GirişDüz çizgi ve düzlem arasındaki tanım. Ders özeti "doğru ile düzlem arasındaki açı"
Bir figürün düzleme izdüşümü kavramı
Bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açı kavramını tanıtmak için, öncelikle rastgele bir şeklin bir düzleme izdüşümü gibi bir kavramı anlamanız gerekir.
Tanım 1
Bize keyfi bir $A$ noktası verilsin. $A_1$ noktasına, eğer $A$ noktasından $\alpha $ düzlemine çizilen bir dikmenin tabanı ise, $A$ noktasının $\alpha $ düzlemine izdüşümü denir (Şekil 1).
Şekil 1. Bir noktanın düzleme izdüşümü
Tanım 2
Bize keyfi bir rakam verilsin: $F$. $F_1$ şekline, $F$ şeklinin $\alpha $ düzlemine izdüşümü denir ve $F$ şeklinin tüm noktalarının $\alpha $ düzlemine izdüşümlerinden oluşur (Şekil 2).
Şekil 2. Bir figürün düzleme izdüşümü
Teorem 1
Düz bir çizginin düzlemine dik olmayan izdüşümü düz bir çizgidir.
Kanıt.
Bize bir $\alpha $ düzlemi ve onunla kesişen, ona dik olmayan bir $d$ düz çizgisi verilsin. $d$ doğrusu üzerinde bir $M$ noktası seçelim ve onun projeksiyonunu $H$ $\alpha $ düzlemine çizelim. $(MH)$ düz çizgisi boyunca $\beta $ düzlemini çizeriz. Açıkçası, bu düzlem $\alpha $ düzlemine dik olacaktır. $m$ düz çizgisi boyunca kesişmelerine izin verin. $d$ doğrusunun rastgele bir $M_1$ noktasını ele alalım ve onun içinden $(MH)$ doğrusuna paralel bir $(M_1H_1$) doğrusu çizelim (Şekil 3).
Figür 3.
$\beta $ düzlemi $\alpha $ düzlemine dik olduğundan, $M_1H_1$ $m$ düz çizgisine diktir, yani $H_1$ noktası $M_1$ noktasının düzleme izdüşümüdür. düzlem $\alpha $. $M_1$ noktası seçiminin keyfiliği nedeniyle, $d$ çizgisinin tüm noktaları $m$ çizgisine yansıtılır.
Benzer şekilde mantık yürütmek. İÇİNDE Ters sipariş$m$ doğrusu üzerindeki her noktanın $d$ doğrusu üzerindeki bir noktanın izdüşümü olduğunu elde edeceğiz.
Bu, $d$ satırının $m$ satırına yansıtıldığı anlamına gelir.
Teorem kanıtlandı.
Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açı kavramı
Tanım 3
Bir düzlemi kesen düz bir çizgi ile onun bu düzleme izdüşümü arasındaki açıya, düz çizgi ile düzlem arasındaki açı denir (Şekil 4).
Şekil 4. Düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açı
Buraya birkaç not düşelim.
Not 1
Çizgi düzleme dik ise. O halde düz çizgi ile düzlem arasındaki açı 90$^\circ$ olur.
Not 2
Çizgi paralelse veya bir düzlemde yer alıyorsa. O halde düz çizgi ile düzlem arasındaki açı $0^\circ$ olur.
Örnek problemler
örnek 1
Bize bir $ABCD$ paralelkenarı ve paralelkenarın düzleminde yer almayan bir $M$ noktası verilsin. $B$ noktası, $M$ noktasının paralelkenar düzlemindeki izdüşümü ise, $AMB$ ve $MBC$ üçgenlerinin dik açılı olduğunu kanıtlayın.
Kanıt.
Sorunun durumunu şekil üzerinde gösterelim (Şekil 5).
Şekil 5.
$B$ noktası $M$ noktasının $(ABC)$ düzlemine izdüşümü olduğundan, $(MB)$ düz çizgisi $(ABC)$ düzlemine diktir. Açıklama 1'e göre, $(MB)$ düz çizgisi ile $(ABC)$ düzlemi arasındaki açının $90^\circ$'a eşit olduğunu buluyoruz. Buradan
\[\angle MBC=MBA=(90)^0\]
Bu, $AMB$ ve $MBC$ üçgenlerinin dik üçgen olduğu anlamına gelir.
