Sayı doğrusunda eşitsizlik sistemlerinin çözümü. Eşitsizlikleri çözme. Eşitsizliklerin nasıl çözüleceği hakkında mevcut

Doğrusal, ikinci dereceden ve çözme programı kesirli eşitsizlikler yalnızca sorunun cevabını vermekle kalmaz, aynı zamanda detaylı çözüm açıklamalarla, yani Matematik ve/veya cebirdeki bilgiyi test etmek için çözüm sürecini görüntüler.

Ayrıca, eşitsizliklerden birini çözme sürecinde, örneğin ikinci dereceden bir denklemi çözmek gerekiyorsa, o zaman ayrıntılı çözümü de görüntülenir (bir spoiler içinde bulunur).

Bu program lise öğrencilerine hazırlık aşamasında faydalı olabilir. testler Ebeveynlere, çocuklarının eşitsizliklere yönelik çözümlerini izlemeleri için.

Bu program lise öğrencileri için yararlı olabilir orta okul Testlere ve sınavlara hazırlıkta, Birleşik Devlet Sınavından önce bilgiyi test ederken, ebeveynlerin matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmeleri için. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa mümkün olan en kısa sürede halletmek mi istiyorsunuz? Ev ödevi matematikte mi yoksa cebirde mi? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz.

Bu şekilde kendi eğitiminizi ve/veya eğitiminizi yürütebilirsiniz. küçük kardeşler veya kız kardeşler, sorunların çözüldüğü alandaki eğitim düzeyi arttıkça artar.

Eşitsizlikleri girme kuralları

Herhangi bir Latin harfi değişken görevi görebilir.
Örneğin: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), vb.

Sayılar tam veya kesirli sayı olarak girilebilir.
Dahası, kesirli sayılar yalnızca ondalık sayı olarak değil aynı zamanda sıradan bir kesir olarak da girilebilir.

Ondalık kesirleri girme kuralları.
Ondalık kesirlerde kesirli kısım bütün kısımdan nokta veya virgülle ayrılabilir.
Örneğin, girebilirsiniz ondalık sayılarşu şekilde: 2,5x - 3,5x^2

Sıradan kesirleri girme kuralları.
Yalnızca bir tam sayı bir kesrin pay, payda ve tam sayı kısmı olarak işlev görebilir.

Payda negatif olamaz.

Sayısal bir kesir girerken pay, paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır: /
Parçanın tamamı kesirden ve işaretiyle ayrılır: &
Giriş: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Sonuç: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)

İfadeleri girerken parantez kullanabilirsiniz. Bu durumda eşitsizlikler çözülürken öncelikle ifadeler sadeleştirilir.
Örneğin: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

İstediğiniz eşitsizlik işaretini seçin ve polinomları aşağıdaki alanlara girin.

Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.

Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...

Eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
Unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:

Küçük bir teori.

Tek bilinmeyenli eşitsizlik sistemleri. Sayısal aralıklar

7. sınıfta sistem kavramına aşina oldunuz ve iki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemlerini çözmeyi öğrendiniz. Daha sonra sistemleri ele alacağız doğrusal eşitsizlikler bilinmeyen biriyle. Eşitsizlik sistemlerinin çözüm kümeleri aralıklar (aralıklar, yarım aralıklar, doğru parçaları, ışınlar) kullanılarak yazılabilir. Ayrıca sayı aralıklarının gösterimine de aşina olacaksınız.

\(4x > 2000\) ve \(5x \leq 4000\) eşitsizliklerinde bilinmeyen x sayısı aynıysa, bu eşitsizlikler birlikte ele alınır ve bir eşitsizlik sistemi oluşturdukları söylenir: $$ \left\ (\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right. $$

Kıvrımlı parantez, sistemin her iki eşitsizliğinin de doğru sayısal eşitsizliklere dönüştüğü x değerlerini bulmanız gerektiğini gösterir. Bu sistem, bir bilinmeyenli doğrusal eşitsizlikler sisteminin bir örneğidir.

