خانه / در مورد بیماری/ نحوه حل معادلات با توان کسری. معادلات نمایی راه حل ها

نحوه حل معادلات با توان کسری معادلات نمایی راه حل ها

مثال ها:

$4^x=32$
$5^(2x-1)-5^(2x-3)=4.8$
$(\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0$

چگونه معادلات نمایی را حل کنیم

هنگام حل هر معادله نمایی، سعی می کنیم آن را به شکل \(a^(f(x))=a^(g(x))\ برسانیم، و سپس انتقال را به برابری توانها انجام دهیم، یعنی:

$a^(f(x))=a^(g(x))$ $⇔$ $f(x)=g(x)$

مثلا:$2^(x+1)=2^2$ $⇔$ $x+1=2$

مهم! از همین منطق، دو شرط برای چنین انتقالی به دست می آید:
- شماره در چپ و راست باید یکسان باشند.
- درجات سمت چپ و راست باید "خالص" باشندیعنی ضرب و تقسیم و غیره نباشد.

مثلا:

برای کاهش معادله به شکل $a^(f(x))=a^(g(x))$ و استفاده می شود.

مثال . حل معادله نمایی $\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$
راه حل:

$\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$

ما می دانیم که $27 = 3^3$. با در نظر گرفتن این، معادله را تبدیل می کنیم.

$\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$

با خاصیت ریشه $\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))$ بدست می آوریم که $\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))$. سپس با استفاده از خاصیت درجه $(a^b)^c=a^(bc)$، $((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ را بدست می آوریم (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))$.

$3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)$

همچنین می دانیم که $a^b·a^c=a^(b+c)$. با اعمال این در سمت چپ، دریافت می کنیم: $3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)$.

$3^(x+0.5)=(\frac(1)(3))^(2x)$

حالا به یاد داشته باشید که: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$. این فرمول همچنین می تواند در سمت معکوس: $\frac(1)(a^n) =a^(-n)$. سپس $\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)$.

$3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)$

با اعمال ویژگی $(a^b)^c=a^(bc)$ در سمت راست، به دست می آوریم: $(3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)$.

$3^(x+0.5)=3^(-2x)$

و اکنون پایه های ما برابر است و هیچ ضرایب تداخلی و غیره وجود ندارد. بنابراین ما می توانیم انتقال را انجام دهیم.

مثال . حل معادله نمایی $4^(x+0.5)-5 2^x+2=0$
راه حل:

$4^(x+0.5)-5 2^x+2=0$		ما دوباره از ویژگی power $a^b \cdot a^c=a^(b+c)$ در جهت مخالف استفاده می کنیم.
$4^x 4^(0.5)-5 2^x+2=0$		حالا به یاد داشته باشید که $4=2^2$.
$(2^2)^x·(2^2)^(0.5)-5·2^x+2=0$		با استفاده از خصوصیات درجه، تبدیل می کنیم: $(2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2$ $(2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.$
$2·(2^x)^2-5·2^x+2=0$		ما با دقت به معادله نگاه می کنیم و می بینیم که جایگزین $t=2^x$ خودش را پیشنهاد می کند.

$t_1=2$ $t_2=\frac(1)(2)$		با این حال، ما مقادیر $t$ را پیدا کرده ایم و به $x$ نیاز داریم. ما به X برمی گردیم و جایگزینی معکوس می کنیم.
$2^x=2$ $2^x=\frac(1)(2)$		بیایید معادله دوم را با استفاده از خاصیت توان منفی تبدیل کنیم...
$2^x=2^1$ $2^x=2^(-1)$		... و تا جواب تصمیم می گیریم.
$x_1=1$ $x_2=-1$

پاسخ : $-1; 1$.

سوال باقی می ماند - چگونه بفهمیم چه زمانی از کدام روش استفاده کنیم؟ این با تجربه همراه است. تا زمانی که آن را بدست آورید، از آن استفاده کنید توصیه کلیبرای حل مشکلات پیچیده - "اگر نمی دانید چه کاری انجام دهید، آنچه را که می توانید انجام دهید." یعنی به دنبال این باشید که چگونه می توانید معادله را در اصل تغییر دهید و سعی کنید آن را انجام دهید - اگر چه اتفاقی بیفتد؟ نکته اصلی این است که فقط تبدیلات مبتنی بر ریاضی ایجاد کنیم.

معادلات نمایی بدون جواب

بیایید به دو موقعیت دیگر که اغلب دانش‌آموزان را گیج می‌کنند نگاه کنیم:
- یک عدد مثبت به توان برابر با صفر است، به عنوان مثال، $2^x=0$;
- یک عدد مثبت برابر با توان یک عدد منفی است، برای مثال $2^x=-4$.

بیایید سعی کنیم با زور وحشیانه حل کنیم. اگر x یک عدد مثبت باشد، با رشد x، کل توان $2^x$ فقط افزایش می یابد:

$x=1$; $2^1=2$
$x=2$; $2^2=4$
$x=3$; $2^3=8$.

