Ev / Dermatit türleri/ Kesirli bir rasyonel denklemi çözmek için genel şema. Rasyonel denklemler – Bilgi Hipermarketi

Kesirli bir rasyonel denklemi çözmek için genel şema. Rasyonel denklemler – Bilgi Hipermarketi

Smirnova Anastasia Yurievna

Ders türü: yeni materyal öğrenme dersi.

Organizasyon şekli Eğitim faaliyetleri : önden, bireysel.

Dersin amacı: yeni bir denklem türünü tanıtmak - kesirli rasyonel denklemler, kesirli rasyonel denklemleri çözmek için algoritma hakkında fikir vermek.

Dersin Hedefleri.

Eğitici:

kesirli rasyonel denklem kavramının oluşumu;
kesirin sıfıra eşit olması koşulu da dahil olmak üzere kesirli rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma düşünün;
Kesirli rasyonel denklemleri bir algoritma kullanarak çözmeyi öğretmek.

Gelişimsel:

edinilen bilgilerin uygulanmasında becerilerin geliştirilmesi için koşullar yaratmak;
gelişmeyi teşvik etmek bilişsel ilgiöğrenciler konuya;
öğrencilerin analiz etme, karşılaştırma ve sonuç çıkarma becerilerini geliştirmek;
karşılıklı kontrol ve öz kontrol, dikkat, hafıza, sözlü ve yazılı konuşma, bağımsızlık becerilerinin geliştirilmesi.

Eğitim:

konuya bilişsel ilgiyi teşvik etmek;
eğitim sorunlarının çözümünde bağımsızlığın teşvik edilmesi;
Nihai sonuçlara ulaşmak için irade ve azim beslemek.

Teçhizat: ders kitabı, karatahta, boya kalemleri.

Ders Kitabı "Cebir 8". Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova, S.A. Telyakovsky. Moskova "Aydınlanma". 2010

Açık bu konu beş saat ayrılmıştır. Bu ilk ders. Önemli olan kesirli rasyonel denklemleri çözmek için algoritmayı incelemek ve bu algoritmayı alıştırmalarda uygulamaktır.

Dersler sırasında

1. Organizasyon anı.

Merhaba beyler! Bugün dersimize bir dörtlükle başlamak istiyorum:
Herkesin hayatını kolaylaştırmak için,
Neye karar verilecek, ne mümkün olacak,
Gülümse, herkese iyi şanslar,
Hiçbir sorun yaşanmaması için
Birbirimize gülümsedik ve yarattık iyi ruh hali ve çalışmaya başladım.

Tahtaya yazılmış denklemler var, onlara dikkatlice bakın. Bu denklemlerin hepsini çözebilir misiniz? Hangileri değil ve neden?

Sol ve sağ tarafları kesirli rasyonel ifadeler olan denklemlere kesirli rasyonel denklemler denir. Bugün sınıfta ne çalışacağımızı düşünüyorsunuz? Dersin konusunu formüle edin. Öyleyse not defterlerinizi açın ve “Kesirli rasyonel denklemleri çözme” dersinin konusunu yazın.

2. Bilginin güncellenmesi. Ön anket, sınıfla sözlü çalışma.

Ve şimdi çalışmamız gereken ana teorik materyali tekrarlayacağız. yeni Konu. Lütfen gelecek soruları cevaplayın:

Denklem nedir? ( Bir değişken veya değişkenlerle eşitlik.)
1 numaralı denklemin adı nedir? ( Doğrusal.) Çözüm doğrusal denklemler. (Bilinmeyen olan her şeyi denklemin sol tarafına, tüm sayıları sağa taşıyın. Benzer terimler verin. Bilinmeyen faktörü bul).
3 numaralı denklemin adı nedir? ( Kare.) Çözümler ikinci dereceden denklemler. (P formüller hakkında)
Oran nedir? ( İki oranın eşitliği.) Oranın ana özelliği. ( Oran doğruysa, aşırı terimlerin çarpımı orta terimlerin çarpımına eşittir..)
Denklemleri çözerken hangi özellikler kullanılır? ( 1. Bir denklemdeki terimi bir kısımdan diğerine hareket ettirirseniz, işaretini değiştirirseniz, verilene eşdeğer bir denklem elde edersiniz. 2. Denklemin her iki tarafı da sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılır veya bölünürse verilen sayıya eşdeğer bir denklem elde edilir.)
Bir kesir ne zaman sıfıra eşit olur? ( Pay sıfır ve payda sıfır olmadığında kesir sıfıra eşittir..)

3. Yeni materyalin açıklanması.

2 numaralı denklemi defterlerinizde ve tahtada çözün.

Cevap: 10.

Hangi kesirli rasyonel denklem Oranın temel özelliğini kullanarak çözmeyi deneyebilir misiniz? (Numara 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

4 numaralı denklemi defterlerinizde ve tahtada çözün.

Cevap: 1,5.

Denklemin her iki tarafını da paydayla çarparak hangi kesirli rasyonel denklemi çözmeye çalışabilirsiniz? (No. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Cevap: 3;4.

Sonraki derslerde 7 numaralı denklem gibi denklemlerin çözümüne bakacağız.

Bunun neden olduğunu açıklayın? Neden bir durumda üç, diğerinde iki kök var? Bu kesirli rasyonel denklemin kökleri hangi sayılardır?

Şu ana kadar öğrenciler yabancı kök kavramıyla karşılaşmadılar; bunun neden olduğunu anlamak onlar için gerçekten çok zor. Eğer sınıfta kimse bu duruma net bir açıklama getiremezse öğretmen yönlendirici sorular sorar.

2 ve 4 numaralı denklemlerin 5 ve 6 numaralı denklemlerden farkı nedir? ( 2 ve 4 numaralı denklemlerde paydada sayılar vardır, 5-6 numaralı - değişkenli ifadeler.)
Bir denklemin kökü nedir? ( Denklemin doğru olduğu değişkenin değeri.)
Bir sayının bir denklemin kökü olup olmadığını nasıl öğrenebilirim? ( Çek yap.)

