3 noktayı kullanan bir düzlemin denklemi. Bir düzlemin segmentlerdeki denklemi. Kesişen çizgiler arasındaki mesafenin hesaplanması

Uzaydaki herhangi üç noktadan tek bir düzlemin çizilebilmesi için bu noktaların aynı doğru üzerinde bulunmaması gerekir.

Genel Kartezyen koordinat sisteminde M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) noktalarını düşünün.

Rastgele bir M(x, y, z) noktasının M 1, M 2, M 3 noktalarıyla aynı düzlemde yer alması için, vektörlerin eş düzlemli olması gerekir.

(
) = 0

Böylece,

Üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi:

İki noktası ve düzleme eşdoğrusal bir vektörü verilen bir düzlemin denklemi.

M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) noktaları ve vektör verilsin
.

Verilen M 1 ve M 2 noktalarından ve vektöre paralel rastgele bir M (x, y, z) noktasından geçen bir düzlem için bir denklem oluşturalım .

Vektörler
ve vektör
eş düzlemli olmalıdır, yani

(
) = 0

Düzlem denklemi:

Bir nokta ve iki vektör kullanılarak bir düzlemin denklemi,

düzlemle eşdoğrusaldır.

İki vektör verilsin
Ve
, eşdoğrusal düzlemler. Daha sonra düzleme ait rastgele bir M(x, y, z) noktası için vektörler
eş düzlemli olmalıdır.

Düzlem denklemi:

Bir düzlemin noktaya ve normal vektöre göre denklemi .

Teorem. Uzayda bir M noktası verilirse 0 (X 0 , sen 0 , z 0 ), daha sonra M noktasından geçen düzlemin denklemi 0 normal vektöre dik (A, B, C) şu forma sahiptir:

A(X – X 0 ) + B(sen – sen 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Kanıt. Düzleme ait rastgele bir M(x, y, z) noktası için bir vektör oluştururuz. Çünkü vektör normal vektör ise düzleme diktir ve dolayısıyla vektöre diktir
. Daha sonra skaler çarpım

= 0

Böylece düzlemin denklemini elde ederiz

Teorem kanıtlandı.

Bir düzlemin segmentlerdeki denklemi.

Genel denklemde Ax + Bi + Cz + D = 0 ise her iki tarafı da (-D)'ye böleriz

,

değiştirme
, düzlemin denklemini segmentler halinde elde ederiz:

a, b, c sayıları sırasıyla düzlemin x, y, z eksenleriyle kesişme noktalarıdır.

Vektör formunda bir düzlemin denklemi.

Nerede

- geçerli noktanın yarıçap vektörü M(x, y, z),

Orijinden bir düzleme dik doğrultuda düşen bir birim vektör.

,  ve  bu vektörün x, y, z eksenleriyle oluşturduğu açılardır.

p bu dikin uzunluğudur.

Koordinatlarda bu denklem şöyle görünür:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Bir noktadan bir düzleme olan mesafe.

Rastgele bir M 0 (x 0, y 0, z 0) noktasından Ax+By+Cz+D=0 düzlemine olan mesafe:

Örnek. P(4; -3; 12) noktasının orijinden bu düzleme bırakılan dikmenin tabanı olduğunu bilerek düzlemin denklemini bulun.

Yani A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, formülü kullanıyoruz:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Örnek.İki P(2; 0; -1) noktasından geçen bir düzlemin denklemini bulun ve

Q(1; -1; 3) 3x + 2y – z + 5 = 0 düzlemine dik.

3x + 2y – z + 5 = 0 düzlemine normal vektör
İstenilen düzleme paralel.

Şunu elde ederiz:

Örnek. A(2, -1, 4) noktalarından geçen düzlemin denklemini bulun ve

B(3, 2, -1) düzleme dik X + en + 2z – 3 = 0.

Düzlemin gerekli denklemi şu şekildedir: A X+B sen+C z+ D = 0, bu düzleme normal vektör (A, B, C). Vektör
(1, 3, -5) düzlemine aittir. Bize verilen istenilen düzleme dik olan düzlem normal bir vektöre sahiptir (1, 1, 2). Çünkü A ve B noktaları her iki düzleme de aittir ve düzlemler karşılıklı olarak diktir, bu durumda

Yani normal vektör (11, -7, -2). Çünkü A noktası istenen düzleme aitse, koordinatları bu düzlemin denklemini karşılamalıdır, yani. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Toplamda uçağın denklemini elde ederiz: 11 X - 7sen – 2z – 21 = 0.

Örnek. P(4, -3, 12) noktasının orijinden bu düzleme bırakılan dikmenin tabanı olduğunu bilerek düzlemin denklemini bulun.

Normal vektörün koordinatlarını bulma
= (4, -3, 12). Düzlemin gerekli denklemi şu şekildedir: 4 X – 3sen + 12z+ D = 0. D katsayısını bulmak için P noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyarız:

16 + 9 + 144 + Ç = 0

Toplamda gerekli denklemi elde ederiz: 4 X – 3sen + 12z – 169 = 0

Örnek. Verilenler piramidin köşelerinin koordinatları A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

A 1 A 2 kenarının uzunluğunu bulun.

A 1 A 2 ve A 1 A 4 kenarları arasındaki açıyı bulun.

A 1 A 4 kenarı ile A 1 A 2 A 3 yüzü arasındaki açıyı bulun.

İlk önce A 1 A 2 A 3 yüzüne normal vektörü buluyoruz Nasıl vektör çarpımı vektörler
Ve
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Normal vektör ile vektör arasındaki açıyı bulalım
.

-4 – 4 = -8.

Vektör ile düzlem arasında istenilen açı   = 90 0 - 'ye eşit olacaktır.

A 1 A 2 A 3 yüzünün alanını bulun.

Piramidin hacmini bulun.

A 1 A 2 A 3 düzleminin denklemini bulun.

Üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi için formülü kullanalım.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Bilgisayar sürümünü kullanırken “ Yüksek matematik kursu Yukarıdaki örneği piramidin köşelerinin herhangi bir koordinatı için çözecek bir program çalıştırabilirsiniz.

Programı başlatmak için simgeye çift tıklayın:

Açılan program penceresinde piramidin köşelerinin koordinatlarını girin ve Enter tuşuna basın. Bu sayede tüm karar noktaları tek tek elde edilebilmektedir.

Not: Programı çalıştırmak için, MapleV Sürüm 4'ten başlayarak herhangi bir sürümdeki Maple programının ( Waterloo Maple Inc.) bilgisayarınıza kurulu olması gerekir.

Bu makale, üç boyutlu uzayda belirli bir çizgiye dik olarak belirli bir noktadan geçen bir düzlem için denklemin nasıl oluşturulacağı hakkında bir fikir vermektedir. Tipik problemlerin çözümü örneğini kullanarak verilen algoritmayı analiz edelim.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Belirli bir çizgiye dik olarak uzayda belirli bir noktadan geçen bir düzlemin denklemini bulma

İçinde üç boyutlu bir uzay ve O x y z dikdörtgen koordinat sistemi verilsin. M1 noktası (x 1, y 1, z 1), a doğrusu ve M1 noktasından a doğrusuna dik geçen α düzlemi de verilmiştir. α düzleminin denklemini yazmak gerekir.

Bu problemi çözmeye başlamadan önce, 10-11. sınıflar için müfredattaki geometri teoremini hatırlayalım:

Tanım 1

Üç boyutlu uzayda belirli bir noktadan, belirli bir düz çizgiye dik olan tek bir düzlem geçer.

Şimdi başlangıç ​​noktasından geçen ve verilen doğruya dik olan bu tek düzlemin denklemini nasıl bulacağımıza bakalım.

Bir düzlemin genel denklemini, bu düzleme ait bir noktanın koordinatlarının yanı sıra düzlemin normal vektörünün koordinatları da biliniyorsa yazmak mümkündür.

Problemin koşulları bize α düzleminin geçtiği M1 noktasının x 1, y 1, z 1 koordinatlarını verir. α düzleminin normal vektörünün koordinatlarını belirlersek gerekli denklemi yazabileceğiz.

α düzleminin normal vektörü, sıfırdan farklı olduğundan ve a çizgisi üzerinde, α düzlemine dik olduğundan, a çizgisinin herhangi bir yön vektörü olacaktır. Böylece, α düzleminin normal vektörünün koordinatlarını bulma problemi, a düz çizgisinin yönlendirici vektörünün koordinatlarını belirleme problemine dönüştürülür.

Düz çizgi a'nın yön vektörünün koordinatlarının belirlenmesi farklı yöntemlerle gerçekleştirilebilir: bu, başlangıç ​​koşullarında düz çizgi a'nın belirtilmesi seçeneğine bağlıdır. Örneğin, eğer problem ifadesindeki düz çizgi a, şu formdaki kanonik denklemlerle veriliyorsa

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

veya formun parametrik denklemleri:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

o zaman düz çizginin yön vektörü a x, a y ve a z koordinatlarına sahip olacaktır. Düz çizgi a'nın iki M 2 (x 2, y 2, z 2) ve M 3 (x 3, y 3, z 3) noktasıyla temsil edilmesi durumunda, yön vektörünün koordinatları şu şekilde belirlenecektir: ( x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

Tanım 2

Belirli bir çizgiye dik olarak belirli bir noktadan geçen bir düzlemin denklemini bulma algoritması:

A düz çizgisinin yön vektörünün koordinatlarını belirliyoruz: bir → = (a x, a y, a z) ;

α düzleminin normal vektörünün koordinatlarını, a düz çizgisinin yönlendirici vektörünün koordinatları olarak tanımlarız:

n → = (A , B , C) , burada A = a x, B = a y, C = a z;

M 1 (x 1, y 1, z 1) noktasından geçen ve normal vektöre sahip düzlemin denklemini yazıyoruz n → = (A, B, C) A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 formunda. Bu, uzayda belirli bir noktadan geçen ve belirli bir çizgiye dik olan bir düzlemin gerekli denklemi olacaktır.

Düzlemin sonuçta ortaya çıkan genel denklemi şöyledir: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0, parçalar halindeki düzlemin denklemini veya düzlemin normal denklemini elde etmeyi mümkün kılar.

Yukarıda elde edilen algoritmayı kullanarak birkaç örneği çözelim.

örnek 1

Düzlemin içinden geçtiği bir M 1 (3, - 4, 5) noktası verilmiştir ve bu düzlem O z koordinat çizgisine diktir.

Çözüm

O z koordinat çizgisinin yön vektörü, k ⇀ = (0, 0, 1) koordinat vektörü olacaktır. Bu nedenle düzlemin normal vektörü (0, 0, 1) koordinatlarına sahiptir. Normal vektörü koordinatları (0, 0, 1) olan belirli bir M 1 (3, - 4, 5) noktasından geçen bir düzlemin denklemini yazalım:

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Cevap: z – 5 = 0 .

Bu sorunu çözmenin başka bir yolunu düşünelim:

Örnek 2

O z çizgisine dik olan bir düzlem, C z + D = 0, C ≠ 0 formundaki tamamlanmamış bir genel düzlem denklemiyle verilecektir. C ve D değerlerini belirleyelim: uçağın belirli bir noktadan geçtiği değerler. Bu noktanın koordinatlarını C z + D = 0 denkleminde yerine koyarsak şunu elde ederiz: C · 5 + D = 0. Onlar. sayılar, C ve D - D C = 5 ilişkisi ile ilişkilidir. C = 1 alarak D = - 5 elde ederiz.

Bu değerleri C z + D = 0 denkleminde yerine koyalım ve O z düz çizgisine dik olan ve M 1 (3, - 4, 5) noktasından geçen bir düzlemin gerekli denklemini elde edelim.

Şöyle görünecektir: z – 5 = 0.

Cevap: z – 5 = 0 .

Örnek 3

Orijinden geçen ve x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2 doğrusuna dik olan bir düzlemin denklemini yazın

Çözüm

Problemin koşullarına bağlı olarak, belirli bir doğrunun yön vektörünün, belirli bir düzlemin normal vektörü n → olarak alınabileceği ileri sürülebilir. Böylece: n → = (- 3 , - 7 , 2) . O (0, 0, 0) noktasından geçen ve normal vektörü n → = (- 3, - 7, 2) olan bir düzlemin denklemini yazalım:

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Belirli bir doğruya dik koordinatların orijininden geçen bir düzlemin gerekli denklemini elde ettik.

Cevap:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Örnek 4

Üç boyutlu uzayda dikdörtgen bir koordinat sistemi O x y z verilmiştir, içinde iki A (2, - 1, - 2) ve B (3, - 2, 4) noktası vardır. α düzlemi A noktasından A B doğrusuna dik olarak geçer. α düzlemi için segmentler halinde bir denklem oluşturmak gerekir.

Çözüm

α düzlemi A B doğrusuna diktir, bu durumda A B → vektörü α düzleminin normal vektörü olacaktır. Bu vektörün koordinatları, B (3, - 2, 4) ve A (2, - 1, - 2) noktalarının karşılık gelen koordinatları arasındaki fark olarak tanımlanır:

Bir B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ Bir B → = (1 , - 1 , 6)

Düzlemin genel denklemi şu şekilde yazılacaktır:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Şimdi düzlemin gerekli denklemini parçalar halinde oluşturalım:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Cevap:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Ayrıca, belirli bir noktadan geçen ve iki noktaya dik bir düzlemin denkleminin yazılması gereken problemlerin de mevcut olduğunu belirtmek gerekir. verilen uçaklar. Genel olarak bu problemin çözümü, belirli bir çizgiye dik olarak belirli bir noktadan geçen bir düzlem için bir denklem oluşturmaktır, çünkü kesişen iki düzlem düz bir çizgiyi tanımlar.

Örnek 5

Dikdörtgen bir koordinat sistemi O x y z verilmiştir, içinde bir M 1 (2, 0, - 5) noktası vardır. a düz çizgisi boyunca kesişen 3 x + 2 y + 1 = 0 ve x + 2 z – 1 = 0 iki düzlemin denklemleri de verilmiştir. M1 noktasından a düz çizgisine dik geçen bir düzlem için denklem oluşturmak gerekir.

Çözüm

a düz çizgisinin yönlendirici vektörünün koordinatlarını belirleyelim. Hem n → (1, 0, 2) düzleminin normal vektörü n 1 → (3, 2, 0)'e hem de x + 2 z - düzleminin 3 x + 2 y + 1 = 0 normal vektörüne diktir. 1 = 0 düzlem.

Daha sonra, yönlendirici vektör α → a doğrusu olarak, n 1 → ve n 2 → vektörlerinin vektör çarpımını alırız:

a → = n 1 → × n 2 → = ben → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 ben → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Böylece n → = (4, - 6, - 2) vektörü a doğrusuna dik olan düzlemin normal vektörü olacaktır. Düzlemin gerekli denklemini yazalım:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Cevap: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Bu materyalde, aynı düz çizgi üzerinde yer almayan üç farklı noktanın koordinatlarını bildiğimiz takdirde bir düzlemin denklemini nasıl bulacağımıza bakacağız. Bunu yapmak için üç boyutlu uzayda dikdörtgen koordinat sisteminin ne olduğunu hatırlamamız gerekir. Başlamak için bu denklemin temel prensibini tanıtacağız ve belirli problemleri çözmek için onu tam olarak nasıl kullanacağımızı göstereceğiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Öncelikle şuna benzeyen bir aksiyomu hatırlamamız gerekiyor:

Tanım 1

Üç nokta birbiriyle çakışmıyorsa ve aynı çizgide yer almıyorsa, üç boyutlu uzayda bunlardan yalnızca bir düzlem geçer.

