajlıdır - herhangi bir "x" için pozitiftir ve ikinci türevimizin işaretlerini etkilemez.

Peki bize hangi bilgileri verdi?

Cevap: fonksiyonun grafiği içbükeydir ve dışbükey . orijinde (açıktır ki ) grafikte bir bükülme var.

Noktalardan geçerken, ikinci türev de işaret değiştirir, ancak fonksiyon onlara zarar verdiği için bükülme noktaları olarak kabul edilmezler. sonsuz molalar.

Analiz edilen örnekte, birinci türev bize fonksiyonun bir bütün olarak büyümesini anlatır etki alanları. Her zaman böyle bir freebie olurdu =) Ayrıca, üç varlığın varlığı asimptot. Çok fazla veri alındı, bu da yüksek derece sunmak için güvenilirlik görünüm grafik Sanatları. Yığın için, işlev de garip. Yerleşik gerçeklere dayanarak, bir taslak üzerinde çizim yapmaya çalışın. Dersin sonundaki resim.

için görev bağımsız karar:

Örnek 6

Fonksiyonun grafiğini dışbükeylik, içbükeylik açısından inceleyin ve varsa grafiğin bükülme noktalarını bulun.

Örnekte çizim yok ama hipotez ileri sürmek yasak değil ;)

Algoritmanın noktalarını numaralandırmadan malzemeyi taşlıyoruz:

Örnek 7

Fonksiyon grafiğini dışbükeylik, içbükeylik açısından inceleyin ve varsa bükülme noktalarını bulun.

Karar: fonksiyon kalıcıdır sonsuz boşluk noktada .

Her zamanki gibi, bizim için her şey yolunda:

Türevler en zor değil, asıl şey “saç stillerine” dikkat etmektir.
İndüklenmiş marafette, ikinci türevin iki kritik noktası bulunur:

Elde edilen aralıklardaki işaretleri belirleyelim:

Grafiğin büküldüğü noktada noktanın koordinatını bulalım:

Bir noktadan geçerken ikinci türev işaret değiştirmez, bu nedenle grafikte bükülme yoktur.

Cevap: dışbükeylik aralıkları: ; içbükeylik aralığı: ; dönüm noktası: .

Ek zil ve ıslıklarla son örnekleri düşünün:

Örnek 8

Bir grafiğin dışbükeylik, içbükeylik ve bükülme noktalarının aralıklarını bulun

Karar: konumlu etki alanlarıözel bir sorun yok:
, ve fonksiyon noktalarda süreksizliklere maruz kalır.

Gidilen yoldan gidelim:

- kritik nokta.

Aralıkları dikkate alarak işaretleri belirleyelim. sadece fonksiyonun kapsamından:

Grafiğin bir bükülmesi olduğu noktada, ordinatı hesaplıyoruz:

Talimat

puan bükülme fonksiyonlarönce bulunması gereken tanımının kapsamına ait olmalıdır. Takvim fonksiyonlar- bu, sürekli olabilen veya kesintileri olan, monoton olarak azalan veya artan, minimum veya maksimuma sahip bir çizgidir. puan(asimptotlar), dışbükey veya içbükey olun. İki ani değişiklik son devletler ve kink denir.

Var olmak için gerekli bir koşul bükülme fonksiyonlar saniyenin sıfıra eşitliğinden oluşur. Böylece, işlevi iki kez türevlendirdikten ve elde edilen ifadeyi sıfıra eşitleyerek, olası noktaların apsislerini bulabiliriz. bükülme.

Bu koşul, grafiğin dışbükeylik ve içbükeylik özelliklerinin tanımından kaynaklanmaktadır. fonksiyonlar, yani olumsuz ve pozitif değer ikinci türev. Noktada bükülme türevin sıfır işaretini geçtiği anlamına gelen bu özelliklerde keskin bir değişiklik. Bununla birlikte, sıfıra eşitlik, bir bükülme noktasını belirtmek için hala yeterli değildir.

