Basit üstel denklemleri ve eşitsizlikleri çözme. Üstel denklemleri ve eşitsizlikleri çözme

Bir örnek düşünün: eşitsizliği çözün (0,5) (7 - 3*x)< 4.

4 = (0,5)2 olduğuna dikkat edin. O zaman eşitsizlik (0,5)(7 - 3*x) formunu alacaktır.< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

Şunu elde ederiz: 7 - 3*x>-2.

Dolayısıyla: x<3.

Cevap: x<3.

Eşitsizliğin tabanı birden büyük olsaydı tabandan kurtulurken eşitsizliğin işaretini değiştirmeye gerek kalmazdı.

Birçok kişi üstel eşitsizliklerin karmaşık ve anlaşılmaz bir şey olduğunu düşünüyor. Ve bunları çözmeyi öğrenmek, yalnızca Seçilmişlerin anlayabileceği neredeyse büyük bir sanattır...

Tamamen saçmalık! Üstel eşitsizlikler kolaydır. Ve her zaman basit bir şekilde çözülürler. Yani neredeyse her zaman. :)

Bugün bu konuyu içeriden ve dışarıdan ele alacağız. Bu ders, okul matematiğinin bu bölümünü yeni anlamaya başlayanlar için çok faydalı olacaktır. Basit problemlerle başlayalım ve daha karmaşık konulara geçelim. Bugün çok fazla çalışma olmayacak ama şimdi okuyacaklarınız her türlü test ve bağımsız çalışmadaki eşitsizliklerin çoğunu çözmeye yetecek. Ve senin bu sınavında da.

Her zaman olduğu gibi tanımla başlayalım. Üstel eşitsizlik, üstel bir fonksiyon içeren herhangi bir eşitsizliktir. Başka bir deyişle, her zaman formdaki bir eşitsizliğe indirgenebilir.

\[((a)^(x)) \gt b\]

$b$'ın rolünün sıradan bir sayı veya belki daha zor bir şey olabileceği yer. Örnekler? Evet lütfen:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ dörtlü ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(X))). \\\bit(hizala)\]

Anlamının açık olduğunu düşünüyorum: $((a)^(x))$ üstel bir fonksiyonu var, bir şeyle karşılaştırılıyor ve sonra $x$'ı bulması isteniyor. Özellikle klinik durumlarda $x$ değişkeni yerine $f\left(x \right)$ fonksiyonunu koyabilirler ve böylece eşitsizliği biraz karmaşık hale getirebilirler. :)

Elbette bazı durumlarda eşitsizlik daha şiddetli görünebilir. Örneğin:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Veya bu bile:

Genel olarak, bu tür eşitsizliklerin karmaşıklığı çok farklı olabilir, ancak sonuçta bunlar yine de $((a)^(x)) \gt b$ basit yapısına indirgenir. Ve böyle bir yapıyı bir şekilde çözeceğiz (özellikle klinik durumlarda, akla hiçbir şey gelmediğinde logaritmalar bize yardımcı olacaktır). Bu nedenle şimdi size bu kadar basit yapıların nasıl çözüleceğini öğreteceğiz.

Basit üstel eşitsizlikleri çözme

Çok basit bir şeyi ele alalım. Örneğin, bu:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Açıkçası, sağdaki sayı ikinin kuvveti olarak yeniden yazılabilir: $4=((2)^(2))$. Böylece orijinal eşitsizlik çok uygun bir biçimde yeniden yazılabilir:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Ve şimdi ellerim $x \gt 2$ cevabını alabilmek için kuvvetler tabanındaki ikileri "çizmek" için can atıyor. Ancak herhangi bir şeyin üzerini çizmeden önce ikinin kuvvetlerini hatırlayalım:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Gördüğünüz gibi üsdeki sayı ne kadar büyük olursa çıktı numarası da o kadar büyük olur. "Teşekkürler Kaptan!" - öğrencilerden biri haykıracak. Farklı mı? Ne yazık ki oluyor. Örneğin:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ sağ))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Burada da her şey mantıklı: Derece ne kadar büyük olursa, 0,5 sayısı o kadar çok kendisiyle çarpılır (yani ikiye bölünür). Böylece ortaya çıkan sayı dizisi azalmakta ve birinci ve ikinci dizi arasındaki fark yalnızca tabanda kalmaktadır:

• Derecenin tabanı $a \gt 1$ ise, $n$ üssü arttıkça $((a)^(n))$ sayısı da artacaktır;
• Ve tam tersi, eğer $0 \lt a \lt 1$ ise, $n$ üssü arttıkça $((a)^(n))$ sayısı azalacaktır.

Bu gerçekleri özetleyerek, üstel eşitsizliklerin tüm çözümünün dayandığı en önemli ifadeyi elde ediyoruz:

$a \gt 1$ ise, $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ eşitsizliği $x \gt n$ eşitsizliğine eşdeğerdir. $0 \lt a \lt 1$ ise, $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ eşitsizliği $x \lt n$ eşitsizliğine eşdeğerdir.

Başka bir deyişle, eğer taban birden büyükse, onu kaldırabilirsiniz; eşitsizlik işareti değişmeyecektir. Ve eğer taban birden küçükse, o zaman da kaldırılabilir, ancak aynı zamanda eşitsizlik işaretini de değiştirmeniz gerekecektir.

