Bir denklem sistemini çözme yöntemleri. Matris ve çeşitleri. Ters matrisi bulma seçenekleri

Makale, bir denklem sisteminin tanımlanması kavramını ve çözümünü tanıtmaktadır. Sistem çözümlerinin sık karşılaşılan durumları dikkate alınacaktır. Verilen örnekler çözümün ayrıntılı olarak açıklanmasına yardımcı olacaktır.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Denklem sisteminin tanımı

Bir denklem sistemini tanımlamaya devam etmek için iki noktaya dikkat etmeniz gerekir: kaydın türü ve anlamı. Bunu anlamak için her tür üzerinde ayrıntılı olarak durmamız gerekiyor, ardından denklem sistemlerinin tanımına gelebiliriz.

Örneğin, iki denklemi (2 x + y = − 3 ve x = 5) alalım ve sonra bunları şöyle bir süslü parantezle birleştirelim:

2 x + y = - 3, x = 5.

Kıvrımlı parantezlerle birleştirilen denklemler, denklem sistemlerinin kayıtları olarak kabul edilir. Belirli bir sistemin denklemlerinin çözüm kümelerini tanımlarlar. Her karar herkesin kararı olmalıdır verilen denklemler.

Başka bir deyişle, bu, ilk denklemin herhangi bir çözümünün, sistem tarafından birleştirilen tüm denklemlerin çözümü olacağı anlamına gelir.

Tanım 1

Denklem sistemleri- bu, süslü parantezle birleştirilmiş, denklemlerin birçok çözümü olan ve aynı anda tüm sistem için çözüm olan belirli sayıda denklemdir.

Ana denklem sistemi türleri

Oldukça fazla sayıda denklem türü ve denklem sistemleri vardır. Çözmeyi ve çalışmayı kolaylaştırmak amacıyla belirli özelliklere göre gruplara ayrılırlar. Bu, bireysel türdeki denklem sistemlerinin dikkate alınmasına yardımcı olacaktır.

Başlangıç ​​olarak denklemler denklem sayısına göre sınıflandırılır. Eğer tek bir denklem varsa o da sıradan denklem Eğer bunlardan daha fazlası varsa, o zaman iki veya daha fazla denklemden oluşan bir sistemle karşı karşıyayız demektir.

Diğer bir sınıflandırma ise değişken sayısıyla ilgilidir. Değişken sayısı 1 olduğunda bir bilinmeyenli, 2 olduğunda ise iki değişkenli bir denklem sistemiyle karşı karşıya olduğumuzu söylüyoruz. Bir örneğe bakalım

x + y = 5, 2 x - 3 y = 1

Açıkçası, denklem sistemi iki değişken x ve y içerir.

Bu tür denklemler yazılırken kayıtta bulunan tüm değişkenlerin sayısı sayılır. Her denklemde bulunmaları gerekli değildir. En az bir denklemin bir değişkeni olmalıdır. Bir denklem sistemi örneğini ele alalım

2 x = 11, x - 3 z 2 = 0, 2 7 x + y - z = - 3

Bu sistemin x, y, z olmak üzere 3 değişkeni vardır. İlk denklemde açık bir x ve örtülü y ve z vardır. Örtük değişkenler katsayısı 0 olan değişkenlerdir. İkinci denklemde x ve z vardır ve y örtülü bir değişkendir. Aksi takdirde bu şekilde yazılabilir

2 x + 0 y + 0 z = 11

Diğer denklem ise x + 0 · y − 3 · z = 0'dır.

Denklemlerin üçüncü sınıflandırması türdür. Okulda yapılıyorlar basit denklemler ve denklem sistemleri, ikili sistemlerden başlayarak doğrusal denklemler iki değişkenli . Bu, sistemin 2 doğrusal denklem içerdiği anlamına gelir. Örneğin, düşünün

2 x - y = 1, x + 2 y = - 1 ve - 3 x + y = 0. 5 , x + 2 2 3 y = 0

Bunlar temel en basit doğrusal denklemlerdir. Daha sonra 3 veya daha fazla bilinmeyen içeren sistemlerle karşılaşabilirsiniz.

9. sınıfta iki değişkenli ve doğrusal olmayan denklemleri çözüyorlar. Tam denklemlerde karmaşıklığı artırmak için derece artırılır. Bu tür sistemlere belirli sayıda denklem ve bilinmeyen içeren doğrusal olmayan denklem sistemleri denir. Bu tür sistemlerin örneklerine bakalım

x 2 - 4 x y = 1, x - y = 2 ve x = y 3 x y = - 5

Her ikisi de iki değişkenli sistemlerdir ve her ikisi de doğrusal değildir.

Çözerken karşılaşabileceğiniz kesirli rasyonel denklemler. Örneğin

x + y = 3, 1 x + 1 y = 2 5

Hangisi olduğunu belirtmeden buna basitçe denklem sistemi diyebilirler. Sistemin türü nadiren belirtilir.

Üst sınıflar irrasyonel, trigonometrik ve üstel denklemler üzerinde çalışmaya devam eder. Örneğin,

x + y - x · y = 5, 2 · x · y = 3, x + y = 5 · π 2, sin x + cos 2 y = - 1, y - log 3 x = 1, x y = 3 12.

Yükseköğretim kurumları doğrusal cebirsel denklem sistemlerine (SLAE'ler) yönelik çözümler üzerinde çalışır ve araştırma yapar. Bu tür denklemlerin sol tarafı birinci dereceden polinomları, sağ tarafı ise bazı sayıları içerir. Okuldakilerden farkı, değişken sayısı ile denklem sayısının keyfi olabilmesi ve çoğu zaman eşleşmemesidir.

Denklem sistemlerini çözme

Tanım 2

İki değişkenli bir denklem sistemini çözme ikame edildiğinde her denklemi doğru sayısal eşitsizliğe dönüştüren bir değişken çiftidir, yani belirli bir sistemin her denklemi için bir çözümdür.

Örneğin, x = 5 ve y = 2 değer çifti, x + y = 7, x - y = 3 denklem sisteminin bir çözümüdür. Çünkü denklemler yerine konulduğunda doğru oluyorlar sayısal eşitsizlikler 5 + 2 = 7 ve 5 − 2 = 3. Eğer x = 3 ve y = 0 çiftini yerine koyarsak, o zaman yerine koyma doğru denklemi vermeyeceğinden sistem çözülmeyecektir, yani 3 + 0 = 7 elde ederiz.

Bir veya daha fazla değişken içeren sistemler için bir tanım formüle edelim.

Tanım 3

Tek değişkenli denklem sistemini çözme– bu, sistemin denklemlerinin kökü olan değişkenin değeridir, bu da tüm denklemlerin doğru sayısal eşitliklere dönüştürüleceği anlamına gelir.

Tek değişkenli t denklem sistemi örneğini ele alalım.

t 2 = 4, 5 (t + 2) = 0

(− 2) · 2 = 4 ve 5 · (− 2 + 2) = 0 gerçek sayısal eşitlikler olduğundan, - 2 sayısı denklemin bir çözümüdür. t = 1'de sistem çözülmez, çünkü ikame üzerine iki yanlış eşitlik elde ederiz: 12 = 4 ve 5 · (1 + 2) = 0.

Tanım 4

Üç veya daha fazla değişkenli bir sistemi çözme sistemin tüm denklemlerini doğru eşitliklere dönüştüren sırasıyla üç, dört ve diğer değerleri çağırırlar.

x = 1, y = 2, z = 0 değişkenlerinin değerlerine sahipsek, bunları 2 · x = 2, 5 · y = 10, x + y + z = 3 denklem sistemine koyarsak, 2 · 1 = 2, 5 · 2 = 10 ve 1 + 2 + 0 = 3 elde ederiz. Bu, bu sayısal eşitsizliklerin doğru olduğu anlamına gelir. Ve (1, 0, 5) değerleri bir çözüm olmayacaktır, çünkü değerleri değiştirdikten sonra ikincisi de üçüncüsü de yanlış olacaktır: 5 0 = 10, 1 + 0 + 5 = 3.