Örnek 2
Bir $\alpha $ düzlemi verildiğinde. Bu düzleme $\varphi $ açısında bir doğru parçası çizilir ve bu doğrunun başlangıcı bu düzlemdedir. Bu segmentin izdüşümü, segmentin kendisinin yarısı kadardır. $\varphi$ değerini bulun.
Çözüm.
Şekil 6'yı düşünün.
Şekil 6.
Şart olarak elimizde
$BCD$ üçgeni dik açılı olduğundan, kosinüs tanımı gereği
\ \[\varphi =arccos\frac(1)(2)=(60)^0\]
Makale, düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açının tanımıyla başlıyor. Bu makale size koordinat yöntemini kullanarak düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açıyı nasıl bulacağınızı gösterecek. Örnekler ve sorunların çözümleri detaylı olarak ele alınacaktır.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Öncelikle uzayda düz çizgi kavramını ve düzlem kavramını tekrarlamak gerekir. Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açıyı belirlemek için çeşitli yardımcı tanımlar gereklidir. Bu tanımlara ayrıntılı olarak bakalım.
Tanım 1
Bir doğru ile bir düzlem kesişir ortak bir noktaya sahip olmaları durumunda, yani bu, bir düz çizgi ile bir düzlemin kesişme noktasıdır.
Bir düzlemi kesen bir doğru, düzleme dik olabilir.
Tanım 2
Düz bir çizgi bir düzleme diktir bu düzlemde bulunan herhangi bir çizgiye dik olduğunda.
Tanım 3
M noktasının bir düzleme izdüşümüγ, belirli bir düzlemde bulunuyorsa noktanın kendisidir veya düzlemin düz bir çizgiyle kesişme noktasıdır, düzleme dikγ, γ düzlemine ait olmaması koşuluyla M noktasından geçiyor.
Tanım 4
A çizgisinin bir düzleme izdüşümüγ, belirli bir doğrunun tüm noktalarının düzlem üzerindeki izdüşümü kümesidir.
Bundan, γ düzlemine dik bir çizginin izdüşümünün bir kesişme noktasına sahip olduğunu elde ederiz. A doğrusu izdüşümünün γ düzlemine ait olan ve a doğrusu ile düzlemin kesişme noktasından geçen bir doğru olduğunu buluyoruz. Aşağıdaki şekle bakalım.
Açık şu an Düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açının tanımını formüle etmek için gerekli tüm bilgi ve verilere sahibiz
Tanım 5
Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açı bu düz çizgi ile onun bu düzleme izdüşümü arasındaki açıya denir ve düz çizgi ona dik değildir.
Yukarıda verilen açı tanımı, bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açının, kesişen iki çizgi arasındaki açı, yani belirli bir çizginin düzlem üzerindeki izdüşümüyle birlikte olduğu sonucuna varmaya yardımcı olur. Bu, aralarındaki açının her zaman dar olacağı anlamına gelir. Aşağıdaki resme bir göz atalım.
Düz bir çizgi ile bir düzlem arasında bulunan açının dik, yani 90 dereceye eşit olduğu kabul edilir, ancak paralel düz çizgiler arasında bulunan açı tanımlanmamıştır. Değerinin sıfıra eşit alındığı durumlar vardır.
Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açının bulunmasının gerekli olduğu problemlerin çözümünde birçok değişiklik vardır. Çözümün seyri, duruma ilişkin mevcut verilere bağlıdır. Çözümün sık sık eşlik edenleri, rakamların, kosinüslerin, sinüslerin, açıların teğetlerinin benzerliği veya eşitliğinin işaretleridir. Açıyı bulmak koordinat yöntemini kullanarak mümkündür. Gelin buna daha detaylı bakalım.
Üç boyutlu uzaya dikdörtgen bir koordinat sistemi O x y z eklenirse, o zaman içinde γ düzlemini M noktasında kesen ve düzleme dik olmayan bir düz çizgi a belirtilir. Belirli bir düz çizgi ile düzlem arasında bulunan α açısını bulmak gerekir.
Öncelikle koordinat yöntemini kullanarak düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açının tanımını uygulamanız gerekir. Daha sonra aşağıdakileri elde ederiz.
