GirişRasyonel sayılarla aritmetik işlemlerin özellikleri. "rasyonel sayılarla yapılan işlemler"
Bu dersimizde sayılarla yapılan eylemlerin temel özelliklerini hatırlayacağız. Sadece temel özellikleri tekrarlamakla kalmayacak, aynı zamanda rasyonel sayılara nasıl uygulanacağını da öğreneceğiz. Örnekleri çözerek edindiğimiz tüm bilgileri pekiştireceğiz.
Sayılarla eylemlerin temel özellikleri:
İlk iki özellik toplama özellikleri, sonraki ikisi çarpma özellikleridir. Beşinci özellik her iki işlem için de geçerlidir.
Bu özelliklerde yeni bir şey yok. Hem doğal hem de tamsayılar için geçerliydiler. Onlar için de doğrudur rasyonel sayılar ve daha fazla çalışacağımız sayılar için doğru olacaktır (örneğin, irrasyonel).
Permütasyon özellikleri:
Terimlerin veya faktörlerin yeniden düzenlenmesinden sonuç değişmez.
Kombinasyon özellikleri:, .
Birden çok sayıyı herhangi bir sırayla toplama veya çarpma işlemi yapılabilir.
Dağıtım özelliği:.
Özellik her iki işlemi de birbirine bağlar - toplama ve çarpma. Ayrıca soldan sağa doğru okunursa parantez açma kuralı, ters yönde okunursa parantezden ortak çarpanı çıkarma kuralı denir.
Sonraki iki özellik açıklanır nötr elemanlar toplama ve çarpma için: sıfır eklemek ve bir ile çarpmak orijinal sayıyı değiştirmez.
tanımlayan iki özellik daha simetrik elemanlar toplama ve çarpma için zıt sayıların toplamı sıfırdır; karşılıklıların ürünü bire eşittir.
Sonraki özellik: . Bir sayı sıfırla çarpılırsa sonuç her zaman sıfır olur.
Bakacağımız son özellik .
Bir sayıyı ile çarparsak zıt sayıyı elde ederiz. Bu özelliğin bir özelliği vardır. Göz önünde bulundurulan diğer tüm özellikler, geri kalanı kullanılarak kanıtlanamadı. Aynı özellik, öncekiler kullanılarak kanıtlanabilir.
çarpma
Bir sayı ile çarparsak tam tersini elde ederiz. Bunun için dağıtım özelliğini kullanıyoruz: .
Her sayı için doğrudur. Sayı yerine değiştirin ve:
Parantez içinde solda, karşılıklı olarak zıt sayıların toplamıdır. Toplamları sıfırdır (böyle bir özelliğimiz var). Şimdi sola. Sağ tarafta şunları elde ederiz: 
.
Şimdi solda sıfır, sağda iki sayının toplamı var. Ancak iki sayının toplamı sıfır ise bu sayılar birbirinin tersidir. Ancak sayının yalnızca bir zıt numarası vardır: . Yani - bu: .
Mülkiyet kanıtlanmıştır.
Önceki özellikler kullanılarak ispatlanabilen böyle bir özelliğe denir. teorem
Burada neden çıkarma ve bölme özellikleri yok? Örneğin, çıkarma için dağılma özelliği yazılabilir: .
Ama beri:
- herhangi bir sayının çıkarılması, sayının tersiyle değiştirilerek, toplama olarak eşdeğer olarak yazılabilir:
- bölme, bir sayının tersi ile çarpma olarak yazılabilir:
Bu, toplama ve çarpma özelliklerinin çıkarma ve bölmeye uygulanabileceği anlamına gelir. Sonuç olarak, hatırlanması gereken özelliklerin listesi daha kısadır.
Ele aldığımız tüm özellikler, yalnızca rasyonel sayıların özellikleri değildir. Tüm bu kurallar, örneğin irrasyonel olanlar gibi diğer sayılara tabidir. Örneğin, toplam ve zıt sayı sıfıra eşittir:.
