Bölünme alametleri ondan fazladır. Bilime başlayın

Belirli bir sayının başka sayılara bölünebilir olup olmadığını, gerçekte bölmeden bulmanın bazen kolay olmasını sağlayan işaretler vardır.

2'ye bölünebilen sayılara denir eşit. Sıfır sayısı aynı zamanda çift sayıları da ifade eder. Diğer tüm numaralar aranır garip:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - çift,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... - tek sayı.

Bölünebilirlik işaretleri

2'ye bölünebilme testi. Bir sayının son rakamı çift ise 2'ye bölünür. Örneğin 4376 sayısı son rakamı (6) çift olduğundan 2'ye bölünür.

3'e bölünebilme testi. Yalnızca rakamları toplamı 3'e bölünebilen sayılar 3'e bölünür. Örneğin 10815 sayısı 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 rakamlarının toplamı 3'e bölünebildiğinden 3'e bölünür.

4'e bölünebilme testleri. Bir sayının son iki rakamı sıfırsa veya 4'e bölünebilen bir sayı oluşturuyorsa 4'e bölünebilir. Örneğin, 244500 sayısı iki sıfırla bittiği için 4'e bölünebilir. 14708 ve 7524 sayıları 4'e bölünür çünkü bu sayıların son iki basamağı (08 ve 24) 4'e bölünür.

5'e bölünebilme testleri. Sonu 0 veya 5 ile biten sayılar 5'e bölünür. Örneğin 320 sayısı son rakamı 0 olduğundan 5'e bölünür.

6'ya bölünebilme testi. Bir sayı hem 2'ye hem de 3'e bölünebiliyorsa 6'ya da bölünebilir. Örneğin 912 sayısı hem 2'ye hem de 3'e bölünebildiği için 6'ya da bölünebilir.

8'e bölünebilme testleri. 8'e bölünen sayılar, son üç rakamı sıfır olan veya 8'e bölünebilen bir sayı oluşturan sayılardır. Örneğin 27000 sayısı, üç sıfırla bittiği için 8'e bölünebilir. 63128 sayısı 8'e bölünebilir çünkü son üç rakamı 8'e bölünebilen (128) sayısını oluşturur.

9'a bölünebilme testi. Yalnızca rakamları toplamı 9'a bölünebilen sayılar 9'a bölünür. Örneğin 2637 sayısı 2 + 6 + 3 + 7 = 18 rakamlarının toplamı 9'a bölünebildiğinden 9'a bölünür.

10, 100, 1000 vb. ile bölünebilme işaretleri Bir sıfır, iki sıfır, üç sıfır vb. ile biten sayılar 10, 100, 1000 vb.'ye bölünür. Örneğin 3800 sayısı 10 ve 100'e bölünür.

6. sınıfta matematik, bölünebilirlik kavramının ve bölünebilme işaretlerinin incelenmesiyle başlar. Genellikle aşağıdaki sayılarla bölünebilme kriterleriyle sınırlıdırlar:

• Açık 2 : son rakam 0, 2, 4, 6 veya 8 olmalıdır;
• Açık 3 : Sayının rakamlarının toplamı 3'e bölünmelidir;
• Açık 4 : son iki rakamın oluşturduğu sayı 4'e bölünmelidir;
• Açık 5 : son rakam 0 veya 5 olmalıdır;
• Açık 6 : sayının 2 ve 3'e bölünebilme işaretleri olması gerekir;
• Bölünebilme testi 7 sıklıkla kaçırılan;
• Ayrıca bölünebilme testi hakkında nadiren konuşurlar. 8 2 ve 4'e bölünebilme kriterlerine benzese de bir sayının 8'e bölünebilmesi için üç rakamının sonunun 8'e bölünebilmesi gerekli ve yeterlidir.
• Bölünebilme testi 9 Herkes bilir: Bir sayının rakamlarının toplamı 9'a bölünebilir olmalıdır. Ancak bu, numerologların kullandığı her türlü tarih hilesine karşı bağışıklık geliştirmez.
• Bölünebilme testi 10 muhtemelen en basiti: sayı sıfırla bitmelidir.
• Bazen altıncı sınıf öğrencilerine bölünebilme testi öğretilir. 11 . Sonuçtan, sayının çift yerlerdeki rakamlarını toplamanız, tek yerlerdeki sayıları çıkarmanız gerekir. Sonuç 11'e bölünüyorsa sayının kendisi de 11'e bölünebilir.

