Logaritmik ifadelerin basitleştirilmesi. Logaritmaların hesaplanması, örnekler, çözümler

Problem B7 basitleştirilmesi gereken bazı ifadeler veriyor. Sonuç, cevap kağıdınıza yazılabilecek normal bir sayı olmalıdır. Tüm ifadeler geleneksel olarak üç türe ayrılır:

1. Logaritmik,
2. Gösterge niteliğinde,
3. Kombine.

Saf haliyle üstel ve logaritmik ifadeler neredeyse hiç bulunmaz. Ancak bunların nasıl hesaplandığını bilmek kesinlikle gereklidir.

Genel olarak B7 problemi oldukça basit bir şekilde çözülür ve ortalama bir mezunun yetenekleri dahilindedir. Açık algoritmaların eksikliği, standardizasyonu ve monotonluğu ile telafi edilmektedir. Bu tür sorunları basit bir şekilde çözmeyi öğrenebilirsiniz. büyük miktar eğitim.

Logaritmik İfadeler

B7 problemlerinin büyük çoğunluğu şu veya bu şekilde logaritma içerir. Bu konu geleneksel olarak zor kabul edilir, çünkü çalışması genellikle final sınavlarına toplu hazırlık dönemi olan 11. sınıfta gerçekleşir. Sonuç olarak, pek çok mezun logaritma konusunda oldukça belirsiz bir anlayışa sahiptir.

Ancak bu görevde hiç kimse derin bir bilgiye ihtiyaç duymaz. teorik bilgi. Yalnızca basit akıl yürütme gerektiren ve bağımsız olarak kolayca öğrenilebilecek en basit ifadelerle karşılaşacağız. Logaritmalarla baş etmek için bilmeniz gereken temel formüller aşağıda verilmiştir:

Ek olarak, kökleri ve kesirleri rasyonel bir üslü kuvvetlerle değiştirebilmeniz gerekir, aksi takdirde bazı ifadelerde logaritma işaretinin altından çıkarılacak hiçbir şey olmayacaktır. Değiştirme formülleri:

Görev. İfadelerin anlamını bulun:
günlük 6 270 – günlük 6 7,5
günlük 5 775 – günlük 5 6,2

İlk iki ifade logaritmanın farkı olarak dönüştürülür:
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 – log 5 6,2 = log 5 (775: 6,2) = log 5 125 = 3.

Üçüncü ifadeyi hesaplamak için hem temelde hem de argümanda güçleri ayırmanız gerekecek. İlk önce iç logaritmayı bulalım:

Sonra - harici:

Log a log b x formunun yapıları karmaşık görünüyor ve çoğu kişi tarafından yanlış anlaşılıyor. Bu arada, bu sadece logaritmanın logaritması, yani. log a (log b x ). İlk olarak, iç logaritma hesaplanır (log b x = c koyun) ve ardından harici olan: log a c.

Gösterici İfadeler

Arayacağız açıklayıcı ifade a ve k sayıları keyfi sabitler ve a > 0 olan a k formundaki herhangi bir yapı. Bu tür ifadelerle çalışma yöntemleri oldukça basittir ve 8. sınıf cebir derslerinde tartışılmaktadır.

Aşağıda kesinlikle bilmeniz gereken temel formüller bulunmaktadır. Bu formüllerin pratikte uygulanması kural olarak sorun yaratmaz.

1. bir n · bir m = bir n + m;
2. bir n / bir m = bir n - m;
3. (bir n ) m = bir n · m ;
4. (a · b ) n = a n · b n;
5. (a : b ) n = bir n : b n.

Güçleri olan karmaşık bir ifadeyle karşılaşırsanız ve ona nasıl yaklaşacağınız net değilse, evrensel bir teknik kullanın: basit faktörlere ayrıştırma. Sonuç olarak büyük sayılar Derece tabanlarındaki ifadeler yerini basit ve anlaşılır unsurlara bırakmıştır. O zaman geriye kalan tek şey yukarıdaki formülleri uygulamaktır - ve sorun çözülecektir.

Görev. İfadelerin değerlerini bulun: 7 9 · 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.

Çözüm. Güçlerin tüm temellerini basit faktörlere ayıralım:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

Birleşik görevler

Formülleri biliyorsanız, tüm üstel ve logaritmik ifadeler tam anlamıyla tek bir satırda çözülebilir. Ancak B7 Probleminde kuvvetler ve logaritmalar oldukça güçlü kombinasyonlar oluşturacak şekilde birleştirilebilir.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye başvuru yaptığınızda adınız, telefon numaranız, adresiniz gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz. E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerektiğinde - kanuna, adli prosedüre, hukuki işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit etmemiz halinde, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

İfadeleri logaritmalarla dönüştürürken, hem sağdan sola hem de soldan sağa listelenen eşitlikler kullanılır.

Özelliklerin sonuçlarını ezberlemenin gerekli olmadığını belirtmekte fayda var: dönüşümleri gerçekleştirirken, logaritmanın temel özelliklerini ve diğer gerçekleri (örneğin, b≥0 için olduğu gerçeği) idare edebilirsiniz; karşılık gelen sonuçlar aşağıdadır. " Yan etki"Bu yaklaşım ancak çözümün biraz daha uzun sürmesinde kendini gösteriyor. Örneğin, formülle ifade edilen sonuç olmadan yapmak için ve yalnızca logaritmanın temel özelliklerinden başlayarak, aşağıdaki biçimde bir dönüşüm zinciri gerçekleştirmeniz gerekecektir: .

Aynı şey yukarıdaki listede yer alan ve aşağıdaki formülle yanıtlanan son özellik için de söylenebilir. çünkü aynı zamanda logaritmanın temel özelliklerinden de kaynaklanır. Anlaşılması gereken en önemli şey, üssünde logaritması olan pozitif bir sayının kuvvetinin, kuvvetinin tabanını ve logaritma işaretinin altındaki sayıyı değiştirmesinin her zaman mümkün olduğudur. Adil olmak gerekirse, bu tür dönüşümlerin uygulanmasını ima eden örneklerin pratikte nadir olduğunu belirtiyoruz. Aşağıda metin içerisinde birkaç örnek vereceğiz.

