Aralıktaki bir fonksiyonun en küçük değerini bulun. Bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri

Bu tür görevleri çözmek için standart algoritma, fonksiyonun sıfırlarını bulduktan sonra, aralıklardaki türevin işaretlerinin belirlenmesini içerir. Daha sonra, hangi sorunun bulunduğuna bağlı olarak, maksimum (veya minimum) ve aralığın sınırındaki bulunan noktalarda değerlerin hesaplanması.

Sana işleri biraz farklı yapmanı tavsiye ederim. Neden? Niye? Bunun hakkında yazdı.

Bu tür görevleri aşağıdaki gibi çözmeyi öneriyorum:

1. Türevi bulun.
2. Türevin sıfırlarını bulun.
3. Hangilerinin verilen aralığa ait olduğunu belirleyin.
4. Fonksiyonun değerlerini aralığın sınırlarında ve 3. maddenin noktalarında hesaplıyoruz.
5. Bir sonuç çıkarırız (sorulan soruyu cevaplarız).

Sunulan örnekler çözülürken çözüm ayrıntılı olarak ele alınmamıştır. ikinci dereceden denklemler, bunu yapabilmelisiniz. Onlar da bilmelidir.

Örnekleri düşünün:

77422. Arama en yüksek değer fonksiyonlar y=x[–2;0] segmentinde 3 –3x+4.

Türevin sıfırlarını bulalım:

x = –1 noktası, koşulda belirtilen aralığa aittir.

Fonksiyon değerlerini –2, –1 ve 0 noktalarında hesaplıyoruz:

Fonksiyonun en büyük değeri 6'dır.

Cevap: 6

77425. Bul en küçük değer segmentte y \u003d x 3 - 3x 2 + 2 işlevleri.

türevini bulalım verilen fonksiyon:

Türevin sıfırlarını bulalım:

x = 2 noktası, koşulda belirtilen aralığa aittir.

1, 2 ve 4 numaralı noktalarda fonksiyon değerlerini hesaplıyoruz:

Fonksiyonun en küçük değeri -2'dir.

Cevap: -2

77426. [-3; 3] segmentinde y \u003d x 3 - 6x 2 fonksiyonunun en büyük değerini bulun.

Verilen fonksiyonun türevini bulun:

Türevin sıfırlarını bulalım:

x = 0 noktası, koşulda belirtilen aralığa aittir.

–3, 0 ve 3 noktalarındaki fonksiyon değerlerini hesaplıyoruz:

Fonksiyonun en küçük değeri 0'dır.

Cevap: 0

77429. Segmentte y \u003d x 3 - 2x 2 + x + 3 fonksiyonunun en küçük değerini bulun.

Verilen fonksiyonun türevini bulun:

3x 2 - 4x + 1 = 0

Kökleri alıyoruz: x 1 \u003d 1 x 1 \u003d 1/3.

Yalnızca x = 1, koşulda belirtilen aralığa aittir.

1 ve 4 numaralı noktalarda fonksiyon değerlerini bulun:

Fonksiyonun en küçük değerinin 3 olduğunu bulduk.

Cevap: 3

77430. Segmentte y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3 fonksiyonunun en büyük değerini bulun [- 4; -bir].

Verilen fonksiyonun türevini bulun:

Türevin sıfırlarını bulun, ikinci dereceden denklemi çözün:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Kökleri alalım:

х = –1 kökü, koşulda belirtilen aralığa aittir.

–4, –1, –1/3 ve 1 noktalarındaki fonksiyon değerlerini bulun:

Fonksiyonun en büyük değerinin 3 olduğunu bulduk.

Cevap: 3

77433. Segmentte y \u003d x 3 - x 2 - 40x +3 fonksiyonunun en küçük değerini bulun.

Verilen fonksiyonun türevini bulun:

Türevin sıfırlarını bulun, ikinci dereceden denklemi çözün:

3x 2 - 2x - 40 = 0

Kökleri alalım:

Kök x = 4, koşulda belirtilen aralığa aittir.

Fonksiyonun değerlerini 0 ve 4 noktalarında buluyoruz:

Fonksiyonun en küçük değerinin -109 olduğunu bulduk.

