GirişRasyonel denklemler nasıl kontrol edilir? Kesirli rasyonel denklemleri çözme
"Kesirli rasyonel denklemleri çözme"
Dersin Hedefleri:
Eğitici:
- kesirli rasyonel denklemler kavramının oluşumu; kesirli rasyonel denklemleri çözmenin çeşitli yollarını düşünün; kesirin sıfıra eşit olması koşulu da dahil olmak üzere kesirli rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma düşünün; kesirli rasyonel denklemleri bir algoritma kullanarak çözmeyi öğretmek; Bir test yaparak konuya hakimiyet düzeyini kontrol etmek.
Gelişimsel:
- edinilen bilgilerle doğru şekilde çalışma ve mantıksal düşünme yeteneğini geliştirmek; entelektüel becerilerin geliştirilmesi ve zihinsel operasyonlar- analiz, sentez, karşılaştırma ve sentez; inisiyatifin geliştirilmesi, karar verme yeteneği ve orada durmamak; eleştirel düşüncenin gelişimi; araştırma becerilerinin geliştirilmesi.
Eğitim:
- yetiştirme bilişsel ilgi konuya; eğitim sorunlarının çözümünde bağımsızlığın teşvik edilmesi; Nihai sonuçlara ulaşmak için irade ve azim beslemek.
Ders türü: ders - yeni materyalin açıklaması.
Dersler sırasında
1. Organizasyon anı.
Merhaba beyler! Tahtada yazılı denklemler var, onlara dikkatlice bakın. Bu denklemlerin hepsini çözebilir misiniz? Hangileri değil ve neden?
Sol ve sağ tarafları kesirli rasyonel ifadeler olan denklemlere kesirli rasyonel denklemler denir. Bugün sınıfta ne çalışacağımızı düşünüyorsunuz? Dersin konusunu formüle edin. Öyleyse not defterlerinizi açın ve “Kesirli rasyonel denklemleri çözme” dersinin konusunu yazın.
2. Bilginin güncellenmesi. Ön anket, sınıfla sözlü çalışma.
Ve şimdi çalışmamız gereken ana teorik materyali tekrarlayacağız. yeni Konu. Lütfen gelecek soruları cevaplayın:
1. Denklem nedir? ( Bir değişken veya değişkenlerle eşitlik.)
2. 1 numaralı denklemin adı nedir? ( Doğrusal.) Doğrusal denklemleri çözmek için bir yöntem. ( Bilinmeyen olan her şeyi denklemin sol tarafına, tüm sayıları sağa taşıyın. Benzer terimler verin. Bilinmeyen faktörü bul).
3. 3 numaralı denklemin adı nedir? ( Kare.) İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri. ( Seçim tam kare formüllerle, Vieta teoremini ve sonuçlarını kullanarak.)
4. Oran nedir? ( İki oranın eşitliği.) Oranın ana özelliği. ( Oran doğruysa, aşırı terimlerin çarpımı orta terimlerin çarpımına eşittir..)
5. Denklemleri çözerken hangi özellikler kullanılır? ( 1. Bir denklemdeki terimi bir kısımdan diğerine hareket ettirirseniz, işaretini değiştirirseniz, verilene eşdeğer bir denklem elde edersiniz. 2. Denklemin her iki tarafı da sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılır veya bölünürse verilen sayıya eşdeğer bir denklem elde edilir.)
6. Bir kesir ne zaman sıfıra eşit olur? ( Pay sıfıra eşit olduğunda kesir sıfıra eşit ve payda sıfır değil.)
3. Yeni materyalin açıklanması.
2 numaralı denklemi defterlerinizde ve tahtada çözün.
Cevap: 10.
Hangi kesirli rasyonel denklem Oranın temel özelliğini kullanarak çözmeyi deneyebilir misiniz? (Numara 5).
(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)
x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6
x2-6x-x2-5x = 6-8
4 numaralı denklemi defterlerinizde ve tahtada çözün.