Lütfen $a=1$ ve $a\le 0$ seçeneklerini dikkate almadığımızı unutmayın. Çünkü bu durumlarda belirsizlik ortaya çıkıyor. $((1)^(x)) \gt 3$ biçimindeki bir eşitsizliğin nasıl çözüleceğini söyleyelim. Herhangi bir güce biri yine bir verecek; asla üç veya daha fazlasını alamayacağız. Onlar. hiçbir çözüm yok.

Olumsuz nedenlerle her şey daha da ilginç. Örneğin şu eşitsizliği düşünün:

\[((\sol(-2 \sağ))^(x)) \gt 4\]

İlk bakışta her şey basit:

Sağ? Ama hayır! Çözümün yanlış olduğundan emin olmak için $x$ yerine birkaç çift ve birkaç tek sayıyı değiştirmek yeterlidir. Bir göz at:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Gördüğünüz gibi işaretler değişiyor. Ancak kesirli güçler ve diğer saçmalıklar da var. Örneğin $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (eksi iki üzeri yedinin kuvveti) hesaplamasını nasıl yaparsınız? Mümkün değil!

Bu nedenle, kesinlik sağlamak için tüm üstel eşitsizliklerde (ve bu arada denklemlerde de) $1\ne a \gt 0$ olduğunu varsayıyoruz. Ve sonra her şey çok basit bir şekilde çözüldü:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(hizala) \sağ.\]

Genel olarak ana kuralı bir kez daha hatırlayın: Üstel bir denklemin tabanı birden büyükse, onu kaldırabilirsiniz; ve eğer taban birden küçükse o da kaldırılabilir ancak eşitsizliğin işareti değişecektir.

Çözüm örnekleri

Şimdi birkaç basit üstel eşitsizliğe bakalım:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\bit(hizala)\]

Her durumda birincil görev aynıdır: eşitsizlikleri en basit biçimine indirgemek $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Şimdi her eşitsizlikle yapacağımız şey tam olarak budur ve aynı zamanda derecelerin ve üstel fonksiyonların özelliklerini tekrarlayacağız. O zaman hadi gidelim!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Burada ne yapabilirsin? Sol tarafta zaten gösterge niteliğinde bir ifademiz var - hiçbir şeyin değiştirilmesine gerek yok. Ama sağda bir çeşit saçmalık var: bir kesir ve hatta paydada bir kök!

Ancak kesirler ve kuvvetlerle çalışmanın kurallarını hatırlayalım:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n))))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\bit(hizala)\]

Bu ne anlama geliyor? Öncelikle kesri negatif üslü bir kuvvete dönüştürerek kolaylıkla kurtulabiliriz. İkincisi, paydanın bir kökü olduğundan, onu bu sefer kesirli bir üsle bir kuvvete dönüştürmek güzel olurdu.

Bu eylemleri sırasıyla eşitsizliğin sağ tarafına uygulayalım ve ne olacağını görelim:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \sağ))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \sağ))))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Bir dereceyi bir kuvvete yükseltirken bu derecelerin üslerinin toplandığını unutmayın. Ve genel olarak, üstel denklemler ve eşitsizliklerle çalışırken, kuvvetlerle çalışmanın en azından en basit kurallarını bilmek kesinlikle gereklidir:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y))))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\bit(hizala)\]

Aslında son kuralı uyguladık. Bu nedenle orijinal eşitsizliğimiz şu şekilde yeniden yazılacaktır:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3))))\]

Şimdi tabandaki ikisinden kurtuluyoruz. 2 > 1 olduğundan eşitsizlik işareti aynı kalacaktır:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right].\\\end(align)\]

Çözüm bu! Asıl zorluk hiç de üstel fonksiyonda değil, orijinal ifadenin yetkin dönüşümündedir: onu dikkatli ve hızlı bir şekilde en basit biçimine getirmeniz gerekir.

İkinci eşitsizliği düşünün:

\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]

Şöyle böyle. Burada ondalık kesirler bizi bekliyor. Birçok kez söylediğim gibi, üstleri olan herhangi bir ifadede ondalık sayılardan kurtulmalısınız - bu genellikle hızlı ve basit bir çözüm görmenin tek yoludur. Burada aşağıdakilerden kurtulacağız:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)) \\\bit(hizala)\]

Burada yine en basit eşitsizlikle karşı karşıyayız ve hatta 1/10 tabanında bile, yani; birden az. Peki, üsleri kaldırıyoruz, aynı anda işareti "daha az" yerine "daha fazla" olarak değiştiriyoruz ve şunu elde ediyoruz:

\[\begin(hizala) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\bit(hizala)\]

Son yanıtı aldık: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Lütfen dikkat: cevap kesinlikle bir kümedir ve hiçbir durumda $x \lt -1$ biçiminde bir yapı değildir. Çünkü resmi olarak böyle bir yapı kesinlikle bir küme değil, $x$ değişkenine göre bir eşitsizliktir. Evet, çok basit ama cevap bu değil!

