Geometrik ilerleme örneklerinin toplamı. Geometrik ilerleme. Çözümlü örnek

Belirli bir seriyi ele alalım.

7 28 112 448 1792...

Herhangi bir unsurunun değerinin bir öncekinden tam olarak dört kat daha fazla olduğu kesinlikle açıktır. Bu, bu serinin bir ilerleme olduğu anlamına gelir.

Geometrik ilerleme sonsuz bir sayı dizisidir. ana özellik yani bir sonraki sayı, bir önceki sayının belirli bir sayıyla çarpılmasıyla elde edilir. Bu, aşağıdaki formülle ifade edilir.

a z +1 =a z ·q, burada z, seçilen öğenin numarasıdır.

Buna göre z ∈ N.

Okul eğitiminin verildiği dönem geometrik ilerleme- 9. sınıf. Örnekler kavramı anlamanıza yardımcı olacaktır:

0.25 0.125 0.0625...

Bu formüle dayanarak ilerlemenin paydası şu şekilde bulunabilir:

Ne q ne de bz sıfır olamaz. Ayrıca ilerlemenin öğelerinin her biri sıfıra eşit olmamalıdır.

Buna göre bir serideki bir sonraki sayıyı bulmak için sonuncuyu q ile çarpmanız gerekir.

Bu ilerlemeyi ayarlamak için ilk elemanını ve paydasını belirtmeniz gerekir. Bundan sonra sonraki terimlerden herhangi birini ve bunların toplamını bulmak mümkündür.

Çeşitler

Q ve a 1'e bağlı olarak bu ilerleme birkaç türe ayrılır:

• Hem a 1 hem de q birden büyükse, bu tür bir dizi, sonraki her öğeyle artan geometrik bir ilerlemedir. Bunun bir örneği aşağıda sunulmuştur.

Örnek: a 1 =3, q=2 - her iki parametre de birden büyüktür.

O zaman sayı dizisi şu şekilde yazılabilir:

3 6 12 24 48 ...

• Eğer |q| birden az yani onunla çarpmak bölmeye eşdeğerdir, o zaman benzer koşullara sahip bir ilerleme azalan bir geometrik ilerlemedir. Bunun bir örneği aşağıda sunulmuştur.

Örnek: a 1 =6, q=1/3 - a 1 birden büyüktür, q küçüktür.

O halde sayı dizisi şu şekilde yazılabilir:

6 2 2/3 ... - herhangi bir eleman onu takip eden elemandan 3 kat daha büyüktür.

• Alternatif işaret. eğer q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Örnek: a 1 = -3, q = -2 - her iki parametre de sıfırdan küçüktür.

O zaman sayı dizisi şu şekilde yazılabilir:

3, 6, -12, 24,...

Formüller

Geometrik ilerlemelerin uygun kullanımı için birçok formül vardır:

• Z terimi formülü. Önceki sayıları hesaplamadan belirli bir sayının altındaki bir öğeyi hesaplamanıza olanak tanır.

Örnek:Q = 3, A 1 = 4. İlerlemenin dördüncü öğesini saymak gerekir.

Çözüm:A 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Miktarı eşit olan ilk elementlerin toplamı z. Bir dizinin tüm öğelerinin toplamını şu ana kadar hesaplamanıza olanak tanır:bir zdahil.

Şu andan itibaren (1-Q) paydada ise (1 - q)≠ 0, dolayısıyla q, 1'e eşit değildir.

Not: Eğer q=1 ise ilerleme sonsuz sayıda tekrarlanan sayılar dizisi olacaktır.

Geometrik ilerlemenin toplamı, örnekler:A 1 = 2, Q= -2. S5'i hesaplayın.

Çözüm:S 5 = 22 - formülü kullanarak hesaplama.

• Eğer |Q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Örnek:A 1 = 2 , Q= 0,5. Tutarı bulun.

Çözüm:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Bazı özellikler:

• Karakteristik özellik. Aşağıdaki durum ise herhangi biri için çalışırz, o zaman verilen sayı serisi geometrik bir ilerlemedir:

bir z 2 = bir z -1 · Az+1

• Ayrıca geometrik dizideki herhangi bir sayının karesi, belirli bir serideki herhangi iki sayının, eğer bu elemana eşit uzaklıktaysa, kareleri toplanarak bulunur.

bir z 2 = bir z - T 2 + bir z + T 2 , NeredeT- bu sayılar arasındaki mesafe.