Şimdi pratik kısma geçeceğiz, birkaç örnek çözeceğiz.
hayatta rasyonel sayılar
Nesnelerin niceliksel olarak tanımlayabildiğimiz, bir sayı ile ifade edebildiğimiz özelliklerine denir. miktarları: uzunluk, ağırlık, sıcaklık, miktar.
Bir ve aynı değer, hem bir tamsayı hem de bir kesirli sayı, pozitif veya negatif olarak gösterilebilir.
Örneğin, boyunuz m - kesirli sayı. Ancak bunun cm'ye eşit olduğunu söyleyebilirsiniz - bu zaten bir tam sayıdır (Şekil 1).
Pirinç. 1. Örnek resim
Bir örnek daha. negatif sıcaklık Celsius ölçeğinde Kelvin ölçeğinde pozitif olacaktır (Şekil 2).
Pirinç. 2. Örneğin çizim
Bir ev duvarı inşa ederken, bir kişi genişlik ve yüksekliği metre cinsinden ölçebilir. Kesirli değerler üretir. Diğer tüm hesaplamaları kesirli (rasyonel) sayılarla yapacaktır. Başka bir kişi, tuğla sayısındaki her şeyi genişlik ve yükseklikte ölçebilir. Sadece tamsayı değerleri aldıktan sonra, tamsayılarla hesaplamalar yapacaktır.
Değerlerin kendisi ne tam, ne kesirli, ne negatif ne de pozitiftir. Ancak bir miktarın değerini tanımladığımız sayı zaten oldukça spesifiktir (örneğin, negatif ve kesirli). Ölçüm ölçeğine bağlıdır. Ve gerçek değerlerden matematiksel bir modele geçtiğimizde, belirli bir sayı türüyle çalışıyoruz.
Ekleme ile başlayalım. Terimler istediğimiz gibi yeniden düzenlenebilir ve eylemler herhangi bir sırayla gerçekleştirilebilir. Farklı işaretlerin terimleri bir basamakla bitiyorsa, önce onlarla işlem yapmak uygundur. Bunu yapmak için terimleri değiştiririz. Örneğin:
Ortak kesirler aynı paydalar katlanması kolay.
Zıt sayıların toplamı sıfırdır. Aynı ondalık "kuyruğa" sahip sayıların çıkarılması kolaydır. Bu özelliklerin yanı sıra değişmeli toplama yasasını kullanarak, örneğin aşağıdaki ifade gibi bir değerin hesaplanmasını kolaylaştırmak mümkündür:
Tamamlayıcı ondalık kuyruklu sayılar kolayca toplanır. Tam ve kesirli parçalarla karışık sayılar ayrı çalışmak için uygun. Aşağıdaki ifadenin değerini değerlendirirken bu özellikleri kullanırız:
Çarpma işlemine geçelim. Çarpması kolay sayı çiftleri vardır. Değişmeli özelliği kullanarak, faktörleri yan yana olacak şekilde yeniden düzenleyebilirsiniz. Üründeki eksilerin sayısı hemen hesaplanabilir ve sonucun işareti hakkında bir sonuca varılabilir.
Bu örneği düşünün:
Faktörlerden ise sıfır, o zaman ürün sıfıra eşittir, örneğin: .
Karşılıklı sayıların çarpımı bire eşittir ve bir ile çarpma, ürünün değerini değiştirmez. Bu örneği düşünün:
Dağılma özelliğini kullanan bir örnek düşünün. Parantezleri açarsanız, her çarpma işlemi kolayca yapılır.
Badamshi orta okulu №2
matematik
6. sınıfta
"Rasyonel sayılarla işlemler"
tedarikli
matematik öğretmeni
Babenko Larisa Grigoryevna
ile. Badamşa
2014
Ders konusu:« Rasyonel sayılarla işlemler».
ders türü :
Bilginin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi dersi.
