Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerinin tanımı kısadır. Bir fonksiyonun bir segmentteki en küçük ve en büyük değerleri

Pratik açıdan bakıldığında en büyük ilgi, bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için türevi kullanmaktır. Bunun neyle bağlantısı var? Kârı en üst düzeye çıkarmak, maliyetleri en aza indirmek, optimum ekipman yükünü belirlemek... Başka bir deyişle, hayatın birçok alanında bazı parametreleri optimize etme sorunlarını çözmek zorundayız. Bunlar da bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma görevleridir.

Unutulmamalıdır ki, en büyük ve en küçük değer fonksiyonlar genellikle, fonksiyonun tüm alanı veya alanın bir parçası olan bir X aralığında aranır. X aralığının kendisi bir parça, açık bir aralık olabilir , sonsuz bir aralık.

Bu yazımızda tek değişkenli y=f(x) 'in açıkça tanımlanmış bir fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerinin bulunmasından bahsedeceğiz.

Sayfada gezinme.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri - tanımlar, çizimler.

Kısaca ana tanımlara bakalım.

Fonksiyonun en büyük değeri bu herkes için eşitsizlik doğrudur.

Fonksiyonun en küçük değeri X aralığında y=f(x)'e böyle bir değer denir bu herkes için eşitsizlik doğrudur.

Bu tanımlar sezgiseldir: Bir fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri, apsiste söz konusu aralıkta kabul edilen en büyük (en küçük) değerdir.

Sabit noktalar– bunlar, fonksiyonun türevinin sıfır olduğu argümanın değerleridir.

En büyük ve en küçük değerleri bulurken neden sabit noktalara ihtiyacımız var? Bu sorunun cevabı Fermat teoremi ile verilmektedir. Bu teoremden, türevlenebilir bir fonksiyonun bir noktada bir ekstremuma (yerel minimum veya yerel maksimum) sahip olması durumunda bu noktanın durağan olduğu sonucu çıkar. Dolayısıyla fonksiyon çoğu zaman en büyük (en küçük) değerini X aralığında bu aralığın durağan noktalarından birinde alır.

Ayrıca bir fonksiyon çoğu zaman en büyük ve en küçük değerlerini bu fonksiyonun birinci türevinin bulunmadığı ve fonksiyonun kendisinin tanımlandığı noktalarda alabilir.

Bu konuyla ilgili en sık sorulan sorulardan birine hemen cevap verelim: “Bir fonksiyonun en büyük (en küçük) değerini belirlemek her zaman mümkün müdür?” Hayır her zaman değil. Bazen X aralığının sınırları, fonksiyonun tanım bölgesinin sınırlarıyla çakışır veya X aralığı sonsuzdur. Ve sonsuzdaki ve tanım alanının sınırlarındaki bazı fonksiyonlar hem sonsuz büyük hem de sonsuz küçük değerler alabilir. Bu durumlarda fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri hakkında bir şey söylenemez.

Netlik sağlamak için grafiksel bir gösterim vereceğiz. Resimlere baktığınızda pek çok şey daha net hale gelecektir.

Segmentte

İlk şekilde fonksiyon [-6;6] segmenti içerisinde yer alan durağan noktalardaki en büyük (max y) ve en küçük (min y) değerlerini almaktadır.

İkinci şekilde gösterilen durumu düşünün. Segmenti olarak değiştirelim. Bu örnekte, fonksiyonun en küçük değeri sabit bir noktada, en büyüğü ise aralığın sağ sınırına karşılık gelen apsisin bulunduğu noktada elde edilir.

Şekil 3'te [-3;2] doğru parçasının sınır noktaları, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerine karşılık gelen noktaların apsisleridir.

Açık bir aralıkta

Dördüncü şekilde fonksiyon, açık aralık (-6;6) içerisinde yer alan durağan noktalardaki en büyük (max y) ve en küçük (min y) değerlerini almaktadır.

Aralıkta en büyük değer hakkında hiçbir sonuç çıkarılamaz.

sonsuzlukta

Yedinci şekilde sunulan örnekte fonksiyon, apsis x=1 olan durağan bir noktada en büyük değeri (max y) almakta ve en küçük değere (min y) aralığın sağ sınırında ulaşmaktadır. Eksi sonsuzda fonksiyon değerleri asimptotik olarak y=3'e yaklaşır.

