Belirli bir noktadaki bir fonksiyona teğet denklemi. Bir fonksiyonun grafiğine teğet

Bu yazıda bulmak için her türlü sorunu analiz edeceğiz

Hatırlayalım geometrik anlamı türev: Bir fonksiyonun grafiğine bir noktada bir teğet çizilirse, o zaman teğetin eğim katsayısı (teğet ile eksenin pozitif yönü arasındaki açının tanjantına eşit) fonksiyonun türevine eşittir noktada.

Koordinatlarla teğet üzerinde rastgele bir nokta alalım:

Ve bir dik üçgen düşünün:

Bu üçgende

Buradan

Bu, fonksiyonun grafiğine noktadaki çizilen teğetin denklemidir.

Teğet denklemini yazmak için sadece fonksiyonun denklemini ve teğetin çizildiği noktayı bilmemiz gerekir. Daha sonra ve'yi bulabiliriz.

Teğet denklem problemlerinin üç ana türü vardır.

1. Bir temas noktası verildiğinde

2. Teğet eğim katsayısı, yani fonksiyonun noktadaki türevinin değeri verilir.

3. Teğetin çizildiği ancak teğet noktası olmayan noktanın koordinatları verilmiştir.

Her görev türüne bakalım.

1. Teğetin denklemini fonksiyonun grafiğine yazın noktada .

.

b) noktasındaki türevin değerini bulun. İlk önce fonksiyonun türevini bulalım

Bulunan değerleri teğet denklemde yerine koyalım:

Denklemin sağ tarafındaki parantezleri açalım. Şunu elde ederiz:

Cevap: .

2. Fonksiyonların grafiğe teğet olduğu noktaların apsisini bulun x eksenine paralel.

Teğet x eksenine paralel ise, bu nedenle teğet ile eksenin pozitif yönü arasındaki açı sıfırdır, dolayısıyla teğet açının tanjantı da sıfırdır. Bu, fonksiyonun türevinin değerinin olduğu anlamına gelir temas noktalarında sıfırdır.

a) Fonksiyonun türevini bulun .

b) Türevi sıfıra eşitleyelim ve teğetin eksene paralel olduğu değerleri bulalım:

Her faktörü sıfıra eşitlersek şunu elde ederiz:

Cevap: 0;3;5

3. Bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemleri yazın , paralel dümdüz .

Teğet bir doğruya paraleldir. Bu doğrunun eğimi -1'dir. Teğet bu doğruya paralel olduğundan eğimi de -1 olur. Yani teğetin eğimini biliyoruz, ve böylece, teğet noktasındaki türev değeri.

Bu, teğet denklemi bulmayla ilgili ikinci tür problemdir.

Böylece bize türevin teğet noktasındaki fonksiyonu ve değeri veriliyor.

a) Fonksiyonun türevinin -1'e eşit olduğu noktaları bulun.

İlk önce türev denklemini bulalım.

Türevini -1 sayısına eşitleyelim.

Fonksiyonun noktadaki değerini bulalım.

(duruma göre)

.

b) Fonksiyonun grafiğine noktasındaki teğetin denklemini bulun.

Fonksiyonun noktadaki değerini bulalım.

(duruma göre).

Bu değerleri teğet denklemde yerine koyalım:

.

Cevap:

4. Eğrinin teğet denklemini yazın , bir noktadan geçmek

Öncelikle noktanın teğet bir nokta olup olmadığını kontrol edelim. Bir nokta teğet bir nokta ise, o zaman fonksiyonun grafiğine aittir ve koordinatları fonksiyonun denklemini karşılamalıdır. Noktanın koordinatlarını fonksiyon denkleminde yerine koyalım.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} bir temas noktası değildir.

Bu, teğet denklemini bulma probleminin son türüdür. İlk şey teğet noktasının apsisini bulmamız gerekiyor.

değerini bulalım.

Temas noktası olalım. Nokta, fonksiyonun grafiğinin teğetine aittir. Bu noktanın koordinatlarını teğet denklemde yerine koyarsak doğru eşitliği elde ederiz:

.

Fonksiyonun bir noktadaki değeri .