Test yaparken bazı öğrenciler sıfıra bölmeleri gerektiğini fark ederler. 0 ve 5 sayılarının bu denklemin kökleri olmadığı sonucuna vardılar. Şu soru ortaya çıkıyor: Kesirli rasyonel denklemleri çözmenin, bu hatayı ortadan kaldırmamıza olanak tanıyan bir yolu var mı? Evet, bu yöntem kesrin sıfıra eşit olması şartına dayanmaktadır.

Kesirli rasyonel denklemleri bu şekilde çözmek için bir algoritma oluşturmaya çalışalım. Çocuklar algoritmayı kendileri formüle ederler.

Kesirli rasyonel denklemleri çözmek için algoritma:

Her şeyi sol tarafa taşıyın.
Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin.
Bir sistem oluşturun: pay sıfıra eşit olduğunda ve payda sıfıra eşit olmadığında bir kesir sıfıra eşittir.
Denklemi çözün.
Yabancı kökleri hariç tutmak için eşitsizliği kontrol edin.
Cevabı yazın.

4. Yeni materyalin ilk kez anlaşılması.

Çiftler halinde çalışın. Öğrenciler denklem türüne bağlı olarak denklemi nasıl çözeceklerini kendileri seçerler. “Cebir 8” ders kitabından ödevler, Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600(b,c); 601(a,e). Öğretmen görevin tamamlanmasını izler, ortaya çıkan soruları yanıtlar ve düşük performans gösteren öğrencilere yardım sağlar. Kendi kendine test: cevaplar tahtaya yazılır.

b) 2 - yabancı kök. Cevap: 3.

c) 2 - yabancı kök. Cevap: 1.5.

a) Cevap: -12.5.

5. Ödev verme.

Ders kitabındaki 25. paragrafı okuyun, 1-3. örnekleri analiz edin.
Kesirli rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma öğrenin.
600 (d, d) numaralı defterlerde çözün; 601(g,h).

6. Dersi özetlemek.

Bugün derste kesirli rasyonel denklemlerle tanıştık, bu denklemlerin nasıl çözüleceğini öğrendik Farklı yollar. Kesirli rasyonel denklemleri nasıl çözerseniz çözün, neyi aklınızda tutmalısınız? Kesirli rasyonel denklemlerin “kurnazlığı” nedir?

Herkese teşekkürler, ders bitti.

İkinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğini zaten öğrendik. Şimdi çalışılan yöntemleri rasyonel denklemlere genişletelim.

Rasyonel ifade nedir? Bu kavramla zaten karşılaştık. Rasyonel ifadeler sayılar, değişkenler, bunların güçleri ve matematiksel işlem sembollerinden oluşan ifadelerdir.

Buna göre rasyonel denklemler aşağıdaki formdaki denklemlerdir: burada - rasyonel ifadeler.

Daha önce yalnızca doğrusal denklemlere indirgenebilecek rasyonel denklemleri ele alıyorduk. Şimdi ikinci dereceden denklemlere indirgenebilecek rasyonel denklemlere bakalım.

örnek 1

Denklemi çözün: .

Çözüm:

Bir kesir ancak ve ancak payı 0'a eşitse ve paydası 0'a eşit değilse 0'a eşittir.

Aşağıdaki sistemi elde ediyoruz:

Sistemin ilk denklemi ikinci dereceden bir denklemdir. Çözmeden önce tüm katsayılarını 3'e bölelim. Bunu elde ederiz:

İki kök elde ediyoruz: ; .

2 hiçbir zaman 0'a eşit olmadığından iki koşulun karşılanması gerekir: . Yukarıda elde edilen denklemin köklerinin hiçbiri, ikinci eşitsizliği çözerken elde edilen değişkenin geçersiz değerleriyle çakışmadığı için her ikisi de bu denklemin çözümüdür.

Cevap:.

Öyleyse rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma formüle edelim:

1. Tüm terimleri, sağ taraf 0 olacak şekilde sol tarafa taşıyın.

2. Sol tarafı dönüştürün ve basitleştirin, tüm kesirleri ortak bir paydaya getirin.

3. Ortaya çıkan kesri aşağıdaki algoritmayı kullanarak 0'a eşitleyin: .

4. Birinci denklemde elde edilen kökleri yazın ve cevapta ikinci eşitsizliği sağlayın.

Başka bir örneğe bakalım.

Örnek 2

Denklemi çözün: .

Çözüm

Başlangıçta, 0 sağda kalacak şekilde tüm terimleri sola kaydırırız:

Şimdi denklemin sol tarafını ortak bir paydaya getirelim:

Bu denklem sisteme eşdeğerdir:

Sistemin ilk denklemi ikinci dereceden bir denklemdir.

Bu denklemin katsayıları: . Diskriminantı hesaplıyoruz:

İki kök elde ediyoruz: ; .

Şimdi ikinci eşitsizliği çözelim: Faktörlerden hiçbiri 0'a eşit değilse, faktörlerin çarpımı 0'a eşit değildir.

İki koşulun karşılanması gerekir: . İlk denklemin iki kökünden yalnızca birinin uygun olduğunu bulduk - 3.

Cevap:.

Bu dersimizde rasyonel ifadenin ne olduğunu hatırladık ve ikinci dereceden denklemlere indirgenebilen rasyonel denklemlerin nasıl çözüleceğini öğrendik.

Bir sonraki derste rasyonel denklemlere gerçek durumların modelleri olarak bakacağız ve ayrıca hareket problemlerine bakacağız.

Kaynakça

Bashmakov M.I. Cebir, 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2004.
Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. ve diğerleri Cebir, 8. 5. baskı. - M.: Eğitim, 2010.
Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Cebir, 8. sınıf. Genel ders kitabı Eğitim Kurumları. - M.: Eğitim, 2006.

Festival pedagojik fikirler "Herkese açık ders" ().
School.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com ().

Ev ödevi

Rasyonel ve kesirli rasyonel denklemlerle tanışalım, tanımlarını verelim, örnekler verelim ve ayrıca en yaygın problem türlerini analiz edelim.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Rasyonel denklem: tanım ve örnekler

Rasyonel ifadelerle tanışma okulun 8. sınıfında başlar. Bu dönemde cebir derslerinde öğrenciler notlarında rasyonel ifadeler içeren denklemlerle ilgili ödevlerle giderek daha fazla karşılaşmaya başlıyorlar. Ne olduğu konusunda hafızamızı tazeleyelim.