Yani koordinatları çakışmayan ve bir doğru ile birbirine bağlanamayan üç farklı noktamız varsa o zaman bu noktadan geçen düzlemi belirleyebiliriz.

Diyelim ki dikdörtgen bir koordinat sistemimiz var. Bunu O x y z olarak gösterelim. Bağlanamayan M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) koordinatlarına sahip üç M noktası içerir düz. Bu koşullara dayanarak ihtiyacımız olan düzlemin denklemini yazabiliriz. Bu sorunu çözmek için iki yaklaşım vardır.

1. İlk yaklaşım genel düzlem denklemini kullanır. Harf formunda A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 şeklinde yazılır. Onun yardımıyla, dikdörtgen bir koordinat sisteminde, verilen ilk M 1 noktasından (x 1, y 1, z 1) geçen belirli bir alfa düzlemini tanımlayabilirsiniz. α düzleminin normal vektörünün A, B, C koordinatlarına sahip olacağı ortaya çıktı.

N'un tanımı

Normal vektörün koordinatlarını ve düzlemin geçtiği noktanın koordinatlarını bildiğimizde bu düzlemin genel denklemini yazabiliriz.

Gelecekte de buna göre ilerleyeceğiz.

Böylece problemin koşullarına göre uçağın geçmesi istenen (hatta üç) noktanın koordinatlarına sahip oluyoruz. Denklemi bulmak için normal vektörünün koordinatlarını hesaplamanız gerekir. Bunu n → olarak gösterelim.

Kuralı hatırlayalım: Belirli bir düzlemin sıfırdan farklı herhangi bir vektörü, aynı düzlemin normal vektörüne diktir. O zaman n →'nin, M 1 M 2 → ve M 1 M 3 → orijinal noktalarından oluşan vektörlere dik olacağını elde ederiz. O halde n →'yi M 1 M 2 → · M 1 M 3 → formunun bir vektör çarpımı olarak gösterebiliriz.

M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) ve M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 olduğundan (Bu eşitliklerin kanıtları, bir vektörün koordinatlarının noktaların koordinatlarından hesaplanmasına yönelik makalede verilmiştir), o zaman şu ortaya çıkıyor:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = ben → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Determinantını hesaplarsak, ihtiyacımız olan n → normal vektörün koordinatlarını elde ederiz. Artık verilen üç noktadan geçen bir düzlem için ihtiyacımız olan denklemi yazabiliriz.

2. M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), 'den geçen denklemi bulmanın ikinci yaklaşımı, vektörlerin eş düzlemliliği gibi bir kavrama dayanmaktadır.

Bir dizi M (x, y, z) noktamız varsa, dikdörtgen bir koordinat sisteminde verilen M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2) noktaları için bir düzlem tanımlarlar. , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) yalnızca M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 vektörleri durumunda → = ( ​​x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) ve M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) eş düzlemli olacaktır .

Diyagramda şöyle görünecek:

Bu, M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → vektörlerinin karışık çarpımının sıfıra eşit olacağı anlamına gelir: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , eş düzlemliliğin ana koşulu bu olduğundan: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) ve M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Ortaya çıkan denklemi koordinat biçiminde yazalım:

Determinantı hesapladıktan sonra aynı doğru üzerinde yer almayan üç nokta için ihtiyacımız olan düzlem denklemini elde edebiliriz: M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) ), M3 (x3, y3, z3) .

Ortaya çıkan denklemden, eğer problemin koşulları gerektiriyorsa, parçalar halindeki düzlemin denklemine veya düzlemin normal denklemine gidebilirsiniz.

Bir sonraki paragrafta belirttiğimiz yaklaşımların pratikte nasıl uygulandığına dair örnekler vereceğiz.

3 noktadan geçen bir düzlemin denklemini oluşturmaya yönelik problem örnekleri

Daha önce istenen denklemi bulmak için kullanılabilecek iki yaklaşım tanımlamıştık. Sorunları çözmek için bunların nasıl kullanıldığına ve her birini ne zaman seçmeniz gerektiğine bakalım.

örnek 1

M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1) koordinatlarına sahip, aynı doğru üzerinde olmayan üç nokta vardır. İçlerinden geçen düzlemin denklemini yazınız.

Çözüm

Her iki yöntemi de dönüşümlü olarak kullanıyoruz.

1. M 1 M 2 →, M 1 M 3 → ihtiyacımız olan iki vektörün koordinatlarını bulun:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Şimdi bunların vektör çarpımını hesaplayalım. Determinantın hesaplamalarını açıklamayacağız:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = ben → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Gerekli üç noktadan geçen düzlemin normal bir vektörümüz var: n → = (- 5, 30, 2) . Daha sonra, noktalardan birini, örneğin M 1 (- 3, 2, - 1) almamız ve n → = (- 5, 30, 2) vektörlü düzlemin denklemini yazmamız gerekiyor. Şunu elde ederiz: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Üç noktadan geçen bir düzlem için ihtiyacımız olan denklem budur.

2. Farklı bir yaklaşım izleyelim. Üç noktası M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) olan bir düzlemin denklemini şöyle yazalım: aşağıdaki form:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Burada sorun bildirimindeki verileri değiştirebilirsiniz. x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1 olduğundan, sonuç olarak şunu elde ederiz:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

İhtiyacımız olan denklemi bulduk.

Cevap:- 5 x + 30 y + 2 z - 73 .

Peki ya verilen noktalar hala aynı doğru üzerindeyse ve onlar için bir düzlem denklemi oluşturmamız gerekiyorsa? Burada bu durumun tamamen doğru olmayacağını hemen söylemek gerekir. Bu noktalardan sonsuz sayıda uçak geçebildiğinden tek bir cevap hesaplamak mümkün değildir. Sorunun böyle bir formülasyonunun yanlışlığını kanıtlamak için böyle bir problemi ele alalım.

Örnek 2

Üç boyutlu uzayda M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1) koordinatlarına sahip üç noktanın yerleştirildiği dikdörtgen bir koordinat sistemimiz var. , 1) . İçinden geçen düzlemin denklemini oluşturmak gerekir.

Çözüm

İlk yöntemi kullanalım ve iki M 1 M 2 → ve M 1 M 3 → vektörünün koordinatlarını hesaplayarak başlayalım. Koordinatlarını hesaplayalım: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Çapraz çarpım şuna eşit olacaktır:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = ben → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ben ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → olduğundan, vektörlerimiz eşdoğrusal olacaktır (bu kavramın tanımını unuttuysanız onlar hakkındaki makaleyi tekrar okuyun). Böylece M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) başlangıç ​​noktaları aynı doğru üzerindedir ve problemimizin sonsuz sayıda sayısı vardır. seçenekler cevap.

İkinci yöntemi kullanırsak şunu elde ederiz:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Ortaya çıkan eşitlikten ayrıca verilen M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) noktalarının aynı doğru üzerinde olduğu sonucu çıkar.

Bu soruna sonsuz sayıda seçenek arasından en az bir cevap bulmak istiyorsanız şu adımları izlemeniz gerekir:

1. M 1 M 2, M 1 M 3 veya M 2 M 3 çizgisinin denklemini yazın (gerekirse bu eylemle ilgili materyale bakın).

2. M 1 M 2 düz çizgisi üzerinde olmayan bir M 4 (x 4, y 4, z 4) noktasını alın.

3. Aynı doğru üzerinde yer almayan üç farklı M 1, M 2 ve M 4 noktasından geçen bir düzlemin denklemini yazınız.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

İlk seviye

Koordinatlar ve vektörler. Kapsamlı rehber (2019)

Bu makalede, birçok geometri problemini basit aritmetiğe indirgemenizi sağlayacak bir "sihirli değnek"i tartışmaya başlayacağız. Bu "çubuk", özellikle de inşa etme konusunda emin olmadığınızda hayatınızı çok daha kolaylaştırabilir. mekansal figürler, bölümler vb. Bütün bunlar belirli bir hayal gücü ve pratik beceriler gerektirir. Burada ele almaya başlayacağımız yöntem, her türlü geometrik yapı ve akıl yürütmeden neredeyse tamamen soyutlanmanıza olanak sağlayacaktır. Yöntem denir "koordinat yöntemi". Bu yazıda aşağıdaki soruları ele alacağız:

1. Koordinat uçağı
2. Düzlemdeki noktalar ve vektörler
3. İki noktadan bir vektör oluşturma
4. Vektör uzunluğu (iki nokta arasındaki mesafe)​
5. Segmentin ortasının koordinatları
6. Vektörlerin nokta çarpımı
7. İki vektör arasındaki açı

Koordinat yöntemine neden böyle denildiğini zaten tahmin ettiğinizi düşünüyorum. Doğru, geometrik nesnelerle değil, onların sayısal özellikleriyle (koordinatlarıyla) çalıştığı için bu ismi almıştır. Geometriden cebire geçmemizi sağlayan dönüşümün kendisi de bir koordinat sisteminin tanıtılmasından ibarettir. Orijinal şekil düzse koordinatlar iki boyutludur, şekil üç boyutluysa koordinatlar üç boyutludur. Bu yazıda sadece iki boyutlu durumu ele alacağız. Ve makalenin asıl amacı size koordinat yönteminin bazı temel tekniklerini nasıl kullanacağınızı öğretmektir (bazen Birleşik Devlet Sınavının B Bölümünde planimetri ile ilgili problemleri çözerken yararlı oldukları ortaya çıkar). Bu konuyla ilgili sonraki iki bölüm, C2 problemlerini (stereometri problemi) çözme yöntemlerinin tartışılmasına ayrılmıştır.

Koordinat yöntemini tartışmaya nereden başlamak mantıklı olur? Muhtemelen koordinat sistemi kavramından. Onunla ilk karşılaştığınız zamanı hatırlayın. Bana öyle geliyor ki 7. sınıfta varoluşu öğrendiğinde doğrusal fonksiyon, Örneğin. Bunu nokta nokta inşa ettiğinizi hatırlatmama izin verin. Hatırlıyor musun? Rastgele bir sayı seçtiniz, bunu formülde yerine koydunuz ve bu şekilde hesapladınız. Örneğin, eğer, o zaman, eğer, o zaman vb. Sonunda ne elde ettiniz? Ve koordinatları olan puanlar aldınız: ve. Daha sonra bir “çapraz” (koordinat sistemi) çizdiniz, üzerinde bir ölçek seçtiniz (birim segment olarak kaç hücreye sahip olacağınız) ve elde ettiğiniz noktaları üzerinde işaretleyip bunları düz bir çizgiyle birleştirdiniz; ortaya çıkan sonuç çizgi fonksiyonun grafiğidir.

Burada size biraz daha ayrıntılı olarak anlatılması gereken birkaç nokta var:

1. Kolaylık olması açısından tek bir segment seçersiniz, böylece her şey çizime güzel ve kompakt bir şekilde sığar.

2. Eksenin soldan sağa, eksenin aşağıdan yukarıya doğru gittiği kabul edilir.

3. Dik açılarda kesişirler ve kesiştikleri noktaya orijin denir. Bir harfle belirtilir.

4. Bir noktanın koordinatlarını yazarken, örneğin, parantez içinde solda noktanın eksen boyunca ve sağda eksen boyunca koordinatları vardır. Özellikle, bu şu anlama gelir:

5. Koordinat ekseninde herhangi bir noktayı belirtmek için koordinatlarını belirtmeniz gerekir (2 sayı)

6. Eksen üzerinde yer alan herhangi bir nokta için,

7. Eksen üzerinde yer alan herhangi bir nokta için,

8. Eksene x ekseni denir

9. Eksen y ekseni olarak adlandırılır

Şimdi bir sonraki adıma geçelim: iki noktayı işaretleyin. Bu iki noktayı bir doğru parçasıyla birleştirelim. Ve sanki noktadan noktaya bir doğru parçası çiziyormuşuz gibi oku koyacağız: yani parçamızın yönlendirilmesini sağlayacağız!

Başka bir yönlü segmentin ne dendiğini hatırlıyor musunuz? Doğru, buna vektör deniyor!

Yani noktayı noktaya bağlarsak, ve başlangıç ​​A noktası olacak ve son B noktası olacak, sonra bir vektör elde ederiz. Bu inşaatı 8. sınıfta da yapmıştın, hatırladın mı?

Noktalar gibi vektörlerin de iki sayı ile gösterilebileceği ortaya çıktı: bu sayılara vektör koordinatları denir. Soru: Bir vektörün koordinatlarını bulmak için başlangıç ​​ve bitiş koordinatlarını bilmemiz sizce yeterli midir? Görünüşe göre evet! Ve bu çok basit bir şekilde yapılır:

Böylece, bir vektörde nokta başlangıç ​​ve nokta son olduğundan, vektör aşağıdaki koordinatlara sahiptir:

Örneğin, eğer öyleyse vektörün koordinatları

Şimdi bunun tersini yapalım, vektörün koordinatlarını bulalım. Bunun için neyi değiştirmemiz gerekiyor? Evet, başlangıcı ve bitişi değiştirmeniz gerekiyor: şimdi vektörün başlangıcı noktada olacak ve sonu da noktada olacak. Daha sonra:

Dikkatlice bakın, vektörler arasındaki fark nedir? Tek farkları koordinatlardaki işaretlerdir. Onlar birbirine zıttır. Bu gerçek genellikle şu şekilde yazılır:

Bazen hangi noktanın vektörün başlangıcı, hangisinin sonu olduğu açıkça belirtilmezse, vektörler ikiden fazla sayı ile gösterilir. büyük harflerle ve bir küçük harf, örneğin: , vb.

Şimdi biraz pratik kendiniz ve aşağıdaki vektörlerin koordinatlarını bulun:

Muayene:

Şimdi biraz daha zor bir problemi çözün:

Bir noktada başlangıcı olan bir vektörün co-or-di-na-you'su vardır. Abs-cis-su noktalarını bulun.

Yine de oldukça sıradan: Noktanın koordinatları olsun. Daha sonra

Sistemi vektör koordinatlarının ne olduğunun tanımına göre derledim. O halde noktanın koordinatları vardır. Apsisle ilgileniyoruz. Daha sonra

Cevap:

Vektörlerle başka neler yapabilirsiniz? Evet, hemen hemen her şey sıradan sayılarla aynıdır (bölemeyeceğiniz hariç, ancak iki şekilde çarpabilirsiniz; bunlardan birini biraz sonra burada tartışacağız)

1. Vektörler birbirine eklenebilir
2. Vektörler birbirinden çıkarılabilir
3. Vektörler sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılabilir (veya bölünebilir)
4. Vektörler birbirleriyle çarpılabilir

Tüm bu işlemlerin çok net bir geometrik temsili vardır. Örneğin, toplama ve çıkarma için üçgen (veya paralelkenar) kuralı:

Bir vektör bir sayıyla çarpıldığında veya bölündüğünde uzar, daralır veya yön değiştirir:

Ancak burada koordinatlara ne olacağı sorusuyla ilgileneceğiz.

1. İki vektörü toplarken (çıkarırken), koordinatlarını öğe öğe ekleriz (çıkarırız). Yani:

2. Bir vektörü bir sayıyla çarparken (bölerken), tüm koordinatları bu sayıyla çarpılır (bölülür):

Örneğin:

· Yüzyıldan raya eş-or-di-nat miktarını bulun.

Önce vektörlerin her birinin koordinatlarını bulalım. İkisi de aynı kökene sahiptir; başlangıç ​​noktası. Bunların sonu farklıdır. Daha sonra, . Şimdi vektörün koordinatlarını hesaplayalım, sonra ortaya çıkan vektörün koordinatlarının toplamı eşit olur.

