Trigonometrik denklemlerin köklerini seçme yöntemleri. Trigonometrik daire. Nihai Kılavuz (2019)

Sunum önizlemelerini kullanmak için kendiniz için bir hesap oluşturun ( hesap) Google'a gidin ve giriş yapın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

Trigonometrik denklemleri çözerken köklerin seçimi

1. Hesaplayın: b) arccos c) arcsin 2 d) arccos f) arc c ctg a) arcsin (-1) d) arctg (mevcut değil); (bulunmuyor);

2. Denklemleri çözün: b) sin x = c) cos x = 0; d) tan x = a) çünkü x = - 1;

1. Sayı çemberini kullanarak trigonometrik bir denklemde köklerin seçimi. Örnek 1. cos x + cos 2 x – cos 3 x = 1. Çözüm. cos x – cos 3 x – (1 – cos 2 x) = 0, 2sin x sin 2 x – 2sin 2 x = 0, 2sin x (sin 2 x – sin x) = 0,

Trigonometrik bir daire üzerinde bir dizi kök çizelim. 0 x y İlk serinin () ikinci serinin () köklerini içerdiğini, üçüncü serinin () ise birinci serinin () köklerinden gelen formdaki sayıları içerdiğini görüyoruz. 0

Örnek 2. tg x + tg 2 x – tg 3 x = 0. Çözüm.

tg x · tg 2 x · tg 3 x = 0; ODZ'yi ve bir dizi kökü sayı çemberi üzerinde gösterelim. 0 x y 0 İkinci kök serisinden (), formun sayıları ODZ'yi değil, formun sayıları karşılar. üçüncü seriye dahildir () Birinci seri () aynı zamanda üçüncü kök serisine de () dahil olduğundan cevap tek formülle yazılabilir.

Örnek 3. Çözüm. Bazen bir serinin bir kısmı cevaba dahil edilirken bir kısmı dahil edilmez. Serideki tüm sayıları sayı çemberi üzerine çizelim ve bunu sağlayan kökleri ortadan kaldıralım. Kök serisinden kalan çözümler, 0 x y 0 koşulu formülünde birleştirilebilir.

2. Trigonometrik denklemde köklerin seçimi cebirsel olarakÖrnek 1. Çözüm. Çünkü en yüksek değer fonksiyon y = cos t 1'e eşitse denklem sisteme eşdeğerdir Denklemin çözümü serilerin kesişimidir yani denklemi çözmemiz gerekir.

Örnek 2. Çözüm. Denklemin çözümü serilerin kesişimidir, yani tam sayı olan denklemi çözmemiz gerekir. o zaman Bırakalım,

3. Belirli koşullar altında bir trigonometrik denklemde köklerin seçimi Örnek 1. Denklemin köklerini bulun sin 2 x = cos x | cos x |, x koşulunu karşılıyor. cos x (2sin x - | cos x |)=0; Çözüm. günah 2 x = çünkü x | çünkü x |; 2sin x · çünkü x - çünkü x | çünkü x |=0;

0 y x 0 y x çünkü x ≥ 0 çünkü x

Örnek 2. Çözüm segmentine ait denklemin tüm çözümlerini bulun. ODZ: çünkü 3x ≥ 0; ODZ'yi trigonometrik daire üzerinde işaretleyelim: 0 y x Segment ODZ'den yalnızca bir aralık içerir, yani Denklemi çözün ve bu aralığa ait kökleri seçin: 1 + sin 2 x = 2cos 2 3 x ; günah 2x = cos 6x; günah 2 x - cos 6 x =0;

Problemin koşullarını sağlayan kökleri seçelim. Birinci seriden: Dolayısıyla n =2 yani İkinci seriden: Dolayısıyla n =5 yani

Örnek 3. Çözüm koşulunu sağlayan denklemin tüm köklerini bulun. 10sin 2 x = – çünkü 2 x + 3; 10sin 2 x = 2sin 2 x – 1 + 3, 8sin 2 x = 2; 0 y x Sayı çemberini kullanarak şunu elde ederiz:

Problemin koşullarını sağlayan kökleri seçelim. Birinci seriden: Dolayısıyla n =0 veya n =1 yani İkinci seriden: Dolayısıyla n =0 veya n =1 yani

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye başvuru yaptığınızda adınız, telefon numaranız, adresiniz gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz. E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit etmemiz halinde, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Dersin amacı:

1. En basit trigonometrik denklemleri çözmek için formülleri tekrarlayın.
2. Trigonometrik denklemleri çözerken kökleri seçmenin üç ana yöntemini düşünün:
   eşitsizliğe göre seçim, paydaya göre seçim ve aralığa göre seçim.

Teçhizat: Multimedya ekipmanı.

Metodik yorum.

1. Öğrencilerin dikkatini ders konusunun önemine çekin.
2. Kök seçimi gerektiren trigonometrik denklemler genellikle tematik denklemlerde bulunur. Birleşik Devlet Sınavı testleri;
   Bu tür problemleri çözmek, öğrencilerin önceden edindikleri bilgileri pekiştirmelerine ve derinleştirmelerine olanak tanır.

Dersler sırasında

Tekrarlama. En basit trigonometrik denklemleri (ekran) çözmek için formülleri hatırlamakta fayda var.