Tanım 1

Rasyonel denklem her iki tarafın da rasyonel ifadeler içerdiği bir denklemdir.

Çeşitli kılavuzlarda başka bir formülasyon bulabilirsiniz.

Tanım 2

Rasyonel denklem- bu, sol tarafı rasyonel bir ifade içeren ve sağ tarafı sıfır içeren bir denklemdir.

Rasyonel denklemler için verdiğimiz tanımlar aynı şeyden söz ettikleri için eşdeğerdir. Sözlerimizin doğruluğu, herhangi bir rasyonel ifade için P Ve Q denklemler P = Q Ve P - Q = 0 eşdeğer ifadeler olacaktır.

Şimdi örneklere bakalım.

örnek 1

Rasyonel denklemler:

x = 1 , 2 x - 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Rasyonel denklemler, tıpkı diğer türdeki denklemler gibi, 1'den birkaçına kadar herhangi bir sayıda değişken içerebilir. İlk önce şuna bakacağız basit örnekler Denklemlerin yalnızca bir değişken içereceği. Ve sonra görevi yavaş yavaş karmaşıklaştırmaya başlayacağız.

Rasyonel denklemler iki büyük gruba ayrılır: tam sayı ve kesirli. Her bir gruba hangi denklemlerin uygulanacağını görelim.

Tanım 3

Rasyonel bir denklem, sol ve sağ taraflarının tüm rasyonel ifadeleri içermesi durumunda bir tamsayı olacaktır.

Tanım 4

Bir rasyonel denklemin parçalarından biri veya her ikisi de kesir içeriyorsa kesirli olacaktır.

Kesirli rasyonel denklemler mutlaka bir değişkene bölünmeyi içerir veya değişken paydada bulunur. Denklemlerin tamamının yazılmasında böyle bir bölümleme yoktur.

Örnek 2

3 x + 2 = 0 Ve (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– tüm rasyonel denklemler. Burada denklemin her iki tarafı da tamsayı ifadelerle temsil edilmektedir.

1 x - 1 = x 3 ve x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 kesirli rasyonel denklemlerdir.

Bütün rasyonel denklemler doğrusal ve ikinci dereceden denklemleri içerir.

Denklemlerin tamamını çözme

Bu tür denklemleri çözmek genellikle onları eşdeğer cebirsel denklemlere dönüştürmekten ibarettir. Bu, aşağıdaki algoritmaya uygun olarak denklemlerin eşdeğer dönüşümlerinin gerçekleştirilmesiyle elde edilebilir:

önce denklemin sağ tarafında sıfır alıyoruz, bunun için denklemin sağ tarafındaki ifadeyi sol tarafa taşıyıp işaretini değiştirmemiz gerekiyor;
daha sonra denklemin sol tarafındaki ifadeyi bir polinoma dönüştürürüz standart görünüm.

Cebirsel bir denklem elde etmeliyiz. Bu denklem orijinal denkleme eşdeğer olacaktır. Kolay durumlar, sorunu çözmek için tüm denklemi doğrusal veya ikinci dereceden bir denkleme indirgememize olanak tanır. Genel olarak cebirsel bir derece denklemini çözeriz N.

Örnek 3

Tüm denklemin köklerini bulmak gerekiyor 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

Çözüm

Eşdeğer bir cebirsel denklem elde etmek için orijinal ifadeyi dönüştürelim. Bunun için denklemin sağ tarafında yer alan ifadeyi sol tarafa aktarıp işaretin tersini koyacağız. Sonuç olarak şunu elde ederiz: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

Şimdi sol taraftaki ifadeyi standart formun bir polinomuna dönüştürelim ve üretelim. gerekli eylemler bu polinomla:

3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

Orijinal denklemin çözümünü ikinci dereceden bir denklemin çözümüne indirgemeyi başardık. x 2 − 5 x − 6 = 0. Bu denklemin diskriminantı pozitiftir: D = (− 5) 2− 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 . Bu, iki gerçek kökün olacağı anlamına gelir. İkinci dereceden bir denklemin kökleri formülünü kullanarak bunları bulalım:

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 veya x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 veya x 2 = - 1

Çözüm sırasında bulduğumuz denklemin köklerinin doğruluğunu kontrol edelim. Bunun için aldığımız sayıları orijinal denklemde yerine koyarız: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 Ve 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 · (− 1) − 1) − 3. İlk durumda 63 = 63 , saniyede 0 = 0 . Kökler x=6 Ve x = − 1 aslında örnek koşulda verilen denklemin kökleridir.

Cevap: 6 , − 1 .

"Bir denklemin tamamının derecesi"nin ne anlama geldiğine bakalım. Bir denklemin tamamını cebirsel bir formda temsil etmemiz gereken durumlarda bu terimle sıklıkla karşılaşacağız. Konsepti tanımlayalım.

Tanım 5

Tüm denklemin derecesi- bu derece cebirsel denklem, orijinal tamsayı denklemine eşdeğerdir.

Yukarıdaki örnekteki denklemlere bakarsanız şunu tespit edebilirsiniz: tüm bu denklemin derecesi ikincidir.

Dersimiz ikinci derece denklemlerin çözümüyle sınırlı olsaydı konunun tartışması burada bitebilirdi. Ama bu o kadar basit değil. Üçüncü dereceden denklemleri çözmek zorluklarla doludur. Ve dördüncü dereceden daha yüksek denklemler için genel formüller kökler. Bu bakımdan üçüncü, dördüncü ve diğer derecelerdeki denklemlerin tamamının çözülmesi, bir takım başka teknik ve yöntemlerin kullanılmasını gerektirir.

