Bir denklem sistemini hızlı bir şekilde çözme. Denklem sistemlerini çözmek için grafiksel yöntem. Çıkarma yöntemini kullanarak kolay problemleri çözme

1. İkame yöntemi: sistemin herhangi bir denkleminden bir bilinmeyeni diğeriyle ifade ederiz ve onu sistemin ikinci denkleminde yerine koyarız.

Görev. Denklem sistemini çözün:

Çözüm.İfade ettiğimiz sistemin ilk denkleminden en başından sonuna kadar X ve bunu sistemin ikinci denkleminde yerine koyalım. Sistemi alalım orijinaline eşdeğerdir.

Benzer terimler getirildikten sonra sistem şu şekli alacaktır:

İkinci denklemden şunu buluyoruz: . Bu değeri denklemde yerine koymak en = 2 - 2X, alıyoruz en= 3. Dolayısıyla bu sistemin çözümü bir sayı çiftidir.

2. Cebirsel toplama yöntemi: İki denklem toplayarak tek değişkenli bir denklem elde edersiniz.

Görev. Sistem denklemini çözün:

Çözüm.İkinci denklemin her iki tarafını da 2 ile çarparak sistemi elde ederiz. orijinaline eşdeğerdir. Bu sistemin iki denklemini topladığımızda sisteme ulaşıyoruz.

Benzer terimler getirildikten sonra bu sistem şu şekli alacaktır: İkinci denklemden şunu buluyoruz. Bu değeri denklem 3'te yerine koyarsak X + 4en= 5, şunu elde ederiz , Neresi . Dolayısıyla bu sistemin çözümü bir sayı çiftidir.

3. Yeni değişkenleri tanıtma yöntemi: Sistemde yeni değişkenlerle göstereceğimiz bazı tekrar eden ifadeler arıyoruz, böylece sistemin görünümünü basitleştiriyoruz.

Görev. Denklem sistemini çözün:

Çözüm. Bu sistemi farklı yazalım:

İzin vermek x + y = sen, xy = v. Daha sonra sistemi alıyoruz.

Değiştirme yöntemini kullanarak çözelim. İfade ettiğimiz sistemin ilk denkleminden sen başından sonuna kadar v ve bunu sistemin ikinci denkleminde yerine koyalım. Sistemi alalım onlar.

Bulduğumuz sistemin ikinci denkleminden v 1 = 2, v 2 = 3.

Bu değerleri denklemde yerine koymak sen = 5 - v, alıyoruz sen 1 = 3,
sen 2 = 2. O zaman iki sistemimiz var

İlk sistemi çözerek iki çift sayı elde ederiz (1; 2), (2; 1). İkinci sistemin çözümü yoktur.

Bağımsız çalışma için alıştırmalar

1.Denklem sistemlerini yerine koyma yöntemini kullanarak çözebilecektir.

Öncelikle iki değişkenli bir denklem sisteminin çözümünün tanımını hatırlayalım.

Tanım 1

Bir çift sayı, iki değişkenli bir denklem sisteminin çözümü olarak adlandırılır; eğer bunların denklemde yerine konulması gerçek bir eşitlikle sonuçlanırsa.

Gelecekte iki değişkenli iki denklemli sistemleri ele alacağız.

Var olmak Denklem sistemlerini çözmenin dört temel yolu: yerine koyma yöntemi, ekleme yöntemi, grafik yöntemi, yeni değişkenleri korumanın bir yolu. Şimdi bu yöntemlere bakalım spesifik örnekler. İlk üç yöntemi kullanma ilkesini açıklamak için iki yöntemden oluşan bir sistemi ele alacağız. doğrusal denklemler iki bilinmeyenli:

İkame yöntemi

Yerine koyma yöntemi şu şekildedir: Bu denklemlerden herhangi birini alın ve $y$'yi $x$ cinsinden ifade edin, ardından $x değişkeninin bulunduğu sistem denkleminde $y$ yerine konulur.$ Bundan sonra şunları yapabiliriz: $y.$ değişkenini kolayca hesaplayın

örnek 1

İkinci denklemden $y$'yi $x$ cinsinden ifade edelim:

İlk denklemde yerine koyalım ve $x$'ı bulalım:

\ \ \

$y$'ı bulalım:

Cevap: $(-2,\ 3)$

Ekleme yöntemi.