Önemli Not. Bu eşitsizlik başka bir şekilde, her iki tarafın da tabanı birden büyük bir kuvvete indirilmesiyle çözülebilir. Bir göz at:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Böyle bir dönüşümden sonra yine üstel bir eşitsizlik elde edeceğiz, ancak tabanı 10 > 1 olacak. Bu, on'un üzerini kolayca çizebileceğimiz anlamına gelir; eşitsizliğin işareti değişmeyecektir. Şunu elde ederiz:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\bit(hizala)\]

Gördüğünüz gibi cevap tamamen aynıydı. Aynı zamanda kendimizi tabelayı değiştirme ve genel olarak kuralları hatırlama ihtiyacından da kurtardık. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Ancak bu sizi korkutmasın. Göstergelerde ne olursa olsun eşitsizliği çözme teknolojisi aynı kalıyor. Bu nedenle öncelikle 16 = 2 4 olduğunu belirtelim. Bu gerçeği dikkate alarak orijinal eşitsizliği yeniden yazalım:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Yaşasın! Her zamanki ikinci dereceden eşitsizliği elde ettik! Taban iki olduğundan (birden büyük bir sayı) işaret hiçbir yerde değişmedi.

Sayı doğrusunda bir fonksiyonun sıfırları

$f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ fonksiyonunun işaretlerini düzenliyoruz - açıkça, grafiği dalları yukarı doğru olan bir parabol olacak, dolayısıyla "artılar" olacak ” yanlarda. Fonksiyonun sıfırdan küçük olduğu bölgeyle ilgileniyoruz, yani. $x\in \left(2;5 \right)$ asıl sorunun cevabıdır.

Son olarak başka bir eşitsizliği düşünün:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Yine tabanında ondalık kesir bulunan üstel bir fonksiyon görüyoruz. Bu kesri ortak kesire dönüştürelim:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

Bu durumda, daha önce verilen açıklamayı kullandık - ilerideki çözümümüzü basitleştirmek için tabanı 5 > 1 sayısına indirdik. Aynısını sağ taraf için de yapalım:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ sağ))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Her iki dönüşümü de hesaba katarak orijinal eşitsizliği yeniden yazalım:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \sağ))))\ge ((5)^(-2))\]

Her iki tarafın tabanları aynı olup birden fazladır. Sağda ve solda başka terim yok, dolayısıyla beşlerin üzerini çiziyoruz ve çok basit bir ifade elde ediyoruz:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Bu noktada daha dikkatli olmanız gerekiyor. Çoğu öğrenci eşitsizliğin her iki tarafının karekökünü alıp $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$ gibi bir şey yazmayı sever. Bu hiçbir koşulda yapılmamalıdır. , tam bir karenin kökü bir modül olduğundan ve hiçbir durumda orijinal bir değişken olmadığından:

\[\sqrt(((x)^(2))))=\left| x\sağ|\]

Ancak modüllerle çalışmak pek hoş bir deneyim değil, değil mi? Yani çalışmayacağız. Bunun yerine, tüm terimleri sola kaydırırız ve olağan eşitsizliği aralık yöntemini kullanarak çözeriz:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(hizala)$

Elde edilen noktaları tekrar sayı doğrusu üzerinde işaretliyoruz ve işaretlere bakıyoruz:

Kesin olmayan bir eşitsizliği çözdüğümüz için grafikteki tüm noktalar gölgelidir. Bu nedenle cevap şu olacaktır: $x\in \left[ -1;1 \right]$ bir aralık değil, bir segmenttir.

Genel olarak üstel eşitsizliklerde karmaşık bir şey olmadığını belirtmek isterim. Bugün gerçekleştirdiğimiz tüm dönüşümlerin anlamı basit bir algoritmaya indirgeniyor:

• Tüm dereceleri indirgeyeceğimiz temeli bulun;
• $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ biçiminde bir eşitsizlik elde etmek için dönüşümleri dikkatlice gerçekleştirin. Elbette $x$ ve $n$ değişkenleri yerine çok daha karmaşık işlevler olabilir, ancak anlamı değişmeyecektir;
• Derece tabanlarının üzerini çizin. Bu durumda $a \lt 1$ tabanı varsa eşitsizlik işareti değişebilir.

Aslında bu, tüm bu tür eşitsizlikleri çözmeye yönelik evrensel bir algoritmadır. Ve bu konuda size anlatacakları diğer her şey, dönüşümü basitleştirecek ve hızlandıracak belirli teknikler ve püf noktalarından ibarettir. Şimdi bu tekniklerden birinden bahsedeceğiz. :)

Rasyonalizasyon yöntemi

Başka bir eşitsizlik kümesini ele alalım:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text() )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \sağ))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Peki onları bu kadar özel kılan ne? Hafifler. Yine de dur! π sayısı bir dereceye kadar yükseltilmiş mi? Ne saçma?

$2\sqrt(3)-3$ sayısının bir üssü nasıl yükseltilir? Veya $3-2\sqrt(2)$? Sorun yazarlarının işe başlamadan önce çok fazla Hawthorn içtiği belli. :)

Aslında bu görevlerin korkutucu bir yanı yok. Size hatırlatmama izin verin: üstel bir fonksiyon $((a)^(x))$ biçiminde bir ifadedir; burada $a$ tabanı, bir dışında herhangi bir pozitif sayıdır. π sayısı pozitiftir; bunu zaten biliyoruz. $2\sqrt(3)-3$ ve $3-2\sqrt(2)$ sayıları da pozitiftir; bunları sıfırla karşılaştırırsanız bunu görmek kolaydır.