Denklem sistemlerinin hiç çözümü olmayabilir veya sonsuz sayıda çözümü olabilir. Bu, bu konunun derinlemesine incelenmesiyle doğrulanabilir. Bir denklem sisteminin, tüm denklemlerin çözüm kümelerinin kesişimi olduğu sonucuna varabiliriz. Birkaç tanımı genişletelim:

Tanım 5

UyumsuzÇözümü olmayan bir denklem sistemine denklem sistemi denir, aksi takdirde denir eklem yeri.

Tanım 6

Belirsiz Bir sistem sonsuz sayıda çözüme sahip olduğunda çağrılır ve kesin Sonlu sayıda çözümle veya bunların yokluğunda.

Bu tür terimler, yüksek öğretim programlarına yönelik olduğundan okulda nadiren kullanılır. Eğitim Kurumları. Eşdeğer sistemlere aşinalık, denklem sistemlerini çözme konusundaki mevcut bilginizi derinleştirecektir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Sistemi çöz iki bilinmeyenle - bu, verilen denklemlerin her birini karşılayan tüm değişken değer çiftlerini bulmak anlamına gelir. Bu çiftlerin her birine denir sistem çözümü.

Örnek:
\(x=3\);\(y=-1\) değer çifti ilk sistemin çözümüdür, çünkü bu üçleri ve eksileri sisteme yerleştirirken \(x\) ve \ yerine (y\), her iki denklem de doğru eşitliklere dönüşecektir \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( vakalar)\)

Ancak \(x=1\); \(y=-2\) - birinci sistemin çözümü değildir, çünkü ikame sonrasında ikinci denklem “yakınsamaz” \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(case)\)

Bu tür çiftlerin genellikle daha kısa yazıldığını unutmayın: "\(x=3\); \(y=-1\)" yerine şu şekilde yazarlar: \((3;-1)\).

Doğrusal denklem sistemi nasıl çözülür?

Doğrusal denklem sistemlerini çözmenin üç ana yolu vardır:

1. İkame yöntemi.

\(\begin(case)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(case)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(case)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(case)\)\(\Leftrightarrow\)

Elde edilen ifadeyi bu değişken yerine sistemin başka bir denkleminde değiştirin.

\(\Leftrightarrow\) \(\begin(case)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(case)\)\(\Leftrightarrow\)

1. \(\begin(case)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(case)\)

   İkinci denklemde her terim çifttir, dolayısıyla denklemi \(2\)'ye bölerek basitleştiririz.
   

   \(\begin(case)13x+9y=17\\6x-y=13\end(case)\)

   Bu sistem aşağıdaki yollardan herhangi biriyle çözülebilir, ancak bana öyle geliyor ki ikame yöntemi burada en uygun olanı. İkinci denklemden y'yi ifade edelim.
   

   \(\begin(case)13x+9y=17\\y=6x-13\end(case)\)

   İlk denklemde \(y\) yerine \(6x-13\) yazalım.
   

   \(\begin(case)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(case)\)

   İlk denklem sıradan bir denklem haline geldi. Hadi çözelim.

   Öncelikle parantezleri açalım.
   

   \(\begin(case)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(case)\)

   \(117\)'yi sağa taşıyıp benzer terimleri sunalım.

   \(\begin(case)67x=134\\y=6x-13\end(case)\)

   İlk denklemin her iki tarafını da \(67\)'ye bölelim.

   \(\begin(case)x=2\\y=6x-13\end(case)\)

   Yaşasın, \(x\)'i bulduk! Değerini ikinci denklemde yerine koyalım ve \(y\)'yi bulalım.

   \(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases )\)

   Cevabını yazalım.

Doğrusal cebirsel denklem sistemlerini (SLAE'ler) çözmek şüphesiz doğrusal cebir dersindeki en önemli konudur. Matematiğin tüm dallarından çok sayıda problem, doğrusal denklem sistemlerinin çözümüyle ilgilidir. Bu faktörler bu makalenin nedenini açıklamaktadır. Makalenin materyali, onun yardımıyla şunları yapabilmeniz için seçilmiş ve yapılandırılmıştır:

• Doğrusal cebirsel denklem sisteminizi çözmek için en uygun yöntemi seçin,
• Seçilen yöntemin teorisini incelemek,
• Tipik örnek ve problemlerin ayrıntılı çözümlerini dikkate alarak doğrusal denklem sisteminizi çözün.

Makale materyalinin kısa açıklaması.

Öncelikle gerekli tüm tanımları, kavramları veriyoruz ve notasyonları tanıtıyoruz.

Daha sonra, denklem sayısının bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşit olduğu ve tek çözümü olan doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözme yöntemlerini ele alacağız. İlk olarak Cramer yöntemine odaklanacağız, ikinci olarak bu tür denklem sistemlerinin çözümü için matris yöntemini göstereceğiz ve üçüncü olarak Gauss yöntemini (bilinmeyen değişkenlerin sıralı olarak yok edilmesi yöntemi) analiz edeceğiz. Teoriyi pekiştirmek için kesinlikle birkaç SLAE'yi farklı şekillerde çözeceğiz.

Bundan sonra doğrusal cebirsel denklem sistemlerinin çözümüne geçeceğiz. Genel görünüm Denklem sayısının bilinmeyen değişkenlerin sayısıyla çakışmadığı veya sistemin ana matrisinin tekil olduğu. SLAE'lerin uyumluluğunu belirlememize olanak tanıyan Kronecker-Capelli teoremini formüle edelim. Bir matrisin küçük tabanı kavramını kullanarak sistemlerin çözümünü (eğer uyumlularsa) analiz edelim. Ayrıca Gauss yöntemini de ele alacağız ve örneklerin çözümlerini ayrıntılı olarak anlatacağız.

Homojen ve homojen olmayan lineer cebirsel denklem sistemlerinin genel çözümünün yapısı üzerinde kesinlikle duracağız. Temel çözüm sistemi kavramını verelim ve temel çözüm sisteminin vektörleri kullanılarak bir SLAE'nin genel çözümünün nasıl yazıldığını gösterelim. Daha iyi anlamak için birkaç örneğe bakalım.

Sonuç olarak, doğrusal olanlara indirgenebilen denklem sistemlerini ve çözümünde SLAE'lerin ortaya çıktığı çeşitli problemleri ele alacağız.

Sayfada gezinme.

Tanımlar, kavramlar, atamalar.

n bilinmeyen değişkenli (p, n'ye eşit olabilir) p doğrusal cebirsel denklem sistemlerini ele alacağız.

Bilinmeyen değişkenler, - katsayılar (bazı gerçek veya karmaşık sayılar), - serbest terimler (aynı zamanda gerçek veya karmaşık sayılar).

SLAE kaydetmenin bu biçimine denir koordinat.

İÇİNDE matris formu Bu denklem sistemini yazmanın şekli şu şekildedir:
Nerede - sistemin ana matrisi, - bilinmeyen değişkenlerden oluşan bir sütun matrisi, - serbest terimlerden oluşan bir sütun matrisi.

A matrisine (n+1)'inci sütun olarak serbest terimlerden oluşan bir matris sütunu eklersek, sözde elde ederiz. genişletilmiş matris Doğrusal denklem sistemleri. Tipik olarak, genişletilmiş bir matris T harfiyle gösterilir ve serbest terimler sütunu, kalan sütunlardan dikey bir çizgi ile ayrılır;

Doğrusal cebirsel denklem sistemini çözme sistemin tüm denklemlerini kimliğe dönüştüren bilinmeyen değişkenlerin değerleri kümesi denir. Bilinmeyen değişkenlerin verilen değerleri için matris denklemi de bir özdeşlik haline gelir.

Bir denklem sisteminin en az bir çözümü varsa buna denir. eklem yeri.

Bir denklem sisteminin çözümü yoksa buna denir. ortak olmayan.

Bir SLAE'nin benzersiz bir çözümü varsa buna denir. kesin; birden fazla çözüm varsa o zaman – belirsiz.

Sistemin tüm denklemlerinin serbest terimleri sıfıra eşitse , daha sonra sistem çağrılır homojen, aksi takdirde - heterojen.

Lineer cebirsel denklemlerin temel sistemlerini çözme.

Sistemin denklem sayısı bilinmeyen değişken sayısına eşitse ve ana matrisinin determinantı değilse sıfıra eşit, o zaman bu tür SLAE'leri arayacağız temel. Bu tür denklem sistemlerinin benzersiz bir çözümü vardır ve homojen bir sistem durumunda tüm bilinmeyen değişkenler sıfıra eşittir.

