GirişKosinüs karşı tarafın hipotenüse oranıdır. Sinüs, kosinüs, teğet: nedir bu? Sinüs, kosinüs ve tanjant nasıl bulunur?
Bu yazıda nasıl verileceğini göstereceğiz Trigonometride bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları ve sayı. Burada notasyonlardan bahsedeceğiz, girdi örnekleri vereceğiz ve grafiksel çizimler vereceğiz. Sonuç olarak trigonometri ve geometrideki sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları arasında bir paralellik kuralım.
Sayfada gezinme.
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın tanımı
Bir okul matematik dersinde sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fikrinin nasıl oluştuğunu görelim. Geometri derslerinde sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları verilmektedir. dar açı bir dik üçgende. Daha sonra dönme açısının ve sayısının sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantından bahseden trigonometri incelenir. Tüm bu tanımları sunalım, örnekler verelim ve gerekli yorumları verelim.
Dik üçgende dar açı
Geometri dersinden dik üçgendeki dar açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantının tanımlarını biliyoruz. Bir dik üçgenin kenarlarının oranı olarak verilirler. Formülasyonlarını verelim.
Tanım.
Dik üçgende dar açının sinüsü karşı kenarın hipotenüse oranıdır.
Tanım.
Dik üçgende dar açının kosinüsü bitişik bacağın hipotenüse oranıdır.
Tanım.
Dik üçgende dar açının tanjantı– karşı tarafın bitişik tarafa oranıdır.
Tanım.
Bir dik üçgende dar açının kotanjantı- bu, bitişik tarafın karşı tarafa oranıdır.
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları da burada tanıtılmıştır - sırasıyla sin, cos, tg ve ctg.
Örneğin, ABC ise dik üçgen C dik açısı varsa, A dar açısının sinüsü karşı BC kenarının AB hipotenüsüne oranına eşittir, yani sin∠A=BC/AB.
Bu tanımlar, bir akut açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerini hesaplamanıza olanak tanır. bilinen uzunluklar bir dik üçgenin kenarlarının yanı sıra bilinen değerler Sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant ve kenarlardan birinin uzunluğunu kullanarak diğer kenarların uzunluklarını bulun. Örneğin, bir dik üçgende AC kenarının 3'e ve AB hipotenüsünün 7'ye eşit olduğunu bilseydik, dar açı A'nın kosinüsünün değerini tanım gereği hesaplayabilirdik: cos∠A=AC/ AB=3/7.
Dönüş açısı
Trigonometride açıya daha geniş bakmaya başlarlar - dönme açısı kavramını tanıtırlar. Dönme açısının büyüklüğü, dar açıdan farklı olarak 0 ila 90 derece ile sınırlı değildir; derece cinsinden (ve radyan cinsinden) dönme açısı -∞'dan +∞'a kadar herhangi bir gerçek sayı ile ifade edilebilir.
Bu açıdan sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları dar bir açıya göre değil, isteğe bağlı büyüklükte bir açıya (dönme açısına) göre verilmiştir. Bunlar, dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin başlangıcı olan O noktası etrafında bir α açısı kadar döndükten sonra sözde başlangıç noktası A(1, 0)'ın gittiği A 1 noktasının x ve y koordinatları aracılığıyla verilir. ve birim çemberin merkezi.
Tanım.
Dönme açısının sinüsüα, A1 noktasının koordinatıdır, yani sinα=y.
Tanım.
Dönme açısının kosinüsüα'ya A 1 noktasının apsisi denir, yani cosα=x.
Tanım.
Dönme açısının tanjantıα, A1 noktasının ordinatının apsisine oranıdır, yani tanα=y/x.
Tanım.
Dönme açısının kotanjantıα, A1 noktasının apsisinin ordinatına oranıdır, yani ctgα=x/y.
Sinüs ve kosinüs herhangi bir α açısı için tanımlanır, çünkü başlangıç noktasının α açısı kadar döndürülmesiyle elde edilen noktanın apsisini ve ordinatını her zaman belirleyebiliriz. Ancak teğet ve kotanjant herhangi bir açı için tanımlanmamıştır. Başlangıç noktasının sıfır apsisli (0, 1) veya (0, −1) bir noktaya gittiği α açıları için tanjant tanımlanmamıştır ve bu, 90°+180° k, k∈Z (π) açılarında meydana gelir. /2+π·k rad). Aslında bu tür dönme açılarında tgα=y/x ifadesi sıfıra bölünmeyi içerdiğinden bir anlam ifade etmemektedir. Kotanjanta gelince, başlangıç noktasının sıfır koordinatlı (1, 0) veya (−1, 0) noktaya gittiği α açıları için tanımlanmamıştır ve bu, 180° k, k ∈Z açıları için meydana gelir. (π·k rad).
Yani herhangi bir dönme açısı için sinüs ve kosinüs tanımlanır, 90°+180°k hariç tüm açılar için teğet tanımlanır, k∈Z (π/2+πk rad) ve 180° ·k hariç tüm açılar için kotanjant tanımlanır , k∈Z (π·k rad).
Tanımlar, bizim tarafımızdan zaten bilinen sin, cos, tg ve ctg tanımlarını içerir; bunlar aynı zamanda sinüs, kosinüs, teğet ve dönme açısının kotanjantını belirtmek için de kullanılır (bazen tan ve cot tanımlarını teğet ve kotanjanta karşılık gelen olarak bulabilirsiniz) . Dolayısıyla 30 derecelik bir dönme açısının sinüsü sin30° olarak yazılabilir, tg(−24°17') ve ctgα girdileri −24 derece 17 dakika dönme açısının tanjantına ve dönme açısı α'nın kotanjantına karşılık gelir. . Bir açının radyan ölçüsünü yazarken "rad" ifadesinin sıklıkla atlandığını hatırlayın. Örneğin, üç pi rad'lık bir dönme açısının kosinüsü genellikle cos3·π olarak gösterilir.