Dersin Hedefleri:
eğitici:
Öğrencilerin pozitif ve negatif sayılarla ilgili eylem kuralları hakkındaki bilgilerini genelleştirin ve sistematize edin;
Alıştırma yapma sürecinde kuralları uygulama becerisini pekiştirmek;
Bağımsız çalışma için beceriler geliştirin;
gelişmekte:
Geliştirmek mantıksal düşünme, matematiksel konuşma, hesaplama becerileri; - edinilen bilgileri uygulamalı problemlerin çözümüne uygulama becerisini geliştirmek; - genişleyen ufuklar;
eğitimciler:
yetiştirme bilişsel ilgi konuya.
Teçhizat:
Her öğrenci için görev metinleri, ödevler içeren sayfalar;
Matematik. 6. sınıf için ders kitabı Eğitim Kurumları/
N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd. - M., 2010.
Ders planı:
Organizasyon zamanı.
sözlü çalışmak
Sayılarda toplama ve çıkarma kurallarının tekrarı farklı işaretler. Bilgi güncellemesi.
Ders kitabındaki görevleri çözme
Test uygulaması
Dersi özetlemek. ödev ayarlama
Refleks
Dersler sırasında
Organizasyon zamanı.
Öğretmen ve öğrencileri selamlıyorum.
Ders konusunun sunumu, derste çalışma planı.
Bugün alışılmadık bir dersimiz var. Bu dersimizde rasyonel sayılarla işlemlerin tüm kurallarını ve toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini yapabilme becerisini hatırlayacağız.
Dersimizin sloganı bir Çin benzetmesi olacak:
“Söyle bana unutayım;
Bana göster ve hatırlayacağım;
Bırak yapayım, anlayacağım"
Sizi bir yolculuğa davet etmek istiyorum.
Güneşin doğuşunun açıkça görülebildiği alanın ortasında, dar, ıssız bir ülke uzanıyordu - bir sayı çizgisi. Nerede başladığını kimse bilmiyor ve kimse nerede bittiğini bilmiyor. Ve bu ülkeye ilk yerleşenler tam sayılar. Doğal sayılar nedir ve nasıl temsil edilir?
Cevap:
1, 2, 3, 4,….. sayıları nesneleri saymak veya belirtmek için kullanılır seri numarası homojen nesneler arasında bir veya başka bir nesnenin doğal denir (N ).
sözlü sayma
88-19 72:8 200-60
Cevaplar: 134; 61; 2180.
Sonsuz sayıda vardı, ancak ülke, genişliği küçük olmasına rağmen, sonsuz uzunluktaydı, böylece her şey birden sonsuza kadar uyuyor ve ilk durumu, bir dizi doğal sayıyı oluşturuyordu.
Bir görev üzerinde çalışmak.
Ülke olağanüstü güzeldi. Kendi topraklarında muhteşem bahçeler bulunuyordu. Bunlar kiraz, elma, şeftali. Bunlardan biri şimdi bir göz atacağız.
Kirazda her üç günde bir yüzde 20 daha fazla olgun kiraz bulunur. Gözlemin başında 250 olgun kiraz varsa, bu kiraz 9 günde kaç olgun meyveye sahip olur?
Cevap: 9 günde (300; 360; 432) 432 olgun meyve bu kirazın üzerinde olacaktır.
İlk devletin topraklarına bazı yeni sayılar yerleşmeye başladı ve bu sayılar doğal sayılarla birlikte yeni bir devlet oluşturdu, görevi çözerek hangisi olduğunu bulacağız.
Öğrencilerin masalarında iki sayfa var:
1. Hesaplayın:
1)-48+53 2)45-(-23) 3)-7,5:(-0,5) 4)-4x(-15)
1)56:(-8) 2)-3,3-4,7 3)-5,6:(-0,1) 4)9-12
1) 48-54 2) 37-(-37) 3) -52.7+42,7 4) -6x1/3
1) -12x (-6) 2) -90: (-15) 3) -25 + 45 4) 6 - (-10)
Egzersiz yapmak: Ellerinizi tüm doğal sayılardan çekmeden ardışık olarak bağlayın ve ortaya çıkan harfi adlandırın.