Bir önceki aşamada bulunan apsisin noktaya ait olması için yeterli iki koşul vardır. bükülme:Bu noktadan bir teğet çizebilirsiniz. fonksiyonlar. İkinci türev, beklenenin sağında ve solunda farklı işaretlere sahiptir. puan bükülme. Bu nedenle, kendi noktasındaki varlığı gerekli değildir, o noktada işaret değiştirdiğini belirlemek yeterlidir.İkinci türev fonksiyonlar sıfırdır ve üçüncü değildir.

Çözüm: Bul. Bu durumda, herhangi bir kısıtlama yoktur, bu nedenle, gerçek sayıların tüm alanıdır. Birinci türevi hesaplayın: y' = 3 ∛ (x - 5) + (3 x + 3) / ∛ (x - 5)².

Dikkat et . Bundan türevin tanım alanının sınırlı olduğu sonucu çıkar. x = 5 noktası delinmiştir, bu, kısmen ilk yeterlilik işaretine karşılık gelen bir teğetin içinden geçebileceği anlamına gelir. bükülme.

x → 5 - 0 ve x → 5 + 0'daki sonuç ifadesini belirleyin. Bunlar -∞ ve +∞'ye eşittir. Dikey bir teğetin x=5 noktasından geçtiğini kanıtladınız. Bu nokta bir nokta olabilir bükülme, ancak önce ikinci türevi hesaplayın: (2 x - 22)/∛(x - 5)^5.

Paydayı atlayın, çünkü x = 5 noktasını zaten hesaba kattınız. 2 x - 22 \u003d 0 denklemini çözün. Tek bir kökü vardır x \u003d 11. Son adım, bunu doğrulamaktır. puan x=5 ve x=11 noktalardır bükülme. İkinci türevin çevrelerindeki davranışını analiz edin. Açıkçası, x = 5 noktasında işareti “+”dan “-”ye değiştirir ve x = 11 noktasında tam tersi olur. Sonuç: ikisi de puan puanlar bükülme. İlk yeterli koşul sağlanır.

Bir fonksiyon çizerken, dışbükey aralıkları ve bükülme noktalarını tanımlamak önemlidir. Fonksiyonun grafik biçiminde net bir temsili için azalan ve artan aralıklarla birlikte onlara ihtiyacımız var.

Bu konuyu anlamak, bir fonksiyonun türevinin ne olduğunu ve belirli bir mertebede nasıl hesaplanacağını bilmeyi ve aynı zamanda çözebilmeyi gerektirir. farklı şekiller eşitsizlikler

Makalenin başında ana kavramlar tanımlanmıştır. Daha sonra dışbükeyliğin yönü ile belirli bir aralıktaki ikinci türevin değeri arasında nasıl bir ilişki olduğunu göstereceğiz. Ardından, grafiğin bükülme noktalarının belirlenebileceği koşulları belirteceğiz. Tüm akıl yürütme, problem çözümlerinin örnekleriyle gösterilecektir.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Tanım 1

Grafiğinin bu aralığın herhangi bir noktasında kendisine teğetten daha düşük olmaması durumunda belirli bir aralıkta aşağı yönde.

tanım 2

Türevlenebilir fonksiyon dışbükeydir Bu fonksiyonun grafiğinin, bu aralığın herhangi bir noktasında kendisine teğetten daha yüksek olmaması durumunda, belirli bir aralıkta yukarı doğru.

Aşağıya doğru dışbükey bir işleve içbükey de denilebilir. Her iki tanım da aşağıdaki grafikte açıkça gösterilmektedir:

tanım 3

Fonksiyon bükülme noktası- bu nokta M (x 0 ; f (x 0) ), türevin fonksiyonun grafiğinin bulunduğu x 0 noktasının yakınında olması şartıyla, fonksiyonun grafiğine teğet olduğu noktadır. sol ve sağ taraflarda farklı dışbükeylik yönleri alır.