Rasyonel denklemlerin tamamını çözmek için en yaygın kullanılan yaklaşım, çarpanlara ayırma yöntemine dayanmaktadır. Bu durumda eylemlerin algoritması aşağıdaki gibidir:

sıfırın kaydın sağ tarafında kalması için ifadeyi sağ taraftan sola doğru hareket ettiriyoruz;
Sol taraftaki ifadeyi faktörlerin bir ürünü olarak temsil ediyoruz ve ardından daha basit denklemlerden oluşan bir diziye geçiyoruz.

Örnek 4

(x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) denkleminin çözümünü bulun.

Çözüm

İfadeyi kaydın sağ tarafından ters işaretle sola doğru taşıyoruz: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. Sol tarafı standart formun bir polinomuna dönüştürmek, bize dördüncü dereceden cebirsel bir denklem vereceği için uygun değildir: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Dönüşümün kolaylığı böyle bir denklemin çözümündeki tüm zorlukları haklı çıkarmaz.

Diğer tarafa gitmek çok daha kolay: ortak çarpanı parantezlerden çıkaralım x 2 − 10 x + 13 . Böylece formun bir denklemine ulaşıyoruz (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Şimdi ortaya çıkan denklemi iki ikinci dereceden denklemle değiştiriyoruz x 2 − 10 x + 13 = 0 Ve x 2 − 2 x − 1 = 0 ve bunların köklerini diskriminant aracılığıyla bulun: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Cevap: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Aynı şekilde yeni bir değişken ekleme yöntemini de kullanabiliriz. Bu yöntem, orijinal tamsayı denklemindeki derecelerden daha düşük derecelere sahip eşdeğer denklemlere geçmemizi sağlar.

Örnek 5

Denklemin kökleri var mı? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Çözüm

Şimdi bir rasyonel denklemin tamamını cebirsel bir denkleme indirgemeye çalışırsak, 4. dereceden bir denklem elde ederiz. rasyonel kökler. Bu nedenle diğer tarafa gitmemiz daha kolay olacaktır: denklemdeki ifadenin yerini alacak yeni bir y değişkeni eklemek x 2 + 3 x.

Şimdi tüm denklemle çalışacağız (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). Denklemin sağ tarafını ters işaretle sola kaydırıp gerekli dönüşümleri yapalım. Şunu elde ederiz: y 2 + 4 y + 3 = 0. İkinci dereceden denklemin köklerini bulalım: y = − 1 Ve y = − 3.

Şimdi ters değiştirme işlemini yapalım. İki denklem elde ediyoruz x 2 + 3 x = − 1 Ve x 2 + 3 · x = − 3 . Bunları x 2 + 3 x + 1 = 0 olarak yeniden yazalım ve x 2 + 3 x + 3 = 0. Elde edilenlerden ilk denklemin köklerini bulmak için ikinci dereceden bir denklemin kökleri formülünü kullanıyoruz: - 3 ± 5 2. İkinci denklemin diskriminantı negatiftir. Bu, ikinci denklemin gerçek köklerinin olmadığı anlamına gelir.

Cevap:- 3 ± 5 2

Tam denklemler yüksek dereceler sorunlarla oldukça sık karşılaşıyoruz. Onlardan korkmanıza gerek yok. Bunları çözmek için bir dizi yapay dönüşüm de dahil olmak üzere standart olmayan bir yöntem kullanmaya hazır olmanız gerekir.

Kesirli rasyonel denklemleri çözme

Bu alt konuyu değerlendirmeye p(x) q(x) = 0 formundaki kesirli rasyonel denklemleri çözmeye yönelik bir algoritma ile başlayacağız; burada p(x) Ve q(x)– bütün rasyonel ifadeler. Diğer kesirli rasyonel denklemlerin çözümü her zaman belirtilen türdeki denklemlerin çözümüne indirgenebilir.

p (x) q (x) = 0 denklemlerini çözmek için en yaygın kullanılan yöntem aşağıdaki ifadeye dayanmaktadır: sayısal kesir sen v, Nerede v- bu, sıfırdan farklı, yalnızca kesir payının sıfıra eşit olduğu durumlarda sıfıra eşit bir sayıdır. Yukarıdaki ifadenin mantığını takip ederek, p (x) q (x) = 0 denkleminin çözümünün iki koşulun yerine getirilmesine indirgenebileceğini iddia edebiliriz: p(x)=0 Ve q(x) ≠ 0. Bu, p (x) q (x) = 0 formundaki kesirli rasyonel denklemleri çözmeye yönelik bir algoritma oluşturmanın temelidir:

tüm rasyonel denklemin çözümünü bulun p(x)=0;
çözüm sırasında bulunan kökler için koşulun sağlanıp sağlanmadığını kontrol ederiz q(x) ≠ 0.

Bu koşul sağlanıyorsa, bulunan kök, değilse, o zaman kök, soruna çözüm değildir.

Örnek 6

3 x - 2 5 x 2 - 2 = 0 denkleminin köklerini bulalım.

Çözüm

p (x) q (x) = 0 formunda, p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0 olan kesirli bir rasyonel denklemle uğraşıyoruz. Doğrusal denklemi çözmeye başlayalım 3 x - 2 = 0. Bu denklemin kökü x = 2 3.

Koşulu karşılayıp karşılamadığını görmek için bulunan kökü kontrol edelim. 5 x 2 − 2 ≠ 0. Bunu yapmak için ifadeye sayısal bir değer koyun. Şunu elde ederiz: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

Koşul karşılanıyor. Bu demektir x = 2 3 orijinal denklemin köküdür.

Cevap: 2 3 .

Kesirli rasyonel denklemleri p (x) q (x) = 0 çözmek için başka bir seçenek daha var. Bu denklemin tüm denkleme eşdeğer olduğunu hatırlayın p(x)=0 bölgede kabul edilebilir değerler orijinal denklemin x değişkeni. Bu, p (x) q (x) = 0 denklemlerini çözerken aşağıdaki algoritmayı kullanmamıza olanak tanır:

denklemi çözün p(x)=0;
x değişkeninin izin verilen değerlerinin aralığını bulun;
orijinal kesirli rasyonel denklemin istenen kökleri olarak x değişkeninin izin verilen değerleri aralığında yer alan kökleri alıyoruz.

Örnek 7

x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 denklemini çözün.