Bir örnek kullanarak bu yönteme bakalım:

Örnek 2

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

İkinci denklemi 3 ile çarparsak şunu elde ederiz:

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right.\]

Şimdi her iki denklemi birlikte toplayalım:

\ \ \

İkinci denklemden $y$'ı bulalım:

\[-6-y=-9\] \

Cevap: $(-2,\ 3)$

Not 1

Bu yöntemde denklemlerden birini veya her ikisini birden, ekleme sırasında değişkenlerden birinin "kaybolacağı" sayılarla çarpmanın gerekli olduğunu unutmayın.

Grafik yöntemi

Grafiksel yöntem şu şekildedir: Sistemin her iki denklemi koordinat düzleminde gösterilerek kesişme noktaları bulunur.

Örnek 3

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

$y$'yi her iki denklemden de $x$ cinsinden ifade edelim:

\[\left\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]

Her iki grafiği de aynı düzlemde gösterelim:

Resim 1.

Cevap: $(-2,\ 3)$

Yeni değişkenleri tanıtma yöntemi

Aşağıdaki örneği kullanarak bu yönteme bakalım:

Örnek 4

\[\left\( \begin(array)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \right .\]

Çözüm.

Bu sistem şu sisteme eşdeğerdir

\[\left\( \begin(array)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \ Sağ.\]

$2^x=u\ (u>0)$ ve $3^y=v\ (v>0)$ olsun, şunu elde ederiz:

\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]

Ortaya çıkan sistemi toplama yöntemini kullanarak çözelim. Denklemleri toplayalım:

\ \

Sonra ikinci denklemden şunu elde ederiz:

Değiştirmeye dönersek, şunu elde ederiz: yeni sistemüstel denklemler:

\[\left\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]

Şunu elde ederiz:

\[\left\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \right.\]

Bu matematik programıyla iki doğrusal denklemden oluşan bir sistemi çözebilirsiniz. değişken yöntem değiştirme ve ekleme yöntemi.

Program sadece sorunun cevabını vermekle kalmıyor, aynı zamanda detaylı çözümçözüm adımlarının açıklamaları iki şekilde: yerine koyma yöntemi ve toplama yöntemi.

Bu program lise öğrencileri için yararlı olabilir orta okul hazırlık aşamasında testler ve sınavlar, Birleşik Devlet Sınavından önce bilgiyi test ederken, ebeveynlerin matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmeleri için. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa mümkün olan en kısa sürede halletmek mi istiyorsunuz? Ev ödevi matematikte mi yoksa cebirde mi? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz.

Bu şekilde kendi eğitiminizi ve/veya eğitiminizi yürütebilirsiniz. küçük kardeşler veya kız kardeşler, sorunların çözüldüğü alandaki eğitim düzeyi arttıkça artar.

Denklem girme kuralları

Herhangi bir Latin harfi değişken görevi görebilir.
Örneğin: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), vb.

Denklemleri girerken parantez kullanabilirsiniz. Bu durumda denklemler öncelikle basitleştirilir. Sadeleştirmelerden sonra denklemler doğrusal olmalıdır; elemanların sırasının doğruluğu ile ax+by+c=0 formundadır.
Örneğin: 6x+1 = 5(x+y)+2

Denklemlerde yalnızca tam sayıları değil, aynı zamanda kesirli sayılar ondalık sayılar ve sıradan kesirler şeklinde.

Ondalık kesirleri girme kuralları.
Tamsayı ve kesirli kısımlar ondalık sayılar nokta veya virgülle ayrılabilir.
Örneğin: 2,1n + 3,5m = 55

Sıradan kesirleri girme kuralları.
Yalnızca bir tam sayı bir kesrin pay, payda ve tam sayı kısmı olarak işlev görebilir.
Payda negatif olamaz.
Sayısal bir kesir girerken pay, paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır: /
Parçanın tamamı kesirden ve işaretiyle ayrılır: &

Örnekler.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Denklem sistemini çözme

Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.

Tarayıcınızda JavaScript devre dışı bırakıldı.
Çözümün görünmesi için JavaScript'i etkinleştirmeniz gerekir.
Tarayıcınızda JavaScript'i nasıl etkinleştireceğinize ilişkin talimatları burada bulabilirsiniz.

Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...

Eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
Unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:

Küçük bir teori.

Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü. İkame yöntemi

İkame yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken yapılacak işlemlerin sırası:
1) sistemin bazı denklemlerindeki bir değişkeni diğerine göre ifade etmek;
2) elde edilen ifadeyi bu değişken yerine sistemin başka bir denkleminde değiştirin;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right.$$

İlk denklemden y'yi x cinsinden ifade edelim: y = 7-3x. İkinci denklemde y yerine 7-3x ifadesini yerine koyarsak şu sistemi elde ederiz:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right.$$

Birinci ve ikinci sistemlerin aynı çözümlere sahip olduğunu göstermek kolaydır. İkinci sistemde ikinci denklem yalnızca bir değişken içerir. Bu denklemi çözelim:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

y=7-3x eşitliğinde x yerine 1 sayısını yerine koyarsak, y'nin karşılık gelen değerini buluruz:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Çift (1;4) - sistemin çözümü

Çözümleri aynı olan iki değişkenli denklem sistemlerine denir. eş değer. Çözümü olmayan sistemler de eşdeğer kabul edilir.

