Aritmetik denklemler. Aritmetik ilerlemenin toplamı nedir: formül. Aritmetik ilerleme. ortalama seviye

Ders türü: yeni materyal öğrenmek.

Dersin Hedefleri:

• öğrencilerin aritmetik ilerleme kullanılarak çözülen problemlere ilişkin anlayışlarını genişletmek ve derinleştirmek; bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamına ilişkin formülü türetirken öğrencilerin arama etkinliklerini organize etmek;
• bağımsız olarak yeni bilgi edinme ve belirli bir görevi gerçekleştirmek için önceden edinilmiş bilgileri kullanma yeteneğini geliştirmek;
• elde edilen gerçekleri genelleme arzusunu ve ihtiyacını geliştirmek, bağımsızlığı geliştirmek.

Görevler:

• “Aritmetik ilerleme” konusundaki mevcut bilgileri özetlemek ve sistematik hale getirmek;
• bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamını hesaplamak için formüller türetmek;
• elde edilen formüllerin çeşitli problemleri çözerken nasıl uygulanacağını öğretmek;
• Öğrencilerin dikkatini sayısal bir ifadenin değerini bulma prosedürüne çekin.

Teçhizat:

• gruplar ve çiftler halinde çalışmaya yönelik görevleri içeren kartlar;
• değerlendirme belgesi;
• sunum"Aritmetik ilerleme."

I. Temel bilgilerin güncellenmesi.

1. Bağımsız işçift ​​halde.

1. seçenek:

Aritmetik ilerlemeyi tanımlayın. Belirleyen yineleme formülünü yazın aritmetik ilerleme. Lütfen aritmetik ilerlemeye bir örnek verin ve farkını belirtin.

2. seçenek:

Aritmetik ilerlemenin n'inci teriminin formülünü yazın. Aritmetik ilerlemenin 100. terimini bulun ( BİR}: 2, 5, 8 …
Bu sırada iki öğrenci arka taraf kurullar da aynı soruların yanıtlarını hazırlıyor.
Öğrenciler arkadaşlarının çalışmalarını tahtada kontrol ederek değerlendirirler. (Cevapların bulunduğu kağıtlar teslim edilir.)

2. Oyun anı.

1. Egzersiz.

Öğretmen. Bazı aritmetik ilerlemeler düşündüm. Bana sadece iki soru sor ki cevaplardan sonra bu ilerlemenin 7. dönemini hızlı bir şekilde adlandırabilesin. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Öğrencilerden gelen sorular.

1. İlerlemenin altıncı dönemi nedir ve fark nedir?
2. İlerlemenin sekizinci terimi nedir ve fark nedir?

Başka soru yoksa, öğretmen onları teşvik edebilir - d'ye (fark) "yasak", yani farkın neye eşit olduğunu sormaya izin verilmez. Soru sorabilirsiniz: ilerlemenin 6. terimi neye eşittir ve ilerlemenin 8. terimi neye eşittir?

Görev 2.

Tahtada yazılı 20 sayı vardır: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Öğretmen sırtı tahtaya dönük olarak durur. Öğrenciler numarayı söyler ve öğretmen anında numaranın kendisini söyler. Bunu nasıl yapabileceğimi açıkla?

Öğretmen n'inci dönemin formülünü hatırlıyor bir n = 3n – 2 ve belirtilen n değerlerini değiştirerek karşılık gelen değerleri bulur BİR.

II. Bir öğrenme görevi ayarlama.

Mısır papirüslerinde bulunan, MÖ 2. binyıla kadar uzanan eski bir sorunu çözmeyi öneriyorum.

Görev:“Size şunu söyleyelim: 10 ölçek arpayı 10 kişiye bölüştürün, her kişiyle komşusu arasındaki fark 1/8 kadardır.”

• Bu problemin aritmetik ilerleme konusuyla nasıl bir bağlantısı var? (Sonraki her kişi ölçünün 1/8'i kadar fazla alır yani fark d=1/8, 10 kişi yani n=10 olur.)
• Sizce 10 numaralı tedbir ne anlama geliyor? (İlerlemenin tüm terimlerinin toplamı.)
• Arpanın problemin koşullarına göre bölünmesini kolay ve basit hale getirmek için bilmeniz gereken başka neler var? (İlerlemenin ilk dönemi.)

Dersin Amacı– ilerlemenin terimlerinin toplamının sayılarına, ilk terime ve farka bağımlılığını elde etmek ve eski zamanlarda problemin doğru çözülüp çözülmediğini kontrol etmek.

Formülü çıkarmadan önce eski Mısırlıların sorunu nasıl çözdüklerine bakalım.

Ve bunu şu şekilde çözdüler:

1) 10 ölçü: 10 = 1 ölçü – ortalama pay;
2) 1 ölçü ∙ = 2 ölçü – iki katına çıkar ortalama paylaşmak.
İki katına çıktı ortalama hisse 5. ve 6. şahısların hisselerinin toplamıdır.
3) 2 ölçü – 1/8 ölçü = 1 7/8 ölçü – beşinci kişinin payının iki katı.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – beşte bir kesri; vb. her bir önceki ve sonraki kişinin payını bulabilirsiniz.

Sırayı alıyoruz:

III. Sorunu çözmek.

1. Grup halinde çalışın

Grup I: Ardışık 20'nin toplamını bulun doğal sayılar: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Genel olarak

II grubu: 1'den 100'e kadar doğal sayıların toplamını bulun (Küçük Gauss Efsanesi).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Çözüm:

III grubu: 1'den 21'e kadar doğal sayıların toplamını bulun.

Çözüm: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Çözüm:

IV grubu: 1'den 101'e kadar doğal sayıların toplamını bulun.

Çözüm:

Ele alınan problemleri çözmenin bu yöntemine “Gauss Yöntemi” denir.

2. Her grup problemin çözümünü tahtada sunar.

3. Keyfi bir aritmetik ilerleme için önerilen çözümlerin genelleştirilmesi:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Benzer akıl yürütmeyi kullanarak bu toplamı bulalım:

4. Sorunu çözdük mü?(Evet.)

IV. Elde edilen formüllerin problem çözümünde temel olarak anlaşılması ve uygulanması.

1. Formülü kullanarak eski bir problemin çözümünü kontrol etmek.

2. Formülün çeşitli problemlerin çözümünde uygulanması.

3. Problem çözerken formülleri uygulama yeteneğini geliştirmeye yönelik alıştırmalar.

A) 613 Sayılı

Verilen: ( BİR) - aritmetik ilerleme;

(bir n): 1, 2, 3,…, 1500

Bulmak: S 1500

Çözüm: , a 1 = 1 ve 1500 = 1500,

B) Verilen: ( BİR) - aritmetik ilerleme;
(bir n): 1, 2, 3, …
Sn = 210

Bulmak: N
Çözüm:

V. Karşılıklı doğrulama ile bağımsız çalışma.

Denis kurye olarak çalışmaya başladı. İlk ayda maaşı 200 rubleydi, sonraki her ayda ise 30 ruble arttı. Bir yılda toplam ne kadar kazandı?

Verilen: ( BİR) - aritmetik ilerleme;
a 1 = 200, d=30, n=12
Bulmak: S12
Çözüm:

Cevap: Denis yıl için 4380 ruble aldı.

VI. Ev ödevi talimatı.

1. Bölüm 4.3 – formülün türetilmesini öğrenin.
2. №№ 585, 623 .
3. Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamına ilişkin formül kullanılarak çözülebilecek bir problem oluşturun.

VII. Dersi özetlemek.

1. Puan Tablosu

2. Cümlelere devam edin

• Bugün sınıfta öğrendim...
• Öğrenilen formüller...
• İnanıyorum ki …

3. 1'den 500'e kadar sayıların toplamını bulabilir misiniz? Bu sorunu çözmek için hangi yöntemi kullanacaksınız?

Kaynakça.

1. Cebir, 9. sınıf. için öğretici Eğitim Kurumları. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: “Aydınlanma”, 2009.

Ne asıl nokta formüller?

Bu formül bulmanızı sağlar herhangi NUMARASIYLA " N" .

Elbette ilk terimi de bilmeniz gerekir. 1 ve ilerleme farkı D, bu parametreler olmadan belirli bir ilerlemeyi yazamazsınız.