Sayısal ifadeleri logaritmalarla dönüştürme

Logaritmanın özelliklerini hatırladık, şimdi bunları pratikte ifadeleri dönüştürmek için nasıl uygulayacağımızı öğrenmenin zamanı geldi. Değişkenli ifadeler yerine sayısal ifadeleri dönüştürmekle başlamak doğaldır çünkü bunlar daha kullanışlıdır ve temel bilgileri öğrenmek daha kolaydır. Yapacağımız şey bu ve çok iyi bir başlangıç ​​yapacağız. basit örnekler, logaritmanın istenen özelliğini nasıl seçeceğinizi öğrenmek için, ancak nihai sonucu elde etmek için birkaç özelliği arka arkaya uygulamanın gerekli olacağı noktaya kadar örnekleri yavaş yavaş karmaşıklaştıracağız.

Logaritmanın istenilen özelliğini seçme

Logaritmanın birçok özelliği vardır ve bunlardan uygun olanı seçebilmeniz gerektiği açıktır, bu özel durumda gerekli sonuca yol açacaktır. Genellikle dönüştürülmüş logaritmanın veya ifadenin türünü, logaritmanın özelliklerini ifade eden formüllerin sol ve sağ kısımlarının türleri ile karşılaştırarak bunu yapmak zor değildir. Formüllerden birinin sol veya sağ tarafı belirli bir logaritma veya ifadeyle çakışıyorsa, büyük olasılıkla dönüşüm sırasında kullanılması gereken bu özelliktir. Aşağıdaki örnekler bunu açıkça göstermektedir.

a log a b =b, a>0, a≠1, b>0 formülüne karşılık gelen logaritmanın tanımını kullanarak ifade dönüştürme örnekleriyle başlayalım.

Örnek.

Mümkünse hesaplayın: a) 5 log 5 4, b) 10 log(1+2·π), c) , d) 2 log 2 (−7) , e) .

Çözüm.

a) harfinin altındaki örnekte a log a b yapısı açıkça görülmektedir, burada a=5, b=4. Bu sayılar a>0, a≠1, b>0 koşullarını karşılar, dolayısıyla a log a b =b eşitliğini güvenle kullanabilirsiniz. Elimizde 5 log 5 4=4 var.

b) Burada a=10, b=1+2·π, a>0, a≠1, b>0 koşulları sağlanmaktadır. Bu durumda 10 log(1+2·π) =1+2·π eşitliği gerçekleşir.

c) Ve bu örnekte a log a b formunda ve b=ln15 şeklinde bir dereceyle uğraşıyoruz. Bu yüzden .

a log a b (burada a=2, b=−7) ile aynı türe ait olmasına rağmen, g) harfinin altındaki ifade a log a b =b formülü kullanılarak dönüştürülemez. Bunun nedeni logaritmanın işareti altında negatif bir sayı içermesi nedeniyle anlamsız olmasıdır. Üstelik b=−7 sayısı b>0 koşulunu sağlamaz, bu da a>0, a≠1, b> koşullarının yerine getirilmesini gerektirdiğinden a log a b =b formülüne başvurmayı imkansız hale getirir. 0. Dolayısıyla 2 log 2 (−7) değerinin hesaplanmasından söz edemeyiz. Bu durumda 2 log 2 (−7) =−7 yazmak hata olur.

Benzer şekilde e) harfi altındaki örnekte formun çözümünü vermek imkansızdır. , çünkü orijinal ifade bir anlam ifade etmiyor.

Cevap:

a) 5 log 5 4 =4, b) 10 log(1+2·π) =1+2·π, c) , d), e) ifadeleri anlamlı değildir.

Çoğunlukla yararlı bir dönüşüm, pozitif bir sayıyı, üs içindeki logaritmayla birlikte pozitif bir olmayan sayının kuvveti olarak temsil etmektir. a log a b =b, a>0, a≠1, b>0 logaritmasının aynı tanımına dayanmaktadır, ancak formül sağdan sola, yani b=a log a b biçiminde uygulanır. . Örneğin, 3=e ln3 veya 5=5 log 5 5.

İfadeleri dönüştürmek için logaritmanın özelliklerini kullanmaya devam edelim.

Örnek.

İfadenin değerini bulun: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) log1, g) log 3,75 1, h) log 5 π 7 1 .

Çözüm.

a), b) ve c) harflerinin altındaki örneklerde log −2 1, log 1 1, log 0 1 ifadeleri verilmiş olup, logaritmanın tabanının negatif sayı içermemesi gerektiğinden bir anlam ifade etmemektedir, sıfır veya bir, çünkü logaritmayı yalnızca pozitif ve birlikten farklı bir taban için tanımladık. Dolayısıyla a) - c) örneklerinde ifadenin anlamını bulma sorunu olamaz.

Diğer tüm görevlerde, açıkçası, logaritmaların tabanları sırasıyla pozitif ve birlik olmayan sayılar 7, e, 10, 3,75 ve 5·π 7'yi içerir ve logaritmanın işaretleri altında her yerde birimler vardır. Ve birliğin logaritmasının özelliğini biliyoruz: herhangi bir a>0, a≠1 için log a 1=0. Böylece b) – e) ifadelerinin değerleri sıfıra eşittir.

Cevap:

a), b), c) ifadeleri anlamsızdır, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3,75 1=0, h) log 5 e 7 1= 0.

Örnek.

Hesaplayın: a) , b) lne , c) lg10 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), e) log −3 (−3) , f) log 1 1 .