$x=0$; $2^0=1$

همچنین توسط. X منفی باقی می ماند. با یادآوری ویژگی $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$، بررسی می کنیم:

$x=-1$; $2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)$
$x=-2$; $2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)$
$x=-3$; $2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)$

علیرغم اینکه عدد با هر مرحله کوچکتر می شود، هرگز به صفر نمی رسد. بنابراین درجه منفی ما را نجات نداد. ما به یک نتیجه منطقی می رسیم:

یک عدد مثبت به هر درجه ای یک عدد مثبت باقی می ماند.

بنابراین، هر دو معادله بالا هیچ راه حلی ندارند.

معادلات نمایی با پایه های مختلف

در عمل گاهی با معادلات نمایی با پایه های مختلف که قابل تقلیل به یکدیگر نیستند و در عین حال با توان های یکسان مواجه می شویم. آنها به این شکل هستند: $a^(f(x))=b^(f(x))$، که در آن $a$ و $b$ اعداد مثبت هستند.

مثلا:

$7^(x)=11^(x)$
$5^(x+2)=3^(x+2)$
$15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)$

چنین معادلاتی را می توان به راحتی با تقسیم بر هر یک از اضلاع معادله حل کرد (معمولاً تقسیم بر سمت راست، یعنی بر $b^(f(x))$ می توانید به این ترتیب تقسیم کنید زیرا یک عدد مثبت است. به هر توانی مثبت است (یعنی بر صفر تقسیم نمی کنیم) دریافت می کنیم:

$\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))$ $=1$

مثال . حل معادله نمایی $5^(x+7)=3^(x+7)$
راه حل:

$5^(x+7)=3^(x+7)$		در اینجا ما نمی‌توانیم یک پنج را به سه یا برعکس (حداقل بدون استفاده از) تبدیل کنیم. این بدان معناست که ما نمی توانیم به شکل $a^(f(x))=a^(g(x))$ برسیم. با این حال، شاخص ها یکسان است. بیایید معادله را به سمت راست تقسیم کنیم، یعنی بر $3^(x+7)$ (می توانیم این کار را انجام دهیم زیرا می دانیم که سه به هیچ درجه ای صفر نخواهد بود).
$\frac(5^(x+7))(3^(x+7))$ $=$$\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )$		حالا ویژگی $(\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)$ را به خاطر بسپارید و از سمت چپ در جهت مخالف استفاده کنید. در سمت راست، ما به سادگی کسر را کاهش می دهیم.
$(\frac(5)(3))^(x+7)$ $=1$		به نظر می رسد که اوضاع بهتر نشده است. اما یک ویژگی دیگر از توان را به خاطر بسپارید: $a^0=1$، به عبارت دیگر: "هر عددی به توان صفر برابر است با $1$." عکس آن نیز صادق است: "یک را می توان به عنوان هر عددی به توان صفر نشان داد." بیایید با درست کردن پایه سمت راست مانند سمت چپ از این مزیت استفاده کنیم.
$(\frac(5)(3))^(x+7)$ $=$ $(\frac(5)(3))^0$		وویلا! بیایید از شر پایه ها خلاص شویم.
		ما در حال نوشتن پاسخ هستیم.

پاسخ : $-7$.

گاهی اوقات «یکسانی» شارح ها آشکار نیست، اما استفاده ماهرانه از ویژگی های شارح این مشکل را حل می کند.

مثال . حل معادله نمایی $7^(2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$
راه حل:

$7^(2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		معادله بسیار غم انگیز به نظر می رسد... نه تنها نمی توان پایه ها را به یک عدد کاهش داد (هفت به هیچ وجه برابر با $\frac(1)(3)$ نخواهد بود)، بلکه توان ها نیز متفاوت هستند. .. با این حال، بیایید از نمایی چپ استفاده کنیم.
$7^(2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		با به خاطر سپردن ویژگی $(a^b)^c=a^(b·c)$ از سمت چپ تبدیل می کنیم: $7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)$.
$49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		حالا با به خاطر سپردن خاصیت درجه منفی $a^(-n)=\frac(1)(a)^n$، از سمت راست تبدیل می کنیم: $(\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)$
$49^(x-2)=3^(x-2)$		سپاس خداوند را! شاخص ها یکی هستند! طبق طرحی که قبلاً برای ما آشناست عمل می کنیم ، قبل از پاسخ حل می کنیم.

پاسخ : $2$.

این درس برای کسانی است که تازه شروع به یادگیری معادلات نمایی کرده اند. مثل همیشه، بیایید با تعریف و مثال های ساده شروع کنیم.

اگر در حال خواندن این درس هستید، پس من گمان می کنم که حداقل درک حداقلی از ساده ترین معادلات - خطی و درجه دوم دارید: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ و غیره. توانایی حل چنین سازه هایی برای اینکه در موضوعی که اکنون مورد بحث قرار خواهد گرفت "گیر نمانید" کاملاً ضروری است.