Cevap: -109

Türevsiz fonksiyonların en büyük ve en küçük değerlerini belirlemek için bir yöntem düşünün. Türevin tanımıyla ilgili büyük sorunlarınız varsa bu yaklaşım kullanılabilir. İlke basittir - aralıktaki tüm tamsayı değerlerini fonksiyona değiştiririz (gerçek şu ki, tüm bu prototiplerde cevap bir tamsayıdır).

77437. [-2; 2] segmentinde y \u003d 7 + 12x - x 3 fonksiyonunun en küçük değerini bulun.

Puanları -2'den 2'ye değiştiriyoruz: Çözümü Görüntüle

77434. [-2; 0] segmentinde y \u003d x 3 + 2x 2 - 4x + 4 fonksiyonunun en büyük değerini bulun.

Bu kadar. Sana iyi şanslar!

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.

P.S: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız minnettar olurum.

Fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri

Bir fonksiyonun en büyük değerine en büyük, en küçük değerine tüm değerlerinin en küçüğü denir.

Bir işlevin yalnızca bir en büyük ve yalnızca bir en küçük değeri olabilir veya hiç olmayabilir. Sürekli fonksiyonların en büyük ve en küçük değerlerini bulmak, bu fonksiyonların aşağıdaki özelliklerine dayanmaktadır:

1) Bir aralıkta (sonlu veya sonsuz) y=f(x) fonksiyonu sürekli ise ve sadece bir ekstremumu varsa ve bu maksimum (minimum) ise, o zaman fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri olacaktır. bu aralıkta.

2) f(x) fonksiyonu bazı segmentlerde sürekli ise, bu segmentte mutlaka en büyük ve en küçük değerlere sahiptir. Bu değerlere ya segmentin içinde kalan uç noktalarda veya bu segmentin sınırlarında ulaşılır.

Segmentteki en büyük ve en küçük değerleri bulmak için aşağıdaki şemayı kullanmanız önerilir:

1. Türevi bulun.

2. Fonksiyonun =0 veya olmadığı kritik noktalarını bulun.

3. Fonksiyonun değerlerini kritik noktalarda ve segmentin uçlarında bulun ve bunlardan en büyük f max ve en küçük f min'i seçin.

Uygulamalı problemleri, özellikle optimizasyon problemlerini çözerken, önem X aralığında bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini (global maksimum ve global minimum) bulma sorunları var. Bu tür sorunları çözmek için, duruma bağlı olarak bağımsız bir değişken seçmeli ve çalışılan değeri ifade etmelidir. Bu değişkenin terimleri. Ardından, ortaya çıkan fonksiyonun istenen maksimum veya minimum değerini bulun. Bu durumda sonlu veya sonsuz olabilen bağımsız değişkenin değişim aralığı da problemin durumundan belirlenir.

Örnek. Dikdörtgen paralelyüzlü, altı kare, üstü açık olan tankın içi kalay ile kaplanmalıdır. 108 litre kapasiteli tankın boyutları ne olmalıdır. su, böylece kalaylama maliyeti en az mı?

Çözüm. Tankı kalay ile kaplamanın maliyeti, belirli bir kapasite için yüzeyi minimum ise, en düşük olacaktır. Bir dm ile belirtin - tabanın yanı, b dm - tankın yüksekliği. O zaman yüzeyinin alanı S eşittir

Ve

Ortaya çıkan ilişki, tank S'nin (fonksiyon) yüzey alanı ile taban a'nın (argüman) tarafı arasındaki ilişkiyi kurar. Bir ekstremum için S fonksiyonunu araştırıyoruz. İlk türevi bulun, sıfıra eşitleyin ve elde edilen denklemi çözün:

Dolayısıyla a = 6. (a) > 0 için a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Örnek. Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun arasında.

Çözüm: Başına verilen fonksiyon tam sayı doğrusunda süreklidir. fonksiyon türevi

Türev ve at . Fonksiyonun değerlerini şu noktalarda hesaplayalım:

.

Verilen aralığın uçlarındaki fonksiyon değerleri eşittir. Bu nedenle, fonksiyonun en büyük değeri 'de, fonksiyonun en küçük değeri 'dedir.

Kendi kendine muayene için sorular

1. Formun belirsizliklerinin ifşası için L'Hopital kuralını formüle edin. L'Hospital kuralının kullanılabileceği farklı belirsizlik türlerini listeleyin.