Basitçe söylemek gerekirse, bir bükülme noktası, grafikte bir teğetin olduğu bir yerdir ve bu yerden geçerken grafiğin dışbükeyliğinin yönü, dışbükeyliğin yönünü değiştirecektir. Dikey ve dikey olmayan bir teğetin varlığının hangi koşullar altında mümkün olduğunu hatırlamıyorsanız, bir noktada bir fonksiyonun grafiğinin tanjantı bölümünü tekrarlamanızı öneririz.

Aşağıda, kırmızıyla vurgulanmış birden çok bükülme noktasına sahip bir fonksiyonun grafiği verilmiştir. Bükülme noktalarının varlığının zorunlu olmadığını açıklığa kavuşturalım. Bir fonksiyonun grafiğinde bir, iki, birkaç, sonsuz sayıda veya hiç olmayabilir.

Bu bölümde, belirli bir fonksiyonun grafiğindeki dışbükeylik aralıklarını belirleyebileceğiniz bir teoremden bahsedeceğiz.

tanım 4

f "" (x) ≥ 0 ∀ x eşitsizliğinin olması koşuluyla, karşılık gelen y = f (x) fonksiyonunun belirtilen x aralığında ikinci bir sonlu türevi varsa, fonksiyonun grafiği aşağı veya yukarı yönde bir dışbükeyliğe sahip olacaktır. ∈ X (f "" (x) ≤ 0 ∀ x ∈ X) doğru olacaktır.

Bu teoremi kullanarak, bir fonksiyonun herhangi bir grafiğinde içbükeylik ve dışbükeylik aralıklarını bulabilirsiniz. Bunu yapmak için, ilgili fonksiyonun etki alanında f "" (x) ≥ 0 ve f "" (x) ≤ 0 eşitsizliklerini çözmeniz yeterlidir.

İkinci türevin olmadığı, ancak y = f (x) fonksiyonunun tanımlı olduğu noktaların dışbükeylik ve içbükeylik aralıklarına dahil edileceğini açıklayalım.

Belirli bir problem örneğine bakalım, bu teoremi doğru bir şekilde nasıl uygulayabiliriz.

örnek 1

Koşul: verilen bir fonksiyon y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 . Grafiğinin hangi aralıklarda dışbükeylik ve içbükeyliğe sahip olacağını belirleyin.

Karar

Bu fonksiyonun etki alanı, gerçek sayılar kümesinin tamamıdır. İkinci türevi hesaplayarak başlayalım.

y "= x 3 6 - x 2 + 3 x - 1" = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y "" = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2

İkinci türevin alanının, fonksiyonun kendisinin alanı ile çakıştığını görüyoruz.Bu nedenle, dışbükeylik aralıklarını belirlemek için f "" (x) ≥ 0 ve f "" (x) ≤ 0 eşitsizliklerini çözmemiz gerekiyor. .

y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2

Biz o programı aldık verilen fonksiyon segment [ 2 ; + ∞) ve segmentteki dışbükeylik (- ∞ ; 2 ] .

Netlik için, fonksiyonun bir grafiğini çizeceğiz ve dışbükey kısmı mavi, içbükey kısmı kırmızı ile işaretleyeceğiz.

Cevap: verilen fonksiyonun grafiği, segment [ 2 ; + ∞) ve segmentteki dışbükeylik (- ∞ ; 2 ] .

Ancak, ikinci türevin alanı, fonksiyonun alanı ile çakışmıyorsa ne yapmalı? Burada yukarıda yapılan açıklama bizim için yararlıdır: son ikinci türevin olmadığı noktaları, aynı zamanda içbükeylik ve dışbükeylik bölümlerine de dahil edeceğiz.

Örnek 2

Koşul: verilen bir fonksiyon y = 8 x x - 1 . Grafiğinin hangi aralıklarda içbükey, hangi aralıklarda dışbükey olacağını belirleyin.