Tüm bu “korkutucu” eşitsizliklerin yukarıda tartışılan basit eşitsizliklerden farklı bir şekilde çözülmediği ortaya çıktı. Ve aynı şekilde mi çözülüyorlar? Evet, bu kesinlikle doğru. Ancak onların örneğini kullanarak, bağımsız çalışma ve sınavlarda zamandan büyük ölçüde tasarruf sağlayan bir tekniği düşünmek istiyorum. Rasyonalizasyon yönteminden bahsedeceğiz. Yani dikkat:

$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ biçimindeki herhangi bir üstel eşitsizlik, $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \) eşitsizliğine eşdeğerdir sağ) \gt 0 $.

Yöntemin tamamı bu :) Başka bir oyun olabileceğini düşündünüz mü? Hiçbir şey böyle değil! Ancak kelimenin tam anlamıyla tek satırda yazılan bu basit gerçek, işimizi büyük ölçüde kolaylaştıracaktır. Bir göz at:

\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text() )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text()\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Yani artık üstel fonksiyon yok! Ve burcun değişip değişmediğini hatırlamanıza gerek yok. Ancak yeni bir sorun ortaya çıkıyor: lanet \[\left(\text() )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\] çarpanıyla ne yapmalı? π sayısının tam değerinin ne olduğunu bilmiyoruz. Ancak kaptan bariz bir şeyi ima ediyor gibi görünüyor:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\yaklaşık 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Genel olarak, π'nin tam değeri bizi gerçekten ilgilendirmiyor - bizim için yalnızca her durumda $\text( )\!\!\pi\!\!\text()-1 \gt 2 olduğunu anlamamız önemlidir. $, t.e. bu pozitif bir sabittir ve eşitsizliğin her iki tarafını da buna bölebiliriz:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text() )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Gördüğünüz gibi, belli bir anda eksi bire bölmek zorunda kaldık ve eşitsizliğin işareti değişti. Sonunda, Vieta teoremini kullanarak ikinci dereceden üç terimliyi genişlettim - köklerin $((x)_(1))=5$ ve $((x)_(2))=-1$'a eşit olduğu açıktır. . Daha sonra her şey klasik aralık yöntemi kullanılarak çözülür:

Orijinal eşitsizlik kesin olduğundan tüm noktalar kaldırılmıştır. Negatif değerlere sahip bölgeyle ilgilendiğimiz için cevap $x\in \left(-1;5 \right)$ olur. Çözüm bu. :)

Bir sonraki göreve geçelim:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Burada her şey genel olarak basit çünkü sağda bir ünite var. Ve birin sıfır kuvvetine yükseltilmiş herhangi bir sayı olduğunu hatırlıyoruz. Bu sayı sol tabanda irrasyonel bir ifade olsa bile:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \sağ))^(0)); \\\bit(hizala)\]

Peki, rasyonelleştirelim:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Geriye kalan tek şey işaretleri çözmek. $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ faktörü $x$ değişkenini içermez - bu yalnızca bir sabittir ve işaretini bulmamız gerekir. Bunu yapmak için aşağıdakilere dikkat edin:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \sağ)=0 \\\end(matris)\]

İkinci faktörün sadece bir sabit değil aynı zamanda negatif bir sabit olduğu ortaya çıktı! Ve buna bölündüğünde, orijinal eşitsizliğin işareti tersine değişir:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Artık her şey tamamen aşikar hale geliyor. Sağdaki kare üç terimlinin kökleri şunlardır: $((x)_(1))=0$ ve $((x)_(2))=2$. Bunları sayı doğrusunda işaretliyoruz ve $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ fonksiyonunun işaretlerine bakıyoruz:

Artı işaretiyle işaretlenmiş aralıklarla ilgileniyoruz. Geriye sadece cevabı yazmak kalıyor:

Bir sonraki örneğe geçelim:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ sağ))^(16-x))\]

Burada her şey tamamen açık: üsler aynı sayıdaki kuvvetleri içeriyor. Bu nedenle her şeyi kısaca yazacağım:

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2))))=((3)^(-2)) \\ \Aşağı ok \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrix)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ left(16-x \right))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Gördüğünüz gibi dönüşüm sürecinde negatif bir sayıyla çarpmak zorunda kaldık, dolayısıyla eşitsizlik işareti değişti. En sonunda, ikinci dereceden üç terimliyi çarpanlarına ayırmak için tekrar Vieta teoremini uyguladım. Sonuç olarak cevap şu şekilde olacaktır: $x\in \left(-8;4 \right)$ - herkes bunu bir sayı doğrusu çizerek, noktaları işaretleyerek ve işaretleri sayarak doğrulayabilir. Bu arada “kümemizden” son eşitsizliğe geçelim:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Gördüğünüz gibi tabanda yine irrasyonel bir sayı, sağda ise yine bir birim var. Bu nedenle üstel eşitsizliğimizi şu şekilde yeniden yazıyoruz:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2)) \ sağ))^(0))\]

Rasyonalizasyon uyguluyoruz:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Ancak $1-\sqrt(2) \lt 0$ olduğu oldukça açıktır, çünkü $\sqrt(2)\approx 1,4... \gt 1$. Bu nedenle, ikinci faktör yine eşitsizliğin her iki tarafının da bölünebileceği negatif bir sabittir:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\son(matris)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Başka bir üsse taşı

Üstel eşitsizlikleri çözerken ayrı bir sorun, “doğru” temeli aramaktır. Bir görevde neyin temel alınacağı, bu temelin derecesine göre ne yapılacağı ne yazık ki her zaman ilk bakışta belli olmuyor.

