heim / Dekubitus/ Wie man die Ableitung einer Funktion bildet. Ableitung von e nach der x-Potenz und Exponentialfunktion

Wie man die Ableitung einer Funktion bildet. Ableitung von e nach der x-Potenz und Exponentialfunktion

Das Problem, die Ableitung von zu finden gegebene Funktion ist einer der Hauptkurse in Mathematik an weiterführenden Schulen und Hochschulen Bildungsinstitutionen. Es ist unmöglich, eine Funktion vollständig zu untersuchen und ihren Graphen zu konstruieren, ohne ihre Ableitung zu bilden. Die Ableitung einer Funktion lässt sich leicht finden, wenn man die Grundregeln der Differenzierung sowie die Ableitungstabelle der Grundfunktionen kennt. Lassen Sie uns herausfinden, wie man die Ableitung einer Funktion findet.

Die Ableitung einer Funktion ist die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments, wenn das Inkrement des Arguments gegen Null tendiert.

Das Verständnis dieser Definition ist ziemlich schwierig, da das Konzept einer Grenze in der Schule nicht vollständig untersucht wird. Aber um Ableitungen verschiedener Funktionen zu finden, ist es nicht notwendig, die Definition zu verstehen; überlassen wir es den Mathematikern und gehen direkt zur Suche nach der Ableitung über.

Der Vorgang, die Ableitung zu finden, wird Differenzierung genannt. Wenn wir eine Funktion differenzieren, erhalten wir eine neue Funktion.

Um sie zu bezeichnen, verwenden wir Briefe f, g usw.

Es gibt viele verschiedene Notationen für Derivate. Wir werden einen Schlaganfall verwenden. Wenn wir zum Beispiel „g“ schreiben, bedeutet dies, dass wir die Ableitung der Funktion g finden.

Derivatetabelle

Um die Frage zu beantworten, wie man die Ableitung findet, ist es notwendig, eine Tabelle mit Ableitungen der Hauptfunktionen bereitzustellen. Um die Ableitungen elementarer Funktionen zu berechnen, sind keine komplexen Berechnungen erforderlich. Es genügt, seinen Wert in der Tabelle der Derivate zu betrachten.

(sin x)“=cos x
(cos x)"= –sin x
(x n)"=n x n-1
(e x)"=e x
(ln x)"=1/x
(a x)"=a x ln a
(log a x)"=1/x ln a
(tg x)"=1/cos 2 x
(ctg x)"= – 1/sin 2 x
(arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
(arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
(arctg x)"= 1/(1+x 2)
(arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Beispiel 1. Finden Sie die Ableitung der Funktion y=500.

Wir sehen, dass dies eine Konstante ist. Aus der Ableitungstabelle ist bekannt, dass die Ableitung einer Konstanten gleich Null ist (Formel 1).

Beispiel 2. Finden Sie die Ableitung der Funktion y=x 100.

Das Power-Funktion dessen Exponent 100 ist und um seine Ableitung zu finden, müssen Sie die Funktion mit dem Exponenten multiplizieren und um 1 reduzieren (Formel 3).

(x 100)"=100 x 99

Beispiel 3. Finden Sie die Ableitung der Funktion y=5 x

Dies ist eine Exponentialfunktion. Berechnen wir ihre Ableitung mit Formel 4.

Beispiel 4. Finden Sie die Ableitung der Funktion y= log 4 x

Die Ableitung des Logarithmus ermitteln wir mit Formel 7.

(log 4 x)"=1/x ln 4

Differenzierungsregeln

Lassen Sie uns nun herausfinden, wie Sie die Ableitung einer Funktion finden, wenn sie nicht in der Tabelle enthalten ist. Die meisten der untersuchten Funktionen sind keine Elementarfunktionen, sondern Kombinationen elementarer Funktionen unter Verwendung einfacher Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Multiplikation mit einer Zahl). Um ihre Ableitungen zu finden, müssen Sie die Differenzierungsregeln kennen. Nachfolgend bezeichnen die Buchstaben f und g Funktionen und C ist eine Konstante.

1. Der konstante Koeffizient kann aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden

Beispiel 5. Finden Sie die Ableitung der Funktion y= 6*x 8

Wir nehmen einen konstanten Faktor von 6 heraus und differenzieren nur x 4. Dabei handelt es sich um eine Potenzfunktion, deren Ableitung mithilfe der Formel 3 der Ableitungstabelle ermittelt wird.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. Die Ableitung einer Summe ist gleich der Summe der Ableitungen

(f + g)"=f" + g"

Beispiel 6. Finden Sie die Ableitung der Funktion y= x 100 +sin x

Eine Funktion ist die Summe zweier Funktionen, deren Ableitungen wir der Tabelle entnehmen können. Da (x 100)"=100 x 99 und (sin x)"=cos x. Die Ableitung der Summe ist gleich der Summe dieser Ableitungen:

(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x

3. Die Ableitung der Differenz ist gleich der Differenz der Ableitungen

(f – g)"=f" – g"

Beispiel 7. Finden Sie die Ableitung der Funktion y= x 100 – cos x

Diese Funktion ist die Differenz zweier Funktionen, deren Ableitungen wir ebenfalls der Tabelle entnehmen können. Dann ist die Ableitung der Differenz gleich der Differenz der Ableitungen und vergessen Sie nicht, das Vorzeichen zu ändern, denn (cos x)“= – sin x.