Aralık boyunca fonksiyon ne en küçük ne de en büyük değere ulaşır. X=2 sağdan yaklaştıkça fonksiyon değerleri eksi sonsuza doğru yönelir (x=2 doğrusu dikey bir asimptottur), apsis artı sonsuza doğru yöneldikçe fonksiyon değerleri asimptotik olarak y=3'e yaklaşır. Bu örneğin grafiksel gösterimi Şekil 8'de gösterilmektedir.

Bir segment üzerinde sürekli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma algoritması.

Bir fonksiyonun bir segment üzerindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulmamızı sağlayan bir algoritma yazalım.

1. Fonksiyonun tanım alanını buluyoruz ve tüm segmenti içerip içermediğini kontrol ediyoruz.
2. Birinci türevin bulunmadığı ve segmentte yer alan tüm noktaları buluruz (genellikle bu tür noktalar, modül işareti altında argümanı olan fonksiyonlarda bulunur ve güç fonksiyonları kesirli-rasyonel bir üs ile). Eğer böyle bir nokta yoksa, bir sonraki noktaya geçin.
3. Segment içerisine düşen tüm sabit noktaları belirliyoruz. Bunu yapmak için onu sıfıra eşitliyoruz, ortaya çıkan denklemi çözüyoruz ve uygun kökleri seçiyoruz. Durağan nokta yoksa veya hiçbiri doğru parçasına girmiyorsa bir sonraki noktaya geçin.
4. Fonksiyonun değerlerini seçilen sabit noktalarda (varsa), birinci türevin bulunmadığı noktalarda (varsa) ve ayrıca x=a ve x=b'de hesaplıyoruz.
5. Fonksiyonun elde edilen değerlerinden en büyüğünü ve en küçüğünü seçiyoruz - bunlar sırasıyla fonksiyonun gerekli en büyük ve en küçük değerleri olacak.

Bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmaya yönelik bir örneği çözmek için algoritmayı analiz edelim.

Örnek.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulma

• segmentte;
• [-4;-1] segmentinde.

Çözüm.

Bir fonksiyonun tanım alanı, sıfır hariç, gerçek sayılar kümesinin tamamıdır. Her iki segment de tanım alanına girer.

Fonksiyonun türevini aşağıdakilere göre bulun:

Açıkçası, fonksiyonun türevi doğru parçalarının tüm noktalarında ve [-4;-1]'de mevcuttur.

Denklemden durağan noktaları belirliyoruz. Tek gerçek kök x=2'dir. Bu durağan nokta ilk segmente girer.

İlk durumda fonksiyonun değerlerini parçanın uçlarında ve sabit noktada yani x=1, x=2 ve x=4 için hesaplıyoruz:

Bu nedenle fonksiyonun en büyük değeri x=1'de elde edilir ve en küçük değer – x=2'de.

İkinci durumda, fonksiyon değerlerini yalnızca [-4;-1] segmentinin uçlarında hesaplıyoruz (çünkü tek bir durağan nokta içermemektedir):

Belirli bir aralıkta tanımlı ve sürekli olan bir fonksiyon verildiğinde. Bu aralıkta fonksiyonun en büyük (en küçük) değerini bulmanız gerekiyor.

Teorik temel.
Teorem (İkinci Weierstrass Teoremi):

Bir fonksiyon kapalı bir aralıkta tanımlı ve sürekli ise bu aralıkta maksimum ve minimum değerlerine ulaşır.

Fonksiyon en büyük ve en küçük değerlerine aralığın iç noktalarında veya sınırlarında ulaşabilir. Tüm olası seçenekleri gösterelim.

Açıklama:
1) Fonksiyon en büyük değerine aralığın sol sınırında noktasında, minimum değerine ise aralığın sağ sınırında noktasında ulaşır.
2) Fonksiyon en büyük değerine noktada (bu maksimum noktadır), minimum değerine ise bu noktadaki aralığın sağ sınırında ulaşır.
3) Fonksiyon maksimum değerine aralığın sol sınırında noktasında, minimum değerine ise noktasında ulaşır (bu minimum noktadır).
4) Fonksiyon aralıkta sabittir, yani. aralığın herhangi bir noktasında minimum ve maksimum değerlerine ulaşır ve minimum ve maksimum değerler birbirine eşittir.
5) Fonksiyon en büyük değerine noktasında, minimum değerine ise noktasında ulaşır (fonksiyonun bu aralıkta hem maksimumu hem de minimumu olmasına rağmen).
6) Fonksiyon en büyük değerine bir noktada (bu maksimum noktadır), minimum değerine ise bir noktada (minimum noktadır) ulaşır.
Yorum:

"Maksimum" ve " maksimum değer" - Farklı şeyler. Bu, maksimumun tanımından ve "maksimum değer" ifadesinin sezgisel anlaşılmasından kaynaklanmaktadır.