O x y z koordinat sisteminde, uzaydaki düz çizginin denklemlerine ve uzaydaki düz çizginin yönlendirici vektörüne karşılık gelen bir düz çizgi a belirtilir; γ düzlemi için düzlemin denklemi ve normale karşılık gelir uçağın vektörü. O halde a → = (a x , a y , a z) verilen a düz çizgisinin yön vektörüdür ve n → (n x , n y , n z) γ düzleminin normal vektörüdür. A çizgisinin yönlendirici vektörünün ve γ düzleminin normal vektörünün koordinatlarına sahip olduğumuzu hayal edersek, denklemleri bilinir, yani koşulla belirtilirler, o zaman a vektörlerini belirlemek mümkündür → ve n → denkleme göre.
Açıyı hesaplamak için, düz çizginin yönlendirici vektörünün ve normal vektörün mevcut koordinatlarını kullanarak bu açının değerini elde edecek formülü dönüştürmek gerekir.
a → ve n → vektörlerini, a düz çizgisinin γ düzlemiyle kesişme noktasından başlayarak çizmek gerekir. Bu vektörlerin verilen doğru ve düzlemlere göre konumu için 4 seçenek vardır. 4 varyasyonun tamamını gösteren aşağıdaki resme bakın.
Buradan, a → ve n → vektörleri arasındaki açının a → , n → ^ olarak belirlendiğini ve dar olduğunu elde ederiz, ardından düz çizgi ile düzlem arasında bulunan istenen α açısı tamamlanır, yani bir ifade elde ederiz. a → , n → ^ = 90 ° - α formundadır. Koşul olarak a →, n → ^ > 90 ° olduğunda, o zaman a →, n → ^ = 90 ° + α'ya sahip oluruz.
Buradan eşit açıların kosinüslerinin eşit olduğunu elde ederiz, ardından son eşitlikler bir sistem şeklinde yazılır
çünkü a → , n → ^ = çünkü 90 ° - α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = cos 90 ° + α , a → , n → ^ >90°
İfadeleri basitleştirmek için indirgeme formüllerini kullanmalısınız. Sonra formun eşitliklerini elde ederiz çünkü a → , n → ^ = sin α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = - s i n α , a → , n → ^ >90°
Dönüşümler gerçekleştirildikten sonra sistem sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ formunu alır.< 90 ° sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^ >90 ° ⇔ sin α = çünkü a → , n → ^ , a → , n → ^ > 0 sin α = - çünkü a → , n → ^ , a → , n → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n → ^
Bundan, düz çizgi ile düzlem arasındaki açının sinüsünün, düz çizginin yönlendirici vektörü ile verilen düzlemin normal vektörü arasındaki açının kosinüsünün modülüne eşit olduğunu elde ederiz.
İki vektörün oluşturduğu açının bulunması bölümünde bu açının vektörlerin skaler çarpımı ile bu uzunlukların çarpımı değerini aldığı ortaya çıktı. Düz bir çizgi ile bir düzlemin kesişmesiyle elde edilen açının sinüsünü hesaplama işlemi formüle göre gerçekleştirilir.
sin α = çünkü a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2
Bu, düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açıyı, düz çizginin yönlendirici vektörünün koordinatları ve dönüşümden sonra düzlemin normal vektörü ile hesaplamak için formülün şu şekilde olduğu anlamına gelir:
α = a r c sin a → , n → ^ a → n → = a r c sin a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2
Bilinen bir sinüs ile kosinüsün bulunmasına, temel prensip uygulanarak izin verilir. trigonometrik özdeşlik. Düz bir çizgi ile bir düzlemin kesişimi dar bir açı oluşturur. Bu, değerinin artacağını gösteriyor pozitif sayı ve hesaplaması cos α = 1 - sin α formülünden yapılır.
Malzemeyi pekiştirmek için birkaç benzer örneği çözelim.
örnek 1
x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 düz çizgisinin ve 2 x + z - 1 = 0 düzleminin oluşturduğu açının açısını, sinüsünü, kosinüsünü bulun.
Çözüm
Yön vektörünün koordinatlarını elde etmek için uzaydaki düz bir çizginin kanonik denklemlerini dikkate almak gerekir. O zaman a → = (3, - 2, 6)'nın x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 düz çizgisinin yön vektörü olduğunu elde ederiz.
Normal vektörün koordinatlarını bulmak için şunu dikkate almak gerekir: genel denklem düzlemlerin varlığı, denklemin değişkenlerinin önünde bulunan katsayılar tarafından belirlendiğinden. Daha sonra 2 x + z - 1 = 0 düzlemi için normal vektörün n → = (2, 0, 1) biçiminde olduğunu buluruz.