Bu formülü ezberlemek (veya not etmek) yeterli değildir. Bunun özünü anlamanız ve formülü çeşitli problemlere uygulamanız gerekir. Ve ayrıca doğru zamanda unutmamak gerekir, evet...) Nasıl unutma- Bilmiyorum. Ve burada nasıl hatırlanır Gerekirse size mutlaka tavsiyede bulunacağım. Dersi sonuna kadar tamamlayanlar için.)

Şimdi aritmetik ilerlemenin n'inci teriminin formülüne bakalım.

Genel olarak formül nedir? Bu arada okumadıysanız bir göz atın. Orada her şey basit. Ne olduğunu anlamaya devam ediyor n'inci terim.

İlerleme genel olarak bir sayı dizisi olarak yazılabilir:

bir 1, bir 2, bir 3, bir 4, bir 5, .....

1- aritmetik ilerlemenin ilk terimini belirtir, 3- üçüncü üye, 4- dördüncü vb. Beşinci dönemle ilgileniyorsak diyelim ki çalışıyoruz. 5, eğer yüz yirminci - s 120.

Genel hatlarıyla nasıl tanımlayabiliriz? herhangi aritmetik ilerleme terimi, herhangi sayı? Çok basit! Bunun gibi:

BİR

İşte bu Bir aritmetik ilerlemenin n'inci terimi. N harfi tüm üye numaralarını aynı anda gizler: 1, 2, 3, 4 vb.

Peki böyle bir kayıt bize ne veriyor? Düşünün, sayı yerine mektup yazdılar...

Bu gösterim bize aritmetik ilerlemeyle çalışmak için güçlü bir araç sağlar. Gösterimi kullanma BİR, hızlı bir şekilde bulabiliriz herhangiüye herhangi aritmetik ilerleme. Ve bir sürü başka ilerleme problemini çözün. Daha fazlasını kendiniz göreceksiniz.

Aritmetik ilerlemenin n'inci terimi formülünde:

a n = a 1 + (n-1)d

1- aritmetik ilerlemenin ilk terimi;

N- üye numarası.

Formül, herhangi bir ilerlemenin temel parametrelerini birbirine bağlar: BİR ; bir 1; D Ve N. Tüm ilerleme sorunları bu parametreler etrafında döner.

N'inci terim formülü aynı zamanda belirli bir ilerlemeyi yazmak için de kullanılabilir. Örneğin problem, ilerlemenin koşul tarafından belirtildiğini söyleyebilir:

a n = 5 + (n-1) 2.

Böyle bir sorun çıkmaz sokak olabilir... Ne bir seri ne de bir fark vardır... Ama durumu formülle karşılaştırınca bu gidişatın ne olduğunu anlamak kolaydır. a 1 =5 ve d=2.

Hatta daha da kötüsü olabilir!) Aynı koşulu alırsak: a n = 5 + (n-1) 2, Evet, parantezleri açıp benzerlerini getirir misiniz? Aldık yeni formül:

bir n = 3 + 2n.

Bu Sadece genel değil, belirli bir ilerleme için. İşte tuzak burada gizleniyor. Bazıları ilk terimin üç olduğunu düşünüyor. Gerçekte ilk terim beş olmasına rağmen... Biraz daha düşük, böyle değiştirilmiş bir formülle çalışacağız.

İlerleme problemlerinde başka bir gösterim daha var - bir n+1. Bu, tahmin ettiğiniz gibi ilerlemenin “n artı ilk” terimidir. Anlamı basit ve zararsızdır.) Bu, sayısı n sayısından bir büyük olan dizinin bir üyesidir. Örneğin, eğer bir problemde alırsak BİR o zaman beşinci dönem bir n+1 altıncı üye olacak. Vesaire.

Çoğu zaman atama bir n+1 yineleme formüllerinde bulunur. Bu korkutucu kelimeden korkmayın!) Bu sadece aritmetik ilerlemenin bir üyesini ifade etmenin bir yoludur bir önceki aracılığıyla. Tekrarlanan bir formül kullanılarak bize bu biçimde bir aritmetik ilerleme verildiğini varsayalım:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Dördüncüden üçüncüye, beşinciden dördüncüye vb. Mesela yirminci terimi hemen nasıl sayabiliriz? 20? Ama mümkün değil!) 19. dönemi bulana kadar 20. dönemi sayamayız. Tekrarlayan formül ile n'inci terimin formülü arasındaki temel fark budur. Tekrarlanan işler yalnızca aracılığıyla öncesi terim ve n'inci terimin formülü Birinci ve izin verir hemen herhangi bir üyeyi numarasına göre bulun. Tüm sayı dizisini sırayla hesaplamadan.

Aritmetik ilerlemede tekrarlanan bir formülü düzenli bir formüle dönüştürmek kolaydır. Ardışık bir çift terimi sayın, farkı hesaplayın D, gerekirse ilk terimi bulun 1, formülü her zamanki haliyle yazın ve onunla çalışın. Bu tür görevlere Devlet Bilimler Akademisi'nde sıklıkla rastlanmaktadır.

Bir aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için formülün uygulanması.

Öncelikle formülün doğrudan uygulamasına bakalım. Önceki dersin sonunda bir sorun vardı:

Aritmetik ilerleme (a n) verilmiştir. a 1 =3 ve d=1/6 ise 121'i bulun.

Bu problem herhangi bir formül olmadan, sadece aritmetik ilerlemenin anlamına dayanarak çözülebilir. Ekle ve ekle... Bir veya iki saat.)

Ve formüle göre çözüm bir dakikadan az sürecek. Zamanlamasını ayarlayabilirsiniz.) Hadi karar verelim.

Koşullar formülün kullanılmasına ilişkin tüm verileri sağlar: a 1 =3, d=1/6. Neyin eşit olduğunu bulmaya devam ediyor N. Sorun değil! Bulmalıyız 121. O halde şunu yazıyoruz:

Lütfen dikkatini ver! Bir indeks yerine N belirli bir sayı ortaya çıktı: 121. Bu oldukça mantıklı.) Aritmetik ilerlemenin üyesiyle ilgileniyoruz yüz yirmi bir numara. Bu bizim olacak N. anlamı bu N= 121'i formülde parantez içinde değiştireceğiz. Tüm sayıları formülde yerine koyarız ve hesaplarız:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Bu kadar. Beş yüz onuncu terimi ve bin üçüncü terimi de aynı hızla bulabiliriz. Onun yerine koyduk N" harfinin dizininde istenilen sayı A" ve parantez içinde sayıyoruz.

Size şu noktayı hatırlatmama izin verin: bu formül bulmanızı sağlar herhangi aritmetik ilerleme terimi NUMARASIYLA " N" .

Sorunu daha kurnaz bir şekilde çözelim. Aşağıdaki sorunla karşılaşalım:

a 17 =-2 ise, aritmetik ilerlemenin ilk terimini (a n) bulun; d=-0,5.

Herhangi bir zorlukla karşılaşırsanız size ilk adımı anlatacağım. Aritmetik ilerlemenin n'inci teriminin formülünü yazın! Evet evet. Ellerinizle doğrudan not defterinize yazın:

a n = a 1 + (n-1)d

Ve şimdi formülün harflerine baktığımızda hangi verilere sahip olduğumuzu ve neyin eksik olduğunu anlıyoruz? Mevcut d=-0,5, on yedinci bir üye var... Öyle mi? Eğer böyle düşünürsen sorunu çözemezsin, evet...

Hala bir numaramız var N! Durumda a 17 =-2 gizlenmiş iki parametre. Bu hem on yedinci terimin değeri (-2) hem de sayısıdır (17). Onlar. n=17. Bu "önemsiz şey" çoğu zaman kafanın yanından geçer ve o olmadan ("önemsiz" olmadan, kafa değil!) sorun çözülemez. Yine de... ve kafasız da.)

Artık verilerimizi aptalca bir şekilde formüle koyabiliriz:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Oh evet, 17-2 olduğunu biliyoruz. Tamam, yerine koyalım:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Temelde hepsi bu. Geriye formülden aritmetik ilerlemenin ilk terimini ifade etmek ve hesaplamak kalıyor. Cevap şöyle olacaktır: 1 = 6.

Bir formül yazmak ve bilinen verileri basitçe yerine koymaktan oluşan bu teknik, basit görevlerde çok yardımcı olur. Elbette bir değişkeni formülden ifade edebilmeniz gerekiyor ama ne yapmalısınız? Bu beceri olmadan matematik hiç çalışılmayabilir...

Bir başka popüler bulmaca:

a 1 =2 ise, aritmetik ilerlemenin (a n) farkını bulun; 15 =12.