Problem 2'yi çözmek için algoritma.



4) Elde edilen değerlerden en büyüğünü (en küçüğünü) seçin ve cevabı yazın.

Örnek 4:

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini belirleme segmentte.
Çözüm:
1) Fonksiyonun türevini bulun.

2) Denklemi çözerek sabit noktaları (ve ekstremum olduğundan şüphelenilen noktaları) bulun. İki taraflı sonlu türevin olmadığı noktalara dikkat edin.

3) Fonksiyonun değerlerini durağan noktalarda ve aralığın sınırlarında hesaplayın.

4) Elde edilen değerlerden en büyüğünü (en küçüğünü) seçin ve cevabı yazın.

Bu parçadaki fonksiyon en büyük değerine koordinatların olduğu noktada ulaşır.

Bu segmentteki fonksiyon minimum değerine koordinatların olduğu noktada ulaşır.

İncelenen fonksiyonun grafiğine bakarak hesaplamaların doğruluğunu doğrulayabilirsiniz.


Yorum: Fonksiyon en büyük değerine maksimum noktada, minimum değerine ise parçanın sınırında ulaşır.

Özel bir durum.

Bir segmentteki bazı fonksiyonların maksimum ve minimum değerlerini bulmanız gerektiğini varsayalım. Algoritmanın ilk noktasını tamamladıktan sonra, yani. türev hesaplaması, örneğin sadece şunu gerektirdiğini açıkça ortaya koyuyor: negatif değerler dikkate alınan bölümün tamamı boyunca. Türev negatifse fonksiyonun azaldığını unutmayın. Fonksiyonun tüm segment boyunca azaldığını bulduk. Bu durum yazının başındaki 1 numaralı grafikte gösterilmektedir.

Fonksiyon segmentte azalır, yani. hiçbir ekstremum noktası yoktur. Resimden fonksiyonun segmentin sağ sınırında en küçük değeri, sol sınırında ise en büyük değeri alacağını görebilirsiniz. segment üzerindeki türev her yerde pozitifse fonksiyon artar. En küçük değer segmentin sol kenarında, en büyüğü ise sağındadır.

Bir fonksiyonun bir segmentteki en büyük ve en küçük değerleri nasıl bulunur?

Bunun için iyi bilinen bir algoritmayı takip ediyoruz:

1 . Bulduk ODZ işlevleri.

2 . Fonksiyonun türevini bulma

3 . Türevi sıfıra eşitlemek

4 . Türevin işaretini koruduğu aralıkları buluruz ve bunlardan fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını belirleriz:

I aralığında fonksiyonun türevi 0 ise" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} bu aralıkta artar.

I aralığında fonksiyonun türevi varsa, o zaman fonksiyon bu aralıkta azalır.

5 . Bulduk fonksiyonun maksimum ve minimum noktaları.

İÇİNDE Fonksiyonun maksimum noktasında türevin işareti “+”dan “-”ye değişir..

İÇİNDE fonksiyonun minimum noktasıtürevin işareti "-"den "+"ya değişir.

6 . Fonksiyonun değerini parçanın uçlarında buluyoruz,

• daha sonra fonksiyonun değerini parçanın uçlarında ve maksimum noktalarında karşılaştırırız ve Fonksiyonun en büyük değerini bulmanız gerekiyorsa en büyüğünü seçin
• veya fonksiyonun değerini parçanın uçlarında ve minimum noktalarda karşılaştırın ve Fonksiyonun en küçük değerini bulmanız gerekiyorsa bunlardan en küçüğünü seçin

Ancak fonksiyonun segment üzerinde nasıl davrandığına bağlı olarak bu algoritma önemli ölçüde azaltılabilir.

İşlevi düşünün . Bu fonksiyonun grafiği şuna benzer:

Açık Görev Bankası'ndaki sorunların çözümüne ilişkin birkaç örneğe bakalım.

1. Görev B15 (No. 26695)

Segmentte.

1. Fonksiyon x'in tüm gerçek değerleri için tanımlanmıştır

Açıkçası, bu denklemin hiçbir çözümü yoktur ve türevi, x'in tüm değerleri için pozitiftir. Sonuç olarak fonksiyon artar ve aralığın sağ ucunda yani x=0 noktasında en büyük değeri alır.

Cevap: 5.