بنابراین، معادلات نمایی. اجازه بدهید چند مثال برایتان بزنم:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

برخی از آنها ممکن است برای شما پیچیده تر به نظر برسند، در حالی که برخی دیگر، برعکس، بسیار ساده هستند. اما همه آنها یک چیز مشترک دارند علامت مهم: نماد آنها حاوی تابع نمایی $f\left(x \right)=((a)^(x))$ است. بنابراین، اجازه دهید تعریف را معرفی کنیم:

معادله نمایی هر معادله ای است که دارای تابع نمایی باشد. بیان فرم $((a)^(x))$. علاوه بر تابع نشان داده شده، چنین معادلاتی می تواند شامل هر ساختار جبری دیگری - چند جمله ای، ریشه، مثلثات، لگاریتم و غیره باشد.

باشه پس ما تعریف را مرتب کردیم. حال سوال این است: چگونه می توان این همه مزخرف را حل کرد؟ پاسخ هم ساده و هم پیچیده است.

بیایید با خبر خوب شروع کنیم: با توجه به تجربه من در تدریس به بسیاری از دانش آموزان، می توانم بگویم که بیشتر آنها معادلات نمایی را بسیار ساده تر از همان لگاریتم ها و حتی بیشتر از آن مثلثات می یابند.

اما خبر بدی وجود دارد: گاهی اوقات نویسندگان مسائل مربوط به انواع کتاب های درسی و امتحانات تحت تأثیر "الهام" قرار می گیرند و مغز ملتهب مواد مخدر آنها شروع به تولید چنین معادلات وحشیانه ای می کند که حل آنها نه تنها برای دانش آموزان - حتی بسیاری از معلمان - مشکل ساز می شود. در چنین مشکلاتی گیر کنید

با این حال، اجازه دهید در مورد چیزهای غم انگیز صحبت نکنیم. و برگردیم به آن سه معادله ای که در همان ابتدای داستان بیان شد. بیایید سعی کنیم هر یک از آنها را حل کنیم.

معادله اول: $((2)^(x))=4$. خوب، برای به دست آوردن عدد 4 باید عدد 2 را به چه قدرتی برسانید؟ احتمالا دومی؟ پس از همه، $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - و برابری عددی صحیح را بدست آوردیم، یعنی. در واقع $x=2$. خب، ممنون، کلاه، اما این معادله آنقدر ساده بود که حتی گربه من هم توانست آن را حل کند. :)

بیایید به معادله زیر نگاه کنیم:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

اما اینجا کمی پیچیده تر است. بسیاری از دانش آموزان می دانند که $((5)^(2))=25$ جدول ضرب است. برخی همچنین گمان می کنند که $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ اساساً تعریف قدرت های منفی است (مشابه فرمول $((a)^(-n)) = \ frac(1)(((a)^(n)))$).

در نهایت، تنها تعداد معدودی متوجه می شوند که این حقایق را می توان با هم ترکیب کرد و نتیجه زیر را به دست آورد:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

بنابراین، معادله اصلی ما به صورت زیر بازنویسی می شود:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

اما این در حال حاضر کاملا قابل حل است! در سمت چپ در معادله یک تابع نمایی وجود دارد، در سمت راست در معادله یک تابع نمایی وجود دارد، هیچ چیز دیگری به جز آنها وجود ندارد. بنابراین، می‌توانیم پایه‌ها را «دور» کنیم و شاخص‌ها را احمقانه برابر کنیم:

ما ساده ترین معادله خطی را به دست آورده ایم که هر دانش آموزی می تواند تنها در چند خط آن را حل کند. خوب، در چهار خط:

\[\شروع(تراز)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\پایان (تراز کردن)\]

اگر متوجه نشدید در چهار خط آخر چه اتفاقی می‌افتد، حتماً به موضوع بازگردید. معادلات خطی"و تکرار کن. زیرا بدون درک دقیق از این موضوع، برای شما خیلی زود است که معادلات نمایی را بپذیرید.

\[((9)^(x))=-3\]

پس چگونه می توانیم این را حل کنیم؟ فکر اول: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$، بنابراین معادله اصلی را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[((\left(((3)^(2)) \راست))^(x))=-3\]

سپس به یاد می آوریم که هنگام افزایش توان به توان، توان ها ضرب می شوند:

\[((\left(((3)^(2)) \راست))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end (align)\]

و برای چنین تصمیمی ما دو نفر را که واقعاً شایسته است دریافت خواهیم کرد. زیرا، با یک پوکمون، علامت منفی را در جلوی سه به توان این سه فرستادیم. اما شما نمی توانید این کار را انجام دهید. و به همین دلیل. به قدرت های مختلف سه نگاهی بیندازید:

\[\begin(ماتریس) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(ماتریس)\]

هنگام جمع آوری این لوح، من هیچ چیز را منحرف نکردم: به قدرت های مثبت و منفی و حتی کسری نگاه کردم ... خوب، حداقل یک عدد منفی اینجا کجاست؟ او رفته است! و نمی تواند باشد، زیرا تابع نمایی $y=((a)^(x))$، اولا، همیشه فقط می گیرد ارزش های مثبت(هرچقدر هم که یک را ضرب کنید یا بر دو تقسیم کنید باز هم یک عدد مثبت خواهد بود) و ثانیاً پایه چنین تابعی - عدد $a$ - طبق تعریف یک عدد مثبت است!

