Basit logaritmik denklemler nasıl çözülür? Logaritmik denklemler

Logaritmik denklemler. Basitten karmaşığa.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Logaritmik denklem nedir?

Bu logaritmalı bir denklemdir. Şaşırdım, değil mi?) O zaman açıklığa kavuşturacağım. Bu bilinmeyenlerin (x'lerin) ve onlarla ifadelerin bulunduğu bir denklemdir Logaritmaların içinde. Ve sadece orada! Bu önemli.

İşte bazı örnekler logaritmik denklemler:

günlük 3 x = günlük 3 9

günlük 3 (x 2 -3) = günlük 3 (2x)

log x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Peki, anlıyorsun... )

Not! X'li en çeşitli ifadeler bulunur yalnızca logaritmalar dahilinde. Eğer aniden denklemin bir yerinde bir X belirirse dıştan, Örneğin:

log 2 x = 3+x,

bu bir denklem olacak karışık tip. Bu tür denklemlerin çözümü için açık kurallar yoktur. Şimdilik bunları dikkate almayacağız. Bu arada, logaritmaların içinde olduğu denklemler var Sadece sayılar. Örneğin:

Ne söyleyebilirim? Bununla karşılaşırsan şanslısın! Sayılarla logaritma bir miktar. Bu kadar. Böyle bir denklemi çözmek için logaritmanın özelliklerini bilmek yeterlidir. Özel kurallar bilgisi ve özellikle çözüme uyarlanmış teknikler logaritmik denklemler, burada gerekli değil.

Bu yüzden, logaritmik denklem nedir- çözdük.

Logaritmik denklemler nasıl çözülür?

Çözüm logaritmik denklemler- olay aslında çok basit değil. Yani bölümümüz dört... İlgili her türlü konu hakkında yeterli miktarda bilgi gereklidir. Ayrıca bu denklemlerin bir özelliği daha var. Ve bu özellik o kadar önemlidir ki, logaritmik denklemlerin çözümünde güvenle ana problem olarak adlandırılabilir. Bir sonraki dersimizde bu sorunu ayrıntılı olarak ele alacağız.

Şimdilik endişelenmeyin. Doğru yola gideceğiz basitten karmaşığa. Açık spesifik örnekler. Önemli olan basit şeyleri araştırmak ve bağlantıları takip etmekte tembel olmayın, onları oraya koymamın bir nedeni var... Ve her şey sizin için yoluna girecek. Mutlaka.

En temel, en basit denklemlerle başlayalım. Bunları çözmek için logaritma hakkında bir fikre sahip olmanız tavsiye edilir, ancak daha fazlası değil. Hiçbir fikrim yok logaritma, bir karar almak logaritmik denklemler - bir şekilde garip bile... Çok cesur diyebilirim).

Tek hücreli logaritmik denklemler.

Bunlar formun denklemleridir:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

Çözüm süreci herhangi bir logaritmik denklem logaritmalı bir denklemden logaritmasız bir denkleme geçişten oluşur. En basit denklemlerde bu geçiş tek adımda gerçekleştirilir. Bu yüzden en basitleridir.)

Ve bu tür logaritmik denklemlerin çözülmesi şaşırtıcı derecede kolaydır. Kendin için gör.

İlk örneği çözelim:

günlük 3 x = günlük 3 9

Bu örneği çözmek için neredeyse hiçbir şey bilmenize gerek yok, evet… Tamamen sezgi!) Neye ihtiyacımız var? özellikle bu örneği beğenmediniz mi? Ne-ne... Logaritmalardan hoşlanmıyorum! Sağ. Öyleyse onlardan kurtulalım. Örneğe yakından baktığımızda içimizde doğal bir istek doğuyor... Kesinlikle karşı konulmaz! Logaritmaları tamamen alın ve atın. Ve iyi olan şu ki Olabilmek Yapmak! Matematik izin verir. Logaritmalar kayboluyor cevap:

Harika, değil mi? Bu her zaman yapılabilir (ve yapılmalıdır). Logaritmaları bu şekilde ortadan kaldırmak, logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözmenin ana yollarından biridir. Matematikte bu işleme denir potansiyelizasyon. Elbette bu tür tasfiyelerin kuralları var ama sayıları az. Hatırlamak:

Aşağıdaki durumlarda logaritmaları korkmadan ortadan kaldırabilirsiniz:

a) aynı sayısal tabanlar

c) soldan sağa logaritmalar saftır (herhangi bir katsayı olmadan) ve muhteşem bir izolasyondadır.