Bu noktanın sonucu olarak, dönme açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantından bahsederken "dönme açısı" ifadesinin veya "dönme" kelimesinin sıklıkla atlandığını belirtmekte fayda var. Yani, "dönme açısı alfanın sinüsü" ifadesi yerine genellikle "alfa açısının sinüsü" veya daha kısası "sinüs alfa" ifadesi kullanılır. Aynı durum kosinüs, teğet ve kotanjant için de geçerlidir.
Ayrıca bir dik üçgende bir dar açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarının, 0 ila 90 derece arasındaki bir dönme açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant için verilen tanımlarla tutarlı olduğunu söyleyeceğiz. Bunu meşrulaştıracağız.
Sayılar
Tanım.
Bir sayının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı t, dönme açısının sırasıyla t radyan cinsinden sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantına eşit bir sayıdır.
Örneğin, 8·π sayısının kosinüsü, tanım gereği, 8·π rad açısının kosinüsüne eşit bir sayıdır. Ve açının kosinüsü 8 π rad bire eşit dolayısıyla 8·π sayısının kosinüsü 1'e eşittir.
Bir sayının sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını ve kotanjantını belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım daha vardır. Her t gerçek sayısına bir nokta atanmasından oluşur. birim çember Dikdörtgen koordinat sisteminin orijininde merkezlenir ve bu noktanın koordinatları üzerinden sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant belirlenir. Buna daha detaylı bakalım.
Gerçek sayılar ile çember üzerindeki noktalar arasında nasıl bir ilişki kurulduğunu gösterelim:
- 0 sayısına A(1, 0) başlangıç noktası atanır;
- pozitif sayı t, başlangıç noktasından saat yönünün tersine daire boyunca hareket edersek ve t uzunluğunda bir yolda yürürsek ulaşacağımız birim dairenin noktasıyla ilişkilidir;
- Negatif t sayısı birim çember üzerindeki bir noktayla ilişkilidir; başlangıç noktasından itibaren çember boyunca saat yönünde hareket edersek ve |t| uzunluğunda bir yolda yürürsek bu noktaya ulaşacağız. .
Şimdi t sayısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarına geçiyoruz. t sayısının A 1 (x, y) çemberi üzerinde bir noktaya karşılık geldiğini varsayalım (örneğin &pi/2; sayısı A 1 (0, 1) noktasına karşılık gelir).
Tanım.
Sayının sinüsü t, birim çember üzerinde t sayısına karşılık gelen noktanın koordinatıdır, yani sint=y.
Tanım.
Sayının kosinüsü t'ye birim çemberin t sayısına karşılık gelen noktasının apsisi denir, yani maliyet=x.
Tanım.
Sayının tanjantı t, birim çember üzerinde t sayısına karşılık gelen bir noktanın ordinatının apsisine oranıdır, yani tgt=y/x. Başka bir eşdeğer formülasyonda, bir t sayısının tanjantı, bu sayının sinüsünün kosinüsüne oranıdır, yani tgt=sint/maliyettir.
Tanım.
Sayının kotanjantı t, apsisin birim çember üzerindeki t sayısına karşılık gelen bir noktanın ordinatına oranıdır, yani ctgt=x/y. Başka bir formülasyon şudur: t sayısının tanjantı, t sayısının kosinüsünün t sayısının sinüsüne oranıdır: ctgt=maliyet/sint.
Burada az önce verilen tanımların bu paragrafın başında verilen tanımla tutarlı olduğunu görüyoruz. Aslında birim çember üzerinde t sayısına karşılık gelen nokta, başlangıç noktasının t radyan açıyla döndürülmesiyle elde edilen noktayla çakışmaktadır.
Bu noktayı yine de açıklığa kavuşturmakta fayda var. Diyelim ki sin3 girişimiz var. 3 sayısının sinüsünden mi, yoksa 3 radyanlık dönme açısının sinüsünden mi bahsettiğimizi nasıl anlayabiliriz? Bu genellikle bağlamdan açıkça anlaşılır, aksi halde muhtemelen temel bir öneme sahip değildir.
Açısal ve sayısal argümanın trigonometrik fonksiyonları
Önceki paragrafta verilen tanımlara göre, her bir dönme açısı α, cosα değerinin yanı sıra çok spesifik bir sinα değerine de karşılık gelir. Ayrıca 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) dışındaki tüm dönüş açıları tgα değerlerine, 180°k dışındaki tüm dönüş açıları ise k∈Z (πk rad ) – değerlere karşılık gelir. ctga'dan. Bu nedenle sinα, cosα, tanα ve ctgα, α açısının fonksiyonlarıdır. Başka bir deyişle bunlar açısal argümanın işlevleridir.
Sayısal bir argümanın sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonları hakkında da benzer şekilde konuşabiliriz. Gerçekte, her t gerçek sayısı, maliyetin yanı sıra çok spesifik bir sint değerine de karşılık gelir. Ek olarak, π/2+π·k, k∈Z dışındaki tüm sayılar tgt değerlerine ve π·k, k∈Z sayıları - ctgt değerlerine karşılık gelir.
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonlarına denir temel trigonometrik fonksiyonlar.
Açısal bir argümanın trigonometrik fonksiyonlarıyla mı yoksa sayısal bir argümanla mı uğraştığımız bağlamdan genellikle açıktır. Aksi takdirde bağımsız değişkeni hem açının bir ölçüsü (açısal argüman) hem de sayısal bir argüman olarak düşünebiliriz.
Ancak okulda esas olarak sayısal fonksiyonları, yani argümanları ve karşılık gelen fonksiyon değerleri sayı olan fonksiyonları inceliyoruz. Bu nedenle eğer Hakkında konuşuyoruzözellikle fonksiyonlarla ilgili olarak, trigonometrik fonksiyonların sayısal argümanların fonksiyonları olarak dikkate alınması tavsiye edilir.
Geometri ve trigonometri tanımları arasındaki ilişki
Dönme açısı α'nın 0 ila 90 derece arasında değiştiğini düşünürsek, trigonometri bağlamında dönme açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları bir sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarıyla tamamen tutarlıdır. Geometri dersinde verilen dik üçgende dar açı. Bunu meşrulaştıralım.