(x 100 – cos x)“= 100 x 99 + sin x

Beispiel 8. Finden Sie die Ableitung der Funktion y=e x +tg x– x 2.

Diese Funktion hat sowohl eine Summe als auch eine Differenz. Lassen Sie uns die Ableitungen jedes Termes ermitteln:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Dann ist die Ableitung der ursprünglichen Funktion gleich:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Derivat des Produkts

(f * g)"=f" * g + f * g"

Beispiel 9. Finden Sie die Ableitung der Funktion y= cos x *e x

Dazu ermitteln wir zunächst die Ableitung jedes Faktors (cos x)"=–sin x und (e x)"=e x. Jetzt ersetzen wir alles in der Produktformel. Wir multiplizieren die Ableitung der ersten Funktion mit der zweiten und addieren das Produkt der ersten Funktion mit der Ableitung der zweiten.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Ableitung des Quotienten

(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2

Beispiel 10. Finden Sie die Ableitung der Funktion y= x 50 /sin x

Um die Ableitung eines Quotienten zu ermitteln, ermitteln wir zunächst die Ableitung von Zähler und Nenner getrennt: (x 50)"=50 x 49 und (sin x)"= cos x. Wenn wir die Ableitung des Quotienten in die Formel einsetzen, erhalten wir:

(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

Ableitung einer komplexen Funktion

Eine komplexe Funktion ist eine Funktion, die durch eine Zusammensetzung mehrerer Funktionen dargestellt wird. Es gibt auch eine Regel zum Ermitteln der Ableitung einer komplexen Funktion:

(u (v))"=u"(v)*v"

Lassen Sie uns herausfinden, wie man die Ableitung einer solchen Funktion findet. Sei y= u(v(x)) eine komplexe Funktion. Nennen wir die Funktion u extern und v - intern.

Zum Beispiel:

y=sin (x 3) ist eine komplexe Funktion.

Dann ist y=sin(t) eine externe Funktion

t=x 3 - intern.

Versuchen wir, die Ableitung dieser Funktion zu berechnen. Gemäß der Formel müssen Sie die Ableitungen der internen und externen Funktionen multiplizieren.

(sin t)"=cos (t) - Ableitung der externen Funktion (wobei t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - Ableitung der internen Funktion

Dann ist (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 die Ableitung einer komplexen Funktion.

Nach vorläufiger Artillerievorbereitung werden Beispiele mit 3-4-5 Funktionsverschachtelungen weniger gruselig sein. Die folgenden beiden Beispiele mögen für manche kompliziert erscheinen, aber wenn man sie versteht (jemand wird leiden), dann wird fast alles andere in der Differentialrechnung wie ein Kinderwitz erscheinen.

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wie bereits erwähnt, ist es beim Finden der Ableitung einer komplexen Funktion zunächst einmal notwendig Rechts VERSTEHEN Sie Ihre Investitionen. Im Zweifelsfall erinnere ich Sie an eine nützliche Technik: Wir nehmen zum Beispiel den experimentellen Wert von „x“ und versuchen (mental oder in einem Entwurf), diesen Wert durch den „schrecklichen Ausdruck“ zu ersetzen.

1) Zuerst müssen wir den Ausdruck berechnen, was bedeutet, dass die Summe die tiefste Einbettung ist.

2) Dann müssen Sie den Logarithmus berechnen:

4) Würfeln Sie dann den Kosinus:

5) Im fünften Schritt der Unterschied:

6) Und schließlich ist die äußerste Funktion die Quadratwurzel:

Formel zur Differenzierung einer komplexen Funktion wird in verwendet umgekehrte Reihenfolge, von der äußersten Funktion bis zur innersten. Wir entscheiden:

Es scheint fehlerfrei zu sein:

1) Bilden Sie die Ableitung der Quadratwurzel.

2) Bilden Sie die Ableitung der Differenz mithilfe der Regel

3) Die Ableitung eines Tripels ist Null. Im zweiten Term bilden wir die Ableitung des Grades (Würfel).

4) Bilden Sie die Ableitung des Kosinus.

6) Und schließlich nehmen wir die Ableitung der tiefsten Einbettung.