Son noktaya açıklık getireyim. Denklemde diyelim ki

log 3 x = 2 log 3 (3x-1)

Logaritmalar kaldırılamaz. Sağdaki ikisi buna izin vermiyor. Katsayı, bilirsiniz... Örnekte

log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)

Denklemin kuvvetlendirilmesi de imkansızdır. Sol tarafta yalnız logaritma yoktur. İki tane var.

Kısacası denklem şu şekilde görünüyorsa ve yalnızca şu şekilde ise logaritmaları kaldırabilirsiniz:

log a (.....) = log a (.....)

Üç noktanın bulunduğu parantez içinde şunlar olabilir: herhangi bir ifade. Basit, süper karmaşık, her türden. Her neyse. Önemli olan logaritmaları ortadan kaldırdıktan sonra elimizde kalan şey daha basit bir denklem. Elbette doğrusal, ikinci dereceden, kesirli, üstel ve diğer denklemleri logaritma olmadan nasıl çözeceğinizi zaten bildiğiniz varsayılmaktadır.)

Artık ikinci örneği kolayca çözebilirsiniz:

log 7 (2x-3) = log 7 x

Aslında akılda kararlaştırılmıştır. Potansiyelleştiririz, şunu elde ederiz:

Peki çok mu zor?) Gördüğünüz gibi, logaritmik Denklemin çözümünün bir kısmı sadece logaritmaların ortadan kaldırılmasında... Ve sonra onlarsız kalan denklemin çözümü geliyor. Önemsiz bir mesele.

Üçüncü örneği çözelim:

log 7 (50x-1) = 2

Sol tarafta bir logaritma olduğunu görüyoruz:

Bu logaritmanın, sublogaritmik bir ifade elde etmek için tabanının yükseltilmesi gereken (yani yedi) bir sayı olduğunu hatırlayalım; (50x-1).

Ama bu sayı iki! Denklem'e göre. Yani:

Temelde hepsi bu. Logaritma ortadan kayboldu, Geriye zararsız bir denklem kalıyor:

Bu logaritmik denklemi yalnızca logaritmanın anlamına dayanarak çözdük. Logaritmaları ortadan kaldırmak hala daha kolay mı?) Katılıyorum. Bu arada ikiden logaritma yaparsanız bu örneği yok etme yoluyla çözebilirsiniz. Herhangi bir sayı logaritmaya dönüştürülebilir. Üstelik ihtiyacımız olan şekilde. Logaritmik denklemlerin ve (özellikle!) eşitsizliklerin çözümünde çok faydalı bir teknik.

Bir sayıdan logaritmayı nasıl çıkaracağınızı bilmiyor musunuz? Önemli değil. Bölüm 555 bu tekniği ayrıntılı olarak açıklamaktadır. Bunda ustalaşabilir ve sonuna kadar kullanabilirsiniz! Hata sayısını büyük ölçüde azaltır.

Dördüncü denklem tamamen benzer bir şekilde çözülür (tanım gereği):

Bu kadar.

Bu dersi özetleyelim. Örnekleri kullanarak en basit logaritmik denklemlerin çözümüne baktık. Bu çok önemli. Ve sadece bu tür denklemler testlerde ve sınavlarda göründüğü için değil. Gerçek şu ki, en kötü ve karmaşık denklemler bile mutlaka en basitine indirgenir!

Aslında en basit denklemler çözümün son kısmıdır herhangi denklemler. Ve bu son kısım kesinlikle anlaşılmalıdır! Ve ilerisi. Bu sayfayı sonuna kadar okuduğunuzdan emin olun. Orada bir sürpriz var...)

Artık kendimiz karar veriyoruz. Tabiri caizse iyileşelim...)

Denklemlerin kökünü (veya birden fazla varsa köklerin toplamını) bulun:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

günlük 2 (x 2 +32) = günlük 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

günlük 2 (14x) = günlük 2 7 + 2

Cevaplar (tabii ki darmadağın): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2; 16.

Ne, her şey yolunda gitmiyor mu? Olur. Merak etme! Bölüm 555, tüm bu örneklerin çözümünü açık ve ayrıntılı bir şekilde açıklamaktadır. Kesinlikle orada çözeceksin. Ayrıca faydalı pratik teknikleri de öğreneceksiniz.