2. Artan ve azalan fonksiyonun işaretlerini formüle edin.

3. Bir fonksiyonun maksimum ve minimumunu tanımlayın.

4. Formüle edin gerekli kondisyon ekstremumun varlığı.

5. Argümanın hangi değerlerine (hangi noktalara) kritik denir? Bu noktalar nasıl bulunur?

6. Bir fonksiyonun ekstremumunun varlığının yeterli işaretleri nelerdir? Birinci türevi kullanarak bir ekstremum için bir fonksiyonu incelemek için bir şema çizin.

7. İkinci türevi kullanarak bir ekstremum fonksiyonunu incelemek için şemayı ana hatlarıyla belirtin.

8. Bir eğrinin dışbükeyliğini, içbükeyliğini tanımlayın.

9. Bir fonksiyon grafiğinin bükülme noktası nedir? Bu noktaları nasıl bulacağınızı belirtin.

10. Gerekli olanı formüle edin ve yeterli işaretler belirli bir segment üzerindeki bir eğrinin dışbükeyliği ve içbükeyliği.

11. Eğrinin asimptotunu tanımlayın. Bir fonksiyon grafiğinin dikey, yatay ve eğik asimptotları nasıl bulunur?

12. Devlet genel şema grafiğinin işlevi ve yapısı üzerine çalışma.

13. Belirli bir segmentte bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için bir kural formüle edin.

Pratikte, bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini hesaplamak için türevi kullanmak oldukça yaygındır. Bu eylemi, maliyetleri nasıl en aza indireceğimizi, karı nasıl artıracağımızı, üretimdeki optimal yükü nasıl hesaplayacağımızı, vb., yani bir parametrenin optimal değerini belirlemenin gerekli olduğu durumlarda gerçekleştiririz. Bu tür problemleri doğru bir şekilde çözmek için, bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerinin ne olduğunu iyi anlamak gerekir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Genellikle bu değerleri belirli bir x aralığında tanımlarız, bu da işlevin tüm kapsamına veya bir kısmına karşılık gelebilir. Bir segment [ a ; b ] , ve açık aralık (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , sonsuz aralık (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) veya sonsuz aralık - ∞ ; bir , (- ∞ ; bir ] , [ bir ; + ∞ ) , (- ∞ ; + ∞) .

Bu yazıda, tek değişkenli y=f(x) y = f(x) ile açıkça verilen bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerinin nasıl hesaplandığını anlatacağız.

Temel tanımlar

Her zaman olduğu gibi, ana tanımların formülasyonu ile başlıyoruz.

tanım 1

Bazı x aralığında y = f (x) fonksiyonunun en büyük değeri, m a x y = f (x 0) x ∈ X değeridir, bu, herhangi bir x x ∈ X , x ≠ x 0 değeri için f (x) eşitsizliğini yapar ) ≤ f (x 0) .

tanım 2

Bazı x aralığında y = f (x) fonksiyonunun en küçük değeri, m ben n x ∈ X y = f (x 0) değeridir, bu, herhangi bir x ∈ X , x ≠ x 0 değeri için f(X) eşitsizliğini yapar f (x) ≥ f(x0) .

Bu tanımlar oldukça açıktır. Bunu söylemek daha da basit olabilir: Bir fonksiyonun en büyük değeri, x 0 apsisinde bilinen bir aralıktaki en büyük değeridir ve en küçük değeri, aynı aralıkta x 0'da kabul edilen en küçük değerdir.

tanım 3

Durağan noktalar, türevinin 0 olduğu fonksiyon argümanının değerleridir.

Durağan noktaların ne olduğunu neden bilmemiz gerekiyor? Bu soruyu cevaplamak için Fermat teoremini hatırlamamız gerekiyor. Bundan, durağan bir noktanın, türevlenebilir bir fonksiyonun uç noktasının (yani, yerel minimum veya maksimum) bulunduğu bir nokta olduğu sonucu çıkar. Sonuç olarak, fonksiyon tam olarak durağan noktalardan birinde belirli bir aralıkta en küçük veya en büyük değeri alacaktır.

Başka bir fonksiyon, fonksiyonun kendisinin belirli olduğu ve birinci türevinin bulunmadığı noktalarda en büyük veya en küçük değeri alabilir.