Cevap: 1,5.
Denklemin her iki tarafını da paydayla çarparak hangi kesirli rasyonel denklemi çözmeye çalışabilirsiniz? (No. 6).
D=1›0, x1=3, x2=4.
Cevap: 3;4.
Şimdi 7 numaralı denklemi aşağıdaki yöntemlerden birini kullanarak çözmeye çalışın.
(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5) |
|
||
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0 | |||
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0 | x2-2x-5-x-5=0 |
||
x(x-5)(x2-3x-10)=0 | |||
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0 | |||
x1=0 x2=5 D=49 | |||
Cevap: 0;5;-2. | Cevap: 5;-2. |
Bunun neden olduğunu açıklayın? Neden bir durumda üç, diğerinde iki kök var? Bu kesirli rasyonel denklemin kökleri hangi sayılardır?
Şu ana kadar öğrenciler yabancı kök kavramıyla karşılaşmadılar; bunun neden olduğunu anlamak onlar için gerçekten çok zor. Eğer sınıfta kimse bu duruma net bir açıklama getiremezse öğretmen yönlendirici sorular sorar.
- 2 ve 4 numaralı denklemlerin 5,6,7 numaralı denklemlerden farkı nedir? ( 2 ve 4 numaralı denklemlerde paydada sayılar vardır, 5-7 numaralı denklemler değişkenli ifadelerdir.) Bir denklemin kökü nedir? ( Denklemin doğru olduğu değişkenin değeri.) Bir sayının bir denklemin kökü olup olmadığını nasıl öğrenebilirim? ( Çek yap.)
Test yaparken bazı öğrenciler sıfıra bölmeleri gerektiğini fark ederler. 0 ve 5 sayılarının bu denklemin kökleri olmadığı sonucuna vardılar. Şu soru ortaya çıkıyor: Kesirli rasyonel denklemleri çözmenin, bu hatayı ortadan kaldırmamıza olanak tanıyan bir yolu var mı? Evet, bu yöntem kesrin sıfıra eşit olması şartına dayanmaktadır.
x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.
Eğer x=5 ise x(x-5)=0 olur, bu da 5'in yabancı bir kök olduğu anlamına gelir.
Eğer x=-2 ise x(x-5)≠0 olur.
Cevap: -2.
Kesirli rasyonel denklemleri bu şekilde çözmek için bir algoritma oluşturmaya çalışalım. Çocuklar algoritmayı kendileri formüle ederler.
Kesirli rasyonel denklemleri çözmek için algoritma:
1. Her şeyi sol tarafa taşıyın.
2. Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin.
3. Bir sistem oluşturun: pay sıfıra eşit olduğunda ve payda sıfıra eşit olmadığında kesir sıfıra eşittir.
4. Denklemi çözün.
5. Yabancı kökleri hariç tutmak için eşitsizliği kontrol edin.
6. Cevabı yazın.
Tartışma: Oranın temel özelliğini kullanırsanız ve denklemin her iki tarafını ortak bir paydayla çarparsanız çözümü nasıl resmileştirirsiniz? (Çözüme şunu ekleyin: ortak paydayı ortadan kaldıranları köklerinden çıkarın).
4. Yeni materyalin ilk kez anlaşılması.
Çiftler halinde çalışın. Öğrenciler denklem türüne bağlı olarak denklemi nasıl çözeceklerini kendileri seçerler. “Cebir 8” ders kitabından ödevler, 2007: No. 000 (b, c, i); 000(a, d, g). Öğretmen görevin tamamlanmasını izler, ortaya çıkan soruları yanıtlar ve düşük performans gösteren öğrencilere yardım sağlar. Kendi kendine test: cevaplar tahtaya yazılır.
b) 2 – yabancı kök. Cevap: 3.
c) 2 – yabancı kök. Cevap: 1.5.
a) Cevap: -12.5.
g) Cevap: 1;1.5.
5. Ödev verme.
