EingangZeichen der Teilung mehr als zehn. Beginnen Sie in der Wissenschaft
Es gibt Zeichen, anhand derer es manchmal leicht ist, ohne eigentliches Teilen herauszufinden, ob eine bestimmte Zahl durch andere Zahlen teilbar ist oder nicht.
Zahlen, die durch 2 teilbar sind, werden aufgerufen eben. Auch die Zahl Null ist eine gerade Zahl. Alle anderen Nummern werden angerufen seltsam:
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - gerade,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... sind ungerade.
Zeichen der Teilbarkeit
Zeichen der Teilbarkeit durch 2. Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist. Beispielsweise ist die Zahl 4376 durch 2 teilbar, da die letzte Ziffer (6) gerade ist.
Zeichen der Teilbarkeit durch 3. Nur die Zahlen sind durch 3 teilbar, deren Quersumme durch 3 teilbar ist. Beispielsweise ist die Zahl 10815 durch 3 teilbar, da die Quersumme 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 durch 3 teilbar ist.
Zeichen der Teilbarkeit durch 4. Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern Nullen sind oder eine durch 4 teilbare Zahl bilden. Beispielsweise ist die Zahl 244500 durch 4 teilbar, weil sie auf zwei Nullen endet. Die Zahlen 14708 und 7524 sind durch 4 teilbar, da die letzten beiden Ziffern dieser Zahlen (08 und 24) durch 4 teilbar sind.
Zeichen der Teilbarkeit durch 5. Zahlen, die auf 0 oder 5 enden, sind durch 5 teilbar. Beispielsweise ist die Zahl 320 durch 5 teilbar, weil die letzte Ziffer eine 0 ist.
Zeichen der Teilbarkeit durch 6. Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar ist. Zum Beispiel ist die Zahl 912 durch 6 teilbar, weil sie sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar ist.
Zeichen der Teilbarkeit durch 8. Durch 8 teilbar sind solche Zahlen, bei denen die letzten drei Stellen Nullen sind oder eine durch 8 teilbare Zahl bilden. Beispielsweise ist die Zahl 27000 durch 8 teilbar, da sie mit drei Nullen endet. Die Zahl 63128 ist durch 8 teilbar, weil die letzten drei Ziffern die durch 8 teilbare Zahl (128) bilden.
Zeichen der Teilbarkeit durch 9. Nur Zahlen, deren Quersumme durch 9 teilbar ist, sind durch 9 teilbar. Beispielsweise ist die Zahl 2637 durch 9 teilbar, da die Quersumme 2 + 6 + 3 + 7 = 18 durch 9 teilbar ist.
Zeichen der Teilbarkeit durch 10, 100, 1000 usw. 10, 100, 1000 usw. sind durch die Zahlen teilbar, die jeweils mit einer Null, zwei Nullen, drei Nullen usw. enden. Beispielsweise ist die Zahl 3800 durch 10 und 100 teilbar.
Mathematik in Klasse 6 beginnt mit dem Studium des Teilbarkeitsbegriffs und der Teilbarkeitszeichen. Oft beschränkt auf Zeichen der Teilbarkeit durch solche Zahlen:
- Auf der 2 : letzte Ziffer muss 0, 2, 4, 6 oder 8 sein;
- Auf der 3 : Die Quersumme der Zahl muss durch 3 teilbar sein;
- Auf der 4 : die aus den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl muss durch 4 teilbar sein;
- Auf der 5 : letzte Ziffer muss 0 oder 5 sein;
- Auf der 6 : die Zahl muss Zeichen der Teilbarkeit durch 2 und 3 haben;
- Zeichen der Teilbarkeit durch 7 oft übersprungen;
- Selten sprechen sie auch über den Test auf Teilbarkeit in 8 , obwohl es den Zeichen der Teilbarkeit durch 2 und 4 ähnelt. Damit eine Zahl durch 8 teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die dreistellige Endung durch 8 teilbar ist.
- Zeichen der Teilbarkeit durch 9 Jeder weiß: Die Quersumme einer Zahl muss durch 9 teilbar sein. Was allerdings keine Immunität gegen alle möglichen Datumstricks der Numerologen entfaltet.
- Zeichen der Teilbarkeit durch 10 , wahrscheinlich die einfachste: Die Zahl muss auf Null enden.
- Manchmal wird auch Sechstklässlern von dem Zeichen der Teilbarkeit erzählt 11 . Sie müssen die Ziffern der Zahl an geraden Stellen addieren und die Zahlen an ungeraden Stellen vom Ergebnis subtrahieren. Wenn das Ergebnis durch 11 teilbar ist, dann ist die Zahl selbst durch 11 teilbar.