Çözüm.

a>0, a≠1 için log a a=1 formülüne karşılık gelen tabanın logaritması özelliğini kullanmamız gerektiği açıktır. Nitekim tüm harflerin altındaki görevlerde logaritma işaretinin altındaki sayı tabanına denk gelir. Dolayısıyla verilen ifadelerin her birinin değerinin 1 olduğunu hemen belirtmek isterim. Ancak aceleyle sonuca varmamalısınız: a) - d) harflerinin altındaki görevlerde ifadelerin değerleri gerçekten bire eşittir ve e) ve f) görevlerinde orijinal ifadeler anlamlı değildir, bu nedenle bu ifadelerin değerlerinin 1'e eşit olduğu söylenemez.

Cevap:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), f) ifadeleri anlamlı değildir.

Örnek.

Değeri bulun: a) log 3 3 11, b) , c) , d) log −10 (−10) 6 .

Çözüm.

Açıkçası, logaritmanın işaretleri altında tabanın bazı kuvvetleri vardır. Buna dayanarak, burada tabanın derecesi özelliğine ihtiyacımız olacağını anlıyoruz: log a a p =p, burada a>0, a≠1 ve p herhangi bir gerçek sayıdır. Bunu hesaba katarsak aşağıdaki sonuçları elde ederiz: a) log 3 3 11 =11, b) ,V) . Benzer bir eşitliği log −10 (−10) 6 =6 formunun d) harfi altındaki örnek için yazmak mümkün müdür? Hayır, yapamazsınız çünkü log −10 (−10) 6 ifadesi bir anlam ifade etmiyor.

Cevap:

a) log 3 3 11 =11, b) ,V) , d) ifadenin anlamlı olmaması.

Örnek.

İfadeyi aynı tabanı kullanarak logaritmaların toplamı veya farkı olarak gösterin: a) , b) , c) log((−5)·(−12)) .

Çözüm.

a) Logaritmanın işaretinin altında bir çarpım var ve çarpımın logaritmasının özelliğini biliyoruz log a (x·y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0 , y>0. Bizim durumumuzda logaritmanın tabanındaki sayı ve çarpımdaki sayılar pozitiftir, yani seçilen özelliğin koşullarını sağlarlar, dolayısıyla bunu güvenle uygulayabiliriz: .

b) Burada bölüm logaritmasının özelliğini kullanıyoruz; burada a>0, a≠1, x>0, y>0. Bizim durumumuzda, logaritmanın tabanı pozitif bir e sayısıdır, pay ve payda π pozitiftir, bu da onların özelliğin koşullarını karşıladıkları anlamına gelir, dolayısıyla seçilen formülü kullanma hakkına sahibiz: .

c) Öncelikle log((−5)·(−12)) ifadesinin anlamlı olduğuna dikkat edin. Ancak aynı zamanda, log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y çarpımının logaritması formülünü uygulama hakkımız da yok. >0, sayılar −5 ve −12 – negatif olduğundan ve x>0, y>0 koşullarını karşılamadığından. Yani böyle bir dönüşümü gerçekleştiremezsiniz: log((−5)·(−12))=log(−5)+log(−12). Yani ne yapmalıyız? Bu gibi durumlarda, negatif sayılardan kaçınmak için orijinal ifadenin bir ön dönüşüme ihtiyacı vardır. İfadeleri dönüştürmenin benzer durumları hakkında negatif sayılar logaritmanın işareti altında bunlardan birinde detaylı olarak konuşacağız ancak şimdilik, önceden net ve açıklama gerektirmeyen bu örneğe bir çözüm sunacağız: log((−5)·(−12))=log(5·12)=log5+lg12.

Cevap:

A) , B) , c) log((−5)·(−12))=log5+lg12.

Örnek.

İfadeyi basitleştirin: a) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5, b) .

Çözüm.

Burada, önceki örneklerde kullandığımız çarpım logaritmasının ve bölümün logaritmasının tüm aynı özelliklerinden faydalanacağız, ancak şimdi bunları sağdan sola uygulayacağız. Yani logaritmaların toplamını çarpımın logaritmasına, logaritmaların farkını bölümün logaritmasına dönüştürüyoruz. Sahibiz
A) günlük 3 0,25+günlük 3 16+günlük 3 0,5=günlük 3 (0,25 16 0,5)=günlük 3 2.
B) .

Cevap:

A) günlük 3 0,25+günlük 3 16+günlük 3 0,5=günlük 3 2, B) .

Örnek.

Logaritma işaretinin altındaki dereceden kurtulun: a) log 0,7 5 11, b) , c) log 3 (−5) 6 .

Çözüm.

log a b p formundaki ifadelerle uğraştığımızı görmek kolaydır. Logaritmanın karşılık gelen özelliği log a b p =p·log a b biçimindedir; burada a>0, a≠1, b>0, p herhangi bir gerçek sayıdır. Yani, a>0, a≠1, b>0 koşulları karşılanırsa, log a b p kuvvetinin logaritmasından p·log a b çarpımına geçebiliriz. Bu dönüşümü verilen ifadelerle gerçekleştirelim.

a) Bu durumda a=0.7, b=5 ve p=11. Yani log 0,7 5 11 =11·log 0,7 5.

b) Burada a>0, a≠1, b>0 koşulları sağlanmaktadır. Bu yüzden

c) log 3 (−5) 6 ifadesi log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 ile aynı yapıya sahiptir. Ancak b için b>0 koşulu sağlanmaz, bu da log a b p =p·log a b formülünün kullanılmasını imkansız hale getirir. Peki ne, görevle baş edemiyor musun? Mümkün ama ifadenin bir ön dönüşümü gerekiyor ki bunu aşağıda başlık altındaki paragrafta detaylı olarak ele alacağız. Çözüm şu şekilde olacak: log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.

Cevap:

a) log 0,7 5 11 =11 log 0,7 5,
B)
c) log 3 (−5) 6 =6·log 3 5.