Birim çemberi dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi Oxy'de gösterelim. Başlangıç noktasını A(1, 0) olarak işaretleyelim. Bunu 0 ila 90 derece arasında değişen bir α açısı kadar döndürelim, A 1 (x, y) noktasını elde ederiz. A 1 H dikmesini A 1 noktasından Ox eksenine bırakalım.
Bir dik üçgende A 1 OH olduğunu görmek kolaydır. açıya eşit dönme α, bu açıya bitişik OH ayağının uzunluğu A 1 noktasının apsisine eşittir, yani |OH|=x, köşenin karşısındaki A 1 H ayağının uzunluğu koordinatına eşittir A 1 noktası, yani |A 1 H|=y ve OA 1 hipotenüsünün uzunluğu birim çemberin yarıçapı olduğundan bire eşittir. Bu durumda, geometri tanımı gereği, bir A 1 OH dik üçgenindeki bir α dar açısının sinüsü, karşı kenarın hipotenüse oranına eşittir, yani sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Ve trigonometrinin tanımı gereği, dönme açısı a'nın sinüsü A1 noktasının ordinatına eşittir, yani sinα=y. Bu, bir dik üçgende bir dar açının sinüsünü belirlemenin, α 0 ila 90 derece arasında olduğunda dönme açısı α'nın sinüsünü belirlemeye eşdeğer olduğunu gösterir.
Benzer şekilde, bir a dar açısının kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarının, a dönme açısının kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarıyla tutarlı olduğu gösterilebilir.
Kaynakça.
- Geometri. 7-9 sınıflar: ders kitabı genel eğitim için kurumlar / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, vb.]. - 20. baskı. M.: Eğitim, 2010. - 384 s.: hasta. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Pogorelov A.V. Geometri: Ders Kitabı. 7-9 sınıflar için. Genel Eğitim kurumlar / A.V. Pogorelov. - 2. baskı - M.: Eğitim, 2001. - 224 s.: hasta. - ISBN 5-09-010803-X.
- Cebir ve temel fonksiyonlar: öğretici 9. sınıf öğrencileri için lise/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Düzenleyen: Fizik ve Matematik Bilimleri Doktoru O. N. Golovin - 4. baskı. M.: Eğitim, 1969.
- Cebir: Ders Kitabı 9. sınıf için. ortalama okul / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M .: Eğitim, 1990. - 272 s.: hasta - ISBN 5-09-002727-7
- Cebir ve analizin başlangıcı: Proc. 10-11 sınıflar için. Genel Eğitim kurumlar / A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn ve diğerleri; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. baskı - M.: Eğitim, 2004. - 384 s.: hasta - ISBN 5-09-013651-3.
- Mordkoviç A.G. Cebir ve analizin başlangıcı. Sınıf 10. Saat 2'de Bölüm 1: öğretici Eğitim Kurumları (profil düzeyi)/ A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - 4. baskı, ekleyin. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 s.: hasta. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Cebir ve başladı matematiksel analiz. 10. sınıf: ders kitabı. genel eğitim için kurumlar: temel ve profil. seviyeler /[Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; tarafından düzenlendi A. B. Zhizhchenko. - 3. baskı. - I.: Eğitim, 2010.- 368 s.: hasta.- ISBN 978-5-09-022771-1.
- Bashmakov M.I. Cebir ve analizin başlangıcı: Ders kitabı. 10-11 sınıflar için. ortalama okul - 3. baskı. - M.: Eğitim, 1993. - 351 s.: hasta. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.
Öncelikle yarıçapı 1 ve merkezi (0;0) olan bir daire düşünün. Herhangi bir αЄR için, 0A yarıçapı, 0A ile 0x ekseni arasındaki açının radyan ölçüsü α'ya eşit olacak şekilde çizilebilir. Saat yönünün tersine yön pozitif kabul edilir. A yarıçapının sonunun koordinatları (a,b) olsun.
sine'un tanımı
Tanım: Açıklanan şekilde oluşturulan birim yarıçapın ordinatına eşit olan b sayısı sinα ile gösterilir ve α açısının sinüsü olarak adlandırılır.
Örnek: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0
cosine'un tanımı
Tanım: Açıklanan şekilde oluşturulan birim yarıçapın ucunun apsisine eşit olan a sayısı, cosα ile gösterilir ve α açısının kosinüsü olarak adlandırılır.
Örnek: cos0 cos3π + cos3,5π = 1 (-1) + 0 = 2
Bu örneklerde, birim yarıçapın ve birim çemberin ucunun koordinatları cinsinden bir açının sinüs ve kosinüsünün tanımı kullanılır. Daha görsel bir gösterim için, bir birim daire çizmeniz ve karşılık gelen noktaları bunun üzerine çizmeniz, ardından kosinüsü hesaplamak için apsislerini ve sinüsü hesaplamak için koordinatları saymanız gerekir.
Teğet tanımı
Tanım: x≠π/2+πk, kЄZ için tgx=sinx/cosx fonksiyonuna x açısının kotanjantı denir. İhtisas tgx fonksiyonları x=π/2+πn, nЄZ hariç bunların hepsi gerçek sayılardır.
Örnek: tg0 tgπ = 0 0 = 0
Bu örnek öncekine benzer. Bir açının tanjantını hesaplamak için bir noktanın ordinatını apsisine bölmeniz gerekir.
cotangent'un tanımı
Tanım: x≠πk, kЄZ için ctgx=cosx/sinx fonksiyonuna x açısının kotanjantı denir. Ctgx = fonksiyonunun tanım alanı, x=πk, kЄZ noktaları dışındaki tüm gerçek sayılardır.
Normal dik üçgeni kullanan bir örneğe bakalım
Kosinüs, sinüs, teğet ve kotanjantın ne olduğunu daha açık hale getirmek için. Açısı y olan normal bir dik üçgeni kullanan bir örneğe bakalım ve a,b,c kenarları. Hipotenüs c, sırasıyla bacaklar a ve b. Hipotenüs c ile kenar b y arasındaki açı.