Cevap:

Şimdi aşağıdaki sorunu kendiniz çözün:

· Vektör koordinatlarının toplamını bulun

Kontrol ediyoruz:

Şimdi şu problemi ele alalım: Koordinat düzleminde iki noktamız var. Aralarındaki mesafe nasıl bulunur? Birinci nokta ve ikincisi olsun. Aralarındaki mesafeyi ile gösterelim. Açıklık sağlamak için aşağıdaki çizimi yapalım:

Ne yaptım? Öncelikle bağlandım noktalar ve bir ayrıca bir noktadan eksene paralel bir çizgi çizdim ve bir noktadan da eksene paralel bir çizgi çizdim. Bir noktada kesişerek dikkat çekici bir şekil mi oluşturdular? Onun nesi bu kadar özel? Evet, sen ve ben neredeyse her şeyi biliyoruz dik üçgen. Elbette Pisagor teoremi. Gerekli bölüm bu üçgenin hipotenüsüdür ve bölümler bacaklardır. Noktanın koordinatları nelerdir? Evet, resimden bulmak kolaydır: Parçalar eksenlere paralel olduğundan ve sırasıyla uzunluklarını bulmak kolaydır: Parçaların uzunluklarını sırasıyla ile belirtirsek, o zaman

Şimdi Pisagor teoremini kullanalım. Bacakların uzunluklarını biliyoruz, hipotenüsü bulacağız:

Dolayısıyla iki nokta arasındaki mesafe, koordinatlardan olan farkların karelerinin toplamının köküdür. Veya - iki nokta arasındaki mesafe, onları bağlayan parçanın uzunluğudur. Noktalar arasındaki mesafenin yöne bağlı olmadığını görmek kolaydır. Daha sonra:

Buradan üç sonuç çıkarıyoruz:

İki nokta arasındaki mesafeyi hesaplama konusunda biraz pratik yapalım:

Örneğin, eğer ve arasındaki mesafe şuna eşitse:

Veya başka bir yoldan gidelim: vektörün koordinatlarını bulun

Ve vektörün uzunluğunu bulun:

Gördüğünüz gibi aynı şey!

Şimdi biraz kendiniz pratik yapın:

Görev: Belirtilen noktalar arasındaki mesafeyi bulun:

Kontrol ediyoruz:

Kulağa biraz farklı gelse de, aynı formülü kullanan birkaç problem daha var:

1. Göz kapağı uzunluğunun karesini bulun.

2. Göz kapağı uzunluğunun karesini bulun

Sanırım onlarla zorluk çekmeden başa çıktın? Kontrol ediyoruz:

1. Bu da dikkat içindir) Vektörlerin koordinatlarını daha önce bulmuştuk: . O halde vektörün koordinatları vardır. Uzunluğunun karesi şuna eşit olacaktır:

2. Vektörün koordinatlarını bulun

O zaman uzunluğunun karesi

Karmaşık bir şey yok, değil mi? Basit aritmetik, başka bir şey değil.

Aşağıdaki problemler açık bir şekilde sınıflandırılamaz; bunlar daha çok genel bilgi ve basit resimler çizme yeteneği ile ilgilidir.

1. Noktayı apsis eksenine bağlayan kesimden gelen açının sinüsünü bulun.

Ve

Burada nasıl ilerleyeceğiz? Eksen ile arasındaki açının sinüsünü bulmamız gerekiyor. Sinüs'ü nerede arayabiliriz? Bu doğru, bir dik üçgende. Peki ne yapmamız gerekiyor? Bu üçgeni inşa edin!

Noktanın koordinatları ve olduğundan, segment eşittir ve segmenttir. Açının sinüsünü bulmamız gerekiyor. Size sinüsün bir oran olduğunu hatırlatmama izin verin karşı bacak o zaman hipotenüse

Bize yapacak ne kaldı? Hipotenüsü bulun. Bunu iki şekilde yapabilirsiniz: Pisagor teoremini kullanarak (bacaklar bilinir!) veya iki nokta arasındaki mesafe formülünü kullanarak (aslında ilk yöntemle aynı şeydir!). Ben ikinci yola gideceğim:

Cevap:

Bir sonraki görev size daha da kolay görünecek. Noktanın koordinatlarında.

Görev 2. Per-pen-di-ku-lyar'ın ab-ciss eksenine indirildiği noktadan itibaren. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Bir çizim yapalım:

Bir dikmenin tabanı x eksenini (ekseni) kestiği noktadır, benim için bu bir noktadır. Şekil koordinatlara sahip olduğunu göstermektedir: . Apsisle yani “x” bileşeniyle ilgileniyoruz. O eşittir.

Cevap: .

Görev 3.Önceki problemin koşullarında, noktadan koordinat eksenlerine olan mesafelerin toplamını bulun.

Bir noktadan eksenlere olan mesafenin ne olduğunu biliyorsanız, görev genellikle basittir. Bilirsin? Umarım ama yine de hatırlatırım:

Peki, hemen yukarıdaki çizimimde zaten böyle bir dik çizgi çizmiş miydim? Hangi eksendedir? Eksene. Peki uzunluğu ne kadardır? O eşittir. Şimdi eksene kendiniz dik bir çizgi çizin ve uzunluğunu bulun. Eşit olacak değil mi? O zaman toplamları eşittir.

Cevap: .

Görev 4. Görev 2 koşullarında, apsis eksenine göre noktaya simetrik bir noktanın koordinatını bulun.

Simetrinin ne olduğu sizin için sezgisel olarak açık sanırım? Pek çok nesnede bulunur: birçok bina, masa, uçak, birçok geometrik şekil: top, silindir, kare, eşkenar dörtgen vb. Kabaca konuşursak, simetri şu şekilde anlaşılabilir: bir şekil iki (veya daha fazla) aynı yarıdan oluşur. Bu simetriye eksenel simetri denir. O halde eksen nedir? Bu tam olarak şeklin göreceli olarak eşit yarıya "kesilebileceği" çizgidir (bu resimde simetri ekseni düzdür):

Şimdi görevimize geri dönelim. Eksene göre simetrik olan bir nokta aradığımızı biliyoruz. O halde bu eksen simetri eksenidir. Bu, eksenin parçayı iki eşit parçaya keseceği bir noktayı işaretlememiz gerektiği anlamına gelir. Böyle bir noktayı kendiniz işaretlemeye çalışın. Şimdi benim çözümümle karşılaştırın:

Sizin için de aynı şekilde mi sonuçlandı? İyi! Bulunan noktanın koordinatıyla ilgileniyoruz. Eşittir

Cevap:

Şimdi söyleyin bana, birkaç saniye düşündükten sonra, A noktasına ordinatına göre simetrik olan bir noktanın apsisi ne olur? Cevabınız nedir? Doğru cevap: .

Genel olarak kural şu ​​şekilde yazılabilir:

Apsis eksenine göre bir noktaya simetrik bir noktanın koordinatları vardır:

Ordinat eksenine göre bir noktaya simetrik bir noktanın koordinatları vardır:

Eh, şimdi tamamen korkutucu görev: orijine göre noktaya simetrik olan bir noktanın koordinatlarını bulun. Önce kendin düşün, sonra çizimime bak!

Cevap:

Şimdi paralelkenar problemi:

Görev 5: Noktalar ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma olarak görünür. Bu noktada or-di'yi bulun.

Bu sorunu iki şekilde çözebilirsiniz: mantık ve koordinat yöntemi. Önce koordinat yöntemini kullanacağım, sonra size bunu nasıl farklı şekilde çözebileceğinizi anlatacağım.

Noktanın apsisinin eşit olduğu oldukça açıktır. (noktadan apsis eksenine çizilen dik üzerinde yer alır). Ordinatı bulmamız gerekiyor. Şeklimizin paralelkenar olmasından yararlanalım, bu şu anlama geliyor. İki nokta arasındaki mesafe formülünü kullanarak doğru parçasının uzunluğunu bulalım:

Noktayı eksene bağlayan dikmeyi indiriyoruz. Kesişme noktasını harfle belirteceğim.

Segmentin uzunluğu eşittir. (bu noktayı tartıştığımız yerde sorunu kendiniz bulun), sonra Pisagor teoremini kullanarak parçanın uzunluğunu bulacağız:

Bir parçanın uzunluğu tam olarak ordinatıyla çakışır.

Cevap: .

Başka bir çözüm (Sadece bunu gösteren bir resim vereceğim)

Çözüm ilerlemesi:

1. Davranış

2. Noktanın ve uzunluğun koordinatlarını bulun

3. Bunu kanıtlayın.

Bir diğeri bölüm uzunluğu sorunu:

Noktalar üçgenin üstünde görünür. Orta çizgisinin paralel uzunluğunu bulun.

Bir üçgenin orta çizgisinin ne olduğunu hatırlıyor musunuz? O zaman bu görev sizin için temeldir. Hatırlamıyorsanız hatırlatayım: Üçgenin orta çizgisi, karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştiren çizgidir. Tabana paralel ve yarısına eşittir.

Taban bir segmenttir. Uzunluğunu daha önce aramamız gerekiyordu, eşit. Daha sonra orta çizginin uzunluğu yarısı kadar büyük ve eşittir.

Cevap: .

Yorum Yap: Bu sorun, biraz sonra ele alacağımız başka bir şekilde çözülebilir.

Bu arada, işte size birkaç problem; bunlar üzerinde pratik yapın; çok basitler ama koordinat yöntemini kullanma konusunda daha iyi olmanıza yardımcı oluyorlar!

1. Noktalar tra-pe-tion'ların en üst noktasıdır. Orta çizgisinin uzunluğunu bulun.

2. Noktalar ve görünümler ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Bu noktada or-di'yi bulun.

3. Noktayı birleştirerek kesimden itibaren uzunluğu bulun ve

4. Koordinat düzleminde renkli şeklin arkasındaki alanı bulun.

5. Merkezi na-cha-le ko-or-di-nat'ta olan bir daire bu noktadan geçiyor. Onun yarıçapını bulun.

6. Çemberin yarıçapını bulun, dik açı hakkında tanımlayın-san-noy-no-ka, bir şeyin üst kısımlarının bir eş-veya -di-na-varlığı var, o kadar sorumlusunuz ki

Çözümler:

1. Bir yamuğun orta çizgisinin tabanlarının toplamının yarısına eşit olduğu bilinmektedir. Taban eşittir ve taban. Daha sonra

Cevap:

2. Bu problemi çözmenin en kolay yolu (paralelkenar kuralı) olduğunu not etmektir. Vektörlerin koordinatlarını hesaplamak zor değildir: . Vektörleri eklerken koordinatlar eklenir. Sonra koordinatları var. Vektörün orijini koordinatların olduğu nokta olduğundan nokta da bu koordinatlara sahiptir. Ordinatla ilgileniyoruz. O eşittir.

Cevap:

3. Hemen iki nokta arasındaki mesafe formülüne göre hareket ediyoruz:

Cevap:

4. Resme bakın ve gölgeli alanın hangi iki şeklin arasına sıkıştırıldığını söyleyin? İki kare arasına sıkıştırılmıştır. Daha sonra istenen şeklin alanı, büyük karenin alanından küçük olanın alanına eşittir. Küçük bir karenin kenarı noktaları birleştiren bir doğru parçası olup uzunluğu

O zaman küçük karenin alanı

Aynısını büyük bir kare için yapıyoruz: kenarı noktaları birleştiren bir segmenttir ve uzunluğu

O halde büyük karenin alanı

İstenilen şeklin alanını aşağıdaki formülü kullanarak buluyoruz:

Cevap:

5. Bir dairenin merkezi orijine sahipse ve bir noktadan geçiyorsa, yarıçapı tam olarak parçanın uzunluğuna eşit olacaktır (bir çizim yapın ve bunun neden açık olduğunu anlayacaksınız). Bu parçanın uzunluğunu bulalım:

Cevap:

6. Bir dikdörtgenin çevrelediği dairenin yarıçapının köşegeninin yarısına eşit olduğu bilinmektedir. İki köşegenden herhangi birinin uzunluğunu bulalım (sonuçta dikdörtgende bunlar eşittir!)

Cevap:

Peki her şeyin üstesinden geldin mi? Bunu anlamak çok zor olmadı değil mi? Burada tek bir kural var - görsel bir resim oluşturabilmek ve içindeki tüm verileri basitçe "okuyabilmek".

Çok az şeyimiz kaldı. Aslında tartışmak istediğim iki nokta daha var.

Bu basit sorunu çözmeye çalışalım. İki puan verelim. Doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulun. Bu sorunun çözümü şu şekildedir: Nokta istenen orta olsun, o zaman koordinatları vardır:

Yani: parçanın ortasının koordinatları = parçanın uçlarının karşılık gelen koordinatlarının aritmetik ortalaması.

Bu kural çok basittir ve genellikle öğrenciler için zorluk yaratmaz. Hangi problemlerde ve nasıl kullanıldığını görelim:

1. Kesimden-di-te veya-di-na-tu se-re-di-ny'yi bulun, noktayı bağlayın ve

2. Puanlar dünyanın zirvesi gibi görünüyor. Dia-go-na-ley'in per-re-se-che-niya'sını bul.

3. Çemberin merkezini bulun, dikdörtgen-no-ka hakkında-san-noy'u tanımlayın, bir şeyin üstleri co-or-di-na-you-sorumlu bir şekilde-ama var.

Çözümler:

1. İlk sorun tam bir klasiktir. Segmentin ortasını belirlemek için hemen ilerliyoruz. Koordinatları var. Ordinat eşittir.

Cevap:

2. Bu dörtgenin bir paralelkenar (hatta eşkenar dörtgen) olduğunu görmek kolaydır. Kenar uzunluklarını hesaplayıp birbirleriyle karşılaştırarak bunu kendiniz kanıtlayabilirsiniz. Paralelkenarlar hakkında ne biliyorum? Köşegenleri kesişme noktasına göre ikiye bölünmüştür! Evet! Peki köşegenlerin kesişme noktası nedir? Bu herhangi bir köşegenin ortasıdır! Özellikle köşegeni seçeceğim. O zaman noktanın koordinatları vardır. Noktanın ordinatı eşittir.

Cevap:

3. Dikdörtgenin çevrelediği dairenin merkezi neyle çakışmaktadır? Köşegenlerinin kesişme noktasına denk gelir. Dikdörtgenin köşegenleri hakkında ne biliyorsunuz? Eşittirler ve kesişme noktası onları ikiye böler. Görev bir öncekine indirildi. Örneğin köşegeni ele alalım. O zaman çevrel çemberin merkezi ise orta noktadır. Koordinatları arıyorum: Apsis eşittir.

Cevap:

Şimdi kendi başınıza biraz pratik yapın, kendinizi test edebilmeniz için her sorunun yanıtını vereceğim.

1. Çemberin yarıçapını bulun, üçgen açıyı tanımlayın-no-ka, bir şeyin üst kısımlarında bir co-or-di -no misters var

2. Çemberin merkezini bulun-di-te veya-di-on-noy'u, üstleri koordinatlara sahip olan üçgen-no-ka hakkında tanımlayın

3. Merkezi ab-cis eksenine değecek bir noktada olan bir çemberin yarıçapı nasıl olmalıdır?

4. Eksenin yeniden ayrıldığı noktayı ve kesme noktasını bulun, noktayı birleştirin ve

Yanıtlar:

Her şey başarılı mıydı? Bunu gerçekten umuyorum! Şimdi - son itiş. Şimdi özellikle dikkatli olun. Şimdi açıklayacağım materyal sadece Kısım B'deki koordinat yöntemindeki basit problemlerle doğrudan ilgili değil, aynı zamanda Problem C2'nin her yerinde bulunuyor.