Fonksiyonun noktadaki türevinin değerini bulalım.

Öncelikle fonksiyonun türevini bulalım. Bu .

Bir noktadaki türev şuna eşittir: .

İfadeleri teğet denklemin yerine koyalım. Şunun için denklemi elde ederiz:

Bu denklemi çözelim.

Kesrin payını ve paydasını 2 azaltın:

Denklemin sağ tarafını ortak bir paydaya getirelim. Şunu elde ederiz:

Kesrin payını basitleştirelim ve her iki tarafı da çarpalım - bu ifade kesinlikle sıfırdan büyüktür.

Denklemi elde ederiz

Hadi çözelim. Bunun için her iki parçanın karesini alıp sisteme geçelim.

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

İlk denklemi çözelim.

Haydi karar verelim ikinci dereceden denklem, alıyoruz

İkinci kök, title="8-3x_0>=0 koşulunu karşılamıyor">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Noktadaki eğriye teğet denklemini yazalım. Bunu yapmak için değeri denklemde değiştirin - Zaten kaydettik.

Cevap:
.

Teğet eğri üzerindeki bir noktadan geçen ve bu noktada birinci dereceye kadar onunla çakışan düz bir çizgidir (Şekil 1).

Başka bir tanım: bu sekantın Δ'daki sınırlayıcı konumudur X→0.

Açıklama: Eğriyi iki noktada kesen düz bir çizgi alın: A Ve B(resmi görmek). Bu bir sekant. Eğriyle tek bir ortak nokta bulana kadar onu saat yönünde döndüreceğiz. Bu bize bir teğet verecektir.

Teğetin kesin tanımı:

Bir fonksiyonun grafiğine teğet F noktada türevlenebilir XÖ, noktadan geçen düz bir çizgidir ( XÖ; F(XÖ)) ve sahip olmak eğim F′( XÖ).

Eğim düz bir form çizgisine sahiptir y =kx +B. Katsayı k ve bir eğim bu düz çizgi.

Eğim teğete eşittir dar açı apsis ekseni ile bu düz çizginin oluşturduğu:

k = ten rengi α

Burada α açısı düz çizgi ile arasındaki açıdır. y =kx +B ve x ekseninin pozitif (yani saat yönünün tersine) yönü. denir düz bir çizginin eğim açısı(Şekil 1 ve 2).

Eğim açısı düz ise y =kx +B akut, o zaman eğim pozitif sayı. Grafik artıyor (Şekil 1).

Eğim açısı düz ise y =kx +B genişse eğim negatif bir sayıdır. Grafik azalıyor (Şekil 2).

Düz çizgi x eksenine paralel ise düz çizginin eğim açısı sıfırdır. Bu durumda doğrunun eğimi de sıfırdır (çünkü sıfırın tanjantı sıfırdır). Düz çizginin denklemi y = b gibi görünecektir (Şekil 3).

Bir doğrunun eğim açısı 90° (π/2) ise yani apsis eksenine dik ise bu durumda düz çizgi eşitlikle verilir. x =C, Nerede C– bazı gerçek sayılar (Şekil 4).

Bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemisen = F(X) noktada XÖ:

Örnek: Fonksiyonun grafiğine teğet denklemini bulun F(X) = X 3 – 2X Apsis 2 olan noktada 2+1.

Çözüm .

Algoritmayı takip ediyoruz.

1) Temas noktası XÖ 2'ye eşittir. Hesapla F(XÖ):

F(XÖ) = F(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Bul F′( X). Bunu yapmak için önceki bölümde özetlenen farklılaşma formüllerini uyguluyoruz. Bu formüllere göre; X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Araç:

F′( X) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Şimdi elde edilen değeri kullanarak F′( X), hesaplamak F′( XÖ):

F′( XÖ) = F′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Yani gerekli tüm verilere sahibiz: XÖ = 2, F(XÖ) = 1, F ′( XÖ) = 4. Bu sayıları teğet denklemde yerine koyun ve son çözümü bulun:

y = F(XÖ) + F′( XÖ) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Cevap: y = 4x – 7.