Çoğu zaman, dönüşümleri gerçekleştirirken, bir kuvvetin logaritması formülünün sağdan sola p·log a b=log a b p şeklinde uygulanması gerekir (aynı koşullar a, b ve p için karşılanmalıdır). Örneğin, 3·ln5=ln5 3 ve log2·log 2 3=log 2 3 lg2.

Örnek.

a) log2≈0.3010 ve log5≈0.6990 olduğu biliniyorsa log 2 5'in değerini hesaplayın. b) Kesri 3 tabanına göre logaritma olarak ifade edin.

Çözüm.

a) Yeni bir logaritma tabanına geçiş formülü, bu logaritmayı, değerleri bizim tarafımızdan bilinen ondalık logaritmaların oranı olarak sunmamızı sağlar: . Geriye kalan tek şey hesaplamaları yapmaktır, elimizde .

b) Burada yeni bir tabana geçme formülünü kullanıp sağdan sola yani formda uygulamak yeterlidir. . Aldık .

Cevap:

a) log 2 5≈2,3223, b) .

Bu aşamada logaritmanın temel özelliklerini ve logaritmanın tanımını kullanarak en basit ifadelerin dönüşümünü oldukça detaylı bir şekilde inceledik. Bu örneklerde tek bir özelliği uygulamamız gerekti, daha fazlasını uygulamadık. Şimdi, açık bir vicdanla, dönüşümü logaritmanın çeşitli özelliklerinin ve diğer ek dönüşümlerin kullanılmasını gerektiren örneklere geçebilirsiniz. Bir sonraki paragrafta onlarla ilgileneceğiz. Ancak bundan önce, logaritmanın temel özelliklerinden sonuçların uygulanmasına ilişkin örneklere kısaca bakalım.

Örnek.

a) Logaritma işaretinin altındaki kökten kurtulun. b) Kesri 5 tabanlı logaritmaya dönüştürün. c) Logaritmanın işareti ve tabanındaki kuvvetlerden kendinizi kurtarın. d) İfadenin değerini hesaplayın . e) İfadeyi 3 tabanlı bir kuvvetle değiştirin.

Çözüm.

a) Derecenin logaritmasının özelliğinden sonucu hatırlarsak , o zaman hemen cevabı verebilirsiniz: .

b) Burada formülü kullanıyoruz sağdan sola elimizde .

c) Bu durumda formül sonuca götürür . Aldık .

d) Ve burada formülün karşılık geldiği sonucu uygulamak yeterlidir. . Bu yüzden .

e) Logaritmanın özelliği ulaşmamızı sağlar İstenen sonuç: .

Cevap:

A) . B) . V) . G) . D) .

Çeşitli özelliklerin ardışık uygulaması

Logaritmanın özelliklerini kullanarak ifadeleri dönüştürmeye ilişkin gerçek görevler genellikle önceki paragrafta ele aldığımızdan daha karmaşıktır. Bunlarda, kural olarak, sonuç tek bir adımda elde edilmez, ancak çözüm zaten bir özelliğin birbiri ardına sıralı uygulanmasından ve parantezlerin açılması, benzer terimlerin getirilmesi, kesirlerin azaltılması vb. gibi ek özdeş dönüşümlerden oluşur. . O halde bu tür örneklere biraz daha yaklaşalım. Bunda karmaşık bir şey yok, asıl önemli olan, eylemlerin sırasını gözlemleyerek dikkatli ve tutarlı hareket etmektir.

Örnek.

Bir ifadenin değerini hesaplama (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5.

Çözüm.

Bölüm logaritmasının özelliğine göre parantez içindeki logaritmalar arasındaki fark, log 3 (15:5) logaritması ile değiştirilebilir ve daha sonra log 3 (15:5)=log 3 3=1 değeri hesaplanabilir. Ve 7 log 7 5 ifadesinin değeri logaritmanın tanımı gereği 5'e eşittir. Bu sonuçları orijinal ifadede yerine koyarsak, şunu elde ederiz: (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

İşte açıklama gerektirmeyen bir çözüm:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
=log 3 3·5=1·5=5 .

Cevap:

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Örnek.

Log 3 log 2 2 3 −1 sayısal ifadesinin değeri nedir?

Çözüm.

İlk önce logaritmayı logaritma işareti altında, kuvvetin logaritması formülünü kullanarak dönüştürürüz: log 2 2 3 =3. Böylece, log 3 log 2 2 3 =log 3 3 ve ardından log 3 3=1 olur. Yani log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

Cevap:

günlük 3 günlük 2 2 3 −1=0 .

Örnek.

Ifadeyi basitleştir.

Çözüm.

Yeni bir logaritma tabanına geçme formülü, logaritmaların bir tabana oranının log 3 5 olarak temsil edilmesine olanak tanır. Bu durumda orijinal ifade biçimini alacaktır. Logaritmanın tanımına göre 3 log 3 5 =5, yani ve ortaya çıkan ifadenin değeri, logaritmanın aynı tanımı nedeniyle ikiye eşittir.

Genellikle verilen çözümün kısa bir versiyonu: .

Cevap:

.

Bir sonraki paragraftaki bilgilere sorunsuz bir şekilde geçiş yapmak için 5 2+log 5 3 ve log0.01 ifadelerine göz atalım. Yapıları logaritmanın hiçbir özelliğine uymamaktadır. Peki ne olur, logaritmanın özellikleri kullanılarak dönüştürülemezler mi? Logaritmanın özelliklerinin uygulanması için bu ifadeleri hazırlayan ön dönüşümleri gerçekleştirirseniz mümkündür. Bu yüzden 5 2+günlük 5 3 =5 2 5 günlük 5 3 =25 3=75, ve log0,01=log10 −2 =−2. Daha sonra bu tür ifade hazırlamanın nasıl yapıldığına ayrıntılı olarak bakacağız.