Hangi sözlerimi henüz tutmadım? Vektörler üzerinde hangi işlemleri tanıtmaya söz verdiğimi ve hangilerini sonuçta tanıttığımı hatırlıyor musunuz? Hiçbir şeyi unutmadığıma emin misin? Unutmuş olmak! Vektör çarpımının ne anlama geldiğini açıklamayı unuttum.

Bir vektörü bir vektörle çarpmanın iki yolu vardır. Seçilen yönteme bağlı olarak farklı nitelikteki nesneler elde edeceğiz:

Çapraz çarpım oldukça akıllıca yapılmıştır. Bir sonraki makalede bunun nasıl yapılacağını ve neden gerekli olduğunu tartışacağız. Ve bunda skaler çarpıma odaklanacağız.

Bunu hesaplamamıza izin veren iki yol vardır:

Tahmin ettiğiniz gibi sonuç aynı olmalı! O halde önce ilk yönteme bakalım:

Koordinatlar aracılığıyla nokta çarpımı

Bul: - skaler çarpım için genel kabul görmüş gösterim

Hesaplama formülü aşağıdaki gibidir:

Yani skaler çarpım = vektör koordinatlarının çarpımlarının toplamı!

Örnek:

Bul-di-te

Çözüm:

Her bir vektörün koordinatlarını bulalım:

Skaler çarpımı aşağıdaki formülü kullanarak hesaplıyoruz:

Cevap:

Bakın kesinlikle karmaşık bir şey yok!

Peki, şimdi kendiniz deneyin:

· Yüzyılların skaler bir pro-iz-ve-de-nie'sini bulun ve

Becerebildin mi? Belki küçük bir yakalama fark ettiniz? Hadi kontrol edelim:

Önceki problemde olduğu gibi vektör koordinatları! Cevap: .

Koordinat olana ek olarak, skaler çarpımı hesaplamanın başka bir yolu da vardır, yani vektörlerin uzunlukları ve aralarındaki açının kosinüsü aracılığıyla:

Ve vektörleri arasındaki açıyı belirtir.

Yani skaler çarpım, vektörlerin uzunlukları ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımına eşittir.

Madem ki çok daha basit olan birinci formüle sahibiz, en azından içinde kosinüs yok, bu ikinci formüle neden ihtiyacımız var? Ve birinci ve ikinci formüllerden vektörler arasındaki açıyı nasıl bulacağımızı çıkarabilmemiz için buna ihtiyaç var!

O zaman vektörün uzunluğunun formülünü hatırlayalım!

Daha sonra bu verileri skaler çarpım formülünde değiştirirsem şunu elde ederim:

Ama başka bir şekilde:

Peki sen ve ben ne elde ettik? Artık iki vektör arasındaki açıyı hesaplamamızı sağlayan bir formülümüz var! Bazen kısa olması açısından şu şekilde de yazılır:

Yani, vektörler arasındaki açıyı hesaplamak için kullanılan algoritma aşağıdaki gibidir:

1. Koordinatlar aracılığıyla skaler çarpımı hesaplayın
2. Vektörlerin uzunluklarını bulun ve çarpın
3. 1. noktanın sonucunu 2. noktanın sonucuna bölün

Örneklerle pratik yapalım:

1. Göz kapakları ile arasındaki açıyı bulun. Cevabı grad-du-sah'ta verin.

2. Önceki problemin koşullarında vektörler arasındaki kosinüsü bulun

Haydi şunu yapalım: İlk sorunu çözmenize yardım edeceğim ve ikincisini kendiniz yapmaya çalışın! Kabul etmek? O zaman başlayalım!

1. Bu vektörler bizim eski dostlarımızdır. Skaler çarpımlarını zaten hesaplamıştık ve eşitti. Koordinatları: , . Sonra uzunluklarını buluyoruz:

Daha sonra vektörler arasındaki kosinüsü ararız:

Açının kosinüsü nedir? Burası köşe.

Cevap:

Şimdi ikinci sorunu kendiniz çözün ve sonra karşılaştırın! Çok kısa bir çözüm sunacağım:

2. Koordinatları vardır, koordinatları vardır.

Vektörler arasındaki açı olsun ve sonra

Cevap:

Sınav kağıdının B Bölümünde doğrudan vektörler ve koordinat yöntemiyle ilgili problemlerin oldukça nadir olduğunu belirtmek gerekir. Ancak C2 problemlerinin büyük çoğunluğu bir koordinat sistemi getirilerek kolayca çözülebilir. Dolayısıyla bu makaleyi, karmaşık sorunları çözmek için ihtiyaç duyacağımız oldukça akıllı yapılar yapacağımız temel olarak düşünebilirsiniz.

KOORDİNATLAR VE VEKTÖRLER. ORTALAMA SEVİYE

Sen ve ben koordinat yöntemini incelemeye devam ediyoruz. Son bölümde aşağıdakileri yapmanıza olanak tanıyan bir dizi önemli formül türettik:

1. Vektör koordinatlarını bulun
2. Bir vektörün uzunluğunu bulun (alternatif olarak: iki nokta arasındaki mesafe)
3. Vektörleri ekleyin ve çıkarın. Bunları gerçek sayıyla çarpın
4. Bir segmentin orta noktasını bulun
5. Vektörlerin nokta çarpımını hesaplayın
6. Vektörler arasındaki açıyı bulun

Elbette koordinat yönteminin tamamı bu 6 noktaya sığmıyor. Üniversitede aşina olacağınız analitik geometri gibi bir bilimin temelini oluşturur. Sorunları tek bir eyalette çözmenize olanak sağlayacak bir temel oluşturmak istiyorum. sınav. B bölümünün görevlerini ele aldık. Şimdi yüksek kaliteye geçme zamanı yeni seviye! Bu makale, koordinat yöntemine geçmenin mantıklı olacağı C2 problemlerini çözmeye yönelik bir yönteme ayrılacaktır. Bu makullük problemde neyin bulunması gerektiği ve hangi rakamın verildiği ile belirlenir. Dolayısıyla sorular şu şekildeyse koordinat yöntemini kullanırdım:

1. İki düzlem arasındaki açıyı bulun
2. Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açıyı bulun
3. İki düz çizgi arasındaki açıyı bulun
4. Bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulun
5. Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi bulun
6. Düz bir çizgiden bir düzleme olan mesafeyi bulun
7. İki çizgi arasındaki mesafeyi bulun

Problem cümlesinde verilen şekil dönen bir cisim ise (top, silindir, koni...)

Koordinat yöntemi için uygun rakamlar şunlardır:

1. Dikdörtgen paralel yüzlü
2. Piramit (üçgen, dörtgen, altıgen)

Ayrıca deneyimlerime göre için koordinat yöntemini kullanmak uygun değildir.:

1. Kesit alanlarını bulma
2. Vücut hacimlerinin hesaplanması

Ancak hemen belirtmek gerekir ki koordinat yöntemi için üç "olumsuz" durum pratikte oldukça nadirdir. Çoğu görevde kurtarıcınız olabilir, özellikle de üç boyutlu yapılar konusunda pek iyi değilseniz (ki bu bazen oldukça karmaşık olabilir).

Yukarıda listelediğim tüm rakamlar nelerdir? Artık örneğin bir kare, bir üçgen, bir daire gibi düz değiller, hacimlidirler! Buna göre iki boyutlu değil üç boyutlu bir koordinat sistemi düşünmemiz gerekiyor. Oluşturulması oldukça kolaydır: apsis ve ordinat eksenine ek olarak başka bir eksen, uygulama ekseni tanıtacağız. Şekil şematik olarak göreceli konumlarını göstermektedir:

Hepsi birbirine diktir ve koordinatların orijini diyeceğimiz bir noktada kesişirler. Daha önce olduğu gibi apsis eksenini, ordinat eksenini ve tanıtılan uygulama eksenini - göstereceğiz.

Daha önce düzlemdeki her nokta iki sayıyla (apsis ve ordinat) tanımlanıyorsa, uzaydaki her nokta zaten üç sayıyla (apsis, ordinat ve aplike) tanımlanıyordu. Örneğin:

Buna göre bir noktanın apsisi eşittir, ordinatı dır ve uygulaması dır.

Bazen bir noktanın apsisine, bir noktanın apsis eksenine izdüşümü, ordinat - bir noktanın ordinat eksenine izdüşümü ve uygulama - bir noktanın uygulama eksenine izdüşümü de denir. Buna göre bir nokta verilirse koordinatları olan bir nokta:

bir noktanın düzleme izdüşümüne denir

bir noktanın düzleme izdüşümüne denir

Doğal olarak şu soru ortaya çıkıyor: İki boyutlu durum için türetilen tüm formüller uzayda geçerli midir? Cevap evet, adil ve aynı görünüme sahipler. Küçük bir detay için. Sanırım hangisi olduğunu zaten tahmin ettiniz. Tüm formüllerde uygulama ekseninden sorumlu bir terim daha eklememiz gerekecek. Yani.

1. Eğer iki puan verilirse: , o zaman:

• Vektör koordinatları:
• İki nokta arasındaki mesafe (veya vektör uzunluğu)
• Segmentin orta noktasının koordinatları vardır

2. Eğer iki vektör verilirse: ve, o zaman:

• Bunların skaler çarpımı şuna eşittir:
• Vektörler arasındaki açının kosinüsü şuna eşittir:

Ancak uzay o kadar basit değil. Anladığınız gibi, bir koordinat daha eklemek, bu alanda "yaşayan" figürlerin yelpazesine önemli bir çeşitlilik katıyor. Ve daha fazla anlatım için, kabaca konuşursak, düz çizginin bazı "genellemelerini" tanıtmam gerekecek. Bu “genelleme” bir düzlem olacaktır. Uçak hakkında ne biliyorsun? Uçak nedir sorusunu cevaplamaya çalışın. Bunu söylemek çok zor. Ancak hepimiz sezgisel olarak bunun neye benzediğini hayal ederiz:

Kabaca söylemek gerekirse, bu uzaya sıkışmış bir tür sonsuz "çarşaftır". “Sonsuzluk”, düzlemin her yöne uzandığı, yani alanının sonsuza eşit olduğu anlaşılmalıdır. Ancak bu “uygulamalı” açıklama, uçağın yapısı hakkında en ufak bir fikir vermiyor. Ve bizimle ilgilenecek olan odur.

Geometrinin temel aksiyomlarından birini hatırlayalım:

• ikiye çeşitli noktalar Düzlemde düz bir çizgi var ve yalnızca bir tane:

Veya uzaydaki analogu:

Elbette, bir çizginin denklemini verilen iki noktadan nasıl çıkaracağınızı hatırlıyorsunuz; hiç de zor değil: eğer ilk noktanın koordinatları varsa: ve ikincisi, o zaman çizginin denklemi aşağıdaki gibi olacaktır:

Bunu 7. sınıfta almıştın. Uzayda bir çizginin denklemi şuna benzer: Bize koordinatları olan iki nokta verilse: o zaman bunlardan geçen çizginin denklemi şu şekilde olur:

Örneğin bir çizgi noktalardan geçer:

Bu nasıl anlaşılmalıdır? Bu şu şekilde anlaşılmalıdır: Koordinatları aşağıdaki sistemi sağlıyorsa, bir nokta bir çizgi üzerinde yer alır:

Doğrunun denklemiyle pek ilgilenmeyeceğiz ama en çok dikkat etmemiz gerekiyor. önemli kavram vektör düz çizgiyi yönlendiriyor. - belirli bir çizgi üzerinde veya ona paralel olan sıfırdan farklı herhangi bir vektör.

Örneğin, her iki vektör de bir düz çizginin yön vektörleridir. Bir doğru üzerinde uzanan bir nokta ve onun yön vektörü olsun. O zaman doğrunun denklemi aşağıdaki biçimde yazılabilir:

Bir kez daha söylüyorum, düz çizgi denklemiyle pek ilgilenmeyeceğim ama yön vektörünün ne olduğunu hatırlamanıza gerçekten ihtiyacım var! Tekrar: bu, bir doğru üzerinde veya ona paralel uzanan sıfırdan farklı HERHANGİ bir vektördür.

Geri çekilmek verilen üç noktaya dayalı bir düzlemin denklemi artık o kadar önemsiz değil ve genellikle bu konu kursta ele alınmıyor lise. Ama boşuna! Karmaşık sorunları çözmek için koordinat yöntemine başvurduğumuzda bu teknik hayati önem taşır. Ancak yeni bir şeyler öğrenmeye hevesli olduğunuzu varsayıyorum? Üstelik, genellikle analitik geometri derslerinde çalışılan bir tekniğin nasıl kullanılacağını zaten bildiğiniz ortaya çıktığında, üniversitedeki öğretmeninizi etkileyebileceksiniz. Öyleyse başlayalım.

Bir düzlemin denklemi, bir düzlem üzerindeki düz bir çizginin denkleminden çok farklı değildir, yani şu şekildedir:

bazı sayılar (hepsi değil) sıfıra eşit) ve değişkenler, örneğin: vb. Gördüğünüz gibi bir düzlemin denklemi düz bir çizginin denkleminden (doğrusal fonksiyon) çok farklı değildir. Ancak sen ve ben ne tartıştık hatırlıyor musun? Aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktamız varsa, o zaman düzlemin denkleminin bunlardan benzersiz bir şekilde yeniden oluşturulabileceğini söyledik. Ama nasıl? Size bunu açıklamaya çalışacağım.

Düzlemin denklemi şu olduğundan:

Ve noktalar bu düzleme aitse, her noktanın koordinatlarını düzlem denkleminde yerine koyarken doğru kimliği elde etmeliyiz:

Bu nedenle bilinmeyen üç denklemin çözülmesi gerekiyor! İkilem! Ancak bunu her zaman varsayabilirsiniz (bunu yapmak için bölmeniz gerekir). Böylece üç bilinmeyenli üç denklem elde ederiz:

Ancak böyle bir sistemi çözmeyeceğiz, ondan çıkan gizemli ifadeyi yazacağız:

Verilen üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi

\[\sol| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

Durmak! Bu nedir? Çok sıradışı bir modül! Ancak karşınızda gördüğünüz nesnenin modülle hiçbir ilgisi yoktur. Bu nesneye üçüncü dereceden determinant denir. Artık düzlemde koordinat yöntemiyle uğraştığınızda aynı determinantlarla çok sık karşılaşacaksınız. Üçüncü dereceden determinant nedir? İşin tuhafı, bu sadece bir sayı. Belirleyiciyle hangi belirli sayıyı karşılaştıracağımızı anlamak için kalır.

Önce üçüncü dereceden determinantı more'da yazalım. Genel görünüm:

Bazı numaralar nerede? Ayrıca ilk indeks ile satır numarasını, indeks ile ise sütun numarasını kastediyoruz. Örneğin bu sayının ikinci satır ile üçüncü sütunun kesişiminde olduğu anlamına gelir. Hadi giyelim sonraki soru: Böyle bir determinantı tam olarak nasıl hesaplayacağız? Yani, onunla hangi spesifik sayıyı karşılaştıracağız? Üçüncü dereceden determinant için buluşsal (görsel) bir üçgen kuralı vardır, şuna benzer:

1. Ana köşegenin elemanlarının çarpımı (sol üst köşeden sağ alt köşeye kadar) ana köşegene “dik” olan birinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı Ana köşegene “dik” olan ikinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı ana diyagonal
2. İkincil köşegenin elemanlarının çarpımı (sağ üst köşeden sol alta kadar) ikincil köşegene “dik” olan birinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı İkinci köşegene “dik” olan ikinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı ikincil diyagonal
3. Daha sonra determinant, adımda elde edilen değerler arasındaki farka eşittir ve

Bütün bunları rakamlarla yazarsak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

Bununla birlikte, bu formdaki hesaplama yöntemini hatırlamanıza gerek yoktur; sadece üçgenleri kafanızda tutmanız ve neyin neye ekleneceği ve daha sonra neyin neyden çıkarılacağı fikrini aklınızda tutmanız yeterlidir).