Tanım: Y açısının sinüsü karşı tarafın hipotenüse oranıdır: siny = a/c
Tanım: Y açısının kosinüsü, bitişik kenarın hipotenüse oranıdır: cosy = v/c
Tanım: Y açısının tanjantı karşı tarafın komşu kenara oranıdır: tgy = a/b
Tanım: Y açısının kotanjantı, komşu tarafın karşı tarafa oranıdır: ctgy= in/a
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant da trigonometrik fonksiyonlar olarak adlandırılır. Her açının kendi sinüsü ve kosinüsü vardır. Ve neredeyse herkesin kendi teğet ve kotanjantı vardır.
Bize bir açı verilirse sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantının bizim tarafımızdan bilindiğine inanılıyor! Ve tam tersi. Sırasıyla bir sinüs veya başka bir trigonometrik fonksiyon verildiğinde açıyı biliyoruz. Hatta her açı için trigonometrik fonksiyonların yazıldığı özel tablolar bile oluşturulmuştur.
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant kavramları, matematiğin bir dalı olan trigonometrinin ana kategorileridir ve açının tanımıyla ayrılmaz bir şekilde bağlantılıdır. Bu matematik bilimine hakim olmak, formüllerin ve teoremlerin ezberlenmesini ve anlaşılmasının yanı sıra gelişmiş mekansal düşünmeyi gerektirir. Bu nedenle okul çocukları ve öğrenciler trigonometrik hesaplamalarçoğu zaman zorluklara neden olur. Bunların üstesinden gelmek için trigonometrik fonksiyonlara ve formüllere daha aşina olmalısınız.
Trigonometride kavramlar
Anlamak temel konseptler trigonometri, öncelikle bir dik üçgenin ve bir daire içindeki açının ne olduğuna ve neden tüm temel trigonometrik hesaplamaların bunlarla ilişkili olduğuna karar vermelisiniz. Açılarından birinin ölçüsü 90 derece olan üçgen dikdörtgendir. Tarihsel olarak bu figür insanlar tarafından mimari, navigasyon, sanat ve astronomi alanlarında sıklıkla kullanılmıştır. Buna göre, insanlar bu şeklin özelliklerini inceleyerek ve analiz ederek, parametrelerinin karşılık gelen oranlarını hesaplamaya geldiler.
Dik üçgenlerle ilişkili ana kategoriler hipotenüs ve bacaklardır. Hipotenüs, bir üçgenin dik açının karşısındaki tarafıdır. Bacaklar sırasıyla diğer iki taraftır. Herhangi bir üçgenin açılarının toplamı her zaman 180 derecedir.
Küresel trigonometri, trigonometrinin okulda incelenmeyen bir bölümüdür, ancak astronomi ve jeodezi gibi uygulamalı bilimlerde bilim adamları bunu kullanır. Küresel trigonometride bir üçgenin özelliği, açılarının toplamının her zaman 180 dereceden büyük olmasıdır.
Bir üçgenin açıları
Bir dik üçgende bir açının sinüsü, istenilen açının karşısındaki kenarın üçgenin hipotenüsüne oranıdır. Buna göre kosinüs, bitişik kenar ile hipotenüsün oranıdır. Bu değerlerin her ikisi de her zaman büyüklüğe sahiptir birden az, çünkü hipotenüs her zaman bacaktan daha uzundur.
Bir açının tanjantı, istenen açının karşı tarafının bitişik tarafına veya sinüsün kosinüse oranına eşit bir değerdir. Kotanjant ise istenen açının bitişik tarafının karşı tarafa oranıdır. Bir açının kotanjantı, bir açının tanjant değerine bölünmesiyle de elde edilebilir.
Birim çember
Geometride birim çember, yarıçapı bire eşit olan bir çemberdir. Böyle bir daire, dairenin merkezi başlangıç noktasıyla çakışacak şekilde Kartezyen koordinat sisteminde inşa edilir ve yarıçap vektörünün başlangıç konumu, X ekseninin (apsis ekseni) pozitif yönü boyunca belirlenir. Çember üzerindeki her noktanın iki koordinatı vardır: XX ve YY, yani apsis ve ordinat koordinatları. XX düzlemindeki daire üzerinde herhangi bir noktayı seçip apsis eksenine dik bir noktayı bırakarak, yarıçapın seçilen noktaya (C harfiyle gösterilir) oluşturduğu, X eksenine çizilen dik bir üçgen elde ederiz. (kesişme noktası G harfiyle gösterilir) ve başlangıç noktası (nokta A harfiyle gösterilir) ile kesişme noktası G arasındaki apsis ekseninin segmenti. Ortaya çıkan ACG üçgeni, bir daire içine yazılmış bir dik üçgendir, AG hipotenüs, AC ve GC ise bacaklardır. AC dairesinin yarıçapı ile apsis ekseninin AG işaretli bölümü arasındaki açı α (alfa) olarak tanımlanır. Yani, çünkü α = AG/AC. AC'nin birim çemberin yarıçapı olduğu ve bire eşit olduğu dikkate alındığında cos α=AG olduğu ortaya çıkar. Benzer şekilde sin α=CG.
Ek olarak, bu verileri bilerek, çember üzerindeki C noktasının koordinatını belirleyebilirsiniz, çünkü cos α=AG ve sin α=CG, yani C noktası verilen koordinatlar(çünkü α;sin α). Teğetin sinüsün kosinüs oranına eşit olduğunu bilerek tan α = y/x ve cot α = x/y olduğunu belirleyebiliriz. Açıları negatif koordinat sisteminde dikkate alarak bazı açıların sinüs ve kosinüs değerlerinin negatif olabileceğini hesaplayabilirsiniz.
Hesaplamalar ve temel formüller
Trigonometrik fonksiyon değerleri
Trigonometrik fonksiyonların özünü birim çember üzerinden ele alarak, bu fonksiyonların değerlerini bazı açılar için türetebiliriz. Değerler aşağıdaki tabloda listelenmiştir.
En basit trigonometrik kimlikler
Trigonometrik fonksiyonun işareti altında bilinmeyen bir değer bulunan denklemlere trigonometrik denir. sin x = α, k - herhangi bir tam sayı değerine sahip kimlikler:
- günah x = 0, x = πk.
