Rasyonel sayılarla denklemler nasıl çözülür? Kesirli rasyonel denklemleri çözme

Tamsayı ifadesi, toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerini kullanan sayılardan ve değişmez değişkenlerden oluşan matematiksel bir ifadedir. Tamsayılar ayrıca sıfır dışında herhangi bir sayıya bölmeyi içeren ifadeleri de içerir.

Kesirli rasyonel ifade kavramı

Kesirli ifade, sayı ve harf değişkenleriyle yapılan toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin yanı sıra, sıfıra eşit olmayan bir sayıya bölme işlemlerini de içeren, harf değişkenli ifadelere bölmeyi de içeren matematiksel bir ifadedir.

Rasyonel ifadelerin tamamı tam ve kesirli ifadelerdir. Rasyonel denklemler, sol ve sağ taraflarının rasyonel ifadeler olduğu denklemlerdir. Rasyonel bir denklemde sol ve sağ taraflar tamsayı ifadeleri ise, o zaman böyle bir rasyonel denkleme tamsayı denir.

Rasyonel bir denklemde sol veya sağ taraflar kesirli ifadelerse, böyle bir rasyonel denkleme kesirli denir.

Kesirli rasyonel ifade örnekleri

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

Kesirli rasyonel denklemi çözme şeması

1. Denklemde yer alan tüm kesirlerin ortak paydasını bulun.

2. Denklemin her iki tarafını ortak bir paydayla çarpın.

3. Ortaya çıkan denklemin tamamını çözün.

4. Kökleri kontrol edin ve ortak paydayı ortadan kaldıranları hariç tutun.

Kesirleri çözdüğümüz için rasyonel denklemler, o zaman kesirlerin paydaları değişkenler içerecektir. Bu onların ortak payda olacağı anlamına gelir. Ve algoritmanın ikinci noktasında ortak bir paydayla çarpıyoruz, o zaman yabancı kökler görünebilir. Ortak paydanın sıfıra eşit olacağı nokta, onunla çarpmanın anlamsız olacağı anlamına gelir. Bu nedenle sonunda elde edilen kökleri kontrol etmek gerekir.

Bir örneğe bakalım:

Kesirli rasyonel denklemi çözün: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

sadık kalacağız genel şema: Öncelikle tüm kesirlerin ortak paydasını bulalım. x*(x-5) elde ederiz.

Her kesri ortak bir paydayla çarpın ve elde edilen denklemin tamamını yazın.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Ortaya çıkan denklemi basitleştirelim. Şunu elde ederiz:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

Basit, indirgenmiş ikinci dereceden bir denklem elde ederiz. Bunu bilinen yöntemlerden herhangi biriyle çözersek, x=-2 ve x=5 köklerini elde ederiz.

Şimdi elde edilen çözümleri kontrol ediyoruz:

-2 ve 5 sayılarını ortak paydada değiştirin. x=-2'de ortak payda x*(x-5) kaybolmaz, -2*(-2-5)=14. Bu, -2 sayısının orijinal kesirli rasyonel denklemin kökü olacağı anlamına gelir.

x=5 olduğunda ortak payda x*(x-5) olur sıfıra eşit. Dolayısıyla bu sayı orijinal kesirli rasyonel denklemin kökü değildir, çünkü sıfıra bölünme olacaktır.

Bu denklemi basitleştirmek için en düşük ortak payda kullanılır. Bu yöntem, belirli bir denklemi denklemin her iki tarafında bir rasyonel ifadeyle yazamadığınız (ve çapraz çarpma yöntemini kullanamadığınız) durumlarda kullanılır. Bu yöntem, size 3 veya daha fazla kesirli rasyonel bir denklem verildiğinde kullanılır (iki kesirli olması durumunda çapraz çarpımı kullanmak daha iyidir).

Kesirlerin en küçük ortak paydasını (veya en küçük ortak katını) bulun. NOZ: en küçük sayı, her paydaya eşit olarak bölünebilir.