Es mag zu schwierig erscheinen, aber dies ist nicht das brutalste Beispiel. Nehmen Sie zum Beispiel die Sammlung von Kuznetsov und Sie werden die ganze Schönheit und Einfachheit des analysierten Derivats zu schätzen wissen. Mir ist aufgefallen, dass sie in einer Prüfung gerne etwas Ähnliches geben, um zu überprüfen, ob ein Student versteht, wie man die Ableitung einer komplexen Funktion ermittelt, oder nicht.

Das folgende Beispiel ist für unabhängige Entscheidung.

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hinweis: Zuerst wenden wir die Linearitätsregeln und die Produktdifferenzierungsregel an

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Es ist Zeit, zu etwas Kleinerem und Schönerem überzugehen.
Es ist nicht ungewöhnlich, dass ein Beispiel nicht das Produkt von zwei, sondern von drei Funktionen zeigt. Wie finde ich die Ableitung des Produkts aus drei Faktoren?

Beispiel 4

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Schauen wir uns zunächst an: Ist es möglich, das Produkt von drei Funktionen in das Produkt von zwei Funktionen umzuwandeln? Wenn wir beispielsweise zwei Polynome im Produkt hätten, könnten wir die Klammern öffnen. Im betrachteten Beispiel sind jedoch alle Funktionen unterschiedlich: Grad, Exponent und Logarithmus.

In solchen Fällen ist es notwendig der Reihe nach Wenden Sie die Produktdifferenzierungsregel an zweimal

Der Trick besteht darin, dass wir mit „y“ das Produkt zweier Funktionen bezeichnen: und mit „ve“ den Logarithmus: . Warum ist das möglich? Ist das wirklich - Das ist kein Produkt zweier Faktoren und die Regel funktioniert nicht?! Es gibt nichts Kompliziertes:

Nun gilt es, die Regel ein zweites Mal anzuwenden einklammern:

Sie können sich auch verdrehen und etwas aus Klammern setzen, aber in diesem Fall ist es besser, die Antwort genau in dieser Form zu belassen, da dies einfacher zu überprüfen ist.

Das betrachtete Beispiel lässt sich auf die zweite Art lösen:

Beide Lösungen sind absolut gleichwertig.

Beispiel 5

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung; im Beispiel wird sie mit der ersten Methode gelöst.

Lassen Sie uns überlegen ähnliche Beispiele mit Brüchen.

Beispiel 6

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Es gibt mehrere Möglichkeiten, hierher zu gelangen:

Oder so:

Die Lösung wird jedoch kompakter geschrieben, wenn wir zunächst die Differenzierungsregel des Quotienten verwenden , wobei für den gesamten Zähler gilt:

Im Prinzip ist das Beispiel gelöst, und wenn man es so belässt, ist es kein Fehler. Aber wenn Sie Zeit haben, ist es immer ratsam, anhand eines Entwurfs zu prüfen, ob die Antwort vereinfacht werden kann?

Reduzieren wir den Ausdruck des Zählers auf einen gemeinsamen Nenner und beseitigen wir die dreistöckige Struktur des Bruchs:

Der Nachteil zusätzlicher Vereinfachungen besteht darin, dass die Gefahr besteht, dass nicht bei der Ermittlung der Ableitung, sondern bei banalen Schultransformationen ein Fehler gemacht wird. Andererseits lehnen Lehrer die Aufgabe oft ab und bitten darum, die Ableitung „in Erinnerung zu rufen“.

Ein einfacheres Beispiel, das Sie selbst lösen können:

Beispiel 7

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir beherrschen weiterhin die Methoden zur Ermittlung der Ableitung und betrachten nun einen typischen Fall, in dem der „schreckliche“ Logarithmus zur Differenzierung vorgeschlagen wird

Dabei untersuchten wir die einfachsten Ableitungen und machten uns auch mit den Differenzierungsregeln und einigen technischen Techniken zum Auffinden von Ableitungen vertraut. Wenn Sie also nicht sehr gut mit Ableitungen von Funktionen umgehen können oder einige Punkte in diesem Artikel nicht ganz klar sind, lesen Sie zunächst die obige Lektion. Bitte kommen Sie in eine ernste Stimmung – der Stoff ist nicht einfach, aber ich werde trotzdem versuchen, ihn einfach und klar darzustellen.

In der Praxis muss man sich sehr oft, ich würde sogar sagen, fast immer mit der Ableitung einer komplexen Funktion befassen, wenn man Aufgaben bekommt, Ableitungen zu finden.

Wir schauen uns die Tabelle zur Regel (Nr. 5) zur Differenzierung einer komplexen Funktion an:

Lass es uns herausfinden. Achten wir zunächst auf den Eintrag. Hier haben wir zwei Funktionen – und, und die Funktion ist, bildlich gesprochen, in der Funktion verschachtelt. Eine Funktion dieses Typs (wenn eine Funktion in einer anderen verschachtelt ist) wird als komplexe Funktion bezeichnet.

Ich werde die Funktion aufrufen externe Funktion, und die Funktion – interne (oder verschachtelte) Funktion.