Düz çizgi ile düzlem arasındaki açının sinüsünü hesaplamaya devam etmek gerekir. Bunu yapmak için a → ve b → vektörlerinin koordinatlarını verilen formülde değiştirmek gerekir. Formun bir ifadesini alıyoruz
sin α = çünkü a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2 = = 3 2 + (- 2 ) 0 + 6 1 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 2 2 + 0 2 + 1 2 = 12 7 5
Buradan kosinüsün değerini ve açının değerini buluyoruz. Şunu elde ederiz:
çünkü α = 1 - sin α = 1 - 12 7 5 2 = 101 7 5
Cevap: sin α = 12 7 5, çünkü α = 101 7 5, α = a r c cos 101 7 5 = a r c sin 12 7 5.
Örnek 2
A B → = 1, 0, 2, A C → = (- 1, 3, 0), A D → = 4, 1, 1 vektörlerinin değerleri kullanılarak oluşturulmuş bir piramit vardır. A D düz çizgisi ile A B C düzlemi arasındaki açıyı bulun.
Çözüm
İstenilen açıyı hesaplamak için düz çizginin yönlendirici vektörünün ve düzlemin normal vektörünün koordinatlarına sahip olmak gerekir. A D düz bir çizgisi için yön vektörünün koordinatları AD → = 4, 1, 1'dir.
A B C düzlemine ait normal vektör n → A B → ve A C → vektörüne diktir. Bu, A B C düzleminin normal vektörünün dikkate alınabileceği anlamına gelir. vektör çarpımı A B → ve A C → vektörleri. Bunu formülü kullanarak hesaplıyoruz ve şunu elde ediyoruz:
n → = A B → × A C → = ben → j → k → 1 0 2 - 1 3 0 = - 6 · ben → - 2 · j → + 3 · k → ⇔ n → = (- 6 , - 2 , 3 )
Düz bir çizgi ile düzlemin kesişmesiyle oluşan istenilen açıyı hesaplamak için vektörlerin koordinatlarını değiştirmek gerekir. formun bir ifadesini elde ederiz:
α = a r c sin AD → , n → ^ A D → · n → = a r c sin 4 · - 6 + 1 · - 2 + 1 · 3 4 2 + 1 2 + 1 2 · - 6 2 + - 2 2 + 3 2 = a r c sin 23 21 2
Cevap: a r c sin 23 21 2 .
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
\(\blacktriangleright\) Bir doğru ile bir düzlem arasındaki açı, doğru ile onun bu düzlem üzerindeki izdüşümü arasındaki açıdır (yani açıdır) \(0\leqslant \alpha\leqslant 90^\circ\)).
\(\blacktriangleright\) \(a\) doğrusu ile \(\phi\) (\(a\cap\phi=B\)) düzlemi arasındaki açıyı bulmak için ihtiyacınız olan:
Adım 1: \(A\in a\) noktasından \(\phi\) düzlemine dik bir \(AO\) çizin (\(O\) dikmenin tabanıdır);
Adım 2: o zaman \(BO\), eğimli \(AB\)'nin \(\phi\) düzlemine izdüşümüdür;
Adım 3: O halde \(a\) düz çizgisi ile \(\phi\) düzlemi arasındaki açı \(\angle ABO\)'ya eşittir.
Görev 1 #2850
Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor
\(l\) düz çizgisi \(\alpha\) düzlemiyle kesişiyor. Düz çizgi üzerinde \(l\) \(AB=25\) parçası işaretlenmiştir ve bu parçanın \(\alpha\) düzlemine izdüşümünün \(24\)'e eşit olduğu bilinmektedir. Düz çizgi \(l\) ile \(\alpha\) düzlemi arasındaki açının sinüsünü bulun
Resme bakalım:
\(A_1B_1=24\) \(AB\)'nin \(\alpha\) düzlemine izdüşümü olsun, bu da \(AA_1\perp \alpha\) , \(BB_1\perp \alpha\) anlamına gelir. Düzleme dik iki çizgi aynı düzlemde bulunduğundan, \(A_1ABB_1\) dikdörtgen bir yamuktur. Hadi \(AH\perp BB_1\) yapalım. Sonra \(AH=A_1B_1=24\) . Bu nedenle, Pisagor teoremine göre \ Bir doğru ile bir düzlem arasındaki açının, doğru ile onun düzleme izdüşümü arasındaki açı olduğunu, dolayısıyla istenen açının \(AB\) ile \(A_1B_1) arasındaki açı olduğunu da not ediyoruz. \). \(AH\parallel A_1B_1\) olduğundan, \(AB\) ve \(A_1B_1\) arasındaki açı açıya eşit\(AB\) ve \(AH\) arasında.