Wir nehmen eine Nummer. Wir teilen es in Blöcke mit jeweils 3 Ziffern (der Block ganz links kann eine oder 2 Ziffern enthalten) und addieren / subtrahieren diese Blöcke abwechselnd.
Wenn das Ergebnis durch 7, 13 (oder 11) teilbar ist, dann ist die Zahl selbst durch 7, 13 (oder b 11) teilbar.
Diese Methode basiert, ebenso wie eine Reihe mathematischer Tricks, auf der Tatsache, dass 7x11x13 \u003d 1001. Allerdings, was damit zu tun ist dreistellige Zahlen, für die die Frage der Teilbarkeit übrigens auch ohne die Teilung selbst nicht gelöst ist.
Mit dem universellen Teilbarkeitstest kann man relativ einfache Algorithmen bauen, um zu bestimmen, ob eine Zahl durch 7 und andere "unbequeme" Zahlen teilbar ist.
Verbesserter Test auf Teilbarkeit durch 7
Um zu überprüfen, ob eine Zahl durch 7 teilbar ist, müssen Sie die letzte Ziffer der Zahl verwerfen und diese Ziffer zweimal vom resultierenden Ergebnis subtrahieren. Wenn das Ergebnis durch 7 teilbar ist, dann ist die Zahl selbst durch 7 teilbar.
Beispiel 1:
Ist 238 durch 7 teilbar?
23-8-8 = 7. Die Zahl 238 ist also durch 7 teilbar.
Tatsächlich ist 238 = 34x7
Diese Aktion kann mehrmals ausgeführt werden.
Beispiel 2:
Ist 65835 durch 7 teilbar?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 ist durch 7 teilbar (wenn wir das nicht bemerkt hätten, könnten wir noch 1 Schritt weiter machen: 6-3-3 = 0, und 0 ist definitiv durch 7 teilbar).
Also ist die Zahl 65835 auch durch 7 teilbar.
Basierend auf dem universellen Teilbarkeitskriterium ist es möglich, die Teilbarkeitskriterien um 4 und um 8 zu verbessern.
Verbesserter Test auf Teilbarkeit durch 4
Wenn die Hälfte der Einerzahl plus die Zehnerzahl eine gerade Zahl ist, dann ist die Zahl durch 4 teilbar.
Beispiel 3
Ist die Zahl 52 durch 4 teilbar?
5+2/2 = 6, die Zahl ist gerade, also ist die Zahl durch 4 teilbar.
Beispiel 4
Ist die Zahl 134 durch 4 teilbar?
3+4/2 = 5, ungerade Zahl, also ist 134 nicht durch 4 teilbar.
Verbesserter Test auf Teilbarkeit durch 8
Wenn du die doppelte Zahl von Hundertern, die Zahl von Zehnern und die Hälfte von Einerzahl addierst und das Ergebnis durch 4 teilbar ist, dann ist die Zahl selbst durch 8 teilbar.
Beispiel 5
Ist die Zahl 512 durch 8 teilbar?
5*2+1+2/2 = 12, die Zahl ist durch 4 teilbar, also ist 512 durch 8 teilbar.
Beispiel 6
Ist die Zahl 1984 durch 8 teilbar?
9*2+8+4/2 = 28, die Zahl ist durch 4 teilbar, also ist 1984 durch 8 teilbar.
Zeichen der Teilbarkeit durch 12 ist die Vereinigung der Zeichen der Teilbarkeit durch 3 und durch 4. Dasselbe funktioniert für jedes n, das das Produkt von teilerfremden p und q ist. Damit eine Zahl durch n teilbar ist (was gleich dem Produkt von pq ist, so dass ggT(p,q)=1), muss eine Zahl gleichzeitig durch p und q teilbar sein.
Seien Sie jedoch vorsichtig! Damit die zusammengesetzten Zeichen der Teilbarkeit funktionieren, müssen die Faktoren der Zahl genau teilerfremd sein. Man kann nicht sagen, dass eine Zahl durch 8 teilbar ist, wenn sie durch 2 und 4 teilbar ist.
Verbesserter Test auf Teilbarkeit durch 13
Um zu überprüfen, ob eine Zahl durch 13 teilbar ist, müssen Sie die letzte Ziffer der Zahl verwerfen und viermal zum Ergebnis addieren. Wenn das Ergebnis durch 13 teilbar ist, dann ist die Zahl selbst durch 13 teilbar.
Beispiel 7
Ist 65835 durch 8 teilbar?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43
Die Zahl 43 ist nicht durch 13 teilbar, was bedeutet, dass die Zahl 65835 auch nicht durch 13 teilbar ist.
Beispiel 8
Ist 715 durch 13 teilbar?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 ist durch 13 teilbar, also ist 715 auch durch 13 teilbar.