! Diese Definitionen sind nicht theoretisch und sollten nicht in der endgültigen Gestaltung der Aufgaben enthalten sein. Ich verwende die informellen Ausdrücke „externe Funktion“, „interne“ Funktion nur, um Ihnen das Verständnis des Materials zu erleichtern.

Um die Situation zu klären, bedenken Sie Folgendes:

Beispiel 1

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Unter dem Sinus haben wir nicht nur den Buchstaben „X“, sondern einen ganzen Ausdruck, daher wird es nicht funktionieren, die Ableitung direkt aus der Tabelle zu finden. Wir stellen auch fest, dass es hier unmöglich ist, die ersten vier Regeln anzuwenden, es scheint einen Unterschied zu geben, aber Tatsache ist, dass der Sinus nicht „in Stücke gerissen“ werden kann:

In diesem Beispiel wird aus meinen Erläuterungen bereits intuitiv klar, dass eine Funktion eine komplexe Funktion ist und das Polynom eine interne Funktion (Einbettung) und eine externe Funktion ist.

Erster Schritt Was Sie tun müssen, um die Ableitung einer komplexen Funktion zu finden, ist: verstehen, welche Funktion intern und welche extern ist.

Im Fall von einfache Beispiele Es scheint klar, dass unter dem Sinus ein Polynom eingebettet ist. Was aber, wenn nicht alles offensichtlich ist? Wie lässt sich genau bestimmen, welche Funktion extern und welche intern ist? Um dies zu erreichen, schlage ich die Verwendung der folgenden Technik vor, die im Kopf oder im Entwurf durchgeführt werden kann.

Stellen wir uns vor, wir müssen den Wert des Ausdrucks at auf einem Taschenrechner berechnen (anstelle von eins kann es eine beliebige Zahl geben).

Was berechnen wir zuerst? Erstens Sie müssen die folgende Aktion ausführen: Daher ist das Polynom eine interne Funktion:

Zweitens muss gefunden werden, also wird Sinus eine externe Funktion sein:

Nachdem wir AUSVERKAUFT Bei internen und externen Funktionen ist es an der Zeit, die Regel der Differenzierung komplexer Funktionen anzuwenden .

Beginnen wir mit der Entscheidung. Aus der Lektion Wie findet man die Ableitung? Wir erinnern uns, dass der Entwurf einer Lösung für jede Ableitung immer so beginnt: Wir schließen den Ausdruck in Klammern und setzen oben rechts einen Strich:

Anfangs Wir finden die Ableitung der externen Funktion (Sinus), schauen uns die Tabelle der Ableitungen der Elementarfunktionen an und stellen fest, dass . Alle Tabellenformeln sind auch anwendbar, wenn „x“ durch einen komplexen Ausdruck ersetzt wird, in diesem Fall:

beachten Sie, dass interne Funktion hat sich nicht verändert, wir rühren es nicht an.

Nun, das ist ganz offensichtlich

Das Ergebnis der Anwendung der Formel in seiner endgültigen Form sieht es so aus:

Der konstante Faktor steht üblicherweise am Anfang des Ausdrucks:

Sollte es zu Missverständnissen kommen, schreiben Sie die Lösung auf Papier und lesen Sie die Erläuterungen noch einmal.

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wie immer schreiben wir auf:

Lassen Sie uns herausfinden, wo wir eine externe und wo eine interne Funktion haben. Dazu versuchen wir (gedanklich oder im Entwurf), den Wert des Ausdrucks bei zu berechnen. Was sollten Sie zuerst tun? Zunächst müssen Sie berechnen, was die Basis ist: Daher ist das Polynom die interne Funktion:

Und erst dann wird die Potenzierung durchgeführt, daher ist die Potenzfunktion eine externe Funktion:

Nach der Formel , müssen Sie zunächst die Ableitung der externen Funktion ermitteln, in diesem Fall den Grad. Wir suchen die benötigte Formel in der Tabelle: . Wir wiederholen noch einmal: Jede Tabellenformel gilt nicht nur für „X“, sondern auch für einen komplexen Ausdruck. Somit ist das Ergebnis der Anwendung der Regel zur Differenzierung einer komplexen Funktion nächste:

Ich betone noch einmal, dass sich unsere interne Funktion nicht ändert, wenn wir die Ableitung der externen Funktion bilden:

Jetzt müssen Sie nur noch eine sehr einfache Ableitung der internen Funktion finden und das Ergebnis ein wenig optimieren:

Beispiel 4

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können (Antwort am Ende der Lektion).

Um Ihr Verständnis der Ableitung einer komplexen Funktion zu festigen, gebe ich ein Beispiel ohne Kommentare, versuche es selbst herauszufinden, begründe, wo die externe und wo die interne Funktion ist, warum werden die Aufgaben auf diese Weise gelöst?