Bir bilinmeyenli eşitsizlik sisteminin çözümü, sistemdeki tüm eşitsizliklerin gerçek sayısal eşitsizliklere dönüştüğü bilinmeyenin değeridir. Bir eşitsizlik sistemini çözmek, bu sistemin tüm çözümlerini bulmak veya hiçbir çözüm olmadığını tespit etmek anlamına gelir.

\(x \geq -2 \) ve \(x \leq 3 \) eşitsizlikleri çift eşitsizlik olarak yazılabilir: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Tek bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin çözümleri çeşitli sayısal kümelerdir. Bu setlerin isimleri var. Böylece, sayı ekseninde, \(-2 \leq x \leq 3 \) olacak şekilde x sayıları kümesi, uçları -2 ve 3 noktalarında olan bir doğru parçası ile temsil edilir.

Eğer \(a bir doğru parçasıysa ve [a; b] ile gösteriliyorsa

Eğer \(a bir aralıksa ve (a; b) ile gösteriliyorsa

\(a \leq x) eşitsizliklerini sağlayan \(x\) sayı kümeleri yarım aralıklardır ve sırasıyla [a; b) ve (a; b] ile gösterilirler

Segmentlere, aralıklara, yarım aralıklara ve ışınlara denir sayısal aralıklar.

Böylece sayısal aralıklar eşitsizlikler şeklinde belirtilebilir.

İki bilinmeyenli bir eşitsizliğin çözümü, verilen eşitsizliği gerçek sayısal eşitsizliğe dönüştüren bir (x; y) sayı çiftidir. Bir eşitsizliği çözmek, onun tüm çözümlerinin kümesini bulmak anlamına gelir. Dolayısıyla, x > y eşitsizliğinin çözümleri örneğin (5; 3), (-1; -1) sayı çiftleri olacaktır, çünkü \(5 \geq 3 \) ve \(-1 \geq - 1\)

Eşitsizlik sistemlerini çözme

Tek bilinmeyenli doğrusal eşitsizlikleri nasıl çözeceğinizi zaten öğrendiniz. Eşitsizlik sisteminin ne olduğunu ve bu sistemin çözümünü biliyor musunuz? Bu nedenle tek bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerini çözme süreci size herhangi bir zorluk yaşatmayacaktır.

Yine de şunu hatırlatalım: Bir eşitsizlik sistemini çözmek için her bir eşitsizliği ayrı ayrı çözmeniz ve ardından bu çözümlerin kesişimini bulmanız gerekir.

Örneğin, orijinal eşitsizlik sistemi şu şekle indirgenmişti:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$

Bu eşitsizlik sistemini çözmek için her bir eşitsizliğin çözümünü sayı doğrusunda işaretleyin ve bunların kesişimini bulun:

Kesişme [-2; 3] - bu orijinal eşitsizlik sisteminin çözümüdür.

Bu makale eşitsizlik sistemleri hakkında ilk bilgileri sağlar. Burada bir eşitsizlikler sisteminin tanımı ve bir eşitsizlikler sisteminin çözümünün bir tanımı bulunmaktadır. Okuldaki cebir derslerinde en sık çalışılması gereken ana sistem türleri de listelenmiş ve örnekler verilmiştir.

Sayfada gezinme.

Eşitsizlik sistemi nedir?

Eşitsizlik sistemlerini, bir denklem sisteminin tanımını tanıttığımız şekilde, yani gösterim türüne ve onun içinde gömülü olan anlama göre tanımlamak uygundur.

Tanım.

Eşitsizlik sistemi sol tarafta küme ayracı ile birleştirilmiş belirli sayıda eşitsizliği alt alta yazarak temsil eden ve sistemdeki her eşitsizliğin aynı anda çözümü olan tüm çözümlerin kümesini ifade eden bir kayıttır.