• Bazen NPD bariz bir sayıdır. Örneğin x/3 + 1/2 = (3x +1)/6 denklemi verilirse 3, 2 ve 6 sayılarının en küçük ortak katının 6 olduğu açıktır.
• BOH açık değilse, en büyük paydanın katlarını yazın ve bunların arasından diğer paydaların katı olacak olanı bulun. Çoğunlukla NOD basitçe iki paydanın çarpılmasıyla bulunabilir. Örneğin denklem x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 olarak verilirse NOS = 8*9 = 72 olur.
• Bir veya daha fazla payda bir değişken içeriyorsa süreç biraz daha karmaşık hale gelir (ancak imkansız değildir). Bu durumda NOC, her paydaya bölünen bir ifadedir (bir değişken içerir). Örneğin, 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1) denkleminde, çünkü bu ifade her paydaya bölünür: 3x(x-1)/(x) -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Her kesrin hem payını hem de paydasını, NOC'yi her kesrin karşılık gelen paydasına bölmenin sonucuna eşit bir sayı ile çarpın. Hem payı hem de paydayı aynı sayıyla çarptığınız için kesri etkili bir şekilde 1 ile çarpmış olursunuz (örneğin, 2/2 = 1 veya 3/3 = 1).

• Örneğimizde, 2x/6 elde etmek için x/3'ü 2/2 ile çarpın ve 3/6 elde etmek için 1/2'yi 3/3 ile çarpın (3x +1/6 kesrinin çarpılmasına gerek yoktur çünkü bu kesir payda 6'dır).
• Değişken paydada olduğunda da benzer şekilde ilerleyin. İkinci örneğimizde, NOZ = 3x(x-1), dolayısıyla 5(3x)/(3x)(x-1) elde etmek için 5/(x-1)'i (3x)/(3x) ile çarpın; 1/x 3(x-1)/3(x-1) ile çarpıldığında 3(x-1)/3x(x-1) elde edilir; 2/(3x) (x-1)/(x-1) ile çarpıldığında 2(x-1)/3x(x-1) elde edilir.

x'i bulun. Artık kesirleri ortak bir paydaya indirdiğinize göre paydadan kurtulabilirsiniz. Bunu yapmak için denklemin her iki tarafını ortak paydayla çarpın. Daha sonra ortaya çıkan denklemi çözün, yani "x" i bulun. Bunu yapmak için değişkeni denklemin bir tarafında izole edin.

• Örneğimizde: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Aynı paydaya sahip 2 kesir toplayabilirsiniz, dolayısıyla denklemi şu şekilde yazın: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Denklemin her iki tarafını da 6 ile çarpın ve paydalardan kurtulun: 2x+3 = 3x +1. Çözün ve x = 2 elde edin.
• İkinci örneğimizde (paydasında bir değişken varken), denklem şöyle görünür (ortak bir paydaya indirildikten sonra): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Denklemin her iki tarafını da N3 ile çarparak paydadan kurtulursunuz ve şunu elde edersiniz: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1) veya 15x = 3x - 3 + 2x -2 veya 15x = x - 5 Çözün ve şunu elde edin: x = -5/14.

Kesirli rasyonel denklemleri çözme

Başvuru Kılavuzu

Rasyonel denklemler, hem sol hem de sağ tarafların rasyonel ifadeler olduğu denklemlerdir.

(Unutmayın: rasyonel ifadeler, toplama, çıkarma, çarpma veya bölme işlemlerini de içeren kök içermeyen tamsayı ve kesirli ifadelerdir - örneğin: 6x; (m – n)2; x/3y, vb.)

Kesirli rasyonel denklemler genellikle şu şekle indirgenir:

Nerede P(X) Ve Q(X) polinomlardır.

Bu tür denklemleri çözmek için denklemin her iki tarafını da Q(x) ile çarpın; bu, yabancı köklerin ortaya çıkmasına neden olabilir. Bu nedenle kesirli rasyonel denklemleri çözerken bulunan kökleri kontrol etmek gerekir.

Rasyonel bir denklem, değişken içeren bir ifadeye bölünmüyorsa bütün veya cebirsel olarak adlandırılır.

Tam bir rasyonel denklemin örnekleri:

5x – 10 = 3(10 – x)

3x
- = 2x – 10
4

Rasyonel bir denklemde (x) değişkenini içeren bir ifadeye bölünme varsa, o zaman denklem kesirli rasyonel olarak adlandırılır.

Kesirli rasyonel denklem örneği:

15
x + - = 5x – 17
X

Kesirli rasyonel denklemler genellikle aşağıdaki şekilde çözülür:

1) kesirlerin ortak paydasını bulun ve denklemin her iki tarafını da bununla çarpın;

2) ortaya çıkan denklemin tamamını çözün;

3) kesirlerin ortak paydasını sıfıra indirenleri köklerinden hariç tutun.

Tamsayılı ve kesirli rasyonel denklemlerin çözümüne örnekler.

Örnek 1. Denklemin tamamını çözelim

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Çözüm:

En düşük ortak paydayı bulma. Bu 6'dır. 6'yı paydaya bölün ve elde edilen sonucu her kesrin payı ile çarpın. Buna eşdeğer bir denklem elde ederiz:

3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Çünkü sol ve sağ tarafta aynı payda, ihmal edilebilir. O zaman daha basit bir denklem elde ederiz:

3(x – 1) + 4x = 5x.