Bir x 0 noktasında sonlu türevi f (x 0) olan bir f fonksiyonu verilsin. Daha sonra f '(x 0) açısal katsayısına sahip olan (x 0 ; f (x 0)) noktasından geçen düz çizgiye teğet denir.

Türev x 0 noktasında mevcut değilse ne olur? İki seçenek var:

1. Grafiğe teğet de yoktur. Klasik bir örnek y = |x | fonksiyonudur. (0; 0) noktasında.
2. Teğet dikey hale gelir. Bu, örneğin (1; π /2) noktasındaki y = arcsin x fonksiyonu için doğrudur.

Teğet denklem

Dikey olmayan herhangi bir düz çizgi, k'nin eğim olduğu y = kx + b formundaki bir denklemle verilir. Teğet bir istisna değildir ve denklemini x 0 noktasında oluşturmak için fonksiyonun değerini ve bu noktadaki türevini bilmek yeterlidir.

O halde parça üzerinde türevi y = f '(x) olan bir y = f(x) fonksiyonu verilsin. Daha sonra herhangi bir x 0 ∈ (a ; b) noktasında bu fonksiyonun grafiğine aşağıdaki denklemle verilen bir teğet çizilebilir:

y = f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Burada f '(x 0) x 0 noktasındaki türevin değeridir ve f (x 0) fonksiyonun kendisinin değeridir.

Görev. y = x 3 fonksiyonu verildiğinde. Bu fonksiyonun grafiğinin x 0 = 2 noktasındaki teğetini yazın.

Teğet denklemi: y = f '(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Bize x 0 = 2 noktası verilmiştir, ancak f (x 0) ve f '(x 0) değerlerinin hesaplanması gerekecektir.

Öncelikle fonksiyonun değerini bulalım. Burada her şey kolay: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Şimdi türevini bulalım: f '(x) = (x 3)' = 3x 2;
Türevde x 0 = 2'yi yerine koyarız: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Toplamda şunu elde ederiz: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Bu teğet denklemidir.

Görev. f (x) = 2sin x + 5 fonksiyonunun grafiğine x 0 = π /2 noktasındaki teğet için bir denklem yazın.

Bu sefer her eylemi ayrıntılı olarak açıklamayacağız - yalnızca temel adımları göstereceğiz. Sahibiz:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f '(x 0) = f '(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Teğet denklemi:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

İkinci durumda düz çizginin yatay olduğu ortaya çıktı çünkü açısal katsayısı k = 0. Bunda yanlış bir şey yok - sadece bir uç noktaya rastladık.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye başvuru yaptığınızda adınız, telefon numaranız, adresiniz gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz. E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Teğet düz bir çizgidir , fonksiyonun grafiğine bir noktada dokunan ve tüm noktaları fonksiyonun grafiğinden en kısa mesafede olan. Bu nedenle teğet, fonksiyonun grafiğine belirli bir açıda teğet geçer ve farklı açılardaki birkaç teğet, teğet noktasından geçemez. Bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemler ve normal denklemler türev kullanılarak oluşturulur.

Teğet denklemi çizgi denkleminden türetilir .

Fonksiyonun grafiğine önce teğet denklemini, sonra da normal denklemini çıkaralım.

sen = kx + B .

Onun içinde k- açısal katsayı.

Buradan aşağıdaki girişi elde ederiz:

sen - sen 0 = k(X - X 0 ) .

Türev değeri F "(X 0 ) işlevler sen = F(X) noktada X0 eğime eşit k= tg φ bir noktadan çizilen bir fonksiyonun grafiğine teğet M0 (X 0 , sen 0 ) , Nerede sen0 = F(X 0 ) . Bu Türevin geometrik anlamı .

Böylece değiştirebiliriz k Açık F "(X 0 ) ve aşağıdakileri alın bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemi :

sen - sen 0 = F "(X 0 )(X - X 0 ) .

Bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemi oluşturmayı içeren problemlerde (ki bunlara yakında geçeceğiz), yukarıdaki formülden elde edilen denklemin şuna indirgenmesi gerekir: genel formda düz bir çizginin denklemi. Bunu yapmak için tüm harf ve sayıları denklemin sol tarafına taşımanız ve sağ tarafta sıfır bırakmanız gerekir.