Eşitsizlik sistemine bir örnek verelim. İki rastgele olanı alalım örneğin 2 x−3>0 ve 5−x≥4 x−11, alt alta yazalım
2 x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
ve bir sistem işaretiyle - küme paranteziyle birleşin, sonuç olarak aşağıdaki biçimde bir eşitsizlik sistemi elde ederiz:

Okul ders kitaplarında eşitsizlik sistemleri hakkında da benzer bir fikir verilmektedir. Tanımlarının daha dar bir şekilde verildiğini belirtmekte fayda var: tek değişkenli eşitsizlikler için veya iki değişkenli.

Başlıca eşitsizlik sistemi türleri

Birinin sonsuz sayıda oluşturabileceği açıktır. çeşitli sistemler eşitsizlikler Bu çeşitlilik içerisinde kaybolmamak adına kendilerine ait gruplar içerisinde değerlendirilmeleri tavsiye edilir. özellikler. Tüm eşitsizlik sistemleri aşağıdaki kriterlere göre gruplara ayrılabilir:

• sistemdeki eşitsizliklerin sayısına göre;
• kayıtta yer alan değişkenlerin sayısına göre;
• eşitsizliklerin türüne göre.

Kayıtta yer alan eşitsizliklerin sayısına göre iki, üç, dört vb. sistemler ayırt edilir. eşitsizlikler Önceki paragrafta iki eşitsizlikten oluşan bir sistem örneği vermiştik. Dört eşitsizlik sisteminin başka bir örneğini gösterelim .

Ayrı ayrı, tek eşitsizlik sisteminden bahsetmenin bir anlamı olmadığını söyleyeceğiz, bu durumda esasen Hakkında konuşuyoruz eşitsizliğin kendisi hakkında, sistem hakkında değil.

Değişken sayısına bakarsanız, bir, iki, üç vb. eşitsizlik sistemleri vardır. değişkenler (veya aynı zamanda dedikleri gibi bilinmeyenler). İki paragraf yukarıda yazılan son eşitsizlik sistemine bakın. x, y ve z olmak üzere üç değişkenli bir sistemdir. Lütfen ilk iki eşitsizliğinin üç değişkenin tamamını değil, yalnızca birini içerdiğini unutmayın. Bu sistem bağlamında bunların üç boyutlu eşitsizlikler olarak anlaşılması gerekir. formun değişkenleri sırasıyla x+0·y+0·z≥−2 ve 0·x+y+0·z≤5. Okulun tek değişkenli eşitsizliklere odaklandığını unutmayın.

Geriye kayıt sistemlerinde ne tür eşitsizliklerin söz konusu olduğunu tartışmak kalıyor. Okulda, esas olarak bir veya iki değişkenli iki eşitsizlik (daha az sıklıkla - üç, hatta daha az sıklıkla - dört veya daha fazla) içeren sistemler dikkate alınır ve eşitsizliklerin kendileri genellikle tüm eşitsizlikler birinci veya ikinci derece (daha az sıklıkla - daha fazla) yüksek dereceler veya kesirli rasyonel). Ancak Birleşik Devlet Sınavına hazırlık malzemelerinizde irrasyonel, logaritmik, üstel ve diğer eşitsizlikleri içeren eşitsizlik sistemleriyle karşılaşırsanız şaşırmayın. Örnek olarak eşitsizlik sistemini veriyoruz. , adresinden alınmıştır.

Eşitsizlik sisteminin çözümü nedir?

Eşitsizlik sistemleriyle ilgili başka bir tanım daha verelim - eşitsizlikler sisteminin çözümünün tanımı:

Tanım.

Tek değişkenli bir eşitsizlik sistemini çözme Bir değişkenin sistemdeki eşitsizliklerin her birini doğruya çeviren, diğer bir deyişle sistemdeki her eşitsizliğin çözümü olan değerine denir.