Şimdi 7'ye bölünebilme testine dönelim. Eğer bundan bahsederlerse bunu 13'e bölünebilme testi ile birleştirip o şekilde kullanılmasını tavsiye ediyorlar.

Bir sayı alalım. Her biri 3 basamaklı bloklara bölüyoruz (en soldaki blok bir veya 2 basamak içerebilir) ve bu blokları dönüşümlü olarak ekliyor/çıkarıyoruz.

Sonuç 7, 13 (veya 11) ile bölünebiliyorsa, sayının kendisi de 7, 13 (veya 11) ile bölünebilir.

Bu yöntem, bir takım matematik hileleri gibi 7x11x13 = 1001 gerçeğine dayanmaktadır. Ancak ne yapmalı? üç basamaklı sayılar Bölünebilirlik sorunu da bölünme olmadan çözülemez.

Evrensel bölünebilirlik testini kullanarak, bir sayının 7'ye ve diğer "uygunsuz" sayılara bölünüp bölünemeyeceğini belirlemek için nispeten basit algoritmalar oluşturmak mümkündür.

7'ye bölünebilme testi iyileştirildi
Bir sayının 7'ye bölünüp bölünmediğini kontrol etmek için sayıdan son rakamı atmanız ve bu rakamı sonuçtan iki kez çıkarmanız gerekir. Sonuç 7'ye bölünüyorsa sayının kendisi de 7'ye bölünebilir.

Örnek 1:
238 7'ye bölünebilir mi?
23-8-8 = 7. Yani 238 sayısı 7'ye tam bölünür.
Aslında 238 = 34x7

Bu eylem tekrar tekrar gerçekleştirilebilir.
Örnek 2:
65835 7'ye bölünebilir mi?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63, 7'ye bölünebilir (eğer bunu fark etmeseydik bir adım daha atabilirdik: 6-3-3 = 0 ve 0 kesinlikle 7'ye bölünebilir).

Bu, 65835 sayısının 7'ye bölünebildiği anlamına gelir.

Evrensel bölünebilme kriterine dayanarak, bölünebilme kriterlerini 4'e ve 8'e geliştirmek mümkündür.

4'e bölünebilme testi iyileştirildi
Birim sayısının yarısı artı onlar sayısının yarısı çift sayı ise sayı 4'e bölünür.

Örnek 3
52 sayısı 4'e bölünür mü?
5+2/2 = 6, sayı çifttir, yani sayı 4'e bölünür.

Örnek 4
134 sayısı 4'e bölünür mü?
3+4/2 = 5, sayı tektir, yani 134 4'e bölünemez.

8'e bölünebilme testi iyileştirildi
Yüzler sayısının iki katı, onlar sayısı ve birim sayısının yarısını toplarsanız ve sonuç 4'e bölünebilirse, sayının kendisi de 8'e bölünebilir.

Örnek 5
512 sayısı 8'e bölünür mü?
5*2+1+2/2 = 12, sayı 4'e bölünür, yani 512 8'e bölünür.

Örnek 6
1984 sayısı 8'e bölünür mü?
9*2+8+4/2 = 28, sayı 4'e bölünebilir, yani 1984 8'e bölünebilir.

12'ye bölünebilme testi- bu, 3 ve 4'e bölünebilme işaretlerinin birleşimidir. Aynı durum eş asal p ve q'nun çarpımı olan herhangi bir n için de geçerlidir. Bir sayının n'ye bölünebilmesi için (bu sayı pq,actih çarpımına eşittir, öyle ki gcd(p,q)=1), hem p hem de q'ya bölünebilir olmalıdır.

Ancak dikkatli olun! Bileşik bölünebilme kriterinin işe yaraması için bir sayının çarpanlarının aralarında asal olması gerekir. Bir sayı 2 ve 4'e bölünüyorsa 8'e de bölünebilir diyemezsiniz.

13'e bölünebilme testi iyileştirildi
Bir sayının 13'e bölünüp bölünmediğini kontrol etmek için sayıdan son rakamı çıkarıp elde edilen sonuca dört kez eklemeniz gerekir. Sonuç 13'e bölünüyorsa sayının kendisi de 13'e bölünebilir.

Örnek 7
65835 8'e bölünebilir mi?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

43 sayısı 13'e bölünmez yani 65835 sayısı 13'e bölünmez.

Örnek 8
715 13'e bölünebilir mi?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13, 13'e bölünebilir, yani 715 sayısı 13'e bölünebilir demektir.