خوب، پس چگونه معادله $((9)^(x))=-3$ را حل کنیم؟ اما به هیچ وجه: هیچ ریشه ای وجود ندارد. و از این نظر، معادلات نمایی بسیار شبیه معادلات درجه دوم هستند - همچنین ممکن است هیچ ریشه ای وجود نداشته باشد. اما اگر در معادلات درجه دوم تعداد ریشه ها توسط ممیز تعیین شود (ممیز مثبت - 2 ریشه ، منفی - بدون ریشه) ، در معادلات نمایی همه چیز به آنچه در سمت راست علامت مساوی است بستگی دارد.

بنابراین، اجازه دهید نتیجه کلیدی را فرموله کنیم: ساده ترین معادله نمایی به شکل $((a)^(x))=b$ ریشه دارد اگر و فقط اگر $b>0$ باشد. با دانستن این واقعیت ساده می توانید به راحتی تشخیص دهید که آیا معادله ای که به شما پیشنهاد می شود ریشه دارد یا خیر. آن ها آیا اصلاً ارزش دارد که آن را حل کنید یا بلافاصله بنویسید که هیچ ریشه ای وجود ندارد.

این دانش در مواقعی که مجبوریم مشکلات پیچیده تری را حل کنیم به ما کمک می کند. در حال حاضر، اشعار کافی است - زمان مطالعه الگوریتم اصلی برای حل معادلات نمایی است.

چگونه معادلات نمایی را حل کنیم

بنابراین، اجازه دهید مشکل را فرموله کنیم. حل معادله نمایی ضروری است:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

با توجه به الگوریتم "ساده لوح" که قبلا استفاده کردیم، لازم است عدد $b$ را به عنوان توان عدد $a$ نشان دهیم:

علاوه بر این، اگر به جای متغیر $x$ هر عبارتی وجود داشته باشد، معادله جدیدی دریافت خواهیم کرد که از قبل قابل حل است. مثلا:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\پیکان راست ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\پیکان راست ((5)^(2x))=((5)^(3))\راست فلش 2x=3\ فلش راست x=\frac(3)( 2). \\\پایان (تراز کردن)\]

و به اندازه کافی عجیب، این طرح در حدود 90٪ موارد کار می کند. پس در مورد 10٪ باقی مانده چطور؟ 10٪ باقیمانده معادلات نمایی کمی "اسکیزوفرنیک" هستند به شکل:

\[((2)^(x))=3;\چهار ((5)^(x))=15;\چهار ((4)^(2x))=11\]

خوب، برای به دست آوردن 3، به چه قدرتی نیاز دارید تا 2 را افزایش دهید؟ اولین؟ اما خیر: $((2)^(1))=2$ کافی نیست. دومین؟ نه: $((2)^(2))=4$ خیلی زیاد است. اونوقت کدوم؟

دانش آموزان آگاه احتمالاً قبلاً حدس زده اند: در چنین مواردی، هنگامی که نمی توان آن را "به زیبایی" حل کرد، "توپخانه سنگین" - لگاریتم - وارد بازی می شود. اجازه دهید یادآوری کنم که با استفاده از لگاریتم، هر عدد مثبت را می توان به عنوان توان هر عدد دیگری نشان داد عدد مثبت(به جز یکی):

این فرمول را به خاطر دارید؟ وقتی به دانش‌آموزانم در مورد لگاریتم می‌گویم، همیشه هشدار می‌دهم: این فرمول (که هویت اصلی لگاریتمی یا اگر دوست داشته باشید، تعریف لگاریتم است) برای مدت طولانی شما را آزار می‌دهد و در بیشتر موارد «پاپ می‌شود». مکان های غیر منتظره خوب، او ظاهر شد. بیایید به معادله و این فرمول نگاه کنیم:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end (تراز کردن) \]

اگر فرض کنیم که $a=3$ عدد اصلی ما در سمت راست است، و $b=2$ همان پایه تابع نمایی است که می‌خواهیم سمت راست را به آن کاهش دهیم، به شکل زیر می‌گیریم:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^((\log )_(2))3 ))) \\& ((2)^(x))=3\پیکان راست ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\ فلش راست x=( (\log )_(2))3. \\\پایان (تراز کردن)\]

ما یک پاسخ کمی عجیب دریافت کردیم: $x=((\log )_(2))3$. در یک کار دیگر، بسیاری با چنین پاسخی شک می‌کنند و شروع به بررسی مجدد راه‌حل خود می‌کنند: اگر خطایی در جایی رخ می‌داد چه می‌شد؟ من عجله دارم که شما را خوشحال کنم: در اینجا هیچ خطایی وجود ندارد و لگاریتم در ریشه معادلات نمایی یک وضعیت کاملاً معمولی است. بنابراین بهش عادت کن. :)

حال بیایید دو معادله باقیمانده را با قیاس حل کنیم:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\پیکان راست ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\پیکان راست 2x=( (\log )_(4))11\فلش راست x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\پایان (تراز کردن)\]

همین! به هر حال، پاسخ آخر را می توان متفاوت نوشت:

ما یک ضریب به آرگومان لگاریتم معرفی کردیم. اما هیچ کس ما را از اضافه کردن این فاکتور به پایه باز نمی دارد:

علاوه بر این، هر سه گزینه صحیح هستند - ساده است اشکال مختلفسوابق به همین تعداد اینکه کدام یک را انتخاب کنید و در این راه حل بنویسید به شما بستگی دارد که تصمیم بگیرید.