• Elementlerq bakımından farklıbir kere.
• Bir ilerlemenin elemanlarının logaritmaları da bir ilerleme oluşturur, ancak aritmetik bir ilerlemedir, yani her biri bir öncekinden belirli bir sayı kadar büyüktür.

Bazı klasik problemlere örnekler

Geometrik ilerlemenin ne olduğunu daha iyi anlamak için 9. sınıfa yönelik çözüm örnekleri yardımcı olabilir.

• Koşullar:A 1 = 3, A 3 = 48. BulQ.

Çözüm: Sonraki her öğe bir öncekinden daha büyüktür.Q bir kere.Bazı unsurları payda kullanarak diğerleri cinsinden ifade etmek gerekir.

Buradan,A 3 = Q 2 · A 1

DeğiştirirkenQ= 4

• Koşullar:A 2 = 6, A 3 = 12. S 6'yı hesaplayın.

Çözüm:Bunu yapmak için ilk eleman olan q'yu bulun ve onu formülde değiştirin.

A 3 = Q· A 2 , buradan,Q= 2

a 2 = q · bir 1 ,Bu yüzden bir 1 = 3

S6 = 189

• · A 1 = 10, Q= -2. İlerlemenin dördüncü öğesini bulun.

Çözüm: Bunu yapmak için dördüncü elemanı birinci ve payda aracılığıyla ifade etmek yeterlidir.

a 4 = q 3· 1 = -80

Uygulama örneği:

• Bir banka müşterisi 10.000 ruble tutarında bir depozito yatırdı; şartlara göre müşteri her yıl bunun %6'sını anapara tutarına ekleyecektir. 4 yıl sonra hesapta ne kadar para olacak?

Çözüm: Başlangıç ​​tutarı 10 bin ruble. Bu, yatırımdan bir yıl sonra hesabın 10.000 + 10.000 tutarında bir tutara sahip olacağı anlamına gelir. · 0,06 = 10000 1,06

Buna göre bir yıl sonra hesapta kalacak tutar şu şekilde ifade edilecektir:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Yani her yıl miktar 1,06 kat artıyor. Yani 4 yıl sonra hesaptaki fon miktarını bulmak için birinci unsurun 10 bin ve paydanın 1,06 olmasıyla verilen ilerlemenin dördüncü unsurunu bulmak yeterli oluyor.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Toplam hesaplama problemlerine örnekler:

Geometrik ilerleme çeşitli problemlerde kullanılır. Toplamın bulunmasına ilişkin bir örnek şu şekilde verilebilir:

A 1 = 4, Q= 2, hesaplaS5.

Çözüm: Hesaplama için gerekli tüm veriler biliniyor, bunları formülde kullanmanız yeterli.

S 5 = 124

• A 2 = 6, A 3 = 18. İlk altı elemanın toplamını hesaplayın.

Çözüm:

Geom'da. ilerleme, her bir sonraki öğe bir öncekinden q kat daha büyüktür, yani toplamı hesaplamak için öğeyi bilmeniz gerekirA 1 ve paydaQ.

A 2 · Q = A 3

Q = 3

Benzer şekilde, bulmanız gerekirA 1 , bilerekA 2 VeQ.

A 1 · Q = A 2

bir 1 =2

S 6 = 728.

Talimatlar

10, 30, 90, 270...

Geometrik ilerlemenin paydasını bulmanız gerekir.
Çözüm:

Seçenek 1. İlerlemenin rastgele bir terimini alalım (örneğin 90) ve onu bir öncekine (30) bölelim: 90/30=3.

Bir geometrik ilerlemenin birkaç teriminin toplamı veya azalan bir geometrik ilerlemenin tüm terimlerinin toplamı biliniyorsa, ilerlemenin paydasını bulmak için uygun formülleri kullanın:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), burada Sn geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamıdır ve
S = b1/(1-q), burada S sonsuz derecede azalan geometrik ilerlemenin toplamıdır (paydası birden küçük olan ilerlemenin tüm terimlerinin toplamı).
Örnek.

Azalan geometrik ilerlemenin ilk terimi bire, tüm terimlerin toplamı ise ikiye eşittir.

Bu ilerlemenin paydasını belirlemek gerekiyor.
Çözüm:

Problemdeki verileri formülde değiştirin. Ortaya çıkacak:
2=1/(1-q), dolayısıyla – q=1/2.