Üçgen yöntemini bir örnekle açıklayalım:

1. Belirleyiciyi hesaplayın:

Ne eklediğimizi ve ne çıkardığımızı bulalım:

Artı ile gelen terimler:

Bu ana köşegendir: elemanların çarpımı eşittir

İlk üçgen, "ana köşegene dik: elemanların çarpımı eşittir"

İkinci üçgen, "ana köşegene dik: elemanların çarpımı eşittir"

Üç sayıyı toplayın:

Eksi ile gelen terimler

Bu bir yan köşegendir: elemanların çarpımı eşittir

İlk üçgen, “ikincil köşegenlere dik: elemanların çarpımı eşittir

İkinci üçgen, “ikincil köşegenlere dik: elemanların çarpımı eşittir

Üç sayıyı toplayın:

Geriye kalan tek şey “artı” terimlerin toplamını “eksi” terimlerin toplamından çıkarmaktır:

Böylece,

Gördüğünüz gibi üçüncü dereceden determinantların hesaplanmasında karmaşık veya doğaüstü hiçbir şey yoktur. Üçgenleri hatırlamak ve aritmetik hatalar yapmamak önemlidir. Şimdi bunu kendiniz hesaplamaya çalışın:

Kontrol ediyoruz:

1. Ana köşegene dik olan ilk üçgen:
2. Ana köşegene dik ikinci üçgen:
3. Artı ile terimlerin toplamı:
4. İkincil köşegene dik olan ilk üçgen:
5. Yan köşegenlere dik olan ikinci üçgen:
6. Eksili terimlerin toplamı:
7. Artı olan terimlerin toplamı eksi eksi olan terimlerin toplamı:

İşte birkaç belirleyici daha: değerlerini kendiniz hesaplayın ve cevaplarla karşılaştırın:

Yanıtlar:

Peki her şey çakıştı mı? Harika, o zaman devam edebilirsiniz! Zorluklar varsa, tavsiyem şu: İnternette determinantı çevrimiçi hesaplamak için birçok program var. İhtiyacınız olan tek şey, kendi determinantınızı bulmak, onu kendiniz hesaplamak ve ardından onu programın hesapladığıyla karşılaştırmaktır. Ve sonuçlar çakışmaya başlayana kadar böyle devam eder. Bu anın gelmesinin uzun sürmeyeceğinden eminim!

Şimdi verilen üç noktadan geçen bir düzlemin denkleminden bahsederken yazdığım determinant konusuna geri dönelim:

İhtiyacınız olan tek şey, değerini doğrudan hesaplamak (üçgen yöntemini kullanarak) ve sonucu sıfıra ayarlamaktır. Doğal olarak bunlar değişken olduğundan onlara bağlı bazı ifadeler elde edersiniz. Aynı düz çizgi üzerinde yer almayan üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi olacak olan bu ifadedir!

Bunu basit bir örnekle açıklayalım:

1. Noktalardan geçen bir düzlemin denklemini oluşturun

Bu üç nokta için bir determinant derliyoruz:

Basitleştirelim:

Şimdi bunu doğrudan üçgen kuralını kullanarak hesaplıyoruz:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ sağ| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Böylece noktalardan geçen düzlemin denklemi şu şekildedir:

Şimdi bir sorunu kendiniz çözmeye çalışın, sonra tartışacağız:

2. Noktalardan geçen düzlemin denklemini bulun

Şimdi çözümü tartışalım:

Bir determinant oluşturalım:

Ve değerini hesaplayın:

O halde düzlemin denklemi şu şekildedir:

Veya azaltarak şunu elde ederiz:

Şimdi kendi kendini kontrol etmek için iki görev:

1. Üç noktadan geçen bir düzlemin denklemini oluşturun:

Yanıtlar:

Her şey çakıştı mı? Yine, bazı zorluklar varsa, o zaman tavsiyem şudur: Kafanızdan üç nokta alın (yüksek olasılıkla aynı düz çizgide uzanmayacaklardır), bunlara dayalı bir uçak yapın. Daha sonra kendinizi çevrimiçi olarak kontrol edersiniz. Örneğin sitede:

Ancak determinantların yardımıyla sadece düzlemin denklemini oluşturmayacağız. Hatırlayın, size vektörler için sadece nokta çarpımının tanımlanmadığını söylemiştim. Karışık çarpımın yanı sıra vektör çarpımı da vardır. Ve eğer iki vektörün skaler çarpımı bir sayı ise, o zaman iki vektörün vektör çarpımı bir vektör olacak ve bu vektör verilenlere dik olacaktır:

Üstelik modülü ve vektörleri üzerine kurulu bir paralelkenarın alanına eşit olacaktır. Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi hesaplamak için bu vektöre ihtiyacımız olacak. Vektörlerin vektör çarpımını ve koordinatları verilmişse nasıl hesaplayabiliriz? Üçüncü dereceden determinant yine yardımımıza koşuyor. Ancak vektör çarpımını hesaplamak için kullanılan algoritmaya geçmeden önce küçük bir açıklama yapmam gerekiyor.

Bu arasöz temel vektörlerle ilgilidir.

Şekilde şematik olarak gösterilmiştir:

Neden bunlara temel denildiğini düşünüyorsunuz? Gerçek şu ki :

Veya resimde:

Bu formülün geçerliliği açıktır çünkü:

Vektör çizimleri

Artık çapraz çarpımı tanıtmaya başlayabilirim:

İki vektörün vektör çarpımı bir vektördür ve aşağıdaki kurala göre hesaplanır:

Şimdi çapraz çarpımın hesaplanmasına ilişkin bazı örnekler verelim:

Örnek 1: Vektörlerin çapraz çarpımını bulun:

Çözüm: Bir determinant oluşturuyorum:

Ve bunu hesaplıyorum:

Şimdi temel vektörler üzerinden yazdıktan sonra olağan vektör gösterimine döneceğim:

Böylece:

Şimdi dene.

Hazır? Kontrol ediyoruz:

Ve geleneksel olarak iki kontrol için görevler:

1. Aşağıdaki vektörlerin vektör çarpımını bulun:
2. Aşağıdaki vektörlerin vektör çarpımını bulun:

Yanıtlar:

Üç vektörün karışık çarpımı

İhtiyacım olan son yapı üç vektörün karışık çarpımıdır. Skaler gibi bir sayıdır. Bunu hesaplamanın iki yolu vardır. - bir determinant yoluyla, - bir karma çarpım aracılığıyla.

Yani bize üç vektör verilsin:

Daha sonra ile gösterilen üç vektörün karışık çarpımı şu şekilde hesaplanabilir:

1. - yani karışık çarpım bir vektörün skaler çarpımı ile diğer iki vektörün vektör çarpımıdır

Örneğin, üç vektörün karışık çarpımı şöyledir:

Vektör çarpımını kullanarak bunu kendiniz hesaplamaya çalışın ve sonuçların eşleştiğinden emin olun!

Ve yine - iki örnek bağımsız karar:

Yanıtlar:

Koordinat sisteminin seçilmesi

Artık karmaşık stereometrik geometri problemlerini çözmek için gerekli tüm bilgi temeline sahibiz. Ancak bunları çözmek için doğrudan örneklere ve algoritmalara geçmeden önce şu soru üzerinde durmanın faydalı olacağını düşünüyorum: Tam olarak nasıl belirli bir şekil için bir koordinat sistemi seçin. Sonuçta bu bir seçim göreceli konum Uzaydaki koordinat sistemleri ve şekiller, sonuçta hesaplamaların ne kadar hantal olacağını belirleyecek.

Bu bölümde aşağıdaki rakamları dikkate aldığımızı hatırlatmama izin verin:

1. Dikdörtgen paralel yüzlü
2. Düz prizma (üçgen, altıgen...)
3. Piramit (üçgen, dörtgen)
4. Tetrahedron (üçgen piramit ile aynı)

Dikdörtgen paralel yüzlü veya küp için size aşağıdaki yapıyı öneririm:

Yani figürü “köşeye” yerleştireceğim. Küp ve paralel yüzlü çok iyi rakamlar. Onlar için köşelerinin koordinatlarını her zaman kolayca bulabilirsiniz. Örneğin, eğer (resimde gösterildiği gibi)

bu durumda köşelerin koordinatları aşağıdaki gibidir:

Tabii ki, bunu hatırlamanıza gerek yok, ancak bir küp veya dikdörtgen paralel borunun en iyi nasıl yerleştirileceğini hatırlamanız tavsiye edilir.

Düz prizma

Prizma daha zararlı bir figürdür. Uzayda farklı şekillerde konumlandırılabilir. Ancak aşağıdaki seçenek bana en kabul edilebilir görünüyor:

Üçgen prizma:

Yani üçgenin kenarlarından birini tamamen eksenin üzerine yerleştiriyoruz ve köşelerden biri koordinatların orijini ile çakışıyor.

Altıgen prizma:

Yani köşelerden biri orijine denk gelir ve kenarlardan biri eksen üzerinde yer alır.

Dörtgen ve altıgen piramit:

Durum bir küpe benzer: tabanın iki tarafını koordinat eksenleriyle hizalıyoruz ve köşelerden birini koordinatların kökeniyle hizalıyoruz. Tek hafif zorluk noktanın koordinatlarını hesaplamak olacaktır.

Altıgen bir piramit için - altıgen prizmayla aynı. Ana görev yine tepe noktasının koordinatlarını bulmak olacaktır.

Tetrahedron (üçgen piramit)

Durum üçgen prizma için verdiğim duruma çok benziyor: bir köşe orijine denk geliyor, bir taraf koordinat ekseninde yatıyor.

Artık sen ve ben nihayet sorunları çözmeye başlamaya yaklaştık. Makalenin en başında söylediklerimden şu sonucu çıkarabilirsiniz: C2 problemlerinin çoğu 2 kategoriye ayrılır: açı problemleri ve mesafe problemleri. Öncelikle açı bulma problemlerine bakacağız. Bunlar sırasıyla aşağıdaki kategorilere ayrılır (karmaşıklık arttıkça):

Açı bulma problemleri

1. İki düz çizgi arasındaki açıyı bulma
2. İki düzlem arasındaki açıyı bulma

Bu problemlere sırasıyla bakalım: İki düz çizgi arasındaki açıyı bularak başlayalım. Peki, unutma, sen ve ben daha önce benzer örnekleri çözmemiş miydik? Hatırlıyor musunuz, buna benzer bir şeyimiz vardı zaten... İki vektör arasındaki açıyı arıyorduk. Hatırlatayım, eğer iki vektör verilirse ve aralarındaki açı bağıntıdan bulunursa:

Şimdi amacımız iki düz çizgi arasındaki açıyı bulmak. “Düz resme” bakalım:

İki düz çizgi kesiştiğinde kaç açı elde ettik? Sadece birkaç şey. Doğru, bunlardan sadece ikisi eşit değil, diğerleri ise onlara dikey (ve dolayısıyla onlarla çakışıyor). Peki iki düz çizgi arasındaki açıyı hangi açı olarak düşünmeliyiz: veya? Burada kural şudur: iki düz çizgi arasındaki açı her zaman dereceden fazla değildir. Yani iki açıdan her zaman derece ölçüsü en küçük olan açıyı seçeceğiz. Yani bu resimde iki düz çizgi arasındaki açı eşittir. Kurnaz matematikçiler, her seferinde iki açıdan en küçüğünü bulma zahmetine girmemek için bir modül kullanmayı önerdiler. Böylece iki düz çizgi arasındaki açı aşağıdaki formülle belirlenir:

Dikkatli bir okuyucu olarak sizin şu soruyu sormanız gerekirdi: Bir açının kosinüsünü hesaplamak için ihtiyaç duyduğumuz sayıların aynısını tam olarak nereden alıyoruz? Cevap: Bunları doğruların yön vektörlerinden alacağız! Böylece iki düz çizgi arasındaki açıyı bulma algoritması aşağıdaki gibidir:

1. Formül 1'i uyguluyoruz.

Veya daha ayrıntılı olarak:

1. İlk düz çizginin yön vektörünün koordinatlarını arıyoruz
2. İkinci düz çizginin yön vektörünün koordinatlarını arıyoruz
3. Skaler çarpımlarının modülünü hesaplıyoruz
4. İlk vektörün uzunluğunu arıyoruz
5. İkinci vektörün uzunluğunu arıyoruz
6. 4. noktanın sonuçlarını 5. noktanın sonuçlarıyla çarpın
7. 3. noktanın sonucunu 6. noktanın sonucuna bölüyoruz. Doğrular arasındaki açının kosinüsünü alıyoruz
8. Bu sonuç açıyı doğru bir şekilde hesaplamamıza izin veriyorsa, onu ararız.
9. Aksi takdirde ark kosinüs yoluyla yazarız

Eh, şimdi sıra sorunlara geçiyor: İlk ikisinin çözümünü ayrıntılı olarak göstereceğim, diğerinin çözümünü ayrıntılı olarak sunacağım. kısaca ve son iki problem için sadece cevap vereceğim, onlar için tüm hesaplamaları kendiniz yapmalısınız.

Görevler:

1. Sağ tet-ra-ed-re'de, tet-ra-ed-ra'nın yüksekliği ile orta taraf arasındaki açıyı bulun.

2. Sağdaki altı köşeli pi-ra-mi-de'de yüz os-no-va-niya eşittir ve yan kenarlar eşittir, ve çizgileri arasındaki açıyı bulun.

3. Sağdaki dört kömürlü pi-ra-mi-dy'nin tüm kenarlarının uzunlukları birbirine eşittir. Düz çizgiler arasındaki açıyı bulun ve eğer kesimden itibaren - verilen pi-ra-mi-dy ile iseniz, nokta bo-co-ikinci kaburga üzerinde se-re-di-dir

4. Küpün kenarında düz çizgiler arasındaki açıyı bulacak bir nokta vardır.

5. Nokta - küpün kenarlarında Düz çizgiler arasındaki açıyı bulun.

Görevleri bu sıraya göre düzenlemem tesadüf değil. Henüz koordinat yöntemini kullanmaya başlamamış olsanız da, ben en “sorunlu” rakamları kendim analiz edeceğim ve en basit küple uğraşmayı size bırakacağım! Yavaş yavaş tüm rakamlarla nasıl çalışılacağını öğrenmeniz gerekecek; Konudan konuya görevlerin karmaşıklığını artıracağım.