Beispiel 5

a) Finden Sie die Ableitung der Funktion

b) Finden Sie die Ableitung der Funktion

Beispiel 6

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier haben wir eine Wurzel, und um die Wurzel zu differenzieren, muss sie als Kraft dargestellt werden. Daher bringen wir die Funktion zunächst in die für die Differenzierung geeignete Form:

Bei der Analyse der Funktion kommen wir zu dem Schluss, dass die Summe der drei Terme eine interne Funktion und die Potenzierung eine externe Funktion ist. Wir wenden die Differenzierungsregel komplexer Funktionen an :

Wir stellen den Grad wieder als Wurzel (Wurzel) dar und wenden für die Ableitung der inneren Funktion eine einfache Regel zur Differenzierung der Summe an:

Bereit. Sie können den Ausdruck auch in Klammern auf einen gemeinsamen Nenner bringen und alles als einen Bruch aufschreiben. Es ist natürlich schön, aber wenn Sie umständliche lange Ableitungen erhalten, ist es besser, dies nicht zu tun (es ist leicht, verwirrt zu werden, einen unnötigen Fehler zu machen, und es wird für den Lehrer unpraktisch sein, dies zu überprüfen).

Beispiel 7

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können (Antwort am Ende der Lektion).

Es ist interessant festzustellen, dass man manchmal anstelle der Regel zum Differenzieren einer komplexen Funktion die Regel zum Differenzieren eines Quotienten verwenden kann , aber eine solche Lösung wird wie eine ungewöhnliche Perversion aussehen. Hier ist ein typisches Beispiel:

Beispiel 8

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier können Sie die Regel der Differenzierung des Quotienten anwenden , aber es ist viel profitabler, die Ableitung durch die Differenzierungsregel einer komplexen Funktion zu finden:

Wir bereiten die Funktion für die Differentiation vor – wir verschieben das Minus aus dem Ableitungszeichen und erhöhen den Kosinus in den Zähler:

Der Kosinus ist eine interne Funktion, die Potenzierung eine externe Funktion.
Nutzen wir unsere Regel :

Wir ermitteln die Ableitung der internen Funktion und setzen den Kosinus wieder nach unten zurück:

Bereit. Im betrachteten Beispiel ist es wichtig, sich nicht in den Zeichen zu verwirren. Versuchen Sie es übrigens mit der Regel zu lösen , die Antworten müssen übereinstimmen.

Beispiel 9

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können (Antwort am Ende der Lektion).

Bisher haben wir uns Fälle angesehen, in denen wir nur eine Verschachtelung in einer komplexen Funktion hatten. Bei praktischen Aufgaben findet man oft Derivate, bei denen wie bei Nistpuppen 3 oder sogar 4-5 Funktionen gleichzeitig ineinander verschachtelt sind.

Beispiel 10

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lassen Sie uns die Anhänge dieser Funktion verstehen. Versuchen wir, den Ausdruck anhand des experimentellen Werts zu berechnen. Wie würden wir mit einem Taschenrechner rechnen?

Zuerst müssen Sie finden, was bedeutet, dass der Arkussinus die tiefste Einbettung ist:

Dieser Arkussinus von Eins sollte dann quadriert werden:

Und schließlich potenzieren wir sieben:

Das heißt, in diesem Beispiel haben wir drei verschiedene Funktionen und zwei Einbettungen, wobei die innerste Funktion der Arkussinus und die äußerste Funktion die Exponentialfunktion ist.

Beginnen wir mit der Entscheidung

Gemäß der Regel Zuerst müssen Sie die Ableitung der äußeren Funktion bilden. Wir schauen uns die Ableitungstabelle an und finden die Ableitung Exponentialfunktion: Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir anstelle von „x“ einen komplexen Ausdruck haben, was die Gültigkeit dieser Formel nicht negiert. Also das Ergebnis der Anwendung der Regel zur Differenzierung einer komplexen Funktion nächste.

Ableitung einer komplexen Funktion. Beispiele für Lösungen

In dieser Lektion lernen wir, wie man findet Ableitung einer komplexen Funktion. Die Lektion ist eine logische Fortsetzung der Lektion Wie findet man die Ableitung?, in dem wir die einfachsten Ableitungen untersuchten und uns außerdem mit den Differenzierungsregeln und einigen technischen Techniken zum Auffinden von Ableitungen vertraut machten. Wenn Sie also nicht sehr gut mit Ableitungen von Funktionen umgehen können oder einige Punkte in diesem Artikel nicht ganz klar sind, lesen Sie zunächst die obige Lektion. Bitte kommen Sie in eine ernste Stimmung – der Stoff ist nicht einfach, aber ich werde trotzdem versuchen, ihn einfach und klar darzustellen.

In der Praxis muss man sich sehr oft, ich würde sogar sagen, fast immer mit der Ableitung einer komplexen Funktion befassen, wenn man Aufgaben bekommt, Ableitungen zu finden.