14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28'e bölünebilme işaretleri ve asal sayıların kuvvetleri olmayan diğer bileşik sayılar 12'ye bölünebilme testlerine benzer. Bu sayıların eş asal çarpanlarına göre bölünebilirliğini kontrol ediyoruz.

• 14 için: 2 ve 7 için;
• 15 için: 3 ve 5 için;
• 18 için: 2 ve 9'da;
• 21 için: 3 ve 7'de;
• 20 için: 4'e ve 5'e (veya başka bir deyişle, son rakam sıfır olmalı ve sondan bir önceki rakam çift olmalıdır);
• 24 için: 3 ve 8 için;
• 26 için: 2 ve 13'te;
• 28 için: 4 ve 7'de.

16'ya bölünebilme için geliştirilmiş bir test.
Bir sayının 4 basamaklı sonunun 16'ya bölünebilir olup olmadığını kontrol etmek yerine, onlar basamağının 10 katının, dörtlü yüzler basamağının ve dörtlü yüzler basamağının 10 katı olan birler basamağını ekleyebilirsiniz.
binler basamağının sekiz katıyla çarpılır ve sonucun 16'ya bölünüp bölünmediği kontrol edilir.

Örnek 9
1984 sayısı 16'ya bölünür mü?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30, 16'ya bölünemez, yani 1984, 16'ya bölünemez.

Örnek 10
1526 sayısı 16'ya bölünür mü?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48, 16'ya bölünemez, yani 1526, 16'ya bölünemez.

17'ye bölünebilme için geliştirilmiş bir test.
Bir sayının 17'ye bölünüp bölünmediğini kontrol etmek için sayıdan son rakamı atmanız ve elde edilen sonuçtan bu rakamı beş kez çıkarmanız gerekir. Sonuç 13'e bölünüyorsa sayının kendisi de 13'e bölünebilir.

Örnek 11
59772 sayısı 17'ye bölünebilir mi?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0, 17'ye bölünebilir, yani 59772 sayısı 17'ye bölünebilir.

Örnek 12
4913 sayısı 17'ye bölünür mü?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17, 17'ye bölünebilir, yani 4913 sayısı 17'ye bölünebilir.

19'a bölünebilme için geliştirilmiş bir test.
Bir sayının 19'a bölünüp bölünmediğini kontrol etmek için son rakamı atıldıktan sonra kalan sayıya son rakamın iki katını eklemeniz gerekir.

Örnek 13
9044 sayısı 19'a bölünür mü?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19, 19'a bölünebilir, yani 9044 sayısı 19'a bölünebilir.

23'e bölünebilme için geliştirilmiş bir test.
Bir sayının 23'e bölünüp bölünmediğini kontrol etmek için son rakamı atıldıktan sonra kalan sayıya 7 kat artırılmış son rakamı eklemeniz gerekir.

Örnek 14
208012 sayısı 23'e bölünebilir mi?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Aslında 253'ün 23 olduğunu zaten fark etmişsinizdir.

Birçok kişi okul müfredatından bölünebilirlik belirtileri olduğunu hatırlıyor. Bu ifade, doğrudan bir aritmetik işlem gerçekleştirmeden, bir sayının belirli bir sayının katı olup olmadığını hızlı bir şekilde belirlemenize olanak tanıyan kuralları ifade eder. Bu yöntem, konumsal girişteki sayıların bir kısmı ile gerçekleştirilen eylemlere dayanmaktadır.

Birçok kişi okul müfredatından bölünebilmenin en basit işaretlerini hatırlıyor. Örneğin son rakamı çift olan tüm sayıların 2'ye bölünebilmesi gibi. Bu işaret, hatırlanması ve pratikte uygulanması en kolay olanıdır. 3'e bölme yönteminden bahsedecek olursak, çok basamaklı sayılar için bu örnekle gösterilebilecek şu kural geçerlidir. 273'ün üçün katı olup olmadığını bulmanız gerekiyor. Bunu yapmak için şu işlemi gerçekleştirin: 2+7+3=12. Ortaya çıkan toplam 3'e bölünür, dolayısıyla 273, sonuç bir tam sayı olacak şekilde 3'e bölünür.

5 ve 10'a bölünebilme işaretleri aşağıdaki gibi olacaktır. İlk durumda giriş 5 veya 0 rakamıyla, ikinci durumda ise sadece 0 rakamıyla bitecektir. Bölünmenin dördün katı olup olmadığını öğrenmek için aşağıdaki şekilde ilerleyin. Son iki rakamı izole etmek gerekir. Bunlar iki sıfır veya 4'e kalansız bölünebilen bir sayıysa, bölünen her şey bölenin katı olacaktır. Listelenen özelliklerin yalnızca ondalık sistemde kullanıldığına dikkat edilmelidir. Diğer sayı yöntemlerinde kullanılmazlar. Bu gibi durumlarda sistemin temeline bağlı olarak kendi kuralları türetilir.