Zeichen der Teilbarkeit durch 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 und andere zusammengesetzte Zahlen, die keine Potenzen von Primzahlen sind, ähneln den Kriterien für die Teilbarkeit durch 12. Wir prüfen die Teilbarkeit dieser Zahlen durch teilerfremde Faktoren.
- Für 14: für 2 und für 7;
- Für 15: um 3 und um 5;
- Für 18: 2 und 9;
- Für 21: auf 3 und auf 7;
- Für 20: um 4 und um 5 (oder anders gesagt, die letzte Ziffer muss null sein und die vorletzte muss gerade sein);
- Für 24: 3 und 8;
- Für 26: 2 und 13;
- Für 28: 4 und 7.
Anstatt zu prüfen, ob die 4-stellige Endung durch 16 teilbar ist, können Sie die Einerziffer mit dem Zehnfachen der Zehnerziffer addieren, die Hunderterziffer vervierfachen und
acht mal die Tausenderstelle und überprüfe, ob das Ergebnis durch 16 teilbar ist.
Beispiel 9
Ist 1984 durch 16 teilbar?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 ist nicht durch 16 teilbar, also ist 1984 auch nicht durch 16 teilbar.
Beispiel 10
Ist die Zahl 1526 durch 16 teilbar?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 ist nicht durch 16 teilbar, also ist 1526 auch durch 16 teilbar.
Verbesserter Test auf Teilbarkeit durch 17.
Um zu überprüfen, ob eine Zahl durch 17 teilbar ist, müssen Sie die letzte Ziffer der Zahl verwerfen und diese Zahl fünfmal vom resultierenden Ergebnis subtrahieren. Wenn das Ergebnis durch 13 teilbar ist, dann ist die Zahl selbst durch 13 teilbar.
Beispiel 11
Ist die Zahl 59772 durch 17 teilbar?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 ist durch 17 teilbar, also ist 59772 auch durch 17 teilbar.
Beispiel 12
Ist 4913 durch 17 teilbar?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 ist durch 17 teilbar, also ist 4913 auch durch 17 teilbar.
Verbesserter Test auf Teilbarkeit durch 19.
Um zu überprüfen, ob eine Zahl durch 19 teilbar ist, müssen Sie die letzte Ziffer zweimal zu der verbleibenden Zahl addieren, nachdem Sie die letzte Ziffer verworfen haben.
Beispiel 13
Ist die Zahl 9044 durch 19 teilbar?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 ist durch 19 teilbar, also ist 9044 auch durch 19 teilbar.
Verbesserter Test auf Teilbarkeit durch 23.
Um zu überprüfen, ob eine Zahl durch 23 teilbar ist, müssen Sie die letzte Ziffer, erhöht um das 7-fache, zu der Zahl hinzufügen, die nach dem Verwerfen der letzten Ziffer übrig bleibt.
Beispiel 14
Ist die Zahl 208012 durch 23 teilbar?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Eigentlich sieht man schon, dass 253 gleich 23 ist,
Aus dem Schullehrplan erinnern sich viele daran, dass es Anzeichen für Teilbarkeit gibt. Dieser Satz ist als Regel zu verstehen, mit der Sie schnell feststellen können, ob eine Zahl ein Vielfaches einer bestimmten Zahl ist, ohne eine direkte arithmetische Operation durchzuführen. Diese Methode basiert auf Aktionen, die mit einem Teil der Ziffern aus dem Eintrag in der Position ausgeführt werden
Viele Menschen erinnern sich an die einfachsten Zeichen der Teilbarkeit aus dem Schullehrplan. Zum Beispiel die Tatsache, dass alle Zahlen durch 2 teilbar sind, deren letzte Ziffer im Datensatz gerade ist. Diese Funktion ist am einfachsten zu merken und in der Praxis anzuwenden. Wenn wir über die Methode der Division durch 3 sprechen, dann gilt für mehrstellige Zahlen die folgende Regel, die an einem solchen Beispiel gezeigt werden kann. Sie müssen herausfinden, ob 273 ein Vielfaches von drei ist. Führen Sie dazu die folgende Operation aus: 2+7+3=12. Die resultierende Summe ist durch 3 teilbar, daher ist 273 so durch 3 teilbar, dass das Ergebnis eine ganze Zahl ist.
Die Zeichen der Teilbarkeit durch 5 und 10 sind wie folgt. Im ersten Fall endet die Eingabe mit den Ziffern 5 oder 0, im zweiten Fall nur mit 0. Um herauszufinden, ob die Teilbarkeit ein Vielfaches von vier ist, gehen Sie wie folgt vor. Es ist notwendig, die letzten beiden Ziffern zu isolieren. Sind es zwei Nullen oder eine Zahl, die ohne Rest durch 4 teilbar ist, dann ist alles Teilbare ein Vielfaches des Divisors. Es ist zu beachten, dass die aufgeführten Zeichen nur im Dezimalsystem verwendet werden. Sie gelten nicht für andere Zählmethoden. In solchen Fällen werden eigene Regeln abgeleitet, die von der Basis des Systems abhängen.