Her şey yolunda gitti!? Tüm “bir tane kaldı” örnekleri?) Tebrikler!

Acı gerçeği size açıklamanın zamanı geldi. Bu örneklerin başarılı bir şekilde çözülmesi, diğer tüm logaritmik denklemlerin çözümünde başarıyı garanti etmez. Bunun gibi en basit olanları bile. Ne yazık ki.

Gerçek şu ki, herhangi bir logaritmik denklemin çözümü (en temel olanı bile!) aşağıdakilerden oluşur: iki eşit parça. Denklemin çözümü ve ODZ ile çalışma. Bir kısımda uzmanlaştık; denklemin çözümü. O kadar da zor değil Sağ?

Bu ders için DL'nin cevabı hiçbir şekilde etkilemediği örnekleri özel olarak seçtim. Ama herkes benim kadar nazik değil, değil mi?...)

Bu nedenle diğer kısma hakim olmak zorunludur. ODZ. Logaritmik denklemlerin çözümündeki temel problem budur. Ve zor olduğu için değil - bu kısım ilkinden bile daha kolay. Ama çünkü insanlar ODZ'yi unutuyorlar. Veya bilmiyorlar. Ya da her ikisi de). Ve birdenbire düşüyorlar...

Bir sonraki derste bu problemle ilgileneceğiz. O zaman güvenle karar verebilirsiniz herhangi basit logaritmik denklemler ve oldukça sağlam görevlere yaklaşma.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Logaritmik denklemler. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının B Bölümündeki problemleri ele almaya devam ediyoruz. Bazı denklemlerin çözümlerini zaten “”, “” makalelerinde incelemiştik. Bu yazıda logaritmik denklemlere bakacağız. Birleşik Devlet Sınavında bu tür denklemleri çözerken karmaşık dönüşümler olmayacağını hemen söyleyeceğim. Bunlar basit.

Temel logaritmik özdeşliği bilmek ve anlamak, logaritmanın özelliklerini bilmek yeterlidir. Lütfen çözdükten sonra bir kontrol yapmanız GEREKTİĞİNİ unutmayın; elde edilen değeri orijinal denklemde değiştirin ve hesaplayın, sonunda doğru eşitliği elde etmelisiniz.

Tanım:

Bir sayının b tabanına göre logaritması üssüdür,a'yı elde etmek için b'nin yükseltilmesi gerekir.

Örneğin:

Log 3 9 = 2, çünkü 3 2 = 9

Logaritmanın özellikleri:

Logaritmaların özel durumları:

Sorunları çözelim. İlk örnekte bir kontrol yapacağız. Gelecekte kendiniz kontrol edin.

Denklemin kökünü bulun: log 3 (4–x) = 4

log b a = x b x = a olduğuna göre, o zaman

3 4 = 4 – x

x = 4 – 81

x = – 77

Muayene:

günlük 3 (4–(–77)) = 4

günlük 3 81 = 4

3 4 = 81 Doğru.

Cevap: – 77

Kendin için karar ver:

Denklemin kökünü bulun: log 2 (4 – x) = 7

Denklem günlüğü 5'in kökünü bulun(4 + x) = 2

Temel logaritmik özdeşliği kullanıyoruz.

log a b = x b x = a olduğuna göre, o zaman

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

Muayene:

log 5 (4 + 21) = 2

günlük 5 25 = 2

5 2 = 25 Doğru.

Cevap: 21

Log 3 (14 – x) = log 3 5 denkleminin kökünü bulun.

Şöyle bir özellik meydana gelir, anlamı şudur: Denklemin sağında ve solunda aynı tabana sahip logaritmalarımız varsa bu durumda logaritmanın işaretleri altındaki ifadeleri eşitleyebiliriz.

14 – x = 5

x=9

Bir kontrol yapın.

Cevap: 9

Kendin için karar ver:

Log 5 (5 – x) = log 5 3 denkleminin kökünü bulun.

Denklemin kökünü bulun: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Eğer log c a = log c b ise a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x=6

Bir kontrol yapın.

Cevap: 6

Log 1/8 (13 – x) = – 2 denkleminin kökünü bulun.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

Bir kontrol yapın.

Küçük bir ekleme - özellik burada kullanılıyor

derece ().