Değerler	Denklem	Denklemleri çözmek için formüller
	sinx=a
	sinx=a	en Denklemin çözümü yok
a=0	sinx=0
a=1	sinx= 1
a= -1	sinx= -1
	cosx=a
	cosx=a	Denklemin çözümü yok
a=0	cosx=0
a=1	cosx= 1
a= -1	cosx= -1
	tgx=a
	ctgx=a

Kökleri seçerken trigonometrik denklemler Denklemlerin çözümlerini yazma sinx=a, сosx=a bir bütün olarak daha haklıdır. Sorunları çözerken buna dikkat edeceğiz.

Denklem çözme.

Görev. Denklemi çözün

Çözüm. Bu denklem aşağıdaki sisteme eşdeğerdir

Bir daire düşünün. Üzerinde her sistemin köklerini işaretleyelim ve dairenin eşitsizliğin olduğu kısmını bir yay ile işaretleyelim ( pirinç. 1)

Pirinç. 1

Bunu anlıyoruz orijinal denklemin çözümü olamaz.

Cevap:

Bu problemde kökleri eşitsizliğe göre seçtik.

Bir sonraki problemde paydaya göre seçim yapacağız. Bunu yapmak için payın köklerini seçeceğiz ancak bunlar paydanın kökleri olmayacak şekilde.

Görev 2. Denklemi çözün.

Çözüm. Ardışık eşdeğer geçişleri kullanarak denklemin çözümünü yazalım.

Sistemin denklemini ve eşitsizliğini çözerken, koyduğumuz çözümde farklı harfler tamsayıları temsil eden . Şekilde gösterildiği gibi, denklemin köklerini daire ile, paydanın köklerini ise çarpı işareti ile dairenin üzerine işaretleriz (Şekil 2).

Pirinç. 2

Şekilden açıkça görülmektedir ki – orijinal denklemin çözümü.

Öğrencilerin dikkatini, daire üzerinde karşılık gelen noktaların işaretlendiği bir sistem kullanarak kökleri seçmenin daha kolay olduğu gerçeğine çekelim.

Cevap:

Görev 3. Denklemi çözün

3sin2x = 10 çünkü 2 x – 2/

Segmente ait denklemin tüm köklerini bulun.

Çözüm. Bu problemde kökler problemin koşuluna göre belirlenen aralığa seçilir. Bir aralığa köklerin seçimi iki şekilde yapılabilir: bir değişkenin değerlerini tamsayılar için arayarak veya bir eşitsizliği çözerek.

Bu denklemde kökleri ilk yöntemle, sonraki problemde ise eşitsizliği çözerek seçeceğiz.

Ana olanı kullanalım trigonometrik özdeşlik ve sinüs için çift açı formülü. Denklemi elde ederiz

6sinxcosx = 10cos 2 x – sin 2 x – cos 2 x, onlar. günah 2 x – 9cos 2 x+ 6sinxcosx = 0

Çünkü aksi takdirde sinx = 0 hem sinüs hem de kosinüs olan açılar olmadığından bu olamaz sıfıra eşit akılda günah 2 x+ çünkü 2 x = 0.

Denklemin her iki tarafını da şuna bölelim: çünkü 2x. Aldık tg 2 x+ 6tgx – 9 = 0/

İzin vermek tgx = t, Daha sonra t2 + 6t – 9 = 0, t1 = 2, t2 = –8.

tgx = 2 veya tg = –8;

Her seriyi ayrı ayrı ele alalım, aralığın içindeki noktaları ve onun solunda ve sağında birer nokta bulalım.

Eğer k=0, O x=arktg2. Bu kök, söz konusu aralığa aittir.

Eğer k=1, O x=arktg2+. Bu kök aynı zamanda söz konusu aralığa da aittir.

Eğer k=2, O . Bu kökün bizim aralığımıza ait olmadığı açıktır.

Bu aralığın sağında bir nokta olduğunu düşündük, yani k=3,4,… dikkate alınmaz.

Eğer k = –1, elde ettiğimiz – aralığa ait değil.

Değerler k = –2, –3,… dikkate alınmaz.

Dolayısıyla bu seriden iki kök aralığa aittir

Önceki duruma benzer şekilde, ne zaman n = 0 Ve n = 2, ve bu nedenle ne zaman p = –1, –2,…p = 3,4,… aralığa ait olmayan kökleri alacağız. Yalnızca n=1 bu aralığa ait olanı elde ederiz.

Cevap:

Görev 4. Denklemi çözün 6sin 2 x+2sin 2 2x=5 ve aralığa ait kökleri belirtin.

Çözüm. Denklemi verelim 6sin 2 x+2sin 2 2x=5İle ikinci dereceden denklem nispeten cos2x.

Nerede cos2x

Burada çift eşitsizliği kullanarak seçim yöntemini aralığa uyguluyoruz

Çünkü İle yalnızca tamsayı değerleri alır, yalnızca mümkündür k=2,k=3.

Şu tarihte: k=2 ile alıyoruz k=3 Alacağız .

Cevap:

Metodolojik yorum.Öğretmenin bu dört problemi öğrencilerin katılımıyla tahtada çözmesi önerilmektedir. Bir sonraki sorunu çözmek için, güçlü bir öğrenciyi kızınıza çağırmak ve ona muhakeme konusunda maksimum bağımsızlık vermek daha iyidir.

Görev 5. Denklemi çözün

Çözüm. Payı dönüştürerek denklemi daha basit bir forma indiririz

Ortaya çıkan denklem iki sistemin birleşimine eşdeğerdir:

Aralıktaki köklerin seçimi (0; 5) Bunu iki şekilde yapalım. Birinci yöntem birinci agrega sistemi için, ikinci yöntem ise ikinci agrega sistemi içindir.

, 0.