Biz ne yapıyoruz? Şaşıracaksınız, formülü yazıyoruz!)

a n = a 1 + (n-1)d

Bildiklerimizi düşünelim: a 1 =2; a 15 =12; ve (özellikle vurgulayacağım!) n=15. Bunu formülde değiştirmekten çekinmeyin:

12=2 + (15-1)d

Aritmetik yapıyoruz.)

12=2 + 14d

D=10/14 = 5/7

Bu doğru cevap.

Yani, görevler bir n, bir 1 Ve D karar verilmiş. Geriye kalan tek şey numarayı nasıl bulacağınızı öğrenmek:

99 sayısı aritmetik ilerlemenin (an) bir üyesidir; burada a 1 =12; d=3. Bu üyenin numarasını bulun.

Bildiğimiz miktarları n'inci terimin formülüne koyarız:

a n = 12 + (n-1) 3

İlk bakışta burada bilinmeyen iki büyüklük var: bir n ve n. Ancak BİR- bu bir sayı ile ilerlemenin bir üyesidir N...Ve ilerlemenin bu üyesini tanıyoruz! 99. Numarasını bilmiyoruz. N, Yani bulmanız gereken şey bu sayıdır. 99 ilerlemesinin terimini formülde değiştiririz:

99 = 12 + (n-1)3

Formülden ifade ediyoruz N, düşünürüz. Cevabını alıyoruz: n=30.

Şimdi de aynı konuyla ilgili bir problem ama daha yaratıcı):

117 sayısının aritmetik ilerlemenin (a n) bir üyesi olup olmadığını belirleyin:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Formülü tekrar yazalım. Ne, hiç parametre yok mu? Hım... Bize neden göz veriliyor?) İlerlemenin ilk dönemini görüyor muyuz? Görürüz. Bu -3.6. Güvenle yazabilirsiniz: 1 = -3,6. Fark D Diziden anlayabilir misiniz? Aritmetik ilerlemenin farkının ne olduğunu biliyorsanız bunu yapmak kolaydır:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Yani en basit şeyi yaptık. Bilinmeyen numarayla uğraşmak kalıyor N ve anlaşılmaz sayı olan 117. Bir önceki problemde en azından verilen ilerlemenin terimi olduğu biliniyordu. Ama burada onu bile bilmiyoruz... Ne yapmalı!? Peki ne yapmalı, ne yapmalı... Aç Yaratıcı beceriler!)

Biz sanmak sonuçta 117 bizim ilerleyişimizin bir üyesi. Bilinmeyen bir numarayla N. Ve tıpkı önceki problemde olduğu gibi bu sayıyı bulmaya çalışalım. Onlar. formülü yazıyoruz (evet, evet!) ve sayılarımızı değiştiriyoruz:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Yine formülden ifade ediyoruzN, sayarız ve şunu elde ederiz:

Hata! Sayı ortaya çıktı kesirli! Yüz bir buçuk. Ve ilerlemelerdeki kesirli sayılar olamaz. Hangi sonuca varabiliriz? Evet! 117 numara değil ilerlememizin bir üyesi. Yüz birinci terim ile yüz ikinci terim arasında bir yerdedir. Sayı doğal çıkarsa, yani. pozitif bir tam sayı ise sayı, bulunan sayı ile ilerlemenin bir üyesi olacaktır. Ve bizim durumumuzda sorunun cevabı şöyle olacaktır: HAYIR.

GIA'nın gerçek versiyonunu temel alan bir görev:

Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir:

a n = -4 + 6,8n

İlerlemenin birinci ve onuncu terimlerini bulun.

Burada ilerleme alışılmadık bir şekilde ayarlanıyor. Bir çeşit formül... Olur.) Ancak bu formül (yukarıda yazdığım gibi) - ayrıca bir aritmetik ilerlemenin n'inci teriminin formülü! O da izin veriyor ilerlemenin herhangi bir üyesini numarasına göre bulun.

İlk üyeyi arıyoruz. Düşünen kişi. ilk terimin eksi dört olması büyük bir yanılgıdır!) Çünkü problemdeki formül değiştirildi. Aritmetik ilerlemenin ilk terimi gizlenmiş. Sorun değil, şimdi bulacağız.)

Daha önceki problemlerde olduğu gibi yerine n=1 bu formüle:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Burada! İlk terim -4 değil 2,8!

Onuncu terimi de aynı şekilde arıyoruz:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Bu kadar.

Ve şimdi bu satırları okuyanlar için vaat edilen bonus.)

Diyelim ki, Devlet Sınavı veya Birleşik Devlet Sınavı'nın zorlu bir savaş durumunda, aritmetik ilerlemenin n'inci dönemi için yararlı formülü unuttunuz. Bir şey hatırlıyorum ama bir şekilde emin olamıyorum... Veya N orada veya n+1 veya n-1... Nasıl olunur?

Sakinlik! Bu formülün türetilmesi kolaydır. Çok katı bir şekilde değil ama güven için ve doğru karar kesinlikle yeterli!) Bir sonuca varmak için aritmetik ilerlemenin temel anlamını hatırlamak ve birkaç dakikanız olması yeterlidir. Sadece bir resim çizmeniz yeterli. Açıklık için.

Bir sayı doğrusu çizin ve ilkini işaretleyin. ikinci, üçüncü vb. üyeler. Ve farkı not ediyoruz Düyeler arasında. Bunun gibi:

Resme bakıyoruz ve düşünüyoruz: İkinci terim neye eşittir? Saniye bir D:

A 2 =a 1 + 1 D

Üçüncü terim nedir? Üçüncü terim eşittir ilk terim artı iki D.

A 3 =a 1 + 2 D

Anladın mı? Bazı kelimeleri kalın harflerle vurgulamam boşuna değil. Tamam, bir adım daha).

Dördüncü terim nedir? Dördüncü terim eşittir ilk terim artı üç D.

A 4 =a 1 + 3 D

Boşlukların sayısının, yani. D, Her zaman Aradığınız üye sayısından bir eksik N. Yani sayıya n, boşluk sayısı irade n-1. Bu nedenle formül şu şekilde olacaktır (değişiklikler olmadan!):

a n = a 1 + (n-1)d

Genel olarak görsel resimler matematikteki birçok problemin çözümünde oldukça faydalıdır. Resimleri ihmal etmeyin. Ancak bir resim çizmek zorsa, o zaman... sadece bir formül!) Ek olarak, n'inci terimin formülü, matematiğin tüm güçlü cephaneliğini çözüme - denklemler, eşitsizlikler, sistemler vb. - bağlamanıza olanak tanır. Denkleme resim ekleyemezsiniz...

Bağımsız çözüm için görevler.

Isıtmak:

1. Aritmetik ilerlemede (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. 3'ü bulun.

İpucu: Resme göre sorun 20 saniyede çözülebilir... Formüle göre daha zor çıkıyor. Ancak formüle hakim olmak için daha kullanışlıdır.) Bölüm 555'te bu sorun hem resim hem de formül kullanılarak çözülmektedir. Farkı Hisset!)

Ve bu artık bir ısınma değil.)

2. Aritmetik ilerlemede (an) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. a 3'ü bulun.

Ne, resim çizmek istemiyor musun?) Elbette! Formüle göre daha iyi, evet...

3. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Bu ilerlemenin yüz yirmi beşinci terimini bulun.

Bu görevde ilerleme yinelenen bir şekilde belirtilir. Ama yüz yirmi beşinci döneme kadar sayarsak... Herkes böyle bir başarıya sahip değildir.) Ama n'inci dönemin formülü herkesin gücündedir!

4. Aritmetik ilerleme (a n) verildiğinde:

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

İlerlemenin en küçük pozitif teriminin sayısını bulun.

5. Görev 4'ün koşullarına göre ilerlemenin en küçük pozitif ve en büyük negatif terimlerinin toplamını bulun.

6. Artan aritmetik ilerlemenin beşinci ve on ikinci terimlerinin çarpımı -2,5'e, üçüncü ve on birinci terimlerin toplamı ise sıfıra eşittir. 14'ü bulun.

En kolay iş değil evet...) “Parmak ucu” yöntemi burada işe yaramayacak. Formüller yazmanız ve denklemleri çözmeniz gerekecek.

Cevaplar (karışıklık içinde):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Olmuş? Bu iyi!)