Sorunları çözmeye başlayalım:

1. Bir tetrahedron çizin ve daha önce önerdiğim gibi koordinat sistemine yerleştirin. Tetrahedron düzgün olduğundan, tüm yüzleri (taban dahil) düzgün üçgenlerdir. Kenarın uzunluğu verilmediğine göre bunu eşit alabilirim. Sanırım açının aslında tetrahedronumuzun ne kadar "gerildiğine" bağlı olmayacağını anladınız mı? Ayrıca tetrahedrondaki yüksekliği ve ortancayı da çizeceğim. Yol boyunca tabanını çizeceğim (bizim için de faydalı olacak).

ile arasındaki açıyı bulmam gerekiyor. Biz ne biliyoruz? Sadece noktanın koordinatını biliyoruz. Bu, noktaların koordinatlarını bulmamız gerektiği anlamına gelir. Şimdi şöyle düşünüyoruz: Bir nokta, üçgenin yüksekliklerinin (veya açıortaylarının veya kenarortaylarının) kesişme noktasıdır. Ve bir nokta yükseltilmiş bir noktadır. Nokta segmentin ortasıdır. O zaman nihayet şunu bulmamız gerekiyor: noktaların koordinatları: .

En basit şeyle başlayalım: bir noktanın koordinatları. Şekle bakın: Bir noktanın uygulamasının sıfıra eşit olduğu açıktır (nokta düzlem üzerindedir). Ordinatı eşittir (ortanca olduğu için). Apsislerini bulmak daha zordur. Ancak bu Pisagor teoremine dayanarak kolaylıkla yapılabilir: Bir üçgen düşünün. Hipotenüsü eşittir ve bacaklarından biri eşittir O halde:

Sonunda elimizde: .

Şimdi noktanın koordinatlarını bulalım. Uygulamasının yine sıfıra eşit olduğu ve koordinatının noktanınkiyle aynı olduğu açıktır. Apsisini bulalım. Bunu hatırlarsanız, bu oldukça önemsiz bir şekilde yapılır. yükseklikler eşkenar üçgen kesişme noktası orantılı olarak bölünür, üstten sayıyorum. Çünkü: , o zaman parçanın uzunluğuna eşit olan noktanın gerekli apsisi şuna eşittir: . Buna göre noktanın koordinatları şöyledir:

Noktanın koordinatlarını bulalım. Apsis ve koordinatının noktanın apsis ve koordinatıyla örtüştüğü açıktır. Ve uygulama, segmentin uzunluğuna eşittir. - bu üçgenin bacaklarından biri. Bir üçgenin hipotenüsü bir segmenttir - bir bacak. Kalın harflerle işaretlediğim nedenlerle aranıyor:

Nokta segmentin ortasıdır. O zaman parçanın orta noktasının koordinatlarının formülünü hatırlamamız gerekiyor:

İşte bu kadar, şimdi yön vektörlerinin koordinatlarını arayabiliriz:

Her şey hazır: tüm verileri formüle yerleştiriyoruz:

Böylece,

Cevap:

Bu tür "korkutucu" yanıtlardan korkmamalısınız: C2 sorunları için bu yaygın bir uygulamadır. Bu bölümdeki “güzel” cevaba şaşırmayı tercih ederim. Ayrıca, fark ettiğiniz gibi, Pisagor teoremi ve eşkenar üçgenin yükseklik özelliği dışında pratikte hiçbir şeye başvurmadım. Yani stereometrik problemi çözmek için minimum stereometriyi kullandım. Bundaki kazanç oldukça hantal hesaplamalarla kısmen “söndürülmüştür”. Ama oldukça algoritmikler!

2. Koordinat sistemi ve tabanıyla birlikte düzenli bir altıgen piramidi tasvir edelim:

Çizgiler arasındaki açıyı bulmamız gerekiyor. Böylece görevimiz noktaların koordinatlarını bulmaktır: . Küçük bir çizim kullanarak son üçünün koordinatlarını bulacağız ve noktanın koordinatı üzerinden tepe noktasının koordinatını bulacağız. Yapılacak çok iş var ama başlamamız gerekiyor!

a) Koordinat: Uygulama ve ordinatının sıfıra eşit olduğu açıktır. Apsis'i bulalım. Bunu yapmak için bir dik üçgen düşünün. Ne yazık ki, burada sadece eşit olan hipotenüsü biliyoruz. Bacağını bulmaya çalışacağız (çünkü bacağın iki katı uzunluğunun bize noktanın apsisini vereceği açıktır). Onu nasıl arayabiliriz? Piramidin tabanında nasıl bir figür olduğunu hatırlayalım mı? Bu normal bir altıgen. Bu ne anlama geliyor? Bu, tüm kenarların ve tüm açıların eşit olduğu anlamına gelir. Böyle bir açı bulmamız gerekiyor. Herhangi bir fikir? Pek çok fikir var ama bir formül var:

Düzenli bir n-gon'un açılarının toplamı .

Böylece düzgün altıgenin açılarının toplamı dereceye eşittir. O zaman açıların her biri şuna eşittir:

Fotoğrafa tekrar bakalım. Doğru parçasının açınınortay olduğu açıktır. O halde açı dereceye eşittir. Daha sonra:

O zaman nereden.

Böylece koordinatları vardır

b) Artık noktanın koordinatını kolaylıkla bulabiliriz: .

c) Noktanın koordinatlarını bulun. Apsisleri segmentin uzunluğuna denk geldiğinden eşittir. Ordinatı bulmak da çok zor değil: Noktaları birleştirirsek ve düz çizginin kesişme noktasını örneğin olarak belirlersek. (basit inşaatı kendiniz yapın). O halde B noktasının ordinatı, parçaların uzunluklarının toplamına eşittir. Şimdi üçgene tekrar bakalım. Daha sonra

O zamandan bu yana noktanın koordinatları var

d) Şimdi noktanın koordinatlarını bulalım. Dikdörtgeni düşünün ve şunu kanıtlayın: Böylece noktanın koordinatları:

e) Tepe noktasının koordinatlarını bulmak kalır. Apsis ve koordinatının noktanın apsis ve koordinatıyla örtüştüğü açıktır. Uygulamayı bulalım. O zamandan beri. Bir dik üçgen düşünün. Sorunun durumuna göre bir yan kenar. Bu benim üçgenimin hipotenüsü. O halde piramidin yüksekliği bir bacaktır.

O zaman noktanın koordinatları vardır:

İşte bu kadar, ilgimi çeken tüm noktaların koordinatları elimde. Düz çizgilerin yönlendirici vektörlerinin koordinatlarını arıyorum:

Bu vektörler arasındaki açıyı arıyoruz:

Cevap:

Yine, bu problemi çözerken, düzenli bir n-gon'un açılarının toplamı formülü ve ayrıca bir dik üçgenin kosinüs ve sinüs tanımı dışında herhangi bir karmaşık teknik kullanmadım.

3. Piramidin kenarlarının uzunlukları yine bize verilmediğinden onları sayacağım bire eşit. Böylece, sadece yan kenarlar değil, TÜM kenarlar birbirine eşit olduğundan, piramidin tabanında ve bende bir kare vardır ve yan yüzler normal üçgenlerdir. Problem metninde verilen tüm verileri not ederek böyle bir piramidi ve tabanını bir düzlem üzerine çizelim:

ile arasındaki açıyı arıyoruz. Noktaların koordinatlarını araştırırken çok kısa hesaplamalar yapacağım. Bunları “deşifre etmeniz” gerekecek:

b) - segmentin ortası. Koordinatları:

c) Pisagor teoremini kullanarak bir üçgende doğru parçasının uzunluğunu bulacağım. Bunu bir üçgende Pisagor teoremini kullanarak bulabilirim.

Koordinatlar:

d) - segmentin ortası. Koordinatları

e) Vektör koordinatları

f) Vektör koordinatları

g) Açının aranması:

Küp en basit şekildir. Eminim bunu kendi başınıza çözeceksiniz. 4. ve 5. sorunun cevapları aşağıdaki gibidir:

Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açıyı bulma

Basit bulmacaların zamanı bitti! Şimdi örnekler daha da karmaşık olacak. Düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulmak için şu şekilde ilerleyeceğiz:

1. Üç noktayı kullanarak düzlemin denklemini oluşturuyoruz
   ,
   üçüncü dereceden bir determinant kullanarak.
2. İki nokta kullanarak düz çizginin yönlendirici vektörünün koordinatlarını ararız:
3. Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açıyı hesaplamak için formülü uygularız:

Gördüğünüz gibi bu formül, iki düz çizgi arasındaki açıları bulmak için kullandığımız formüle çok benziyor. Sağ taraftaki yapı tamamen aynıdır ve solda artık daha önce olduğu gibi kosinüsü değil sinüsü arıyoruz. Buna kötü bir eylem daha eklendi: Düzlemin denklemini aramak.

Ertelemeyelim çözüm örnekleri:

1. Ana-ama-va-ni-em direkt prizması-biz eşit-fakir bir üçgeniz. Düz çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulun

2. Batıdan dikdörtgen bir par-ral-le-le-pi-pe-de'de Düz çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulun

3. Altı köşeli bir sağ prizmada tüm kenarlar eşittir. Düz çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulun.

4. Bilinen kaburgaların os-no-va-ni-em'i ile sağ üçgen pi-ra-mi-de'de Bir köşe bulun, ob-ra-zo-van -taban olarak düz ve düz, griden geçen kaburga ve

5. Tepe noktası olan dik dörtgensel pi-ra-mi-dy'nin tüm kenarlarının uzunlukları birbirine eşittir. Nokta pi-ra-mi-dy'nin kenarı tarafındaysa, düz çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulun.

Yine ilk iki problemi detaylı, üçüncüyü kısaca çözeceğim ve son ikisini kendi başınıza çözmenize bırakacağım. Üstelik zaten üçgen ve dörtgen piramitlerle uğraşmak zorundaydınız ama henüz prizmalarla uğraşmadınız.

Çözümler:

1. Bir prizmayı ve tabanını tasvir edelim. Bunu koordinat sistemiyle birleştirelim ve problem ifadesinde verilen tüm verileri not edelim:

Oranlara uymadığım için özür dilerim, ancak sorunu çözmek için bu aslında o kadar da önemli değil. Uçak, prizmamın basitçe "arka duvarı"dır. Böyle bir düzlemin denkleminin şu şekilde olduğunu basitçe tahmin etmek yeterlidir:

Ancak bu doğrudan gösterilebilir:

Bu düzlemde rastgele üç nokta seçelim: örneğin .

Düzlemin denklemini oluşturalım:

Kendiniz için egzersiz yapın: Bu determinantı kendiniz hesaplayın. Başardın mı? O zaman düzlemin denklemi şöyle görünür:

Ya da sadece

Böylece,

Örneği çözmek için düz çizginin yön vektörünün koordinatlarını bulmam gerekiyor. Nokta koordinatların orijini ile çakıştığı için vektörün koordinatları noktanın koordinatlarıyla çakışacaktır.Bunu yapmak için önce noktanın koordinatlarını buluyoruz.

Bunu yapmak için bir üçgen düşünün. Tepe noktasından yüksekliği (medyan ve açıortay olarak da bilinir) çizelim. Çünkü noktanın ordinatı eşittir. Bu noktanın apsisini bulmak için doğru parçasının uzunluğunu hesaplamamız gerekir. Pisagor teoremine göre elimizde:

O zaman noktanın koordinatları vardır:

Nokta "yükseltilmiş" bir noktadır:

O zaman vektör koordinatları şöyledir:

Cevap:

Gördüğünüz gibi, bu tür sorunları çözerken temelde zor olan hiçbir şey yoktur. Aslında prizma gibi bir şeklin “düzlüğü” ile süreç biraz daha basitleştirilmiştir. Şimdi bir sonraki örneğe geçelim:

2. Bir paralel uçlu çizin, içine bir düzlem ve düz bir çizgi çizin ve ayrıca alt tabanını ayrı ayrı çizin:

İlk önce düzlemin denklemini buluyoruz: İçinde bulunan üç noktanın koordinatları:

(ilk iki koordinat net bir şekilde elde edilmiştir ve son koordinatı noktadan itibaren resimden rahatlıkla bulabilirsiniz). Daha sonra düzlemin denklemini oluştururuz:

Hesaplıyoruz:

Kılavuz vektörün koordinatlarını arıyoruz: Koordinatlarının noktanın koordinatlarıyla örtüştüğü açık değil mi? Koordinatlar nasıl bulunur? Bunlar, uygulanan eksen boyunca birer yükseltilmiş noktanın koordinatlarıdır! . Sonra istenen açıyı ararız:

Cevap:

3. Düzenli bir altıgen piramit çizin ve içine bir düzlem ve düz bir çizgi çizin.

Burada bir düzlem çizmek bile sorunlu, bu sorunu çözmekten bahsetmiyorum bile, ancak koordinat yöntemi umursamıyor! Çok yönlülüğü ana avantajıdır!

Uçak üç noktadan geçer: . Koordinatlarını arıyoruz:

1). Son iki noktanın koordinatlarını kendiniz bulun. Bunun için altıgen piramit problemini çözmeniz gerekecek!

2) Düzlemin denklemini oluşturuyoruz:

Vektörün koordinatlarını arıyoruz: . (Üçgen piramit problemine tekrar bakın!)

3) Bir açı arıyorum:

Cevap:

Gördüğünüz gibi bu görevlerde doğaüstü derecede zor olan hiçbir şey yok. Sadece köklere çok dikkat etmeniz gerekiyor. Sadece son iki sorunun cevabını vereceğim:

Gördüğünüz gibi problemleri çözme tekniği her yerde aynıdır: Asıl görev, köşelerin koordinatlarını bulmak ve bunları belirli formüllerde değiştirmektir. Açıları hesaplamak için hala bir sınıf problemi daha ele almamız gerekiyor:

İki düzlem arasındaki açıların hesaplanması

Çözüm algoritması şu şekilde olacaktır:

1. Üç noktayı kullanarak ilk düzlemin denklemini ararız:
2. Diğer üç noktayı kullanarak ikinci düzlemin denklemini ararız:
3. Formülü uyguluyoruz:

Gördüğünüz gibi formül, düz çizgiler arasındaki ve düz çizgi ile düzlem arasındaki açıları aradığımız önceki iki formüle çok benziyor. Bu yüzden bunu hatırlamanız sizin için zor olmayacak. Görevlerin analizine geçelim:

1. Sağ üçgen prizmanın tabanının kenarı eşittir ve yan yüzün köşegeni eşittir. Düzlem ile prizmanın eksen düzlemi arasındaki açıyı bulun.

2. Tüm kenarları eşit olan sağdaki dört köşeli pi-ra-mi-de'de, kalem-di-ku- noktasından geçen düzlem ile düzlem kemiği arasındaki açının sinüsünü bulun. lyar-ama düz.

3. Normal bir dört köşeli prizmada tabanın kenarları eşittir ve yan kenarlar eşittir. Benden-che-on'un kenarında bir nokta var ki. Düzlemler arasındaki açıyı bulun ve

4. Bir dik dörtgen prizmada tabanın kenarları eşit ve yan kenarlar eşittir. Bu noktadan itibaren kenarda bir nokta var ve böylece düzlemler arasındaki açıyı bulun.

5. Bir küpte düzlemler ile düzlemler arasındaki açının kosinüsünü bulun.

Sorun çözümleri:

1. Düzenli (tabanda bir eşkenar üçgen) üçgen prizma çiziyorum ve problem ifadesinde görünen düzlemleri bunun üzerine işaretliyorum:

İki düzlemin denklemlerini bulmamız gerekiyor: Tabanın denklemi önemsizdir: karşılık gelen determinantı üç noktayı kullanarak oluşturabilirsiniz, ancak denklemi hemen oluşturacağım:

Şimdi denklemi bulalım Noktanın koordinatları vardır Nokta - Üçgenin ortancası ve yüksekliği olduğundan, üçgende Pisagor teoremi kullanılarak kolayca bulunur. O zaman noktanın koordinatları vardır: Noktanın uygulamasını bulalım.Bunu yapmak için bir dik üçgen düşünün.