Daha sonra \[\sin\angle BAH=\dfrac(BH)(AB)=\dfrac7(25)=0,28.\]
Cevap: 0,28
Görev 2 #2851
Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor
\(ABC\) kenarı \(3\) olan düzgün bir üçgendir, \(O\) üçgen düzleminin dışında kalan bir noktadır ve \(OA=OB=OC=2\sqrt3\) . \(OA, OB, OC\) doğrularının üçgenin düzlemiyle oluşturduğu açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.
Üçgenin düzlemine dik bir \(OH\) çizelim.
Hadi düşünelim \(\üçgen OAH, \üçgen OBH, \üçgen OCH\). Dikdörtgendirler ve kenar ve hipotenüsleri eşittir. Bu nedenle \(AH=BH=CH\) . Bu, \(H\)'nin \(ABC\) üçgeninin köşelerinden aynı uzaklıkta bulunan bir nokta olduğu anlamına gelir. Sonuç olarak, \(H\) etrafını çevreleyen dairenin merkezidir. \(\ABC üçgeni\) doğru olduğundan, \(H\) kenarortayların kesişme noktasıdır (bunlar aynı zamanda yükseklikler ve açıortaylardır).
Bir doğru ile düzlem arasındaki açı, doğru ile onun bu düzleme izdüşümü arasındaki açı ve \(AH\), \(AO\)'nun üçgen düzlemine izdüşümü olduğuna göre, \( arasındaki açı AO\) ve üçgenin düzlemi \( \angle OAH\)'a eşittir.
\(AA_1\) \(\triangle ABC\)'deki medyan olsun, dolayısıyla, \
Medyanlar kesişme noktasına \(2:1\) oranında bölündüğünden, tepe noktasından sayılarak, \ Sonra dikdörtgenden \(\üçgen OAH\) : \[\cos OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac12\quad\Rightarrow\quad \angle OAH=60^\circ.\]
\(OAH, OBH, OCH\) üçgenlerinin eşitliğinden şu sonucun çıktığına dikkat edin: \(\açı OAH=\açı OBH=\açı OCH=60^\circ\).
Cevap: 60
Görev 3 #2852
Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor
Düz çizgi \(l\) \(\pi\) düzlemine diktir. \(p\) doğrusu \(\pi\) düzleminde yer almıyor ve ona paralel değil, \(l\) doğrusuna da paralel değil. \(p\) ve \(l\) doğruları arasındaki ve \(p\) doğrusu ile \(\pi\) düzlemi arasındaki açıların toplamını bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.
Bu, \(p\) düz çizgisinin \(\pi\) düzlemini kesmesi koşulundan kaynaklanır. \(p\cap l=O\) , \(l\cap \pi=L\) , \(p\cap\pi=P\) olsun.
O halde \(\angle POL\), \(p\) ve \(l\) doğruları arasındaki açıdır.
Bir çizgi ile düzlem arasındaki açı, bir çizgi ile onun bu düzleme izdüşümü arasındaki açı olduğundan, \(\angle OPL\), \(p\) ve \(\pi\) arasındaki açıdır. \(\triangle OPL\) öğesinin \(\angle L=90^\circ\) ile dikdörtgen olduğunu unutmayın. Tutardan beri keskin köşeler dik üçgen\(90^\circ\)'a eşittir, o zaman \(\açı POL+\açı OPL=90^\circ\).
Yorum.
Eğer \(p\) doğrusu \(l\) doğrusu ile kesişmiyorsa, o zaman \(l\) ile kesişen bir \(p"\paralel p\) doğrusu çizeriz. Sonra \(p\) doğrusu arasındaki açı ) ve \(l\ ), \(p"\) ve \(l\) arasındaki açıya eşit olacaktır. Benzer şekilde, \(p\) ve \(\pi\) arasındaki açı, \(p"\) ve \(\pi\) arasındaki açıya eşit olacaktır. Ve \(p"\) doğrusu için önceki çözüm zaten doğru.
Cevap: 90
Görev 4 #2905
Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – kübik. \(N\) noktası \(BB_1\) kenarının orta noktasıdır ve \(M\) noktası \(BD\) doğru parçasının orta noktasıdır. \(\mathrm(tg)^2\, \alpha\) öğesini bulun; burada \(\alpha\), \(MN\) içeren çizgi ile \((A_1B_1C_1D_1)\) düzlemi arasındaki açıdır. Cevabınızı derece cinsinden verin.