Cevap: – 51

Kendin için karar ver:

Denklemin kökünü bulun: log 1/7 (7 – x) = – 2

Log 2 (4 – x) = 2 log 2 5 denkleminin kökünü bulun.

Sağ tarafı dönüştürelim. Özelliği kullanalım:

log a b m = m∙log a b

günlük 2 (4 – x) = günlük 2 5 2

Eğer log c a = log c b ise a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Bir kontrol yapın.

Cevap: – 21

Kendin için karar ver:

Denklemin kökünü bulun: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11) denklemini çözün

Eğer log c a = log c b ise a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Bir kontrol yapın.

Cevap: 2,75

Kendin için karar ver:

Log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10) denkleminin kökünü bulun.

Log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1 denklemini çözün.

Denklemin sağ tarafındaki formun bir ifadesini elde etmek gerekir:

günlük 2 (......)

1'i 2 tabanlı logaritma olarak temsil ediyoruz:

1 = günlük 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Şunu elde ederiz:

günlük 2 (2 – x) = günlük 2 2 (2 – 3x)

Eğer log c a = log c b ise a = b, o zaman

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Bir kontrol yapın.

Cevap: 0,4

Kendin için karar ver: Daha sonra karar vermeniz gerekiyor ikinci dereceden denklem. Bu arada,

kökler 6 ve –4’tür.

Kök "-4" bir çözüm değildir, çünkü logaritmanın tabanı sıfırdan büyük olmalıdır ve "– 4" eşittir " – 5". Çözüm kök 6'dır.Bir kontrol yapın.

Cevap: 6.

R kendi başına yemek ye:

Log x –5 49 = 2 denklemini çözün. Denklemin birden fazla kökü varsa, daha küçük olanla cevap verin.

Gördüğünüz gibi logaritmik denklemlerle karmaşık dönüşümler yokHAYIR. Logaritmanın özelliklerini bilmek ve uygulayabilmek yeterlidir. Birleşik Devlet Sınavında dönüşümle ilgili sorunlar logaritmik ifadeler, daha ciddi dönüşümler yapılıyor ve daha derin çözüm becerileri gerekiyor. Bu tür örneklere bakacağız, kaçırmayın!Sana başarılar diliyorum!!!

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.

Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.

Örnekler:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Logaritmik denklemler nasıl çözülür:

Logaritmik bir denklemi çözerken, onu \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) biçimine dönüştürmeye çalışmalı ve ardından \(f(x)'e geçiş yapmalısınız. )=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Örnek:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Çözüm: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) Muayene:\(10>2\) - DL için uygun Cevap:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

Çok önemli! Bu geçiş yalnızca aşağıdaki durumlarda yapılabilir:

Orijinal denklemi yazdınız ve sonunda bulunanların ODZ'ye dahil olup olmadığını kontrol edeceksiniz. Bu yapılmazsa fazladan kökler ortaya çıkabilir, bu da yanlış karar anlamına gelir.

Soldaki ve sağdaki sayı (veya ifade) aynıdır;

Sol ve sağdaki logaritmalar “saftır” yani çarpma, bölme vb. olmamalıdır. – Eşittir işaretinin her iki tarafında yalnızca tek logaritmalar.

Örneğin:

Denklem 3 ve 4'ün logaritmanın gerekli özelliklerini uygulayarak kolayca çözülebileceğini unutmayın.

Örnek . \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) denklemini çözün

Çözüm :

		ODZ'yi yazalım: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		Logaritmanın önünde solda katsayı, sağda logaritmanın toplamı bulunur. Bu bizi rahatsız ediyor. Şu özelliğe göre ikisini \(x\) üssüne taşıyalım: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Logaritmaların toplamını şu özelliğe göre bir logaritma olarak temsil edelim: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Denklemi \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) formuna indirdik ve ODZ'yi yazdık, bu da \(f(x) formuna geçebileceğimiz anlamına geliyor =g(x)\ ).
		Olmuş . Bunu çözüyoruz ve köklerini alıyoruz.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Köklerin ODZ'ye uygun olup olmadığını kontrol ediyoruz. Bunu yapmak için, \(x>0\) yerine \(x\) yerine \(5\) ve \(-5\) koyarız. Bu işlem ağızdan yapılabilir.
\(5>0\), \(-5>0\)		İlk eşitsizlik doğru, ikincisi değil. Bu, \(5\)'in denklemin kökü olduğu, ancak \(-5\)'nin olmadığı anlamına gelir. Cevabını yazıyoruz.