İlerleme bir sayı dizisidir. Geometrik ilerlemede, sonraki her terim, bir öncekinin ilerlemenin paydası adı verilen belirli bir q sayısıyla çarpılmasıyla elde edilir.

Talimatlar

Eğer iki bitişik geometrik terim b(n+1) ve b(n) biliniyorsa, paydayı elde etmek için büyük olan sayıyı kendisinden önceki sayıya bölmeniz gerekir: q=b(n+1)/b (N). Bu, ilerlemenin tanımından ve paydasından kaynaklanmaktadır. Önemli bir koşul, ilerlemenin ilk teriminin ve paydasının sıfıra eşit olmamasıdır, aksi takdirde tanımsız kabul edilir.

Böylece ilerlemenin terimleri arasında şu ilişkiler kurulur: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. b(n)=b1 q^(n-1) formülünü kullanarak, q paydasının ve b1 teriminin bilindiği geometrik ilerlemenin herhangi bir terimi hesaplanabilir. Ayrıca, ilerlemelerin her biri modül olarak komşu üyelerinin ortalamasına eşittir: |b(n)|=√, ilerlemenin aldığı yer burasıdır.

Geometrik ilerlemenin bir benzeri, en basit üstel fonksiyon olan y=a^x'tir; burada x bir üs, a ise belirli bir sayıdır. Bu durumda ilerlemenin paydası birinci terime denk gelir ve a sayısına eşittir. Eğer x argümanı bir n doğal sayısı (sayaç) olarak alınırsa, y fonksiyonunun değeri ilerlemenin n'inci terimi olarak anlaşılabilir.

Geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı için mevcuttur: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Bu formül q≠1 için geçerlidir. Eğer q=1 ise ilk n terimin toplamı S(n)=n b1 formülüyle hesaplanır. Bu arada, q birden büyük ve b1 pozitif olduğunda ilerlemeye artan denilecek. İlerlemenin paydası mutlak değer olarak 1'i geçmiyorsa, ilerlemeye azalan ilerleme adı verilir.

Geometrik ilerlemenin özel bir durumu, sonsuz derecede azalan geometrik ilerlemedir (sonsuz derecede azalan geometrik ilerleme). Gerçek şu ki, azalan bir geometrik ilerlemenin terimleri tekrar tekrar azalacak, ancak hiçbir zaman sıfıra ulaşamayacaktır. Buna rağmen böyle bir ilerlemenin tüm terimlerinin toplamını bulmak mümkündür. S=b1/(1-q) formülüyle belirlenir. Toplam n terimi sayısı sonsuzdur.

Sonsuzluk elde etmeden sonsuz sayıda sayıyı nasıl toplayabileceğinizi gözünüzde canlandırmak için bir pasta pişirin. Yarısını kesin. Daha sonra 1/2'sini yarıya kadar kesin ve bu şekilde devam edin. Elde edeceğiniz parçalar, paydası 1/2 olan sonsuz azalan geometrik ilerlemenin üyelerinden başka bir şey değildir. Tüm bu parçaları toplarsanız orijinal pastayı elde edersiniz.

Geometri problemleri mekansal düşünmeyi gerektiren özel bir egzersiz türüdür. Bir geometrik soruyu çözemiyorsanız görev aşağıdaki kurallara uymayı deneyin.

Talimatlar

Görevin koşullarını çok dikkatli okuyun; bir şeyi hatırlamıyorsanız veya anlamadıysanız tekrar okuyun.

Bunun ne tür geometrik problemler olduğunu belirlemeye çalışın, örneğin: bir değeri bulmanız gerektiğinde hesaplamalı problemler, mantıksal bir akıl yürütme zinciri gerektiren problemler, pusula ve cetvel kullanarak inşaatı içeren problemler. Karışık tipte daha fazla görev. Sorunun türünü anladıktan sonra mantıklı düşünmeye çalışın.

Belirli bir görev için gerekli teoremi uygulayın, ancak şüpheleriniz varsa veya hiçbir seçeneğiniz yoksa ilgili konu üzerinde çalıştığınız teoriyi hatırlamaya çalışın.

Ayrıca sorunun çözümünü taslak halinde yazın. Çözümünüzün doğruluğunu kontrol etmek için bilinen yöntemleri kullanmaya çalışın.

Sorunun çözümünü not defterinize silmeden, üzerini çizmeden dikkatlice doldurun ve en önemlisi - İlk geometrik problemleri çözmek zaman ve çaba gerektirebilir. Ancak bu süreçte ustalaştığınız anda fındık gibi görevlere tıklamaya başlayacak ve bundan keyif alacaksınız!