Die Zeichen der Division durch 6 sind wie folgt. 6, wenn es sich um ein Vielfaches von 2 und 3 handelt. Um festzustellen, ob eine Zahl durch 7 teilbar ist, müssen Sie die letzte Ziffer ihrer Eingabe verdoppeln. Das erhaltene Ergebnis wird von der ursprünglichen Zahl abgezogen, wobei die letzte Ziffer nicht berücksichtigt wird. Diese Regel ist im folgenden Beispiel zu sehen. Es ist notwendig herauszufinden, ob 364 ein Vielfaches ist, dazu wird 4 mit 2 multipliziert, es ergibt 8. Dann wird folgende Aktion ausgeführt: 36-8=28. Das erhaltene Ergebnis ist ein Vielfaches von 7, und daher kann die ursprüngliche Zahl 364 durch 7 geteilt werden.
Die Zeichen der Teilbarkeit durch 8 sind wie folgt. Wenn die letzten drei Ziffern einer Zahl ein Vielfaches von acht bilden, dann ist die Zahl selbst durch den gegebenen Teiler teilbar.
Ob eine mehrstellige Zahl durch 12 teilbar ist, kannst du wie folgt herausfinden. Anhand der oben aufgeführten Teilbarkeitskriterien müssen Sie herausfinden, ob die Zahl ein Vielfaches von 3 und 4 ist. Wenn sie gleichzeitig als Teiler für eine Zahl fungieren können, dann können Sie bei einer gegebenen Teilbarkeit auch durch 12 teilen. Eine ähnliche Regel gilt für andere komplexe Zahlen, zum Beispiel fünfzehn. In diesem Fall sollten die Teiler 5 und 3 sein. Um herauszufinden, ob eine Zahl durch 14 teilbar ist, sollten Sie sehen, ob sie ein Vielfaches von 7 und 2 ist. Sie können dies also im folgenden Beispiel betrachten. Es muss festgestellt werden, ob 658 durch 14 teilbar ist. Die letzte Ziffer in der Eingabe ist gerade, daher ist die Zahl ein Vielfaches von zwei. Als nächstes multiplizieren wir 8 mit 2, wir erhalten 16. Von 65 müssen Sie 16 subtrahieren. Das Ergebnis 49 ist wie die ganze Zahl durch 7 teilbar. Daher kann 658 auch durch 14 geteilt werden.
Wenn die letzten beiden Ziffern einer gegebenen Zahl durch 25 teilbar sind, dann ist alles ein Vielfaches dieses Teilers. Bei mehrstelligen Zahlen klingt das Zeichen der Teilbarkeit durch 11 wie folgt. Es ist notwendig herauszufinden, ob die Differenz zwischen den Summen der Ziffern, die sich in seinem Datensatz an ungeraden und geraden Stellen befinden, ein Vielfaches eines bestimmten Divisors ist.
Es sei darauf hingewiesen, dass die Zeichen der Teilbarkeit von Zahlen und ihre Kenntnis viele Probleme, die nicht nur in der Mathematik, sondern auch in auftreten, sehr oft erheblich vereinfachen Alltagsleben. Dank der Möglichkeit festzustellen, ob eine Zahl ein Vielfaches einer anderen ist, können Sie schnell verschiedene Aufgaben erledigen. Darüber hinaus trägt der Einsatz dieser Methoden im Mathematikunterricht zur Entwicklung von Schülern oder Schülern bei und trägt zur Entwicklung bestimmter Fähigkeiten bei.
Wir untersuchen weiterhin die Zeichen der Teilbarkeit. Dieser Artikel zerlegt Teilbarkeit durch 4 Zeichen. Zuerst wird seine Formulierung angegeben und Anwendungsbeispiele gegeben. Als nächstes wird der Beweis des Tests auf Teilbarkeit durch 4 gezeigt. Abschließend werden Ansätze betrachtet, die es erlauben, die Teilbarkeit von Zahlen durch 4 als Wert eines wörtlichen Ausdrucks zu beweisen.
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Zeichen der Teilbarkeit durch 4, Beispiele
Um zu prüfen, ob eine gegebene Zahl durch 4 teilbar ist, führt man am einfachsten die Division direkt durch, von einstelligen Zahlen sind nur 4 und 8 durch 4 teilbar. Teilen Sie zwei Ziffern natürliche Zahl 4 ist auch nicht schwer (auch mit mündlicher Teilung). Beispielsweise ist 24 ohne Rest durch 4 teilbar, da 24:4=6, und 83 nicht vollständig durch 4 teilbar, da 83:4=20 (Rest 3) (ggf. siehe Artikel und). Aber je mehr Ziffern eine Zahl enthält, desto „unangenehmer“ ist sie zu dividieren.