Parantezleri açıp benzer terimleri birleştirerek çözüyoruz:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

Örnek çözüldü.

Örnek 2. Kesirli bir rasyonel denklemi çözün

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)

Ortak bir payda bulmak. Bu x(x – 5). Bu yüzden:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Artık tüm ifadeler için aynı olduğundan paydadan tekrar kurtuluyoruz. Benzer terimleri azaltıyoruz, denklemi sıfıra eşitliyoruz ve ikinci dereceden bir denklem elde ediyoruz:

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3x – 10 = 0.

İkinci dereceden denklemi çözdükten sonra köklerini buluruz: –2 ve 5.

Bu sayıların orijinal denklemin kökleri olup olmadığını kontrol edelim.

x = –2'de, x(x – 5) ortak paydası kaybolmaz. Bu –2'nin orijinal denklemin kökü olduğu anlamına gelir.

x = 5 olduğunda ortak payda sıfıra gider ve üç ifadeden ikisi anlamsız hale gelir. Bu, 5 sayısının orijinal denklemin kökü olmadığı anlamına gelir.

Cevap: x = –2

Daha fazla örnek

Örnek 1.

x 1 =6, x 2 = - 2,2.

Cevap: -2,2;6.

Örnek 2.

Dersin Hedefleri:

Eğitici:

• kesirli rasyonel denklemler kavramının oluşumu;
• kesirli rasyonel denklemleri çözmenin çeşitli yollarını düşünün;
• kesirin sıfıra eşit olması koşulu da dahil olmak üzere kesirli rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma düşünün;
• kesirli rasyonel denklemleri bir algoritma kullanarak çözmeyi öğretmek;
• Bir test yaparak konuya hakimiyet düzeyini kontrol etmek.

Gelişimsel:

• edinilen bilgilerle doğru şekilde çalışma ve mantıksal düşünme yeteneğini geliştirmek;
• entelektüel becerilerin geliştirilmesi ve zihinsel operasyonlar- analiz, sentez, karşılaştırma ve sentez;
• inisiyatifin geliştirilmesi, karar verme yeteneği ve orada durmamak;
• eleştirel düşüncenin gelişimi;
• araştırma becerilerinin geliştirilmesi.

Eğitim:

• yetiştirme bilişsel ilgi konuya;
• eğitim sorunlarının çözümünde bağımsızlığın teşvik edilmesi;
• Nihai sonuçlara ulaşmak için irade ve azim beslemek.

Ders türü: ders - yeni materyalin açıklaması.

Dersler sırasında

1. Organizasyon anı.

Merhaba beyler! Tahtada yazılı denklemler var, onlara dikkatlice bakın. Bu denklemlerin hepsini çözebilir misiniz? Hangileri değil ve neden?

Sol ve sağ tarafları kesirli rasyonel ifadeler olan denklemlere kesirli rasyonel denklemler denir. Bugün sınıfta ne çalışacağımızı düşünüyorsunuz? Dersin konusunu formüle edin. Öyleyse not defterlerinizi açın ve “Kesirli rasyonel denklemleri çözme” dersinin konusunu yazın.

2. Bilginin güncellenmesi. Ön anket, sınıfla sözlü çalışma.

Ve şimdi çalışmamız gereken ana teorik materyali tekrarlayacağız. yeni Konu. Lütfen gelecek soruları cevaplayın:

1. Denklem nedir? ( Bir değişken veya değişkenlerle eşitlik.)
2. 1 numaralı denklemin adı nedir? ( Doğrusal.) Çözüm doğrusal denklemler. (Bilinmeyen olan her şeyi denklemin sol tarafına, tüm sayıları sağa taşıyın. Benzer terimler verin. Bilinmeyen faktörü bul).
3. 3 numaralı denklemin adı nedir? ( Kare.) Çözümler ikinci dereceden denklemler. (Seçim tam kare formüllerle, Vieta teoremini ve sonuçlarını kullanarak.)
4. Oran nedir? ( İki oranın eşitliği.) Oranın ana özelliği. ( Oran doğruysa, aşırı terimlerin çarpımı orta terimlerin çarpımına eşittir..)
5. Denklemleri çözerken hangi özellikler kullanılır? ( 1. Bir denklemdeki terimi bir kısımdan diğerine hareket ettirirseniz, işaretini değiştirirseniz, verilene eşdeğer bir denklem elde edersiniz. 2. Denklemin her iki tarafı da sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılır veya bölünürse verilen sayıya eşdeğer bir denklem elde edilir.)
6. Bir kesir ne zaman sıfıra eşit olur? ( Pay sıfır ve payda sıfır olmadığında kesir sıfıra eşittir..)