بنابراین، ما یاد گرفته‌ایم که معادلات نمایی به شکل $((a)^(x))=b$ را حل کنیم، جایی که اعداد $a$ و $b$ کاملا مثبت هستند. با این حال واقعیت تلخدنیای ما طوری است که چنین است کارهای سادهخیلی خیلی به ندرت ملاقات خواهید کرد. اغلب اوقات با چیزی شبیه به این روبرو می شوید:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\پایان (تراز کردن)\]

پس چگونه می توانیم این را حل کنیم؟ اصلا میشه اینو حل کرد؟ و اگر چنین است، چگونه؟

وحشت نکنید. همه این معادلات به سرعت و به راحتی به فرمول های ساده ای که قبلاً در نظر گرفته ایم کاهش می یابد. فقط باید چند ترفند از درس جبر را به خاطر بسپارید. و البته هیچ قانونی برای کار با مدرک وجود ندارد. الان همه اینا رو بهت میگم :)

تبدیل معادلات نمایی

اولین چیزی که باید به خاطر بسپارید: هر معادله نمایی، مهم نیست چقدر پیچیده باشد، باید به یک روش به ساده ترین معادلات تقلیل داد - معادلاتی که قبلاً در نظر گرفته ایم و می دانیم چگونه حل کنیم. به عبارت دیگر، طرح حل هر معادله نمایی به صورت زیر است:

معادله اصلی را بنویسید. به عنوان مثال: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
یه کار عجیب و غریب انجام بده یا حتی برخی از مزخرفات به نام "تبدیل یک معادله";
در خروجی، ساده ترین عبارات فرم $((4)^(x))=4$ یا چیزی شبیه به آن را دریافت کنید. علاوه بر این، یک معادله اولیه می تواند چندین عبارت از این قبیل را در یک زمان ارائه دهد.

با اولین نکته همه چیز مشخص است - حتی گربه من می تواند معادله را روی یک تکه کاغذ بنویسد. نکته سوم نیز کم و بیش روشن به نظر می رسد - ما قبلاً یک دسته کامل از این معادلات را در بالا حل کرده ایم.

اما نکته دوم چطور؟ چه نوع تحولاتی؟ چه چیزی را به چه چیزی تبدیل کنید؟ و چطور؟

خب بیایید بفهمیم قبل از هر چیز به موارد زیر اشاره می کنم. تمام معادلات نمایی به دو نوع تقسیم می شوند:

معادله از توابع نمایی با پایه یکسان تشکیل شده است. مثال: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
فرمول شامل توابع نماییبا دلایل مختلف مثال‌ها: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ و $((100)^(x-1) )\cdot ((2،7)^(1-x))=0.09$.

بیایید با معادلات نوع اول شروع کنیم - آنها ساده ترین حل هستند. و در حل آنها از تکنیکی مانند برجسته کردن عبارات پایدار کمک خواهیم کرد.

جداسازی یک بیان پایدار

بیایید دوباره به این معادله نگاه کنیم:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

ما چه می بینیم؟ این چهار به درجات مختلف ارتقا یافته اند. اما تمام این توان ها حاصل جمع ساده متغیر $x$ با اعداد دیگر هستند. بنابراین، لازم است قوانین کار با مدرک را به خاطر بسپارید:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac((((a)^(x)))((a )^(y))). \\\پایان (تراز کردن)\]

به بیان ساده، جمع را می توان به حاصل ضرب توان ها تبدیل کرد و تفریق را می توان به راحتی به تقسیم تبدیل کرد. بیایید سعی کنیم این فرمول ها را به درجات معادله خود اعمال کنیم:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\پایان (تراز کردن)\]

بیایید با در نظر گرفتن این واقعیت، معادله اصلی را بازنویسی کنیم و سپس تمام عبارات سمت چپ را جمع آوری کنیم:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -یازده \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\پایان (تراز کردن)\]

چهار عبارت اول حاوی عنصر $((4)^(x))$ هستند - بیایید آن را از براکت خارج کنیم:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \راست)=-11. \\\پایان (تراز کردن)\]

باقی مانده است که هر دو طرف معادله را بر کسری $-\frac(11)(4)$ تقسیم کنیم، یعنی. اساساً در کسر معکوس ضرب کنید - $-\frac(4)(11)$. ما گرفتیم:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\پایان (تراز کردن)\]

همین! معادله اصلی را به ساده ترین شکل آن تقلیل داده ایم و پاسخ نهایی را به دست آورده ایم.