2. Kesirli rasyonel denklemlerin çözümü için algoritmayı öğrenin.
3. 000 (a, d, e) numaralı defterlerde çözün; 000(g, h).
4. No. 000(a)'yı (isteğe bağlı) çözmeye çalışın.
6. Çalışılan konuyla ilgili bir kontrol görevinin tamamlanması.
İş kağıt parçaları üzerinde yapılır.
Örnek görev:
A) Denklemlerden hangileri kesirli rasyoneldir?
B) Bir kesirin payı ______________________ ve paydası _______________________ olduğunda sıfıra eşittir.
Soru) -3 sayısı 6 numaralı denklemin kökü müdür?
D) 7 numaralı denklemi çözün.
Görev için değerlendirme kriterleri:
- Öğrenci görevin %90'ından fazlasını doğru tamamlamışsa “5” verilir. “4” - %75-%89 “3” - %50-%74 “2”, görevin %50'sinden azını tamamlayan öğrenciye verilir. Dergide 2 notu verilmemektedir, 3 opsiyoneldir.
7. Yansıma.
Bağımsız çalışma sayfalarına şunu yazın:
- 1 – eğer ders sizin için ilginç ve anlaşılırsa; 2 – ilginç ama net değil; 3 – ilginç değil ama anlaşılır; 4 – ilginç değil, net değil.
8. Dersi özetlemek.
Bugün derste kesirli rasyonel denklemlerle tanıştık, bu denklemlerin nasıl çözüleceğini öğrendik Farklı yollar, bilgilerini bir eğitimle test ettiler bağımsız iş. Bir sonraki derste bağımsız çalışmanızın sonuçlarını öğreneceksiniz ve evde bilginizi pekiştirme fırsatına sahip olacaksınız.
Size göre kesirli rasyonel denklemleri çözmenin hangi yöntemi daha kolay, daha erişilebilir ve daha rasyoneldir? Kesirli rasyonel denklemleri çözme yöntemi ne olursa olsun, neyi hatırlamanız gerekir? Kesirli rasyonel denklemlerin “kurnazlığı” nedir?
Herkese teşekkürler, ders bitti.
\(\bullet\) Rasyonel bir denklem \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] biçiminde temsil edilen bir denklemdir; burada \(P(x), \Q(x)\ ) - polinomlar (çeşitli kuvvetlerdeki “X”lerin toplamı, çeşitli sayılarla çarpılır).
Denklemin sol tarafındaki ifadeye rasyonel ifade denir.
ODZ (bölge kabul edilebilir değerler) rasyonel bir denklemin tüm \(x\) değerleridir ve paydanın kaybolmadığı, yani \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) Örneğin denklemler \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] rasyonel denklemlerdir.
İlk olarak ODZ denklemi– bunların hepsi \(x\) öyle ki \(x\ne 3\) (yaz \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); ikinci denklemde – bunların hepsi \(x\) öyle ki \(x\ne -1; x\ne 1\) (yaz \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); ve üçüncü denklemde ODZ üzerinde herhangi bir kısıtlama yoktur, yani ODZ'nin tamamı \(x\)'dir (\(x\in\mathbb(R)\) yazarlar). \(\bullet\) Teoremler:
1) İki faktörün çarpımı ancak ve ancak biri sıfıra eşitse ve diğeri anlamını yitirmiyorsa sıfıra eşittir, dolayısıyla \(f(x)\cdot g(x)=0\ denklemi ) sisteme eşdeğerdir \[\begin(cases) \left[ \begin(toplandı)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(aligned) \end(toplandı) \right.\\ \ text(ODZ denklemleri)\end(durumlar)\] 2) Bir kesir ancak ve ancak pay sıfıra eşitse ve payda sıfıra eşit değilse sıfıra eşittir, bu nedenle denklem \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) bir denklem sistemine eşdeğerdir \[\begin(case) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(case)\]\(\bullet\) Birkaç örneğe bakalım.