2 . Görev B15 (No. 26702)

Fonksiyonun en büyük değerini bulun segmentte.

1. ODZ fonksiyonları title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Türev sıfıra eşittir ancak bu noktalarda işareti değişmez:

Bu nedenle, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} artar ve aralığın sağ ucunda en büyük değeri alır.

Türevin neden işaret değiştirmediğini açıklığa kavuşturmak için türev ifadesini aşağıdaki gibi dönüştürürüz:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Cevap: 5.

3. Görev B15 (No. 26708)

Fonksiyonun segmentteki en küçük değerini bulun.

1. ODZ işlevleri: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Bu denklemin köklerini trigonometrik çemberin üzerine yerleştirelim.

Aralık iki sayı içerir: ve

Tabelalar asalım. Bunu yapmak için x=0 noktasındaki türevin işaretini belirleriz: . Noktalardan geçerken türev işaret değiştirir.

Bir fonksiyonun türevinin işaretlerinin koordinat doğrusu üzerindeki değişimini gösterelim:

Açıkçası, bu nokta minimum bir noktadır (türevin işaretini “-” den “+” ya değiştirdiği nokta) ve segmentteki fonksiyonun en küçük değerini bulmak için fonksiyonun değerlerini şu noktada karşılaştırmanız gerekir: minimum nokta ve segmentin sol ucunda, .

Bu makalede bulma becerisinin bir fonksiyonun incelenmesine nasıl uygulanacağından bahsedeceğim: onun en büyük veya en küçük değerini bulmak. Ve sonra Açık Görev Bankası'ndan Görev B15'teki birkaç sorunu çözeceğiz.

Her zamanki gibi önce teoriyi hatırlayalım.

Bir fonksiyonun herhangi bir çalışmasının başlangıcında onu buluruz

Bir fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini bulmak için fonksiyonun hangi aralıklarda arttığını, hangi aralıklarda azaldığını incelemeniz gerekir.

Bunu yapmak için fonksiyonun türevini bulmamız ve onun sabit işaretli aralıklarını, yani türevin işaretini koruduğu aralıkları incelememiz gerekir.

Bir fonksiyonun türevinin pozitif olduğu aralıklar artan fonksiyonun aralıklarıdır.

Bir fonksiyonun türevinin negatif olduğu aralıklar, azalan fonksiyonun aralıklarıdır.

1. B15 (No. 245184) görevini çözelim.

Bunu çözmek için aşağıdaki algoritmayı takip edeceğiz:

a) Fonksiyonun tanım tanım kümesini bulun

b) Fonksiyonun türevini bulalım.

c) Sıfıra eşitleyelim.

d) Fonksiyonun sabit işaretli aralıklarını bulalım.

e) Fonksiyonun en büyük değeri aldığı noktayı bulun.

f) Fonksiyonun bu noktadaki değerini bulun.

Bu görevin ayrıntılı çözümünü VİDEO EĞİTİMİ'nde açıklıyorum:

Tarayıcınız muhtemelen desteklenmiyor. "Birleşik Devlet Sınav Saati" simülatörünü kullanmak için indirmeyi deneyin
Firefox

2. B15 (No. 282862) görevini çözelim.

Fonksiyonun en büyük değerini bulun segmentte

Fonksiyonun parça üzerinde en büyük değeri maksimum noktada, x=2'de aldığı açıktır. Bu noktada fonksiyonun değerini bulalım:

Cevap: 5

3. B15 (No. 245180) görevini çözelim:

Fonksiyonun en büyük değerini bulun

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Çünkü orijinal fonksiyonun tanım alanına göre title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Pay sıfıra eşit. ODZ'nin fonksiyona ait olup olmadığını kontrol edelim. Bunun için title="4-2x-x^2>0 koşulunun geçerli olup olmadığını kontrol edelim."> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

bu, noktanın ODZ işlevine ait olduğu anlamına gelir

Noktanın sağındaki ve solundaki türevin işaretini inceleyelim:

Fonksiyonun en büyük değerini noktasında aldığını görüyoruz. Şimdi fonksiyonun değerini şurada bulalım:

Açıklama 1. Bu problemde fonksiyonun tanım bölgesini bulamadık: sadece kısıtlamaları düzelttik ve türevin sıfıra eşit olduğu noktanın fonksiyonun tanım bölgesine ait olup olmadığını kontrol ettik. Bunun bu görev için yeterli olduğu ortaya çıktı. Ancak bu her zaman böyle değildir. Göreve bağlıdır.