Çözüm

İlk önce ikinci dereceden denklemi çözelim x 2 − 2 x − 11 = 0. Köklerini hesaplamak için çift ikinci katsayı için kök formülünü kullanırız. Aldık D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12 ve x = 1 ± 2 3.

Şimdi orijinal denklem için x değişkeninin ODZ'sini bulabiliriz. Bunların hepsi rakamlar x 2 + 3 x ≠ 0. Aynısı x (x + 3) ≠ 0, buradan x ≠ 0, x ≠ − 3.

Şimdi çözümün ilk aşamasında elde edilen x = 1 ± 2 3 köklerinin x değişkeninin izin verilen değerleri aralığında olup olmadığını kontrol edelim. geldiklerini görüyoruz. Bu, orijinal kesirli rasyonel denklemin iki kökü x = 1 ± 2 3 olduğu anlamına gelir.

Cevap: x = 1 ± 2 3

Açıklanan ikinci çözüm yöntemi, x değişkeninin izin verilen değer aralığının kolayca bulunabildiği ve denklemin köklerinin bulunduğu durumlarda birinciden daha basittir. p(x)=0 mantıksız. Örneğin, 7 ± 4 · 26 9. Kökler rasyonel olabilir ancak büyük bir pay veya paydaya sahip olabilir. Örneğin, 127 1101 Ve − 31 59 . Bu, durumu kontrol ederken zaman kazandırır q(x) ≠ 0: ODZ'ye göre uygun olmayan köklerin dışlanması çok daha kolaydır.

Denklemin köklerinin olduğu durumlarda p(x)=0 tam sayılardır, p (x) q (x) = 0 formundaki denklemleri çözmek için açıklanan algoritmalardan ilkini kullanmak daha uygundur. Bir denklemin tamamının köklerini daha hızlı bulun p(x)=0 ve ardından koşulun kendileri için karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin q(x) ≠ 0 ODZ'yi bulmak ve ardından denklemi çözmek yerine p(x)=0 bu ODZ'de. Bunun nedeni, bu gibi durumlarda kontrol etmenin genellikle DZ'yi bulmaktan daha kolay olmasıdır.

Örnek 8

Denklemin köklerini bulun (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

Çözüm

Denklemin tamamına bakarak başlayalım (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0 ve onun köklerini bulmak. Bunu yapmak için denklemleri çarpanlara ayırma yoluyla çözme yöntemini uyguluyoruz. Orijinal denklemin, üçü doğrusal ve 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0 olmak üzere dört denklemden oluşan bir diziye eşdeğer olduğu ortaya çıktı ve biri ikinci derecedendir. Kökleri bulma: ilk denklemden x = 1 2, ikinciden itibaren – x=6, üçüncüden – x = 7 , x = − 2 , dördüncüden – x = − 1.

Elde edilen kökleri kontrol edelim. ADL'yi belirleyin bu durumda Bizim için zor çünkü bunun için beşinci dereceden cebirsel bir denklemi çözmemiz gerekecek. Denklemin sol tarafında yer alan kesrin paydasının sıfıra gitmemesi durumunu kontrol etmek daha kolay olacaktır.

İfadedeki x değişkeninin yerine kökleri sırayla koyalım x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 ve değerini hesaplayın:

1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .

Gerçekleştirilen doğrulama, orijinal kesirli rasyonel denklemin köklerinin 1 2, 6 ve 6 olduğunu tespit etmemizi sağlar. − 2 .

Cevap: 1 2 , 6 , - 2

Örnek 9

5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 kesirli rasyonel denkleminin köklerini bulun.

Çözüm

Denklemle çalışmaya başlayalım (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. Köklerini bulalım. Bu denklemi bir dizi ikinci dereceden ve doğrusal denklem olarak hayal etmek bizim için daha kolaydır. 5 x 2 − 7 x − 1 = 0 Ve x - 2 = 0.

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için kök formülünü kullanırız. İlk denklemden iki kök x = 7 ± 69 10, ikincisinden ise iki kök elde ederiz. x = 2.

Koşulları kontrol etmek için köklerin değerini orijinal denklemde yerine koymamız oldukça zor olacaktır. X değişkeninin ODZ'sini belirlemek daha kolay olacaktır. Bu durumda, x değişkeninin ODZ'si, koşulun karşılandığı sayılar dışındaki tüm sayılardır x 2 + 5 x - 14 = 0. Şunu elde ederiz: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

Şimdi bulduğumuz köklerin x değişkeninin izin verilen değerleri aralığına ait olup olmadığını kontrol edelim.

Kökler x = 7 ± 69 10'a aittir, dolayısıyla bunlar orijinal denklemin kökleridir ve x = 2- ait değildir, bu nedenle yabancı bir köktür.

Cevap: x = 7 ± 69 10.

p(x) q(x) = 0 formundaki kesirli rasyonel denklemin payının bir sayı içerdiği durumları ayrı ayrı inceleyelim. Bu gibi durumlarda pay sıfırdan farklı bir sayı içeriyorsa denklemin kökleri olmayacaktır. Bu sayı sıfıra eşitse denklemin kökü ODZ'den herhangi bir sayı olacaktır.

Örnek 10

Kesirli rasyonel denklemi çözün - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Çözüm

Denklemin sol tarafındaki kesrin payı sıfırdan farklı bir sayı içerdiğinden bu denklemin kökleri olmayacaktır. Bu, x'in hiçbir değerinde problem ifadesinde verilen kesirin değerinin sıfıra eşit olmayacağı anlamına gelir.

Cevap: kök yok.

Örnek 11

0 x 4 + 5 x 3 = 0 denklemini çözün.

Çözüm

Kesirin payı sıfır içerdiğinden denklemin çözümü, x değişkeninin ODZ'sinden herhangi bir x değeri olacaktır.

Şimdi ODZ'yi tanımlayalım. X'in tüm değerlerini içerecektir. x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Denklemin çözümleri x 4 + 5 x 3 = 0öyle 0 Ve − 5 , çünkü bu denklem denkleme eşdeğerdir x 3 (x + 5) = 0 ve bu da iki x 3 = 0 denkleminin birleşimine eşdeğerdir ve x + 5 = 0, bu köklerin görülebildiği yer. İstenilen kabul edilebilir değer aralığının, hariç herhangi bir x olduğu sonucuna varıyoruz. x = 0 Ve x = − 5.