Her şey yolunda gitmiyor mu? Olur. Bu arada son görevde ince bir nokta var. Sorunu okurken dikkatli olunması gerekecektir. Ve mantık.

Tüm bu sorunların çözümü Bölüm 555'te ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Dördüncüsü fantezi unsuru, altıncısı ise ince bir an ve genel yaklaşımlar n'inci terimin formülünü içeren herhangi bir problemi çözmek için - her şey yazılmıştır. Ben tavsiye ediyorum.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Numara dizisi

O halde oturup bazı sayıları yazmaya başlayalım. Örneğin:
Herhangi bir sayı yazabilirsiniz ve istediğiniz kadar sayı olabilir (bizim durumumuzda vardır). Ne kadar sayı yazarsak yazalım her zaman hangisinin birinci, hangisinin ikinci olduğunu vb. sonuncuya kadar söyleyebiliriz, yani onları numaralandırabiliriz. Bu bir sayı dizisi örneğidir:

Numara dizisi
Örneğin dizimiz için:

Atanan numara, dizideki yalnızca bir numaraya özeldir. Yani dizide üç saniyelik sayı yok. İkinci sayı (inci sayı gibi) her zaman aynıdır.
Üzerinde sayı bulunan sayıya dizinin inci terimi denir.

Genellikle dizinin tamamını bir harfle (örneğin,) çağırırız ve bu dizinin her üyesi, bu üyenin numarasına eşit bir indeksle aynı harftir: .

Bizim durumumuzda:

Diyelim ki komşu sayılar arasındaki farkın aynı ve eşit olduğu bir sayı dizimiz var.
Örneğin:

vesaire.
Bu sayı dizisine aritmetik ilerleme denir.
"İlerleme" terimi, 6. yüzyılda Romalı yazar Boethius tarafından tanıtıldı ve daha geniş anlamda sonsuz bir sayısal dizi olarak anlaşıldı. "Aritmetik" adı, eski Yunanlılar tarafından incelenen sürekli oranlar teorisinden aktarılmıştır.

Bu, her bir üyesi aynı sayıya eklenen bir öncekine eşit olan bir sayı dizisidir. Bu sayıya aritmetik ilerlemenin farkı denir ve gösterilir.

Hangi sayı dizilerinin aritmetik ilerleme olduğunu, hangilerinin olmadığını belirlemeye çalışın:

A)
B)
C)
D)

Anladım? Cevaplarımızı karşılaştıralım:
Dır-dir aritmetik ilerleme - b, c.
Değil aritmetik ilerleme - a, d.

Verilen ilerlemeye () dönelim ve onun inci teriminin değerini bulmaya çalışalım. Var iki onu bulmanın yolu.

1. Yöntem

İlerlemenin 3. dönemine ulaşana kadar ilerleme sayısını önceki değere ekleyebiliriz. Özetleyecek çok fazla şeyimiz olmaması iyi bir şey; yalnızca üç değer:

Yani açıklanan aritmetik ilerlemenin inci terimi eşittir.

2. Yöntem

İlerlemenin inci teriminin değerini bulmamız gerekirse ne olur? Toplama işlemi bir saatten fazla zaman alır ve sayıları toplarken hata yapmayacağımız da bir gerçek değil.
Elbette matematikçiler, aritmetik ilerlemenin farkını önceki değere eklemenin gerekli olmadığı bir yol bulmuşlardır. Çizilen resme daha yakından bakın... Elbette belli bir modeli zaten fark etmişsinizdir, yani:

Örneğin bu aritmetik ilerlemenin . teriminin değerinin nelerden oluştuğuna bakalım:


Başka bir deyişle:

Belirli bir aritmetik ilerlemenin bir üyesinin değerini bu şekilde kendiniz bulmaya çalışın.

Hesapladın mı? Notlarınızı cevapla karşılaştırın:

Aritmetik ilerlemenin terimlerini sırayla önceki değere eklediğimizde, önceki yöntemdekiyle tamamen aynı sayıyı elde ettiğinizi lütfen unutmayın.
Bu formülü "kişisellikten arındırmaya" çalışalım - hadi hayata geçirelim Genel form ve şunu elde ederiz:

Aritmetik ilerleme denklemi.

Aritmetik ilerlemeler artan veya azalan olabilir.

Artan- terimlerin her bir sonraki değerinin bir öncekinden daha büyük olduğu ilerlemeler.
Örneğin:

Azalan- terimlerin her bir sonraki değerinin bir öncekinden daha küçük olduğu ilerlemeler.
Örneğin:

Türetilen formül, bir aritmetik ilerlemenin hem artan hem de azalan terimlerinin hesaplanmasında kullanılır.
Bunu pratikte kontrol edelim.
Bize aşağıdaki sayılardan oluşan bir aritmetik ilerleme veriliyor: Hesaplamak için formülümüzü kullanırsak, bu aritmetik ilerlemenin inci sayısının ne olacağını kontrol edelim:

O zamandan beri:

Dolayısıyla formülün hem azalan hem de artan aritmetik ilerlemede çalıştığına inanıyoruz.
Bu aritmetik ilerlemenin inci ve inci terimlerini kendiniz bulmaya çalışın.

Sonuçları karşılaştıralım:

Aritmetik ilerleme özelliği

Sorunu karmaşıklaştıralım - aritmetik ilerlemenin özelliğini türeteceğiz.
Diyelim ki bize aşağıdaki koşul verildi:
- aritmetik ilerleme, değeri bulun.
Kolay, deyin ve zaten bildiğiniz formüle göre saymaya başlayın:

Haydi o zaman:

Kesinlikle doğru. Önce bulduğumuz, sonra onu ilk sayıya eklediğimiz ve aradığımız şeyi elde ettiğimiz ortaya çıktı. İlerleme küçük değerlerle temsil ediliyorsa, o zaman bunda karmaşık bir şey yoktur, peki ya durumda bize sayılar verilirse? Katılıyorum, hesaplamalarda hata yapma olasılığı var.
Şimdi bu sorunu herhangi bir formülü kullanarak tek adımda çözmenin mümkün olup olmadığını düşünün. Elbette evet ve şimdi bunu ortaya çıkarmaya çalışacağız.

Aritmetik ilerlemenin gerekli terimini, onu bulma formülünü bildiğimiz gibi gösterelim - bu, başlangıçta türettiğimiz formülün aynısıdır:
, Daha sonra:

• ilerlemenin önceki dönemi:
• ilerlemenin bir sonraki dönemi:

İlerlemenin önceki ve sonraki terimlerini özetleyelim:

İlerlemenin önceki ve sonraki terimlerinin toplamının, aralarında bulunan ilerleme teriminin çift değeri olduğu ortaya çıktı. Yani önceki ve ardışık değerleri bilinen bir ilerleme teriminin değerini bulmak için bunları toplayıp bölmeniz gerekir.

Doğru, aynı numarayı aldık. Malzemeyi güvence altına alalım. İlerlemenin değerini kendiniz hesaplayın, hiç de zor değil.

Tebrikler! İlerleme hakkında neredeyse her şeyi biliyorsunuz! Geriye, efsaneye göre tüm zamanların en büyük matematikçilerinden biri olan "matematikçilerin kralı" Karl Gauss tarafından kolayca çıkarılabilen tek bir formül bulmak kalıyor...

Carl Gauss 9 yaşındayken, diğer sınıflardaki öğrencilerin çalışmalarını kontrol etmekle meşgul olan bir öğretmen sınıfta şu görevi verdi: "Diğer kaynaklara göre dahil olan tüm doğal sayıların toplamını hesapla." Öğrencilerinden biri (bu Karl Gauss'tu) bir dakika sonra göreve doğru cevabı verirken, gözü pek sınıf arkadaşlarının çoğu uzun hesaplamalardan sonra yanlış sonucu aldığında öğretmenin ne kadar şaşırdığını bir düşünün...

Genç Carl Gauss, sizin de kolayca fark edebileceğiniz belli bir modeli fark etti.
Diyelim ki -'inci terimlerden oluşan bir aritmetik ilerlememiz var: Aritmetik ilerlemenin bu terimlerinin toplamını bulmamız gerekiyor. Elbette tüm değerleri manuel olarak toplayabiliriz, ancak ya görev Gauss'un aradığı gibi terimlerin toplamını bulmayı gerektiriyorsa?

Bize verilen ilerlemeyi tasvir edelim. Vurgulanan sayılara daha yakından bakın ve onlarla çeşitli matematiksel işlemler gerçekleştirmeye çalışın.


