Trigonometrische Gleichheiten. Grundlegende trigonometrische Identitäten, ihre Formulierungen und Ableitung

Referenzinformationen zu den trigonometrischen Funktionen Sinus (sin x) und Cosinus (cos x). Geometrische Definition, Eigenschaften, Diagramme, Formeln. Tabelle der Sinus- und Cosinuswerte, Ableitungen, Integrale, Reihenentwicklungen, Sekante, Kosekans. Ausdrücke durch komplexe Variablen. Zusammenhang mit hyperbolischen Funktionen.

Geometrische Definition von Sinus und Cosinus

|BD|- Länge eines Kreisbogens mit Mittelpunkt in einem Punkt A.
α - Winkel ausgedrückt im Bogenmaß.

Definition
Sinus (sin α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt und dem Verhältnis der Längen entspricht gegenüberliegendes Bein|BC| zur Länge der Hypotenuse |AC|.

Kosinus (cos α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt und dem Verhältnis der Längen entspricht benachbartes Bein|AB| zur Länge der Hypotenuse |AC|.

Akzeptierte Notationen

;
;
.

;
;
.

Diagramm der Sinusfunktion, y = sin x

Diagramm der Kosinusfunktion, y = cos x

Eigenschaften von Sinus und Cosinus

Periodizität

Funktionen y = Sünde x und y = weil x periodisch mit Punkt 2π.

Parität

Die Sinusfunktion ist ungerade. Die Kosinusfunktion ist gerade.

Definitions- und Wertebereich, Extrema, Zunahme, Abnahme

Die Sinus- und Kosinusfunktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig, also für alle x (siehe Beweis der Kontinuität). Ihre Haupteigenschaften sind in der Tabelle aufgeführt (n - ganze Zahl).

Grundformeln

Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus

Formeln für Sinus und Cosinus aus Summe und Differenz

;
;

Formeln für das Produkt von Sinus und Cosinus

Summen- und Differenzformeln

Sinus durch Kosinus ausdrücken

;
;
;
.

Kosinus durch Sinus ausdrücken

;
;
;
.

Ausdruck durch Tangente

; .

Wenn wir haben:
; .

Bei :
; .

Tabelle der Sinus- und Cosinuswerte, Tangens und Kotangens

Diese Tabelle zeigt die Werte von Sinus und Cosinus für bestimmte Werte des Arguments.

Ausdrücke durch komplexe Variablen

;

Eulers Formel

{ -∞ < x < +∞ }

Sekante, Kosekans

Umkehrfunktionen

Umkehrfunktionen zu Sinus und Cosinus sind Arkussinus bzw. Arkuskosinus.

Arkussinus, Arkussinus

Arccosinus, arccos

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.

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Referenzdaten für Tangens (tg x) und Kotangens (ctg x). Geometrische Definition, Eigenschaften, Diagramme, Formeln. Tabelle der Tangenten und Kotangenten, Ableitungen, Integrale, Reihenentwicklungen. Ausdrücke durch komplexe Variablen. Zusammenhang mit hyperbolischen Funktionen.

Geometrische Definition

|BD| - Länge des Kreisbogens mit Mittelpunkt im Punkt A.
α ist der im Bogenmaß ausgedrückte Winkel.

Tangente ( tan α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt und dem Verhältnis der Länge des gegenüberliegenden Schenkels |BC| entspricht zur Länge des benachbarten Beins |AB| .

Kotangens ( ctg α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt und dem Verhältnis der Länge des angrenzenden Schenkels |AB| entspricht zur Länge des gegenüberliegenden Beins |BC| .

Tangente

Wo N- ganz.

In der westlichen Literatur wird Tangens wie folgt bezeichnet:
.
;
;
.

Graph der Tangensfunktion, y = tan x

Kotangens

Wo N- ganz.

In der westlichen Literatur wird Kotangens wie folgt bezeichnet:
.
Folgende Notationen werden ebenfalls akzeptiert:
;
;
.

Diagramm der Kotangensfunktion, y = ctg x

Eigenschaften von Tangens und Kotangens

Periodizität

Funktionen y = tg x und y = ctg x sind periodisch mit der Periode π.

Parität

Die Tangens- und Kotangensfunktionen sind ungerade.

Definitions- und Wertebereiche, zunehmend, abnehmend

Die Tangens- und Kotangensfunktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig (siehe Kontinuitätsnachweis). Die Haupteigenschaften von Tangens und Kotangens sind in der Tabelle dargestellt ( N- ganz).

Formeln

Ausdrücke mit Sinus und Cosinus

; ;
; ;
;

Formeln für Tangens und Kotangens aus Summe und Differenz

Die restlichen Formeln sind beispielsweise leicht zu erhalten

Produkt von Tangenten

Formel für Summe und Differenz von Tangenten

Diese Tabelle präsentiert die Werte von Tangenten und Kotangenten für bestimmte Werte des Arguments.