Testin cevapları:
5 68 15 60
72 6 20 16
Soru: Bu işaret ne anlama geliyor? Hangi sayılara tamsayı denir?
Cevaplar: 1) Sola, ilk devletin topraklarından 0 sayısı yerleşti, soluna -1, hatta soluna -2 vb. sonsuzluğa. Doğal sayılarla birlikte, bu sayılar yeni bir genişletilmiş durum olan tam sayılar kümesini oluşturdu.
2) Doğal sayılara, onların zıt sayılarına ve sıfıra tam sayılar denir ( Z ).
Öğrenilenlerin tekrarı.
1) Masalımızın bir sonraki sayfası büyülüdür. Büyüsünü bozacağız, hataları düzelteceğiz.
27 · 4 0 -27 = 27 0 · (-27) = 0
63 3 0 · 40 (-6) · (-6) -625 124
50 · 8 27 -18: (-2)
Yanıtlar:
-27 4 27 0 (-27) = 0
-50 8 4 -36: 6
2) Hikayeyi dinlemeye devam ediyoruz.
Üzerinde boş yerler sayı doğrusunda onlara 2/5 kesirler eklendi; -4/5; 3.6; −2,2;… Kesirler, ilk yerleşenlerle birlikte, rasyonel sayılar kümesinin başka bir genişletilmiş durumunu oluşturdu. ( Q)
1) Hangi sayılara rasyonel denir?
2) Herhangi bir tam sayı, ondalık kesir, rasyonel sayı mıdır?
3) Herhangi bir tam sayının, herhangi bir ondalık kesrin rasyonel sayı olduğunu gösterin.
Tahtadaki görev: 8; 3 ; -6; - ; - 4,2; – 7,36; 0; .
Yanıtlar:
1) Oran olarak yazılabilen bir sayı a bir tam sayı ve p doğal sayı olmak üzere rasyonel sayı olarak adlandırılır. .
2) Evet.
3) .
Artık tam ve kesirli, pozitif ve negatif sayılar, üstelik sayı sıfırdır. Bütün bu sayılara rasyonel denir, bu da Rusça'ya çevrildiğinde " aklın emrinde."
Rasyonel sayılar
pozitif sıfır negatif
tamsayı kesirli tamsayı kesirli
Gelecekte matematiği (sadece matematiği değil) başarılı bir şekilde çalışmak için kuralları iyi bilmeniz gerekir. Aritmetik işlemler işaret kuralları da dahil olmak üzere rasyonel sayılarla. Ve onlar çok farklı! Bir süre kafan karışsın.
Fizkultminutka.
Dinamik duraklama.
Öğretmen: Her işin bir molaya ihtiyacı vardır. Hadi dinlenelim!
Bazı kurtarma egzersizleri yapalım:
1) Bir, iki, üç, dört, beş -
Bir kere! Kalk, yukarı çek
İki! eğilmek, eğilmek,
Üç! Ellerinde üç alkış
Üç kafa sallıyor.
Dört - kollar daha geniş.
Beş - ellerini salla. Altı - masada sessizce oturun.
(Çocuklar metnin içeriğine göre öğretmeni takip ederler.)
2) Hızlıca göz kırpın, gözlerinizi kapatın ve beşe kadar sayarak bu şekilde oturun. 5 kez tekrarlayın.
3) Gözlerinizi sıkıca kapatın, üçe kadar sayın, açın ve beşe kadar sayarak mesafeye bakın. 5 kez tekrarlayın.
Tarihi sayfa.