Wir schauen uns die Tabelle zur Regel (Nr. 5) zur Differenzierung einer komplexen Funktion an:

Ich werde die Funktion aufrufen externe Funktion, und die Funktion – interne (oder verschachtelte) Funktion.

Um die Situation zu klären, bedenken Sie Folgendes:

Beispiel 1

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Erster Schritt Was Sie tun müssen, um die Ableitung einer komplexen Funktion zu finden, ist: verstehen, welche Funktion intern und welche extern ist.

Bei einfachen Beispielen scheint klar zu sein, dass unter dem Sinus ein Polynom eingebettet ist. Was aber, wenn nicht alles offensichtlich ist? Wie lässt sich genau bestimmen, welche Funktion extern und welche intern ist? Um dies zu erreichen, schlage ich die Verwendung der folgenden Technik vor, die im Kopf oder im Entwurf durchgeführt werden kann.

Stellen wir uns vor, wir müssen den Wert des Ausdrucks at auf einem Taschenrechner berechnen (anstelle von eins kann es eine beliebige Zahl geben).

Beginnen wir mit der Entscheidung. Aus dem Unterricht Wie findet man die Ableitung? Wir erinnern uns, dass der Entwurf einer Lösung für jede Ableitung immer so beginnt: Wir schließen den Ausdruck in Klammern und setzen oben rechts einen Strich:

Bitte beachten Sie die innere Funktion hat sich nicht verändert, wir rühren es nicht an.

Nun, das ist ganz offensichtlich

Das Endergebnis der Anwendung der Formel sieht folgendermaßen aus:

Der konstante Faktor steht üblicherweise am Anfang des Ausdrucks:

Sollte es zu Missverständnissen kommen, schreiben Sie die Lösung auf Papier und lesen Sie die Erläuterungen noch einmal.

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wie immer schreiben wir auf:

Lassen Sie uns herausfinden, wo wir eine externe und wo eine interne Funktion haben. Dazu versuchen wir (gedanklich oder im Entwurf), den Wert des Ausdrucks bei zu berechnen. Was sollten Sie zuerst tun? Zunächst müssen Sie berechnen, was die Basis ist: Daher ist das Polynom die interne Funktion:

Und erst dann wird die Potenzierung durchgeführt, daher ist die Potenzfunktion eine externe Funktion:

Gemäß der Formel müssen Sie zunächst die Ableitung der externen Funktion ermitteln, in diesem Fall den Grad. Wir suchen die benötigte Formel in der Tabelle: . Wir wiederholen noch einmal: Jede Tabellenformel gilt nicht nur für „X“, sondern auch für einen komplexen Ausdruck. Somit ist das Ergebnis der Anwendung der Regel zur Differenzierung einer komplexen Funktion wie folgt:

Beispiel 4

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können (Antwort am Ende der Lektion).

Beispiel 5

a) Finden Sie die Ableitung der Funktion

b) Finden Sie die Ableitung der Funktion

Beispiel 6

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier haben wir eine Wurzel, und um die Wurzel zu differenzieren, muss sie als Kraft dargestellt werden. Daher bringen wir die Funktion zunächst in die für die Differenzierung geeignete Form:

Wir stellen den Grad wieder als Wurzel (Wurzel) dar und wenden für die Ableitung der inneren Funktion eine einfache Regel zur Differenzierung der Summe an:

Beispiel 7

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können (Antwort am Ende der Lektion).

Es ist interessant festzustellen, dass man manchmal anstelle der Regel zum Differenzieren einer komplexen Funktion die Regel zum Differenzieren eines Quotienten verwenden kann , aber eine solche Lösung wird wie eine lustige Perversion aussehen. Hier ist ein typisches Beispiel:

Beispiel 8

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier können Sie die Regel der Differenzierung des Quotienten anwenden , aber es ist viel profitabler, die Ableitung durch die Differenzierungsregel einer komplexen Funktion zu finden:

Wir bereiten die Funktion für die Differentiation vor – wir verschieben das Minus aus dem Ableitungszeichen und erhöhen den Kosinus in den Zähler:

Der Kosinus ist eine interne Funktion, die Potenzierung eine externe Funktion.
Nutzen wir unsere Regel:

Wir ermitteln die Ableitung der internen Funktion und setzen den Kosinus wieder nach unten zurück:

Bereit. Im betrachteten Beispiel ist es wichtig, sich nicht in den Zeichen zu verwirren. Versuchen Sie es übrigens mit der Regel zu lösen , die Antworten müssen übereinstimmen.

Beispiel 9

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können (Antwort am Ende der Lektion).

Beispiel 10

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lassen Sie uns die Anhänge dieser Funktion verstehen. Versuchen wir, den Ausdruck anhand des experimentellen Werts zu berechnen. Wie würden wir mit einem Taschenrechner rechnen?