Bu tür SLAE'leri lisede incelemeye başladık. Bunları çözerken, bir denklemi aldık, bilinmeyen bir değişkeni diğerleri cinsinden ifade ettik ve onu kalan denklemlerde yerine koyduk, sonra bir sonraki denklemi aldık, bir sonraki bilinmeyen değişkeni ifade ettik ve onu diğer denklemlerde yerine koyduk, vb. Veya toplama yöntemini kullandılar, yani bilinmeyen bazı değişkenleri ortadan kaldırmak için iki veya daha fazla denklem eklediler. Bu yöntemler esasen Gauss yönteminin modifikasyonları olduğundan, üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağız.

Temel doğrusal denklem sistemlerini çözmenin ana yöntemleri Cramer yöntemi, matris yöntemi ve Gauss yöntemidir. Bunları sıralayalım.

Doğrusal denklem sistemlerini Cramer yöntemini kullanarak çözme.

Bir doğrusal cebirsel denklem sistemini çözmemiz gerektiğini varsayalım.

Denklem sayısının bilinmeyen değişken sayısına eşit olduğu ve sistemin ana matrisinin determinantının sıfırdan farklı olduğu, yani .

Sistemin ana matrisinin determinantı olsun ve - A'dan değiştirilerek elde edilen matrislerin determinantları 1., 2.,…, n. sütun sırasıyla serbest üyelerin sütununa:

Bu gösterimle bilinmeyen değişkenler Cramer yönteminin formülleri kullanılarak şu şekilde hesaplanır: . Cramer yöntemi kullanılarak bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin çözümü bu şekilde bulunur.

Örnek.

Cramer'in yöntemi .

Çözüm.

Sistemin ana matrisi şu şekildedir: . Determinantını hesaplayalım (gerekirse makaleye bakın):

Sistemin ana matrisinin determinantı sıfırdan farklı olduğundan sistemin Cramer yöntemiyle bulunabilecek tek bir çözümü vardır.

Gerekli belirleyicileri oluşturup hesaplayalım (A matrisindeki ilk sütunu serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirerek determinantı, ikinci sütunu serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirerek ve A matrisinin üçüncü sütununu serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirerek elde ederiz) :

Formülleri kullanarak bilinmeyen değişkenleri bulma :

Cevap:

Cramer yönteminin en büyük dezavantajı (dezavantaj olarak adlandırılabilirse), sistemdeki denklem sayısı üçten fazla olduğunda determinantların hesaplanmasının karmaşıklığıdır.

Doğrusal cebirsel denklem sistemlerini matris yöntemini kullanarak çözme (ters matris kullanarak).

A matrisinin n x n boyutuna sahip olduğu ve determinantının sıfır olmadığı bir doğrusal cebirsel denklem sistemi matris biçiminde verilsin.

A matrisi tersinir olduğundan, ters bir matris vardır. Eşitliğin her iki tarafını solla çarparsak, bilinmeyen değişkenlerden oluşan bir matris sütununu bulmak için bir formül elde ederiz. Matris yöntemini kullanarak doğrusal cebirsel denklemler sisteminin çözümünü bu şekilde elde ettik.

Örnek.

Doğrusal denklem sistemini çözme matris yöntemi.

Çözüm.

Denklem sistemini matris formunda yeniden yazalım:

Çünkü

daha sonra SLAE matris yöntemi kullanılarak çözülebilir. Ters matris kullanılarak bu sistemin çözümü şu şekilde bulunabilir: .

A matrisinin elemanlarının cebirsel toplamlarından bir matris kullanarak ters bir matris oluşturalım (gerekirse makaleye bakın):

Ters matrisi çarparak bilinmeyen değişkenlerin matrisini hesaplamak kalır. ücretsiz üyelerden oluşan bir matris sütununa (gerekirse makaleye bakın):

Cevap:

veya başka bir gösterimle x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Matris yöntemini kullanarak doğrusal cebirsel denklem sistemlerine çözüm bulmadaki ana sorun, özellikle üçüncü mertebeden yüksek kare matrisler için ters matris bulmanın karmaşıklığıdır.

Doğrusal denklem sistemlerini Gauss yöntemini kullanarak çözme.

n bilinmeyen değişkenli n doğrusal denklem sistemine bir çözüm bulmamız gerektiğini varsayalım.
ana matrisin determinantı sıfırdan farklıdır.

Gauss yönteminin özü bilinmeyen değişkenlerin sırayla ortadan kaldırılmasından oluşur: ilk önce x 1, ikinciden başlayarak sistemin tüm denklemlerinden çıkarılır, ardından üçüncüden başlayarak x 2 tüm denklemlerden çıkarılır ve yalnızca bilinmeyen değişken x n kalana kadar bu şekilde devam eder. son denklemde. Bilinmeyen değişkenleri sırayla ortadan kaldırmak için sistem denklemlerini dönüştürme işlemine denir. doğrudan Gauss yöntemi. Gauss yönteminin ileri vuruşu tamamlandıktan sonra, son denklemden x n bulunur, sondan bir önceki denklemdeki bu değer kullanılarak x n-1 hesaplanır ve bu şekilde ilk denklemden x 1 bulunur. Sistemin son denkleminden birincisine geçerken bilinmeyen değişkenlerin hesaplanması işlemine denir Gauss yönteminin tersi.

Bilinmeyen değişkenleri ortadan kaldırmak için kullanılan algoritmayı kısaca açıklayalım.

Bunu her zaman sistemin denklemlerini yeniden düzenleyerek başarabileceğimiz için bunu varsayacağız. Bilinmeyen değişken x 1'i ikinciden başlayarak sistemin tüm denklemlerinden çıkaralım. Bunu yapmak için sistemin ikinci denklemine birincisini çarptığımız denklemi, üçüncü denklemine birincisini ekliyoruz ve bu şekilde devam ederek n'inci denkleme birincisini çarpıyoruz. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi şu şekli alacaktır:

Nerede ve .

Sistemin ilk denkleminde x 1'i diğer bilinmeyen değişkenler cinsinden ifade edip, elde edilen ifadeyi diğer tüm denklemlerde yerine koysaydık aynı sonuca ulaşırdık. Böylece x 1 değişkeni ikinciden başlayarak tüm denklemlerin dışında bırakılır.

Daha sonra benzer şekilde ilerliyoruz, ancak yalnızca sonuçtaki sistemin şekilde işaretlenmiş kısmıyla

Bunu yapmak için sistemin üçüncü denklemine ikinciyi , ile çarparak ekleriz. dördüncü denklem ikinci çarpımı ekleyelim ve bu şekilde devam ederek n'inci denkleme ikinci çarpımını ekleyelim. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi şu şekli alacaktır:

Nerede ve . Böylece x2 değişkeni üçüncüden başlayarak tüm denklemlerin dışında bırakılır.

Daha sonra sistemin şekilde işaretlenen kısmı ile benzer şekilde hareket ederek bilinmeyen x 3'ü ortadan kaldırmaya devam ediyoruz.

Böylece sistem şu formu alana kadar Gauss yönteminin doğrudan ilerlemesine devam ediyoruz:

Bu andan itibaren Gauss yönteminin tersini başlatırız: son denklemden x n'yi şu şekilde hesaplarız, elde edilen x n değerini kullanarak sondan bir önceki denklemden x n-1'i buluruz ve bu şekilde devam ederek ilk denklemden x 1'i buluruz .

Örnek.

Doğrusal denklem sistemini çözme Gauss yöntemi.

Çözüm.

Bilinmeyen x 1 değişkenini sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinden hariç tutalım. Bunu yapmak için, ikinci ve üçüncü denklemlerin her iki tarafına, birinci denklemin karşılık gelen kısımlarını sırasıyla ve ile çarparak ekleriz:

Şimdi üçüncü denklemden x 2'yi, ikinci denklemin sol ve sağ taraflarını sol ve sağ taraflarına ekleyerek şununla çarpıyoruz:

Bu, Gauss yönteminin ileri vuruşunu tamamlar; geri vuruşa başlarız.

Ortaya çıkan denklem sisteminin son denkleminden x 3'ü buluyoruz:

İkinci denklemden elde ederiz.

İlk denklemden geri kalan bilinmeyen değişkeni buluyoruz ve böylece Gauss yönteminin tersini tamamlıyoruz.