در همان زمان، در فرآیند حل ما فاکتور مشترک $((4)^(x))$ را کشف کردیم (و حتی آن را از براکت خارج کردیم) - این یک عبارت پایدار است. می توان آن را به عنوان یک متغیر جدید تعیین کرد یا به سادگی می توانید آن را با دقت بیان کنید و پاسخ را دریافت کنید. در هر صورت، اصل کلیدی راه حل به شرح زیر است:

در معادله اصلی یک عبارت پایدار حاوی متغیری پیدا کنید که به راحتی از همه توابع نمایی متمایز شود.

خبر خوب این است که تقریباً هر معادله نمایی به شما امکان می دهد چنین عبارت پایداری را جدا کنید.

اما خبر بد این است که این عبارات می توانند بسیار مشکل باشند و شناسایی آنها بسیار دشوار است. پس بیایید یک مشکل دیگر را بررسی کنیم:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

شاید کسی اکنون این سؤال را داشته باشد: «پاشا، سنگسار شدی؟ در اینجا پایه های مختلفی وجود دارد - 5 و 0.2. اما بیایید سعی کنیم پاور را به پایه 0.2 تبدیل کنیم. برای مثال، بیایید با کاهش کسر اعشاری به یک عدد معمولی، از شر آن خلاص شویم:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \راست)))=((\left(\frac(2)(10 ) \راست))^(-\چپ(x+1 \راست)))=((\چپ(\frac(1)(5) \راست))^(-\چپ(x+1 \راست)) )\]

همانطور که می بینید، عدد 5 هنوز ظاهر می شود، البته در مخرج. در همان زمان اندیکاتور به صورت منفی بازنویسی شد. و حالا یکی از آنها را به یاد بیاوریم مهمترین قوانینکار با مدرک:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\راست فلش ((\left(\frac(1)(5) \راست))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

اینجا البته کمی دروغ می گفتم. زیرا برای درک کامل، فرمول خلاصی از شاخص های منفی باید به این صورت نوشته می شد:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \راست))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ راست))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

از سوی دیگر، هیچ چیز ما را از کار با کسرها منع نمی کرد:

\[((\left(\frac(1)(5) \راست))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ راست))^(-\چپ(x+1 \راست)))=((5)^(\چپ(-1 \راست)\cdot \چپ(-\چپ(x+1 \راست) \راست) ))=((5)^(x+1))\]

اما در این مورد، شما باید بتوانید یک توان را به توان دیگری برسانید (به شما یادآوری می کنم: در این حالت، شاخص ها با هم جمع می شوند). اما من مجبور نبودم کسرها را "معکوس" کنم - شاید این برای برخی آسان تر باشد. :)

در هر صورت، معادله نمایی اصلی به صورت زیر بازنویسی می شود:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\پایان (تراز کردن)\]

بنابراین معلوم می شود که معادله اصلی را می توان حتی ساده تر از آنچه قبلاً در نظر گرفته شد حل کرد: در اینجا شما حتی نیازی به انتخاب یک عبارت پایدار ندارید - همه چیز به خودی خود کاهش یافته است. فقط باید به یاد داشته باشیم که $1=((5)^(0))$، که از آن دریافت می کنیم:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\پایان (تراز کردن)\]

راه حل همینه! ما پاسخ نهایی را دریافت کردیم: $x=-2$. در عین حال، من می خواهم به یک تکنیک توجه کنم که تمام محاسبات را برای ما بسیار ساده کرد:

در معادلات نمایی حتما خلاص شوید اعداد اعشاری، آنها را به معمولی تبدیل کنید. این به شما امکان می دهد پایه های یکسانی را ببینید و راه حل را تا حد زیادی ساده کنید.

اجازه دهید اکنون به معادلات پیچیده تری برویم که در آنها پایه های مختلفی وجود دارد که به هیچ وجه با استفاده از توان ها نمی توان آنها را به یکدیگر تقلیل داد.

استفاده از ویژگی Degrees

اجازه دهید به شما یادآوری کنم که ما دو معادله سخت تر داریم:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\پایان (تراز کردن)\]

مشکل اصلی اینجاست که معلوم نیست چه چیزی و بر چه اساسی باید داد. عبارات پایدار کجا هستند؟ همین زمینه ها کجاست؟ هیچ کدام از اینها وجود ندارد.

اما بیایید سعی کنیم راه دیگری را طی کنیم. اگر پایه های مشابه آماده ای وجود نداشت، می توانید با فاکتورگیری از پایه های موجود، آنها را بیابید.

بیایید با معادله اول شروع کنیم:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\پیکان راست ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \راست))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\پایان (تراز کردن)\]

اما می توانید برعکس انجام دهید - عدد 21 را از اعداد 7 و 3 بسازید. انجام این کار به خصوص در سمت چپ آسان است، زیرا شاخص های هر دو درجه یکسان است:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\پایان (تراز کردن)\]

همین! شما توان را خارج از حاصلضرب گرفتید و بلافاصله معادله زیبایی به دست آوردید که در چند خط قابل حل است.