Not 2. Davranışı incelerken karmaşık fonksiyon bu kuralı kullanabilirsiniz:

• Karmaşık bir fonksiyonun dış fonksiyonu artıyorsa, fonksiyon en büyük değerini aynı noktada alır. dahili fonksiyon en büyük değeri alır. Bu, artan bir fonksiyonun tanımından kaynaklanmaktadır: bir fonksiyon I aralığında artarsa, daha yüksek değer bu aralıktaki argüman, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık gelir.
• Karmaşık bir fonksiyonun dış fonksiyonu azalıyorsa, fonksiyon en büyük değerini iç fonksiyonun en küçük değerini aldığı noktada alır. . Bu, azalan fonksiyonun tanımından kaynaklanmaktadır: eğer bu aralıktaki argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık geliyorsa, bir fonksiyon I aralığında azalır.

Örneğimizde dış fonksiyon tüm tanım alanı boyunca artar. Logaritmanın işaretinin altında bir ifade var - ikinci dereceden üç terimli Negatif bir öncü katsayı ile o noktada en büyük değeri alan , . Daha sonra bu x değerini fonksiyon denkleminde yerine koyarız. ve en büyük değerini bulun.

$z=f(x,y)$ fonksiyonunun sınırlı bir kapalı alan $D$'da tanımlı ve sürekli olmasına izin verin. Bu bölgedeki verilen fonksiyonun birinci dereceden sonlu kısmi türevleri olsun (belki sonlu sayıda nokta hariç). Belirli bir kapalı bölgedeki iki değişkenli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için basit bir algoritmanın üç adımı gerekir.

Kapalı bir $D$ etki alanında $z=f(x,y)$ fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için algoritma.

1. $D$ etki alanına ait $z=f(x,y)$ fonksiyonunun kritik noktalarını bulun. Kritik noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplayın.
2. $z=f(x,y)$ fonksiyonunun $D$ bölgesinin sınırındaki davranışını araştırın ve olası maksimum ve minimum değerlerin noktalarını bulun. Elde edilen noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplayın.
3. Önceki iki paragrafta elde edilen fonksiyon değerlerinden en büyüğünü ve en küçüğünü seçin.

Kritik noktalar nelerdir? göster\gizle

Altında kritik noktalar her iki birinci dereceden kısmi türevlerin de sıfıra eşit olduğu noktaları ima eder (yani $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ ve $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) veya en az bir kısmi türev mevcut değildir.

Genellikle birinci dereceden kısmi türevlerin sıfıra eşit olduğu noktalara denir. sabit noktalar. Dolayısıyla durağan noktalar kritik noktaların bir alt kümesidir.

Örnek No.1

$x=3$, $y=0$ ve $y=x çizgileriyle sınırlanan kapalı bir bölgede $z=x^2+2xy-y^2-4x$ fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulun +1$.

Yukarıdakileri takip edeceğiz, ancak önce $D$ harfiyle göstereceğimiz belirli bir alanın çizimiyle ilgileneceğiz. Bize verildi üçün denklemleri Bu alanı sınırlayan düz çizgiler. $x=3$ düz çizgisi, ordinat eksenine (Oy ekseni) paralel $(3;0)$ noktasından geçer. $y=0$ düz çizgisi apsis ekseninin (Ox ekseni) denklemidir. $y=x+1$ doğrusunu oluşturmak için içinden bu çizgiyi çizeceğimiz iki nokta bulacağız. Elbette $x$ yerine birkaç keyfi değeri değiştirebilirsiniz. Örneğin, $x=10$ yerine şunu elde ederiz: $y=x+1=10+1=11$. $y=x+1$ doğrusu üzerinde bulunan $(10;11)$ noktasını bulduk. Bununla birlikte, $y=x+1$ düz çizgisinin $x=3$ ve $y=0$ doğrularıyla kesiştiği noktaları bulmak daha iyidir. Bu neden daha iyi? Çünkü bir taşla birkaç kuş vuracağız: $y=x+1$ düz çizgisini oluşturmak için iki nokta alacağız ve aynı zamanda bu düz çizginin, verilen alanı sınırlayan diğer doğrularla hangi noktalarda kesiştiğini bulacağız. $y=x+1$ doğrusu $x=3$ doğrusunu $(3;4)$ noktasında kesiyor ve $y=0$ doğrusu $(-1;0)$ noktasında kesişiyor. Çözümün ilerleyişini yardımcı açıklamalarla karıştırmamak adına bu iki noktanın elde edilmesi sorusunu bir notta belirteceğim.