1) \(x+1=\dfrac 2x\) denklemini çözün. Bu denklemin ODZ'sini bulalım - bu \(x\ne 0\)'dir (çünkü \(x\) paydadadır).
Bu, ODZ'nin şu şekilde yazılabileceği anlamına gelir: .
Tüm terimleri tek bir parçaya taşıyalım ve ortak bir paydaya getirelim: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( vakalar) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(vakalar)\] Sistemin ilk denkleminin çözümü \(x=-2, x=1\) olacaktır. Her iki kökün de sıfır olmadığını görüyoruz. Bu nedenle cevap şudur: \(x\in \(-2;1\)\) .
2) Denklemi çözün \(\left(\dfrac4x - 2\right)\cdot (x^2-x)=0\). Bu denklemin ODZ'sini bulalım. \(x\)'in sol tarafının anlam taşımadığı tek değerinin \(x=0\) olduğunu görüyoruz. Yani ODZ şu şekilde yazılabilir: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Dolayısıyla bu denklem sisteme eşdeğerdir:
\[\begin(cases) \left[ \begin(toplandı)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(toplandı) \right. \\ x\ne 0 \end(case) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(case) \left[ \begin(toplanan)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(aligned) \end(toplandı) \right.\\ x\ne 0 \end(case) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(case) \left[ \begin(toplandı)\begin(aligned) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(hizalanmış) \end(toplandı) \right.\\ x\ne 0 \end(case) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(toplandı) \begin(aligned) &x=2\\ &x=1 \end(aligned) \end(gathered) \right.\] Aslında, \(x=0\) ikinci faktörün kökü olmasına rağmen, orijinal denklemde \(x=0\) yerine koyarsanız bu bir anlam ifade etmeyecektir çünkü \(\dfrac 40\) ifadesi tanımlanmadı.
Dolayısıyla bu denklemin çözümü \(x\in \(1;2\)\)'dir.
3) Denklemi çözün \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\] Denklemimizde \(4x^2-1\ne 0\) , buradan \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) yani \(x\ne -\frac12; \frac12 \).
Tüm terimleri sola taşıyıp ortak bir paydaya getirelim:
\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow \quad \begin(case) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(case) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(case) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(case) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(toplanan) \begin( hizalanmış) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(hizalanmış)\end(toplandı) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(case) \quad \ Solsağ ok \quad x=-3\)
Cevap: \(x\in \(-3\)\) .
Yorum. Cevap sonlu bir sayı kümesinden oluşuyorsa, önceki örneklerde gösterildiği gibi bunlar küme parantezleri içinde noktalı virgüllerle ayrılmış olarak yazılabilir.
Matematikte Birleşik Devlet Sınavı'nda her yıl rasyonel denklem çözmeyi gerektiren problemlerle karşılaşılmaktadır, bu nedenle sertifika sınavını geçmeye hazırlanırken mezunların bu konudaki teoriyi mutlaka kendi başlarına tekrarlamaları gerekmektedir. Mezunlar hem temel hem de profil düzeyi sınav. Teoriye hakim olmak ve konuyla ilgili pratik alıştırmalarla ilgilenmek “ Rasyonel denklemler", öğrenciler herhangi bir sayıda eylemle ilgili sorunları çözebilecek ve Birleşik Devlet Sınavını geçme sonuçlarına göre rekabetçi puanlar alacaklarına güvenebilecekler.
Shkolkovo eğitim portalını kullanarak sınava nasıl hazırlanılır?
Bazen matematik problemlerinin çözümüne ilişkin temel teoriyi tam olarak sunan bir kaynak bulmak oldukça zor olabilir. Ders kitabı elinizin altında olmayabilir. Ve gerekli formülleri bulmak bazen internette bile oldukça zor olabiliyor.
Shkolkovo eğitim portalı sizi gerekli materyali arama zorunluluğundan kurtaracak ve sertifikasyon sınavını geçmek için iyi hazırlanmanıza yardımcı olacaktır.