\(NM\), \(DBB_1\) üçgeninin orta çizgisidir, bu durumda \(NM \parallel B_1D\) ve \(\alpha\), \(B_1D\) ile \( düzlemi arasındaki açıya eşittir (A_1B_1C_1D_1)\) .
\(DD_1\), \(A_1B_1C_1D_1\) düzlemine dik olduğundan, \(B_1D_1\), \(B_1D\)'nin \((A_1B_1C_1D_1)\) düzlemine ve \(B_1D\ arasındaki açıya) izdüşümüdür. ) ve \( (A_1B_1C_1D_1)\) düzlemi, \(B_1D\) ve \(B_1D_1\) arasındaki açıdır.
Küpün kenarı \(x\) olsun, sonra Pisagor teoremine göre \ \(B_1D_1D\) üçgeninde \(B_1D\) ile \(B_1D_1\) arasındaki açının tanjantı şuna eşittir: \(\mathrm(tg)\,\angle DB_1D_1=\dfrac(DD_1)(B_1D_1) = \dfrac(1)(\sqrt(2))=\mathrm(tg)\,\alpha\), Neresi \(\mathrm(tg)^2\, \alpha = \dfrac(1)(2)\).
Cevap: 0,5
Görev 5 #2906
Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – kübik. \(N\) noktası \(BB_1\) kenarının ortasıdır ve \(M\) noktası \(BD\) parçasını tepe noktasından sayılarak \(1:2\) oranında böler. \(B\) . \(9\mathrm(ctg)^2\, \alpha\) öğesini bulun; burada \(\alpha\), \(MN\) içeren çizgi ile \((ABC)\) düzlemi arasındaki açıdır. Cevabınızı derece cinsinden verin.
\(NB\) \(BB_1\) ve \(BB_1\perp (ABC)\) öğesinin bir parçası olduğundan, \(NB\perp (ABC)\) da öyle. Bu nedenle \(BM\), \(NM\)'nin \((ABC)\) düzlemine izdüşümüdür. Bu, \(\alpha\) açısının \(\angle NMB\) değerine eşit olduğu anlamına gelir.
Küpün kenarı \(x\)'e eşit olsun. Sonra \(NB=0,5x\) . Pisagor teoremine göre \(BD=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2x\) . Koşul gereği \(BM:MD=1:2\) , o zaman \(BM=\frac13BD\) , dolayısıyla \(BM=\frac(\sqrt2)3x\) .
Sonra dikdörtgen \(\üçgen NBM\)'den: \[\mathrm(ctg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\angle NMB=\dfrac(BM)(NB)=\dfrac(2\sqrt2)3 \quad\Rightarrow\quad 9\mathrm( ctg)^2\,\alpha=8.\]
Cevap: 8
Görev 6 #2907
Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor
Eğer \(\alpha\) küpün köşegeninin yüzlerinden birine olan eğim açısı ise \(\mathrm(ctg^2)\,\alpha\) neye eşittir?
İstenilen açı, küpün köşegeni ile herhangi bir yüzünün köşegeni arasındaki açıyla çakışacaktır, çünkü bu durumda küpün köşegeni eğimli olacak, yüzün köşegeni bu eğimli yüzün düzleme izdüşümü olacaktır. Böylece istenen açı örneğin \(C_1AC\) açısına eşit olacaktır. Küpün kenarını \(x\) olarak gösterirsek, o zaman \(AC=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2 x\), ardından istenen açının kotanjantının karesi: \[\mathrm(ctg^2)\,\alpha =(AC:CC_1)^2= (\sqrt2 x:x)^2 = 2.\]
Cevap: 2
Görev 7 #2849
Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor
\(\angle BAH=\angle CAH=30^\circ\) .