Bunu denediniz mi? Ne fark ettin? Sağ! Toplamları eşittir

Şimdi söyleyin bana, bize verilen ilerlemede toplamda böyle kaç tane çift var? Tabii ki, tüm sayıların tam yarısı.
Bir aritmetik ilerlemenin iki teriminin toplamının eşit ve benzer çiftlerin eşit olduğu gerçeğine dayanarak, toplam toplamın şuna eşit olduğunu elde ederiz:
.
Dolayısıyla herhangi bir aritmetik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamının formülü şu şekilde olacaktır:

Bazı problemlerde n'inci terimi bilmiyoruz ama ilerlemenin farkını biliyoruz. Üçüncü terimin formülünü toplam formülünde değiştirmeye çalışın.
Ne aldın?

Tebrikler! Şimdi Carl Gauss'a sorulan probleme dönelim: th'den başlayan sayıların toplamının ve th'den başlayan sayıların toplamının neye eşit olduğunu kendiniz hesaplayın.

Ne kadar aldın?
Gauss, terimlerin toplamının ve terimlerin toplamının eşit olduğunu buldu. Karar verdiğin şey bu mu?

Aslında, bir aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamına ilişkin formül, 3. yüzyılda antik Yunan bilim adamı Diophantus tarafından kanıtlandı ve bu süre boyunca esprili insanlar, aritmetik ilerlemenin özelliklerinden tam olarak yararlandılar.
Örneğin, hayal edin Antik Mısır ve en çok büyük ölçekli inşaat o zamanlar - bir piramidin inşası... Resimde onun bir tarafı görülüyor.

Buradaki ilerleme nerede diyorsunuz? Dikkatlice bakın ve piramit duvarının her sırasındaki kum bloklarının sayısında bir desen bulun.


Neden aritmetik bir ilerleme olmasın? Tabana blok tuğlalar yerleştirilirse bir duvar inşa etmek için kaç blok gerektiğini hesaplayın. Umarım parmağınızı ekranda hareket ettirirken saymazsınız, son formülü ve aritmetik ilerleme hakkında söylediğimiz her şeyi hatırlıyor musunuz?

Bu durumda ilerleme şu şekilde görünür: .
Aritmetik ilerleme farkı.
Aritmetik ilerlemenin terim sayısı.
Verilerimizi son formüllere yerleştirelim (blok sayısını 2 şekilde hesaplayalım).

Yöntem 1.

Yöntem 2.

Artık monitörde hesaplayabilirsiniz: Elde edilen değerleri piramidimizdeki blok sayısıyla karşılaştırın. Anladım? Tebrikler, aritmetik ilerlemenin n'inci terimlerinin toplamını öğrendiniz.
Elbette tabandaki bloklardan bir piramit inşa edemezsiniz, ama nereden? Bu durumda bir duvar inşa etmek için kaç tane kum tuğlaya ihtiyaç duyulduğunu hesaplamaya çalışın.
Becerebildin mi?
Doğru cevap bloklardır:

Eğitim

Görevler:

1. Masha yaz için forma giriyor. Her gün squat sayısını artırıyor. Masha ilk antrenmanda squat yaptıysa haftada kaç kez squat yapacak?
2. İçerisindeki tüm tek sayıların toplamı kaçtır?
3. Günlükleri saklarken, günlükçüler bunları, her üst katman bir öncekinden bir günlük daha az içerecek şekilde istifler. Duvar işçiliğinin temeli kütüklerden oluşuyorsa, bir duvarda kaç kütük vardır?

Yanıtlar:

1. Aritmetik ilerlemenin parametrelerini tanımlayalım. Bu durumda
   (haftalar = günler).

   Cevap:İki hafta içinde Masha'nın günde bir kez ağız kavgası yapması gerekiyor.

2. Birinci tek sayı, son numara.
   Aritmetik ilerleme farkı.
   Tek sayıların sayısı yarıdır, ancak aritmetik ilerlemenin inci terimini bulma formülünü kullanarak bu gerçeği kontrol edelim:

   Sayılar tek sayılar içerir.
   Mevcut verileri formülde değiştirelim:

   Cevap:İçerisindeki tüm tek sayıların toplamı eşittir.

3. Piramitlerle ilgili sorunu hatırlayalım. Bizim durumumuz için a , her üst katman bir log azaltıldığı için toplamda bir grup katman vardır, yani.
   Verileri formülde yerine koyalım:

   Cevap: Duvarda kütükler var.

Özetleyelim

1. - Bitişik sayılar arasındaki farkın aynı ve eşit olduğu bir sayı dizisi. Artabilir veya azalabilir.
2. Formül bulma Aritmetik ilerlemenin inci terimi, ilerlemedeki sayıların sayısı olan - formülüyle yazılır.
3. Aritmetik ilerlemenin üyelerinin mülkiyeti- - ilerleyen sayıların sayısı nerede.
4. Bir aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı iki şekilde bulunabilir:
   
   değerlerin sayısı nerede.

ARİTMETİK İLERLEME. ORTALAMA SEVİYE

Numara dizisi

Oturup bazı sayıları yazmaya başlayalım. Örneğin:

Herhangi bir sayı yazabilirsiniz ve istediğiniz kadar sayı olabilir. Ama hangisinin birinci, hangisinin ikinci olduğunu her zaman söyleyebiliriz, yani onları numaralandırabiliriz. Bu bir sayı dizisi örneğidir.

Numara dizisi her birine benzersiz bir numara atanabilen bir sayı kümesidir.

Başka bir deyişle, her sayı belirli bir doğal sayıyla ve benzersiz bir sayıyla ilişkilendirilebilir. Ve bu sayıyı bu setteki başka bir sayıya atamayacağız.

Üzerinde sayı bulunan sayıya dizinin th üyesi denir.

Genellikle dizinin tamamını bir harfle (örneğin,) çağırırız ve bu dizinin her üyesi, bu üyenin numarasına eşit bir indeksle aynı harftir: .

Dizinin inci teriminin bir formülle belirtilmesi çok uygundur. Örneğin, formül

sırayı ayarlar:

Ve formül aşağıdaki dizidir:

Örneğin, aritmetik ilerleme bir dizidir (burada ilk terim eşittir ve fark eşittir). Veya (, fark).

n'inci terim formülü

Terimi bulmak için önceki veya birkaç önceki terimi bilmeniz gereken bir formüle yinelenen diyoruz:

Örneğin bu formülü kullanarak ilerlemenin inci terimini bulmak için önceki dokuzunu hesaplamamız gerekecek. Mesela izin ver. Daha sonra:

Peki formülün ne olduğu şimdi anlaşıldı mı?

Her satıra eklediğimiz sayıyı bir sayıyla çarpıyoruz. Hangisi? Çok basit: bu mevcut üyenin sayısından eksi:

Artık çok daha uygun, değil mi? Kontrol ediyoruz:

Kendin için karar ver:

Aritmetik ilerlemede n'inci terimin formülünü ve yüzüncü terimi bulun.

Çözüm:

İlk terim eşittir. Fark ne? İşte şu:

(İlerlemenin ardışık terimlerinin farkına eşit olması nedeniyle buna fark denmesinin nedeni budur).

Yani formül:

O zaman yüzüncü terim şuna eşittir:

'den 'e kadar olan tüm doğal sayıların toplamı nedir?

Efsaneye göre, büyük matematikçi Karl Gauss, 9 yaşında bir çocukken bu miktarı birkaç dakika içinde hesaplamıştı. İlk ve son sayıların toplamının eşit olduğunu, ikinci ve sondan bir önceki sayıların toplamının aynı olduğunu, sondan üçüncü ve üçüncü sayıların toplamının aynı olduğunu vb. fark etti. Toplamda bu tür çiftlerden kaç tane var? Bu doğru, tüm sayıların tam yarısı kadar. Bu yüzden,

Herhangi bir aritmetik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamı için genel formül şöyle olacaktır:

Örnek:
Hepsinin toplamını bulun çift ​​haneli sayılar, katları.

Çözüm:

Bu türden ilk sayı şudur. Sonraki her sayı, bir önceki sayıya eklenerek elde edilir. Böylece ilgilendiğimiz sayılar ilk terimi ve farkıyla aritmetik bir ilerleme oluşturur.

Bu ilerlemenin inci teriminin formülü:

Hepsinin iki basamaklı olması gerekiyorsa ilerlemede kaç terim vardır?

Çok kolay: .