Cevap:

X1 = 4, x2 = 0, x3 = -1.

Genel formdaki lineer cebirsel denklem sistemlerini çözme.

Genel olarak, p sisteminin denklem sayısı, bilinmeyen değişkenlerin sayısı n ile çakışmaz:

Bu tür SLAE'lerin hiçbir çözümü olmayabilir, tek bir çözümü olabilir veya sonsuz sayıda çözümü olabilir. Bu ifade aynı zamanda ana matrisi kare ve tekil olan denklem sistemleri için de geçerlidir.

Kronecker-Capelli teoremi.

Bir doğrusal denklem sistemine çözüm bulmadan önce uyumluluğunun belirlenmesi gerekir. SLAE ne zaman uyumlu, ne zaman tutarsız sorusunun cevabı şu şekilde verilmektedir: Kronecker-Capelli teoremi:
N bilinmeyenli (p, n'ye eşit olabilir) p denklemlerden oluşan bir sistemin tutarlı olabilmesi için, sistemin ana matrisinin sıralamasının genişletilmiş matrisin sıralamasına eşit olması gerekli ve yeterlidir; , Sıra(A)=Sıra(T).

Örnek olarak, bir doğrusal denklem sisteminin uyumluluğunu belirlemek için Kronecker-Capelli teoreminin uygulanmasını ele alalım.

Örnek.

Doğrusal denklem sisteminin olup olmadığını öğrenin çözümler.

Çözüm.

. Küçükleri sınırlama yöntemini kullanalım. İkinci dereceden küçük sıfırdan farklı. Şimdi onu çevreleyen üçüncü dereceden küçüklere bakalım:

Üçüncü dereceden tüm sınırdaki küçükler sıfıra eşit olduğundan, ana matrisin rütbesi ikiye eşittir.

Buna karşılık, genişletilmiş matrisin rütbesi küçük üçüncü dereceden olduğundan üçe eşittir

sıfırdan farklı.

Böylece, Dolayısıyla Rang(A) Kronecker-Capelli teoremini kullanarak orijinal doğrusal denklem sisteminin tutarsız olduğu sonucuna varabiliriz.

Cevap:

Sistemin çözümü yok.

Kronecker-Capelli teoremini kullanarak bir sistemin tutarsızlığını belirlemeyi öğrendik.

Ancak uyumluluğu sağlanmışsa bir SLAE'ye çözüm nasıl bulunur?

Bunu yapmak için bir matrisin minör tabanı kavramına ve matrisin rütbesine ilişkin bir teoreme ihtiyacımız var.

A matrisinin sıfırdan farklı en yüksek mertebesinden küçük olanına denir temel.

Bir temel minörün tanımından, sırasının matrisin rütbesine eşit olduğu sonucu çıkar. Sıfır olmayan bir A matrisi için birkaç temel minör olabilir; her zaman bir temel minör vardır.

Örneğin, matrisi düşünün .

Bu matrisin üçüncü dereceden tüm küçükleri sıfıra eşittir çünkü bu matrisin üçüncü satırının elemanları, birinci ve ikinci satırların karşılık gelen elemanlarının toplamıdır.

Aşağıdaki ikinci dereceden küçükler sıfırdan farklı oldukları için temeldir

Küçükler sıfıra eşit oldukları için temel değildirler.

Matris rütbe teoremi.

P'ye n düzeyindeki bir matrisin sıralaması r'ye eşitse, matrisin seçilen temel minörü oluşturmayan tüm satır (ve sütun) öğeleri, onu oluşturan karşılık gelen satır (ve sütun) öğeleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilir. temel küçük.

Matris rütbe teoremi bize ne söylüyor?

Kronecker-Capelli teoremine göre sistemin uyumluluğunu belirlediysek, sistemin ana matrisinin herhangi bir minör tabanını seçeriz (sıralaması r'ye eşittir) ve aşağıdakileri sağlayan tüm denklemleri sistemden çıkarırız: seçilen esas minörü oluşturmaz. Bu şekilde elde edilen SLAE, atılan denklemler hala gereksiz olduğundan orijinaline eşdeğer olacaktır (matris sıralama teoremine göre bunlar, kalan denklemlerin doğrusal bir birleşimidir).

Sonuç olarak sistemin gereksiz denklemleri çıkarıldıktan sonra iki durum mümkündür.

Ortaya çıkan sistemdeki r denklem sayısı bilinmeyen değişken sayısına eşitse bu kesin olacaktır ve tek çözüm Cramer yöntemi, matris yöntemi veya Gauss yöntemiyle bulunabilecektir.

Örnek.

.

Çözüm.

Sistemin ana matrisinin sıralaması küçük ikinci dereceden olduğundan ikiye eşittir sıfırdan farklı. Genişletilmiş Matris Sıralaması üçüncü dereceden tek minör sıfır olduğundan bu da ikiye eşittir

ve yukarıda ele alınan ikinci dereceden küçük sıfırdan farklıdır. Kronecker-Capelli teoremine dayanarak, Rank(A)=Rank(T)=2 olduğundan orijinal doğrusal denklem sisteminin uyumluluğunu iddia edebiliriz.

Temel olarak küçük olarak alıyoruz . Birinci ve ikinci denklemlerin katsayılarından oluşur:


Sistemin üçüncü denklemi temel minörün oluşumuna katılmaz, bu nedenle onu matrisin rütbesine ilişkin teoreme dayanarak sistemden hariç tutuyoruz:


Yani elimizde temel sistem doğrusal cebirsel denklemler. Cramer yöntemini kullanarak çözelim:


Cevap:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ortaya çıkan SLAE'deki denklem sayısı r ise daha az sayı bilinmeyen değişkenler n, daha sonra denklemlerin sol taraflarında temeli oluşturan terimleri minör olarak bırakıyoruz, geri kalan terimleri ise ters işaretle sistemin denklemlerinin sağ taraflarına aktarıyoruz.

Denklemin sol tarafında kalan bilinmeyen değişkenlere (r tanesi) denir. ana.

Sağ tarafta bulunan bilinmeyen değişkenlere (n - r parça vardır) denir özgür.

Artık serbest bilinmeyen değişkenlerin keyfi değerler alabileceğine, ana bilinmeyen değişkenlerin ise serbest bilinmeyen değişkenler aracılığıyla benzersiz bir şekilde ifade edileceğine inanıyoruz. İfadeleri, elde edilen SLAE'nin Cramer yöntemi, matris yöntemi veya Gauss yöntemi kullanılarak çözülmesiyle bulunabilir.

Bir örnekle bakalım.

Örnek.

Doğrusal cebirsel denklem sistemini çözme .

Çözüm.

Sistemin ana matrisinin rütbesini bulalım küçükleri sınırlama yöntemiyle. 1 1 = 1'i birinci dereceden sıfır olmayan bir minör olarak alalım. Bu minörün sınırındaki ikinci dereceden sıfır olmayan bir minör aramaya başlayalım:


İkinci dereceden sıfır olmayan bir minörü bu şekilde bulduk. Üçüncü dereceden sıfırdan farklı sınırdaki küçükleri aramaya başlayalım:


Böylece ana matrisin rütbesi üç olur. Genişletilmiş matrisin sıralaması da üçe eşittir, yani sistem tutarlıdır.

Üçüncü mertebenin sıfırdan farklı bulunan minörünü temel alıyoruz.

Açıklık sağlamak için, minörün temelini oluşturan unsurları gösteriyoruz:


Temel minörde yer alan terimleri sistem denklemlerinin sol tarafına bırakıp, geri kalanını zıt işaretli olarak sağ taraflara aktarıyoruz:


Serbest bilinmeyen değişkenlere x 2 ve x 5 keyfi değerler verelim, yani kabul edelim , keyfi sayılar nerede. Bu durumda SLAE şu şekli alacaktır:


Ortaya çıkan temel doğrusal cebirsel denklem sistemini Cramer yöntemini kullanarak çözelim:


Buradan, .

Cevabınızda serbest bilinmeyen değişkenleri belirtmeyi unutmayın.

Cevap:

Rastgele sayılar nerede.

Özetleyin.

Bir genel doğrusal cebirsel denklem sistemini çözmek için öncelikle Kronecker-Capelli teoremini kullanarak uyumluluğunu belirleriz. Ana matrisin sıralaması genişletilmiş matrisin sıralamasına eşit değilse sistemin uyumsuz olduğu sonucuna varırız.