Zur einfacheren Prüfung der Teilbarkeit einer gegebenen mehrstelligen Zahl gibt es Teilbarkeit durch 4 Zeichen, was die Untersuchung einer gegebenen Zahl a auf ihre Teilbarkeit durch 4 auf einen Test für die Teilbarkeit eines einwertigen Oder reduziert zweistellige Zahl. Wir präsentieren die Formulierung dieser Funktion. Eine ganze Zahl a ist durch 4 teilbar, wenn die Zahl, die sich aus den letzten beiden Ziffern im Datensatz der Zahl a (in ihrer Reihenfolge) zusammensetzt, durch 4 teilbar ist; Wenn die zusammengesetzte Zahl nicht durch 4 teilbar ist, dann ist die Zahl a nicht durch 4 teilbar.
In Betracht ziehen Anwendungsbeispiele für den Test auf Teilbarkeit durch 4.
Beispiel.
Welche der Zahlen −98028, 7612 und 999888777 sind durch 4 teilbar?
Lösung.
Verwenden wir das Zeichen der Teilbarkeit durch 4.
Die letzten beiden Ziffern -98028 ergeben die Zahl 28, da 28 durch 4 teilbar ist (28:4=7), dann ist die Zahl -98028 auch durch 4 teilbar.
Die letzten beiden Ziffern von 7612 sind 12, und 12 ist durch 4 teilbar (12:4=3), also ist 7612 durch 4 teilbar.
Schließlich ergeben die letzten beiden Ziffern der Zahl 999 888 777 die Zahl 77, da 77 nicht durch 4 teilbar ist (77:4=19 (Rest 1)), dann ist die ursprüngliche Zahl auch nicht durch 4 teilbar.
Antworten:
−98028 und 7612 .
Und wie wendet man das Zeichen der Teilbarkeit durch 4 an, wenn die letzten beiden Ziffern der Zahleneingabe beispielsweise 01 , 02 , 03 , ..., 09 sind? In diesen Fällen muss die Zahl 0 auf der linken Seite verworfen werden, danach bleibt sie bestehen einzelne Ziffer 1 , 2 , 3 , …, 9 .
Beispiel.
Sind die Zahlen 75003 und −88108 durch 4 teilbar?
Lösung.
Schauen wir uns die letzten beiden Ziffern im Datensatz der Nummer 75 003 an - wir sehen 03, wir werfen die Null links weg und wir haben die Nummer 3. Da 3 nicht durch 4 teilbar ist, können wir aufgrund der Teilbarkeit durch 4 schließen, dass 75.003 nicht durch 4 teilbar ist.
In ähnlicher Weise bilden die letzten beiden Ziffern in der Notation der Zahl -88108 die Zahl 8, und da 8 durch 4 teilbar ist, ist die Zahl -88108 auch durch 4 teilbar.
Antworten:
75003 ist nicht durch 4 teilbar, aber −88108.
Unabhängig davon muss über Zahlen gesprochen werden, in deren Aufzeichnung zwei aufeinanderfolgende Ziffern (oder mehr davon) rechts Nullen sind. Lassen Sie uns Beispiele für solche Zahlen geben: 100 , 893 900 , 40 000 , 373 002 000 usw. Solche Zahlen sind durch 4 teilbar. Lassen Sie uns das begründen.
Die Zahl 100 ist durch 4 teilbar. Tatsächlich 100:4=25 . ermöglicht es Ihnen, jede andere ganze Zahl a, deren Datensatz mit zwei Nullen endet, als Produkt a 1 100 darzustellen, wobei die Zahl a 1 aus der Zahl a erhalten wird, wenn in ihrem Datensatz rechts zwei Nullen weggelassen werden. Zum Beispiel 588 300 = 5 883 100 und 30 000 = 300 100 . Und das Produkt a 1 100 ist durch 4 teilbar, da es einen durch 4 teilbaren Faktor 100 enthält (siehe Teilbarkeitseigenschaften). Es ist also bewiesen, dass jede ganze Zahl, in deren Aufzeichnung rechts zwei Nullen stehen, durch 4 teilbar ist.
Beweis des Tests auf Teilbarkeit durch 4
Um den Test auf Teilbarkeit durch 4 zu beweisen, benötigen wir die folgende Darstellung einer natürlichen Zahl a. Jede natürliche Zahl a kann als a = a 1 100 + a 0 dargestellt werden, wobei die Zahl a 1 aus der Zahl a erhalten wird, wenn die letzten beiden Ziffern aus ihrem Datensatz entfernt werden, und die Zahl a 0 den letzten beiden Ziffern entspricht im Datensatz der Nummer a . Beispiel: 5431=54 100+31 . Wenn die Zahl a einstellig oder zweistellig ist, dann ist a=a 0 .