Ancak endişelenmeyin: Burada sihir veya "gizli" bir teknoloji yok. Matematikte algoritmik hale getirilemeyen her beceri pratik yoluyla kolaylıkla geliştirilebilir. Ancak bunun için farklı karmaşıklık seviyelerindeki sorunları çözmeniz gerekecek. Örneğin şöyle:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ bitiş(hizalama)\]

Zor? Korkutucu? Asfalta tavuğa vurmaktan daha kolay! Hadi deneyelim. İlk eşitsizlik:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))))\]

Sanırım burada her şey açık:

Her şeyi iki temele indirerek orijinal eşitsizliği yeniden yazıyoruz:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \sağ)\cdot \left(2-1 \sağ) \lt 0\]

Evet evet doğru duydunuz: Az önce yukarıda anlatılan rasyonelleştirme yöntemini uyguladım. Şimdi dikkatli çalışmamız gerekiyor: Kesirli-rasyonel bir eşitsizliğimiz var (bu, paydasında değişken olan bir eşitsizliktir), bu nedenle herhangi bir şeyi sıfıra eşitlemeden önce, her şeyi ortak bir paydaya getirmemiz ve sabit faktörden kurtulmamız gerekir. .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Şimdi standart aralık yöntemini kullanıyoruz. Pay sıfırları: $x=\pm 4$. Payda yalnızca $x=0$ olduğunda sıfıra gider. Sayı doğrusunda işaretlenmesi gereken toplam üç nokta vardır (eşitsizlik işareti katı olduğundan tüm noktalar işaretlenmiştir). Şunu elde ederiz:

Tahmin edebileceğiniz gibi gölgeleme, soldaki ifadenin negatif değerler aldığı aralıkları işaretliyor. Bu nedenle, nihai cevap aynı anda iki aralığı içerecektir:

Başlangıçtaki eşitsizlik katı olduğundan aralıkların uçları cevaba dahil edilmemiştir. Bu cevabın daha fazla doğrulanmasına gerek yoktur. Bu bakımdan üstel eşitsizlikler logaritmik olanlardan çok daha basittir: ODZ yok, kısıtlama yok, vb.

Bir sonraki göreve geçelim:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Burada da herhangi bir sorun yok, çünkü $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$ olduğunu zaten biliyoruz, dolayısıyla tüm eşitsizlik şu şekilde yeniden yazılabilir:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x) ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\sol(-2 \sağ) \sağ. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Lütfen dikkat: Üçüncü satırda önemsiz şeylerle zaman kaybetmemeye ve her şeyi hemen (−2)'ye bölmeye karar verdim. Minul ilk gruba girdi (artık her yerde artılar var) ve ikisi sabit bir faktörle azaltıldı. Bağımsız ve test çalışması için gerçek hesaplamalar hazırlarken yapmanız gereken tam olarak budur; her eylemi ve dönüşümü doğrudan tanımlamanıza gerek yoktur.

Daha sonra tanıdık aralık yöntemi devreye giriyor. Pay sıfırları: ancak hiçbiri yok. Çünkü diskriminant negatif olacaktır. Buna karşılık, payda yalnızca $x=0$ olduğunda sıfırlanır - tıpkı geçen seferki gibi. $x=0$ kesirinin sağında pozitif değerler, solunda ise negatif değerler alacağı açıktır. Negatif değerlerle ilgilendiğimiz için son cevap şudur: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

Üstel eşitsizliklerde ondalık kesirlerle ne yapmalısınız? Bu doğru: onlardan kurtulun, onları sıradan olanlara dönüştürün. Burada tercüme edeceğiz:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\ sol(\frac(4)(25) \sağ))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\sağ))^(x))). \\\bit(hizala)\]

Peki üstel fonksiyonların temellerinde ne elde ettik? Ve karşılıklı olarak ters iki sayı elde ettik:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ sağ))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ sol(\frac(4)(25) \sağ))^(-x))\]

Böylece orijinal eşitsizlik şu şekilde yeniden yazılabilir:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \sağ))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\bit(hizala)\]

Elbette aynı tabana sahip kuvvetleri çarparken üsleri toplanır, ikinci satırda da böyle oldu. Ayrıca sağdaki birimi de 4/25 tabanındaki kuvvet olarak temsil ettik. Geriye kalan tek şey rasyonelleştirmek:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

$\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$ olduğuna dikkat edin, yani. ikinci faktör negatif bir sabittir ve ona bölündüğünde eşitsizlik işareti değişecektir:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Son olarak mevcut “küme”den son eşitsizlik:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Prensip olarak buradaki çözüm fikri de açıktır: eşitsizliğin içerdiği tüm üstel fonksiyonların “3” tabanına indirgenmesi gerekir. Ancak bunun için kökler ve güçlerle biraz uğraşmanız gerekecek:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\bit(hizala)\]