Bu konuyu incelerken ortaya çıkan ilk soru şudur: Her durumda, belirli bir aralıkta bir fonksiyonun maksimum veya minimum değerini belirleyebilir miyiz? Hayır, verilen aralığın sınırları tanım alanının sınırlarıyla çakıştığında veya sonsuz bir aralıkla uğraşıyorsak bunu yapamayız. Aynı zamanda, belirli bir aralıktaki veya sonsuzdaki bir fonksiyon, sonsuz küçük veya sonsuz büyük değerler alacaktır. Bu durumlarda en büyük ve/veya en küçük değeri belirlemek mümkün değildir.

Bu anlar, grafiklerdeki görüntüden sonra daha anlaşılır hale gelecektir:

İlk şekil bize [ - 6 ; 6].

İkinci grafikte belirtilen durumu detaylı olarak inceleyelim. Segmentin değerini [ 1 ; 6] ve fonksiyonun en büyük değerinin, apsisin aralığın sağ sınırında ve en küçük - durağan noktada olduğu noktada elde edileceğini alıyoruz.

Üçüncü şekilde, noktaların apsisleri [ - 3 ; 2]. Verilen fonksiyonun en büyük ve en küçük değerine karşılık gelirler.

Şimdi dördüncü resme bakalım. İçinde fonksiyon, açık aralıktaki (- 6 ; 6) durağan noktalarda m a x y (en büyük değer) ve m i n y (en küçük değer) alır.

[ 1 ; 6) , o zaman üzerindeki fonksiyonun en küçük değerine durağan bir noktada ulaşılacağını söyleyebiliriz. Maksimum değeri bilemeyeceğiz. x = 6 aralığa aitse, fonksiyon x'in 6'ya eşit olduğu en büyük değeri alabilir. Şekil 5'te gösterilen durum budur.

Grafik 6'da bu fonksiyon, aralığın (- 3 ; 2 ] sağ sınırındaki en küçük değeri alır ve en büyük değer hakkında kesin sonuçlar çıkaramayız.

Şekil 7'de, fonksiyonun apsisi 1'e eşit olan durağan noktada m a x y'ye sahip olacağını görüyoruz. Fonksiyon minimum değerine sağ taraftaki aralık sınırında ulaşır. Eksi sonsuzda, fonksiyonun değerleri asimptotik olarak y = 3'e yaklaşacaktır.

x ∈ 2 aralığı alırsak; + ∞ , o zaman verilen fonksiyonun ne en küçük ne de en büyük değeri almayacağını göreceğiz. x 2'ye eğilimliyse, x = 2 düz çizgisi dikey bir asimptot olduğundan, fonksiyonun değerleri eksi sonsuz olma eğiliminde olacaktır. Apsis artı sonsuz olma eğilimindeyse, fonksiyonun değerleri asimptotik olarak y = 3'e yaklaşacaktır. Bu, Şekil 8'de gösterilen durumdur.

Bu paragrafta, belirli bir aralıkta bir fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini bulmak için yapılması gereken bir dizi işlem vereceğiz.

1. Öncelikle fonksiyonun tanım kümesini bulalım. Koşulda belirtilen segmentin buna dahil olup olmadığını kontrol edelim.
2. Şimdi birinci türevin bulunmadığı bu segmentte bulunan noktaları hesaplayalım. Çoğu zaman, argümanı modül işaretinin altına yazılan fonksiyonlarda veya güç fonksiyonlarıÜssü kesirli rasyonel bir sayı olan .
3. Ardından, hangi durağan noktaların belirli bir segmente girdiğini buluruz. Bunu yapmak için, fonksiyonun türevini hesaplamanız, ardından 0'a eşitlemeniz ve ortaya çıkan denklemi çözmeniz ve ardından uygun kökleri seçmeniz gerekir. Tek bir durağan nokta alamazsak veya belirli bir segmente girmiyorlarsa, bir sonraki adıma geçiyoruz.
4. Verilen durağan noktalarda (varsa) veya birinci türevin olmadığı noktalarda (varsa) fonksiyonun hangi değerleri alacağını belirleyelim veya x = a ve x için değerleri hesaplayalım. = b.
5. 5. Şimdi en büyüğünü ve en küçüğünü seçmemiz gereken bir dizi fonksiyon değerimiz var. Bu, bulmamız gereken fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri olacaktır.