Hayatta, bir peri masalında olduğu gibi, insanlar yavaş yavaş rasyonel sayıları "keşfetti". İlk başta, nesneleri sayarken doğal sayılar ortaya çıktı. İlk başta, bunlardan birkaçı vardı. İlk başta sadece 1 ve 2 sayıları ortaya çıktı. "Solist", "güneş", "dayanışma" kelimeleri Latince "solus" (bir) kelimesinden gelir. Birçok kabilede başka rakamlar yoktu. "3" yerine "bir-iki" dediler, "4" - "iki-iki" yerine. Ve böylece altıya kadar. Ve sonra çok şey vardı. İnsanlar ganimeti bölerken, miktarları ölçerken kesirlerle karşılaşıyorlardı. Kesirlerle işlemleri kolaylaştırmak için icat edildi ondalık sayılar. Avrupa'da, 1585'te Hollandalı bir matematikçi tarafından tanıtıldılar.
denklem çalışması
Bir matematikçinin soyadını, denklemleri çözerek ve koordinat çizgisi boyunca verilen koordinata karşılık gelen harfi bularak öğreneceksiniz.
1) -2.5 + x \u003d 3.5 2) -0.3 x \u003d 0.6 3) y - 3.4 \u003d -7.4
4) - 0.8: x \u003d -0.4 5) a (-8) \u003d 0 6)m + (- )=
E A T M I O V R N U S
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Yanıtlar:
6 (C) 4)2 (B)
-2 (T) 5) 0 (I)
-4(E) 6)4(H)
STEVIN - Hollandalı matematikçi ve mühendis (Simon Stevin)
Tarihi sayfa.
Öğretmen:
Bilimin gelişiminde geçmişi bilmeden bugününü anlamak mümkün değildir. İnsanlar, çağımızdan önce bile negatif sayılarla eylemler yapmayı öğrendiler. Hintli matematikçiler, pozitif sayıları "özellikler" ve negatif sayıları "borçlar" olarak düşündüler. Hintli matematikçi Brahmagupta (7. yüzyıl), pozitif ve negatif sayılarla işlem yapmak için bazı kuralları şöyle özetledi:
"İki mülkün toplamı mülktür"
"İki borcun toplamı bir borçtur"
"Mal ve borcun toplamı, aralarındaki farka eşittir",
“İki mülkün veya iki borcun ürünü mülktür”, “Mülkiyet ve borcun ürünü borçtur”.
Beyler, lütfen eski Hint kurallarını modern dile çevirin.
Öğretmenin mesajı:
Güneşsiz dünyada sıcaklık olmadığı için,
Kışın karı ve çiçeklerin yaprakları olmadan,
Öyleyse matematikte işaretsiz eylem yoktur!
Çocuklardan hangi eylem işaretinin eksik olduğunu tahmin etmeleri istenir.
Egzersiz yapmak. Eksik karakteri ekleyin.
− 1,2 1,4 = − 2,6
3,2 (− 8) = − 0,4
1 (− 1,7) = 2,7
− 4,5 (− 0,5) = 9
− 1,3 2,8 = 1,5
Cevaplar: 1) + 2) ∙ 3) - 4) : 5) - 6) :
Bağımsız iş(kağıda görevlerin cevaplarını yazın):
Rakamları karşılaştırın
modüllerini bul
sıfırla karşılaştır
toplamlarını bul
onların farkını bul
bir parça bul
özel bul
zıt sayıları yaz
bu sayılar arasındaki mesafeyi bulun
10) aralarında kaç tam sayı bulunur
11) aralarında bulunan tüm tam sayıların toplamını bulun.
Değerlendirme kriterleri: her şeye doğru karar verildi - "5"
1-2 hata - "4"
3-4 hata - "3"
4'ten fazla hata - "2"
Bireysel çalışma kartlarla(bunlara ek olarak).
Kart 1. Denklemi çözün: 8.4 - (x - 3.6) \u003d 18
Kart 2. Denklemi çözün: -0.2x · (-4) = -0,8
Kart 3. Denklemi çözün: =
kartlara cevaplar :
1) 6; 2) -1; 3) 4/15.
Oyun "Sınav".
Ülkenin sakinleri mutlu yaşadılar, oyunlar oynadılar, problemler çözdüler, denklemler çözdüler ve özetlemek için bize oynamayı teklif ettiler.
Öğrenciler tahtaya gelir, bir kart alır ve yazılı soruyu cevaplar. ters taraf.