Uzmanlarımız “Rasyonel Denklemler” konusunda gerekli tüm teorileri en erişilebilir biçimde hazırladı ve sundu. Sunulan bilgileri inceledikten sonra öğrenciler bilgideki boşlukları doldurabileceklerdir.
Başarılı bir şekilde hazırlanmak için Mezunlar için Birleşik Devlet Sınavı Sadece “Rasyonel Denklemler” konusundaki temel teorik materyal hafızanızı tazelemek değil, aynı zamanda görevleri tamamlama pratiği yapmak da gereklidir. spesifik örnekler. “Katalog” bölümünde çok çeşitli görevler sunulmaktadır.
Sitedeki her alıştırma için uzmanlarımız bir çözüm algoritması yazmış ve doğru cevabı işaretlemiştir. Öğrenciler beceri düzeylerine bağlı olarak değişen zorluk derecelerindeki problemleri çözme pratiği yapabilirler. İlgili bölümdeki görevlerin listesi sürekli olarak desteklenmekte ve güncellenmektedir.
“Rasyonel Denklemler” konusunda teorik materyal çalışın ve problem çözme becerilerinizi geliştirin. Birleşik Devlet Sınavı testleri, çevrimiçi olarak yapılabilir. Gerekirse sunulan görevlerden herhangi biri “Favoriler” bölümüne eklenebilir. Bir lise öğrencisi, "Rasyonel Denklemler" konusundaki temel teoriyi bir kez daha tekrarladıktan sonra, gelecekte bir cebir dersinde öğretmeniyle çözümünün ilerleyişini tartışmak için probleme dönebilecek.
Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
Yukarıdaki denklemi § 7'de tanıttık. Öncelikle rasyonel ifadenin ne olduğunu hatırlayalım. Bu, doğal bir üsle toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma işlemlerini kullanan sayılar ve x değişkeninden oluşan cebirsel bir ifadedir.
Eğer r(x) rasyonel bir ifade ise r(x) = 0 denklemine rasyonel denklem denir.
Ancak pratikte biraz daha fazla kullanılması daha uygundur. geniş yorum“Rasyonel denklem” terimi: h(x) = q(x) formundaki bir denklemdir; burada h(x) ve q(x) rasyonel ifadelerdir.
Şimdiye kadar herhangi bir rasyonel denklemi çözemedik, ancak yalnızca çeşitli dönüşümler ve akıl yürütmeler sonucunda şuna indirgenen bir denklemi çözebildik: Doğrusal Denklem. Artık yeteneklerimiz çok daha büyük: yalnızca doğrusal olmayan rasyonel bir denklemi çözebileceğiz.
mu, ama aynı zamanda ikinci dereceden denklem için de.
Daha önce rasyonel denklemleri nasıl çözdüğümüzü hatırlayalım ve bir çözüm algoritması oluşturmaya çalışalım.
Örnek 1. Denklemi çözün
Çözüm. Denklemi formda yeniden yazalım.
Bu durumda, her zamanki gibi, A = B ve A - B = 0 eşitliklerinin A ve B arasındaki aynı ilişkiyi ifade etmesinden yararlanıyoruz. Bu, terimi denklemin sol tarafına taşımamızı sağladı. zıt işaret.
Denklemin sol tarafını dönüştürelim. Sahibiz
Eşitlik koşullarını hatırlayalım kesirler sıfır: ancak ve ancak iki ilişki aynı anda sağlanırsa:
1) kesrin payı sıfırdır (a = 0); 2) kesrin paydası sıfırdan farklıdır).
Denklemin (1) sol tarafındaki kesrin payını sıfıra eşitlersek şunu elde ederiz:
Yukarıda belirtilen ikinci koşulun yerine getirilip getirilmediğini kontrol etmek kalır. İlişki, denklem (1) için şu anlama gelir: . X 1 = 2 ve x 2 = 0,6 değerleri belirtilen ilişkileri karşılar ve bu nedenle denklemin (1) kökleri ve aynı zamanda verilen denklemin kökleri olarak görev yapar.