Sorunları çözerken bu algoritmayı doğru bir şekilde nasıl uygulayacağımızı görelim.

örnek 1

Şart: y = x 3 + 4 x 2 fonksiyonu verilmiştir. Segmentlerdeki en büyük ve en küçük değerini belirleyin [ 1 ; 4 ] ve [ - 4 ; - bir ] .

Çözüm:

Bu fonksiyonun etki alanını bularak başlayalım. Bu durumda 0 hariç tüm reel sayıların kümesi olacaktır. Diğer bir deyişle, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . Koşulda belirtilen her iki segment de tanım alanının içinde olacaktır.

Şimdi bir kesrin türevi kuralına göre fonksiyonun türevini hesaplıyoruz:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Fonksiyonun türevinin [ 1 ; 4 ] ve [ - 4 ; - bir ] .

Şimdi fonksiyonun durağan noktalarını belirlememiz gerekiyor. Bunu x 3 - 8 x 3 = 0 denklemiyle yapalım. Sadece bir gerçek kökü vardır, o da 2'dir. Bu, fonksiyonun durağan bir noktası olacak ve birinci segmente [ 1 ; dört].

İlk segmentin uçlarında ve verilen noktada, yani fonksiyonun değerlerini hesaplayalım. x = 1 , x = 2 ve x = 4 için:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

m a x y x ∈ fonksiyonunun en büyük değerinin [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3, x = 1'de elde edilecektir ve en küçük m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – x = 2'de.

İkinci segment herhangi bir durağan nokta içermez, bu nedenle fonksiyon değerlerini yalnızca verilen segmentin uçlarında hesaplamamız gerekir:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Dolayısıyla, m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , ben n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Cevap:[ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m ben n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , ben n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Resmi görmek:

Bu yöntemi öğrenmeden önce, tek taraflı limiti ve sonsuzdaki limiti nasıl doğru bir şekilde hesaplayacağınızı gözden geçirmenizi ve bunları bulmak için temel yöntemleri öğrenmenizi öneririz. Açık veya sonsuz bir aralıkta bir fonksiyonun en büyük ve/veya en küçük değerini bulmak için aşağıdaki adımları sırayla gerçekleştiririz.

1. Öncelikle verilen aralığın verilen fonksiyonun etki alanının bir alt kümesi olup olmayacağını kontrol etmeniz gerekir.
2. Gerekli aralıkta yer alan ve birinci türevin bulunmadığı tüm noktaları belirleyelim. Genellikle, argümanın modülün işaretine dahil edildiği fonksiyonlarda ve kesirli rasyonel üslü güç fonksiyonlarında ortaya çıkarlar. Bu noktalar eksikse, bir sonraki adıma geçebilirsiniz.
3. Şimdi hangi durağan noktaların belirli bir aralığa düştüğünü belirleyeceğiz. İlk önce türevi 0'a eşitliyoruz, denklemi çözüyoruz ve uygun kökleri buluyoruz. Tek bir durağan noktamız yoksa veya belirtilen aralığa girmiyorlarsa, hemen sonraki işlemlere geçiyoruz. Aralığın türüne göre belirlenirler.

• Aralık [ a ; b) , o zaman fonksiyonun x = a noktasındaki değerini ve tek taraflı limit lim x → b - 0 f (x) 'i hesaplamamız gerekir.
• Eğer aralık (a ; b ] şeklindeyse, fonksiyonun x = b noktasındaki değerini ve lim x → a + 0 f (x) tek taraflı limitini hesaplamamız gerekir.
• Aralık (a ; b) biçimindeyse, lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) tek taraflı sınırlarını hesaplamamız gerekir.
• Aralık [ a ; + ∞) , o zaman x = a noktasındaki değeri ve artı sonsuz lim x → + ∞ f (x) sınırını hesaplamak gerekir.
• Aralık (- ∞ ; b ] gibi görünüyorsa, x = b noktasındaki değeri ve eksi sonsuz lim x → - ∞ f (x)'deki limiti hesaplarız.
• Eğer - ∞ ; b , o zaman tek taraflı limit lim x → b - 0 f (x) ve eksi sonsuz lim x → - ∞ f (x)'deki limiti ele alırız.
• Eğer - ∞ ; + ∞ , sonra eksi ve artı sonsuz lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) sınırlarını dikkate alırız.