Bu gerçekler dikkate alınarak orijinal eşitsizlik şu şekilde yeniden yazılabilir:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2))\right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)) \\\bit(hizala)\]

Hesaplamaların 2. ve 3. satırlarına dikkat edin: Eşitsizlikle ilgili herhangi bir şey yapmadan önce, onu dersin başında konuştuğumuz forma getirdiğinizden emin olun: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Solda veya sağda bazı solak çarpanlarınız, ek sabitleriniz vb. olduğu sürece, hiçbir rasyonelleştirme veya gerekçelerin "üstünün çizilmesi" gerçekleştirilemez! Bu basit gerçeğin anlaşılmaması nedeniyle sayısız görev yanlış tamamlanmıştır. Üstel ve logaritmik eşitsizlikleri analiz etmeye yeni başladığımız dönemde ben de öğrencilerimde bu sorunu sürekli gözlemliyorum.

Ama görevimize dönelim. Bu sefer rasyonelleştirmeden yapmaya çalışalım. Hatırlayalım: Derecenin tabanı birden büyüktür, bu nedenle üçlülerin üzeri çizilebilir - eşitsizlik işareti değişmeyecektir. Şunu elde ederiz:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

Bu kadar. Son cevap: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Kararlı bir ifadeyi ayırma ve bir değişkeni değiştirme

Sonuç olarak, hazırlıksız öğrenciler için zaten oldukça zor olan dört üstel eşitsizliğin daha çözülmesini öneriyorum. Onlarla başa çıkmak için derecelerle çalışmanın kurallarını hatırlamanız gerekir. Özellikle ortak faktörleri parantezlerin dışında tutmak.

Ancak en önemli şey, parantezlerden tam olarak neyin çıkarılabileceğini anlamayı öğrenmektir. Böyle bir ifadeye kararlı denir - yeni bir değişkenle gösterilebilir ve böylece üstel fonksiyondan kurtulabilirsiniz. Öyleyse görevlere bakalım:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

İlk satırdan başlayalım. Bu eşitsizliği ayrı ayrı yazalım:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

$((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$ olduğuna dikkat edin, yani sağ el tarafı yeniden yazılabilir:

Eşitsizlikte $((5)^(x+1))$ dışında başka üstel fonksiyon bulunmadığını unutmayın. Ve genel olarak, $x$ değişkeni başka hiçbir yerde görünmez, bu yüzden yeni bir değişken tanıtalım: $((5)^(x+1))=t$. Aşağıdaki yapıyı elde ederiz:

\[\begin(hizala) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(hizala)\]

Orijinal değişkene ($t=((5)^(x+1))$) geri dönüyoruz ve aynı zamanda 1=5 0 değerini de hatırlıyoruz. Sahibiz:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\bit(hizala)\]

Çözüm bu! Cevap: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. İkinci eşitsizliğe geçelim:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Burada her şey aynı. $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ olduğunu unutmayın. Daha sonra sol taraf yeniden yazılabilir:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \sağ. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\bit(hizala)\]

Gerçek testler ve bağımsız çalışma için yaklaşık olarak bu şekilde bir çözüm hazırlamanız gerekir.

Peki, daha karmaşık bir şey deneyelim. Örneğin, burada eşitsizlik var:

\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Buradaki sorun ne? Öncelikle soldaki üstel fonksiyonların tabanları farklıdır: 5 ve 25. Ancak 25 = 5 2 olduğundan ilk terim dönüştürülebilir:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Gördüğünüz gibi, ilk başta her şeyi aynı tabana getirdik ve sonra ilk terimin kolayca ikinciye indirgenebileceğini fark ettik - sadece üssü genişletmeniz gerekiyor. Artık yeni bir değişkeni güvenle tanıtabilirsiniz: $((5)^(2x+2))=t$ ve tüm eşitsizlik aşağıdaki gibi yeniden yazılacaktır:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(hizala)\]

Ve yine hiçbir zorluk yok! Son cevap: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Bugünkü dersimizin son eşitsizliğine geçelim:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

İlk dikkat etmeniz gereken şey elbette birinci kuvvet tabanındaki ondalık kesirdir. Ondan kurtulmak ve aynı zamanda tüm üstel fonksiyonları aynı tabana - “2” sayısına getirmek gerekiyor:

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Harika, ilk adımı attık; her şey aynı temele ulaştı. Şimdi kararlı bir ifade seçmeniz gerekiyor. $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$ olduğunu unutmayın. Yeni bir $((2)^(4x+6))=t$ değişkeni eklersek, orijinal eşitsizlik şu şekilde yeniden yazılabilir:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\bit(hizala)\]

Doğal olarak şu soru ortaya çıkabilir: 256 = 2 8 olduğunu nasıl keşfettik? Ne yazık ki, burada sadece ikinin kuvvetlerini (ve aynı zamanda üç ve beşin kuvvetlerini) bilmeniz gerekiyor. Peki, ya da sonucu elde edene kadar 256'yı 2'ye bölün (256 çift sayı olduğu için bölebilirsiniz). Bunun gibi bir şeye benzeyecek:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Aynı şey üç için de geçerlidir (9, 27, 81 ve 243 sayıları onun dereceleridir) ve yedi için de geçerlidir (49 ve 343 sayılarını da hatırlamak güzel olurdu). Beşinin de bilmeniz gereken “güzel” dereceleri var:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\bit(hizala)\]