1) Denklemi forma dönüştürelim
2) Bu denklemin sol tarafını dönüştürelim:
(aynı anda paydaki işaretleri değiştirdi ve
kesirler).
Böylece verilen denklem şu şekli alır:
3) x 2 - 6x + 8 = 0 denklemini çözün. Bulun
4) Bulunan değerler için koşulun yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin 
. 4 sayısı bu şartı sağlıyor ama 2 sayısı karşılamıyor. Bu, 4'ün verilen denklemin kökü olduğu ve 2'nin yabancı bir kök olduğu anlamına gelir.
CEVAP: 4.
2. Yeni bir değişken ekleyerek rasyonel denklemleri çözme
Yeni bir değişken ekleme yöntemi size tanıdık geliyor; onu birden fazla kez kullandık. Rasyonel denklemlerin çözümünde nasıl kullanıldığını örneklerle gösterelim.
Örnek 3. x 4 + x 2 - 20 = 0 denklemini çözün.
Çözüm. Yeni bir değişken tanıtalım: y = x 2. x 4 = (x 2) 2 = y 2 olduğuna göre verilen denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:
y 2 + y - 20 = 0.
Bu - ikinci dereceden denklem bilinenleri kullanarak köklerini bulacağımız formüller; y 1 = 4, y 2 = - 5 elde ederiz.
Ancak y = x 2, bu da sorunun iki denklemin çözülmesine indirgendiği anlamına gelir:
x2 =4; x2 = -5.
Birinci denklemden ikinci denklemin köklerinin olmadığını görüyoruz.
Cevap: .
ax 4 + bx 2 +c = 0 biçimindeki bir denkleme iki ikinci dereceden denklem denir (“bi” ikidir, yani bir tür “çift ikinci dereceden” denklem). Az önce çözülen denklem tam olarak iki ikinci derecedendi. Herhangi bir iki ikinci dereceden denklem, Örnek 3'teki denklemle aynı şekilde çözülür: yeni bir y = x 2 değişkeni girin, elde edilen ikinci dereceden denklemi y değişkenine göre çözün ve ardından x değişkenine geri dönün.
Örnek 4. Denklemi çözün
Çözüm. Aynı x 2 + 3x ifadesinin burada iki kez göründüğüne dikkat edin. Bu, yeni bir değişken y = x 2 + 3x'i tanıtmanın mantıklı olduğu anlamına gelir. Bu, denklemi daha basit ve daha hoş bir biçimde yeniden yazmamıza olanak tanıyacaktır (aslında bu, yeni bir formül sunmanın amacıdır). değişken- ve kaydın basitleştirilmesi
daha net hale gelir ve denklemin yapısı daha net hale gelir):
Şimdi rasyonel bir denklemi çözmek için algoritmayı kullanalım.
1) Denklemin tüm terimlerini tek bir parçaya taşıyalım:
= 0
2) Denklemin sol tarafını dönüştürün
Böylece verilen denklemi forma dönüştürdük.
3) - 7y 2 + 29y -4 = 0 denkleminden şunu buluyoruz (siz ve ben zaten pek çok ikinci dereceden denklem çözdük, bu nedenle ders kitabında her zaman ayrıntılı hesaplamalar vermeye muhtemelen değmez).
4) Bulunan kökleri 5 (y - 3) (y + 1) koşulunu kullanarak kontrol edelim. Her iki kök de bu şartı sağlamaktadır.