Zuerst müssen Sie finden, was bedeutet, dass der Arkussinus die tiefste Einbettung ist:

Dieser Arkussinus von Eins sollte dann quadriert werden:

Und schließlich potenzieren wir sieben:

Das heißt, in diesem Beispiel haben wir drei verschiedene Funktionen und zwei Einbettungen, wobei die innerste Funktion der Arkussinus und die äußerste Funktion die Exponentialfunktion ist.

Beginnen wir mit der Entscheidung

Gemäß der Regel müssen Sie zunächst die Ableitung der externen Funktion bilden. Wir schauen uns die Ableitungstabelle an und finden die Ableitung der Exponentialfunktion: Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir anstelle von „x“ einen komplexen Ausdruck haben, was die Gültigkeit dieser Formel nicht negiert. Das Ergebnis der Anwendung der Regel zur Differenzierung einer komplexen Funktion ist also wie folgt:

Unter dem Strich haben wir wieder eine komplexe Funktion! Aber es ist schon einfacher. Es ist leicht zu überprüfen, dass die innere Funktion der Arkussinus und die äußere Funktion der Grad ist. Gemäß der Regel zum Differenzieren einer komplexen Funktion müssen Sie zunächst die Ableitung der Potenz bilden.

Definition. Die Funktion $y = f(x)$ sei in einem bestimmten Intervall definiert, das den Punkt $x_0$ enthält. Geben wir dem Argument ein Inkrement $\Delta x $, sodass es dieses Intervall nicht verlässt. Finden wir das entsprechende Inkrement der Funktion $\Delta y $ (beim Übergang vom Punkt $x_0 $ zum Punkt $x_0 + \Delta x $) und stellen wir die Beziehung $\frac(\Delta y)(\Updelta x) $. Gibt es eine Grenze für dieses Verhältnis bei $\Delta x \rightarrow 0$, dann wird die angegebene Grenze aufgerufen Ableitung einer Funktion$y=f(x) $ am Punkt $x_0 $ und bezeichnen $f"(x_0) $.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Das Symbol y wird oft verwendet, um die Ableitung zu bezeichnen. Beachten Sie, dass y" = f(x) eine neue Funktion ist, aber natürlich mit der Funktion y = f(x) zusammenhängt, die an allen Punkten x definiert ist, an denen die obige Grenze existiert. Diese Funktion wird wie folgt aufgerufen: Ableitung der Funktion y = f(x).

Geometrische Bedeutung der Ableitung ist wie folgt. Wenn es möglich ist, an dem Punkt mit der Abszisse x=a, der nicht parallel zur y-Achse ist, eine Tangente an den Graphen der Funktion y = f(x) zu zeichnen, dann drückt f(a) die Steigung der Tangente aus :
$k = f"(a)$

Da $k = tg(a) $, dann ist die Gleichheit $f"(a) = tan(a) $ wahr.

Lassen Sie uns nun die Definition der Ableitung unter dem Gesichtspunkt ungefährer Gleichheiten interpretieren. Die Funktion $y = f(x)$ habe an einem bestimmten Punkt $x$ eine Ableitung:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Dies bedeutet, dass in der Nähe des Punktes x die ungefähre Gleichheit $\frac(\Delta y)(\Delta Delta x$. Die sinnvolle Bedeutung der resultierenden ungefähren Gleichheit ist wie folgt: Das Inkrement der Funktion ist „nahezu proportional“ zum Inkrement des Arguments, und der Proportionalitätskoeffizient ist der Wert der Ableitung an einem bestimmten Punkt x. Beispielsweise gilt für die Funktion $y = x^2$ die Näherungsgleichung $\Delta y \ approx 2x \cdot \Delta x $. Wenn wir die Definition eines Derivats sorgfältig analysieren, werden wir feststellen, dass es einen Algorithmus zum Finden dieses Derivats enthält.

Formulieren wir es.

Wie finde ich die Ableitung der Funktion y = f(x)?

1. Fixieren Sie den Wert von $x$, finden Sie $f(x)$
2. Geben Sie dem Argument $x$ ein Inkrement $\Delta x$, gehen Sie zu einem neuen Punkt $x+ \Delta x $, finden Sie $f(x+ \Delta x) $
3. Finden Sie das Inkrement der Funktion: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. Erstellen Sie die Beziehung $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. Berechnen Sie $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Dieser Grenzwert ist die Ableitung der Funktion am Punkt x.

Wenn eine Funktion y = f(x) eine Ableitung in einem Punkt x hat, dann heißt sie in einem Punkt x differenzierbar. Das Verfahren zum Finden der Ableitung der Funktion y = f(x) wird aufgerufen Differenzierung Funktionen y = f(x).

Lassen Sie uns die folgende Frage diskutieren: Wie hängen Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion an einem Punkt miteinander zusammen?