Karar

İlk olarak, fonksiyonun kapsamını bulalım.

x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞)

Şimdi ikinci türevi hesaplıyoruz:

y "= 8 x x - 1" = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 "= - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2" x (x - 1) 4 = = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) x x - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 (x - 1) 3

İkinci türevin alanı x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) kümesidir. Sıfıra eşit x'in orijinal fonksiyonun alanında olacağını, ancak ikinci türevin alanında olmayacağını görüyoruz. Bu nokta, içbükeylik veya dışbükeylik segmentine dahil edilmelidir.

Bundan sonra, verilen fonksiyonun tanım kümesinde f "" (x) ≥ 0 ve f "" (x) ≤ 0 eşitsizliklerini çözmemiz gerekiyor. Bunun için aralık yöntemini kullanıyoruz: x \u003d - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 veya x \u003d - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547'de pay 2 (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 x - 1 3 0 olur ve payda x'te 0 olur, sıfır veya birim.

Ortaya çıkan noktaları grafiğe koyalım ve orijinal fonksiyonun tanım kümesine dahil edilecek tüm aralıklarda ifadenin işaretini belirleyelim. Grafikte bu alan tarama ile gösterilmiştir. Değer pozitifse, aralığı artı ile, negatifse eksi ile işaretleyin.

Buradan,

f "" (x) ≥ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) ve f "" (x) ≤ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1)

Önceden işaretlenmiş x = 0 noktasını açıyoruz ve istenen cevabı alıyoruz. Orijinal fonksiyonun grafiği 0'da aşağı doğru bir çıkıntıya sahip olacaktır; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) ve yukarı - x ∈ için [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

Dışbükey kısmı mavi, içbükey kısmı kırmızı ile işaretleyerek bir grafik çizelim. Dikey asimptot siyah noktalı bir çizgi ile işaretlenmiştir.

Cevap: Orijinal fonksiyonun grafiği 0'da aşağı doğru bir çıkıntıya sahip olacaktır; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) ve yukarı - x ∈ için [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

Fonksiyon Grafiği için Bükülme Koşulları

Bir fonksiyonun grafiğinin bükülmesi için gerekli koşulun formülasyonuyla başlayalım.

tanım 5

Diyelim ki grafiği bir bükülme noktasına sahip bir y = f(x) fonksiyonumuz var. x = x 0 için sürekli bir ikinci türevi vardır, bu nedenle f "" (x 0) = 0 eşitliği geçerli olacaktır.

Bu koşul göz önüne alındığında, ikinci türevin 0'a döneceği noktalar arasında bükülme noktaları aramalıyız. Bu koşul yeterli olmayacaktır: Bu tür noktaların tümü bize uymayacaktır.

Ayrıca, genel tanıma göre, dikey veya dikey olmayan bir teğet çizgiye ihtiyacımız olacağını unutmayın. Pratikte bu, bükülme noktalarını bulmak için, bu fonksiyonun ikinci türevinin 0 olduğu noktaların alınması gerektiği anlamına gelir. Bu nedenle, bükülme noktalarının apsislerini bulmak için, lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ ve lim x → x 0 + 0 f " olmak üzere, fonksiyonun etki alanından tüm x 0'ları almamız gerekir. (x) = ∞ . Çoğu zaman, bunlar birinci türevin paydasının 0'a döndüğü noktalardır.

Fonksiyon grafiğinin bir bükülme noktasının varlığı için ilk yeterli koşul

Bükülme noktalarının apsisi olarak alınabilecek tüm x 0 değerlerini bulduk. Bundan sonra, ilk yeterli bükülme koşulunu uygulamamız gerekiyor.

tanım 6

Diyelim ki M (x 0 ; f (x 0)) noktasında sürekli olan bir y = f (x) fonksiyonumuz var. Ayrıca, bu noktada bir teğeti vardır ve fonksiyonun kendisinin bu x 0 noktası civarında ikinci bir türevi vardır. Bu durumda, ikinci türev sol ve sağ taraflarda zıt işaretler alıyorsa, bu nokta bir bükülme noktası olarak kabul edilebilir.

Görüyoruz ki bu koşul ikinci türevin bu noktada bulunmasını gerektirmez, x 0 noktasının komşuluğunda bulunması yeterlidir.