Sorular:
1. İki negatif sayıdan hangisi büyük kabul edilir?
2. Negatif sayıları bölme kuralını formüle edin.
3. Negatif sayıları çarpma kuralını formüle edin.
4. Sayıları farklı işaretlerle çarpmak için bir kural formüle edin.
5. Sayıları farklı işaretlerle bölmek için bir kural formüle edin.
6. Negatif sayılar eklemek için kuralı formüle edin.
7. Farklı işaretli sayıların eklenmesi için bir kural formüle edin.
8. Koordinat doğrusu üzerinde bir doğru parçasının uzunluğu nasıl bulunur?
9. Hangi sayılara tamsayı denir?
10. Hangi sayılara rasyonel denir?
Özetleme.
Öğretmen: Bugün ödev yaratıcı olacak:
“Çevremizdeki pozitif ve negatif sayılar” mesajı hazırlayın veya bir peri masalı oluşturun.
« Ders için teşekkürler!!!"
Sonra a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c.
Sıfır eklemek sayıyı değiştirmez ve zıt sayıların toplamı sıfırdır.
Dolayısıyla, herhangi bir rasyonel sayı için: a + 0 = a, a + (- a) = 0 olur.
Rasyonel sayıların çarpımı aynı zamanda değişmeli ve birleştirici özelliklere de sahiptir. Başka bir deyişle, eğer a, b ve c herhangi bir rasyonel sayı ise, o zaman ab - ba, a(bc) - (ab)c.
1 ile çarpma rasyonel bir sayıyı değiştirmez, ancak bir sayının çarpımı ve tersi 1'dir.
Yani elimizdeki herhangi bir rasyonel sayı için:
a) x + 8 - x - 22; c) a-m + 7-8+m;
b) -x-a + 12 + bir -12; d) 6.1 -k + 2.8 + p - 8.8 + k - p.
1190. Uygun bir hesaplama sırası seçtikten sonra, ifadenin değerini bulun:
1191. ab = ba çarpmasının değişmeli özelliğini kelimelerle formüle edin ve şunu kontrol edin:
1192. a(bc)=(ab)c çarpmasının birleştirici özelliğini kelimelerle formüle edin ve şunu kontrol edin:
1193. Uygun bir hesaplama sırası seçerek, ifadenin değerini bulun:
1194. Çarparsanız sayı (pozitif veya negatif) ne olur:
a) bir negatif sayı ve iki pozitif sayı;
b) iki negatif ve bir pozitif sayı;
c) 7 negatif ve birkaç pozitif sayı;
d) 20 olumsuz ve birkaç olumlu? Bir sonuca varın.
1195. Ürünün işaretini belirleyin:
a) - 2 (- 3) (- 9) (-1.3) 14 (- 2.7) (- 2.9);
b) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.
a) Vitya, Kolya, Petya, Seryozha ve Maxim spor salonunda toplandı (Şek. 91, a). Çocukların her birinin sadece iki kişiyi tanıdığı ortaya çıktı. Kim kimi tanıyor? (Grafiğin kenarı "Birbirimizi tanıyoruz" anlamına gelir.)
b) Aynı aileden erkek ve kız kardeşler bahçede yürüyorlar. Bu çocuklardan hangileri erkek, hangileri kızdır (Şek. 91, b)? (Grafiğin noktalı kenarları - "Ben bir ablayım" ve düz olanlar - "Ben bir kardeşim" anlamına gelir.)
1205. Hesaplayın:
1206. Karşılaştırın:
a) 2 3 ve 3 2 ; b) (-2) 3 ve (-3) 2; c) 1 3 ve 1 2 ; d) (-1) 3 ve (-1) 2.
1207. 5.2853'ten binde birine; önceki yüzlerce; onda birine kadar; birimlere kadar.
1208. Sorunu çözün:
1) Motosikletçi bisikletçiye yetişir. Şimdi aralarında 23.4 km. Bir motosikletçinin hızı, bir bisikletçinin hızının 3,6 katıdır. Motosikletçinin bisikletçiyi saatler içinde geçeceği biliniyorsa, bisikletçi ve motosikletçinin hızlarını bulun.