0 x 4 + 5 · x 3 = 0 kesirli rasyonel denkleminin, sıfır ve - 5 dışında herhangi bir sayı olan sonsuz sayıda çözümü olduğu ortaya çıktı.

Cevap: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Şimdi keyfi biçimdeki kesirli rasyonel denklemler ve bunları çözme yöntemleri hakkında konuşalım. Şu şekilde yazılabilirler: r(x) = s(x), Nerede r(x) Ve s(x)– rasyonel ifadeler ve bunlardan en az biri kesirlidir. Bu tür denklemlerin çözülmesi, p(x) q(x) = 0 formundaki denklemlerin çözülmesine indirgenir.

Denklemin sağ tarafındaki bir ifadeyi ters işaretli olarak sola aktararak eşdeğer bir denklem elde edebileceğimizi zaten biliyoruz. Bu şu anlama gelir: denklem r(x) = s(x) denklemin eşdeğeridir r (x) - s (x) = 0. Ayrıca rasyonel bir ifadeyi rasyonel kesre dönüştürmenin yollarını da zaten tartıştık. Bu sayede denklemi kolaylıkla dönüştürebiliriz. r (x) - s (x) = 0 p(x) q(x) formunun özdeş rasyonel kesrine dönüştürür.

Böylece orijinal kesirli rasyonel denklemden hareket ediyoruz r(x) = s(x)çözmeyi öğrendiğimiz p(x) q(x) = 0 formundaki bir denkleme.

Geçişler yapılırken dikkate alınmalıdır. r (x) - s (x) = 0 p(x)q(x) = 0'a ve sonra p(x)=0 x değişkeninin izin verilen değer aralığının genişlemesini dikkate almayabiliriz.

Orijinal denklemin olması oldukça mümkündür. r(x) = s(x) ve denklem p(x)=0 dönüşümlerin sonucunda eşdeğer olmaktan çıkacaklar. O zaman denklemin çözümü p(x)=0 bize yabancı olacak kökler verebilir r(x) = s(x). Bu bağlamda, her durumda yukarıda açıklanan yöntemlerden herhangi birini kullanarak doğrulamanın yapılması gerekmektedir.

Konuyu incelemenizi kolaylaştırmak için, tüm bilgileri formun kesirli rasyonel denklemini çözmeye yönelik bir algoritmada özetledik. r(x) = s(x):

ifadeyi sağ taraftan ters işaretle aktarıyoruz ve sağdan sıfır alıyoruz;
orijinal ifadeyi rasyonel bir kesire dönüştürün p (x) q (x) , kesirler ve polinomlarla sırayla işlemler gerçekleştirin;
denklemi çözün p(x)=0;
ODZ'ye ait olduklarını kontrol ederek veya orijinal denklemde ikame yaparak yabancı kökleri belirleriz.

Görsel olarak eylem zinciri şöyle görünecek:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → eliminasyon DIŞ KÖKLER

Örnek 12

Kesirli rasyonel denklemi çözün x x + 1 = 1 x + 1 .

Çözüm

Şimdi x x + 1 - 1 x + 1 = 0 denklemine geçelim. Denklemin sol tarafındaki kesirli rasyonel ifadeyi p (x) q (x) formuna dönüştürelim.

Bunu yapmak için rasyonel kesirleri ortak bir paydaya indirgememiz ve ifadeyi basitleştirmemiz gerekecek:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

- 2 x - 1 x (x + 1) = 0 denkleminin köklerini bulmak için denklemi çözmemiz gerekiyor − 2 x − 1 = 0. Bir kök alıyoruz x = - 1 2.

Tek yapmamız gereken yöntemlerden herhangi birini kullanarak kontrol etmek. İkisine de bakalım.

Ortaya çıkan değeri orijinal denklemde yerine koyalım. - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 elde ederiz. Doğru sayısal eşitliğe ulaştık − 1 = − 1 . Bu demektir x = − 1 2 orijinal denklemin köküdür.

Şimdi ODZ'yi kontrol edelim. X değişkeninin izin verilen değer aralığını belirleyelim. Bu, - 1 ve 0 hariç tüm sayı kümesi olacaktır (x = − 1 ve x = 0'da kesirlerin paydaları kaybolur). Elde ettiğimiz kök x = − 1 2 ODZ'ye aittir. Bu, orijinal denklemin kökü olduğu anlamına gelir.

Cevap: − 1 2 .

Örnek 13

x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x denkleminin köklerini bulun.

Çözüm

Kesirli rasyonel bir denklemle uğraşıyoruz. Bu nedenle algoritmaya göre hareket edeceğiz.

İfadeyi sağ taraftan sola doğru ters işaretle taşıyalım: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Gerekli dönüşümleri yapalım: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

Denkleme varıyoruz x = 0. Bu denklemin kökü sıfırdır.

Bu kökün orijinal denklemin dışında olup olmadığını kontrol edelim. Değeri orijinal denklemde yerine koyalım: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Gördüğünüz gibi ortaya çıkan denklemin hiçbir anlamı yok. Bu, 0'ın yabancı bir kök olduğu ve orijinal kesirli rasyonel denklemin kökleri olmadığı anlamına gelir.

Cevap: kök yok.

Eğer diğer eşdeğer dönüşümleri algoritmaya dahil etmediysek, bu onların kullanılamayacağı anlamına gelmez. Algoritma evrenseldir ancak sınırlamak için değil, yardımcı olmak için tasarlanmıştır.

Örnek 14

7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24 denklemini çözün

Çözüm

En kolay yol, verilen kesirli rasyonel denklemi algoritmaya göre çözmektir. Ama başka bir yol daha var. Bunu düşünelim.

Sağ ve sol taraftan 7 çıkarırsak şunu elde ederiz: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

Buradan, sol taraftaki paydadaki ifadenin sağ taraftaki sayının tersine eşit olması gerektiği, yani 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 olduğu sonucuna varabiliriz.