Ana matrisin sıralaması genişletilmiş matrisin sıralamasına eşitse, o zaman bir minör baz seçeriz ve seçilen baz minörün oluşumuna katılmayan sistem denklemlerini atarız.

Temel minörün sırası bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşitse, o zaman SLAE'nin bildiğimiz herhangi bir yöntemle bulunabilecek benzersiz bir çözümü vardır.

Temelin sırası bilinmeyen değişken sayısından azsa, sistem denklemlerinin sol tarafında, ana bilinmeyen değişkenlerin bulunduğu terimleri bırakırız, kalan terimleri sağ taraflara aktarırız ve keyfi değerler veririz. serbest bilinmeyen değişkenler Ortaya çıkan doğrusal denklem sisteminden ana bilinmeyenleri buluyoruz yönteme göre değişkenler Cramer, matris yöntemi veya Gauss yöntemi.

Genel formdaki doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemi.

Gauss yöntemi, her türlü doğrusal cebirsel denklem sistemini, önce tutarlılık açısından test etmeden çözmek için kullanılabilir. Bilinmeyen değişkenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılması süreci, SLAE'nin hem uyumluluğu hem de uyumsuzluğu hakkında bir sonuca varılmasını ve bir çözüm varsa bulunmasını mümkün kılar.

Hesaplama açısından Gauss yöntemi tercih edilir.

Onu izle Detaylı Açıklama ve genel formdaki doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemi makalesindeki örnekleri analiz ettik.

Temel çözüm sisteminin vektörlerini kullanarak homojen ve homojen olmayan doğrusal cebirsel sistemlere genel bir çözüm yazmak.

Bu bölümde sonsuz sayıda çözümü olan eşzamanlı homojen ve homojen olmayan doğrusal cebirsel denklem sistemlerinden bahsedeceğiz.

İlk önce homojen sistemlerle ilgilenelim.

Temel çözüm sistemi n bilinmeyen değişkenli p doğrusal cebirsel denklemlerden oluşan homojen sistem, bu sistemin (n – r) doğrusal olarak bağımsız çözümlerinin bir koleksiyonudur; burada r, sistemin ana matrisinin temel minörünün sırasıdır.

Homojen bir SLAE'nin doğrusal olarak bağımsız çözümlerini X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) sütunsaldır olarak gösterirsek boyut matrisleri n x 1) , daha sonra bu homojen sistemin genel çözümü, temel çözüm sisteminin vektörlerinin keyfi sabit katsayılar C 1, C 2, ..., C (n-r) ile doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilir; dır-dir, .

Homojen bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin (oroslau) genel çözümü terimi ne anlama gelir?

Anlamı basit: formül her şeyi belirler Muhtemel çözümler orijinal SLAE, başka bir deyişle, C 1, C 2, ..., C (n-r) keyfi sabitlerinin herhangi bir değer kümesini alarak, formüle göre orijinal homojen SLAE'nin çözümlerinden birini elde edeceğiz.

Dolayısıyla, temel bir çözüm sistemi bulursak, bu homojen SLAE'nin tüm çözümlerini şu şekilde tanımlayabiliriz: .

Homojen bir SLAE'ye yönelik temel bir çözüm sistemi oluşturma sürecini gösterelim.

Orijinal doğrusal denklemler sisteminin temel minörünü seçiyoruz, diğer tüm denklemleri sistemden çıkarıyoruz ve serbest bilinmeyen değişkenler içeren tüm terimleri zıt işaretli sistem denklemlerinin sağ taraflarına aktarıyoruz. Serbest bilinmeyen değişkenlere 1,0,0,...,0 değerlerini verelim ve elde edilen temel doğrusal denklem sistemini herhangi bir şekilde, örneğin Cramer yöntemini kullanarak çözerek ana bilinmeyenleri hesaplayalım. Bu, temel sistemin ilk çözümü olan X (1) ile sonuçlanacaktır. Serbest bilinmeyenlere 0,1,0,0,…,0 değerlerini verip ana bilinmeyenleri hesaplarsak X(2) elde ederiz. Ve benzeri. Serbest bilinmeyen değişkenlere 0.0,…,0.1 değerlerini atayıp temel bilinmeyenleri hesaplarsak X (n-r) elde ederiz. Bu şekilde homojen bir SLAE'nin temel çözüm sistemi oluşturulacak ve genel çözümü şeklinde yazılabilecektir.

Homojen olmayan lineer cebirsel denklem sistemleri için genel çözüm, karşılık gelen homojen sistemin genel çözümü olan ve serbest bilinmeyenlere değerleri vererek elde ettiğimiz orijinal homojen olmayan SLAE'nin özel çözümü olan formda temsil edilir. ​0,0,…,0 ve temel bilinmeyenlerin değerlerinin hesaplanması.

Örneklere bakalım.

Örnek.

Temel çözüm sistemini ve homojen bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin genel çözümünü bulun .

Çözüm.

Homojen doğrusal denklem sistemlerinin ana matrisinin sıralaması her zaman genişletilmiş matrisin sıralamasına eşittir. Küçükleri sınırlama yöntemini kullanarak ana matrisin rütbesini bulalım. Birinci dereceden sıfır olmayan bir minör olarak sistemin ana matrisinin a 1 1 = 9 öğesini alıyoruz. İkinci dereceden sınırdaki sıfır olmayan küçükleri bulalım:

Sıfırdan farklı ikinci dereceden bir minör bulundu. Sıfır olmayan bir tane bulmak için sınırındaki üçüncü dereceden küçükleri inceleyelim:

Üçüncü dereceden sınırdaki tüm küçükler sıfıra eşittir, bu nedenle ana ve genişletilmiş matrisin sırası ikiye eşittir. Hadi alalım . Açıklık sağlamak için, onu oluşturan sistemin öğelerine dikkat edelim:

Orijinal SLAE'nin üçüncü denklemi temel minörün oluşumuna katılmaz, bu nedenle hariç tutulabilir:

Temel bilinmeyenleri içeren terimleri denklemlerin sağ taraflarına bırakıp, serbest bilinmeyenli terimleri sağ taraflara aktarıyoruz:

Orijinal homojen doğrusal denklem sisteminin temel çözüm sistemini oluşturalım. Bu SLAE'nin temel çözüm sistemi iki çözümden oluşur, çünkü orijinal SLAE dört bilinmeyen değişken içerir ve temel minör derecesi ikiye eşittir. X (1)'i bulmak için serbest bilinmeyen değişkenlere x 2 = 1, x 4 = 0 değerlerini veriyoruz, ardından denklem sisteminden ana bilinmeyenleri buluyoruz
.

Bu makaledeki materyal denklem sistemleriyle ilk tanışma amaçlıdır. Burada bir denklem sisteminin tanımını ve çözümlerini tanıtacağız ve ayrıca en yaygın denklem sistemi türlerini ele alacağız. Her zamanki gibi açıklayıcı örnekler vereceğiz.

Sayfada gezinme.

Denklem sistemi nedir?

Denklem sisteminin tanımına yavaş yavaş yaklaşacağız. İlk olarak, iki noktayı belirterek bunu vermenin uygun olduğunu söyleyelim: birincisi, kaydın türü ve ikincisi, bu kaydın içerdiği anlam. Şimdi sırasıyla bunlara bakalım ve ardından akıl yürütmeyi denklem sistemlerinin tanımına genelleyelim.

Önümüzde birkaç tane olsun. Örneğin iki denklemi ele alalım: 2 x+y=−3 ve x=5. Bunları alt alta yazalım ve solda küme paranteziyle birleştirelim:

Bir sütun halinde düzenlenmiş ve solda küme ayracı ile birleştirilmiş çeşitli denklemlerden oluşan bu tür kayıtlar, denklem sistemlerinin kayıtlarıdır.

Bu tür girişler ne anlama geliyor? Her denklemin çözümü olan sistem denklemlerinin tüm bu tür çözümlerinin kümesini tanımlarlar.

Başka bir deyişle anlatmaktan zarar gelmez. İlk denklemin bazı çözümlerinin sistemin diğer tüm denklemlerinin çözümü olduğunu varsayalım. Yani sistem kaydı sadece onları ifade ediyor.