- 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
- günah x = -1, x = -π/2 + 2πk.
- günah x = a, |a| > 1, çözüm yok.
- günah x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.
cos x = a değerine sahip kimlikler; burada k herhangi bir tamsayıdır:
- çünkü x = 0, x = π/2 + πk.
- çünkü x = 1, x = 2πk.
- çünkü x = -1, x = π + 2πk.
- çünkü x = a, |a| > 1, çözüm yok.
- çünkü x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.
k'nin herhangi bir tam sayı olduğu tg x = a değerine sahip kimlikler:
- tan x = 0, x = π/2 + πk.
- tan x = a, x = arktan α + πk.
ctg x = a değerine sahip kimlikler; burada k herhangi bir tamsayıdır:
- bebek karyolası x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x = a, x = arcctg α + πk.
Azaltma formülleri
Bu kategori sabit formüller formun trigonometrik işlevlerinden bir argümanın işlevlerine geçebileceğiniz, yani herhangi bir değerin açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantını 0'dan aralığın açısının karşılık gelen göstergelerine indirgeyebileceğiniz yöntemleri belirtir. Daha fazla hesaplama kolaylığı için 90 derece.
Bir açının sinüsüne göre fonksiyonların azaltılmasına yönelik formüller şuna benzer:
- sin(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = sin α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sin(3600 + α) = sin α.
Açının kosinüsü için:
- cos(900 - α) = sin α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
Yukarıdaki formüllerin kullanımı iki kurala bağlı olarak mümkündür. Birincisi, eğer açı bir değer (π/2 ± a) veya (3π/2 ± a) olarak temsil edilebiliyorsa, fonksiyonun değeri değişir:
- günahtan cos'a;
- çünkü günahtan günaha;
- tg'den ctg'ye;
- ctg'den tg'ye.
Açı (π ± a) veya (2π ± a) olarak temsil edilebiliyorsa fonksiyonun değeri değişmeden kalır.
İkinci olarak, indirgenmiş fonksiyonun işareti değişmez: başlangıçta pozitifse, öyle kalır. Negatif fonksiyonlarla aynı şey.
Toplama formülleri
Bu formüller trigonometrik fonksiyonları aracılığıyla iki dönme açısının toplamı ve farkının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerini ifade eder. Tipik olarak açılar α ve β olarak gösterilir.
Formüller şöyle görünür:
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * günah.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * günah.
- tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Bu formüller herhangi bir α ve β açısı için geçerlidir.
Çift ve üçlü açı formülleri
Çift ve üçlü açı trigonometrik formülleri sırasıyla 2a ve 3a açılarının fonksiyonlarını a açısının trigonometrik fonksiyonlarıyla ilişkilendiren formüllerdir. Toplama formüllerinden türetilmiştir:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2 α.
- tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
- cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Toplamdan ürüne geçiş
2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y) olduğunu düşünürsek, bu formülü basitleştirerek sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 özdeşliğini elde ederiz. Benzer şekilde sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Üründen toplama geçiş
Bu formüller, bir toplamın bir ürüne geçişinin kimliklerinden kaynaklanır:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Derece azaltma formülleri
Bu özdeşliklerde sinüs ve kosinüsün kare ve kübik kuvvetleri, bir çoklu açının birinci kuvvetinin sinüsü ve kosinüsü cinsinden ifade edilebilir:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2 a = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Evrensel ikame
Evrensel trigonometrik ikame formülleri, trigonometrik fonksiyonları yarım açının tanjantı cinsinden ifade eder.
- sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), x = π + 2πn ile;
- çünkü x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), burada x = π + 2πn;
- tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), burada x = π + 2πn;
- karyola x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), x = π + 2πn ile.
Özel durumlar
Özel protozoa vakaları trigonometrik denklemler aşağıda verilmiştir (k herhangi bir tamsayıdır).
Sinüs için bölümler:
| Günah x değeri | x değeri |
|---|---|
| 0 | tk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk veya 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk veya -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk veya 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk veya -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk veya 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk veya -2π/3 + 2πk |
Kosinüs için bölümler:
| çünkü x değeri | x değeri |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Teğet için bölümler:
| tg x değeri | x değeri |
|---|---|
| 0 | tk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Kotanjant için bölümler:
| ctg x değeri | x değeri |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Teoremler
Sinüs teoremi
Teoremin iki versiyonu vardır: basit ve genişletilmiş. Basit teorem sinüsler: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Bu durumda sırasıyla a, b, c üçgenin kenarları, α, β, γ ise karşıt açılardır.
Rastgele bir üçgen için genişletilmiş sinüs teoremi: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Bu özdeşlikte R, verilen üçgenin içine yazıldığı dairenin yarıçapını belirtir.
Kosinüs teoremi
Kimlik şu şekilde görüntülenir: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Formülde a, b, c üçgenin kenarları, α ise a kenarının karşısındaki açıdır.
Teğet teoremi
Formül, iki açının teğetleri ile karşı tarafların uzunlukları arasındaki ilişkiyi ifade eder. Kenarlar a, b, c olarak etiketlenmiştir ve karşılık gelen karşıt açılar α, β, γ'dır. Teğet teoreminin formülü: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).
Kotanjant teoremi
Bir üçgenin içine yazılan bir dairenin yarıçapını kenarlarının uzunluğuna bağlar. Eğer a, b, c üçgenin kenarları ve sırasıyla A, B, C bunların karşısındaki açılar ise, r yazılı dairenin yarıçapı ve p üçgenin yarı çevresi ise, aşağıdaki kimlikler geçerlidir:
- bebek karyolası A/2 = (p-a)/r;
- bebek karyolası B/2 = (p-b)/r;
- bebek karyolası C/2 = (p-c)/r.
Başvuru
Trigonometri sadece teorik bir bilim değildir. matematiksel formüller. Özellikleri, teoremleri ve kuralları pratikte çeşitli endüstriler tarafından kullanılmaktadır. insan aktivitesi- astronomi, hava ve deniz navigasyonu, müzik teorisi, jeodezi, kimya, akustik, optik, elektronik, mimari, ekonomi, makine mühendisliği, ölçüm çalışmaları, bilgisayar grafikleri, haritacılık, oşinografi ve diğerleri.
Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant trigonometrinin temel kavramlarıdır; bunların yardımıyla bir üçgenin kenarlarının açıları ve uzunlukları arasındaki ilişkiler matematiksel olarak ifade edilebilir ve gerekli miktarlar kimlikler, teoremler ve kurallar aracılığıyla bulunabilir.
Önemli notlar!
1. Formüller yerine gobbledygook'u görürseniz önbelleğinizi temizleyin. Tarayıcınızda bunu nasıl yapacağınız burada yazılmıştır:
2. Makaleyi okumaya başlamadan önce en çok gezginimize dikkat edin. faydalı kaynakİçin
Sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant
Sinüs (), kosinüs (), tanjant (), kotanjant () kavramları, açı kavramıyla ayrılmaz bir şekilde bağlantılıdır. İlk bakışta karmaşık (birçok okul çocuğunda dehşet durumuna neden olan) kavramları iyi anlayabilmek ve “şeytanın resmedildiği kadar korkunç olmadığından” emin olmak için, şu örnekten başlayalım: açı kavramını daha başlangıç aşamasında anlayabilir ve anlayabilirsiniz.
Açı kavramı: radyan, derece
Şimdi resme bakalım. Vektör noktaya göre belirli bir miktarda “dönmüştür”. Yani bu dönmenin başlangıç konumuna göre ölçüsü şu şekilde olacaktır: köşe.
Açı kavramı hakkında bilmeniz gereken başka ne var? Tabii ki açı birimleri!
Açı, hem geometri hem de trigonometride derece ve radyan cinsinden ölçülebilir.
(Bir derece) açıya denir merkez açı bir daire içinde, dairenin bir kısmına eşit bir dairesel yay temel alınarak. Böylece, dairenin tamamı dairesel yayların "parçalarından" oluşur veya dairenin tarif ettiği açı eşittir.
Yani yukarıdaki şekil şuna eşit bir açıyı göstermektedir, yani bu açı, çevre büyüklüğünde bir dairesel yayın üzerinde durmaktadır.
Radyan cinsinden bir açı, uzunluğu dairenin yarıçapına eşit olan bir daire yayının çevrelediği bir dairedeki merkezi açıdır. Peki anladın mı? Değilse, çizimden çözelim.
Yani, şekil bir radyana eşit bir açıyı göstermektedir, yani bu açı, uzunluğu dairenin yarıçapına eşit olan (uzunluk uzunluğa eşittir veya yarıçap eşittir) dairesel bir yay üzerinde durmaktadır. yayın uzunluğu). Böylece yay uzunluğu aşağıdaki formülle hesaplanır:
Radyan cinsinden merkez açı nerede?
Peki bunu bildiğinize göre, dairenin tarif ettiği açının kaç radyan içerdiğini cevaplayabilir misiniz? Evet bunun için çevre formülünü hatırlamanız gerekiyor. İşte burada:
Şimdi bu iki formülü ilişkilendirelim ve dairenin tarif ettiği açının eşit olduğunu bulalım. Yani değeri derece ve radyan cinsinden ilişkilendirerek bunu elde ederiz. Sırasıyla, . Gördüğünüz gibi, "derece"den farklı olarak "radyan" kelimesi atlanmıştır, çünkü ölçü birimi genellikle bağlamdan açıkça anlaşılmaktadır.
Kaç radyan var? Bu doğru!
Anladım? Sonra devam edin ve düzeltin:
Zorluk mu yaşıyorsunuz? Sonra bak Yanıtlar:
Sağ üçgen: sinüs, kosinüs, tanjant, açının kotanjantı
Böylece açı kavramını anladık. Peki bir açının sinüsü, kosinüsü, teğeti ve kotanjantı nedir? Hadi çözelim. Bunu yapmak için dik üçgen bize yardımcı olacaktır.
Dik üçgenin kenarlarına ne denir? Aynen öyle, hipotenüs ve bacaklar: hipotenüs dik açının karşısındaki kenardır (örneğimizde bu kenardır); bacaklar kalan iki taraftır ve (bitişik olanlar) dik açı) ve eğer bacakları açıya göre düşünürsek, o zaman bacak bitişik bacak ve bacak tam tersidir. Şimdi şu soruyu cevaplayalım: Bir açının sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantı nedir?
Açının sinüsü- bu, karşı (uzak) bacağın hipotenüse oranıdır.
Bizim üçgenimizde.
Açının kosinüsü- bu, bitişik (yakın) bacağın hipotenüse oranıdır.
Bizim üçgenimizde.
Açının tanjantı- bu, karşı (uzak) tarafın bitişik (yakın) tarafa oranıdır.
Bizim üçgenimizde.
Açının kotanjantı- bu, bitişik (yakın) bacağın karşıt (uzak) bacağına oranıdır.
Bizim üçgenimizde.
Bu tanımlar gerekli Unutma! Hangi bacağın neye bölüneceğini hatırlamayı kolaylaştırmak için bunu açıkça anlamalısınız. teğet Ve kotanjant yalnızca bacaklar oturur ve hipotenüs yalnızca sinüs Ve kosinüs. Ve sonra bir çağrışımlar zinciri oluşturabilirsiniz. Örneğin, bu:
Kosinüs → dokunma → dokunma → bitişik;
Kotanjant → dokunma → dokunma → bitişik.
Her şeyden önce, bir üçgenin kenarlarının oranları bu kenarların uzunluklarına (aynı açıda) bağlı olmadığından sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın olduğunu hatırlamanız gerekir. İnanma? Daha sonra resme bakarak emin olun:
Örneğin bir açının kosinüsünü düşünün. Tanım gereği bir üçgenden: , ancak bir açının kosinüsünü bir üçgenden hesaplayabiliriz: . Görüyorsunuz, kenarların uzunlukları farklı ama bir açının kosinüsünün değeri aynı. Dolayısıyla sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant değerleri yalnızca açının büyüklüğüne bağlıdır.