Logaritmanın Özelliklerini Kullanmaya Yönelik İfadeler Hazırlama

Dönüştürülmekte olan ifadedeki logaritmalar, notasyonun yapısında logaritmanın özelliklerine karşılık gelen formüllerin sol ve sağ kısımlarından çok sık farklılık gösterir. Ancak daha az sıklıkla, bu ifadelerin dönüşümü logaritmanın özelliklerinin kullanılmasını içerir: bunların kullanımı yalnızca ön hazırlık gerektirir. Ve bu hazırlık belli başlı eylemlerin gerçekleştirilmesinden ibarettir. kimlik dönüşümleri Logaritmaların özelliklerin uygulanmasına uygun bir forma getirilmesi.

Adil olmak gerekirse, benzer terimlerin sıradan indirgenmesinden uygulamaya kadar ifadelerdeki hemen hemen her dönüşümün ön dönüşüm görevi görebileceğini belirtiyoruz. trigonometrik formüller. Dönüştürülen ifadeler herhangi bir matematiksel nesneyi içerebileceğinden bu anlaşılabilir bir durumdur: parantezler, modüller, kesirler, kökler, kuvvetler vb. Bu nedenle, logaritmanın özelliklerinden daha fazla yararlanabilmek için gerekli her türlü dönüşümü gerçekleştirmeye hazırlıklı olunmalıdır.

Hemen söyleyelim ki, bu noktada logaritmanın özelliklerini veya bir logaritmanın tanımını daha sonra uygulamamıza izin verecek akla gelebilecek tüm ön dönüşümleri sınıflandırma ve analiz etme görevini üstlenmiyoruz. Burada bunlardan en tipik ve pratikte en sık karşılaşılanlardan yalnızca dördüne odaklanacağız.

Ve şimdi her biri hakkında ayrıntılı olarak, bundan sonra konumuz çerçevesinde geriye kalan tek şey, logaritma işaretleri altında değişkenlerle ifadelerin dönüşümünü anlamak.

Logaritma işareti altındaki ve tabanındaki kuvvetlerin belirlenmesi

Hemen bir örnekle başlayalım. Logaritmayı alalım. Açıkçası, bu haliyle yapısı logaritmanın özelliklerinin kullanımına elverişli değildir. Bu ifadeyi bir şekilde basitleştirmek ve hatta değerini hesaplamak için dönüştürmek mümkün mü? Bu soruyu cevaplamak için örneğimiz bağlamında 81 ve 1/9 sayılarına daha yakından bakalım. Burada bu sayıların 3'ün kuvvetleri olarak temsil edilebileceğini fark etmek kolaydır, aslında 81 = 3 4 ve 1/9 = 3 −2. Bu durumda orijinal logaritma formda sunulur ve formülün uygulanması mümkün hale gelir. . Bu yüzden, .

Analiz edilen örneğin analizi şu düşünceye yol açmaktadır: Mümkünse, derecenin logaritmasının özelliğini veya sonuçlarını uygulamak için dereceyi logaritmanın işareti altında ve tabanında izole etmeye çalışabilirsiniz. Geriye sadece bu derecelerin nasıl ayırt edileceğini bulmak kalıyor. Bu konuyla ilgili bazı öneriler verelim.

Bazen, yukarıda tartışılan örnekte olduğu gibi, logaritma işaretinin altındaki ve/veya tabanındaki sayının bir tam sayı kuvvetini temsil ettiği oldukça açıktır. Neredeyse sürekli olarak ikinin kuvvetleriyle uğraşmak zorundayız ki bunlar oldukça tanıdık: 4=2 2, 8=2 3, 16=2 4, 32=2 5, 64=2 6, 128=2 7, 256=2 8 , 512= 2 9, 1024=2 10. Aynı şey üçün kuvvetleri için de söylenebilir: 9 = 3 2, 27 = 3 3, 81 = 3 4, 243 = 3 5, ... Genel olarak gözünüzün önünde olursa zararı olmaz doğal sayıların kuvvetleri tablosu bir düzine içinde. On, yüz, bin gibi tam sayıların kuvvetleriyle çalışmak da zor değil.

Örnek.

Değeri hesaplayın veya ifadeyi basitleştirin: a) log 6 216, b) , c) log 0,000001 0,001.

Çözüm.

a) Açıkçası, 216=6 3, yani log 6 216=log 6 6 3 =3.

b) Doğal sayıların kuvvetleri tablosu, 343 ve 1/243 sayılarını sırasıyla 7 3 ve 3 −4 kuvvetleri olarak göstermenize olanak tanır. Bu nedenle, belirli bir logaritmanın aşağıdaki dönüşümü mümkündür:

c) 0,000001=10 −6 ve 0,001=10 −3 olduğuna göre, log 0,000001 0,001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

Cevap:

a) log 6 216=3, b) , c) log 0,000001 0,001=1/2.

Daha karmaşık durumlarda sayıların kuvvetlerini izole etmek için başvurmanız gerekir.

Örnek.

İfadeyi daha fazlasına dönüştür basit görünüm günlük 3 648 günlük 2 3 .

Çözüm.

648'in çarpanlara ayrılmasının ne olduğuna bakalım:

Yani 648=2 3 ·3 4. Böylece, günlük 3 648 günlük 2 3=günlük 3 (2 3 3 4) günlük 2 3.

Şimdi ürünün logaritmasını logaritmaların toplamına dönüştürüyoruz, ardından kuvvetin logaritmasının özelliklerini uyguluyoruz:
günlük 3 (2 3 3 4)günlük 2 3=(günlük 3 2 3 +günlük 3 3 4)günlük 2 3=
=(3·log 3 2+4)·log 2 3 .

Formüle karşılık gelen kuvvetin logaritmasının özelliğinden elde edilen bir sonuç sayesinde log32·log23 çarpımı ise bilindiği gibi bire eşittir. Bunu dikkate alarak şunu elde ederiz: 3 günlük 3 2 günlük 2 3+4 günlük 2 3=3 1+4 günlük 2 3=3+4 günlük 2 3.

Cevap:

günlük 3 648 günlük 2 3=3+4 günlük 2 3.