Cevap : \(5\)

Örnek : \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) denklemini çözün

Çözüm :

		ODZ'yi yazalım: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		kullanılarak çözülen tipik bir denklem. \(\log_2⁡x\) öğesini \(t\) ile değiştirin.
\(t=\log_2⁡x\)
		Her zamanki gibi aldık. Köklerini arıyoruz.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Ters değiştirme yapma
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Sağ tarafları logaritma olarak temsil ederek dönüştürüyoruz: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) ve \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Artık denklemlerimiz \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) olur ve \(f(x)=g(x)\)'e geçiş yapabiliriz.
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		ODZ'nin köklerinin yazışmalarını kontrol ediyoruz. Bunu yapmak için, \(x\) yerine \(x>0\) eşitsizliğinde \(4\) ve \(2\)'yi değiştirin.
\(4>0\) \(2>0\)		Her iki eşitsizlik de doğrudur. Bu, hem \(4\) hem de \(2\)'nin denklemin kökleri olduğu anlamına gelir.

Cevap : \(4\); \(2\).

Hepimiz denklemlere aşinayız birincil sınıflar. Orada ayrıca en basit örnekleri çözmeyi de öğrendik ve bunların uygulamalarını bile bulduklarını kabul etmeliyiz. yüksek Matematik. İkinci dereceden denklemler de dahil olmak üzere denklemlerle her şey basittir. Bu konu ile ilgili sorun yaşıyorsanız mutlaka incelemenizi öneririz.

Muhtemelen zaten logaritmalardan da geçmişsinizdir. Ancak henüz bilmeyenler için ne olduğunu anlatmanın önemli olduğunu düşünüyoruz. Logaritma, logaritma işaretinin sağındaki sayıyı elde etmek için tabanın yükseltilmesi gereken kuvvete eşittir. Her şeyin sizin için netleşeceği bir örnek verelim.

3'ün dördüncü üssünü çıkarırsanız 81 elde edersiniz. Şimdi sayıları benzetmeyle değiştirin ve sonunda logaritmanın nasıl çözüldüğünü anlayacaksınız. Şimdi geriye kalan tek şey tartışılan iki kavramı birleştirmektir. Başlangıçta durum son derece karmaşık görünüyor, ancak daha yakından incelendiğinde ağırlık yerine oturuyor. Bu kısa makaleden sonra Birleşik Devlet Sınavının bu bölümünde sorun yaşamayacağınızdan eminiz.

Bugün bu tür yapıları çözmenin birçok yolu var. Birleşik Devlet Sınavı görevlerinde size en basit, en etkili ve en uygulanabilir olanı anlatacağız. Logaritmik denklemlerin çözümü en baştan başlamalıdır. basit örnek. En basit logaritmik denklemler bir fonksiyon ve onun içindeki bir değişkenden oluşur.

X'in argümanın içinde olduğuna dikkat etmek önemlidir. A ve b sayı olmalıdır. Bu durumda, fonksiyonu bir sayının bir üssü cinsinden basitçe ifade edebilirsiniz. Şuna benziyor.

Elbette bu yöntemi kullanarak logaritmik bir denklem çözmek sizi doğru cevaba götürecektir. Bu durumda öğrencilerin büyük çoğunluğunun sorunu neyin nereden geldiğini anlamamalarıdır. Sonuç olarak hatalara katlanmak ve istediğiniz puanları alamamak zorunda kalıyorsunuz. En rahatsız edici hata, harfleri karıştırmanız olacaktır. Denklemi bu şekilde çözmek için bu standart okul formülünü ezberlemeniz gerekir çünkü anlaşılması zordur.

Bunu kolaylaştırmak için başka bir yönteme (kanonik form) başvurabilirsiniz. Fikir son derece basit. Dikkatinizi tekrar soruna çevirin. A harfinin bir fonksiyon veya değişken değil, bir sayı olduğunu unutmayın. A bire eşit değildir ve sıfırdan büyüktür. b'de herhangi bir kısıtlama yoktur. Şimdi tüm formüllerden birini hatırlayalım. B aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

Bundan, logaritmalı tüm orijinal denklemlerin şu şekilde temsil edilebileceği sonucu çıkar:

Artık logaritmaları bırakabiliriz. Sonuç, daha önce gördüğümüz basit bir tasarımdır.