Tanımları anlıyorsanız, devam edin ve bunları pekiştirin!
Aşağıdaki şekilde gösterilen üçgen için şunu buluyoruz.
Peki, anladın mı? O halde kendiniz deneyin: aynısını açı için hesaplayın.
Birim (trigonometrik) daire
Derece ve radyan kavramlarını anlayarak yarıçapı eşit olan bir daire düşündük. Böyle bir daireye denir Bekar. Trigonometri çalışırken çok faydalı olacaktır. Bu nedenle biraz daha detaylı bakalım.
Gördüğünüz gibi bu daire Kartezyen koordinat sistemine göre inşa edilmiştir. Dairenin yarıçapı bire eşittir, dairenin merkezi koordinatların başlangıç noktasında yer alırken, yarıçap vektörünün başlangıç konumu eksenin pozitif yönü boyunca sabittir (örneğimizde bu yarıçaptır).
Çember üzerindeki her nokta iki sayıya karşılık gelir: eksen koordinatı ve eksen koordinatı. Nedir bu koordinat numaraları? Ve genel olarak, bunların elimizdeki konuyla ne ilgisi var? Bunu yapmak için, dikkate alınan dik üçgeni hatırlamamız gerekir. Yukarıdaki şekilde iki tam dik üçgeni görüyorsunuz. Bir üçgen düşünün. Eksene dik olduğundan dikdörtgendir.
Üçgen neye eşittir? Bu doğru. Ayrıca bunun birim çemberin yarıçapı olduğunu da biliyoruz, yani . Bu değeri kosinüs formülümüzde yerine koyalım. İşte olanlar:
Üçgen neye eşittir? Tabii ki! Yarıçap değerini bu formülde değiştirin ve şunu elde edin:
Peki bir çembere ait bir noktanın hangi koordinatlara sahip olduğunu söyleyebilir misiniz? Peki, mümkün değil mi? Peki ya bunun farkına varırsanız ve sadece rakamlardan ibaretseniz? Hangi koordinata karşılık geliyor? Tabii ki koordinatlar! Peki hangi koordinata karşılık geliyor? Doğru, koordinatlar! Böylece dönem.
O halde ve eşittir nedir? Aynen öyle, teğet ve kotanjantın karşılık gelen tanımlarını kullanalım ve şunu elde edelim, a.
Ya açı daha büyükse? Örneğin bu resimdeki gibi:
Bu örnekte ne değişti? Hadi çözelim. Bunu yapmak için tekrar dik üçgene dönelim. Bir dik üçgen düşünün: açı (bir açıya bitişik olarak). Bir açı için sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant değerleri nelerdir? Doğru, trigonometrik fonksiyonların ilgili tanımlarına uyuyoruz:
Gördüğünüz gibi açının sinüs değeri hala koordinata karşılık geliyor; açının kosinüsünün değeri - koordinat; ve karşılık gelen oranlara teğet ve kotanjant değerleri. Dolayısıyla bu ilişkiler yarıçap vektörünün herhangi bir dönüşüne uygulanır.
Yarıçap vektörünün başlangıç konumunun eksenin pozitif yönü boyunca olduğundan daha önce bahsedilmişti. Şu ana kadar bu vektörü saat yönünün tersine döndürdük ama saat yönünde döndürürsek ne olur? Olağanüstü bir şey yok, ayrıca belli bir değerde bir açı elde edeceksiniz, ancak yalnızca negatif olacaktır. Böylece, yarıçap vektörünü saat yönünün tersine döndürdüğümüzde, şunu elde ederiz: pozitif açılar ve saat yönünde döndürüldüğünde - olumsuz.
Yani yarıçap vektörünün bir daire etrafındaki tam devriminin veya olduğunu biliyoruz. Yarıçap vektörünü şuna veya şuna döndürmek mümkün mü? Tabii ki yapabilirsin! Dolayısıyla ilk durumda yarıçap vektörü bir tam tur yapacak ve veya konumunda duracaktır.
İkinci durumda, yarıçap vektörü üç tam devir yapacak ve veya konumunda duracaktır.
Böylece, yukarıdaki örneklerden, veya (herhangi bir tamsayı olduğunda) farklı olan açıların, yarıçap vektörünün aynı konumuna karşılık geldiği sonucuna varabiliriz.
Aşağıdaki şekil bir açıyı göstermektedir. Aynı görüntü köşeye vs. karşılık gelir. Bu listeye süresiz olarak devam edilebilir. Tüm bu açılar genel formülle veya (herhangi bir tamsayı olduğunda) yazılabilir.
Şimdi temel trigonometrik fonksiyonların tanımlarını bilerek ve birim çemberi kullanarak değerlerin ne olduğunu cevaplamaya çalışın:
İşte size yardımcı olacak bir birim çember:
Zorluk mu yaşıyorsunuz? O zaman çözelim. Yani şunu biliyoruz:
Buradan belirli açı ölçülerine karşılık gelen noktaların koordinatlarını belirliyoruz. Pekala, sırayla başlayalım: açısı koordinatları olan bir noktaya karşılık gelir, bu nedenle:
Bulunmuyor;
Ayrıca aynı mantığa bağlı kalarak köşelerin sırasıyla koordinatlı noktalara karşılık geldiğini buluyoruz. Bunu bilerek trigonometrik fonksiyonların değerlerini karşılık gelen noktalarda belirlemek kolaydır. Önce kendiniz deneyin, ardından cevapları kontrol edin.
Yanıtlar:
Böylece aşağıdaki tabloyu yapabiliriz:
Tüm bu değerleri hatırlamanıza gerek yok. Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ile trigonometrik fonksiyonların değerleri arasındaki yazışmayı hatırlamak yeterlidir:
Ancak aşağıdaki tabloda verilen ve açılarının trigonometrik fonksiyonlarının değerleri, hatırlanmalıdır:
Korkmayın, şimdi size bir örnek göstereceğiz karşılık gelen değerleri hatırlamak oldukça basit:
Bu yöntemi kullanmak için, açının tanjantının yanı sıra, üç açı ölçüsünün () tümü için sinüs değerlerini hatırlamak hayati önem taşır. Bu değerleri bilerek tüm tabloyu geri yüklemek oldukça basittir - kosinüs değerleri oklara göre aktarılır, yani:
Bunu bilerek değerleri geri yükleyebilirsiniz. " " payı eşleşecek ve " " paydası eşleşecektir. Kotanjant değerleri şekilde gösterilen oklara uygun olarak aktarılır. Bunu anlayıp okların olduğu diyagramı hatırlarsanız tablodaki tüm değerleri hatırlamanız yeterli olacaktır.