Geometrik ilerleme b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) sayılarından oluşan bir dizidir; öyle ki b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n) ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Başka bir deyişle, ilerlemenin her terimi bir öncekinden, ilerlemenin sıfır olmayan bir paydası q ile çarpılarak elde edilir.

Talimatlar

İlerleme problemleri çoğunlukla b1 ilerlemesinin ilk terimine ve q ilerlemesinin paydasına göre bir sistem oluşturulup takip edilerek çözülür. Denklem oluşturmak için bazı formülleri hatırlamakta fayda var.

İlerlemenin ilk terimi boyunca ilerlemenin n'inci terimi ve ilerlemenin paydası nasıl ifade edilir: b(n)=b1*q^(n-1).

|q| durumunu ayrıca ele alalım.<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Geometrik ilerleme matematikte aritmetikten daha az önemli değildir. Geometrik ilerleme, b1, b2,..., b[n] sayılarından oluşan bir dizidir ve her bir sonraki terimi, bir öncekinin sabit bir sayı ile çarpılmasıyla elde edilir. Aynı zamanda büyüme oranını veya ilerlemenin azalmasını da karakterize eden bu sayıya denir. geometrik ilerlemenin paydası ve belirtmek

Geometrik ilerlemeyi tam olarak belirlemek için paydaya ek olarak ilk terimini bilmek veya belirlemek gerekir. Paydanın pozitif bir değeri için ilerleme monotonik bir dizidir ve bu sayı dizisi monoton olarak azalıyorsa ve monoton olarak artıyorsa. Paydanın bire eşit olması durumu pratikte dikkate alınmaz, çünkü elimizde bir dizi aynı sayı vardır ve bunların toplamı pratikte bir önem taşımaz.

Geometrik ilerlemenin genel terimi formülle hesaplanır

Geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı formülle belirlenir

Klasik geometrik ilerleme problemlerinin çözümlerine bakalım. Anlaşılması en basit olanlarla başlayalım.

Örnek 1. Geometrik ilerlemenin ilk terimi 27 ve paydası 1/3'tür. Geometrik ilerlemenin ilk altı terimini bulun.

Çözüm: Sorunun durumunu forma yazalım.

Hesaplamalar için geometrik ilerlemenin n'inci terimi formülünü kullanırız

Buna dayanarak ilerlemenin bilinmeyen terimlerini buluyoruz

Gördüğünüz gibi geometrik ilerlemenin terimlerini hesaplamak zor değil. İlerlemenin kendisi şöyle görünecek

Örnek 2. Geometrik ilerlemenin ilk üç terimi verilmiştir: 6; -12; 24. Paydayı ve yedinci terimini bulun.

Çözüm: Geomitrik ilerlemenin paydasını tanımına göre hesaplıyoruz.

Paydası -2'ye eşit olan alternatif bir geometrik ilerleme elde ettik. Yedinci terim aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır

Bu sorunu çözer.

Örnek 3. Bir geometrik ilerleme, iki terimiyle verilmektedir. . İlerlemenin onuncu terimini bulun.

Çözüm:

Verilen değerleri formül kullanarak yazalım

Kurallara göre paydayı bulmamız ve ardından istenen değeri aramamız gerekir, ancak onuncu terim için elimizde

Aynı formül, giriş verileriyle yapılan basit manipülasyonlara dayanarak elde edilebilir. Serinin altıncı terimini diğerine bölersek sonuç olarak şunu elde ederiz:

Ortaya çıkan değer altıncı terimle çarpılırsa onuncu terimi elde ederiz.

Böylece bu tür problemler için basit dönüşümleri hızlı bir şekilde kullanarak doğru çözümü bulabilirsiniz.

Örnek 4. Geometrik ilerleme yinelenen formüllerle verilmektedir

Geometrik ilerlemenin paydasını ve ilk altı terimin toplamını bulun.

Çözüm:

Verilen verileri bir denklem sistemi biçiminde yazalım

Paydayı ikinci denklemi birinciye bölerek ifade edin

İlk denklemden ilerlemenin ilk terimini bulalım

Geometrik ilerlemenin toplamını bulmak için aşağıdaki beş terimi hesaplayalım.

Geometrik ilerleme, ilk terimi sıfır olmayan ve sonraki her terim bir önceki terimin aynı sıfır olmayan sayıyla çarpımına eşit olan sayısal bir dizidir.