Bu formülün rahatlığı, yalnızca en basit tasarımlar için değil, çok çeşitli durumlarda kullanılabilmesinde yatmaktadır.

OOF'u dert etmeyin!

Birçok deneyimli matematikçi tanım alanına dikkat etmediğimizi fark edecektir. Kural, F(x)'in zorunlu olarak 0'dan büyük olduğu gerçeğine dayanmaktadır. Hayır, bu noktayı gözden kaçırmadık. Şimdi kanonik formun bir başka ciddi avantajından bahsediyoruz.

Burada fazladan kök olmayacak. Bir değişken yalnızca tek bir yerde görünecekse kapsam gerekli değildir. Otomatik olarak yapılır. Bu yargıyı doğrulamak için birkaç basit örneği çözmeyi deneyin.

Farklı tabanlara sahip logaritmik denklemler nasıl çözülür?

Bunlar zaten karmaşık logaritmik denklemlerdir ve bunları çözme yaklaşımının özel olması gerekir. Burada kendimizi kötü şöhretli kanonik biçimle sınırlamak nadiren mümkündür. Haydi başlayalım detaylı hikaye. Aşağıdaki yapıya sahibiz.

Fraksiyona dikkat edin. Logaritmayı içerir. Bunu bir görevde görürseniz, ilginç bir numarayı hatırlamaya değer.

Bu ne anlama geliyor? Her logaritma, uygun bir tabana sahip iki logaritmanın bölümü olarak temsil edilebilir. Ve bu formülün bu örnekte geçerli olan özel bir durumu vardır (c=b'yi kastediyoruz).

Bu tam olarak örneğimizde gördüğümüz kesirdir. Böylece.

Esasen kesri tersine çevirdik ve daha uygun bir ifade elde ettik. Bu algoritmayı unutmayın!

Şimdi logaritmik denklemin içermemesine ihtiyacımız var farklı sebepler. Tabanı kesir olarak temsil edelim.

Matematikte bir tabandan derece elde edebileceğiniz bir kural vardır. Aşağıdaki inşaat sonuçları.

Görünüşe göre bizi şimdi ifademizi kanonik forma dönüştürmekten ve basitçe çözmekten alıkoyan ne? O kadar basit değil. Logaritma öncesinde kesir olmamalıdır. Bu durumu düzeltelim! Kesirlerin derece olarak kullanılmasına izin verilir.

Sırasıyla.

Tabanlar aynıysa logaritmaları kaldırabilir ve ifadeleri eşitleyebiliriz. Bu şekilde durum eskisinden çok daha basit hale gelecektir. Kalacak temel denklem 8. hatta 7. sınıfta her birimizin nasıl çözüleceğini bildiğimiz soru. Hesaplamaları kendiniz yapabilirsiniz.

Bu logaritmik denklemin tek gerçek kökünü elde ettik. Logaritmik denklem çözme örnekleri oldukça basit değil mi? Artık Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmak ve geçmek için en karmaşık görevleri bile bağımsız olarak halledebileceksiniz.

Sonuç nedir?

Herhangi bir logaritmik denklem durumunda, çok tek bir noktadan başlarız. önemli kural. İfadeyi maksimuma çıkaracak şekilde hareket etmek gerekiyor basit görünüm. Bu durumda, yalnızca görevi doğru bir şekilde çözmekle kalmayacak, aynı zamanda mümkün olan en basit ve en mantıklı şekilde yapma şansınız da artacaktır. Matematikçiler her zaman tam olarak böyle çalışır.

Özellikle bu durumda zor yolları aramanızı kesinlikle önermiyoruz. Birkaçını hatırla Basit kurallar, herhangi bir ifadeyi dönüştürmenize olanak tanır. Örneğin iki veya üç logaritmayı aynı tabana indirgeyin veya tabandan bir kuvvet alın ve bundan kazanın.

Logaritmik denklemleri çözmenin sürekli pratik gerektirdiğini de hatırlamakta fayda var. Yavaş yavaş daha fazlasına geçeceksiniz karmaşık yapılar ve bu sizi Birleşik Devlet Sınavındaki tüm problem çeşitlerini güvenle çözmeye yönlendirecektir. Sınavlarınıza önceden iyi hazırlanın, iyi şanslar!