Çember üzerindeki bir noktanın koordinatları
Bir daire üzerinde bir noktayı (koordinatlarını) bulmak mümkün mü? Çemberin merkezinin koordinatlarını, yarıçapını ve dönme açısını bilmek?
Tabii ki yapabilirsin! Hadi çıkaralım Genel formül bir noktanın koordinatlarını bulmak için.
Örneğin önümüzde bir daire var:
Bize bu noktanın çemberin merkezi olduğu söylendi. Çemberin yarıçapı eşittir. Noktanın derece derece döndürülmesiyle elde edilen bir noktanın koordinatlarını bulmak gerekir.
Şekilden de görülebileceği gibi noktanın koordinatı parçanın uzunluğuna karşılık gelmektedir. Segmentin uzunluğu dairenin merkezinin koordinatına karşılık gelir, yani eşittir. Bir segmentin uzunluğu kosinüs tanımı kullanılarak ifade edilebilir:
Sonra nokta koordinatı için elimizde bu var.
Aynı mantığı kullanarak noktanın y koordinat değerini buluyoruz. Böylece,
Yani, içinde Genel görünüm Noktaların koordinatları aşağıdaki formüllerle belirlenir:
Çemberin merkezinin koordinatları,
Daire yarıçapı,
Vektör yarıçapının dönme açısı.
Gördüğünüz gibi, düşündüğümüz birim daire için, merkezin koordinatları sıfıra ve yarıçap bire eşit olduğundan bu formüller önemli ölçüde azaltılmıştır:
Peki çember üzerindeki noktaları bulma alıştırması yaparak bu formülleri deneyelim mi?
1. Birim çember üzerindeki bir noktanın, noktanın döndürülmesiyle elde edilen koordinatlarını bulun.
2. Birim çember üzerindeki bir noktanın, noktanın döndürülmesiyle elde edilen koordinatlarını bulun.
3. Birim çember üzerindeki bir noktanın, noktanın döndürülmesiyle elde edilen koordinatlarını bulun.
4. Nokta dairenin merkezidir. Çemberin yarıçapı eşittir. Başlangıç yarıçap vektörünü döndürerek elde edilen noktanın koordinatlarını bulmak gerekir.
5. Nokta çemberin merkezidir. Çemberin yarıçapı eşittir. Başlangıç yarıçap vektörünü döndürerek elde edilen noktanın koordinatlarını bulmak gerekir.
Bir daire üzerindeki bir noktanın koordinatlarını bulmakta sorun mu yaşıyorsunuz?
Bu beş örneği çözün (ya da çözmede ustalaşın) ve onları bulmayı öğreneceksiniz!
ÖZET VE TEMEL FORMÜLLER
Bir açının sinüsü, karşı (uzak) bacağın hipotenüse oranıdır.
Bir açının kosinüsü, bitişik (yakın) kenarın hipotenüse oranıdır.
Bir açının tanjantı, karşı (uzak) tarafın bitişik (yakın) tarafa oranıdır.
Bir açının kotanjantı, bitişik (yakın) tarafın karşı (uzak) tarafa oranıdır.
Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.
Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!
Şimdi en önemli şey.
Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.
Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...
Ne için?
Başarılı olmak için Birleşik Devlet Sınavını geçmek, düşük bir bütçeyle ve EN ÖNEMLİSİ de ömür boyu üniversiteye kabul için.
Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...
İyi bir eğitim almış insanlar, almayanlara göre çok daha fazla kazanıyorlar. Bu istatistik.
Ancak asıl mesele bu değil.
Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerine çok daha fazla fırsat çıktığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? Bilmiyorum...
Ama kendin düşün...
Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?
BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.
Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.
İhtiyacın olacak zamana karşı sorunları çözmek.
Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.
Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu defalarca tekrarlamanız gerekir.
Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analiz ve karar ver, karar ver, karar ver!
Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.
Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.
Nasıl? İki seçenek var:
- Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın -
- Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 499 RUR
Evet, ders kitabımızda buna benzer 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.
Sitenin TÜM ömrü boyunca tüm gizli görevlere erişim sağlanır.
Sonuç olarak...
Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.
“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.
Sorunları bulun ve çözün!
Bu makale şunları içerir: sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tabloları. İlk olarak, trigonometrik fonksiyonların temel değerlerinin bir tablosunu, yani 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 derecelik açıların sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tablosunu sunacağız ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radyan). Bundan sonra V. M. Bradis'in sinüs ve kosinüs tablosunun yanı sıra teğet ve kotanjant tablosunu vereceğiz ve trigonometrik fonksiyonların değerlerini bulurken bu tabloların nasıl kullanılacağını göstereceğiz.
Sayfada gezinme.
0, 30, 45, 60, 90, ... derecelik açılar için sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tablosu
Kaynakça.
- Cebir: Ders Kitabı 9. sınıf için. ortalama okul / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M .: Eğitim, 1990. - 272 s.: hasta - ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M.I. Cebir ve analizin başlangıcı: Ders kitabı. 10-11 sınıflar için. ortalama okul - 3. baskı. - M.: Eğitim, 1993. - 351 s.: hasta. - ISBN 5-09-004617-4.
- Cebir ve analizin başlangıcı: Proc. 10-11 sınıflar için. Genel Eğitim kurumlar / A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn ve diğerleri; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. baskı - M.: Eğitim, 2004. - 384 s.: hasta - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.
- Bradis V.M. Dört basamaklı matematik tabloları: Genel eğitim için. ders kitabı kuruluşlar. - 2. baskı. - M.: Bustard, 1999.- 96 s.: hasta. ISBN 5-7107-2667-2