Bir örnekle açıklayalım. Tek değişkenli iki eşitsizlik sistemini ele alalım. X değişkeninin değerini 8'e eşit alalım, bu tanım gereği eşitsizlikler sistemimizin bir çözümüdür, çünkü sistemin eşitsizliklerine ikame edilmesi 8>7 ve 2−3·8≤0 olmak üzere iki doğru sayısal eşitsizliği verir. Tam tersine birlik sistemin çözümü değildir, çünkü x değişkeninin yerine konulduğunda ilk eşitsizlik yanlış sayısal eşitsizlik olan 1>7'ye dönüşecektir.

Benzer şekilde, iki, üç ve eşitsizliklerden oluşan bir sistemin çözümünün tanımı yapılabilir. Büyük bir sayı değişkenler:

Tanım.

İki, üç vb. eşitsizlik sistemini çözme. değişkenler bir çift, üç vb. denir. Aynı zamanda sistemdeki her eşitsizliğin çözümü olan bu değişkenlerin değerleri, yani sistemdeki her eşitsizliği doğru bir sayısal eşitsizliğe dönüştürür.

Örneğin, x=1, y=2 veya başka bir gösterimdeki (1, 2) değer çifti, 1+2 olduğundan, iki değişkenli bir eşitsizlikler sisteminin çözümüdür.<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Eşitsizlik sistemlerinin hiçbir çözümü olmayabilir, sonlu sayıda çözümü olabilir veya sonsuz sayıda çözümü olabilir. İnsanlar sıklıkla bir eşitsizlikler sisteminin çözümlerinden bahseder. Bir sistemin çözümü yoksa, boş bir çözüm kümesi vardır. Sonlu sayıda çözüm olduğunda, çözüm kümesi sonlu sayıda öğeden oluşur; sonsuz sayıda çözüm olduğunda, çözüm kümesi sonsuz sayıda öğeden oluşur.

Bazı kaynaklar, örneğin Mordkovich'in ders kitaplarında olduğu gibi, bir eşitsizlikler sistemine özel ve genel bir çözümün tanımlarını sunar. Altında eşitsizlik sisteminin özel çözümü Onun tek bir kararını anlayın. Sırasıyla eşitsizlik sisteminin genel çözümü- bunların hepsi onun özel kararları. Bununla birlikte, bu terimler yalnızca ne tür bir çözümden bahsettiğimizi özellikle vurgulamak gerektiğinde anlamlıdır, ancak bu genellikle bağlamdan zaten açıktır ve çok daha sık olarak basitçe "eşitsizlikler sistemine bir çözüm" derler.

Bu makalede tanıtılan eşitsizlikler sisteminin tanımlarından ve çözümlerinden, bir eşitsizlikler sisteminin çözümünün, bu sistemdeki tüm eşitsizliklerin çözüm kümelerinin kesişimi olduğu sonucu çıkmaktadır.

Kaynakça.

1. Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Cebir: 9. sınıf: eğitici. genel eğitim için kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2009. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkoviç A.G. Cebir. 9. sınıf. Saat 14.00'te 1. Bölüm: Öğrenciler için ders kitabı Eğitim Kurumları/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Mordkoviç A.G. Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. Derece 11. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı (profil düzeyi) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. Birleşik Devlet Sınavı-2013. Matematik: standart sınav seçenekleri: 30 seçenek / ed. A. L. Semenova, I. V. Yashchenko. – M.: “Milli Eğitim” Yayınevi, 2012. – 192 s. – (USE-2013. FIPI - okul).