Çoğunlukla, logaritmanın işareti altındaki ve tabanındaki ifadeler, bazı sayıların köklerinin ve/veya kuvvetlerinin çarpımlarını veya oranlarını temsil eder; örneğin, , . Bu tür ifadeler kuvvetler olarak ifade edilebilir. Bunun için köklerden güçlere geçiş yapılır ve ve kullanılır. Bu dönüşümler, logaritmanın işareti altındaki ve tabanındaki kuvvetlerin izole edilmesini ve daha sonra logaritmanın özelliklerinin uygulanmasını mümkün kılar.

Örnek.

Hesaplayın: a) , B) .

Çözüm.

a) Logaritmanın tabanındaki ifade, kuvvetlerin çarpımıdır. aynı gerekçelerle sahip olduğumuz güçlerin karşılık gelen özelliği ile 5 2 ·5 −0,5 ·5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Şimdi kesri logaritma işaretine dönüştürelim: kökten kuvvete doğru ilerleyeceğiz, ardından aynı tabanlara sahip kuvvetlerin oranı özelliğini kullanacağız: .

Elde edilen sonuçları orijinal ifadeyle değiştirmek için kalır, formülü kullanın ve dönüşümü tamamlayın:

b) 729 = 3 6 ve 1/9 = 3 −2 olduğundan orijinal ifade şu şekilde yeniden yazılabilir.

Daha sonra, bir kuvvetin kökü özelliğini uygularız, kökten kuvvete doğru hareket ederiz ve logaritmanın tabanını bir kuvvete dönüştürmek için kuvvetler oranı özelliğini kullanırız: .

Düşünen son sonuç, sahibiz .

Cevap:

A) , B) .

Genel durumda logaritmanın işareti altında ve tabanında kuvvetler elde etmek için çeşitli ifadelerin çeşitli dönüşümlerinin gerekli olabileceği açıktır. Birkaç örnek verelim.

Örnek.

İfadenin anlamı nedir: a) , B) .

Çözüm.

Ayrıca verilen ifadenin A=2, B=x+1 ve p=4 olmak üzere log A B p formuna sahip olduğunu da not ediyoruz. Sayısal İfadeler Bu türü log a b p =p·log a b kuvvetinin logaritmasının özelliğine göre dönüştürdük, dolayısıyla verilen ifadeyle ben de aynısını yapmak ve log 2 (x+1) 4'ten 4·log'a gitmek istiyorum 2(x+1) . Şimdi orijinal ifadenin ve dönüşüm sonrasında elde edilen ifadenin (örneğin x=−2 olduğunda) değerini hesaplayalım. Log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 elimizde ve 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- anlamsız bir ifade. Bu mantıklı bir soruyu gündeme getiriyor: "Neyi yanlış yaptık?"

Sebebi de şudur: Log a b p =p·log a b formülüne dayanarak log 2 (x+1) 4 =4·log 2 (x+1) dönüşümünü gerçekleştirdik, ancak bu formülü uygulama hakkımız var. yalnızca a >0, a≠1, b>0, p koşulları varsa - herhangi bir gerçek sayı. Yani yaptığımız dönüşüm x+1>0 ise gerçekleşir, bu da x>−1 ile aynıdır (A ve p için koşullar sağlanır). Ancak bizim durumumuzda orijinal ifade için x değişkeninin ODZ'si yalnızca x>−1 aralığından değil aynı zamanda x aralığından da oluşur.<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

DL'yi dikkate alma ihtiyacı

Seçtiğimiz log 2 (x+1) 4 ifadesinin dönüşümünü analiz etmeye devam edelim ve şimdi 4 · log 2 (x+1) ifadesine geçtiğimizde ODZ'ye ne olacağını görelim. Önceki paragrafta orijinal ifadenin ODZ'sini bulduk - bu (−∞, −1)∪(−1, +∞) kümesidir. Şimdi 4·log 2 (x+1) ifadesi için x değişkeninin kabul edilebilir değer aralığını bulalım. (−1, +∞) kümesine karşılık gelen x+1>0 koşuluyla belirlenir. Log 2 (x+1) 4'ten 4·log 2 (x+1)'e geçerken izin verilen değer aralığının daraldığı açıktır. Ve DL'nin daralmasına yol açan dönüşümlerden kaçınma konusunda anlaştık çünkü bu, çeşitli olumsuz sonuçlara yol açabilir.

Burada OA'nın dönüşümün her adımında kontrol edilmesi ve daralmasının önlenmesinde fayda olduğunu belirtmekte fayda var. Ve eğer dönüşümün bir aşamasında aniden DL'de bir daralma meydana gelirse, o zaman bu dönüşüme izin verilip verilmediğine ve bunu gerçekleştirme hakkımız olup olmadığına çok dikkatli bakmaya değer.

Adil olmak gerekirse, diyelim ki pratikte genellikle değişkenlerin değişken değerinin, dönüşümleri gerçekleştirirken logaritmanın özelliklerini zaten bildiğimiz biçimde kısıtlama olmaksızın kullanabileceğimiz ifadelerle çalışmak zorunda olduğumuzu varsayalım. soldan sağa ve sağdan sola. Buna hızla alışıyorsunuz ve dönüşümleri gerçekleştirmenin mümkün olup olmadığını düşünmeden mekanik olarak gerçekleştirmeye başlıyorsunuz. Ve böyle anlarda, şans eseri, logaritmanın özelliklerinin dikkatsiz uygulanmasının hatalara yol açtığı daha karmaşık örnekler gözden kaçar. Bu nedenle her zaman tetikte olmanız ve ODZ'de herhangi bir daralma olmadığından emin olmanız gerekir.