6'ya bölünme işaretleri aşağıdaki gibidir. Hem 2'nin hem de 3'ün katı ise 6. Bir sayının 7'ye bölünüp bölünemeyeceğini belirlemek için notasyonundaki son rakamı ikiye katlamanız gerekir. Ortaya çıkan sonuç, son rakamı hesaba katmayan orijinal sayıdan çıkarılır. Bu kural aşağıdaki örnekte görülebilir. 364'ün katı olup olmadığını öğrenmek gerekiyor. Bunun için 4'ü 2 ile çarpıyoruz ve sonuç 8 oluyor. Daha sonra şu işlem yapılıyor: 36-8 = 28. Elde edilen sonuç 7'nin katıdır ve bu nedenle orijinal 364 sayısı 7'ye bölünebilir.

8'e bölünebilme işaretleri aşağıdaki gibidir. Bir sayının son üç rakamı sekizin katı olan bir sayı oluşturuyorsa, sayının kendisi de verilen bölene bölünebilir.

Çok basamaklı bir sayının 12'ye bölünüp bölünemeyeceğini aşağıdaki şekilde öğrenebilirsiniz. Yukarıda listelenen bölünebilme kriterlerini kullanarak, sayının 3 ve 4'ün katı olup olmadığını bulmanız gerekir. Eğer aynı anda sayının bölenleri olarak hareket edebiliyorlarsa, o zaman belirli bir temettü ile 12'ye bölme işlemini de gerçekleştirebilirsiniz. Benzer bir kural, örneğin on beş gibi diğer karmaşık sayılar için de geçerlidir. Bu durumda bölenlerin 5 ve 3 olması gerekir. Bir sayının 14'e bölünüp bölünmediğini öğrenmek için 7 ve 2'nin katı olup olmadığına bakmalısınız. Bunu aşağıdaki örnekte düşünebilirsiniz. 658'in 14'e bölünüp bölünemeyeceğini belirlemek gerekir. Girişteki son rakam çift olduğundan sayı ikinin katıdır. Daha sonra 8'i 2 ile çarpıyoruz, 16 elde ediyoruz. 65'ten 16 çıkarmamız gerekiyor. Sonuç 49, tam sayı gibi 7'ye bölünüyor. Bu nedenle 658, 14'e bölünebilir.

Bir sayının son iki basamağı 25'e bölünüyorsa sayının tamamı bu bölenin katı olacaktır. Çok basamaklı sayılar için 11'e bölünebilme işareti aşağıdaki gibi ses çıkarır. Verilen bir bölenin, notasyonundaki tek ve çift basamaklardaki rakamların toplamları arasındaki farkın katı olup olmadığını bulmak gerekir.

Sayıların bölünebilirlik işaretlerinin ve bunların bilgisinin çoğu zaman sadece matematikte değil aynı zamanda matematikte de bulunan birçok problemi büyük ölçüde basitleştirdiği unutulmamalıdır. Gündelik Yaşam. Bir sayının diğerinin katı olup olmadığını belirleyerek çeşitli görevleri hızlı bir şekilde tamamlayabilirsiniz. Ayrıca bu yöntemlerin matematik derslerinde kullanılması öğrencilerin veya okul çocuklarının gelişimine yardımcı olacak ve belirli yeteneklerin geliştirilmesine katkı sağlayacaktır.

Bölünebilme işaretlerini incelemeye devam ediyoruz. Bu makalede tartışılmaktadır 4'e bölünebilme testi. Öncelikle formülasyonu verilmiş ve kullanım örnekleri verilmiştir. Aşağıda 4'e bölünebilme testinin ispatı gösterilmektedir. Sonuç olarak, birebir ifadenin değeri olarak verilen sayıların 4'e bölünebilirliğinin kanıtlanmasına olanak tanıyan yaklaşımlar ele alınmıştır.

Sayfada gezinme.