Yukarıdakilerin tümü, uygun bir şekilde bir eylemler dizisi olarak sunulabilir.

1. İlk önce olası bükülme noktalarının tüm x 0 apsislerini bulmanız gerekir, burada f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ .
2. Türevin hangi noktalarda işaret değiştireceğini bulun. Bu değerler büküm noktalarının apsisleridir ve bunlara karşılık gelen M (x 0 ; f (x 0) noktaları büküm noktalarının kendileridir.

Açıklık için, iki sorunu ele alalım.

Örnek 3

Koşul: verilen bir fonksiyon y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x . Bu fonksiyonun grafiğinin nerede bükülme ve çıkıntı noktalarına sahip olacağını belirleyin.

Karar

Bu fonksiyon gerçek sayılar kümesinin tamamında tanımlanır. Birinci türevi ele alıyoruz:

y "= 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x" = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2

Şimdi birinci türevin alanını bulalım. Aynı zamanda tüm gerçek sayıların kümesidir. Bu nedenle, lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ ve lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ eşitlikleri, x 0'ın hiçbir değeri için sağlanamaz.

İkinci türevi hesaplıyoruz:

y "" = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 x 2 - x - 6

y "" = 0 ⇔ 1 10 (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 \u003d - 2, x 2 \u003d 1 + 25 2 \u003d 3

İki muhtemel bükülme noktasının apsislerini bulduk - 2 ve 3. Bize kalan tek şey, türevin işaretini hangi noktada değiştirdiğini kontrol etmektir. Sayısal bir eksen çizelim ve üzerine bu noktaları çizelim, ardından ortaya çıkan aralıklara ikinci türevin işaretlerini yerleştireceğiz.

Yaylar, her aralıkta grafiğin dışbükeyliğinin yönünü gösterir.

İkinci türev, apsis 3 olan noktada işareti (artıdan eksiye) ters çevirir, içinden soldan sağa geçer ve apsis 3 olan noktada aynısını (eksiden artıya) yapar. Böylece, x = - 2 ve x = 3'ün fonksiyon grafiğinin bükülme noktalarının apsisleri olduğu sonucuna varabiliriz. Grafiğin noktalarına karşılık gelecekler - 2; - 4 3 ve 3 ; - 15 8 .

İçbükeylik ve dışbükeylik yerleri hakkında sonuçlar çıkarmak için sayısal eksenin görüntüsüne ve aralıklarda ortaya çıkan işaretlere tekrar bakalım. Çıkıntının - 2 segmentinde yer alacağı ortaya çıktı; 3 , ve segmentlerdeki içbükeylik (- ∞ ; - 2 ] ve [ 3 ; + ∞ ) .

Sorunun çözümü grafikte açıkça gösterilmektedir: Mavi renk- dışbükeylik, kırmızı - içbükeylik, siyah, bükülme noktaları anlamına gelir.

Cevap:çıkıntı segmentte yer alacaktır - 2; 3 , ve segmentlerdeki içbükeylik (- ∞ ; - 2 ] ve [ 3 ; + ∞ ) .

Örnek 4

Koşul: y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 fonksiyonunun grafiğinin tüm bükülme noktalarının apsislerini hesaplayın .

Karar

Verilen fonksiyonun tanım kümesi, tüm gerçek sayıların kümesidir. Türevi hesaplıyoruz:

y "= 1 8 (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5" = = 1 8 x 2 + 3 x + 2 " (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 (x - 3) 2 5

Bir fonksiyondan farklı olarak, ilk türevi 3 x değerinde belirlenmez, ancak:

lim x → 3 - 0 y "(x) = 13 (3 - 0) 2 - 6 (3 - 0) - 39 40 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y " (x) = 13 (3 + 0) 2 - 6 (3 + 0) - 39 40 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞

Bu, grafiğe dikey bir teğetin bu noktadan geçeceği anlamına gelir. Bu nedenle, 3, bükülme noktasının apsisi olabilir.