eşitsizlik çözümü modunda çevrimiçi çözüm hemen hemen her eşitsizlik çevrimiçi. Matematiksel çevrimiçi eşitsizlikler matematik çözmek için. Hızlıca bulun eşitsizlik çözümü modunda çevrimiçi. www.site web sitesi bulmanızı sağlar çözüm neredeyse verilen her şey cebirsel, trigonometrik veya aşkın eşitsizlik çevrimiçi. Matematiğin hemen hemen her dalını farklı aşamalarda çalışırken, çevrimiçi eşitsizlikler. Hemen yanıt almak ve en önemlisi doğru yanıt almak için bunu yapmanıza olanak tanıyan bir kaynağa ihtiyacınız var. www.site sitesi sayesinde çevrimiçi eşitsizliği çöz birkaç dakika sürecektir. Matematik çözerken www.sitenin temel avantajı çevrimiçi eşitsizlikler- bu, sağlanan yanıtın hızı ve doğruluğudur. Site her türlü sorunu çözebilir cebirsel eşitsizlikler çevrimiçi, trigonometrik eşitsizlikler çevrimiçi, aşkın eşitsizlikler çevrimiçi, Ve eşitsizlikler modunda bilinmeyen parametrelerle çevrimiçi. Eşitsizlikler güçlü bir matematiksel aygıt olarak hizmet eder çözümler pratik problemler. Yardımla matematiksel eşitsizliklerİlk bakışta kafa karıştırıcı ve karmaşık görünebilecek olguları ve ilişkileri ifade etmek mümkündür. Bilinmeyen miktarlar eşitsizlikler problemi formüle ederek bulunabilir. matematiksel formdaki dil eşitsizlikler Ve karar vermek modunda alınan görev çevrimiçi www.site web sitesinde. Herhangi cebirsel eşitsizlik, trigonometrik eşitsizlik veya eşitsizlikler kapsamak transandantal kolayca yapabileceğiniz özellikler karar vermekçevrimiçi olun ve kesin cevabı alın. Doğa bilimleri okurken kaçınılmaz olarak bir ihtiyaçla karşılaşırsınız. eşitsizliklere çözümler. Bu durumda cevabın doğru olması ve modda hemen alınması gerekir. çevrimiçi. Bu nedenle matematiksel eşitsizlikleri çevrimiçi çözme için vazgeçilmez hesap makineniz olacak www.site sitesini öneriyoruz. cebirsel eşitsizlikleri çevrimiçi çözme, trigonometrik eşitsizlikler çevrimiçi, Ve aşkın eşitsizlikler çevrimiçi veya eşitsizlikler bilinmeyen parametrelerle Çeşitli sorunlara çevrimiçi çözümler bulmanın pratik sorunları için matematiksel eşitsizlikler kaynak www.. Çözme çevrimiçi eşitsizlikler kendiniz, alınan cevabı kullanarak kontrol etmeniz yararlı olacaktır. eşitsizliklerin çevrimiçi çözümü www.site web sitesinde. Eşitsizliği doğru yazmanız ve anında elde etmeniz gerekir. çevrimiçi çözüm Bundan sonra geriye kalan tek şey cevabı eşitsizliğin çözümüyle karşılaştırmaktır. Cevabı kontrol etmek bir dakikadan fazla sürmeyecek, yeterli çevrimiçi eşitsizliği çöz ve cevapları karşılaştırın. Bu, hatalardan kaçınmanıza yardımcı olacaktır karar ve cevabı zamanında düzeltin çevrimiçi eşitsizlikleri çözme herhangi biri cebirsel, trigonometrik, transandantal veya eşitsizlik bilinmeyen parametrelerle

Makalede ele alacağız eşitsizlikleri çözmek. Size açıkça anlatacağız eşitsizliklere çözüm nasıl oluşturulur, net örneklerle!

Örnekler kullanarak eşitsizlikleri çözmeye bakmadan önce temel kavramları anlayalım.