Daha sonra aşağıdaki koordinatları elde ederiz: Düzlemin denklemini oluştururuz.

Düzlemler arasındaki açıyı hesaplıyoruz:

Cevap:

2. Çizim yapmak:

En zor şey, noktadan dik olarak geçen bunun ne tür gizemli bir düzlem olduğunu anlamaktır. Peki, asıl mesele şu ki, bu nedir? Önemli olan dikkat! Aslında çizgi diktir. Düz çizgi aynı zamanda diktir. O halde bu iki doğrunun içinden geçen düzlem, doğruya dik olacak ve bu arada, noktadan geçecektir. Bu düzlem aynı zamanda piramidin tepesinden de geçer. Sonra istenen uçak - Ve uçak zaten bize verildi. Noktaların koordinatlarını arıyoruz.

Noktanın koordinatını noktadan geçerek buluyoruz. Küçük resimden noktanın koordinatlarının şu şekilde olacağı sonucunu çıkarmak kolaydır: Piramidin tepesinin koordinatlarını bulmak için şimdi ne bulunacak? Ayrıca yüksekliğini de hesaplamanız gerekir. Bu, aynı Pisagor teoremi kullanılarak yapılır: önce bunu kanıtlayın (önemsiz olarak tabanda bir kare oluşturan küçük üçgenlerden). Koşullu olarak elimizde:

Artık her şey hazır: köşe koordinatları:

Düzlemin denklemini oluşturuyoruz:

Belirleyicileri hesaplama konusunda zaten uzmansınız. Zorluk yaşamadan şunları alacaksınız:

Veya aksi takdirde (her iki tarafı da ikinin köküyle çarparsak)

Şimdi düzlemin denklemini bulalım:

(Düzlem denklemini nasıl elde ettiğimizi unutmadınız değil mi? Bu eksi birin nereden geldiğini anlamıyorsanız, o zaman düzlem denkleminin tanımına geri dönün! Her zaman ondan önce ortaya çıktı. uçağım koordinatların orijinine aitti!)

Belirleyiciyi hesaplıyoruz:

(Düzlemin denkleminin noktalardan geçen doğrunun denklemiyle örtüştüğünü fark etmişsinizdir! Nedenini bir düşünün!)

Şimdi açıyı hesaplayalım:

Sinüs bulmamız gerekiyor:

Cevap:

3. Zor bir soru: Sizce dikdörtgenler prizması nedir? Bu sadece iyi bildiğiniz bir paralelyüzlü! Hemen bir çizim yapalım! Tabanı ayrı ayrı tasvir etmenize bile gerek yok; burada çok az faydası var:

Daha önce belirttiğimiz gibi düzlem bir denklem biçiminde yazılmıştır:

Şimdi bir uçak oluşturalım

Hemen düzlemin denklemini yaratıyoruz:

Bir açı arıyorum:

Şimdi son iki sorunun cevapları:

Artık biraz ara vermenin zamanı geldi çünkü sen ve ben harikayız ve harika bir iş çıkardık!

Koordinatlar ve vektörler. İleri düzey

Bu yazıda sizinle koordinat yöntemi kullanılarak çözülebilecek başka bir problem sınıfını tartışacağız: mesafe hesaplama problemleri. Yani aşağıdaki durumları ele alacağız:

1. Kesişen çizgiler arasındaki mesafenin hesaplanması.

Bu görevleri artan zorluk derecesine göre sıraladım. Bulmak en kolayı gibi görünüyor noktadan düzleme uzaklık ve en zor şey bulmaktır geçiş çizgileri arasındaki mesafe. Tabii ki hiçbir şey imkansız değildir! Ertelemeyelim ve hemen birinci sınıf sorunları ele almaya başlayalım:

Bir noktadan bir düzleme olan mesafenin hesaplanması

Bu sorunu çözmek için neye ihtiyacımız var?

1. Nokta koordinatları

Dolayısıyla gerekli tüm verileri alır almaz formülü uyguluyoruz:

Son bölümde tartıştığım problemlerden bir düzlemin denklemini nasıl oluşturduğumuzu zaten biliyor olmalısınız. Hemen görevlere geçelim. Şema şu şekildedir: 1, 2 - Karar vermenize yardımcı oluyorum ve biraz ayrıntılı olarak 3, 4 - yalnızca cevap, çözümü kendiniz gerçekleştiriyorsunuz ve karşılaştırıyorsunuz. Hadi başlayalım!

Görevler:

1. Bir küp verildi. Küpün kenar uzunlukları eşittir. Se-re-di-na'dan kesimden düzleme olan mesafeyi bulun

2. Sağdaki dört kömür pi-ra-mi-evet verildiğinde, tarafın tarafı tabana eşittir. Noktadan kenarlarda - se-re-di-olan düzleme olan mesafeyi bulun.

3. Os-no-va-ni-em ile sağ üçgen pi-ra-mi-de'de, yan kenar eşittir ve os-no-vania'daki yüz-ro-eşittir. Üstten düzleme olan mesafeyi bulun.

4. Bir sağ altıgen prizmada tüm kenarlar eşittir. Bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulun.

Çözümler:

1. Tek kenarlı bir küp çizin, bir doğru parçası ve bir düzlem oluşturun, parçanın ortasını bir harfle belirtin

.

Öncelikle kolay olanla başlayalım: noktanın koordinatlarını bulun. O zamandan beri (segmentin ortasının koordinatlarını hatırlayın!)

Şimdi üç noktayı kullanarak düzlemin denklemini oluşturuyoruz

\[\sol| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Artık mesafeyi bulmaya başlayabilirim:

2. Tüm verileri işaretlediğimiz bir çizimle yeniden başlıyoruz!

Bir piramit için tabanını ayrı ayrı çizmek faydalı olacaktır.

Pençesiyle tavuk gibi çizim yapmam bile bu sorunu kolaylıkla çözmemize engel olmayacak!

Artık bir noktanın koordinatlarını bulmak çok kolay

Noktanın koordinatları olduğundan,

2. a noktasının koordinatları doğru parçasının ortası olduğuna göre,

Düzlemdeki iki noktanın daha koordinatlarını sorunsuz bir şekilde bulabiliriz.Düzlem için bir denklem oluşturup onu basitleştiriyoruz:

\[\sol| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 )(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Noktanın koordinatları: olduğundan mesafeyi hesaplarız:

Cevap (çok nadir!):

Peki anladın mı? Bana öyle geliyor ki burada her şey bir önceki bölümde incelediğimiz örneklerdeki kadar teknik. Bu yüzden eminim ki, eğer bu materyale hakim olduysanız, kalan iki problemi çözmeniz sizin için zor olmayacaktır. Size sadece cevapları vereceğim:

Düz bir çizgiden düzleme olan mesafenin hesaplanması

Aslında burada yeni bir şey yok. Düz bir çizgi ve bir düzlem birbirine göre nasıl konumlandırılabilir? Tek bir olasılıkları var: kesişmek ya da düz bir çizginin düzleme paralel olması. Sizce bir düz çizgi ile bu doğrunun kesiştiği düzlem arasındaki mesafe nedir? Bana öyle geliyor ki burada böyle bir mesafenin sıfıra eşit olduğu açık. İlginç bir durum değil.

İkinci durum daha yanıltıcıdır: burada mesafe zaten sıfır değildir. Ancak doğru düzleme paralel olduğundan, doğrunun her noktası bu düzleme eşit uzaklıktadır:

Böylece:

Bu, görevimin bir öncekine indirgendiği anlamına geliyor: Düz bir çizgi üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarını arıyoruz, düzlemin denklemini arıyoruz ve noktadan düzleme olan mesafeyi hesaplıyoruz. Aslında, Birleşik Devlet Sınavında bu tür görevler son derece nadirdir. Yalnızca bir sorun bulmayı başardım ve içindeki veriler öyleydi ki koordinat yöntemi buna pek uygulanamadı!

Şimdi başka, çok daha önemli bir sorun sınıfına geçelim:

Bir noktanın bir çizgiye olan mesafesini hesaplama

Neye ihtiyacımız var?

1. Mesafeyi aradığımız noktanın koordinatları:

2. Bir doğru üzerinde bulunan herhangi bir noktanın koordinatları

3. Düz çizginin yönlendirici vektörünün koordinatları

Hangi formülü kullanıyoruz?

Bu kesrin paydasının ne anlama geldiği sizin için açık olmalıdır: bu, düz çizginin yönlendirici vektörünün uzunluğudur. Bu çok zor bir paydır! İfadesi, vektörlerin vektör çarpımının modülünü (uzunluğunu) ifade eder ve vektör çarpımının nasıl hesaplanacağını çalışmanın önceki bölümünde inceledik. Bilgilerinizi tazeleyin, artık buna çok ihtiyacımız olacak!

Böylece, problem çözme algoritması aşağıdaki gibi olacaktır:

1. Mesafeyi aradığımız noktanın koordinatlarını arıyoruz:

2. Mesafeyi aradığımız doğru üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarını arıyoruz:

3. Bir vektör oluşturun

4. Düz bir çizginin yönlendirici vektörünü oluşturun

5. Vektör çarpımını hesaplayın

6. Ortaya çıkan vektörün uzunluğunu arıyoruz:

7. Mesafeyi hesaplayın:

Yapacak çok işimiz var ve örnekler oldukça karmaşık olacak! O halde şimdi tüm dikkatinizi odaklayın!

1. Tepesi olan dik üçgen bir pi-ra-mi-da verilmiştir. Pi-ra-mi-dy temelinde yüz-ro-eşittir, sen eşitsin. Gri kenardan, ve noktalarının gri kenarlar olduğu düz çizgiye ve veterinere olan mesafeyi bulun.

2. Kaburgaların uzunlukları ve düz açılı par-ral-le-le-pi-pe-da buna göre eşittir ve üstten düz çizgiye olan mesafeyi bulun

3. Bir sağ altıgen prizmada tüm kenarlar eşittir; bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafeyi bulun

Çözümler:

1. Tüm verileri işaretlediğimiz düzgün bir çizim yapıyoruz:

Yapacak çok işimiz var! Öncelikle neyi arayacağımızı ve hangi sırayla araştıracağımızı kelimelerle anlatmak istiyorum:

1. Noktaların koordinatları ve

2. Nokta koordinatları

3. Noktaların koordinatları ve

4. Vektörlerin koordinatları ve

5. Çapraz çarpımları

6. Vektör uzunluğu

7. Vektör çarpımının uzunluğu

8. Uzaklık

Neyse, önümüzde çok işimiz var! Hadi kolları sıvamış olarak işe başlayalım!

1. Piramidin yüksekliğinin koordinatlarını bulmak için noktanın koordinatlarını bilmemiz gerekir.Uygulaması sıfırdır ve ordinatı apsisine eşittir, parçanın uzunluğuna eşittir.Çünkü yüksekliği bir eşkenar üçgen, buradan itibaren tepe noktasından sayılarak orana bölünür. Sonunda koordinatları aldık:

Nokta koordinatları

2. - segmentin ortası

3. - segmentin ortası

Segmentin orta noktası

4. Koordinatlar

Vektör koordinatları

5. Vektör çarpımını hesaplayın:

6. Vektör uzunluğu: Değiştirmenin en kolay yolu, parçanın üçgenin orta çizgisi olması, yani tabanın yarısına eşit olmasıdır. Bu yüzden.

7. Vektör çarpımının uzunluğunu hesaplayın:

8. Son olarak mesafeyi buluyoruz:

İşte bu! Size dürüstçe söyleyeyim: Bu sorunu geleneksel yöntemlerle (inşaat yoluyla) çözmek çok daha hızlı olacaktır. Ama burada her şeyi hazır bir algoritmaya indirgedim! Çözüm algoritmasının sizin için açık olduğunu düşünüyorum? Bu nedenle geri kalan iki sorunu kendiniz çözmenizi isteyeceğim. Cevapları karşılaştıralım mı?

Tekrar ediyorum: Bu sorunları koordinat yöntemine başvurmak yerine inşaatlarla çözmek daha kolaydır (daha hızlıdır). Bu çözüm yöntemini yalnızca size "hiçbir şey inşa etmeyi bitirmemenize" olanak tanıyan evrensel bir yöntem göstermek için gösterdim.

Son olarak, son sınıftaki sorunları ele alalım:

Kesişen çizgiler arasındaki mesafenin hesaplanması

Burada problem çözme algoritması öncekine benzer olacaktır. Neyimiz var:

3. Birinci ve ikinci çizginin noktalarını birleştiren herhangi bir vektör:

Çizgiler arasındaki mesafeyi nasıl buluruz?

Formül aşağıdaki gibidir:

Pay modüldür karışık ürün(bunu önceki bölümde tanıttık) ve payda önceki formüldeki gibidir (düz çizgilerin yönlendirici vektörlerinin vektör çarpımının modülü, aradığımız mesafe).

sana şunu hatırlatacağım

Daha sonra mesafe formülü şu şekilde yeniden yazılabilir::

Bu bir determinantın bir determinantla bölünmesidir! Gerçi dürüst olmak gerekirse burada şaka yapacak vaktim yok! Bu formül aslında oldukça hantaldır ve oldukça karmaşık hesaplamalara yol açmaktadır. Senin yerinde olsaydım, buna yalnızca son çare olarak başvururdum!

Yukarıdaki yöntemi kullanarak birkaç sorunu çözmeye çalışalım:

1. Tüm kenarları eşit olan bir dik üçgen prizmada, düz çizgiler arasındaki mesafeyi bulun.

2. Bir dik üçgen prizma verildiğinde, tabanın tüm kenarları gövde kaburgasından geçen kesite eşittir ve se-re-di-well kaburgalar bir karedir. Düz çizgiler arasındaki mesafeyi bulun ve

Birincisine ben karar veririm ve buna göre ikincisine sen karar verirsin!

1. Bir prizma çiziyorum ve düz çizgiler çiziyorum ve

C noktasının koordinatları: o zaman

Nokta koordinatları

Vektör koordinatları

Nokta koordinatları

Vektör koordinatları

Vektör koordinatları

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Vektörler arasındaki vektör çarpımını hesaplıyoruz ve

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Şimdi uzunluğunu hesaplıyoruz:

Cevap:

Şimdi ikinci görevi dikkatlice tamamlamaya çalışın. Bunun cevabı şu olacaktır: .

Koordinatlar ve vektörler. Kısa açıklama ve temel formüller

Bir vektör yönlendirilmiş bir bölümdür. - vektörün başlangıcı, - vektörün sonu.
Bir vektör veya ile gösterilir.

Mutlak değer vektör - vektörü temsil eden parçanın uzunluğu. Olarak belirtildi.

Vektör koordinatları:

,
\displaystyle a vektörünün uçları nerede?

Vektörlerin toplamı: .

Vektörlerin çarpımı:

Vektörlerin nokta çarpımı:

Ayarlayabilirsiniz Farklı yollar(bir nokta ve bir vektör, iki nokta ve bir vektör, üç nokta, vb.). Düzlemin denklemi bunu akılda tutarak olabilir. Farklı türde. Ayrıca belirli koşullara bağlı olarak düzlemler paralel, dik, kesişen vb. olabilir. Bu yazımızda bunun hakkında konuşacağız. Bir düzlemin genel denklemini ve daha fazlasını nasıl oluşturacağımızı öğreneceğiz.

Normal denklem biçimi

Diyelim ki dikdörtgen XYZ koordinat sistemine sahip bir R3 uzayı var. Başlangıç ​​noktası O'dan serbest bırakılacak olan α vektörünü tanımlayalım. α vektörünün ucu boyunca ona dik olacak bir P düzlemi çizeriz.