2) Bir araba bir otobüse yetişiyor. Şimdi aralarında 18 km. Otobüsün hızı bir arabanın hızıdır. Saatler içinde otomobilin otobüsü geçeceği biliniyorsa, otobüsün ve otomobilin hızlarını bulunuz.
1209. Aşağıdaki ifadenin değerini bulun:
1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).
ile hesaplamalarınızı kontrol edin. hesap makinesi.
1210. Uygun bir hesaplama sırası seçtikten sonra, ifadenin değerini bulun: 
1211. İfadeyi sadeleştirin:
1212. Aşağıdaki ifadenin değerini bulun:
1213. Aşağıdakileri yapın:
1214. Öğrencilere 2,5 ton hurda metal toplama görevi verildi. 3,2 ton hurda metal topladılar. Öğrenciler görevi yüzde kaç oranında tamamladılar ve yüzde kaçla gereğinden fazla doldurdular?
1215. Araba 240 km yol kat etti. Bunlardan 180 km'si bir köy yolunda yürüdü ve yolun geri kalanı - otoyol boyunca. Bir ülke yolunun her 10 km'sinde benzin tüketimi 1,6 litre ve otoyolda -% 25 daha azdı. Her 10 km'lik seyahat için ortalama kaç litre benzin tüketildi?
1216. Köyden ayrılan bisikletçi, köprüde aynı yönde yürüyen bir yaya fark etti ve 12 dakika sonra ona yetişti. Bisikletçinin hızı 15 km/h ve köyden köprüye olan mesafe 1 km 800 m ise yayanın hızını bulunuz?
1217. Aşağıdakileri yapın:
a) - 4,8 3,7 - 2,9 8,7 - 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
b) -14.31:5.3 - 27.81:2.7 + 2.565:3.42+4.1 0.8;
c) 3.5 0.23 - 3.5 (- 0.64) + 0.87 (- 2.5).
Bildiğiniz gibi insanlar yavaş yavaş rasyonel sayılarla tanıştı. İlk başta, nesneleri sayarken doğal sayılar ortaya çıktı. İlk başta, bunlardan birkaçı vardı. Bu nedenle, yakın zamana kadar Torres Boğazı'ndaki (Yeni Gine'yi Avustralya'dan ayıran) adaların yerlilerinin dillerinde sadece iki sayı vardı: “urapun” (bir) ve “okaza” (iki). Adalılar şöyle düşündü: “okaza-urapun” (üç), “okaza-okaza” (dört), vb. Yediden başlayarak tüm sayılar, yerliler “çok” anlamına gelen kelimeyi çağırdı.
Bilim adamları, yüz kelimesinin 7.000 yıldan daha önce, bin - 6.000 yıl önce ve 5.000 yıl önce ortaya çıktığına inanıyor. Antik Mısır ve Antik Babil büyük sayılar için isimler var - bir milyona kadar. Ancak uzun bir süre, doğal sayılar dizisinin sonlu olduğu kabul edildi: insanlar en fazla sayı olduğunu düşündüler. Büyük sayı.
En büyük antik Yunan matematikçi ve fizikçi Arşimet (MÖ 287-212), devasa sayıları tanımlamanın bir yolunu buldu. Arşimet'in bildiği en büyük sayı o kadar büyüktü ki, dijital olarak kaydetmek için Dünya'dan Güneş'e olan mesafeden iki bin kat daha uzun bir kaset alacaktı.
Ama yine de bu kadar büyük sayıları nasıl yazacaklarını bilmiyorlardı. Bu, ancak 6. yüzyılda Hintli matematikçilerden sonra mümkün oldu. sıfır sayısı icat edildi ve bir sayının ondalık gösteriminin basamaklarında birimlerin bulunmadığını göstermeye başladı.