4'e bölünebilme testi, örnekler

Belirli bir sayının 4'e bölünüp bölünmediğini kontrol etmenin en kolay yolu doğrudan bölme işlemi yapmaktır; tek basamaklı sayılardan yalnızca 4 ve 8, 4'e bölünebilir. İki rakamı böl doğal sayı 4 de zor değil (sözlü bölmede bile). Örneğin, 24:4 = 6 olduğundan 24, 4'e kalansız bölünebilir ve 83:4 = 20 (kalan 3) olduğundan 83 4'e bölünemez (gerekirse ve makalelerine bakın). Ancak bir sayı ne kadar çok basamak içeriyorsa, bölme işlemi o kadar "hoş olmayan" olur.

Belirli bir çok basamaklı sayının bölünebilirliğini daha kolay kontrol etmek için, 4'e bölünebilme testi, belirli bir sayının 4'e bölünebilme yeteneği açısından yapılan çalışmayı, tek değerli veya bir sayının bölünebilirliğinin test edilmesine indirger çift ​​haneli sayı. Bu özelliğin formülasyonunu verelim. a sayısının gösterimindeki son iki rakamdan oluşan sayı (göründükleri sıraya göre) 4'e bölünebilirse, a tamsayısı 4'e bölünebilir; oluşan sayı 4'e bölünemiyorsa a sayısı 4'e bölünmez.

Hadi düşünelim 4'e bölünebilme testinin kullanımına örnekler.

Örnek.

−98,028, 7,612 ve 999,888,777 sayılarından hangisi 4'e bölünebilir?

Çözüm.

4'e bölünebilme testini kullanalım.

Son iki rakamı -98,028, 28 sayısını verir, 28 sayısı 4'e bölündüğü için (28:4=7), -98,028 sayısı 4'e bölünür.

7612 sayısının son iki rakamı 12 sayısını oluşturur ve 12 sayısı 4'e bölünür (12:4=3), dolayısıyla 7612 sayısı 4'e bölünür.

Son olarak 999.888.777 sayısının son iki rakamı 77 sayısını verir, çünkü 77 4'e bölünemediğinden (77:4 = 19 (geri kalan 1)) orijinal sayı 4'e bölünemez.

Cevap:

−98,028 ve 7,612.

Sayı kaydındaki son iki rakam örneğin 01, 02, 03, ..., 09 ise 4'e bölünebilme testi nasıl uygulanır? Bu durumlarda soldaki 0 ​​rakamının atılması gerekir, bundan sonra geriye kalan tek şey tek haneli sayı 1 , 2 , 3 , …, 9 .

Örnek.

75.003 ve −88.108 sayıları 4'e bölünebilir mi?

Çözüm.

75.003 sayısının girişindeki son iki haneye bakalım - 03'ü görüyoruz, soldaki sıfırı atıyoruz ve 3 sayısını elde ediyoruz. 3, 4'e bölünemediğinden, 4'e bölünebilirliğe dayanarak 75.003'ün 4'e bölünemeyeceği sonucuna varabiliriz.

Benzer şekilde −88 108 sayısının son iki rakamı 8 sayısını oluşturur ve 8 4'e bölünebildiği için −88 108 sayısı 4'e de bölünebilir.

Cevap:

75.003 4'e bölünemez, ancak -88.108 bölünebilir.

Ayrı olarak, sağdaki ardışık iki rakamın (veya daha fazlasının) sıfır olduğu gösterimde sayılar hakkında da söylemek gerekir. Bu sayılara örnek verelim: 100, 893.900, 40.000, 373.002.000 vb. Bu tür sayılar 4'e bölünür. Bunu meşrulaştıralım.

100 sayısı 4'e bölünür. Gerçekten 100:4=25. girişi iki sıfırla biten herhangi bir a tamsayısını a 1 100 çarpımı olarak temsil etmenize olanak tanır; burada sağdaki girişte iki sıfır atılırsa a sayısından a 1 sayısı elde edilir. Örneğin, 588,300=5,883·100 ve 30,000=300·100. Ve a 1 100 çarpımı 4'e bölünebilir, çünkü 4'e bölünebilen bir 100 çarpanı içerir (bölünebilirlik özelliklerine bakın). Sağında iki sıfır bulunan herhangi bir tam sayının 4'e bölünebildiği kanıtlanmıştır.

4'e bölünebilme kanıtı

4'e bölünebilirlik testini kanıtlamak için a doğal sayısının aşağıdaki temsiline ihtiyacımız var. Herhangi bir doğal sayı a=a 1 100+a 0 biçiminde temsil edilebilir; burada a 1 sayısı, gösteriminden son iki rakam çıkarıldığında a sayısından elde edilir ve a 0 sayısı son sayıya karşılık gelir. a sayısının gösterimindeki iki rakam. Örneğin, 5431=54·100+31. a sayısı tek basamaklı veya iki basamaklıysa a=a 0 olur.