Şimdi normal denklem hakkında. Normal - bu, teğete dik fonksiyonun grafiğine teğet noktasından geçen düz bir çizgidir. Normal denklem :

(X - X 0 ) + F "(X 0 )(sen - sen 0 ) = 0

Isınmak için ilk örneği kendiniz çözmeniz ve ardından çözüme bakmanız istenir. Bu görevin okuyucularımız için “soğuk bir duş” olmayacağını ummak için her türlü neden var.

Örnek 0. Bir fonksiyonun grafiği için bir noktadaki teğet denklemi ve normal denklemi oluşturun M (1, 1) .

Örnek 1. Bir fonksiyonun grafiği için bir teğet denklem ve normal bir denklem yazın apsis teğet ise.

Fonksiyonun türevini bulalım:

Artık teğet denklemini elde etmek için teorik yardımda verilen girişin yerine koymamız gereken her şeye sahibiz. Aldık

Bu örnekte şanslıydık: eğimin şu olduğu ortaya çıktı: sıfıra eşit bu nedenle denklemi ayrı ayrı azaltın Genel görünüm ihtiyaç yoktu. Artık normal denklemi oluşturabiliriz:

Aşağıdaki şekilde: bordo renkli, teğet bir fonksiyonun grafiği Yeşil renk, turuncu normal.

Bir sonraki örnek de karmaşık değil: fonksiyon, öncekinde olduğu gibi, aynı zamanda bir polinomdur, ancak eğim sıfıra eşit olmayacaktır, bu nedenle denklemi genel bir forma getirerek bir adım daha eklenecektir.

Örnek 2.

Çözüm. Teğet noktasının koordinatını bulalım:

Fonksiyonun türevini bulalım:

.

Teğet noktasındaki, yani teğetin eğimindeki türevin değerini bulalım:

Elde edilen tüm verileri "boş formüle" koyarız ve teğet denklemi elde ederiz:

Denklemi genel şekline getiriyoruz (sıfır dışındaki tüm harf ve rakamları sol tarafta topluyoruz, sağ tarafta sıfır bırakıyoruz):

Normal denklemi oluşturuyoruz:

Örnek 3. Apsis teğet noktası ise fonksiyonun grafiğine teğet denklemini ve normalin denklemini yazın.

Çözüm. Teğet noktasının koordinatını bulalım:

Fonksiyonun türevini bulalım:

.

Teğet noktasındaki, yani teğetin eğimindeki türevin değerini bulalım:

.

Teğet denklemini buluyoruz:

Denklemi genel formuna getirmeden önce biraz “taramanız” gerekiyor: terimi terimle 4 ile çarpın. Bunu yapıp denklemi genel formuna getiriyoruz:

Normal denklemi oluşturuyoruz:

Örnek 4. Apsis teğet noktası ise fonksiyonun grafiğine teğet denklemini ve normalin denklemini yazın.

Çözüm. Teğet noktasının koordinatını bulalım:

.

Fonksiyonun türevini bulalım:

Teğet noktasındaki, yani teğetin eğimindeki türevin değerini bulalım:

.

Teğet denklemini elde ederiz:

Denklemi genel formuna getiriyoruz:

Normal denklemi oluşturuyoruz:

Teğet ve normal denklemleri yazarken sık karşılaşılan bir hata, örnekte verilen fonksiyonun karmaşık olduğunu fark etmemek ve türevini basit bir fonksiyonun türevi olarak hesaplamaktır. Aşağıdaki örnekler zaten karmaşık işlevler(ilgili ders yeni bir pencerede açılacaktır).

Örnek 5. Apsis teğet noktası ise fonksiyonun grafiğine teğet denklemini ve normalin denklemini yazın.

Çözüm. Teğet noktasının koordinatını bulalım:

Dikkat! Bu işlev- karmaşık, teğet argümanından bu yana (2 X) kendisi bir fonksiyondur. Dolayısıyla bir fonksiyonun türevini karmaşık bir fonksiyonun türevi olarak buluyoruz.