İlerlemenin son terimi eşit olacaktır. Sonra toplam:

Cevap: .

Şimdi kendiniz karar verin:

1. Sporcu her gün bir önceki güne göre daha fazla metre koşar. İlk gün m km koşarsa haftada toplam kaç kilometre koşacaktır?
2. Bir bisikletçi her gün bir önceki güne göre daha fazla kilometre kat eder. İlk gün km yol kat etti. Bir kilometreyi kat etmek için kaç gün yol alması gerekiyor? Yolculuğunun son gününde kaç kilometre yol kat edecek?
3. Bir mağazadaki buzdolabının fiyatı her yıl aynı miktarda düşüyor. Ruble karşılığında satışa sunulan bir buzdolabının altı yıl sonra ruble karşılığında satılması durumunda, buzdolabının fiyatının her yıl ne kadar düştüğünü belirleyin.

Yanıtlar:

1. Burada en önemli şey aritmetik ilerlemeyi tanımak ve parametrelerini belirlemektir. Bu durumda (haftalar = günler). Bu ilerlemenin ilk terimlerinin toplamını belirlemeniz gerekir:
   .
   Cevap:
2. Burada verilmiştir: , bulunmalıdır.
   Açıkçası, önceki problemdekiyle aynı toplam formülünü kullanmanız gerekir:
   .
   Değerleri değiştirin:

   Kök açıkça uymuyor, dolayısıyla cevap şu.
   Son gün boyunca kat edilen yolu, inci terimin formülünü kullanarak hesaplayalım:
   (km).
   Cevap:

3. Verilen: . Bulmak: .
   Daha basit olamazdı:
   (ovmak).
   Cevap:

ARİTMETİK İLERLEME. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Bu, bitişik sayılar arasındaki farkın aynı ve eşit olduğu bir sayı dizisidir.

Aritmetik ilerleme artan () ve azalan () olabilir.

Örneğin:

Aritmetik ilerlemenin n'inci terimini bulma formülü

artan sayıların sayısı olan formülle yazılır.

Aritmetik ilerlemenin üyelerinin mülkiyeti

Eğer komşu terimleri biliniyorsa, bir ilerlemenin bir terimini kolayca bulmanızı sağlar; ilerlemedeki sayıların sayısı nerededir.

Aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı

Tutarı bulmanın iki yolu vardır:

Değerlerin sayısı nerede.

Değerlerin sayısı nerede.

Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.

Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...

Ne için?

Başarılı olmak için Birleşik Devlet Sınavını geçmek, düşük bir bütçeyle ve EN ÖNEMLİSİ de ömür boyu üniversiteye kabul için.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...

İyi bir eğitim almış insanlar, almayanlara göre çok daha fazla kazanıyorlar. Bu istatistik.

Ancak asıl mesele bu değil.

Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerine çok daha fazla fırsat çıktığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? Bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?

BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.

Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak zamana karşı sorunları çözmek.

Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu defalarca tekrarlamanız gerekir.

Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analiz ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.

Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

1. Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın - 299 ovmak.
2. Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - 499 ovmak.

Evet, ders kitabımızda buna benzer 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

Sitenin TÜM ömrü boyunca tüm gizli görevlere erişim sağlanır.

Sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.

“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

Bazı insanlar "ilerleme" sözcüğünü, bu bölümlerden çok karmaşık bir terim olarak dikkatle ele alıyorlar. yüksek Matematik. Bu arada, en basit aritmetik ilerleme taksi sayacının (hala mevcut oldukları yerde) çalışmasıdır. Ve bir aritmetik dizinin özünü anlamak (ve matematikte "özünü anlamaktan" daha önemli bir şey yoktur), birkaç temel kavramı analiz ettikten sonra o kadar da zor değildir.

Matematiksel sayı dizisi

Sayısal diziye genellikle her biri kendi numarasına sahip olan bir sayı dizisi denir.

a 1 dizinin ilk üyesidir;

ve 2, dizinin ikinci terimidir;

ve 7, dizinin yedinci üyesidir;

ve n, dizinin n'inci üyesidir;

Ancak herhangi bir keyfi sayı ve sayı dizisi bizi ilgilendirmiyor. Dikkatimizi, n'inci terimin değerinin matematiksel olarak açıkça formüle edilebilecek bir ilişki yoluyla sıra numarasıyla ilişkilendirildiği sayısal diziye odaklayacağız. Başka bir deyişle: n'inci sayının sayısal değeri, n'nin bir fonksiyonudur.

a, sayısal bir dizinin bir üyesinin değeridir;

n - onun seri numarası;

f(n), n sayısal dizisindeki sıra numarasının argüman olduğu bir fonksiyondur.

Tanım

Aritmetik ilerlemeye genellikle birbirini takip eden her terimin bir öncekinden aynı sayı kadar büyük (küçük) olduğu sayısal dizi denir. Bir aritmetik dizinin n'inci teriminin formülü aşağıdaki gibidir:

a n - aritmetik ilerlemenin mevcut üyesinin değeri;

bir n+1 - sonraki sayının formülü;

d - fark (belirli bir sayı).

Farkın pozitif olması durumunda (d>0), söz konusu serinin her bir sonraki üyesinin bir öncekinden daha büyük olacağını ve böyle bir aritmetik ilerlemenin artacağını belirlemek kolaydır.

Aşağıdaki grafikte sayı dizisinin neden “artan” olarak adlandırıldığını görmek kolaydır.

Farkın negatif olduğu durumlarda (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Belirtilen üye değeri

Bazen bir aritmetik ilerlemenin herhangi bir rastgele teriminin (n) değerini belirlemek gerekir. Bu, ilkinden istenilene kadar aritmetik ilerlemenin tüm üyelerinin değerlerinin sırayla hesaplanmasıyla yapılabilir. Ancak örneğin beş bininci veya sekiz milyonuncu terimin değerini bulmak gerekiyorsa bu yol her zaman kabul edilebilir değildir. Geleneksel hesaplamalar çok zaman alacaktır. Ancak belirli formüller kullanılarak belirli bir aritmetik ilerleme incelenebilir. Ayrıca n'inci terim için de bir formül vardır: Bir aritmetik ilerlemenin herhangi bir teriminin değeri, ilerlemenin ilk teriminin ilerlemenin farkıyla toplamının istenen terimin sayısıyla çarpımı ve eksiltilmesiyle belirlenebilir. bir.

Formül, ilerlemeyi artırmak ve azaltmak için evrenseldir.

Belirli bir terimin değerini hesaplamaya bir örnek

Bir aritmetik ilerlemenin n'inci teriminin değerini bulmayla ilgili aşağıdaki problemi çözelim.

Durum: parametrelerle aritmetik bir ilerleme var:

Dizinin ilk terimi 3'tür;

Sayı serisindeki fark 1,2'dir.

Görev: 214 terimin değerini bulmanız gerekiyor

Çözüm: Belirli bir terimin değerini belirlemek için aşağıdaki formülü kullanırız:

a(n) = a1 + d(n-1)

Sorun ifadesindeki verileri ifadeye koyarsak:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Cevap: Dizinin 214. terimi 258,6'ya eşittir.

Bu hesaplama yönteminin avantajları açıktır - çözümün tamamı 2 satırdan fazla sürmez.

Belirli sayıda terimin toplamı

Çoğu zaman, belirli bir aritmetik seride, bazı bölümlerinin değerlerinin toplamını belirlemek gerekir. Bunu yapmak için her terimin değerlerini hesaplayıp daha sonra toplamaya da gerek yoktur. Toplamı bulunması gereken terim sayısının az olması durumunda bu yöntem uygulanabilir. Diğer durumlarda aşağıdaki formülü kullanmak daha uygundur.

1'den n'ye bir aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı, birinci ve n'inci terimlerin toplamına eşittir, n terimi sayısıyla çarpılır ve ikiye bölünür. Formülde n'inci terimin değeri makalenin önceki paragrafındaki ifadeyle değiştirilirse şunu elde ederiz:

Hesaplama örneği

Örneğin, aşağıdaki koşullarla ilgili bir problemi çözelim:

Dizinin ilk terimi sıfırdır;

Fark 0,5.

Problem 56'dan 101'e kadar olan serinin terimlerinin toplamının belirlenmesini gerektirmektedir.