İkinci türevi hesaplıyoruz. Ayrıca tanım alanını ve 0'a döndüğü noktaları da buluyoruz:

y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39" (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 x - 3 2 5" (x - 3) 4 5 = = 1 25 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y "" ( x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3 , 4556 , x 2 = 51 - 1509 26 ≈ 0.4675

İki olası bükülme noktamız daha var. Hepsini bir sayı doğrusuna koyuyoruz ve ortaya çıkan aralıkları işaretlerle işaretliyoruz:

İşaret değişikliği, belirtilen her noktadan geçerken meydana gelir, bu da hepsinin bükülme noktası olduğu anlamına gelir.

Cevap:İçbükeylikleri kırmızı, dışbükeylikleri mavi ve bükülme noktalarını siyah olarak işaretleyerek fonksiyonun bir grafiğini çizelim:

Birinci yeterli bükülme koşulunu bilerek, ikinci türevin varlığının gerekli olmadığı gerekli noktaları belirleyebiliriz. Buna dayanarak, ilk koşul, çeşitli problem türlerini çözmek için en evrensel ve uygun olarak kabul edilebilir.

İki bükülme koşulunun daha olduğuna dikkat edin, ancak bunlar yalnızca belirtilen noktada sonlu bir türev olduğunda uygulanabilir.

Eğer f "" (x 0) = 0 ve f """ (x 0) ≠ 0 varsa, x 0 y = f (x) grafiğinin bükülme noktasının apsisi olacaktır.

Örnek 5

Koşul: y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 fonksiyonu verilmiştir. Fonksiyon grafiğinin 3. noktada bükülmesi olup olmayacağını belirleyin; 4 5 .

Karar

Yapılacak ilk şey, verilen noktanın bu fonksiyonun grafiğine ait olduğundan emin olmaktır.

y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5

Belirtilen işlev, gerçek sayı olan tüm argümanlar için tanımlanır. Birinci ve ikinci türevleri hesaplıyoruz:

y "= 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10" = 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)

x 0'a eşitse ikinci türevin 0'a gideceğini anladık. Bu, bu nokta için gerekli bükülme koşulunun sağlanacağı anlamına gelir. Şimdi ikinci koşulu kullanıyoruz: üçüncü türevi buluyoruz ve 3'te 0'a dönüp dönmeyeceğini öğreniyoruz:

y " " " = 1 10 (x - 3) " = 1 10

Üçüncü türev, x'in herhangi bir değeri için kaybolmaz. Bu nedenle, bu noktanın fonksiyonun grafiğinin bükülme noktası olacağı sonucuna varabiliriz.

Cevap:Çözümü resimde gösterelim:

Diyelim ki f "(x 0) = 0, f "" (x 0) = 0, . . . , f (n) (x 0) = 0 ve f (n + 1) (x 0) ≠ 0 . Bu durumda, n için bile, x 0'ın y \u003d f (x) grafiğinin bükülme noktasının apsisi olduğunu anlıyoruz.

Örnek 6

Koşul: verilen bir fonksiyon y = (x - 3) 5 + 1 . Grafiğinin bükülme noktalarını hesaplayın.

Karar

Bu fonksiyon gerçek sayılar kümesinin tamamında tanımlanır. Türevi hesaplayın: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . Argümanın tüm gerçek değerleri için de tanımlanacağından, grafiğindeki herhangi bir noktada dikey olmayan bir teğet olacaktır.

Şimdi ikinci türevin hangi değerler için 0'a döneceğini hesaplayalım:

y "" = 5 (x - 3) 4 " = 20 x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

x = 3 için fonksiyonun grafiğinin bir bükülme noktasına sahip olabileceğini bulduk. Bunu doğrulamak için üçüncü koşulu kullanıyoruz:

y " " " = 20 (x - 3) 3 " = 60 x - 3 2 , y " " " (3) = 60 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 (x - 3) 2 " = 120 (x - 3) , y (4) (3) = 120 (3 - 3) = 0 y (5) = 120 (x - 3) " = 120 , y (5) (3 ) = 120 ≠ 0

Üçüncü yeterli koşulda n = 4'e sahibiz. Bu çift ​​sayı, yani x = 3 büküm noktasının apsisi olacaktır ve fonksiyonun (3 ; 1) grafiğinin noktasına karşılık gelir.