$(3;4)$ ve $(-1;0)$ puanları nasıl elde edildi? göster\gizle

$y=x+1$ ve $x=3$ doğrularının kesiştiği noktadan başlayalım. İstenilen noktanın koordinatları hem birinci hem de ikinci düz çizgilere aittir, bu nedenle bilinmeyen koordinatları bulmak için denklem sistemini çözmeniz gerekir:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

Böyle bir sistemin çözümü önemsizdir: sahip olacağımız ilk denklemin yerine $x=3$ koymak: $y=3+1=4$. $(3;4)$ noktası, $y=x+1$ ve $x=3$ doğrularının istenen kesişme noktasıdır.

Şimdi $y=x+1$ ve $y=0$ doğrularının kesişme noktasını bulalım. Denklem sistemini tekrar oluşturup çözelim:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

İlk denklemde $y=0$ yerine şunu elde ederiz: $0=x+1$, $x=-1$. $(-1;0)$ noktası, $y=x+1$ ve $y=0$ (x ekseni) doğrularının istenen kesişme noktasıdır.

Şöyle görünecek bir çizim oluşturmak için her şey hazır:

Nottaki soru açık görünüyor çünkü resimde her şey görünüyor. Ancak çizimin delil teşkil edemeyeceğini hatırlamakta fayda var. Çizim yalnızca açıklama amaçlıdır.

Alanımız onu sınırlayan düz çizgi denklemleri kullanılarak tanımlandı. Açıkçası, bu çizgiler bir üçgeni tanımlıyor, değil mi? Yoksa tamamen açık değil mi? Ya da belki bize aynı çizgilerle sınırlanan farklı bir alan verilmiştir:

Tabii şart alanın kapalı olduğunu söylüyor, dolayısıyla gösterilen resim hatalı. Ancak bu tür belirsizliklerden kaçınmak için bölgeleri eşitsizliklere göre tanımlamak daha iyidir. Uçağın $y=x+1$ düz çizgisinin altında bulunan kısmıyla ilgileniyor muyuz? Tamam, yani $y ≤ x+1$. Alanımız $y=0$ çizgisinin üzerinde mi yer almalı? Harika, bu $y ≥ 0$ anlamına geliyor. Bu arada, son iki eşitsizlik kolayca tek bir eşitsizlikte birleştirilebilir: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

Bu eşitsizlikler $D$ bölgesini tanımlar ve hiçbir belirsizliğe izin vermeden açık bir şekilde tanımlar. Peki bunun, notun başında belirtilen soru konusunda bize nasıl bir faydası olacak? Ayrıca faydası olur :) $M_1(1;1)$ noktasının $D$ alanına ait olup olmadığını kontrol etmemiz gerekiyor. Bu bölgeyi tanımlayan eşitsizlikler sisteminde $x=1$ ve $y=1$ yerine koyalım. Her iki eşitsizlik de sağlanırsa nokta bölgenin içindedir. Eşitsizliklerden en az biri sağlanmıyorsa nokta bölgeye ait değildir. Bu yüzden:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right.$$

Her iki eşitsizlik de geçerlidir. $M_1(1;1)$ noktası $D$ bölgesine aittir.

Şimdi fonksiyonun bölge sınırındaki davranışını incelemenin zamanı geldi, yani. Hadi gidelim . $y=0$ düz çizgisiyle başlayalım.

$y=0$ düz çizgisi (apsis ekseni), $-1 ≤ x ≤ 3$ koşulu altında $D$ bölgesini sınırlar. $y=0$ yerine koyalım verilen fonksiyon$z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Değiştirme sonucunda elde edilen $x$ değişkeninin fonksiyonunu $f_1(x)$ olarak gösteririz:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Şimdi $f_1(x)$ fonksiyonu için $-1 ≤ x ≤ 3$ aralığındaki en büyük ve en küçük değerleri bulmamız gerekiyor. Bu fonksiyonun türevini bulup sıfıra eşitleyelim:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

$x=2$ değeri $-1 ≤ x ≤ 3$ segmentine aittir, dolayısıyla noktalar listesine $M_2(2;0)$ da ekleyeceğiz. Ayrıca $z$ fonksiyonunun $-1 ≤ x ≤ 3$ bölütünün uçlarındaki değerlerini de hesaplayalım, yani. $M_3(-1;0)$ ve $M_4(3;0)$ noktalarında. Bu arada, eğer $M_2$ noktası söz konusu segmente ait olmasaydı, o zaman elbette içindeki $z$ fonksiyonunun değerini hesaplamaya gerek kalmayacaktı.