3. Yeni materyalin açıklanması.

2 numaralı denklemi defterlerinizde ve tahtada çözün.

Cevap: 10.

Hangi kesirli rasyonel denklem Oranın temel özelliğini kullanarak çözmeyi deneyebilir misiniz? (Numara 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

4 numaralı denklemi defterlerinizde ve tahtada çözün.

Cevap: 1,5.

Denklemin her iki tarafını da paydayla çarparak hangi kesirli rasyonel denklemi çözmeye çalışabilirsiniz? (No. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Cevap: 3;4.

Şimdi 7 numaralı denklemi aşağıdaki yöntemlerden birini kullanarak çözmeye çalışın.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
x 3 =5 x 4 =-2			x 3 =5 x 4 =-2
Cevap: 0;5;-2.			Cevap: 5;-2.

Bunun neden olduğunu açıklayın? Neden bir durumda üç, diğerinde iki kök var? Bu kesirli rasyonel denklemin kökleri hangi sayılardır?

Şu ana kadar öğrenciler yabancı kök kavramıyla karşılaşmadılar; bunun neden olduğunu anlamak onlar için gerçekten çok zor. Eğer sınıfta kimse bu duruma net bir açıklama getiremezse öğretmen yönlendirici sorular sorar.

• 2 ve 4 numaralı denklemlerin 5,6,7 numaralı denklemlerden farkı nedir? ( 2 ve 4 numaralı denklemlerde paydada sayılar vardır, 5-7 numaralı denklemler değişkenli ifadelerdir.)
• Bir denklemin kökü nedir? ( Denklemin doğru olduğu değişkenin değeri.)
• Bir sayının bir denklemin kökü olup olmadığını nasıl öğrenebilirim? ( Çek yap.)

Test yaparken bazı öğrenciler sıfıra bölmeleri gerektiğini fark ederler. 0 ve 5 sayılarının bu denklemin kökleri olmadığı sonucuna vardılar. Şu soru ortaya çıkıyor: Kesirli rasyonel denklemleri çözmenin, bu hatayı ortadan kaldırmamıza olanak tanıyan bir yolu var mı? Evet, bu yöntem kesrin sıfıra eşit olması şartına dayanmaktadır.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

Eğer x=5 ise x(x-5)=0 olur, bu da 5'in yabancı bir kök olduğu anlamına gelir.

Eğer x=-2 ise x(x-5)≠0 olur.

Cevap: -2.

Kesirli rasyonel denklemleri bu şekilde çözmek için bir algoritma oluşturmaya çalışalım. Çocuklar algoritmayı kendileri formüle ederler.

Kesirli rasyonel denklemleri çözmek için algoritma:

1. Her şeyi sol tarafa taşıyın.
2. Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin.
3. Bir sistem oluşturun: pay sıfıra eşit olduğunda ve payda sıfıra eşit olmadığında kesir sıfıra eşittir.
4. Denklemi çözün.
5. Yabancı kökleri hariç tutmak için eşitsizliği kontrol edin.
6. Cevabı yazın.

Tartışma: Oranın temel özelliğini kullanırsanız ve denklemin her iki tarafını ortak bir paydayla çarparsanız çözümü nasıl resmileştirirsiniz? (Çözüme şunu ekleyin: ortak paydayı ortadan kaldıranları köklerinden çıkarın).

4. Yeni materyalin ilk kez anlaşılması.

Çiftler halinde çalışın. Öğrenciler denklem türüne bağlı olarak denklemi nasıl çözeceklerini kendileri seçerler. “Cebir 8” ders kitabından ödevler, Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600(b,c,i); 601(a,e,g). Öğretmen görevin tamamlanmasını izler, ortaya çıkan soruları yanıtlar ve düşük performans gösteren öğrencilere yardım sağlar. Kendi kendine test: cevaplar tahtaya yazılır.

b) 2 – yabancı kök. Cevap: 3.

c) 2 – yabancı kök. Cevap: 1.5.

a) Cevap: -12.5.

g) Cevap: 1;1.5.

5. Ödev verme.

1. Ders kitabındaki 25. paragrafı okuyun, 1-3. örnekleri analiz edin.
2. Kesirli rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma öğrenin.
3. 600 (a, d, e) numaralı defterlerde çözün; 601(g,h).
4. 696(a) numaralı soruyu (isteğe bağlı) çözmeye çalışın.