Geometrik ilerleme kavramı

Geometrik ilerleme b1,b2,b3, …, bn, … ile gösterilir.

Geometrik hatanın herhangi bir teriminin bir önceki terimine oranı aynı sayıya eşittir, yani b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Bu doğrudan aritmetik ilerlemenin tanımından kaynaklanır. Bu sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir. Genellikle geometrik ilerlemenin paydası q harfiyle gösterilir.

|q| için sonsuz geometrik ilerlemenin toplamı<1

Bir geometrik ilerlemeyi belirlemenin yollarından biri, onun ilk terimini b1 ve geometrik hata q'nun paydasını belirtmektir. Örneğin b1=4, q=-2. Bu iki koşul 4, -8, 16, -32,… geometrik ilerlemesini tanımlar.

Eğer q>0 ise (q, 1'e eşit değildir), bu durumda ilerleme monoton bir dizidir. Örneğin 2, 4,8,16,32, ... dizisi monoton olarak artan bir dizidir (b1=2, q=2).

Geometrik hatanın paydası q=1 ise geometrik ilerlemenin tüm terimleri birbirine eşit olacaktır. Bu gibi durumlarda ilerlemenin sabit bir sıra olduğu söylenir.

Bir sayı dizisinin (bn) geometrik dizi olabilmesi için ikinciden başlayarak her bir üyesinin komşu üyelerin geometrik ortalaması olması gerekir. Yani aşağıdaki denklemin yerine getirilmesi gerekir
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), herhangi bir n>0 için; burada n, N doğal sayılar kümesine aittir.

Şimdi (Xn)'yi geometrik bir ilerleme olarak koyalım. Geometrik ilerlemenin paydası q ve |q|∞).
Şimdi sonsuz bir geometrik ilerlemenin toplamını S ile belirtirsek, o zaman aşağıdaki formül geçerli olacaktır:
S=x1/(1-q).

Basit bir örneğe bakalım:

2, -2/3, 2/9, - 2/27, … sonsuz geometrik ilerlemenin toplamını bulun.

S'yi bulmak için sonsuz aritmetik ilerlemenin toplamı formülünü kullanırız. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Fizik ve matematikteki bazı problemler sayı serilerinin özellikleri kullanılarak çözülebilir. Okullarda öğretilen en basit iki sayı dizisi cebirsel ve geometriktir. Bu yazımızda sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamının nasıl bulunacağı sorusuna daha yakından bakacağız.

İlerleme geometrik

Bu kelimeler, elemanları a i şu ifadeyi karşılayan bir dizi gerçek sayı anlamına gelir:

Burada i serideki eleman sayısı, r ise payda adı verilen sabit bir sayıdır.

Bu tanım, ilerlemenin herhangi bir üyesini ve paydasını bilerek tüm sayı dizisini geri yükleyebileceğinizi gösterir. Örneğin, 10. element biliniyorsa, bunu r'ye bölerek 9. elementi, tekrar bölerek 8. elementi elde edeceğiz ve bu böyle devam edecek. Bu basit argümanlar, söz konusu sayı dizisi için geçerli olan bir ifadeyi yazmamıza olanak tanır:

Paydası 2 olan bir ilerleme örneği aşağıdaki seri olabilir:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Payda -2'ye eşitse tamamen farklı bir seri elde edilir:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

Geometrik ilerleme cebirsel ilerlemeden çok daha hızlıdır, yani terimleri hızla artar ve hızla azalır.

i ilerleme koşullarının toplamı

Pratik problemleri çözmek için genellikle söz konusu sayısal dizinin çeşitli elemanlarının toplamını hesaplamak gerekir. Bu durum için aşağıdaki formül geçerlidir:

S ben = a 1 *(r ben -1)/(r-1)

İ terimlerinin toplamını hesaplamak için yalnızca iki sayıyı bilmeniz gerektiği görülebilir: a 1 ve r; bu mantıklıdır, çünkü bunlar tüm diziyi benzersiz bir şekilde belirler.

Azalan dizi ve terimlerinin toplamı

Şimdi özel bir duruma bakalım. Payda r modülünün biri geçmediğini, yani -1 olduğunu varsayacağız.

Azalan bir geometrik ilerlemeyi dikkate almak ilginçtir çünkü terimlerinin sonsuz toplamı sonlu bir gerçek sayıya eğilimlidir.