1. Sonunda, fonksiyonun ve limitlerin elde edilen değerlerine dayanarak bir sonuç çıkarmanız gerekir. Burada birçok seçenek var. Yani tek taraflı limit eksi sonsuz veya artı sonsuz ise, fonksiyonun en küçük ve en büyük değeri hakkında hiçbir şey söylenemeyeceği hemen anlaşılır. Aşağıda tipik bir örneği ele alacağız. Ayrıntılı açıklamalar neyin ne olduğunu anlamanıza yardımcı olur. Gerekirse, malzemenin ilk bölümünde 4 - 8 şekillerine dönebilirsiniz.

Örnek 2

Koşul: verilen bir fonksiyon y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . En büyük ve en küçük değerini - ∞ aralığında hesaplayın; - 4 , - ∞ ; - 3 , (-3 ; 1 ] , ( - 3 ; 2) , [1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; +∞) .

Çözüm

Öncelikle fonksiyonun tanım kümesini buluyoruz. Kesrin paydası kare üç terimli 0'a dönmemesi gereken:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Koşulda belirtilen tüm aralıkların ait olduğu işlevin kapsamını elde ettik.

Şimdi işlevi ayırt edelim ve şunu elde edelim:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Sonuç olarak, bir fonksiyonun türevleri, tanımının tüm alanında bulunur.

Durağan noktaları bulmaya devam edelim. x = - 1 2'de fonksiyonun türevi 0 olur. Bu, (- 3 ; 1 ] ve (-3 ; 2) aralıklarında bulunan durağan bir noktadır.

(- ∞ ; - 4 ] aralığı için x = - 4'teki fonksiyonun değerini ve eksi sonsuzdaki limiti hesaplayalım:

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

3 e 1 6 - 4 > - 1 olduğundan, m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Bu, fonksiyonun en küçük değerini benzersiz olarak belirlememize izin vermez. Sadece - 1'in altında bir limit olduğu sonucuna varabiliriz, çünkü fonksiyon eksi sonsuzda asimptotik olarak bu değere yaklaşır.

İkinci aralığın bir özelliği, tek bir durağan noktaya ve tek bir katı sınıra sahip olmamasıdır. Bu nedenle, fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini hesaplayamayız. Eksi sonsuzdaki limiti tanımlayarak ve argüman sol tarafta - 3 eğilimi gösterdiğinden, sadece değer aralığını elde ederiz:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 ve 0 - 4 = - 1

Bu, fonksiyon değerlerinin - 1 aralığında yer alacağı anlamına gelir; +∞

Üçüncü aralıktaki fonksiyonun maksimum değerini bulmak için, x = 1 ise, x = - 1 2 durağan noktasındaki değerini belirleriz. Ayrıca, argümanın sağ tarafta - 3 olma eğiliminde olduğu durum için tek taraflı sınırı da bilmemiz gerekir:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Fonksiyonun m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 durağan bir noktada en büyük değeri alacağı ortaya çıktı. En küçük değere gelince, onu belirleyemiyoruz. bilmek, - 4'e kadar bir alt sınırın varlığıdır.

(- 3 ; 2) aralığı için, bir önceki hesaplamanın sonuçlarını alalım ve bir kez daha soldan 2'ye yönelirken tek taraflı limitin neye eşit olduğunu hesaplayalım:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Dolayısıyla, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 ve en küçük değer belirlenemez ve fonksiyonun değerleri aşağıdan - 4 sayısı ile sınırlandırılır.

Önceki iki hesaplamada yaptıklarımıza dayanarak, [ 1 ; 2) fonksiyon x = 1'de en büyük değeri alacaktır ve en küçüğünü bulmak imkansızdır.

(2 ; + ∞) aralığında, fonksiyon ne en büyük ne de en küçük değere ulaşmayacaktır, yani. - 1 aralığından değerler alacaktır; +∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

x = 4'te fonksiyonun değerinin neye eşit olacağını hesapladıktan sonra, m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 ve artı sonsuzda verilen fonksiyon asimptotik olarak y = - 1 doğrusuna yaklaşacaktır.