6. Çalışılan konuyla ilgili bir kontrol görevinin tamamlanması.

İş kağıt parçaları üzerinde yapılır.

Örnek görev:

A) Denklemlerden hangileri kesirli rasyoneldir?

B) Bir kesirin payı ______________________ ve paydası _______________________ olduğunda sıfıra eşittir.

Soru) -3 sayısı 6 numaralı denklemin kökü müdür?

D) 7 numaralı denklemi çözün.

Görev için değerlendirme kriterleri:

• Öğrenci görevin %90'ından fazlasını doğru tamamlamışsa “5” verilir.
• "4" - %75-%89
• "3" - %50-%74
• Görevin %50'sinden azını tamamlayan öğrenciye “2” verilir.
• Dergide 2 notu verilmemektedir, 3 opsiyoneldir.

7. Yansıma.

Bağımsız çalışma sayfalarına şunu yazın:

• 1 – eğer ders sizin için ilginç ve anlaşılırsa;
• 2 – ilginç ama net değil;
• 3 – ilginç değil ama anlaşılır;
• 4 – ilginç değil, net değil.

8. Dersi özetlemek.

Bugün derste kesirli rasyonel denklemlerle tanıştık, bu denklemlerin nasıl çözüleceğini öğrendik Farklı yollar, bilgilerini bir eğitimle test ettiler bağımsız iş. Bir sonraki derste bağımsız çalışmanızın sonuçlarını öğreneceksiniz ve evde bilginizi pekiştirme fırsatına sahip olacaksınız.

Size göre kesirli rasyonel denklemleri çözmenin hangi yöntemi daha kolay, daha erişilebilir ve daha rasyoneldir? Kesirli rasyonel denklemleri çözme yöntemi ne olursa olsun, neyi hatırlamanız gerekir? Kesirli rasyonel denklemlerin “kurnazlığı” nedir?

Herkese teşekkürler, ders bitti.

“Polinomlu rasyonel denklemler” en sık karşılaşılan konulardan biridir. test görevleri Matematikte Birleşik Devlet Sınavı. Bu nedenle tekrar etmekte fayda var Özel dikkat. Pek çok öğrenci diskriminant bulma, göstergeleri sağdan sola aktarma ve denklemi ortak paydaya getirme sorunuyla karşı karşıya kalıyor ve bu nedenle bu tür görevleri tamamlamak zorluklara neden oluyor. Web sitemizdeki Birleşik Devlet Sınavına hazırlanırken rasyonel denklemleri çözmek, her türlü karmaşıklıktaki sorunlarla hızlı bir şekilde başa çıkmanıza ve testi başarıyla geçmenize yardımcı olacaktır.

Birleşik Matematik Sınavına başarıyla hazırlanmak için Shkolkovo eğitim portalını seçin!

Bilinmeyenleri hesaplama kurallarını bilmek ve doğru sonuçları kolayca elde etmek için çevrimiçi hizmetimizi kullanın. Shkolkovo portalı, hazırlık için gerekli her şeyi içeren türünün tek örneği bir platformdur. Birleşik Devlet Sınavı materyalleri. Öğretmenlerimiz her şeyi sistematize edip anlaşılır bir biçimde sundular. matematik kuralları. Ek olarak, okul çocuklarını, temeli sürekli güncellenen ve genişletilen standart rasyonel denklemleri çözme konusunda ellerini denemeye davet ediyoruz.

Teste daha etkili hazırlık için özel yöntemimizi izlemenizi ve kuralları ve çözümleri tekrarlayarak başlamanızı öneririz. basit görevler yavaş yavaş daha karmaşık olanlara geçiyoruz. Böylece mezun kendisi için en zor konuları belirleyebilecek ve bunları incelemeye odaklanabilecektir.

Bugün Shkolkovo ile son teste hazırlanmaya başlayın, sonuçların gelmesi uzun sürmeyecek! Verilenlerden en kolay örneği seçin. İfadeyi hızlı bir şekilde öğrenirseniz daha zor bir göreve geçin. Bu şekilde bilginizi matematikteki USE görevlerini uzmanlık düzeyinde çözme noktasına kadar geliştirebilirsiniz.

Eğitim yalnızca Moskova'dan mezun olanlar için değil, diğer şehirlerden gelen okul çocukları için de geçerlidir. Örneğin, günde birkaç saatinizi portalımızda çalışarak geçirin; çok yakında her türlü karmaşıklıktaki denklemlerle başa çıkabileceksiniz!