Außerdem benötigen wir zwei Teilbarkeitseigenschaften:
- damit eine ganze Zahl a durch eine ganze Zahl b teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass der Modul von a durch den Modul von b teilbar ist;
- wenn in der Gleichung a=s+t alle Terme bis auf einen durch eine ganze Zahl b teilbar sind, dann ist auch dieser eine Term durch b teilbar.
Jetzt können Sie bringen Nachweis des Tests auf Teilbarkeit durch 4, die wir zunächst in Form eines notwendigen und umformulieren ausreichender Zustand durch 4 teilbar.
Satz.
Damit eine ganze Zahl a durch 4 teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die Zahl, die den letzten beiden Ziffern im Datensatz der Zahl a entspricht, durch 4 teilbar ist.
Nachweisen.
Zum a=0 ist der Satz offensichtlich.
Für die restlichen ganzen Zahlen a ist a eine positive Zahl und kann als dargestellt werden, wie wir vor dem Satz sagten.
Am Ende des ersten Absatzes dieses Artikels haben wir gezeigt, dass das Produkt a 1 · 100 immer durch 4 teilbar ist. Wenn wir auch die vor dem Satz gegebenen Eigenschaften der Teilbarkeit berücksichtigen, kommen wir zu folgenden Schlussfolgerungen.
Wenn Zahl a durch 4 teilbar ist, dann ist der Betrag der Zahl a auch durch 4 teilbar, dann impliziert die Gleichheit die Teilbarkeit der Zahl a 0 durch 4 . Dies beweist die Notwendigkeit.
Andererseits impliziert die Teilbarkeit einer 0 durch 4 durch 4 und Gleichheit die Teilbarkeit durch 4 moduli a, was die Teilbarkeit der Zahl a selbst durch 4 impliziert. Dies beweist die Hinlänglichkeit.
Andere Fälle von Teilbarkeit durch 4
Manchmal ist es erforderlich, die Teilbarkeit einer ganzen Zahl durch 4 zu überprüfen, die als Wert eines Ausdrucks angegeben ist. In solchen Fällen ist eine direkte Teilung nicht möglich. Auch die Verwendung des Zeichens der Teilbarkeit durch 4 ist nicht immer möglich. Wie in diesen Fällen sein?
Die Hauptidee besteht darin, den ursprünglichen Ausdruck auf das Produkt mehrerer Faktoren zu bringen, von denen einer durch 4 teilbar ist. In diesem Fall kann aufgrund der entsprechenden Teilbarkeitseigenschaft geschlossen werden, dass der ursprüngliche Ausdruck durch 4 teilbar ist.
Manchmal hilft es, sich eine solche Vorstellung zu machen. Nehmen wir zur Verdeutlichung ein Beispiel.
Beispiel.
Ist der Wert des Ausdrucks durch 4 teilbar 
für einige natürliche n ?
Lösung.
Stellen wir 9 als 8+1 dar, danach verwenden wir Newtons Binomialformel: 
Das resultierende Produkt ist durch 4 teilbar, da es einen Faktor 4 enthält und der Ausdruck in Klammern eine natürliche Zahl ist. Folglich,
Antworten:
Ja.
Sehr oft ist es möglich, die Teilbarkeit eines Ausdrucks durch 4 zu beweisen. Wie das geht, zeigen wir anhand der Bedingung des vorherigen Beispiels.
Beispiel.
Beweise das ist für jedes natürliche n durch 4 teilbar.
Lösung.
Zeigen wir, dass für n=1 der Wert des Ausdrucks gilt ist durch 4 teilbar. Wir haben 
, und 4 ist durch 4 teilbar.
Stellen wir uns das vor ist für n=k durch 4 teilbar, d. h. wir nehmen an, dass es durch 4 teilbar ist.
Setzen wir unsere Bekanntschaft mit den Zeichen der Teilbarkeit fort. Jetzt werden wir lernen Zeichen der Teilbarkeit durch 6. Stellen wir zunächst seine Formulierung vor. Betrachten Sie als Nächstes Beispiele für die Anwendung des Zeichens der Teilbarkeit durch 6. Danach beweisen wir den Test auf Teilbarkeit durch 6. Lassen Sie uns abschließend auf Beispiele eingehen, in denen die Teilbarkeit einiger Ausdrücke durch 6 Werte bewiesen wird.