Böylece yeni değişken y için ikinci dereceden denklem çözülür: 
y = x 2 + 3x ve y, belirlediğimiz gibi iki değer aldığından: 4 ve , hâlâ iki denklemi çözmemiz gerekiyor: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Birinci denklemin kökleri 1 ve -4 sayıları, ikinci denklemin kökleri ise sayılardır
Ele alınan örneklerde, yeni bir değişken ekleme yöntemi, matematikçilerin söylemeyi sevdiği gibi, duruma uygundu, yani duruma iyi bir şekilde karşılık geliyordu. Neden? Evet, çünkü aynı ifade denklemde birkaç kez açıkça ortaya çıktı ve bu ifadenin belirtilmesinin bir nedeni vardı. yeni mektup. Ancak bu her zaman gerçekleşmez; bazen yeni bir değişken yalnızca dönüşüm süreci sırasında "görünür". Bir sonraki örnekte de tam olarak bu olacak.
Örnek 5. Denklemi çözün
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Çözüm. Sahibiz
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.
Bu, verilen denklemin şu şekilde yeniden yazılabileceği anlamına gelir:
(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
Artık yeni bir değişken "ortaya çıktı": y = x 2 - 3x.
Onun yardımıyla denklem y (y + 2) = 24 ve ardından y 2 + 2y - 24 = 0 şeklinde yeniden yazılabilir. Bu denklemin kökleri 4 ve -6 sayılarıdır.
Orijinal x değişkenine dönersek, x 2 - 3x = 4 ve x 2 - 3x = - 6 olmak üzere iki denklem elde ederiz. İlk denklemden x 1 = 4, x 2 = - 1'i buluruz; ikinci denklemin kökleri yoktur.
CEVAP: 4, - 1.
“Polinomlu rasyonel denklemler” en sık karşılaşılan konulardan biridir. test görevleri Matematikte Birleşik Devlet Sınavı. Bu nedenle tekrar etmekte fayda var Özel dikkat. Pek çok öğrenci diskriminant bulma, göstergeleri sağdan sola aktarma ve denklemi ortak paydaya getirme sorunuyla karşı karşıya kalıyor ve bu nedenle bu tür görevleri tamamlamak zorluklara neden oluyor. Web sitemizdeki Birleşik Devlet Sınavına hazırlanırken rasyonel denklemleri çözmek, her türlü karmaşıklıktaki sorunlarla hızlı bir şekilde başa çıkmanıza ve testi başarıyla geçmenize yardımcı olacaktır.
Birleşik Matematik Sınavına başarıyla hazırlanmak için Shkolkovo eğitim portalını seçin!
Bilinmeyenleri hesaplama kurallarını bilmek ve doğru sonuçları kolayca elde etmek için çevrimiçi hizmetimizi kullanın. Shkolkovo portalı, hazırlık için gerekli her şeyi içeren türünün tek örneği bir platformdur. Birleşik Devlet Sınavı materyalleri. Öğretmenlerimiz her şeyi sistematize edip anlaşılır bir biçimde sundular. matematik kuralları. Ek olarak, okul çocuklarını, temeli sürekli güncellenen ve genişletilen standart rasyonel denklemleri çözme konusunda ellerini denemeye davet ediyoruz.
Teste daha etkili hazırlık için özel yöntemimizi izlemenizi ve kuralları ve çözümleri tekrarlayarak başlamanızı öneririz. basit görevler yavaş yavaş daha karmaşık olanlara geçiyoruz. Böylece mezun kendisi için en zor konuları belirleyebilecek ve bunları incelemeye odaklanabilecektir.
Bugün Shkolkovo ile son teste hazırlanmaya başlayın, sonuçların gelmesi uzun sürmeyecek! Verilenlerden en kolay örneği seçin. İfadeyi hızlı bir şekilde öğrenirseniz daha zor bir göreve geçin. Bu şekilde bilginizi matematikteki USE görevlerini uzmanlık düzeyinde çözme noktasına kadar geliştirebilirsiniz.
Eğitim yalnızca Moskova'dan mezun olanlar için değil, diğer şehirlerden gelen okul çocukları için de geçerlidir. Örneğin, günde birkaç saatinizi portalımızda çalışarak geçirin; çok yakında her türlü karmaşıklıktaki denklemlerle başa çıkabileceksiniz!