Pisagor teoremine göre \
Buradan, \[\cos 30^\circ=\dfrac(AB)(AH)\quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac(AB)(\cos 30^\circ)=2.\]\(OH\perp (ABC)\) olduğundan, \(OH\) bu düzlemden gelen herhangi bir düz çizgiye diktir, bu da \(\üçgen OAH\)'ın dikdörtgen olduğu anlamına gelir. Daha sonra \[\cos \angle OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac25=0,4.\]
Cevap: 0,4
Matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlanan lise öğrencilerinin, düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulmaları gereken “Uzayda Geometri” bölümündeki görevlerle nasıl başa çıkacaklarını öğrenmeleri faydalı olacaktır. Geçmiş yılların deneyimi, bu tür görevlerin mezunlar için bazı zorluklara neden olduğunu göstermektedir. Aynı zamanda herhangi bir düzeyde eğitim almış lise öğrencilerinin temel teoriyi bilmesi ve bir doğru ile düzlem arasındaki açının nasıl bulunacağını anlaması gerekir. Ancak bu durumda makul puanlar alacaklarına güvenebilirler.
Ana nüanslar
Birleşik Devlet Sınavının diğer stereometrik problemleri gibi, çizgiler ve düzlemler arasındaki açıları ve mesafeleri bulmanız gereken görevler iki yöntemle çözülebilir: geometrik ve cebirsel. Öğrenciler kendilerine en uygun olan seçeneği seçebilirler. Geometrik yönteme göre, düz bir çizgi üzerinde uygun bir nokta bulmak, buradan bir dikmeyi düzleme indirmek ve bir çıkıntı oluşturmak gerekir. Bundan sonra mezunun yalnızca temel teorik bilgiyi uygulaması ve bir açı hesaplamak için planimetrik bir problemi çözmesi gerekecektir. Cebirsel yöntem, istenen miktarı bulmak için bir koordinat sisteminin tanıtılmasını içerir. Düz bir çizgi üzerindeki iki noktanın koordinatlarını belirlemek, düzlemin denklemini doğru bir şekilde oluşturmak ve çözmek gerekir.
Shkolkovo ile etkili hazırlık
Dersleri kolaylaştırmak ve hatta karmaşık görevlerin zorluk yaratmamasını sağlamak için bizim ürünümüzü seçin. eğitim portalı. Hepsi burada sunulmaktadır gerekli malzeme Sertifika testini başarıyla geçmek için. Gerekli temel bilgileri “Teorik Bilgiler” bölümünde bulacaksınız. Görevleri tamamlama alıştırması yapmak için matematik portalımızdaki “Katalog”a gitmeniz yeterli. Bu bölüm, farklı zorluk derecelerinde geniş bir egzersiz yelpazesi içerir. Katalogda düzenli olarak yeni görevler görünür.
Rus okul çocukları, Moskova'da veya başka bir şehirdeyken bir çizgi ile uçak arasındaki açıyı bulma veya çevrimiçi olarak bu görevleri tamamlayabilirler. Öğrenci dilerse herhangi bir alıştırmayı “Favoriler”e kaydedebilir. Bu, gerekirse onu hızlı bir şekilde bulmanızı ve çözümünün ilerleyişini öğretmenle tartışmanızı sağlayacaktır.
Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit etmemiz halinde, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
Düz çizgi l ile düzlem 6 arasındaki açı a, belirli bir düz çizgi l ile düz çizgi üzerindeki herhangi bir noktadan çizilen belirli bir düzleme dik olan n arasındaki ek açı p aracılığıyla belirlenebilir (Şekil 144). P açısı istenen a açısını 90°'ye kadar tamamlar. Düz çizgi l tarafından oluşturulan açının düzlem seviyesini ve dik ve düz çizgi etrafında döndürerek P açısının gerçek değerini belirledikten sonra, onu tamamlamaya devam eder. dik açı. Bu ek açı, l düz çizgisi ile 0 düzlemi arasındaki a açısının gerçek değerini verecektir.
27.İki düzlem arasındaki açının belirlenmesi.
Gerçek değer Dihedral açı- iki Q ve l düzlemi arasında. - bir dihedral açının kenarını bir çıkıntı çizgisine dönüştürmek için izdüşüm düzleminin değiştirilmesiyle (problem 1 ve 2) veya kenar belirtilmemişse, iki dik n1 ve n2 arasındaki açı olarak belirlenebilir. Bu düzlemler, uzayın B düzleminin rastgele bir M noktasından, M noktasındaki bu diklerin düzlemi, q ve l düzlemleri tarafından oluşturulan iki bitişik açının (dihedral) doğrusal açılarına sırasıyla eşit olan iki düzlem açısı a ve P elde ederiz. Düzeyin düz çizgisi etrafında dönerek n1 ve n2 diklikleri arasındaki açıların gerçek değerini belirledikten sonra, q ve l düzlemlerinin oluşturduğu dihedral açının doğrusal açısını belirleyeceğiz.