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Zeichen der Teilbarkeit durch 6, Beispiele
Formulierung des Tests auf Teilbarkeit durch 6 kombiniert das Zeichen der Teilbarkeit durch 2 und das Zeichen der Teilbarkeit durch 3. Es ist wie folgt: Wenn der Datensatz einer ganzen Zahl mit einer der Ziffern 0, 2, 4, 6 oder 8 endet und die Summe der Ziffern im Datensatz der Zahl durch 3 teilbar ist, dann ist eine solche Zahl teilbar um 6; wird mindestens eine der angegebenen Bedingungen verletzt, so ist die Zahl nicht durch 6 teilbar. Mit anderen Worten, eine ganze Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn diese Zahl durch 2 und 3 teilbar ist.
Das Zeichen der Teilbarkeit durch 6 wird also in zwei Stufen angewendet:
- Im ersten Schritt wird die Teilbarkeit der Zahl durch 2 geprüft. Dabei wird die letzte Ziffer der Zahleneingabe berücksichtigt. Wenn die Zahleneingabe mit der Zahl 2 endet, dann ist diese Zahl durch 2 teilbar, und um ihre Teilbarkeit durch 6 weiter zu überprüfen, fahren wir mit der zweiten Stufe fort. Wenn die letzte Ziffer der Zahleneingabe von 0, 2, 4, 6 oder 8 verschieden ist, dann ist die Zahl nicht durch 2 teilbar, also auch nicht durch 6 teilbar.
- Im zweiten Schritt wird die Teilbarkeit der Zahl durch 3 überprüft. Dazu wird die Quersumme der ursprünglichen Zahl berechnet und geprüft, ob diese durch 3 teilbar ist (z. B. mit dem Teilbarkeitstest durch 3). Wenn die Summe der Ziffern durch 3 teilbar ist, dann ist die Zahl durch 3 teilbar, und aufgrund ihrer Teilbarkeit durch 2 (im vorherigen Schritt festgestellt) können wir schließen, dass die Zahl durch 6 teilbar ist. Wenn die Quersumme der ursprünglichen Zahl nicht durch 3 teilbar ist, dann ist diese Zahl nicht durch 3 teilbar, also auch nicht durch 6 teilbar.
Jetzt können wir konkret überlegen Anwendungsbeispiele für den Test auf Teilbarkeit durch 6.
Beispiel.
Ist die Zahl 8813 durch 6 teilbar?
Lösung.
Zur Beantwortung der gestellten Frage verwenden wir das Zeichen der Teilbarkeit durch 6. Da die Eingabe der Zahl 8813 mit der Zahl 3 endet, können wir daraus schließen, dass die Zahl 8813 nicht durch 6 teilbar ist.
Antworten:
Nein.
Beispiel.
Kann man 934 ohne Rest durch 6 teilen?
Lösung.
Nummer 934 endet mit der Zahl 4, also ist die erste Bedingung des Teilbarkeitstests durch 6 erfüllt. Prüfen wir, ob die Quersumme der Zahl 934 durch 3 teilbar ist. Wir haben 9+3+4=16 und 16 ist nicht durch 3 teilbar. Folglich ist die zweite Bedingung des Tests auf Teilbarkeit durch 6 nicht erfüllt, sodass die ursprüngliche Zahl nicht durch 6 teilbar ist.
Antworten:
Nein.
Beispiel.
Ist die Zahl −7.269.708 durch 6 teilbar?
Lösung.
Die letzte Ziffer im Datensatz dieser Zahl ist 8, was bedeutet, dass die erste Bedingung des Zeichens der Teilbarkeit durch 6 erfüllt ist. Jetzt finden wir die Quersumme der Zahl −7 269 708 , wir haben 7+2+6+9+7+0+8=39 . Da 39 durch 3 teilbar ist (39:3=13), können wir daraus schließen, dass die ursprüngliche Zahl durch 6 teilbar ist.
Antworten:
Ja, es wird geteilt.
Zum Abschluss dieses Absatzes stellen wir fest, dass Sie zur Überprüfung der Teilbarkeit einer gegebenen Zahl durch 6 direkt dividieren können, anstatt auf den Teilbarkeitstest durch 6 zurückzugreifen.
Beweis des Tests auf Teilbarkeit durch 6
Lassen Sie uns bringen Beweis der Teilbarkeit durch 6. Der Einfachheit halber verwenden wir die Formulierung dieses Merkmals in Form einer notwendigen und hinreichenden Bedingung.
Satz.
Damit eine ganze Zahl a durch 6 teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die Zahl a durch 2 und 3 teilbar ist.
Nachweisen.
Zuerst werden wir die Notwendigkeit beweisen, das heißt, wir werden beweisen, dass wenn eine ganze Zahl a durch 6 teilbar ist, sie auch durch 2 und durch 3 teilbar ist.