Çok dikkatli yapılması gereken, OD'nin daralmasına ve sonuç olarak hatalara yol açabilecek logaritmanın özelliklerine dayanan ana dönüşümleri ayrı ayrı vurgulamaktan zarar gelmez:

Logaritmanın özelliklerine dayanan bazı ifade dönüşümleri de ODZ'nin ters yönde genişlemesine yol açabilir. Örneğin, 4·log 2 (x+1)'den log 2 (x+1) 4'e geçiş, ODZ'yi (−1, +∞) kümesinden (−∞, −1)∪(−1,) kümesine genişletir. +∞) . Orijinal ifadenin ODZ çerçevesinde kalırsak bu tür dönüşümler gerçekleşir. Dolayısıyla az önce bahsedilen 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 dönüşümü, orijinal 4·log 2 (x+1) ifadesi için x değişkeninin ODZ'sinde gerçekleşir; x+1> 0, (−1, +∞) ile aynıdır.

Artık logaritmanın özelliklerini kullanarak değişkenli ifadeleri dönüştürürken dikkat etmeniz gereken nüansları tartıştığımıza göre, bu dönüşümlerin doğru şekilde nasıl gerçekleştirileceğini bulmaya devam ediyoruz.

X+2>0 . Bizim durumumuzda işe yarıyor mu? Bu soruyu cevaplamak için x değişkeninin ODZ'sine bir göz atalım. Eşitsizlik sistemi tarafından belirlenir x+2>0 koşuluna eşdeğerdir (gerekirse makaleye bakın) eşitsizlik sistemlerini çözme). Böylece kuvvetin logaritması özelliğini güvenle uygulayabiliriz.

Sahibiz
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3·7·log(x+2)−log(x+2)−5·4·log(x+2)=
=21·log(x+2)−log(x+2)−20·log(x+2)=
=(21−1−20)·log(x+2)=0 .

ODZ bunu yapmanıza izin verdiği için farklı davranabilirsiniz, örneğin:

Cevap:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

Peki logaritmanın özelliklerine eşlik eden koşullar ODZ'de karşılanmadığında ne yapmalı? Bunu örneklerle anlayacağız.

log(x+2) 4 − log(x+2) 2 ifadesini basitleştirmemiz istensin. Bu ifadenin dönüşümü, önceki örnekteki ifadeden farklı olarak, kuvvetin logaritması özelliğinin serbestçe kullanılmasına izin vermez. Neden? Bu durumda x değişkeninin ODZ'si, x>−2 ve x olmak üzere iki aralığın birleşimidir.<−2 . При x>−2 Bir kuvvetin logaritması özelliğini kolaylıkla uygulayabilir ve yukarıdaki örnekteki gibi davranabiliriz: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). Ancak ODZ bir x+2 aralığı daha içeriyor<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2 ve ayrıca k lg|x+2| derecesinin özelliklerinden dolayı 4 −lg|x+2| 2. Sonuçta elde edilen ifade, değişkenin herhangi bir değeri için |x+2|>0 olduğundan, bir kuvvetin logaritması özelliği kullanılarak dönüştürülebilir. Sahibiz log|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. Artık işini yaptığı için kendinizi modülden kurtarabilirsiniz. Dönüşümü x+2 noktasında gerçekleştirdiğimiz için<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Modüllerle çalışmayı tanıdık hale getirmek için bir örneğe daha bakalım. ifadesinden yola çıkalım x−1, x−2 ve x−3 doğrusal binomlarının logaritmasının toplamına ve farkına gidin. İlk önce ODZ'yi buluyoruz:

(3, +∞) aralığında x−1, x−2 ve x−3 ifadelerinin değerleri pozitiftir, dolayısıyla toplam ve farkın logaritmasının özelliklerini kolayca uygulayabiliriz:

Ve (1, 2) aralığında x−1 ifadesinin değerleri pozitif, x−2 ve x−3 ifadelerinin değerleri ise negatiftir. Bu nedenle, söz konusu aralıkta x−2 ve x−3'ü modülü −|x−2| olarak kullanarak temsil ediyoruz. ve −|x−3| sırasıyla. burada

Artık ürünün logaritmasının ve bölümün özelliklerini uygulayabiliriz, çünkü dikkate alınan aralıkta (1, 2) x−1 , |x−2| ifadelerinin değerleri bulunur. ve |x−3| - pozitif.

Sahibiz

Elde edilen sonuçlar birleştirilebilir:

Genel olarak, benzer akıl yürütme, ürünün logaritması, oran ve derece formüllerine dayanarak, kullanımı oldukça uygun olan pratik olarak yararlı üç sonuç elde edilmesini sağlar:

• log a (X·Y) formundaki iki keyfi X ve Y ifadesinin çarpımının logaritması, log a |X|+log a |Y| logaritmalarının toplamı ile değiştirilebilir. , a>0 , a≠1 .
• Belirli bir log a (X:Y) formunun logaritması, log a |X|−log a |Y| logaritmalarının farkı ile değiştirilebilir. , a>0, a≠1, X ve Y keyfi ifadelerdir.
• Bir B ifadesinin logaritmasından log a B p formundaki çift kuvvet p'ye kadar p·log a |B| ifadesine gidebiliriz. burada a>0, a≠1, p bir çift sayıdır ve B keyfi bir ifadedir.

Benzer sonuçlar, örneğin üstel ve üstel denklemlerin çözümüne yönelik talimatlarda verilmiştir. logaritmik denklemler M. I. Skanavi tarafından düzenlenen, üniversitelere girenler için matematik problemleri koleksiyonunda.

Örnek.

Ifadeyi basitleştir .

Çözüm.

Kuvvet, toplam ve farkın logaritmasının özelliklerini uygulamak iyi olurdu. Ama bunu burada yapabilir miyiz? Bu soruyu cevaplamak için DZ'yi bilmemiz gerekiyor.

Bunu tanımlayalım:

x değişkeninin izin verilen değerler aralığındaki x+4, x−2 ve (x+4) 13 ifadelerinin hem pozitif hem de negatif değerler alabileceği oldukça açıktır. Bu nedenle modüller üzerinden çalışmamız gerekecek.