Ayrıca bölünebilmenin iki özelliğine de ihtiyacımız olacak:

• Bir a tam sayısının bir b tam sayısına bölünebilmesi için a sayısının modülünün b sayısının modülüne bölünebilir olması gerekli ve yeterlidir;
• a=s+t eşitliğinde, biri hariç tüm terimler bir b tamsayısı ile bölünüyorsa, bu durumda bu terim de b'ye bölünebilir.

Artık getirebiliriz 4'e bölünebilme kanıtı ilk önce gerektiği gibi yeniden formüle ettiğimiz ve yeterli koşul 4'e bölünebilme

Teorem.

Bir a tam sayısının 4'e bölünebilmesi için a sayısının notasyonundaki son iki basamağa karşılık gelen sayının 4'e bölünebilmesi gerekli ve yeterlidir.

Kanıt.

İçin a=0 teoremi açıktır.

Diğer tamsayılar için a a pozitif bir sayıdır ve teoremden önce söylediğimiz gibi ile temsil edilebilir.

Bu makalenin ilk paragrafının sonunda a 1 100 çarpımının her zaman 4'e bölünebileceğini gösterdik. Teoremden önce verilen bölünebilme özelliklerini de dikkate alırsak aşağıdaki sonuçlara varırız.

eğer sayı a 4'e bölünüyorsa, a sayısının modülü 4'e bölünebilirse eşitlik, a 0 sayısının 4'e bölünebildiği anlamına gelir. Bu da ihtiyacı kanıtlıyor.

Öte yandan, a'nın 4'e bölünebilirliği ve eşitlikten, a modülü 4'e bölünebilir, bu da a sayısının kendisinin 4'e bölünebilirliğini ima eder. Bu da yeterliliğini kanıtlıyor.

4'e bölünebilmenin diğer durumları

Bazen bir ifadenin değeri olarak verilen bir tam sayının 4'e bölünebilirliğini kontrol etmeniz gerekir. Bu gibi durumlarda doğrudan bölünme mümkün değildir. Ayrıca 4'e bölünebilme testinin kullanılması her zaman mümkün olmamaktadır. Bu durumlarda ne yapmalı?

Ana fikir, orijinal ifadeyi, biri 4'e bölünebilen çeşitli faktörlerin çarpımına indirgemektir. Bu durumda karşılık gelen bölünebilme özelliğine dayanarak orijinal ifadenin 4'e bölünebilir olduğu sonucuna varmak mümkün olacaktır.

Bazen bu içgörüyü elde etmek yardımcı olur. Açıklığa kavuşturmak için bir örnek verelim.

Örnek.

İfadenin değeri 4'e bölünebilir mi? bazı doğal n için?

Çözüm.

9'u 8+1 olarak düşünelim ve ardından Newton'un binom formülünü kullanalım:

Ortaya çıkan çarpım 4'ün faktörünü içerdiğinden ve parantez içindeki ifade bir doğal sayı olduğundan 4'e bölünebilir. Buradan,

Cevap:

Evet.

Çoğu zaman bazı ifadelerin 4'üne bölünebilirliğini kanıtlamak mümkündür. Önceki örneğin koşulunu kullanarak bunun nasıl yapıldığını gösterelim.

Örnek.

Kanıtla herhangi bir n doğal sayısı için 4'e bölünebilir.

Çözüm.

n=1 için ifadenin değerinin olduğunu gösterelim. 4'e bölünebilir. Sahibiz ve 4, 4'e bölünebilir.

Öyleymiş gibi yapalım n=k olduğunda 4'e bölünebilir, yani 4'e bölünebildiğini varsayacağız.

Bölünebilme işaretleri ile tanışmamıza devam edelim. Şimdi çalışacağız 6'ya bölünebilme testi. Öncelikle formülünü verelim. Şimdi 6'ya bölünebilme testini kullanma örneklerine bakalım. Daha sonra 6'ya bölünebilme testini ispatlayacağız. Sonuç olarak bazı ifadelerin 6 değerine bölünebilirliğinin kanıtlandığı örnekler üzerinde duralım.

Sayfada gezinme.

6'ya bölünebilme testi, örnekler

6'ya bölünebilme testinin formülasyonu 2'ye bölünebilme işaretini ve 3'e bölünebilme işaretini birleştirir. Şöyle ki: Bir tam sayının kaydı 0, 2, 4, 6 veya 8 rakamlarından birinde bitiyorsa ve sayının kaydındaki rakamların toplamı 3'e bölünüyorsa bu sayı bölünebilir 6'ya kadar; belirtilen koşullardan en az birinin ihlal edilmesi durumunda sayı 6'ya bölünemez. Başka bir deyişle, bir tam sayı 6'ya ancak ve ancak bu sayı 2 ve 3'e bölünebilirse bölünebilir.