Cevap:İşte bu fonksiyonun dışbükeylik, içbükeylik ve bükülme noktası ile işaretlenmiş bir grafiği:

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Çevrimiçi bir hesap makinesi ile şunları bulabilirsiniz: bir fonksiyon grafiğinin bükülme noktaları ve dışbükeylik aralıkları Word'deki çözümün tasarımı ile. İki değişkenli f(x1,x2) bir fonksiyonun dışbükey olup olmadığına Hess matrisi kullanılarak karar verilir.

y=

İşlev giriş kuralları:

Fonksiyon grafiğinin dışbükeylik yönü. Eğilme noktaları

Tanım: (a; b) aralığında bir y=f(x) eğrisi, bu aralığın herhangi bir noktasında teğetin üzerinde bulunuyorsa, aşağı doğru dışbükey olarak adlandırılır.

Tanım: Eğri y=f(x), (a; b) aralığında, bu aralığın herhangi bir noktasında teğetin altındaysa yukarı doğru dışbükey olarak adlandırılır.

Tanım: Fonksiyon grafiğinin dışbükey yukarı veya aşağı olduğu aralıklara, fonksiyonun grafiğinin dışbükeylik aralıkları denir.

y=f(x) fonksiyonunun grafiği olan eğrinin aşağı veya yukarı doğru konveksitesi, ikinci türevinin işareti ile karakterize edilir: eğer f''(x) > 0 aralığında ise, o zaman eğri dışbükeydir. bu aralıkta aşağı doğru; eğer f''(x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Tanım: y=f(x) fonksiyonunun grafiğinin bu grafiğin zıt yönlerinin dışbükeylik aralıklarını ayıran noktasına bükülme noktası denir.

Yalnızca ikinci türden kritik noktalar, bükülme noktaları olarak hizmet edebilir; ikinci türev f''(x)'in kaybolduğu veya kırıldığı y = f(x) fonksiyonunun alanına ait noktalar.

y = f(x) fonksiyon grafiğinin bükülme noktalarını bulma kuralı

1. İkinci türevi f''(x) bulun.
2. y=f(x) fonksiyonunun ikinci türünün kritik noktalarını bulun, yani. f''(x)'in kaybolduğu veya kırıldığı nokta.
3. Bulunan kritik noktaların f(x) fonksiyonunun tanım kümesini böldüğü aralıklarda ikinci türev f''(x)'in işaretini araştırın. Bu durumda, kritik nokta x 0, zıt yönlerin dışbükeylik aralıklarını ayırırsa, x 0, fonksiyonun grafiğinin bükülme noktasının apsisidir.
4. Bükülme noktalarında fonksiyon değerlerini hesaplayın.

Örnek 1 . Aşağıdaki eğrinin dışbükeylik boşluklarını ve bükülme noktalarını bulun: f(x) = 6x 2 –x 3 .
Çözüm: f '(x) = 12x - 3x 2 , f ''(x) = 12 - 6x'i bulun.
12-6x=0 denklemini çözerek ikinci türevin kritik noktalarını bulalım. x=2 .


f(2) = 6*2 2 - 2 3 = 16
Cevap: x∈(2; +∞) için fonksiyon yukarı doğru dışbükeydir; x∈(-∞; 2) için fonksiyon aşağı doğru dışbükeydir; bükülme noktası (2;16) .

Örnek 2. Fonksiyonun bükülme noktaları var mı: f(x)=x 3 -6x 2 +2x-1

Örnek 3. Fonksiyon grafiğinin dışbükey ve dışbükey olduğu aralıkları bulun: f(x)=x 3 -6x 2 +12x+4