حال بیایید به معادله دوم نگاه کنیم. همه چیز در اینجا بسیار پیچیده تر است:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \راست))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

در این مورد، کسرها غیر قابل کاهش هستند، اما اگر چیزی قابل کاهش است، حتما آن را کاهش دهید. اغلب، دلایل جالبی ظاهر می شود که می توانید با آنها کار کنید.

متاسفانه چیز خاصی برای ما ظاهر نشد. اما می بینیم که توان های سمت چپ در حاصلضرب مخالف هستند:

اجازه دهید یادآوری کنم: برای خلاص شدن از شر علامت منفی در نشانگر، فقط باید کسری را "برگردانید". خوب، بیایید معادله اصلی را بازنویسی کنیم:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \راست))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\پایان (تراز کردن)\]

در خط دوم ما به سادگی انجام شد شاخص کلیاز محصول خارج از پرانتز طبق قانون $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x)) $، و در دومی به سادگی عدد 100 را در کسری ضرب کنید.

حالا توجه داشته باشید که اعداد سمت چپ (در پایه) و سمت راست تا حدودی شبیه هم هستند. چگونه؟ بله، واضح است: آنها قدرت های یکسانی هستند! ما داریم:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \راست))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \راست))^(2)). \\\پایان (تراز کردن)\]

بنابراین، معادله ما به صورت زیر بازنویسی می شود:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \راست))^(3)) \راست))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10)\راست))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \راست))^(3)) \راست))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \راست))^(3\چپ(x-1 \راست)))=((\left(\frac(10)(3) \راست))^(3x-3))\]

در این حالت ، در سمت راست نیز می توانید مدرکی با همان پایه دریافت کنید ، که برای آن کافی است به سادگی کسری را "برگردانید".

\[((\left(\frac(3)(10) \راست))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \راست))^(-2))\]

معادله ما در نهایت به شکل زیر در می آید:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \راست)) ^(-2))؛ \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\پایان (تراز کردن)\]

راه حل همین است. ایده اصلی آن به این واقعیت خلاصه می شود که حتی با پایه های مختلف x ما سعی می کنیم، با قلاب یا کلاهبردار، این پایه ها را به یک چیز کاهش دهیم. دگرگونی های اولیه معادلات و قوانین کار با قدرت ها به ما در این امر کمک می کند.

اما چه قوانینی و چه زمانی استفاده کنیم؟ چگونه متوجه می شوید که در یک معادله باید هر دو طرف را بر چیزی تقسیم کنید و در معادله دیگر باید پایه تابع نمایی را فاکتور بگیرید؟

پاسخ این سوال با تجربه خواهد آمد. ابتدا دست خود را امتحان کنید معادلات سادهو سپس به تدریج کارها را پیچیده کنید - و خیلی زود مهارت های شما برای حل هر معادله نمایی از همان آزمون دولتی واحد یا هر کار مستقل/آزمایشی کافی خواهد بود.

و برای کمک به شما در این امر دشوار، پیشنهاد می کنم مجموعه ای از معادلات را دانلود کنید تصمیم مستقل. همه معادلات پاسخ دارند، بنابراین شما همیشه می توانید خود را آزمایش کنید.

در مرحله آماده سازی برای آزمون نهایی، دانش آموزان دبیرستانی باید دانش خود را در مورد این موضوع افزایش دهند. معادلات نمایی" تجربه سال های گذشته نشان می دهد که چنین وظایفی برای دانش آموزان مشکلات خاصی ایجاد می کند. بنابراین، دانش آموزان دبیرستانی، صرف نظر از سطح آمادگی خود، نیاز به تسلط کامل بر نظریه، به خاطر سپردن فرمول ها و درک اصل حل چنین معادلاتی دارند. فارغ التحصیلان با آموختن کنار آمدن با این نوع مشکلات می توانند در هنگام قبولی در آزمون دولتی واحد ریاضی روی نمرات بالایی حساب کنند.

برای تست امتحان با Shkolkovo آماده شوید!

بسیاری از دانش آموزان هنگام مرور مطالبی که پوشش داده اند با مشکل یافتن فرمول های مورد نیاز برای حل معادلات مواجه می شوند. کتاب درسی مدرسه همیشه در دسترس نیست و انتخاب اطلاعات لازم در مورد یک موضوع در اینترنت زمان زیادی می برد.

پورتال آموزشی Shkolkovo از دانش آموزان دعوت می کند تا از پایگاه دانش ما استفاده کنند. ما به طور کامل اجرا می کنیم روش جدیدآمادگی برای آزمون نهایی با مطالعه در وب سایت ما، می توانید شکاف های دانش را شناسایی کنید و به کارهایی که بیشترین مشکل را ایجاد می کنند توجه کنید.