Ganimetleri bölerken ve daha sonra değerleri ölçerken ve diğer benzer durumlarda, insanlar "kırık sayılar" sunma ihtiyacıyla karşılaştılar - ortak kesirler. Kesirler üzerindeki işlemler, Orta Çağ'da matematiğin en zor alanı olarak kabul edildi. Şimdiye kadar Almanlar, zor durumda olan bir kişi hakkında "parçalara ayrıldığını" söylüyor.
Kesirlerle çalışmayı kolaylaştırmak için ondalık sayılar icat edildi. kesirler. Avrupa'da, X585'te Hollandalı matematikçi ve mühendis Simon Stevin tarafından tanıtıldılar.
Negatif sayılar kesirlerden sonra ortaya çıktı. Uzun zaman bu tür sayılar, öncelikle pozitif ve negatif sayılar için kabul edilen yorumun “mülk - borç” için kabul edilen yorumun karışıklığa yol açması nedeniyle “yok”, “yanlış” olarak kabul edildi: “mülk” veya “borçlar” ekleyebilir veya çıkarabilirsiniz, ama ürün veya özel "mülk" ve "borç" nasıl anlaşılır?
Ancak bu tür şüphelere ve kafa karışıklıklarına rağmen, 3. yüzyılda pozitif ve negatif sayıları çarpma ve bölme kuralları önerildi. Yunan matematikçi Diophantus tarafından ("Çıkarılan, eklenen ile çarpılır, çıkarmayı verir; çıkarılan çıkarılanla toplamayı verir" şeklinde) ve daha sonra Hintli matematikçi Bhaskara (XII yüzyıl) aynı şeyi ifade etti. “Mülkiyet”, “borç” kavramlarındaki kurallar (“İki malın veya iki borcun ürünü maldır; mal ve borcun ürünü borçtur.” Aynı kural bölünme için de geçerlidir).
Negatif sayılar üzerindeki eylemlerin özelliklerinin pozitif sayılarla aynı olduğu bulundu (örneğin, toplama ve çarpmanın değişme özelliği vardır). Ve son olarak, geçen yüzyılın başından beri, negatif sayılar pozitif sayılarla eşit hale geldi.
Daha sonra matematikte yeni sayılar ortaya çıktı - irrasyonel, karmaşık ve diğerleri. Bunları lisede öğreneceksin.
N.Ya.Vilenkin, A.Ş. Chesnokov, S.I. Schwarzburd, V.I. Zhokhov, 6. Sınıf Matematik, Ders Kitabı lise
Matematik 6. sınıf indirmek için takvim planına göre kitaplar ve ders kitapları, öğrenciye çevrimiçi yardım
Resim. Rasyonel sayılarda aritmetik işlemler.
Metin:
Rasyonel sayılarla işlem kuralları:
. aynı işaretli sayıları eklerken, modüllerini eklemek ve ortak işaretlerini toplamın önüne koymak gerekir;
. farklı işaretli iki sayı toplanırken, modülü büyük olan sayıdan modülü küçük olan sayı çıkarılır ve elde edilen farkın önüne modülü büyük olan sayının işareti konulur;
. bir sayıyı diğerinden çıkarırken, çıkarılan sayının tersini eklemeniz gerekir: a - b \u003d a + (-b)
. aynı işaretli iki sayı çarpılırken modülleri çarpılır ve ortaya çıkan ürünün önüne bir artı işareti konur;
. iki sayıyı farklı işaretlerle çarparken, modülleri çarpılır ve ortaya çıkan ürünün önüne bir eksi işareti yerleştirilir;
. aynı işaretli sayıları bölerken, bölme modülü bölen modülüne bölünür ve elde edilen bölümün önüne bir artı işareti konur;
. farklı işaretli sayıları bölerken, bölme modülü bölen modülüne bölünür ve elde edilen bölümün önüne bir eksi işareti konulur;
. Sıfırı sıfır olmayan herhangi bir sayıya bölmek ve çarpmak sıfırla sonuçlanır:
. sıfıra bölemezsiniz.