Artık bir denklem sisteminin tanımını yeterince kabul etmeye hazırız.

Tanım.

Denklem sistemleri Sol tarafta küme ayracı ile birleştirilen ve aynı zamanda sistemin her denkleminin çözümü olan denklemlerin tüm çözümlerinin kümesini gösteren, birbirinin altında yer alan denklemlerden oluşan çağrı kayıtları.

Ders kitabında da benzer bir tanım verilmiştir, ancak orada genel durum için değil, iki durum için verilmiştir. rasyonel denklemler iki değişkenle.

Ana türler

Sonsuz sayıda farklı denklemin olduğu açıktır. Doğal olarak bunları kullanarak derlenen sonsuz sayıda denklem sistemi de vardır. Bu nedenle, denklem sistemlerini incelemenin ve onlarla çalışmanın kolaylığı için, bunları benzer özelliklere göre gruplara ayırmak ve ardından bireysel türdeki denklem sistemlerini dikkate almak mantıklıdır.

İlk bölüm, sisteme dahil edilen denklemlerin sayısıyla kendini göstermektedir. İki denklem varsa, iki denklemli bir sistemimiz olduğunu söyleyebiliriz, üç varsa o zaman üç denklemli bir sistemimiz var vb. Tek denklemli bir sistemden bahsetmenin hiçbir anlamı olmadığı açıktır, çünkü bu durumda özünde sistemle değil denklemin kendisiyle ilgileniyoruz.

Bir sonraki bölüm, sistemin denklemlerinin yazılmasında yer alan değişkenlerin sayısına dayanmaktadır. Bir değişken varsa, o zaman bir değişkenli (aynı zamanda bir bilinmeyenli) bir denklem sistemiyle, iki varsa, o zaman iki değişkenli (iki bilinmeyenli) vb. bir denklem sistemiyle uğraşıyoruz. Örneğin, iki değişken x ve y olan bir denklem sistemidir.

Bu, kayıtta yer alan tüm farklı değişkenlerin sayısını ifade eder. Hepsinin aynı anda her denklemin kaydına dahil edilmesi gerekmez; en az bir denklemde bulunmaları yeterlidir. Örneğin, x, y ve z olmak üzere üç değişkenli bir denklem sistemidir. İlk denklemde x değişkeni açıkça mevcut, y ve z örtülü (bu değişkenlerin sıfıra sahip olduğunu varsayabiliriz), ikinci denklemde ise x ve z var, ancak y değişkeni açıkça sunulmuyor. Başka bir deyişle, ilk denklem şu şekilde görülebilir: , ve ikincisi – x+0·y−3·z=0 olarak.

Denklem sistemlerinin farklılık gösterdiği üçüncü nokta denklemlerin türüdür.

Okulda denklem sistemlerinin incelenmesi şu şekilde başlar: iki değişkenli iki doğrusal denklem sistemi. Yani bu tür sistemler iki doğrusal denklem oluşturur. Burada bir çift örnek var: Ve . Denklem sistemleriyle çalışmanın temellerini öğrenirler.

Daha karmaşık problemleri çözerken, üç bilinmeyenli üç doğrusal denklem sistemiyle de karşılaşabilirsiniz.

9. sınıfta ayrıca, iki değişkenli iki denklem sistemlerine, çoğunlukla ikinci dereceden denklemlerin tamamı, daha az sıklıkla - daha fazla doğrusal olmayan denklemler eklenir. yüksek dereceler. Bu sistemlere doğrusal olmayan denklem sistemleri adı verilir; gerekirse denklemlerin ve bilinmeyenlerin sayısı belirtilir. Bu tür doğrusal olmayan denklem sistemlerine örnekler gösterelim: Ve .

Ve ayrıca sistemlerde örneğin . Hangi denklemlerin olduğu belirtilmeden genellikle basit denklem sistemleri olarak adlandırılırlar. Burada, çoğu zaman bir denklem sisteminin basitçe "denklem sistemi" olarak anıldığını ve açıklamaların yalnızca gerektiğinde eklendiğini belirtmekte fayda var.

Lisede materyal incelenirken irrasyonel, trigonometrik, logaritmik ve üstel denklemler : , , .

Üniversitenin birinci sınıf müfredatına daha da derinlemesine bakarsak, asıl vurgu, doğrusal cebirsel denklem sistemlerinin (SLAE'ler), yani sol taraflarında birinci dereceden polinomlar içeren denklemlerin incelenmesi ve çözümü üzerinedir. ve sağ taraflarda belirli sayılar bulunur. Ancak orada, okuldan farklı olarak, artık iki değişkenli iki doğrusal denklem değil, keyfi sayıda değişkenli, çoğu zaman denklem sayısıyla çakışmayan rastgele sayıda denklem alıyorlar.

Bir denklem sisteminin çözümü nedir?

“Denklem sisteminin çözümü” terimi doğrudan denklem sistemlerini ifade eder. Okulda iki değişkenli bir denklem sistemini çözmenin tanımı verilmektedir. :

Tanım.

İki değişkenli bir denklem sistemini çözme sistemin her denklemini doğruya çeviren, diğer bir deyişle sistemin her denkleminin çözümü olan bu değişkenlerin değer çiftine denir.

Örneğin, x=5, y=2 değişken değerleri çifti ((5, 2) olarak yazılabilir), tanım gereği bir denklem sisteminin çözümüdür, çünkü sistemin denklemleri x= olduğunda 5, y=2 yerine konulursa sırasıyla 5+2=7 ve 5−2=3 doğru sayısal eşitliklere dönüşür. Ancak x=3, y=0 değer çifti bu sistem için bir çözüm değildir, çünkü bu değerleri denklemlerde yerine koyarken bunlardan ilki yanlış 3+0=7 eşitliğine dönüşecektir.

Benzer tanımlar tek değişkenli sistemler için olduğu gibi üç, dört vb. değişkenli sistemler için de formüle edilebilir. değişkenler.

Tanım.

Tek değişkenli denklem sistemini çözme sistemin tüm denklemlerinin kökü olan, yani tüm denklemleri doğru sayısal eşitliğe dönüştüren değişkenin bir değeri olacaktır.

Bir örnek verelim. t şeklinde tek değişkenli bir denklem sistemi düşünün . Hem (−2) 2 =4 hem de 5·(−2+2)=0 gerçek sayısal eşitlikler olduğundan, −2 sayısı bunun çözümüdür. Ve t=1 sistemin bir çözümü değildir, çünkü bu değerin yerine koymak iki yanlış eşitlik verecektir: 1 2 =4 ve 5·(1+2)=0.

Tanım.

Üçlü, dörtlü vb. bir sistemi çözme. değişkenlerüç, dört vb. denir. değişkenlerin değerleri sırasıyla sistemin tüm denklemlerini gerçek eşitliklere dönüştürür.

Yani tanım gereği x=1, y=2, z=0 değişkenlerinin değerlerinin üçlüsü sistemin bir çözümüdür 2·1=2, 5·2=10 ve 1+2+0=3 gerçek sayısal eşitlikler olduğundan. Ve (1, 0, 5) bu sistemin çözümü değildir, çünkü değişkenlerin bu değerleri sistem denklemlerinde yerine konulduğunda ikincisi yanlış 5·0=10 eşitliğine dönüşür ve üçüncüsü yanlış eşitliğe dönüşür. da 1+0+5=3.

Denklem sistemlerinin çözümleri olmayabilir, sonlu sayıda çözümü olabilir, örneğin bir, iki, ... veya sonsuz sayıda çözümü olabilir. Konuyu derinlemesine incelediğinizde bunu göreceksiniz.

Bir denklem sisteminin tanımlarını ve çözümlerini dikkate alarak, bir denklem sisteminin çözümünün, tüm denklemlerin çözüm kümelerinin kesişimi olduğu sonucuna varabiliriz.

Sonuç olarak, ilgili birkaç tanımı burada bulabilirsiniz:

Tanım.

ortak olmayanÇözümü yoksa sistem çağrılır eklem yeri.

Tanım.

Denklem sisteminin adı belirsiz sonsuz sayıda çözümü varsa ve kesin Sonlu sayıda çözümü varsa veya hiç yoksa.

Bu terimler, örneğin bir ders kitabında tanıtılmaktadır, ancak okulda oldukça nadiren kullanılırlar; yüksek öğretim kurumlarında daha sık duyulurlar.