Doğrusal denklem sistemlerini toplama yoluyla çözme

Doğrusal denklem sistemlerini çözmenin başka bir yolunu, yani toplama yöntemini ele alalım. Sistemleri bu şekilde çözerken ve yerine koyma yoluyla çözerken, bu sistemden denklemlerden birinin yalnızca bir değişken içerdiği başka bir eşdeğer sisteme geçiyoruz.

Toplama yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken yapılacak işlemlerin sırası:
1) değişkenlerden birinin katsayılarının zıt sayılara dönüşmesi için faktörleri seçerek sistem teriminin denklemlerini terimle çarpın;
2) sistem denklemlerinin sol ve sağ taraflarını terim terim toplayın;
3) ortaya çıkan denklemi tek değişkenle çözün;
4) ikinci değişkenin karşılık gelen değerini bulun.

Örnek. Denklem sistemini çözelim:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right.$$

Bu sistemin denklemlerinde y'nin katsayıları zıt sayılardır. Denklemlerin sol ve sağ taraflarını terim terim toplayarak tek değişkenli 3x=33 denklemi elde ederiz. Sistemin denklemlerinden birini, örneğin birincisini, 3x=33 denklemiyle değiştirelim. Sistemi alalım
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right.$$

3x=33 denkleminden x=11'i buluyoruz. Bu x değerini \(x-3y=38\) denkleminde yerine koyarsak, y: \(11-3y=38\) değişkenli bir denklem elde ederiz. Bu denklemi çözelim:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Böylece denklem sisteminin çözümünü \(x=11; y=-9\) veya \((11;-9)\) ekleyerek bulduk.

Sistem denklemlerinde y'nin katsayılarının zıt sayılar olması gerçeğinden yararlanarak, çözümünü eşdeğer bir sistemin çözümüne indirgedik (orijinal sistemin denklemlerinin her birinin her iki tarafını toplayarak), burada bir tanesi Denklemlerin sadece bir değişkeni vardır.

Kitaplar (ders kitapları) Birleşik Devlet Sınavı Özetleri ve Çevrimiçi Birleşik Devlet Sınavı testleri Oyunlar, bulmacalar İşlev grafikleri çizme Rus dilinin yazım sözlüğü Gençlik argo sözlüğü Rus okulları kataloğu Rusya orta öğretim kurumları kataloğu Rus üniversiteleri kataloğu Liste görevlerin

Sistemi çöz iki bilinmeyenle - bu, verilen denklemlerin her birini karşılayan tüm değişken değer çiftlerini bulmak anlamına gelir. Bu çiftlerin her birine denir sistem çözümü.

Örnek:
\(x=3\);\(y=-1\) değer çifti ilk sistemin çözümüdür, çünkü bu üçleri ve eksileri sisteme yerleştirirken \(x\) ve \ yerine (y\), her iki denklem de doğru eşitliklere dönüşecektir \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( vakalar)\)

Ancak \(x=1\); \(y=-2\) - birinci sistemin çözümü değildir, çünkü ikame sonrasında ikinci denklem “yakınsamaz” \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(case)\)

Bu tür çiftlerin genellikle daha kısa yazıldığını unutmayın: "\(x=3\); \(y=-1\)" yerine şu şekilde yazarlar: \((3;-1)\).

Doğrusal denklem sistemi nasıl çözülür?

Doğrusal denklem sistemlerini çözmenin üç ana yolu vardır:

1. İkame yöntemi.

\(\begin(case)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(case)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(case)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(case)\)\(\Leftrightarrow\)

Elde edilen ifadeyi bu değişken yerine sistemin başka bir denkleminde değiştirin.

\(\Leftrightarrow\) \(\begin(case)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(case)\)\(\Leftrightarrow\)

1. \(\begin(case)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(case)\)

   İkinci denklemde her terim çifttir, dolayısıyla denklemi \(2\)'ye bölerek basitleştiririz.
   

   \(\begin(case)13x+9y=17\\6x-y=13\end(case)\)

   Bu sistem aşağıdaki yollardan herhangi biriyle çözülebilir, ancak bana öyle geliyor ki ikame yöntemi burada en uygun olanı. İkinci denklemden y'yi ifade edelim.
   