Dazu benötigen wir folgende Teilbarkeitseigenschaft: Wenn eine ganze Zahl a durch b teilbar ist, dann ist das Produkt m a, wobei m eine beliebige ganze Zahl ist, auch durch b teilbar.
Als a durch 6 teilbar ist, dann erlaubt uns das Konzept der Teilbarkeit, die Gleichheit a=6 q zu schreiben, wobei q eine ganze Zahl ist. Im geschriebenen Produkt ist der Faktor 6 sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar, dann folgt aus der obigen Teilbarkeitseigenschaft, dass das Produkt 6 q sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar ist. Dies beweist die Notwendigkeit.
Damit das Kriterium der Teilbarkeit durch 6 vollständig bewiesen ist, muss noch die Hinlänglichkeit bewiesen werden. Lassen Sie uns beweisen, dass wenn eine ganze Zahl a durch 2 und 3 teilbar ist, sie auch durch 6 teilbar ist.
Hier brauchen wir einen Satz aus dem Artikel Der Fundamentalsatz der Arithmetik. Hier ist ihre Formulierung: Wenn das Produkt mehrerer ganzzahliger positiver und Nicht-Eins-Faktoren durch eine Primzahl p teilbar ist, dann ist mindestens ein Faktor durch p teilbar.
Da eine ganze Zahl a durch 2 teilbar ist, gibt es eine ganze Zahl q mit a=2 q . Aber die ganze Zahl a=2 q ist auch durch 3 teilbar, also muss 2 q durch 3 teilbar sein. Da 2 nicht durch 3 teilbar ist, muss q aufgrund des obigen Satzes durch 3 teilbar sein. Dann gibt es eine ganze Zahl q 1 , so dass q = 3·q 1 . Daher ist a = 2·q = 2·3·q 1 = 6·q 1 . Aus der resultierenden Gleichheit folgt die Teilbarkeit der Zahl a durch 6. Dies beweist die Hinlänglichkeit.
Andere Fälle von Teilbarkeit durch 6
In diesem Absatz konzentrieren wir uns auf Möglichkeiten, die Teilbarkeit des angegebenen Werts durch 6 für den angegebenen Wert der Variablen zu beweisen. In diesen Fällen (wenn die ganze Zahl nicht explizit angegeben ist) sind die direkte Division und die Verwendung des Teilbarkeitstests durch 6 oft nicht möglich, sodass ein anderer Lösungsansatz erforderlich ist.
Einer der Ansätze basiert auf der Aussage: Wenn einer der ganzzahligen Faktoren im Produkt durch eine gegebene Zahl teilbar ist, dann ist das gesamte Produkt durch diese Zahl teilbar. Das heißt, wenn der gegebene Ausdruck als Produkt dargestellt wird, bei dem einer der Faktoren durch 6 teilbar ist, dann beweist dies die Teilbarkeit des ursprünglichen Ausdrucks durch 6. Es bleibt die Art und Weise der Repräsentation in Form eines Werkes zu diskutieren.
Manchmal ist es möglich, einen bestimmten Ausdruck in Form eines gewünschten Produkts darzustellen. Betrachten Sie ein Beispiel.
Beispiel.
Ist der Wert des Ausdrucks für ein natürliches n durch 6 teilbar.
Lösung.
Nummer 7 ist gleich der Summe von 6+1 , also . Jetzt wenden wir die Newton-Binomialformel an, danach führen wir die notwendigen Transformationen durch: 
Wir sind also zu einem Produkt gekommen, das durch 6 teilbar ist, da es einen Faktor von 6 enthält und der Wert des Ausdrucks in Klammern für jedes natürliche n eine natürliche Zahl ist (da die Summe und das Produkt natürlicher Zahlen eine natürliche Zahl sind). . Daher ist der Wert des ursprünglichen Ausdrucks für jedes natürliche n durch 6 teilbar.
Antworten:
Ja.
Wenn der Ausdruck als Polynom angegeben wird, können Sie manchmal ein Produkt mit einem durch 6 teilbaren Faktor erhalten. Danach erhält die Variable n in der resultierenden Erweiterung die Werte n=6 m , n=6 m+1 , n=6 m+2 , …, n=6 m+5 , wobei m eine ganze Zahl ist. Wenn die Teilbarkeit für jedes solche n gezeigt wird, dann beweist dies die Teilbarkeit des ursprünglichen Ausdrucks durch 6 für jede ganze Zahl n.
Beispiel.
Beweisen Sie, dass für jede ganze Zahl n der Wert des Ausdrucks durch 6 teilbar ist.
Lösung.
Die Faktorisierung dieses Ausdrucks hat die Form 
.
Bei n=6 m haben wir 
. Das resultierende Produkt enthält einen Faktor von 6, ist also für jede ganze Zahl m durch 6 teilbar.