Kıvrımlı çizgiler. Eğri çizgilerin özel noktaları.
Karmaşık bir eğri çiziminde, bükülme noktaları, geri dönüş, kırılma noktaları ve düğüm noktalarını içeren özel noktaları aynı zamanda izdüşümünde de özel noktalardır. Bu durum eğrilerin tekil noktalarının bu noktalardaki teğetlere bağlanmasıyla açıklanmaktadır.
Eğrinin düzlemi çıkıntılı bir pozisyonda bulunuyorsa (Şek. A), o zaman bu eğrinin bir izdüşümü düz bir çizgi şeklindedir.
Uzaysal bir eğri için tüm projeksiyonları eğri çizgilerdir (Şekil 1). B).
Hangi eğrinin verildiğini (düzlemsel veya uzaysal) çizimden belirlemek için eğrinin tüm noktalarının aynı düzleme ait olup olmadığını bulmak gerekir. Şekil 2'de belirtilmiştir. B eğri uzaysaldır, çünkü nokta D eğri diğer üç nokta tarafından tanımlanan düzleme ait değildir A, B Ve e bu eğri.
Daire - dik izdüşümü bir daire ve bir elips olabilen ikinci dereceden bir düzlem eğrisi
Silindirik bir sarmal çizgi (sarmal), sarmal bir hareket gerçekleştiren bir noktanın yörüngesini temsil eden uzamsal bir eğridir. 
29.Düz ve uzaysal eğri çizgiler.
28. soruya bakın
30. Karmaşık yüzey çizimi. Temel hükümler.
Yüzey, uzayda hareket eden çizgilerin sıralı konumları kümesidir. Bu çizgi düz veya kavisli olabilir ve denir nesil yüzeyler. Generatrix bir eğri ise, sabit olabilir veya değişken görünüm. Generatrix birlikte hareket ediyor rehberler, jeneratörlerden farklı yöndeki hatları temsil eder. Kılavuz çizgileri jeneratörlerin hareket yasasını belirler. Generatrix'i kılavuzlar boyunca hareket ettirirken, çerçeve genatrislerin ve kılavuzların birbirini takip eden birkaç konumundan oluşan bir dizi yüzey (Şekil 84). Çerçeveyi inceleyerek jeneratörlerin ben ve rehberler T değiştirilebilir ancak yüzey aynı kalır.
Herhangi bir yüzey çeşitli şekillerde elde edilebilir.
Generatrix'in şekline bağlı olarak tüm yüzeyler bölünebilir hükmetti,üretken bir düz çizgiye sahip olan ve yönetilmeyen, oluşturan kavisli bir çizgiye sahiptir.
Geliştirilebilir yüzeyler, tüm çokyüzlü, silindirik, konik ve gövde yüzeylerinin yüzeylerini içerir. Diğer tüm yüzeyler geliştirilemez. Kuralsız yüzeyler, sabit bir şekle sahip bir generatrise (dönüş yüzeyleri ve boru şeklindeki yüzeyler) ve değişken bir şekle (kanal ve çerçeve yüzeyleri) sahip olabilir.
Karmaşık bir çizimdeki bir yüzey, determinantının geometrik kısmının izdüşümleri ile belirlenir ve bu, üreteçlerinin yapım yöntemini gösterir. Bir yüzeyin çiziminde, uzaydaki herhangi bir noktanın belirli bir yüzeye ait olup olmadığı sorusu açık bir şekilde çözülür. Yüzey belirleyicinin elemanlarının grafiksel olarak belirtilmesi, çizimin tersine çevrilebilirliğini sağlar, ancak görselleştirmez. Netlik sağlamak için, oldukça yoğun bir genel çerçeve çerçevesinin projeksiyonlarını oluşturmaya ve yüzeyin ana hatlarını oluşturmaya başvuruyorlar (Şekil 86). Q yüzeyi projeksiyon düzlemine yansıtıldığında, çıkıntı yapan ışınlar bu yüzeye üzerinde belirli bir çizgi oluşturan noktalarda temas eder. ben, buna denir kontur astar. Kontur çizgisinin izdüşümüne denir makale yüzeyler. Karmaşık bir çizimde herhangi bir yüzey şunları içerir: P 1 - yatay taslak, P 2'de - ön taslak, P 3'te - yüzeyin profil taslağı. Çizim, kontur çizgisinin çıkıntılarına ek olarak kesim çizgilerinin çıkıntılarını da içerir.