Elbette dilerseniz tüm bu sayıları birbiri ardına çarparak zihninize geri yükleyebilirsiniz. Bununla birlikte, birkaç üstel eşitsizliği çözmeniz gerektiğinde ve sonraki her biri bir öncekinden daha zorsa, o zaman düşünmek isteyeceğiniz son şey bazı sayıların kuvvetleridir. Ve bu anlamda bu problemler aralık yöntemiyle çözülen “klasik” eşitsizliklerden daha karmaşıktır.

Üstel denklemler ve eşitsizlikler, bilinmeyenin üssün içinde yer aldığı denklemlerdir.

Üstel denklemleri çözmek genellikle a x = a b denklemini çözmekle sonuçlanır; burada a > 0, a ≠ 1, x bir bilinmeyendir. Aşağıdaki teorem doğru olduğundan bu denklemin tek bir kökü x = b vardır:

Teorem. a > 0, a ≠ 1 ve a x 1 = a x 2 ise, x 1 = x 2 olur.

Ele alınan ifadeyi kanıtlayalım.

x 1 = x 2 eşitliğinin geçerli olmadığını varsayalım, yani. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1 ise üstel fonksiyon y = a x artar ve dolayısıyla a x 1 eşitsizliği karşılanmalıdır< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >bir x 2. Her iki durumda da a x 1 = a x 2 koşuluyla bir çelişki elde ettik.

Birkaç problemi ele alalım.

4 ∙ 2 x = 1 denklemini çözün.

Çözüm.

Denklemi 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0 formunda yazalım, buradan x + 2 = 0 elde ederiz, yani. x = -2.

Cevap. x = -2.

Denklem 2 3x ∙ 3 x = 576'yı çözün.

Çözüm.

2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2 olduğundan denklem 8 x ∙ 3 x = 24 2 veya 24 x = 24 2 olarak yazılabilir.

Buradan x = 2 elde ederiz.

Cevap. x = 2.

3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25 denklemini çözün.

Çözüm.

Sol taraftaki parantezlerden 3 x - 2 ortak faktörünü aldığımızda, 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25 elde ederiz,

dolayısıyla 3 x - 2 = 1, yani. x – 2 = 0, x = 2.

Cevap. x = 2.

3 x = 7 x denklemini çözün.

Çözüm.

7 x ≠ 0 olduğundan denklem 3 x /7 x = 1 olarak yazılabilir, dolayısıyla (3/7) x = 1, x = 0 olur.

Cevap. x = 0.

9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0 denklemini çözün.

Çözüm.

3 x = a yerine bu denklem ikinci dereceden a 2 – 4a – 45 = 0 denklemine indirgenir.

Bu denklemi çözerek köklerini buluruz: a 1 = 9 ve 2 = -5, dolayısıyla 3 x = 9, 3 x = -5.

Üstel fonksiyon negatif değerler alamadığı için 3 x = 9 denkleminin kökü 2'dir ve 3 x = -5 denkleminin kökleri yoktur.

Cevap. x = 2.

Üstel eşitsizliklerin çözümü genellikle a x > a b veya a x eşitsizliklerinin çözümüne indirgenir< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Bazı sorunlara bakalım.

Eşitsizliği çöz 3 x< 81.

Çözüm.

Eşitsizliği 3x şeklinde yazalım.< 3 4 . Так как 3 >1 ise y = 3 x fonksiyonu artmaktadır.

Bu nedenle x için< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Böylece, x'te< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Cevap. X< 4.

16 x +4 x – 2 > 0 eşitsizliğini çözün.

Çözüm.

4 x = t diyelim, sonra ikinci dereceden t2 + t – 2 > 0 eşitsizliğini elde ederiz.

Bu eşitsizlik t için geçerlidir< -2 и при t > 1.

t = 4 x olduğundan iki eşitsizlik elde ederiz: 4 x< -2, 4 х > 1.

Tüm x € R için 4 x > 0 olduğundan birinci eşitsizliğin çözümü yoktur.

İkinci eşitsizliği 4 x > 4 0 biçiminde yazıyoruz, dolayısıyla x > 0 olur.

Cevap. x > 0.

(1/3) x = x – 2/3 denklemini grafiksel olarak çözün.

Çözüm.

1) y = (1/3) x ve y = x – 2/3 fonksiyonlarının grafiklerini oluşturalım.

2) Şeklimize dayanarak, dikkate alınan fonksiyonların grafiklerinin apsis x ≈ 1 noktasında kesiştiği sonucuna varabiliriz. Kontrol şunu kanıtlar:

x = 1 bu denklemin köküdür:

(1/3) 1 = 1/3 ve 1 – 2/3 = 1/3.

Başka bir deyişle denklemin köklerinden birini bulduk.