Kaynakça.

1. Cebir: ders kitabı 7. sınıf için Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 17. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 240 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. Cebir: 9. sınıf: eğitici. genel eğitim için kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2009. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkoviç A.G. Cebir. 7. sınıf. Saat 14.00'te 1. Bölüm: Öğrenciler için ders kitabı Eğitim Kurumları/ A. G. Mordkovich. - 17. baskı, ekleyin. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: hasta. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Mordkoviç A.G. Cebir. 9. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Mordkoviç A.G. Cebir ve başlangıçlar matematiksel analiz. Derece 11. Saat 14.00'te 1. Bölüm. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı ( profil düzeyi) / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - 2. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Cebir ve analizin başlangıcı: Proc. 10-11 sınıflar için. Genel Eğitim kurumlar / A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn ve diğerleri; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. baskı - M.: Eğitim, 2004. - 384 s.: hasta - ISBN 5-09-013651-3.
7. A. G. Kurosh. Yüksek cebir dersi.
8. Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analitik geometri: Ders Kitabı: Üniversiteler için. – 5. baskı. – M.: Bilim. Fizmatlit, 1999. – 224 s. – (Yüksek matematik ve matematiksel fizik dersi). – ISBN 5-02-015234 – X (Sayı 3)

Denklem sistemleri ekonomik sektörde çeşitli süreçlerin matematiksel modellemesi için yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, üretim yönetimi ve planlaması, lojistik rotaları (nakliye sorunu) veya ekipman yerleşimi sorunlarını çözerken.

Denklem sistemleri sadece matematikte değil aynı zamanda fizik, kimya ve biyolojide de popülasyon büyüklüğünü bulma problemlerini çözerken kullanılır.

Doğrusal denklem sistemi, ortak bir çözüm bulmanın gerekli olduğu, birkaç değişkenli iki veya daha fazla denklemden oluşur. Tüm denklemlerin gerçek eşitlik haline geldiği veya bu dizinin var olmadığını kanıtlayan böyle bir sayı dizisi.

Doğrusal Denklem

ax+by=c formundaki denklemlere doğrusal denir. X, y isimleri değeri bulunması gereken bilinmeyenlerdir, b, a değişkenlerin katsayılarıdır, c denklemin serbest terimidir.
Bir denklemi çizerek çözmek, tüm noktaları polinomun çözümü olan düz bir çizgi gibi görünecektir.

Doğrusal denklem sistemi türleri

En basit örneklerin iki değişkeni X ve Y olan doğrusal denklem sistemleri olduğu kabul edilir.

F1(x, y) = 0 ve F2(x, y) = 0, burada F1,2 fonksiyonlar ve (x, y) fonksiyon değişkenleridir.

Denklem sistemini çözme - bu, sistemin gerçek eşitliğe dönüştüğü (x, y) değerlerini bulmak veya uygun x ve y değerlerinin bulunmadığını tespit etmek anlamına gelir.

Bir noktanın koordinatları olarak yazılan (x, y) değer çiftine doğrusal denklem sisteminin çözümü denir.

Sistemlerin tek bir ortak çözümü varsa veya çözümü yoksa bunlara eşdeğer denir.

Homojen doğrusal denklem sistemleri, sağ tarafı sıfıra eşit olan sistemlerdir. Eşittir işaretinden sonraki sağ kısım bir değere sahipse veya bir fonksiyonla ifade ediliyorsa böyle bir sistem heterojendir.

Değişken sayısı ikiden çok daha fazla olabiliyorsa, üç veya daha fazla değişkenli bir doğrusal denklem sistemi örneğinden bahsetmemiz gerekir.

Sistemlerle karşı karşıya kaldıklarında okul çocukları, denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısıyla mutlaka örtüşmesi gerektiğini varsayarlar, ancak durum böyle değildir. Sistemdeki denklem sayısı değişkenlere bağlı değildir; istenilen sayıda olabilir.

Denklem sistemlerini çözmek için basit ve karmaşık yöntemler

Bu tür sistemlerin çözümü için genel bir analitik yöntem yoktur; tüm yöntemler sayısal çözümlere dayanmaktadır. Okul matematik dersinde permütasyon, cebirsel toplama, ikame gibi yöntemlerin yanı sıra grafik ve matris yöntemleri, Gauss yöntemiyle çözüm ayrıntılı olarak açıklanmaktadır.

Çözüm yöntemlerini öğretirken asıl görev, sistemin nasıl doğru bir şekilde analiz edileceğini ve her örnek için en uygun çözüm algoritmasının nasıl bulunacağını öğretmektir. Önemli olan, her yöntem için bir kurallar ve eylemler sistemini ezberlemek değil, belirli bir yöntemi kullanmanın ilkelerini anlamaktır.

7. sınıf programının doğrusal denklem sistemleri örneklerini çözme ortaokul oldukça basit ve detaylı bir şekilde anlatılmış. Herhangi bir matematik ders kitabında bu bölüme yeterince önem verilmektedir. Doğrusal denklem sistemi örneklerinin Gauss ve Cramer yöntemiyle çözülmesi yükseköğretimin ilk yıllarında daha ayrıntılı olarak işlenir.

Yerine koyma yöntemini kullanarak sistemleri çözme

İkame yönteminin eylemleri, bir değişkenin değerini ikinciye göre ifade etmeyi amaçlamaktadır. İfade kalan denklemde yerine konulur, daha sonra tek değişkenli bir forma indirgenir. Sistemdeki bilinmeyenlerin sayısına bağlı olarak eylem tekrarlanır.

Değiştirme yöntemini kullanarak sınıf 7'nin bir doğrusal denklem sistemi örneğine bir çözüm verelim:

Örnekte görüldüğü gibi x değişkeni F(X) = 7 + Y şeklinde ifade edilmiştir. Sonuçta sistemin 2. denkleminde X yerine yazılan ifade, 2. denklemde bir Y değişkeninin elde edilmesine yardımcı olmuştur. . Bu örneği çözmek kolaydır ve Y değerini elde etmenizi sağlar.Son adım, elde edilen değerleri kontrol etmektir.

Bir doğrusal denklem sistemi örneğini ikame yoluyla çözmek her zaman mümkün değildir. Denklemler karmaşık olabilir ve değişkeni ikinci bilinmeyen cinsinden ifade etmek daha sonraki hesaplamalar için çok zahmetli olacaktır. Sistemde 3'ten fazla bilinmeyen olduğunda yerine koyma yöntemiyle çözüm yapılması da uygun değildir.

Doğrusal homojen olmayan denklemler sisteminin bir örneğinin çözümü:

Cebirsel toplama kullanarak çözüm

Toplama yöntemini kullanarak sistemlere çözüm ararken denklemler terim terim toplanır ve çeşitli sayılarla çarpılır. Matematiksel işlemlerin nihai amacı tek değişkenli bir denklemdir.

Bu yöntemin uygulanması pratik ve gözlem gerektirir. 3 veya daha fazla değişkenin olduğu bir doğrusal denklem sistemini toplama yöntemini kullanarak çözmek kolay değildir. Cebirsel toplama, denklemler kesirler ve ondalık sayılar içerdiğinde kullanışlıdır.

Çözüm algoritması:

1. Denklemin her iki tarafını da belirli bir sayıyla çarpın. Sonuç olarak aritmetik eylem Değişkenin katsayılarından birinin 1'e eşit olması gerekir.
2. Ortaya çıkan ifadeyi terim terim toplayın ve bilinmeyenlerden birini bulun.
3. Kalan değişkeni bulmak için elde edilen değeri sistemin 2. denkleminde değiştirin.

Yeni bir değişken getirerek çözüm yöntemi

Sistem ikiden fazla denklem için bir çözüm bulmayı gerektirmiyorsa yeni bir değişken eklenebilir; bilinmeyenlerin sayısı da ikiden fazla olmamalıdır.

Yöntem, yeni bir değişken ekleyerek denklemlerden birini basitleştirmek için kullanılır. Yeni denklem, tanıtılan bilinmeyen için çözülür ve elde edilen değer, orijinal değişkeni belirlemek için kullanılır.

Örnek, yeni bir t değişkeni ekleyerek sistemin 1. denklemini standart denkleme düşürmenin mümkün olduğunu gösteriyor ikinci dereceden üç terimli. Bir polinomu diskriminantını bularak çözebilirsiniz.