Yani 6'ya bölünebilme testi iki aşamada uygulanır:

• İlk aşamada sayının 2'ye bölünebilirliği kontrol edilir. Bunun için numara kaydındaki son rakam dikkate alınır. Bir sayının kaydı 2 sayısıyla bitiyorsa bu sayı 2'ye bölünebilir ve 6'ya bölünebilirliğini daha da kontrol etmek için ikinci aşamaya geçiyoruz. Sayının son rakamı 0, 2, 4, 6 veya 8'den farklı ise sayı 2'ye, yani 6'ya bölünmez.
• İkinci aşamada sayının 3'e bölünebilirliği kontrol edilir. Bunu yapmak için orijinal sayının rakamlarının toplamı hesaplanır ve 3'e bölünüp bölünemeyeceği kontrol edilir (örneğin, 3'e bölünebilme testi kullanılarak). Rakamların toplamı 3'e bölünebiliyorsa, sayı 3'e bölünebilir ve 2'ye bölünebilirliği (önceki adımda belirlenen) dikkate alındığında, sayının 6'ya bölünebildiği sonucuna varabiliriz. Asıl sayının rakamları toplamı 3'e bölünemiyorsa bu sayı 3'e bölünmez, dolayısıyla 6'ya da bölünemez.

Artık spesifik olarak bakabiliriz 6'ya bölünebilme testinin kullanımına örnekler.

Örnek.

8813 sayısı 6'ya bölünür mü?

Çözüm.

Sorulan soruyu cevaplamak için 6'ya bölünebilme testini kullanacağız. 8813 sayısı 3 ile bittiği için 8813 sayısının 6'ya bölünemediği sonucunu çıkarabiliriz.

Cevap:

HAYIR.

Örnek.

934'ü 6'ya kalansız bölmek mümkün mü?

Çözüm.

Sayı 934 sayısı 4 ile bittiği için 6'ya bölünebilmenin ilk koşulu karşılanmıştır. 934 sayısının rakamları toplamının 3'e bölünüp bölünmediğini kontrol edelim. Elimizde 9+3+4=16 var ve 16, 3'e bölünemez. Sonuç olarak, 6'ya bölünebilirlik testinin ikinci koşulu sağlanmadığı için orijinal sayı 6'ya bölünemez.

Cevap:

HAYIR.

Örnek.

-7,269,708 6'ya bölünebilir mi?

Çözüm.

Bu sayının kaydındaki son rakam 8'dir, bu da 6'ya bölünebilme testinin ilk koşulunun sağlandığı anlamına gelir. Şimdi −7 269 708 sayısının rakamlarının toplamını bulduğumuzda 7+2+6+9+7+0+8=39 elde ederiz. 39, 3'e bölünebildiğine göre (39:3=13), orijinal sayının 6'ya bölünebildiği sonucunu çıkarabiliriz.

Cevap:

Evet paylaşıyor.

Bu noktanın sonucunda, belirli bir sayının 6'ya bölünebilirliğini kontrol etmek için 6'ya bölünebilirlik testine başvurmak yerine doğrudan bölme işlemi yapabileceğinizi not ediyoruz.

6'ya bölünebilme testinin kanıtı

Hadi verelim 6'ya bölünebilme kanıtı. Kolaylık sağlamak için bu özelliğin formülasyonunu gerekli ve yeterli koşul biçiminde kullanıyoruz.

Teorem.

Bir a tam sayısının 6'ya bölünebilmesi için a sayısının 2 ve 3'e bölünebilmesi gerekli ve yeterlidir.

Kanıt.

İlk önce gerekliliği kanıtlıyoruz, yani bir a tamsayısı 6'ya bölünüyorsa, o zaman 2 ve 3'e de bölünebilir olduğunu kanıtlıyoruz.

Bunu yapmak için şu bölünebilme özelliğine ihtiyacımız var: Eğer bir a tamsayısı b'ye bölünebiliyorsa, o zaman m'nin herhangi bir tam sayı olduğu m·a çarpımı da b'ye bölünebilir.