Her hesaplamada elde ettiklerimizi verilen fonksiyonun grafiğiyle karşılaştıralım. Şekilde asimptotlar noktalı çizgilerle gösterilmiştir.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulmak hakkında konuşmak istediğimiz tek şey buydu. Verdiğimiz bu işlem dizileri, gerekli hesaplamaları olabildiğince hızlı ve basit bir şekilde yapmanıza yardımcı olacaktır. Ancak, önce fonksiyonun hangi aralıklarla azalacağını ve hangi aralıklarla artacağını bulmanın genellikle yararlı olduğunu unutmayın, ardından daha fazla sonuç çıkarılabilir. Böylece fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini daha doğru bir şekilde belirleyebilir ve sonuçları doğrulayabilirsiniz.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri, dikkate alınan aralıkta ordinatın kabul edilen en büyük (en küçük) değeridir.

Bir fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini bulmak için yapmanız gerekenler:

1. Verilen segmentte hangi sabit noktaların bulunduğunu kontrol edin.
2. 3. adımdan itibaren segmentin sonunda ve durağan noktalarda fonksiyonun değerini hesaplayın
3. Elde edilen sonuçlardan en büyük veya en küçük değeri seçin.

Maksimum veya minimum puanları bulmak için yapmanız gerekenler:

1. $f"(x)$ fonksiyonunun türevini bulun
2. $f"(x)=0$ denklemini çözerek durağan noktaları bulun
3. Bir fonksiyonun türevini çarpanlarına ayırın.
4. Bir koordinat çizgisi çizin, üzerine durağan noktalar yerleştirin ve madde 3'ün gösterimini kullanarak türevin işaretlerini elde edilen aralıklarda belirleyin.
5. Kurala göre maksimum veya minimum noktaları bulun: Bir noktada türev işareti artıdan eksiye değiştirirse, bu maksimum nokta olacaktır (eksiden artıya ise, bu minimum nokta olacaktır). Pratikte, aralıklarda okların görüntüsünü kullanmak uygundur: türevin pozitif olduğu aralıkta, ok yukarı doğru çizilir ve bunun tersi de geçerlidir.

Bazı temel fonksiyonların türevleri tablosu:

İşlev	Türev
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(gün^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$günah^2x$	$günah2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Temel farklılaşma kuralları

1. Toplamın ve farkın türevi, her terimin türevine eşittir

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

$f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$ fonksiyonunun türevini bulun

Toplamın ve farkın türevi, her terimin türevine eşittir

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Bir ürünün türevi.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

$f(x)=4x∙cosx$ türevini bulun

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Bölümün türevi

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

$f(x)=(5x^5)/(e^x)$ türevini bulun

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. türev karmaşık fonksiyon dış fonksiyonun türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımına eşittir

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - günah(5x)∙5= -5sin(5x)$

$y=2x-ln⁡(x+11)+4$ fonksiyonunun minimum noktasını bulun

1. Bul odz fonksiyonları: $x+11>0; x>-11$

2. $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$ fonksiyonunun türevini bulun

3. Türevi sıfıra eşitleyerek durağan noktaları bulun

$(2x+21)/(x+11)=0$

pay ise kesir sıfırdır sıfır ve payda sıfıra eşit değil

2x+21=0; x≠-11$

4. Bir koordinat çizgisi çizin, üzerine durağan noktalar koyun ve elde edilen aralıklarda türevin işaretlerini belirleyin. Bunu yapmak için, türevin içine aşırı sağ bölgeden herhangi bir sayı koyarız, örneğin sıfır.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Minimum noktada, türev işareti eksiden artıya değiştirir, bu nedenle $-10.5$ noktası minimum noktadır.

Cevap: $-10.5$

$[-5;1]$ segmentinde $y=6x^5-90x^3-5$ fonksiyonunun maksimum değerini bulun

1. $y′=30x^4-270x^2$ fonksiyonunun türevini bulun

2. Türevi sıfıra eşitleyin ve durağan noktaları bulun

$30x^4-270x^2=0$

Parantez içindeki $30x^2$ ortak faktörünü alalım

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Her faktörü sıfıra eşitle

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Verilen $[-5;1]$ segmentine ait durağan noktaları seçin

Durağan noktalar $x=0$ ve $x=-3$ bizim için uygundur

4. Fonksiyonun değerini segmentin sonunda ve 3. maddeden sabit noktalarda hesaplayın.

Bu yazıda, bir fonksiyonun çalışmasına bulma yeteneğinin nasıl uygulanacağı hakkında konuşacağım: en büyük veya en küçük değerini bulma. NET için Açık Görev Bankasından Görev B15'teki birkaç sorunu çözeceğiz.