Eşitsizlikler hakkında genel bilgi

Eşitsizlik fonksiyonların >, ilişki işaretleriyle bağlandığı bir ifadedir. Eşitsizlikler hem sayısal hem de gerçek olabilir.
Oranın iki işareti olan eşitsizliklere çift, üç - üçlü vb. Eşitsizlikler denir. Örneğin:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) > veya veya - işaretini içeren eşitsizlikler kesin değildir.
Eşitsizliği çözmek bu eşitsizliğin doğru olacağı değişkenin herhangi bir değeridir.
"Eşitsizliği çözün", tüm çözümlerin kümesini bulmamız gerektiği anlamına gelir. Farklı çözümler var eşitsizlikleri çözme yöntemleri. İçin eşitsizlik çözümleri Sonsuz olan sayı doğrusu kullanılır. Örneğin, eşitsizliğin çözümü x > 3, 3'ten +'ya kadar olan aralıktır ve 3 sayısı bu aralığa dahil değildir, dolayısıyla doğru üzerindeki nokta boş bir daire ile gösterilir, çünkü eşitsizlik katıdır.
+
Cevap şu olacaktır: x (3; +).
X=3 değeri çözüm kümesine dahil edilmediğinden parantez yuvarlaktır. Sonsuzluk işareti her zaman parantezle vurgulanır. İşaret "ait olma" anlamına gelir.
İşaretli başka bir örnek kullanarak eşitsizlikleri nasıl çözeceğimize bakalım:
x 2
-+
X=2 değeri çözüm kümesine dahil edilmiştir, dolayısıyla braket karedir ve çizgi üzerindeki nokta içi dolu bir daire ile gösterilir.
Cevap şu olacaktır: x.

4. Sistemi çözün

Sistemin ikinci eşitsizliği nereden gelebilir? Örneğin eşitsizlikten

Her bir eşitsizliğin çözümlerini grafiksel olarak gösterelim ve bunların kesişme aralığını bulalım.

Dolayısıyla, eşitsizliklerden birinin x'in herhangi bir değerini karşıladığı bir sistemimiz varsa, o zaman bu ortadan kaldırılabilir.

Cevap: Sistem çelişkilidir.

Herhangi bir doğrusal eşitsizlik sisteminin çözümünün indirgenebileceği tipik destek problemlerini inceledik.

Aşağıdaki sistemi düşünün.

7.

Bazen doğrusal bir sistem çift eşitsizlikle verilir; bu durumu düşünün.

8.

Doğrusal eşitsizlik sistemlerine baktık, nereden geldiklerini anladık, hepsinin bağlı olduğu standart sistemlere baktık. doğrusal sistemler ve bazılarını çözdüm.

1. Mordkovich A.G. ve diğerleri Cebir 9. sınıf: Ders Kitabı. Genel eğitim için Kurumlar.- 4. baskı. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 s.: hasta.

2. Mordkovich A.G. ve diğerleri Cebir 9. sınıf: Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için problem kitabı / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, vb. - 4. baskı. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: hasta.

3. Makarychev Yu.N. Cebir. 9. sınıf: eğitici. genel eğitim öğrencileri için. kurumlar / Yu.N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7. baskı, rev. ve ek - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Cebir. 9. sınıf. 16. baskı. - M., 2011. - 287 s.

5. Mordkovich A.G. Cebir. 9. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12. baskı, silindi. - M.: 2010. - 224 s.: hasta.

6. Cebir. 9. sınıf. 2 bölüm halinde Bölüm 2. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için problem kitabı / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina ve diğerleri; Ed. A. G. Mordkovich. — 12. baskı, rev. - M.: 2010.-223 s.: hasta.

1. Doğa Bilimleri Portalı ().

2. Bilgisayar bilimleri, matematik, Rus dili () giriş sınavlarına 10-11. sınıfların hazırlanmasına yönelik elektronik eğitim ve metodolojik kompleks.

4. Eğitim Merkezi “Öğretim Teknolojisi” ().

5. College.ru'nun matematik bölümü ().

1. Mordkovich A.G. ve diğerleri Cebir 9. sınıf: Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için problem kitabı / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, vb. - 4. baskı. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: hasta. 53 numara; 54; 56; 57.