Her iki taraftan da 3 çıkarın: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Benzer şekilde, 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, buradan 1 5 - x 2 = 1 3 ve ardından 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

Bulunan köklerin orijinal denklemin kökleri olup olmadığını kontrol edelim.

Cevap: x = ± 2

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Tamsayı ifadesi, toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerini kullanan sayılardan ve değişmez değişkenlerden oluşan matematiksel bir ifadedir. Tamsayılar ayrıca sıfır dışında herhangi bir sayıya bölmeyi içeren ifadeleri de içerir.

Kesirli rasyonel ifade kavramı

Kesirli ifade, sayı ve harf değişkenleriyle yapılan toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin yanı sıra, sıfıra eşit olmayan bir sayıya bölme işlemlerini de içeren, harf değişkenli ifadelere bölmeyi de içeren matematiksel ifadedir.

Rasyonel ifadelerin tamamı tam ve kesirli ifadelerdir. Rasyonel denklemler, sol ve sağ taraflarının rasyonel ifadeler olduğu denklemlerdir. Rasyonel bir denklemde sol ve sağ taraflar tamsayı ifadeleri ise, o zaman böyle bir rasyonel denkleme tamsayı denir.

Rasyonel bir denklemde sol veya sağ taraflar kesirli ifadelerse, böyle bir rasyonel denkleme kesirli denir.

Kesirli rasyonel ifade örnekleri

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

Kesirli rasyonel denklemi çözme şeması

1. Denklemde yer alan tüm kesirlerin ortak paydasını bulun.

2. Denklemin her iki tarafını ortak bir paydayla çarpın.

3. Ortaya çıkan denklemin tamamını çözün.

4. Kökleri kontrol edin ve ortak paydayı ortadan kaldıranları hariç tutun.

Kesirli rasyonel denklemleri çözdüğümüz için kesirlerin paydalarında değişkenler olacaktır. Bu onların ortak payda olacağı anlamına gelir. Ve algoritmanın ikinci noktasında ortak bir paydayla çarpıyoruz, o zaman yabancı kökler görünebilir. Ortak paydanın sıfıra eşit olacağı nokta, onunla çarpmanın anlamsız olacağı anlamına gelir. Bu nedenle sonunda elde edilen kökleri kontrol etmek gerekir.

Bir örneğe bakalım:

Kesirli rasyonel denklemi çözün: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

sadık kalacağız genel şema: Öncelikle tüm kesirlerin ortak paydasını bulalım. x*(x-5) elde ederiz.

Her kesri ortak bir paydayla çarpın ve elde edilen denklemin tamamını yazın.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Ortaya çıkan denklemi basitleştirelim. Şunu elde ederiz:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

Basit, indirgenmiş ikinci dereceden bir denklem elde ederiz. Bunu bilinen yöntemlerden herhangi biriyle çözersek, x=-2 ve x=5 köklerini elde ederiz.

Şimdi elde edilen çözümleri kontrol ediyoruz:

-2 ve 5 sayılarını ortak paydada değiştirin. x=-2'de ortak payda x*(x-5) kaybolmaz, -2*(-2-5)=14. Bu, -2 sayısının orijinal kesirli rasyonel denklemin kökü olacağı anlamına gelir.

x=5 olduğunda ortak payda x*(x-5) olur sıfıra eşit. Dolayısıyla bu sayı orijinal kesirli rasyonel denklemin kökü değildir, çünkü sıfıra bölünme olacaktır.

Dersin Hedefleri:

Eğitici:

kesirli rasyonel denklemler kavramının oluşumu;
kesirli rasyonel denklemleri çözmenin çeşitli yollarını düşünün;
kesirin sıfıra eşit olması koşulu da dahil olmak üzere kesirli rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma düşünün;
kesirli rasyonel denklemleri bir algoritma kullanarak çözmeyi öğretmek;
Bir test yaparak konuya hakimiyet düzeyini kontrol etmek.

Gelişimsel:

edinilen bilgilerle doğru şekilde çalışma ve mantıksal düşünme yeteneğini geliştirmek;
entelektüel becerilerin geliştirilmesi ve zihinsel operasyonlar- analiz, sentez, karşılaştırma ve sentez;
inisiyatifin geliştirilmesi, karar verme yeteneği ve orada durmamak;
eleştirel düşüncenin gelişimi;
araştırma becerilerinin geliştirilmesi.

Eğitim:

konuya bilişsel ilgiyi teşvik etmek;
eğitim sorunlarının çözümünde bağımsızlığın teşvik edilmesi;
Nihai sonuçlara ulaşmak için irade ve azim beslemek.

Ders türü: ders - yeni materyalin açıklaması.

Dersler sırasında

1. Organizasyon anı.

Merhaba beyler! Tahtaya yazılmış denklemler var, onlara dikkatlice bakın. Bu denklemlerin hepsini çözebilir misiniz? Hangileri değil ve neden?

2. Bilginin güncellenmesi. Ön anket, sınıfla sözlü çalışma.

Şimdi yeni bir konuyu incelemek için ihtiyaç duyacağımız ana teorik materyali tekrarlayacağız. Lütfen gelecek soruları cevaplayın:

Denklem nedir? ( Bir değişken veya değişkenlerle eşitlik.)
1 numaralı denklemin adı nedir? ( Doğrusal.) Doğrusal denklemleri çözmek için bir yöntem. ( Bilinmeyen olan her şeyi denklemin sol tarafına, tüm sayıları sağa taşıyın. Benzer terimler verin. Bilinmeyen faktörü bul).
3 numaralı denklemin adı nedir? ( Kare.) İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri. ( Seçim tam kare formüllerle, Vieta teoremini ve sonuçlarını kullanarak.)
Oran nedir? ( İki oranın eşitliği.) Oranın ana özelliği. ( Oran doğruysa, aşırı terimlerin çarpımı orta terimlerin çarpımına eşittir..)
Denklemleri çözerken hangi özellikler kullanılır? ( 1. Bir denklemdeki terimi bir kısımdan diğerine hareket ettirirseniz, işaretini değiştirirseniz, verilene eşdeğer bir denklem elde edersiniz. 2. Denklemin her iki tarafı da sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılır veya bölünürse verilen sayıya eşdeğer bir denklem elde edilir.)
Bir kesir ne zaman sıfıra eşit olur? ( Pay sıfır ve payda sıfır olmadığında kesir sıfıra eşittir..)