Her zamanki gibi, önce teoriyle başlayalım.

Bir fonksiyonla ilgili herhangi bir çalışmanın başlangıcında, onu buluruz.

Fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini bulmak için fonksiyonun hangi aralıklarda arttığını ve hangilerinde azaldığını araştırmanız gerekir.

Bunu yapmak için, fonksiyonun türevini bulmanız ve sabit işaretli aralıkları, yani türevin işaretini koruduğu aralıkları incelemeniz gerekir.

Bir fonksiyonun türevinin pozitif olduğu aralıklar, artan fonksiyonun aralıklarıdır.

Bir fonksiyonun türevinin negatif olduğu aralıklar, azalan fonksiyonun aralıklarıdır.

bir . B15 görevini çözelim (No. 245184)

Bunu çözmek için aşağıdaki algoritmayı takip edeceğiz:

a) Fonksiyonun tanım kümesini bulun

b) Fonksiyonun türevini bulun.

c) Sıfıra eşitleyin.

d) Fonksiyonun sabit işaretinin aralıklarını bulalım.

e) Fonksiyonun en büyük değeri aldığı noktayı bulunuz.

f) Bu noktada fonksiyonun değerini bulunuz.

Bu görevin detaylı çözümünü VİDEO DERSİ'nde anlatıyorum:

Muhtemelen tarayıcınız desteklenmiyor. "Birleşik Devlet Sınav Saati" simülatörünü kullanmak için indirmeyi deneyin.
Firefox

2. B15 görevini çözelim (No. 282862)

Bir fonksiyonun en büyük değerini bulun segmentte

Fonksiyonun x=2'deki maksimum noktada segment üzerindeki en büyük değeri aldığı açıktır. Bu noktada fonksiyonun değerini bulun:

Cevap: 5

3. B15 görevini çözelim (No. 245180):

Bir fonksiyonun en büyük değerini bulun

1.title="(!LANG:ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Orijinal işlevin kapsamından beri title="(!LANG:4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Payda sıfırdır. ODZ'nin fonksiyona ait olup olmadığını kontrol edelim. Bunu yapmak için, title="(!LANG:4-2x-x^2>0 koşulunun) olup olmadığını kontrol edin."> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

bu nedenle nokta, işlevin ODZ'sine aittir.

Noktanın sağındaki ve solundaki türevin işaretini inceliyoruz:

Fonksiyonun noktasında en büyük değeri aldığını görüyoruz. Şimdi fonksiyonun değerini şurada bulalım:

Not 1. Bu problemde fonksiyonun tanım kümesini bulmadığımıza dikkat edin: sadece kısıtları sabitledik ve türevin sıfıra eşit olduğu noktanın fonksiyonun alanına ait olup olmadığını kontrol ettik. Bu problemde, bunun yeterli olduğu ortaya çıktı. Ancak, bu her zaman böyle değildir. Göreve bağlı.

Açıklama 2. Karmaşık bir fonksiyonun davranışını incelerken aşağıdaki kural kullanılabilir:

• eğer dış fonksiyon karmaşık fonksiyon artıyorsa, fonksiyon iç fonksiyonun en büyük değeri aldığı noktada en büyük değeri alır. Bu, artan bir fonksiyonun tanımından çıkar: eğer bir fonksiyon I aralığında artarsa daha büyük değer bu aralıktaki bir argüman, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık gelir.
• karmaşık bir fonksiyonun dış fonksiyonu azalıyorsa, o zaman fonksiyon, iç fonksiyonun en küçük değeri aldığı noktada en büyük değeri alır. . Bu, azalan bir fonksiyonun tanımından çıkar: Bu aralıktaki argümanın daha büyük değeri, fonksiyonun daha küçük değerine karşılık gelirse, fonksiyon I aralığında azalır.

Örneğimizde, dış fonksiyon - tüm tanım alanı boyunca artar. Logaritma işaretinin altında bir ifade bulunur - negatif bir kıdemli katsayı ile noktada en büyük değeri alan kare bir trinom . Sonra, bu x değerini fonksiyonun denkleminde yerine koyarız. ve en büyük değerini bulun.