Cebir 11. sınıf

Konu: “Logaritmik denklemleri çözme yöntemleri”

Dersin Hedefleri:

eğitici: hakkında bilgi oluşumu farklı yollarla logaritmik denklemleri çözme, bunları her özel duruma uygulama ve çözmek için herhangi bir yöntemi seçme becerisi;

geliştirme: gözlemleme, karşılaştırma, bilgiyi yeni bir durumda uygulama, kalıpları belirleme, genelleme becerilerini geliştirmek; karşılıklı kontrol ve öz kontrol becerilerini geliştirmek;

eğitici: eğitim çalışmalarına karşı sorumlu bir tutum geliştirmek, dersteki materyalin dikkatli algılanması, dikkatli not alma.

Ders türü: yeni materyalin tanıtılması dersi.

"Logaritmanın icadı gökbilimcinin işini azaltırken ömrünü uzattı."
Fransız matematikçi ve gökbilimci P.S. Laplace

Dersler sırasında

I. Dersin hedefini belirlemek

Logaritmanın incelenen tanımı, logaritmanın özellikleri ve logaritmik fonksiyon, logaritmik denklemleri çözmemize olanak sağlayacaktır. Tüm logaritmik denklemler, ne kadar karmaşık olursa olsun, tek tip algoritmalar kullanılarak çözülür. Bugünkü dersimizde bu algoritmalara bakacağız. Birçoğu yok. Eğer bunlara hakim olursanız, logaritmalı herhangi bir denklem her biriniz için mümkün olacaktır.

Dersin konusunu not defterinize yazın: “Logaritmik denklemleri çözme yöntemleri.” Herkesi işbirliğine davet ediyorum.

II. Referans bilgilerinin güncellenmesi

Dersin konusunu çalışmaya hazırlanalım. Her görevi çözer ve cevabını yazarsınız; koşulu yazmanıza gerek yoktur. Çiftler halinde çalışın.

1) Fonksiyon hangi x değerleri için anlamlıdır:

(Cevaplar her slaytta kontrol edilir ve hatalar sıralanır)

2) Fonksiyonların grafikleri çakışıyor mu?

3) Eşitlikleri logaritmik eşitlikler olarak yeniden yazın:

4) Sayıları 2 tabanına göre logaritma olarak yazın:

5) Hesaplayın:

6) Bu eşitliklerdeki eksik unsurları tamamlamaya veya tamamlamaya çalışın.

III. Yeni malzemeye giriş

Ekranda aşağıdaki ifade görüntülenir:

“Denklem, tüm matematik susamlarını açan altın anahtardır.”
Modern Polonyalı matematikçi S. Kowal

Logaritmik bir denklemin tanımını formüle etmeye çalışın. ( Logaritma işareti altında bilinmeyeni içeren bir denklem).

Hadi düşünelim en basit logaritmik denklem:kayıtAx = b(burada a>0, a ≠ 1). Çünkü logaritmik fonksiyon sette artar (veya azalır) pozitif sayılar ve tüm gerçek değerleri alırsa, kök teoremine göre bu denklemin herhangi bir b için yalnızca bir çözümü ve pozitif bir çözümü olduğu sonucu çıkar.

Logaritmanın tanımını hatırlayın. (Bir x sayısının a tabanına göre logaritması, x sayısını elde etmek için a tabanının yükseltilmesi gereken kuvvetin bir göstergesidir). Logaritmanın tanımından hemen şu sonuç çıkar: AV böyle bir çözümdür.

Başlığı yazın: Logaritmik denklemleri çözme yöntemleri

1. Logaritmanın tanımı gereği.

Formun en basit denklemleri bu şekilde çözülür.

Hadi düşünelim 514(a) Sayısı): Denklemi çözün

Bunu nasıl çözmeyi öneriyorsunuz? (Logaritmanın tanımı gereği)

Çözüm. , Dolayısıyla 2x - 4 = 4; x = 4.

Bu görevde 2x - 4 > 0, > 0 olduğu için yabancı kökler görünemez ve kontrol etmeye gerek yoktur. Bu görevde 2x - 4 > 0 koşulunu yazmaya gerek yoktur.

2. Potansiyelleştirme(belirli bir ifadenin logaritmasından bu ifadenin kendisine geçiş).

Hadi düşünelim 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Hangi özelliği fark ettiniz? (Tabanlar aynıdır ve iki ifadenin logaritmaları eşittir.) Ne yapılabilir? (Güçlendirin).