Ausdrücke mit komplexen Zahlen

Ausdrücke durch hyperbolische Funktionen

;
;

Derivate

; .

.
Ableitung n-ter Ordnung nach der Variablen x der Funktion:
.
Formeln für Tangenten ableiten > > > ; für Kotangens > > >

Integrale

Serienerweiterungen

Um die Entwicklung des Tangens in Potenzen von x zu erhalten, müssen Sie mehrere Terme der Entwicklung berücksichtigen Potenzreihe für Funktionen Sünde x Und weil x und dividiere diese Polynome durcheinander, . Dadurch ergeben sich die folgenden Formeln.

Bei .

bei .
Wo Mrd- Bernoulli-Zahlen. Sie werden entweder aus der Wiederholungsrelation bestimmt:
;
;
Wo .
Oder nach Laplaces Formel:

Umkehrfunktionen

Die Umkehrfunktionen von Tangens und Kotangens sind Arkustangens bzw. Arkuskotangens.

Arcustangens, arctg

, Wo N- ganz.

Arkuskotangens, arcctg

, Wo N- ganz.

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics for Scientists and Engineers, 2012.

Trigonometrische Identitäten- Dies sind Gleichheiten, die eine Beziehung zwischen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels herstellen, die es Ihnen ermöglicht, jede dieser Funktionen zu finden, sofern eine andere bekannt ist.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Diese Identität besagt, dass die Summe des Quadrats des Sinus eines Winkels und des Quadrats des Kosinus eines Winkels gleich eins ist, was es in der Praxis ermöglicht, den Sinus eines Winkels zu berechnen, wenn sein Kosinus bekannt ist, und umgekehrt .

Bei der Konvertierung trigonometrischer Ausdrücke wird diese Identität sehr häufig verwendet, wodurch Sie die Summe der Quadrate von Kosinus und Sinus eines Winkels durch eins ersetzen und den Ersetzungsvorgang auch in umgekehrter Reihenfolge durchführen können.

Tangens und Kotangens mithilfe von Sinus und Cosinus ermitteln

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Diese Identitäten werden aus den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens gebildet. Wenn man es sich genau ansieht, dann ist die Ordinate y per Definition ein Sinus und die Abszisse x ein Kosinus. Dann ist der Tangens gleich dem Verhältnis \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) und das Verhältnis \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- wird ein Kotangens sein.

Fügen wir hinzu, dass die Identitäten nur für solche Winkel \alpha gelten, bei denen die darin enthaltenen trigonometrischen Funktionen einen Sinn ergeben, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Zum Beispiel: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) gilt für andere Winkel \alpha als \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- Für einen anderen Winkel \alpha als \pi z ist z eine ganze Zahl.

Beziehung zwischen Tangens und Kotangens

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Diese Identität gilt nur für andere Winkel \alpha als \frac(\pi)(2) z. Andernfalls wird weder Kotangens noch Tangens bestimmt.

Basierend auf den oben genannten Punkten erhalten wir das tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Es folgt dem tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Daher sind Tangens und Kotangens desselben Winkels, in dem sie sinnvoll sind, zueinander inverse Zahlen.

Beziehungen zwischen Tangens und Cosinus, Kotangens und Sinus

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- Die Summe des Quadrats des Tangens des Winkels \alpha und 1 ist gleich dem Umkehrquadrat des Kosinus dieses Winkels. Diese Identität gilt für alle \alpha außer \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- Die Summe aus 1 und dem Quadrat des Kotangens des Winkels \alpha ist gleich dem Umkehrquadrat des Sinus des gegebenen Winkels. Diese Identität gilt für jedes \alpha, das sich von \pi z unterscheidet.

Beispiele mit Lösungen für Probleme unter Verwendung trigonometrischer Identitäten

Beispiel 1

Finden Sie \sin \alpha und tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 Und \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Lösung anzeigen

Lösung

Die Funktionen \sin\alpha und \cos\alpha hängen durch die Formel zusammen \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Einsetzen in diese Formel \cos \alpha = -\frac12, wir bekommen:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Diese Gleichung hat zwei Lösungen:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Nach Bedingung \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Im zweiten Viertel ist der Sinus also positiv \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Um tan \alpha zu finden, verwenden wir die Formel tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Beispiel 2

Finden Sie \cos \alpha und ctg \alpha, wenn und \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Lösung anzeigen

Lösung

Einsetzen in die Formel \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 angegebene Nummer \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), wir bekommen \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Diese Gleichung hat zwei Lösungen \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Nach Bedingung \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Im zweiten Viertel ist der Kosinus also negativ \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Um ctg \alpha zu finden, verwenden wir die Formel ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Wir kennen die entsprechenden Werte.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).