Die Funktion y = f(x) sei im Punkt x differenzierbar. Dann kann am Punkt M(x; f(x)) eine Tangente an den Graphen der Funktion gezogen werden, und, erinnern Sie sich, der Winkelkoeffizient der Tangente ist gleich f "(x). Ein solcher Graph kann nicht „brechen“ am Punkt M, d. h. die Funktion muss am Punkt x stetig sein.

Es handelte sich um „praktische“ Argumente. Lassen Sie uns eine strengere Begründung liefern. Wenn die Funktion y = f(x) im Punkt x differenzierbar ist, dann gilt die Näherungsgleichung $\Delta y \ approx f"(x) \cdot \Delta x $. Wenn in dieser Gleichheit $\Delta x $ gegen Null tendiert, dann tendiert $\Delta y $ gegen Null, und dies ist die Bedingung für die Kontinuität der Funktion an einem Punkt.

Also, Wenn eine Funktion an einem Punkt x differenzierbar ist, dann ist sie an diesem Punkt stetig.

Die umgekehrte Aussage ist nicht wahr. Beispiel: Funktion y = |x| ist überall stetig, insbesondere im Punkt x = 0, aber die Tangente an den Graphen der Funktion am „Verbindungspunkt“ (0; 0) existiert nicht. Wenn an einem Punkt keine Tangente an den Graphen einer Funktion gezogen werden kann, existiert die Ableitung an diesem Punkt nicht.

Noch ein Beispiel. Die Funktion $y=\sqrt(x)$ ist auf der gesamten Zahlengeraden stetig, auch am Punkt x = 0. Und die Tangente an den Graphen der Funktion existiert an jedem Punkt, auch am Punkt x = 0 . An diesem Punkt fällt die Tangente jedoch mit der y-Achse zusammen, steht also senkrecht auf der Abszissenachse, ihre Gleichung hat die Form x = 0. Steigungskoeffizient eine solche Zeile gibt es nicht, was bedeutet, dass $f"(0) $ auch nicht existiert

So haben wir eine neue Eigenschaft einer Funktion kennengelernt – die Differenzierbarkeit. Wie kann man aus dem Graphen einer Funktion schließen, dass diese differenzierbar ist?

Die Antwort ist eigentlich oben gegeben. Wenn es irgendwann möglich ist, eine Tangente an den Graphen einer Funktion zu zeichnen, die nicht senkrecht zur Abszissenachse steht, dann ist die Funktion an diesem Punkt differenzierbar. Wenn irgendwann die Tangente an den Graphen einer Funktion nicht existiert oder senkrecht zur Abszissenachse steht, dann ist die Funktion an diesem Punkt nicht differenzierbar.

Differenzierungsregeln

Die Operation zum Finden der Ableitung wird aufgerufen Differenzierung. Bei dieser Operation müssen Sie häufig mit Quotienten, Summen, Produkten von Funktionen sowie „Funktionen von Funktionen“, also komplexen Funktionen, arbeiten. Basierend auf der Definition der Ableitung können wir Differenzierungsregeln ableiten, die diese Arbeit erleichtern. Wenn C eine konstante Zahl ist und f=f(x), g=g(x) differenzierbare Funktionen sind, dann gilt Folgendes Differenzierungsregeln:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Ableitung einer komplexen Funktion:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabelle der Ableitungen einiger Funktionen

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Wie man die Ableitung einer Funktion bildet. Ableitung von e nach der x-Potenz und Exponentialfunktion

Derivatetabelle

Beispiel 1. Finden Sie die Ableitung der Funktion y=500.

Beispiel 2. Finden Sie die Ableitung der Funktion y=x 100.

Beispiel 3. Finden Sie die Ableitung der Funktion y=5 x

Beispiel 4. Finden Sie die Ableitung der Funktion y= log 4 x

Differenzierungsregeln

1. Der konstante Koeffizient kann aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden

Beispiel 5. Finden Sie die Ableitung der Funktion y= 6*x 8

2. Die Ableitung einer Summe ist gleich der Summe der Ableitungen

Beispiel 6. Finden Sie die Ableitung der Funktion y= x 100 +sin x

3. Die Ableitung der Differenz ist gleich der Differenz der Ableitungen

Beispiel 7. Finden Sie die Ableitung der Funktion y= x 100 – cos x

Beispiel 8. Finden Sie die Ableitung der Funktion y=e x +tg x– x 2.

4. Derivat des Produkts

Beispiel 9. Finden Sie die Ableitung der Funktion y= cos x *e x

5. Ableitung des Quotienten

Beispiel 10. Finden Sie die Ableitung der Funktion y= x 50 /sin x

Ableitung einer komplexen Funktion

Ableitung einer komplexen Funktion. Beispiele für Lösungen

Wie finde ich die Ableitung der Funktion y = f(x)?

Differenzierungsregeln

Tabelle der Ableitungen einiger Funktionen

Passwort Wiederherstellung