Modül özellikleri onu şu şekilde yeniden yazmanıza izin verir;

Ayrıca, bir kuvvetin logaritmasının özelliğini kullanmanıza ve ardından benzer terimleri getirmenize hiçbir şey engel değildir:

Başka bir dönüşüm dizisi aynı sonuca yol açar:

ve ODZ'de x−2 ifadesi hem pozitif hem de negatif değerler alabildiğinden, çift üs alındığında 14

İlkel düzey cebirin unsurlarından biri logaritmadır. İsmi Yunanca “sayı” veya “kuvvet” kelimesinden gelir ve son sayıyı bulmak için tabandaki sayının yükseltilmesi gereken kuvvet anlamına gelir.

Logaritma türleri

• log a b – b sayısının a tabanına göre logaritması (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – ondalık logaritma (10 tabanına göre logaritma, a = 10);
• ln b – doğal logaritma (e tabanına göre logaritma, a = e).

Logaritmalar nasıl çözülür?

B'nin a tabanına göre logaritması, b'nin a tabanına yükseltilmesini gerektiren bir üstür. Elde edilen sonuç şu şekilde telaffuz edilir: "b'nin a tabanına göre logaritması." Çözüm logaritmik problemler belirtilen sayılara göre belirli bir dereceyi sayılarla belirlemeniz gerektiğidir. Logaritmayı belirlemek veya çözmek ve gösterimin kendisini dönüştürmek için bazı temel kurallar vardır. Bunları kullanarak logaritmik denklemler çözülür, türevler bulunur, integraller çözülür ve diğer birçok işlem gerçekleştirilir. Temel olarak logaritmanın çözümü onun basitleştirilmiş gösterimidir. Aşağıda temel formüller ve özellikler verilmiştir:

Herhangi bir a için; a > 0; a ≠ 1 ve herhangi bir x için; y > 0.

• a log a b = b – temel logaritmik özdeşlik
• 1 = 0'ı günlüğe kaydet
• log a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x, k ≠ 0 için
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – yeni bir tabana geçme formülü
• log a x = 1/log x a

Logaritmalar nasıl çözülür - çözmek için adım adım talimatlar

• İlk önce gerekli denklemi yazın.

Lütfen unutmayın: Taban logaritması 10 ise, giriş kısaltılır ve ondalık logaritma elde edilir. Eğer buna değerse doğal sayı e, sonra bunu kısaltarak yazıyoruz doğal logaritma. Bu, tüm logaritmaların sonucunun, b sayısını elde etmek için temel sayının yükseltildiği kuvvet olduğu anlamına gelir.

Çözüm doğrudan bu derecenin hesaplanmasında yatmaktadır. Bir ifadeyi logaritmayla çözmeden önce kurala göre yani formüller kullanılarak basitleştirilmesi gerekir. Yazıda biraz geriye giderek ana kimlikleri bulabilirsiniz.

İki farklı sayıya ancak aynı tabanlara sahip logaritmalar eklenirken ve çıkarılırken, sırasıyla b ve c sayılarının çarpımı veya bölümü olan bir logaritma ile değiştirin. Bu durumda başka bir üsse geçme formülünü uygulayabilirsiniz (yukarıya bakın).

Logaritmayı basitleştirmek için ifadeler kullanırsanız dikkate alınması gereken bazı sınırlamalar vardır. Ve bu şudur: logaritmanın tabanı a yalnızca pozitif bir sayıdır, fakat bire eşit. a gibi b sayısı da sıfırdan büyük olmalıdır.

Bir ifadeyi basitleştirerek logaritmayı sayısal olarak hesaplayamayacağınız durumlar vardır. Böyle bir ifadenin mantıklı olmadığı görülür çünkü kuvvetlerin çoğu irrasyonel sayılardır. Bu durumda sayının kuvvetini logaritma olarak bırakın.

Tanımından yola çıkılır. Ve böylece sayının logaritması B dayalı A bir sayının yükseltilmesi gereken üs olarak tanımlanır A numarayı almak için B(logaritma yalnızca pozitif sayılar için mevcuttur).

Bu formülasyondan, hesaplama şu şekildedir: x=log a b, denklemi çözmeye eşdeğerdir a x =b.Örneğin, günlük 2 8 = 3Çünkü 8 = 2 3 . Logaritmanın formülasyonu şunu doğrulamayı mümkün kılar: b=a c, sonra sayının logaritması B dayalı A eşittir İle. Logaritma konusunun bir sayının kuvvetleri konusuyla yakından ilgili olduğu da açıktır.

Herhangi bir sayıda olduğu gibi logaritmalarla da şunları yapabilirsiniz: toplama, çıkarma işlemleri ve mümkün olan her şekilde dönüştürün. Ancak logaritmalar tamamen sıradan sayılar olmadığı için burada kendi özel kuralları geçerlidir. ana özellikler.

Logaritmaların toplanması ve çıkarılması.

Aynı tabanlara sahip iki logaritmayı alalım: x'i günlüğe kaydet Ve bir y günlüğü. Daha sonra toplama ve çıkarma işlemlerini gerçekleştirmek mümkündür:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

bir günlüğe kaydet(X 1 . X 2 . X 3 ... xk) = x'i günlüğe kaydet 1 + x'i günlüğe kaydet 2 + x'i günlüğe kaydet 3 + ... + a x k'yi günlüğe kaydet.

İtibaren logaritma bölüm teoremi Logaritmanın bir özelliği daha elde edilebilir. Günlüğe kaydetmenin yaygın bir bilgi olduğu A 1= 0 dolayısıyla

kayıt A 1 /B=günlük A 1 - günlük bir b= - günlük bir b.

Bu, bir eşitliğin olduğu anlamına gelir:

log a 1 / b = - log a b.

Karşılıklı iki sayının logaritması aynı nedenden ötürü birbirinden yalnızca işaret açısından farklılık gösterecektir. Bu yüzden:

Günlük 3 9= - günlük 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.