3) Başka kökler bulalım veya olmadığını kanıtlayalım. (1/3) x fonksiyonu azalıyor, y = x – 2/3 fonksiyonu artıyor. Bu nedenle, x > 1 için, ilk fonksiyonun değerleri 1/3'ten küçük, ikincisi ise 1/3'ten fazladır; x'te< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 ve x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Cevap. x = 1.

Bu problemin çözümünden, özellikle (1/3) x > x – 2/3 eşitsizliğinin x için sağlandığı sonucuna varıldığına dikkat edin.< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Üstel denklemler ve üstel eşitsizlikler"

Ek materyaller
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

11. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
9-11. Sınıflar için etkileşimli el kitabı "Trigonometri"
10-11. Sınıflar için etkileşimli el kitabı "Logarithms"

Üstel Denklemlerin Tanımı

Tanım. Şu formdaki denklemlere: $a^(f(x))=a^(g(x))$, burada $a>0$, $a≠1$ üstel denklemler olarak adlandırılır.

"Üstel Fonksiyon" konusunda incelediğimiz teoremleri hatırlayarak yeni bir teorem ortaya koyabiliriz:
Teorem. $a^(f(x))=a^(g(x))$ üstel denklemi, burada $a>0$, $a≠1$ $f(x)=g(x) denklemine eşdeğerdir $.

Üstel denklem örnekleri

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
O zaman denklemimiz yeniden yazılabilir: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3))))^(0,2)$.
$2х+0,2=0,2$.
$x=0$.
Cevap: $x=0$.

C) Orijinal denklem şu denklemin eşdeğeridir: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ ve $x_2=-3$.
Yanıt: $x_1=6$ ve $x_2=-3$.

Örnek.
Denklemi çözün: $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Çözüm:
Sırayla bir dizi eylem gerçekleştirelim ve denklemimizin her iki tarafını da aynı tabanlara getirelim.
Sol tarafta bir dizi işlem gerçekleştirelim:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Sağ tarafa geçelim:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Orijinal denklem aşağıdaki denkleme eşdeğerdir:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Cevap: $x=0$.

Örnek.
Denklemi çözün: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Çözüm:
Denklemimizi yeniden yazalım: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Değişkenlerde değişiklik yapalım, $a=3^x$ olsun.
Yeni değişkenlerde denklem şu şekli alacaktır: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ ve $a_2=3$.
Değişkenleri tersten değiştirelim: $3^x=-12$ ve $3^x=3$.
Son derste şunu öğrendik açıklayıcı ifadeler sadece kabul edebilirim pozitif değerler, programı hatırla. Bu, ilk denklemin hiçbir çözümü olmadığı, ikinci denklemin tek çözümü olduğu anlamına gelir: $x=1$.
Cevap: $x=1$.

Üstel denklemlerin nasıl çözüleceğine dair bir hatırlatma yapalım:
1. Grafik yöntemi. Denklemin her iki tarafını da fonksiyonlar şeklinde temsil edip grafiklerini oluşturuyoruz, grafiklerin kesişme noktalarını buluyoruz. (Bu yöntemi geçen derste kullanmıştık).
2. Göstergelerin eşitliği ilkesi.İlke, iki ifadenin birlikte kullanılması gerçeğine dayanmaktadır. aynı gerekçelerle ancak ve ancak bu tabanların dereceleri (göstergeleri) eşitse eşittir. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Değişken değiştirme yöntemi. Bu yöntem, değişkenleri değiştirirken denklem formunu basitleştiriyorsa ve çözülmesi çok daha kolaysa kullanılmalıdır.

Örnek.
Denklem sistemini çözün: $\begin (cases) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end (durumlar)$.
Çözüm.
Sistemin her iki denklemini ayrı ayrı ele alalım:
27$^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
İkinci denklemi düşünün:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Değişken değiştirme yöntemini kullanalım, $y=2^(x+y)$ olsun.
O zaman denklem şu şekli alacaktır:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ ve $y_2=-3$.
İlk değişkenlere geçelim, ilk denklemden $x+y=2$ elde ederiz. İkinci denklemin çözümü yoktur. Daha sonra bizim başlangıç ​​sistemi denklemler şu sisteme eşdeğerdir: $\begin (case) x+3y=0, \\ x+y=2. \end (durumlar)$.
İkinciyi ilk denklemden çıkardığımızda şunu elde ederiz: $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2. \end (durumlar)$.
$\begin (durumlar) y=-1, \\ x=3. \end (durumlar)$.
Cevap: $(3;-1)$.

Üstel eşitsizlikler

Teorem. Eğer $a>1$ ise, bu durumda $a^(f(x))>a^(g(x))$ üstel eşitsizliği $f(x)>g(x)$ eşitsizliğine eşdeğerdir.
0$ ise a^(g(x))$, $f(x) eşitsizliğine eşdeğerdir

Örnek.
Eşitsizlikleri çözün:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4))))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Çözüm.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Eşitsizliğimiz eşitsizliğe eşdeğerdir:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.

B) $((\frac(1)(4))))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Denklemimizde taban, derecenin ne zaman olduğudur. 1'den küçükse, bir eşitsizliği eşdeğeriyle değiştirirken işareti değiştirmek gerekir.
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) Eşitsizliğimiz eşitsizliğe eşdeğerdir:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Aralıklı çözüm yöntemini kullanalım:
Cevap: $(-∞;-5]U)