Çözüm. İlerleme miktarını belirlemek için formülü kullanalım:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Öncelikle problemimizin verilen koşullarını formülde yerine koyarak ilerlemenin 101 teriminin değerlerinin toplamını belirliyoruz:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Açıkçası, 56. sıradan 101. sıraya ilerlemenin terimlerinin toplamını bulmak için S 101'den S 55'i çıkarmak gerekir.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Dolayısıyla, bu örnek için aritmetik ilerlemenin toplamı şöyledir:

sn 101 - sn 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5

Aritmetik ilerlemenin pratik uygulamasına örnek

Makalenin sonunda, ilk paragrafta verilen aritmetik dizi örneğine - taksimetreye (taksi araba sayacı) dönelim. Bu örneği ele alalım.

Taksiye binmek (3 km'lik yolculuk dahil) 50 rubleye mal oluyor. Sonraki her kilometre için 22 ruble/km oranında ödeme yapılır. Seyahat mesafesi 30 km'dir. Yolculuğun maliyetini hesaplayın.

1. İniş ücretine dahil olan ilk 3 km’yi bir kenara bırakalım.

30 - 3 = 27 km.

2. Daha fazla hesaplama, bir aritmetik sayı serisinin ayrıştırılmasından başka bir şey değildir.

Üye numarası - kat edilen kilometre sayısı (ilk üç eksi).

Üyenin değeri toplamdır.

Bu problemdeki ilk terim 1 = 50 rubleye eşit olacaktır.

İlerleme farkı d = 22 r.

ilgilendiğimiz sayı aritmetik ilerlemenin (27+1)'inci teriminin değeridir - 27. kilometrenin sonundaki sayaç okuması 27.999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

İsteğe bağlı olarak uzun bir süre için takvim verileri hesaplamaları, belirli sayısal dizileri açıklayan formüllere dayanır. Astronomide yörüngenin uzunluğu geometrik olarak gök cisminin yıldıza olan uzaklığına bağlıdır. Ayrıca çeşitli sayı serileri istatistikte ve matematiğin diğer uygulamalı alanlarında başarıyla kullanılmaktadır.

Başka bir sayı dizisi türü geometriktir

Geometrik ilerleme, aritmetik ilerlemeye kıyasla daha yüksek değişim oranlarıyla karakterize edilir. Siyasette, sosyolojide ve tıpta belirli bir olgunun, örneğin bir hastalığın salgın sırasındaki yüksek yayılma hızını göstermek için sürecin geometrik ilerlemeyle geliştiğini söylemeleri tesadüf değildir.

Geometrik sayı serisinin N'inci terimi, bazı sabit sayılarla çarpılması bakımından öncekinden farklıdır - payda, örneğin, ilk terim 1'dir, payda buna karşılık olarak 2'ye eşittir, o zaman:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - geometrik ilerlemenin mevcut teriminin değeri;

b n+1 - geometrik ilerlemenin bir sonraki teriminin formülü;

q geometrik ilerlemenin paydasıdır (sabit bir sayı).

Aritmetik ilerlemenin grafiği düz bir çizgi ise, geometrik ilerleme biraz farklı bir tablo çizer:

Aritmetikte olduğu gibi geometrik ilerlemenin de keyfi bir terimin değeri için bir formülü vardır. Geometrik ilerlemenin herhangi bir n'inci terimi, ilk terimin çarpımına ve n'nin kuvvetine doğru ilerlemenin paydasının bir eksiltilmesine eşittir:

Örnek. İlk terimi 3'e ve ilerlemenin paydası 1,5'e eşit olan geometrik bir ilerlememiz var. İlerlemenin 5. terimini bulalım

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Belirli sayıda terimin toplamı da özel bir formül kullanılarak hesaplanır. Bir geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı, ilerlemenin n'inci teriminin çarpımı ile paydası ile ilerlemenin ilk terimi arasındaki farkın paydanın bir eksiltilmesiyle bölünmesine eşittir:

Yukarıda tartışılan formül kullanılarak b n değiştirilirse, söz konusu sayı serisinin ilk n teriminin toplamının değeri şu şekli alacaktır:

Örnek. Geometrik ilerleme ilk terimin 1'e eşit olmasıyla başlar. Payda 3'e eşitlenir. İlk sekiz terimin toplamını bulalım.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Aritmetik ilerlemenin toplamı.

Aritmetik ilerlemenin toplamı basit bir şeydir. Hem anlam hem de formül olarak. Ancak bu konuyla ilgili her türlü görev var. Temelden oldukça sağlama.

Öncelikle miktarın anlamını ve formülünü anlayalım. Ve sonra karar vereceğiz. Kendi zevkiniz için.) Miktarın anlamı möö kadar basittir. Aritmetik ilerlemenin toplamını bulmak için tüm terimlerini dikkatlice eklemeniz yeterlidir. Bu terimler azsa formül kullanmadan ekleyebilirsiniz. Ama çok ya da çok varsa... ekleme can sıkıcıdır.) Bu durumda formül imdadımıza yetişir.

Miktarın formülü basittir:

Formülde ne tür harflerin yer aldığını bulalım. Bu, işleri büyük ölçüde açıklığa kavuşturacaktır.

Sn - aritmetik ilerlemenin toplamı. Toplama sonucu herkesüyeleri ile Birinciİle son. Bu önemli. Tam olarak topluyorlar Tümüyeleri atlamadan veya atlamadan arka arkaya. Ve tam olarak şundan başlayarak Birinci.Üçüncü ve sekizinci terimlerin toplamını veya beşinci ila yirminci terimlerin toplamını bulma gibi problemlerde formülün doğrudan uygulanması hayal kırıklığı yaratacaktır.)

1 - Birinci ilerlemenin üyesi. Burada her şey açık, çok basit Birinci satır numarası.

BİR- son ilerlemenin üyesi. Serinin son sayısı. Çok tanıdık bir isim değil ama miktara uygulandığında çok uygun. O zaman kendin göreceksin.

N - son üyenin numarası. Formülde bu sayının olduğunu anlamak önemlidir. eklenen terimlerin sayısıyla örtüşür.

Konsepti tanımlayalım sonüye BİR. Zor soru: Hangi üye olacak sonuncu eğer verilirse sonsuz aritmetik ilerleme?)

Kendinize güvenerek cevap verebilmek için aritmetik ilerlemenin temel anlamını anlamanız ve... görevi dikkatlice okumanız gerekir!)

Bir aritmetik ilerlemenin toplamını bulma görevinde her zaman son terim görünür (doğrudan veya dolaylı olarak), ki bu sınırlı olmalıdır. Aksi takdirde, nihai, belirli bir miktar basitçe mevcut değil.Çözüm için ilerlemenin verilip verilmediği önemli değildir: sonlu veya sonsuz. Nasıl verildiği önemli değil: bir dizi sayı ya da n'inci terim için bir formül.

En önemli şey, formülün ilerlemenin ilk döneminden sayı içeren döneme kadar çalıştığını anlamaktır. N. Aslında formülün tam adı şuna benzer: bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı. Bu ilk üyelerin sayısı, yani. N, yalnızca göreve göre belirlenir. Bir görevde, tüm bu değerli bilgiler genellikle şifrelenir, evet... Ama boş verin, aşağıdaki örneklerde bu sırları açığa çıkarıyoruz.)

Aritmetik ilerlemenin toplamı ile ilgili görev örnekleri.

Öncelikle faydalı bilgiler:

Aritmetik ilerlemenin toplamını içeren görevlerdeki temel zorluk, formülün öğelerinin doğru belirlenmesinde yatmaktadır.

Görev yazarları bu unsurları sınırsız hayal gücüyle şifreler.) Burada asıl önemli olan korkmamaktır. Elementlerin özünü anlamak, onları basitçe deşifre etmek yeterlidir. Birkaç örneğe ayrıntılı olarak bakalım. Gerçek bir GIA'ya dayalı bir görevle başlayalım.

1. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir: a n = 2n-3,5. İlk 10 teriminin toplamını bulun.

Aferin. Kolay.) Formülü kullanarak miktarı belirlemek için neyi bilmemiz gerekiyor? İlk üye 1, son dönem BİR, evet son üyenin numarası N.

Son üyenin numarasını nereden alabilirim? N? Evet, şartla orada! Diyor ki: toplamı bul ilk 10 üye. Peki hangi numarayla olacak? son, onuncu üye?) İnanmayacaksınız, numarası onuncu!) Bu nedenle, yerine BİR Formülde yerine koyacağız 10 ve bunun yerine N- on. Tekrar ediyorum, son üye sayısı üye sayısıyla örtüşüyor.