Logaritmik ifadelerin pozitif olduğu tüm x'ler arasında herhangi bir çözümün yer aldığı dikkate alınmalıdır.

Çözüm: ODZ:

X2+8>0 gereksiz bir eşitsizliktir

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8 x+8)

Orijinal denklemin potansiyelini artıralım

x2+8= 8x+8 denklemini elde ederiz

Hadi çözelim: x2-8x=0

Cevap: 0; 8

İÇİNDE Genel görünüm eşdeğer bir sisteme geçiş:

Denklem

(Sistem gereksiz bir koşul içeriyor - eşitsizliklerden birinin dikkate alınmasına gerek yok).

Sınıf için soru: Bu üç çözümden hangisini en çok beğendiniz? (Yöntemlerin tartışılması).

Her şekilde karar verme hakkına sahipsiniz.

3. Yeni bir değişkenin tanıtılması.

Hadi düşünelim 520(g). .

Ne fark ettin? (Bu log3x'e göre ikinci dereceden bir denklemdir) Herhangi bir öneriniz var mı? (Yeni bir değişken tanıtın)

Çözüm. ODZ: x > 0.

Diyelim ki denklem şu şekli alır:. Diskriminant D > 0. Vieta teoremine göre kökler:.

Değiştirme konusuna geri dönelim: veya.

En basit logaritmik denklemleri çözdükten sonra şunu elde ederiz:

Cevap: 27;

4. Denklemin her iki tarafının logaritması.

Denklemi çözün:.

Çözüm: ODZ: x>0, denklemin her iki tarafının 10 tabanındaki logaritmasını alın:

Bir kuvvetin logaritması özelliğini uygulayalım:

(logx + 3) logx = 4

logx = y olsun, o zaman (y + 3)y = 4

, (D > 0) kökleri Vieta teoremine göre: y1 = -4 ve y2 = 1.

Değiştirmeye geri dönelim, şunu elde ederiz: lgx = -4,; lgx = 1, .

Cevap: 0,0001; 10.

5. Tek tabana indirgeme.

523(c) sayılı. Denklemi çözün:

Çözüm: ODZ: x>0. 3. tabana geçelim.

6. Fonksiyonel-grafik yöntemi.

№ 509(d). Denklemi grafiksel olarak çözün: = 3 - x.

Nasıl çözmeyi önerirsiniz? (Noktaları kullanarak y = log2x ve y = 3 - x olmak üzere iki fonksiyonun grafiklerini oluşturun ve grafiklerin kesişme noktalarının apsisini arayın).

Slayttaki çözümünüze bakın.

Grafik yapmaktan kaçınmanın bir yolu var . Aşağıdaki gibidir : işlevlerden biri ise y = f(x) artar, diğeri y = g(x) X aralığında azalırsa denklem f(x)=g(x) X aralığında en fazla bir kökü vardır.

Bir kök varsa tahmin edilebilir.

Bizim durumumuzda fonksiyon x>0 için artar ve y = 3 - x fonksiyonu x>0 da dahil olmak üzere x'in tüm değerleri için azalır, bu da denklemin birden fazla kökü olmadığı anlamına gelir. X = 2'de denklemin gerçek bir eşitliğe dönüştüğünü unutmayın, çünkü .

« Doğru kullanım yöntemler öğrenilebilir
yalnızca bunları çeşitli örneklere uygulayarak.
Danimarkalı matematik tarihçisi G. G. Zeiten

BENV. Ev ödevi

S. 39 örnek 3'ü ele alın, çözün No. 514(b), No. 529(b), No. 520(b), No. 523(b)

V. Dersin özetlenmesi

Derste logaritmik denklemleri çözmenin hangi yöntemlerine baktık?

Sonraki derslerde daha fazlasına bakacağız karmaşık denklemler. Bunları çözmek için çalışılan yöntemler faydalı olacaktır.

Gösterilen son slayt:

“Dünyada her şeyden daha fazla olan şey nedir?
Uzay.
En akıllıca şey nedir?
Zaman.
En iyi kısmı nedir?
İstediğinizi başarın."
Thales

Herkesin istediğini elde etmesini diliyorum. İşbirliğiniz ve anlayışınız için teşekkür ederiz.