   \(\begin(case)13x+9y=17\\y=6x-13\end(case)\)

   İlk denklemde \(y\) yerine \(6x-13\) yazalım.
   

   \(\begin(case)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(case)\)

   İlk denklem sıradan bir denklem haline geldi. Hadi çözelim.

   Öncelikle parantezleri açalım.
   

   \(\begin(case)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(case)\)

   \(117\)'yi sağa taşıyıp benzer terimleri sunalım.

   \(\begin(case)67x=134\\y=6x-13\end(case)\)

   İlk denklemin her iki tarafını da \(67\)'ye bölelim.

   \(\begin(case)x=2\\y=6x-13\end(case)\)

   Yaşasın, \(x\)'i bulduk! Değerini ikinci denklemde yerine koyalım ve \(y\)'yi bulalım.

   \(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases )\)

   Cevabını yazalım.

Denklem sistemlerinin iki tür çözümünü analiz edelim:

1. Sistemin yerine koyma yöntemini kullanarak çözülmesi.
2. Sistem denklemlerini terim terim toplayarak (çıkararak) sistemi çözmek.

Denklem sistemini çözmek için ikame yöntemiyle basit bir algoritma izlemeniz gerekir:
1. Ekspres. Herhangi bir denklemden bir değişkeni ifade ederiz.
2. Değiştir. Ortaya çıkan değeri, ifade edilen değişken yerine başka bir denklemde değiştiririz.
3. Ortaya çıkan denklemi tek değişkenle çözün. Sisteme çözüm buluyoruz.

Çözmek için terim dönem toplama (çıkarma) yöntemiyle sistemşunları yapmanız gerekir:
1. Katsayılarını aynı yapacağımız bir değişken seçin.
2. Denklemleri topluyor veya çıkarıyoruz, sonuçta tek değişkenli bir denklem elde ediliyor.
3. Ortaya çıkan doğrusal denklemi çözün. Sisteme çözüm buluyoruz.

Sistemin çözümü fonksiyon grafiklerinin kesişim noktalarıdır.

Örnekleri kullanarak sistemlerin çözümünü ayrıntılı olarak ele alalım.

Örnek 1:

Yerine koyma yöntemiyle çözelim

Bir denklem sistemini ikame yöntemini kullanarak çözme

2x+5y=1 (1 denklem)
x-10y=3 (2. denklem)

1. Ekspres
İkinci denklemde katsayısı 1 olan bir x değişkeninin olduğu görülmektedir, bu da x değişkenini ikinci denklemden ifade etmenin en kolay olduğu anlamına gelir.
x=3+10y

2.İfade ettikten sonra ilk denklemde x değişkeni yerine 3+10y yazıyoruz.
2(3+10y)+5y=1

3. Ortaya çıkan denklemi tek değişkenle çözün.
2(3+10y)+5y=1 (parantezleri açın)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Denklem sisteminin çözümü grafiklerin kesişim noktalarıdır, dolayısıyla x ve y'yi bulmamız gerekiyor çünkü kesişim noktası x ve y'den oluşuyor.x'i bulalım, ifade ettiğimiz ilk noktada y'yi yazarız.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

X değişkenini yazdığımız ilk yere, y değişkenini ikinci sıraya yazmak gelenekseldir.
Cevap: (1; -0,2)

Örnek #2:

Terim terim toplama (çıkarma) yöntemini kullanarak çözelim.

Toplama yöntemini kullanarak bir denklem sistemini çözme

3x-2y=1 (1 denklem)
2x-3y=-10 (2. denklem)

1. Bir değişken seçiyoruz, diyelim ki x'i seçiyoruz. İlk denklemde x değişkeninin katsayısı 3, ikincisinde - 2'dir. Katsayıları aynı yapmamız gerekiyor, bunun için denklemleri çarpma veya herhangi bir sayıya bölme hakkımız var. İlk denklemi 2, ikincisini 3 ile çarpıyoruz ve toplam 6 katsayısını elde ediyoruz.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. X değişkeninden kurtulmak için birinci denklemden ikinciyi çıkarın.Doğrusal denklemi çözün.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. x'i bulun. Bulunan y'yi denklemlerden herhangi birinin yerine koyarız, diyelim ki ilk denklemin içine.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Kesişme noktası x=4,6 olacaktır; y=6.4
Cevap: (4.6; 6.4)

Sınavlara ücretsiz hazırlanmak ister misiniz? Çevrimiçi öğretmen ücretsiz. Şaka yapmıyorum.