3. Yeni materyalin açıklanması.

2 numaralı denklemi defterlerinizde ve tahtada çözün.

Cevap: 10.

Oranın temel özelliğini kullanarak hangi kesirli rasyonel denklemi çözmeye çalışabilirsiniz? (Numara 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

4 numaralı denklemi defterlerinizde ve tahtada çözün.

Cevap: 1,5.

Denklemin her iki tarafını da paydayla çarparak hangi kesirli rasyonel denklemi çözmeye çalışabilirsiniz? (No. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Cevap: 3;4.

Şimdi 7 numaralı denklemi aşağıdaki yöntemlerden birini kullanarak çözmeye çalışın.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
x 3 =5 x 4 =-2			x 3 =5 x 4 =-2
Cevap: 0;5;-2.			Cevap: 5;-2.

Bunun neden olduğunu açıklayın? Neden bir durumda üç, diğerinde iki kök var? Bu kesirli rasyonel denklemin kökleri hangi sayılardır?

2 ve 4 numaralı denklemlerin 5,6,7 numaralı denklemlerden farkı nedir? ( 2 ve 4 numaralı denklemlerde paydada sayılar vardır, 5-7 numaralı denklemler değişkenli ifadelerdir.)
Bir denklemin kökü nedir? ( Denklemin doğru olduğu değişkenin değeri.)
Bir sayının bir denklemin kökü olup olmadığını nasıl öğrenebilirim? ( Çek yap.)

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

Eğer x=5 ise x(x-5)=0 olur, bu da 5'in yabancı bir kök olduğu anlamına gelir.

Eğer x=-2 ise x(x-5)≠0 olur.

Cevap: -2.

Kesirli rasyonel denklemleri bu şekilde çözmek için bir algoritma oluşturmaya çalışalım. Çocuklar algoritmayı kendileri formüle ederler.

Kesirli rasyonel denklemleri çözmek için algoritma:

Her şeyi sol tarafa taşıyın.
Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin.
Bir sistem oluşturun: pay sıfıra eşit olduğunda ve payda sıfıra eşit olmadığında bir kesir sıfıra eşittir.
Denklemi çözün.
Yabancı kökleri hariç tutmak için eşitsizliği kontrol edin.
Cevabı yazın.

Tartışma: Oranın temel özelliğini kullanırsanız ve denklemin her iki tarafını ortak bir paydayla çarparsanız çözümü nasıl resmileştirirsiniz? (Çözüme şunu ekleyin: ortak paydayı ortadan kaldıranları köklerinden çıkarın).

4. Yeni materyalin ilk kez anlaşılması.

Çiftler halinde çalışın. Öğrenciler denklem türüne bağlı olarak denklemi nasıl çözeceklerini kendileri seçerler. “Cebir 8” ders kitabından ödevler, Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600(b,c,i); 601(a,e,g). Öğretmen görevin tamamlanmasını izler, ortaya çıkan soruları yanıtlar ve düşük performans gösteren öğrencilere yardım sağlar. Kendi kendine test: cevaplar tahtaya yazılır.

b) 2 – yabancı kök. Cevap: 3.

c) 2 – yabancı kök. Cevap: 1.5.

a) Cevap: -12.5.

g) Cevap: 1;1.5.

5. Ödev verme.

Ders kitabındaki 25. paragrafı okuyun, 1-3. örnekleri analiz edin.
Kesirli rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma öğrenin.
600 (a, d, e) numaralı defterlerde çözün; 601(g,h).
696(a) numaralı soruyu (isteğe bağlı) çözmeye çalışın.

6. Çalışılan konuyla ilgili bir kontrol görevinin tamamlanması.

İş kağıt parçaları üzerinde yapılır.

Örnek görev:

A) Denklemlerden hangileri kesirli rasyoneldir?

B) Bir kesirin payı ______________________ ve paydası _______________________ olduğunda sıfıra eşittir.

Soru) -3 sayısı 6 numaralı denklemin kökü müdür?

D) 7 numaralı denklemi çözün.

Ödev için değerlendirme kriterleri:

Öğrenci görevin %90'ından fazlasını doğru tamamlamışsa “5” verilir.
"4" - %75-%89
"3" - %50-%74
Görevin %50'sinden azını tamamlayan öğrenciye “2” verilir.
Dergide 2 notu verilmemektedir, 3 opsiyoneldir.

7. Yansıma.

Bağımsız çalışma sayfalarına şunu yazın:

1 – eğer ders sizin için ilginç ve anlaşılırsa;
2 – ilginç ama net değil;
3 – ilginç değil ama anlaşılır;
4 – ilginç değil, net değil.

8. Dersi özetlemek.

Bugün derste kesirli rasyonel denklemlerle tanıştık, bu denklemleri çeşitli şekillerde çözmeyi öğrendik, bir eğitim yardımıyla bilgimizi test ettik. bağımsız iş. Bir sonraki derste bağımsız çalışmanızın sonuçlarını öğreneceksiniz ve evde bilginizi pekiştirme fırsatına sahip olacaksınız.

Size göre kesirli rasyonel denklemleri çözmenin hangi yöntemi daha kolay, daha erişilebilir ve daha rasyoneldir? Kesirli rasyonel denklemleri çözme yöntemi ne olursa olsun, neyi hatırlamanız gerekir? Kesirli rasyonel denklemlerin “kurnazlığı” nedir?

Herkese teşekkürler, ders bitti.

Kesirli bir rasyonel denklemi çözmek için genel şema. Rasyonel denklemler – Bilgi Hipermarketi

Rasyonel denklem: tanım ve örnekler

Denklemlerin tamamını çözme

Kesirli rasyonel denklemleri çözme

Kesirli rasyonel ifade kavramı

Kesirli rasyonel ifade örnekleri

Kesirli rasyonel denklemi çözme şeması

Şifre kurtarma