Toplamın formülünü alalım.Bir önceki paragrafta S i için verilen ifadeyi yazarsanız bunu yapmak kolaydır. Sahibiz:

S ben = a 1 *(r ben -1)/(r-1)

i->∞ durumunu ele alalım. Paydanın modülü 1'den küçük olduğundan onu sonsuz bir kuvvete yükseltmek sıfır verecektir. Bu, r=0,5 örneği kullanılarak kontrol edilebilir:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

Sonuç olarak, sonsuz azalan geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı şu şekli alacaktır:

Bu formül genellikle pratikte, örneğin şekillerin alanlarını hesaplamak için kullanılır. Aynı zamanda Elea'lı Zenon'un kaplumbağa ve Aşil ile olan paradoksunu çözmek için de kullanılır.

Sonsuz geometrik artan ilerlemenin toplamı dikkate alındığında (r>1) S ∞ = +∞ sonucunun elde edileceği açıktır.

Bir ilerlemenin ilk terimini bulma görevi

Yukarıdaki formüllerin nasıl uygulanacağını bir problem çözme örneği kullanarak gösterelim. Sonsuz bir geometrik ilerlemenin toplamının 11 olduğu bilinmektedir. Üstelik 7. terimi, 3. teriminden 6 kat daha azdır. Bu sayı serisinin ilk elemanı nedir?

Öncelikle 7. ve 3. elementleri belirlemek için iki ifade yazalım. Şunu elde ederiz:

İlk ifadeyi ikinciye bölüp paydayı ifade edersek:

a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3)

Yedinci ve üçüncü terimlerin oranı problem ifadesinde verildiğinden, bunu yerine koyup r'yi bulabilirsiniz:

r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0,63894

R'yi beş ondalık basamağa kadar hesapladık. Ortaya çıkan değer birden küçük olduğundan ilerleme azalıyor, bu da formülün sonsuz toplamı için kullanılmasını haklı çıkarıyor. İlk terimin ifadesini S ∞ toplamı üzerinden yazalım:

Bilinen değerleri bu formülde yerine koyarız ve cevabı alırız:

a 1 = 11*(1-0,63894) = 3,97166.

Zeno'nun hızlı Aşil ve yavaş kaplumbağa ile ünlü paradoksu

Elealı Zeno, M.Ö. 5. yüzyılda yaşamış ünlü bir Yunan filozofudur. e. Matematikteki sonsuz büyük ve sonsuz küçük probleminin formüle edildiği günümüze kadar bu konunun bazı doruk noktaları veya paradoksları ulaşmıştır.

Zeno'nun ünlü paradokslarından biri Aşil ile kaplumbağa arasındaki rekabettir. Zeno, eğer Aşil kaplumbağaya uzaktan bir avantaj sağlarsa ona asla yetişemeyeceğine inanıyordu. Örneğin Aşil'in, örneğin 100 metre önünde sürünen bir hayvandan 10 kat daha hızlı koştuğunu varsayalım. Savaşçı 100 metre koştuğunda kaplumbağa 10 metre sürünerek uzaklaşır, tekrar 10 metre koşan Aşil, kaplumbağanın 1 metre daha süründüğünü görür. Bu şekilde sonsuza kadar tartışabilirsiniz, rakipler arasındaki mesafe gerçekten azalacak ama kaplumbağa her zaman önde olacak.

Zeno'yu hareketin var olmadığı ve etrafındaki nesnelerin tüm hareketlerinin bir yanılsama olduğu sonucuna götürdü. Elbette antik Yunan filozofu yanılıyordu.

Paradoksun çözümü, sürekli azalan parçaların sonsuz toplamının sonlu bir sayıya yönelmesi gerçeğinde yatmaktadır. Yukarıdaki durumda Aşil'in koştuğu mesafe için şunu elde ederiz:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

Sonsuz geometrik ilerlemenin toplamına ilişkin formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

S ∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111,111 metre

Bu sonuç, Aşil'in kaplumbağaya yalnızca 11.111 metre süründüğünde yetişeceğini göstermektedir.

Eski Yunanlılar matematikte sonsuz niceliklerle nasıl çalışılacağını bilmiyorlardı. Ancak Aşil'in aşması gereken sonsuz sayıdaki boşluklara değil, koşucunun hedefine ulaşmak için ihtiyaç duyduğu adımların sonlu sayısına dikkat edersek bu paradoks çözülebilir.