Öyleyse $z$ fonksiyonunun değerlerini $M_2$, $M_3$, $M_4$ noktalarında hesaplayalım. Elbette bu noktaların koordinatlarını orijinal $z=x^2+2xy-y^2-4x$ ifadesinde değiştirebilirsiniz. Örneğin, $M_2$ noktası için şunu elde ederiz:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Ancak hesaplamalar biraz basitleştirilebilir. Bunu yapmak için, $M_3M_4$ segmentinde $z(x,y)=f_1(x)$'a sahip olduğumuzu hatırlamakta fayda var. Bunu ayrıntılı olarak yazacağım:

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(hizalanmış)

Elbette genellikle bu kadar ayrıntılı kayıtlara gerek yoktur ve gelecekte tüm hesaplamaları kısaca yazacağız:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Şimdi $x=3$ düz çizgisine dönelim. Bu düz çizgi $0 ≤ y ≤ 4$ koşulu altında $D$ bölgesini sınırlar. Verilen $z$ fonksiyonuna $x=3$ koyalım. Bu ikamenin sonucu olarak $f_2(y)$ fonksiyonunu elde ederiz:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

$f_2(y)$ fonksiyonu için $0 ≤ y ≤ 4$ aralığındaki en büyük ve en küçük değerleri bulmamız gerekiyor. Bu fonksiyonun türevini bulup sıfıra eşitleyelim:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

$y=3$ değeri $0 ≤ y ≤ 4$ segmentine aittir, dolayısıyla daha önce bulunan noktalara $M_5(3;3)$ da ekleyeceğiz. Ek olarak, $0 ≤ y ≤ 4$ segmentinin uçlarındaki noktalarda $z$ fonksiyonunun değerini hesaplamak gerekir, yani. $M_4(3;0)$ ve $M_6(3;4)$ noktalarında. $M_4(3;0)$ noktasında $z$ değerini zaten hesapladık. $z$ fonksiyonunun değerini $M_5$ ve $M_6$ noktalarında hesaplayalım. $M_4M_6$ segmentinde $z(x,y)=f_2(y)$ olduğunu hatırlatmama izin verin, dolayısıyla:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(hizalanmış)

Ve son olarak şunu düşünelim son sınır alan $D$, yani düz çizgi $y=x+1$. Bu düz çizgi $-1 ≤ x ≤ 3$ koşulu altında $D$ bölgesini sınırlar. $y=x+1$'ı $z$ fonksiyonuna yazarsak, şunu elde ederiz:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Bir kez daha elimizde $x$ değişkenli bir fonksiyon var. Ve yine bu fonksiyonun $-1 ≤ x ≤ 3$ aralığında en büyük ve en küçük değerlerini bulmamız gerekiyor. $f_(3)(x)$ fonksiyonunun türevini bulalım ve onu sıfıra eşitleyelim:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

$x=1$ değeri $-1 ≤ x ≤ 3$ aralığına aittir. $x=1$ ise $y=x+1=2$ olur. Nokta listesine $M_7(1;2)$'ı ekleyelim ve $z$ fonksiyonunun bu noktada değerinin ne olduğunu bulalım. $-1 ≤ x ≤ 3$ segmentinin uçlarındaki noktalar, yani. $M_3(-1;0)$ ve $M_6(3;4)$ noktaları daha önce dikkate alınmıştı, fonksiyonun değerini zaten bunların içinde bulduk.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Çözümün ikinci adımı tamamlandı. Yedi değer aldık:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Hadi dönelim. Üçüncü paragrafta elde edilen sayılardan en büyük ve en küçük değerleri seçerek şunları elde edeceğiz:

$$z_(dak)=-4; \; z_(maks)=6.$$

Sorun çözüldü, geriye sadece cevabı yazmak kaldı.

Cevap: $z_(dak)=-4; \; z_(maks)=6$.

Örnek No.2

$z=x^2+y^2-12x+16y$ fonksiyonunun $x^2+y^2 ≤ 25$ bölgesindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulun.

İlk önce bir çizim oluşturalım. $x^2+y^2=25$ denklemi (bu, belirli bir alanın sınır çizgisidir), merkezi orijinde (yani $(0;0)$ noktasında) ve yarıçapı şu şekilde olan bir daireyi tanımlar: 5. $x^2 +y^2 ≤ $25 eşitsizliği söz konusu çemberin içindeki ve üzerindeki tüm noktaları karşılar.