Belirlemek için kalır 1 Ve 10. Bu, problem tanımında verilen n'inci terim formülü kullanılarak kolayca hesaplanır. Bunu nasıl yapacağınızı bilmiyor musunuz? Önceki derse katılın, bu olmadan hiçbir yolu yoktur.

1= 2 1 - 3,5 = -1,5

10=2·10 - 3,5 =16,5

Sn = S10.

Aritmetik ilerlemenin toplamı formülündeki tüm öğelerin anlamını bulduk. Geriye kalan tek şey bunları değiştirmek ve saymaktır:

Bu kadar. Cevap: 75.

GIA'ya dayanan başka bir görev. Biraz daha karmaşık:

2. Farkı 3,7 olan aritmetik ilerleme (a n) verildiğinde; a 1 =2,3. İlk 15 teriminin toplamını bulun.

Hemen toplam formülünü yazıyoruz:

Bu formül herhangi bir terimin değerini numarasına göre bulmamızı sağlar. Basit bir ikame arıyoruz:

15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Aritmetik ilerlemenin toplamı için formüldeki tüm unsurları yerine koymak ve cevabı hesaplamak kalır:

Cevap: 423.

Bu arada, eğer toplam formülünde yerine BİR Formülü n'inci terimin yerine koyarız ve şunu elde ederiz:

Benzerlerini sunalım ve bir aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı için yeni bir formül elde edelim:

Gördüğünüz gibi burada n'inci terime gerek yok BİR. Bazı problemlerde bu formül çok işe yarıyor evet... Bu formülü hatırlarsınız. Veya buradaki gibi doğru zamanda görüntüleyebilirsiniz. Sonuçta, toplamın formülünü ve n'inci terimin formülünü her zaman hatırlamanız gerekir.)

Şimdi görev kısa bir şifreleme şeklinde):

3. Üçün katı olan iki basamaklı tüm pozitif sayıların toplamını bulun.

Vay! Ne ilk üyen, ne son üyen, ne de ilerleyişin… Nasıl yaşanır!?

Kafanızla düşünmeniz ve durumdan aritmetik ilerlemenin toplamının tüm unsurlarını çıkarmanız gerekecek. İki basamaklı sayıların ne olduğunu biliyoruz. İki sayıdan oluşurlar.) İki basamaklı sayı ne olacak? Birinci? 10, muhtemelen.) A son şeyçift ​​haneli sayı mı? 99 elbette! Üç haneli olanlar onu takip edecek...

Üçün katları... Hımm... Bunlar üçe bölünebilen sayılar, işte! On üçe bölünmez, 11 bölünmez... 12... bölünebilir! Yani bir şeyler ortaya çıkıyor. Sorunun koşullarına göre zaten bir dizi yazabilirsiniz:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Bu seri aritmetik bir ilerleme mi olacak? Kesinlikle! Her terim bir öncekinden kesinlikle üç farklılık gösterir. Bir terime 2 veya 4 eklerseniz sonuç; yeni sayı artık 3'e bölünemez. Aritmetik ilerlemenin farkını hemen belirleyebilirsiniz: d = 3.İşinize yarayacaktır!)

Böylece bazı ilerleme parametrelerini güvenle yazabiliriz:

Sayı ne olacak? N son üye? 99'un ölümcül bir yanılgı olduğunu düşünenler... Rakamlar hep arka arkaya gidiyor ama üyelerimiz üçün üzerine atlıyor. Eşleşmiyorlar.

Burada iki çözüm var. Bunun bir yolu süper çalışkanlar içindir. İlerlemeyi, tüm sayı dizisini yazabilir ve üye sayısını parmağınızla sayabilirsiniz.) İkinci yol düşünceli olanlar içindir. N'inci dönemin formülünü hatırlamanız gerekiyor. Formülü problemimize uygularsak 99'un ilerlemenin otuzuncu terimi olduğunu buluruz. Onlar. n = 30.

Aritmetik ilerlemenin toplamının formülüne bakalım:

Bakıyoruz ve seviniyoruz.) Sorun ifadesinden tutarı hesaplamak için gereken her şeyi çıkardık:

1= 12.

30= 99.

Sn = S 30.

Geriye kalan tek şey temel aritmetiktir. Sayıları formülde yerine koyarız ve hesaplarız:

Cevap: 1665

Başka bir popüler bulmaca türü:

4. Aritmetik ilerleme verildiğinde:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Yirmiden otuz dörde kadar terimlerin toplamını bulun.

Miktarın formülüne bakıyoruz ve... üzülüyoruz.) Formül, hatırlatayım, tutarı hesaplıyor. birincidenüye. Ve problemde toplamı hesaplamanız gerekiyor yirminci yüzyıldan beri... Formül işe yaramayacak.

Elbette tüm ilerlemeyi bir seri halinde yazabilir ve 20'den 34'e kadar terimler ekleyebilirsiniz. Ama... bu biraz aptalca ve uzun zaman alıyor, değil mi?)

Daha zarif bir çözüm var. Serimizi iki parçaya ayıralım. İlk bölüm olacak ilk dönemden on dokuzuncu döneme kadar.İkinci kısım - yirmiden otuz dörde kadar.İlk bölümün terimlerinin toplamını hesaplarsak açıktır ki S 1-19, ikinci bölümün terimlerinin toplamını ekleyelim S 20-34, birinci dönemden otuz dördüncü döneme kadar olan ilerlemenin toplamını elde ederiz S1-34. Bunun gibi:

S 1-19 + S 20-34 = S1-34

Bundan toplamı bulduğumuzu görebiliriz. S 20-34 basit çıkarma işlemiyle yapılabilir

S 20-34 = S1-34 - S 1-19

Sağ taraftaki her iki miktar da dikkate alınır birincidenüye, yani standart toplam formülü onlara oldukça uygulanabilir. Başlayalım?

İlerleme parametrelerini problem ifadesinden çıkarıyoruz:

d = 1,5.

1= -21,5.

İlk 19 ve ilk 34 terimin toplamını hesaplamak için 19. ve 34. terimlere ihtiyacımız olacak. Bunları problem 2'deki gibi n'inci terim formülünü kullanarak hesaplıyoruz:

19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Hiçbirşey kalmadı. 34 terimin toplamından 19 terimin toplamını çıkarın:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Cevap: 262.5

Önemli bir not! Bu sorunu çözmenin çok faydalı bir hilesi var. Doğrudan hesaplama yerine neye ihtiyacınız var (S 20-34), saydık ihtiyaç duyulmayan bir şey - S 1-19. Ve sonra karar verdiler S 20-34 gereksiz olanı sonuçtan çıkararak. Bu tür bir "kulak yanıltması" çoğu zaman sizi kötü sorunlardan kurtarır.)

Bu derste aritmetik ilerlemenin toplamının anlamını anlamanın yeterli olduğu problemlere baktık. Birkaç formül bilmeniz gerekiyor.)

Pratik tavsiye:

Aritmetik ilerlemenin toplamını içeren herhangi bir problemi çözerken, bu konudaki iki ana formülü hemen yazmanızı öneririm.

N'inci terimin formülü:

Bu formüller size sorunu çözmek için neye bakmanız ve hangi yönde düşünmeniz gerektiğini hemen söyleyecektir. Yardım eder.

Ve şimdi bağımsız çözüm için görevler.

5. Üçe bölünemeyen iki basamaklı tüm sayıların toplamını bulun.

Harika mı?) İpucu 4. problemin notunda gizli. Peki, 3. problem yardımcı olacaktır.

6. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. İlk 24 teriminin toplamını bulun.

Olağandışı mı?) Bu yinelenen bir formüldür. Bunu önceki derste okuyabilirsiniz. Bağlantıyı göz ardı etmeyin, bu tür sorunlar genellikle Devlet Bilimler Akademisi'nde bulunur.

7. Vasya tatil için para biriktirdi. 4550 ruble kadar! Ve en sevdiğim kişiye (kendime) birkaç günlük mutluluk vermeye karar verdim). Kendinize hiçbir şeyi inkar etmeden güzel yaşayın. İlk gün 500 ruble harcayın ve sonraki her gün bir öncekinden 50 ruble daha fazla harcayın! Ta ki para bitene kadar. Vasya'nın kaç günü mutluluk vardı?

Zor mu?) Görev 2'deki ek formül yardımcı olacaktır.

Cevaplar (karışıklık içinde): 7, 3240, 6.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.