P üzerinde keyfi bir noktayı Q = (x, y, z) olarak gösterelim. Q noktasının yarıçap vektörünü p harfiyle işaretleyelim. Bu durumda α vektörünün uzunluğu р=IαI ve ɲ=(cosα,cosβ,cosγ)'ya eşittir.

Bu, α vektörü gibi yana doğru yönlendirilmiş bir birim vektördür. α, β ve γ, sırasıyla Ʋ vektörü ile uzay eksenleri x, y, z'nin pozitif yönleri arasında oluşan açılardır. Herhangi bir QϵП noktasının Ʋ vektörüne izdüşümü p'ye eşit olan sabit bir değerdir: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Yukarıdaki denklem p=0 olduğunda anlamlıdır. Tek şey, bu durumda P düzleminin koordinatların orijini olan O (α=0) noktasıyla kesişmesi ve O noktasından serbest bırakılan Ʋ birim vektörünün yönüne rağmen P'ye dik olmasıdır. Ʋ vektörünün işarete göre doğru olarak belirlendiği anlamına gelir. Önceki denklem P düzlemimizin vektör formunda ifade edilen denklemidir. Ancak koordinatlarda şöyle görünecek:

Burada P 0'dan büyük veya eşittir. Uzaydaki düzlemin denklemini normal formda bulduk.

Genel denklem

Koordinatlardaki denklemi sıfıra eşit olmayan herhangi bir sayıyla çarparsak, buna eşdeğer, o düzlemi tanımlayan bir denklem elde ederiz. Bunun gibi görünecek:

Burada A, B, C aynı anda sıfırdan farklı olan sayılardır. Bu denkleme genel düzlem denklemi denir.

Düzlem denklemleri. Özel durumlar

Genel formdaki denklem, ek koşulların varlığında değiştirilebilir. Bunlardan bazılarına bakalım.

A katsayısının 0 olduğunu varsayalım. Bu, bu düzlemin verilen Ox eksenine paralel olduğu anlamına gelir. Bu durumda denklemin formu değişecektir: Ву+Cz+D=0.

Benzer şekilde denklemin formu aşağıdaki koşullar altında değişecektir:

• Öncelikle B = 0 ise denklem Ax + Cz + D = 0 olarak değişecektir, bu da Oy eksenine paralelliği gösterecektir.
• İkinci olarak, eğer C=0 ise denklem Ax+By+D=0'a dönüştürülecektir, bu da verilen Oz eksenine paralelliği gösterecektir.
• Üçüncüsü, eğer D=0 ise denklem Ax+By+Cz=0 gibi görünecektir, bu da düzlemin O (orijin) ile kesiştiği anlamına gelecektir.
• Dördüncüsü, eğer A=B=0 ise denklem Cz+D=0 olarak değişecektir ve bu da Oxy'ye paralel olacaktır.
• Beşinci olarak, eğer B=C=0 ise denklem Ax+D=0 olur, bu da Oyz düzleminin paralel olduğu anlamına gelir.
• Altıncısı, eğer A=C=0 ise denklem Ву+D=0 formunu alacaktır, yani Oxz'ye paralellik bildirecektir.

Segmentlerdeki denklem türü

A, B, C, D sayılarının sıfırdan farklı olması durumunda denklemin (0) formu aşağıdaki gibi olabilir:

x/a + y/b + z/c = 1,

burada a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Bu düzlemin Ox eksenini (a,0,0), Oy - (0,b,0) ve Oz - (0,0,c) koordinatlarında keseceğini belirtmekte fayda var. ).

x/a + y/b + z/c = 1 denklemi dikkate alındığında, düzlemin belirli bir koordinat sistemine göre yerleşimini görsel olarak hayal etmek zor değildir.

Normal vektör koordinatları

P düzlemine normal vektör n, katsayı olan koordinatlara sahiptir genel denklem belirli bir düzlemin, yani n (A, B, C).

Normal n'nin koordinatlarını belirlemek için belirli bir düzlemin genel denklemini bilmek yeterlidir.

Genel bir denklem kullanırken olduğu gibi x/a + y/b + z/c = 1 formundaki parçalar halinde bir denklem kullanırken, belirli bir düzlemin herhangi bir normal vektörünün koordinatlarını yazabilirsiniz: (1/a) + 1/b + 1/ İle).

Normal vektörün çeşitli sorunların çözülmesine yardımcı olduğunu belirtmekte fayda var. En yaygın olanları, düzlemlerin dikliğini veya paralelliğini kanıtlamayı içeren problemleri, düzlemler arasındaki açıları veya düzlemler ile düz çizgiler arasındaki açıları bulma problemlerini içerir.

Noktanın koordinatlarına ve normal vektöre göre düzlem denklemi türü

Belirli bir düzleme dik sıfırdan farklı bir n vektörüne, belirli bir düzlem için normal denir.

Koordinat uzayında (dikdörtgen koordinat sistemi) Oxyz'in verildiğini varsayalım:

• koordinatları olan Mₒ noktası (xₒ,yₒ,zₒ);
• sıfır vektörü n=A*i+B*j+C*k.

N normaline dik Mₒ noktasından geçecek bir düzlem için denklem oluşturmak gerekir.

Uzayda herhangi bir rastgele noktayı seçiyoruz ve onu M (x y, z) olarak gösteriyoruz. Herhangi bir M (x,y,z) noktasının yarıçap vektörü r=x*i+y*j+z*k olsun ve Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* noktasının yarıçap vektörü olsun i+yₒ *j+zₒ*k. MₒM vektörü n vektörüne dik ise M noktası belirli bir düzleme ait olacaktır. Diklik koşulunu skaler çarpımı kullanarak yazalım:

[MₒM, n] = 0.

MₒM = r-rₒ olduğundan düzlemin vektör denklemi şöyle görünecektir:

Bu denklemin başka bir formu da olabilir. Bunu yapmak için skaler çarpımın özellikleri kullanılır ve denklemin sol tarafı dönüştürülür. = - . c olarak gösterirsek, aşağıdaki denklemi elde ederiz: - c = 0 veya = c, bu, düzleme ait belirli noktaların yarıçap vektörlerinin normal vektörüne izdüşümlerinin sabitliğini ifade eder.

Artık düzlemimizin = 0 vektör denklemini yazmanın koordinat biçimini elde edebiliriz. r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k olduğundan ve n = A*i+B *j+С*k, elimizde:

Normal n'ye dik bir noktadan geçen bir düzlem için bir denklemimiz olduğu ortaya çıktı:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

İki noktanın koordinatlarına ve düzleme eşdoğrusal bir vektöre göre düzlem denklemi türü

İki keyfi M′ (x′,y′,z′) ve M″ (x″,y″,z″) noktasının yanı sıra bir a (a′,a″,a‴) vektörünü tanımlayalım.

Şimdi, mevcut M′ ve M″ noktalarından ve ayrıca verilen a vektörüne paralel (x, y, z) koordinatlarına sahip herhangi bir M noktasından geçecek belirli bir düzlem için bir denklem oluşturabiliriz.

Bu durumda, M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) ve M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) vektörleri vektörle aynı düzlemde olmalıdır a=(a′,a″,a‴), bunun anlamı (M′M, M″M, a)=0'dır.

Yani uzaydaki düzlem denklemimiz şöyle görünecek:

Üç noktayı kesen bir düzlemin denklem türü

Diyelim ki aynı doğruya ait olmayan (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) üç noktamız var. Verilen üç noktadan geçen bir düzlemin denklemini yazmak gerekir. Geometri teorisi bu tür bir düzlemin gerçekten var olduğunu iddia eder, ancak bu tek ve benzersizdir. Bu düzlem (x′,y′,z′) noktasını kestiği için denkleminin formu aşağıdaki gibi olacaktır:

Burada A, B, C aynı anda sıfırdan farklıdır. Ayrıca verilen düzlem iki noktayı daha kesiyor: (x″,y″,z″) ve (x‴,y‴,z‴). Bu bağlamda aşağıdaki şartların yerine getirilmesi gerekmektedir:

Artık u, v, w bilinmeyenleriyle homojen bir sistem oluşturabiliriz:

bizim durum x,y veya z, denklem (1)'i karşılayan rastgele bir nokta görevi görür. Denklem (1) ve denklem sistemi (2) ve (3) verildiğinde, yukarıdaki şekilde gösterilen denklem sistemi önemsiz olmayan N (A,B,C) vektörü tarafından karşılanır. Bu sistemin determinantının sıfıra eşit olmasının nedeni budur.

Elde ettiğimiz denklem (1) düzlemin denklemidir. Tam olarak 3 noktadan geçer ve bunu kontrol etmek kolaydır. Bunu yapmak için determinantımızı ilk satırdaki öğelere genişletmemiz gerekiyor. Determinantın mevcut özelliklerinden, düzlemimizin başlangıçta verilen üç noktayı (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) aynı anda kestiği sonucu çıkar. . Yani bize verilen görevi çözdük.

Düzlemler arasındaki dihedral açı

Dihedral açı uzaysal bir açıyı temsil eder geometrik şekil bir düz çizgiden çıkan iki yarım düzlemden oluşur. Yani uzayın bu yarım düzlemlerle sınırlanan kısmı burasıdır.

Diyelim ki aşağıdaki denklemlere sahip iki düzlemimiz var:

N=(A,B,C) ve N¹=(A¹,B¹,C¹) vektörlerinin verilen düzlemlere göre dik olduğunu biliyoruz. Bu bakımdan N ve N¹ vektörleri arasındaki φ açısı, bu düzlemler arasında bulunan açıya (dihedral) eşittir. Skaler çarpım şu şekildedir:

NN¹=|N||N¹|çünkü φ,

tam olarak çünkü

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

0≤φ≤π olduğunu dikkate almak yeterlidir.

Aslında kesişen iki düzlem iki açı (dihedral) oluşturur: φ 1 ve φ 2. Toplamları π'ye eşittir (φ 1 + φ 2 = π). Kosinüslerine gelince, mutlak değerleri eşittir, ancak işaret bakımından farklılık gösterirler, yani cos φ 1 = -cos φ 2. Eğer denklem (0)'da A, B ve C'yi sırasıyla -A, -B ve -C sayılarıyla değiştirirsek, elde ettiğimiz denklem aynı düzlemi, tek düzlemi, cos denklemindeki φ açısını belirleyecektir. φ= NN 1 /| N||N 1 | π-φ ile değiştirilecektir.

Dik bir düzlemin denklemi

Aralarındaki açı 90 derece olan düzlemlere dik denir. Yukarıda sunulan materyali kullanarak diğerine dik bir düzlemin denklemini bulabiliriz. Diyelim ki iki düzlemimiz var: Ax+By+Cz+D=0 ve A¹x+B¹y+C¹z+D=0. cosφ=0 ise dik olacaklarını söyleyebiliriz. Bu, NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0 anlamına gelir.

Paralel düzlem denklemi

Ortak noktaları olmayan iki düzleme paralel denir.

Koşul (denklemleri önceki paragraftakiyle aynıdır), kendilerine dik olan N ve N¹ vektörlerinin eşdoğrusal olmasıdır. Bu, aşağıdaki orantılılık koşullarının karşılandığı anlamına gelir:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Orantılılık koşulları genişletilirse - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

bu, bu düzlemlerin çakıştığını gösterir. Bu, Ax+By+Cz+D=0 ve A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 denklemlerinin bir düzlemi tanımladığı anlamına gelir.

Noktadan düzleme uzaklık

Diyelim ki (0) denklemiyle verilen bir P düzlemimiz var. Koordinatları (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ olan bir noktadan ona olan mesafeyi bulmak gerekir. Bunu yapmak için P düzleminin denklemini normal forma getirmeniz gerekir:

(ρ,v)=р (р≥0).

Bu durumda ρ (x,y,z), P üzerinde yer alan Q noktamızın yarıçap vektörüdür, p, sıfır noktasından serbest bırakılan P dikinin uzunluğudur, v ise birim vektördür. yön a.

P'ye ait bir Q = (x, y, z) noktasının ρ-ρ° yarıçap vektörü farkı ve belirli bir Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) noktasının yarıçap vektörü böyle bir vektördür, v üzerine Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ)'den P'ye bulunması gereken d mesafesine eşit olan projeksiyonun mutlak değeri:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ancak

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Yani ortaya çıkıyor

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Yani bulacağız mutlak değer ortaya çıkan ifade, yani istenen d.

Parametre dilini kullanarak şunu açıkça görüyoruz:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Eğer ayar noktası Q 0, koordinatların orijini gibi P düzleminin diğer tarafındadır, dolayısıyla ρ-ρ 0 vektörü ile v arasında bulunur:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

Q 0 noktasının koordinatların kökeni ile birlikte P'nin aynı tarafında olması durumunda, oluşturulan açı dardır, yani:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Sonuç olarak, ilk durumda (ρ 0 ,v)>р, ikinci durumda (ρ 0 ,v) olduğu ortaya çıktı.<р.

Teğet düzlem ve denklemi

M° temas noktasında yüzeye teğet olan düzlem, yüzeyde bu noktadan çizilen eğrilere olası tüm teğetleri içeren bir düzlemdir.

Bu tür yüzey denklemi F(x,y,z)=0 ile, M°(x°,y°,z°) teğet noktasındaki teğet düzlemin denklemi şu şekilde görünecektir:

F x (x°,y°,z°)(x- x°)+ F x (x°, y°, z°)(y- y°)+ F x (x°, y°,z°)(z-z°)=0.

Yüzeyi açıkça z=f (x,y) formunda belirtirseniz, teğet düzlem aşağıdaki denklemle tanımlanacaktır:

z-z° =f(x°, y°)(x- x°)+f(x°, y°)(y- y°).

İki düzlemin kesişimi

Koordinat sisteminde (dikdörtgen) Oxyz bulunur, kesişen ve çakışmayan iki П′ ve П″ düzlemi verilmiştir. Dikdörtgen koordinat sisteminde yer alan herhangi bir düzlem genel bir denklemle belirlendiğinden, P' ve P″'nin A′x+B′y+C′z+D′=0 ve A″x denklemleriyle verildiğini varsayacağız. +B″y+ С″z+D″=0. Bu durumda, P' düzleminin normali n' (A′,B′,C′) ve P″ düzleminin normali n″ (A″,B″,C″) elimizde olur. Düzlemlerimiz paralel olmadığından ve çakışmadığından bu vektörler doğrusal değildir. Matematik dilini kullanarak bu koşulu şu şekilde yazabiliriz: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. P' ve P″'nin kesiştiği noktada bulunan düz çizginin a harfiyle gösterilmesine izin verin, bu durumda a = P′ ∩ P″.

a, (ortak) P′ ve P″ düzlemlerinin tüm noktalarının kümesinden oluşan düz bir çizgidir. Bu, a doğrusuna ait herhangi bir noktanın koordinatlarının aynı anda A′x+B′y+C′z+D′=0 ve A″x+B″y+C″z+D″=0 denklemlerini sağlaması gerektiği anlamına gelir. . Bu, noktanın koordinatlarının aşağıdaki denklem sisteminin kısmi çözümü olacağı anlamına gelir:

Sonuç olarak, bu denklem sisteminin (genel) çözümünün, P' ve P″'nin kesişme noktası görevi görecek çizginin noktalarının her birinin koordinatlarını belirleyeceği ve düz çizgiyi belirleyeceği ortaya çıktı. a uzaydaki Oxyz (dikdörtgen) koordinat sisteminde.