Ona göre hareket edeceğiz. Kısmi türevleri bulalım ve kritik noktaları bulalım.

$$ \frac(\kısmi z)(\kısmi x)=2x-12; \frac(\kısmi z)(\kısmi y)=2y+16. $$

Bulunan kısmi türevlerin bulunmadığı nokta yoktur. Her iki kısmi türevin hangi noktalarda aynı anda sıfıra eşit olduğunu bulalım. Durağan noktaları bulalım.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(aligned)\right.$$

$(6;-8)$ durağan bir nokta elde ettik. Ancak bulunan nokta $D$ bölgesine ait değildir. Bunu çizime bile başvurmadan göstermek kolaydır. $D$ bölgemizi tanımlayan $x^2+y^2 ≤ 25$ eşitsizliğinin geçerli olup olmadığını kontrol edelim. Eğer $x=6$, $y=-8$ ise, o zaman $x^2+y^2=36+64=100$, yani. $x^2+y^2 ≤ 25$ eşitsizliği geçerli değil. Sonuç: $(6;-8)$ noktası $D$ alanına ait değil.

Yani $D$ bölgesinde kritik nokta yok. Konusuna geçelim... Belirli bir bölgenin sınırındaki bir fonksiyonun davranışını incelememiz gerekir; $x^2+y^2=25$ çemberinde. Elbette $y$'ı $x$ cinsinden ifade edebilir ve elde edilen ifadeyi $z$ fonksiyonumuzun yerine koyabiliriz. Bir daire denkleminden şunu elde ederiz: $y=\sqrt(25-x^2)$ veya $y=-\sqrt(25-x^2)$. Örneğin $y=\sqrt(25-x^2)$ ifadesini verilen işleve koyarsak, şunu elde ederiz:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x) ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Diğer çözüm, önceki örnek 1'deki bölgenin sınırındaki fonksiyonun davranışının incelenmesiyle tamamen aynı olacaktır. Ancak bu durumda Lagrange yöntemini uygulamak bana daha mantıklı geliyor. Bu yöntemin yalnızca ilk kısmıyla ilgileneceğiz. Lagrange yönteminin ilk kısmını uyguladıktan sonra $z$ fonksiyonunun minimum ve maksimum değerlerini inceleyeceğimiz puanları elde edeceğiz.

Lagrange fonksiyonunu oluşturuyoruz:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2) -25). $$

Lagrange fonksiyonunun kısmi türevlerini buluyoruz ve karşılık gelen denklem sistemini oluşturuyoruz:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (hizalanmış) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(aligned) \ right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( hizalanmış)\right.$$

Bu sistemi çözmek için hemen şunu belirtelim: $\lambda\neq -1$. Neden $\lambda\neq -1$? İlk denklemde $\lambda=-1$ yerine koymayı deneyelim:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Ortaya çıkan $0=6$ çelişkisi, $\lambda=-1$ değerinin kabul edilemez olduğunu gösterir. Çıktı: $\lambda\neq -1$. $x$ ve $y$'ı $\lambda$ cinsinden ifade edelim:

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(hizalanmış)

Burada neden özellikle $\lambda\neq -1$ koşulunu şart koştuğumuzun açıkça ortaya çıktığına inanıyorum. Bu, $1+\lambda$ ifadesini paydalara müdahale olmadan sığdırmak için yapıldı. Yani, paydanın $1+\lambda\neq 0$ olduğundan emin olmak için.

$x$ ve $y$ için elde edilen ifadeleri sistemin üçüncü denkleminde yerine koyalım, yani. $x^2+y^2=25$ cinsinden:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Ortaya çıkan eşitlikten $1+\lambda=2$ veya $1+\lambda=-2$ sonucu çıkar. Dolayısıyla $\lambda$ parametresinin iki değeri var: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Buna göre $x$ ve $y$ olmak üzere iki çift değer elde ederiz:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(hizalanmış)

Böylece olası bir koşullu ekstremumun iki noktasını elde ettik, yani. $M_1(3;-4)$ ve $M_2(-3;4)$. $z$ fonksiyonunun değerlerini $M_1$ ve $M_2$ noktalarında bulalım:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(hizalanmış)

Birinci ve ikinci adımda elde ettiğimiz değerler arasından en büyük ve en küçük değerleri seçmeliyiz. Ancak bu durumda seçim küçük :) Elimizde:

$$ z_(dak)=-75; \; z_(maks)=125. $$

Cevap: $z_(dak)=-75; \; z_(maks)=125$.