Diskriminantın değerini iyi bilinen formülü kullanarak bulmak gerekir: D = b2 - 4*a*c, burada D istenen diskriminanttır, b, a, c polinomun faktörleridir. Verilen örnekte a=1, b=16, c=39, dolayısıyla D=100. Diskriminant sıfırdan büyükse iki çözüm vardır: t = -b±√D / 2*a, diskriminant sıfırdan küçükse tek çözüm vardır: x = -b / 2*a.

Ortaya çıkan sistemlerin çözümü toplama yöntemiyle bulunur.

Sistemleri çözmek için görsel yöntem

3 denklem sistemine uygundur. Yöntem, sisteme dahil edilen her denklemin koordinat ekseninde grafiğinin oluşturulmasından oluşur. Eğrilerin kesişme noktalarının koordinatları ve genel karar sistemler.

Grafik yönteminin bir takım nüansları vardır. Doğrusal denklem sistemlerini görsel olarak çözmenin birkaç örneğine bakalım.

Örnekten görülebileceği gibi, her çizgi için iki nokta oluşturuldu, x değişkeninin değerleri keyfi olarak seçildi: 0 ve 3. X değerlerine göre y değerleri bulundu: 3 ve 0. Grafikte koordinatları (0, 3) ve (3, 0) olan noktalar işaretlendi ve bir çizgiyle birbirine bağlandı.

İkinci denklem için adımların tekrarlanması gerekir. Doğruların kesişme noktası sistemin çözümüdür.

Aşağıdaki örnek bulmayı gerektirir grafik çözümü doğrusal denklem sistemleri: 0,5x-y+2=0 ve 0,5x-y-1=0.

Örnekte görüldüğü gibi grafiklerin paralel olması ve tüm uzunlukları boyunca kesişmemesi nedeniyle sistemin çözümü yoktur.

Örnek 2 ve 3'teki sistemler benzerdir ancak oluşturulduklarında çözümlerinin farklı olduğu aşikar hale gelir. Unutulmamalıdır ki bir sistemin çözümü olup olmadığını söylemek her zaman mümkün değildir; her zaman bir grafik oluşturmak gerekir.

Matris ve çeşitleri

Matrisler, bir doğrusal denklem sistemini kısaca yazmak için kullanılır. Matris sayılarla dolu özel bir tablo türüdür. n*m'de n satır ve m sütun bulunur.

Sütun ve satır sayıları eşit olduğunda bir matris karedir. Matris vektörü, sonsuz sayıda satır içeren bir sütunun matrisidir. Köşegenlerinden biri boyunca birler ve diğer sıfır elemanları olan bir matrise birim denir.

Ters matris, çarpıldığında orijinalin birim matrise dönüştüğü bir matristir; böyle bir matris yalnızca orijinal kare olan için mevcuttur.

Bir denklem sistemini matrise dönüştürme kuralları

Denklem sistemleriyle ilgili olarak denklemlerin katsayıları ve serbest terimleri matris sayıları olarak yazılır; bir denklem matrisin bir satırıdır.

Satırın en az bir elemanı sıfır değilse, matris satırının sıfırdan farklı olduğu söylenir. Bu nedenle denklemlerden herhangi birinde değişken sayısı farklıysa eksik bilinmeyenin yerine sıfır girilmesi gerekir.

Matris sütunları değişkenlere tam olarak karşılık gelmelidir. Bu, x değişkeninin katsayılarının yalnızca bir sütuna yazılabildiği anlamına gelir; örneğin birincisi, bilinmeyen y'nin katsayısı - yalnızca ikincisinde.

Bir matris çarpılırken matrisin tüm elemanları sırayla bir sayıyla çarpılır.

Ters matrisi bulma seçenekleri

Ters matrisi bulma formülü oldukça basittir: K -1 = 1 / |K|, burada K -1 ters matristir ve |K| matrisin determinantıdır. |K| sıfıra eşit olmaması durumunda sistemin bir çözümü vardır.

Determinant ikiye iki matris için kolayca hesaplanır; sadece köşegen elemanları birbirleriyle çarpmanız yeterlidir. “Üçe üç” seçeneği için |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c formülü vardır. 3 + a 3 b 2 c 1 . Formülü kullanabilir veya çalışmadaki sütun ve satır sayılarının tekrarlanmaması için her satırdan ve her sütundan bir öğe almanız gerektiğini hatırlayabilirsiniz.

Matris yöntemini kullanarak doğrusal denklem sistemi örneklerini çözme

Bir çözüm bulmanın matris yöntemi, çok sayıda değişken ve denklem içeren sistemleri çözerken hantal girişleri azaltmanıza olanak tanır.

Örnekte, bir nm denklemlerin katsayılarıdır, matris bir x n vektörüdür ve değişkenlerdir ve b n serbest terimlerdir.

Gauss yöntemini kullanarak sistemleri çözme

İÇİNDE yüksek Matematik Gauss yöntemi Cramer yöntemi ile birlikte çalışılmakta olup sistemlere çözüm bulma sürecine Gauss-Cramer çözüm yöntemi adı verilmektedir. Bu yöntemler çok sayıda doğrusal denklem içeren sistemlerin değişkenlerini bulmak için kullanılır.

Gauss yöntemi, ikame ve cebirsel toplama yoluyla çözümlere çok benzer, ancak daha sistematiktir. Okul dersinde 3 ve 4 denklemli sistemler için Gauss yöntemiyle çözüm kullanılır. Yöntemin amacı sistemi ters yamuk formuna indirgemektir. Cebirsel dönüşümler ve ikameler yoluyla sistemin denklemlerinden birinde bir değişkenin değeri bulunur. İkinci denklem 2 bilinmeyenli, 3 ve 4 ise sırasıyla 3 ve 4 değişkenli bir ifadedir.

Sistemi tarif edilen forma getirdikten sonra, diğer çözüm, bilinen değişkenlerin sistem denklemlerinde sıralı olarak yer değiştirmesine indirgenir.

7. sınıf okul ders kitaplarında Gauss yöntemine göre bir çözüm örneği şu şekilde açıklanmaktadır:

Örnekten görülebileceği gibi (3) adımında iki denklem elde edildi: 3x 3 -2x 4 =11 ve 3x 3 +2x 4 =7. Denklemlerden herhangi birini çözmek, x n değişkenlerinden birini bulmanızı sağlayacaktır.

Metinde bahsedilen Teorem 5, sistemin denklemlerinden birinin eşdeğeri ile değiştirilmesi durumunda ortaya çıkan sistemin de orijinaline eşdeğer olacağını belirtmektedir.

Gauss yöntemini öğrencilerin anlaması zordur lise, ama en çok biri ilginç yollar matematik ve fizik derslerinde ileri düzey çalışma programlarına kayıtlı çocukların yaratıcılıklarını geliştirmek.

Kayıt kolaylığı için hesaplamalar genellikle şu şekilde yapılır:

Denklemlerin ve serbest terimlerin katsayıları, matrisin her satırının sistemin denklemlerinden birine karşılık geldiği bir matris biçiminde yazılır. Denklemin sol tarafını sağdan ayırır. Romen rakamları sistemdeki denklemlerin sayısını gösterir.

Önce üzerinde çalışılacak matrisi, ardından satırlardan birinde gerçekleştirilen tüm eylemleri yazın. Ortaya çıkan matris “ok” işaretinden sonra yazılır ve sonuç elde edilene kadar gerekli cebirsel işlemlere devam edilir.

Sonuç, köşegenlerden birinin 1'e eşit olduğu ve diğer tüm katsayıların sıfıra eşit olduğu, yani matrisin birim forma indirgendiği bir matris olmalıdır. Denklemin her iki tarafındaki sayılarla hesaplama yapmayı unutmamalıyız.

Bu kayıt yöntemi daha az hantaldır ve çok sayıda bilinmeyeni listeleyerek dikkatinizin dağılmasına izin vermez.

Herhangi bir çözüm yönteminin serbestçe kullanılması dikkat ve biraz deneyim gerektirecektir. Yöntemlerin tümü uygulamalı nitelikte değildir. Bazı çözüm bulma yöntemleri, belirli bir insan faaliyeti alanında daha çok tercih edilirken, diğerleri eğitim amaçlıdır.