Çünkü a 6'ya bölünebilirse, bölünebilirlik kavramı a=6·q eşitliğini yazmamıza izin verir; burada q bir tam sayıdır. Yazılı çarpımda 6 çarpanı hem 2'ye hem de 3'e bölünebilir, bu durumda yukarıdaki bölünebilme özelliğinden 6 q çarpımının hem 2'ye hem de 3'e bölünebildiği sonucu çıkar. Bu da ihtiyacı kanıtlıyor.

6'ya bölünebilme testinin tam olarak kanıtlanabilmesi için geriye yeterliliğin kanıtlanması kalıyor. Bir a tamsayısının 2 ve 3'e bölünebilmesi durumunda 6'ya da bölünebileceğini kanıtlayalım.

Burada Aritmetiğin Temel Teoremi makalesindeki teoreme ihtiyacımız olacak. Formülasyonu şu şekildedir: Eğer birden fazla pozitif tamsayı faktörün çarpımı bir p asal numarasına bölünebiliyorsa, o zaman en az bir faktör p'ye bölünebilir.

a tam sayısı 2'ye bölünebildiğinden, a=2·q şeklinde bir q tam sayısı vardır. Ancak a=2·q tamsayısı da 3'e bölünebilir, dolayısıyla 2·q'nun 3'e bölünebilmesi gerekir. 2, 3'e bölünemediğinden, yukarıda belirtilen teorem uyarınca q'nun 3'e bölünebilmesi gerekir. O zaman q=3·q 1 olacak şekilde bir q 1 tamsayı vardır. Bu nedenle, a=2·q=2·3·q 1 =6·q 1. Ortaya çıkan eşitlikten a sayısının 6'ya bölünebildiği sonucu çıkar. Bu da yeterliliğini kanıtlıyor.

6'ya bölünebilmenin diğer durumları

Bu bölümde, bir değişkenin belirli bir değeri için belirli bir değerin 6'ya bölünebilirliğini kanıtlamanın yollarına odaklanacağız. Bu durumlarda (tamsayı açıkça belirtilmediğinde), doğrudan bölme ve 6'ya bölünebilirlik testinin uygulanması çoğu zaman imkansızdır, dolayısıyla çözüme farklı bir yaklaşıma ihtiyaç vardır.

Yaklaşımlardan biri şu ifadeye dayanmaktadır: Eğer bir çarpımdaki tamsayı faktörlerden biri belirli bir sayıya bölünüyorsa, o zaman çarpımın tamamı bu sayıya bölünebilir. Yani, verilen bir ifade, çarpanlardan birinin 6'ya bölünebildiği bir çarpım şeklinde sunulursa, bu, orijinal ifadenin 6'ya bölünebilirliğini kanıtlayacaktır. Bir çalışma biçiminde sunum yöntemlerini tartışmaya devam ediyor.

Bazen belirli bir ifadeyi istenen ürün biçiminde temsil etmenize olanak tanır. Bir örneğe bakalım.

Örnek.

Bir n doğal sayısı için ifadenin değeri 6'ya bölünebilir mi?

Çözüm.

Sayı 7, 6+1'in toplamına eşittir, dolayısıyla . Şimdi Newton'un binom formülünü uyguluyoruz ve ardından gerekli dönüşümleri gerçekleştiriyoruz:

Böylece 6'nın çarpanını içerdiği için 6'ya bölünebilen bir çarpıma ulaştık ve parantez içindeki ifadenin değeri herhangi bir n doğal sayısı için bir doğal sayıdır (çünkü doğal sayıların toplamı ve çarpımı bir doğal sayıdır) ). Bu nedenle herhangi bir doğal n için orijinal ifadenin değeri 6'ya bölünebilir.

Cevap:

Evet.

İfade bir polinom olarak verilirse bazen çarpanı 6'ya bölünebilen bir çarpım elde etmek mümkündür. Bundan sonra ortaya çıkan açılımda n değişkenine n=6·m, n=6·m+1, n=6·m+2, …, n=6·m+5 değerleri verilir, burada m bir tamsayıdır. Bu tür her n için bölünebilirlik gösterilirse, bu, herhangi bir n tamsayısı için orijinal ifadenin 6'ya bölünebilirliğini kanıtlayacaktır.

Örnek.

Herhangi bir n tamsayısı için ifadenin değerinin 6'ya bölünebileceğini kanıtlayın.

Çözüm.

Bu ifadenin çarpanlarına ayrılması şu şekildedir: .

Şu tarihte: n=6 m elimizde . Ortaya çıkan çarpım 6 faktörünü içerir, dolayısıyla herhangi bir m tamsayısı için 6'ya bölünebilir.