معلمان Shkolkovo همه چیزهایی را که برای موفقیت لازم است جمع آوری، سیستماتیک و ارائه کرده اند قبولی در آزمون دولتی یکپارچهمواد در ساده ترین و در دسترس ترین شکل.

تعاریف و فرمول های اساسی در بخش "پیشینه نظری" ارائه شده است.

برای درک بهتر مطالب، توصیه می کنیم تکمیل تکالیف را تمرین کنید. مثال های معادلات نمایی با راه حل های ارائه شده در این صفحه را با دقت مرور کنید تا الگوریتم محاسبه را درک کنید. پس از آن، به انجام وظایف در بخش "دایرکتوری ها" ادامه دهید. می توانید با ساده ترین کارها شروع کنید یا مستقیماً به حل معادلات نمایی پیچیده با چندین مجهول یا . پایگاه داده تمرینات در وب سایت ما به طور مداوم تکمیل و به روز می شود.

نمونه هایی با شاخص هایی که برای شما مشکل ایجاد کرده اند را می توان به "موارد دلخواه" اضافه کرد. به این ترتیب می توانید به سرعت آنها را پیدا کنید و راه حل را با معلم خود در میان بگذارید.

برای گذراندن موفقیت آمیز آزمون دولتی واحد، هر روز در پورتال Shkolkovo مطالعه کنید!

سطح اول

معادلات نمایی راهنمای جامع (2019)

سلام! امروز با شما بحث خواهیم کرد که چگونه معادلاتی را حل کنیم که می توانند ابتدایی باشند (و امیدوارم پس از خواندن این مقاله تقریباً همه آنها برای شما چنین باشد) و آنهایی که معمولاً "برای پر کردن" داده می شوند. ظاهرا بالاخره خوابش برد. اما من سعی می کنم هر کاری که ممکن است انجام دهم تا در مواجهه با این نوع معادلات دچار مشکل نشوید. من دیگر در اطراف بوته نمی زنم، اما فوراً راز کوچکی را به شما می گویم: امروز ما مطالعه خواهیم کرد معادلات نمایی

قبل از اینکه به تجزیه و تحلیل راه‌های حل آنها بپردازیم، فوراً طیفی از سؤالات (بسیار کوچک) را برای شما شرح خواهم داد که باید قبل از عجله برای حمله به این موضوع تکرار کنید. بنابراین، برای به دست آوردن بهترین نتیجه، لطفا، تکرار:

خواص و
حل و معادلات

تکرار شد؟ حیرت آور! در این صورت تشخیص اینکه ریشه معادله یک عدد است برای شما دشوار نخواهد بود. میفهمی دقیقا چطوری اینکارو کردم؟ آیا حقیقت دارد؟ سپس ادامه دهیم. حالا به سوال من پاسخ دهید که برابر با توان سوم چیست؟ کاملا حق با شما است: . چه توانی از دو برابر با هشت است؟ درست است - سومی! زیرا. خب حالا بیایید مشکل زیر را حل کنیم: بگذارید عدد را یک بار در خودش ضرب کنم و به نتیجه برسم. سوال این است که من چند بار در خودم ضرب کردم؟ البته می توانید این را مستقیماً بررسی کنید:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( تراز کردن)

سپس می توانید نتیجه بگیرید که من در خودم ضرب کردم. چگونه می توانید این را بررسی کنید؟ به این صورت است: مستقیماً با تعریف مدرک: . اما، باید اعتراف کنید، اگر بپرسم چند برابر دو باید در خودش ضرب شود تا مثلاً به دست آید، به من می‌گویید: تا زمانی که صورتم آبی نشود، خودم را گول نمی‌زنم و به تنهایی ضرب نمی‌کنم. و او کاملاً درست خواهد بود. زیرا چگونه می توانید تمام مراحل را به طور خلاصه بنویسید(و ایجاز خواهر استعداد است)

کجا - اینها همان ها هستند "بار"، وقتی در خودش ضرب می کنید.

من فکر می کنم که شما می دانید (و اگر نمی دانید، فوری، بسیار فوری درجه ها را تکرار کنید!) که مشکل من به این شکل نوشته می شود:

چگونه می توان به طور منطقی نتیجه گرفت که:

بنابراین، بدون توجه، ساده ترین را یادداشت کردم معادله نمایی:

و من حتی او را پیدا کردم ریشه. آیا فکر نمی کنید که همه چیز کاملاً پیش پا افتاده است؟ منم دقیقا همین فکرو میکنم در اینجا یک مثال دیگر برای شما آورده شده است:

اما چه باید کرد؟ از این گذشته ، نمی توان آن را به عنوان توان یک عدد (معقول) نوشت. بیایید ناامید نشویم و توجه داشته باشیم که هر دوی این اعداد کاملاً از طریق توان یک عدد بیان می شوند. کدام یک؟ درست: . سپس معادله اصلی به شکل زیر تبدیل می شود:

جایی که، همانطور که قبلاً فهمیدید، . بیش از این معطل نکنیم و بنویسیم تعریف:

در مورد ما: .

این معادلات با تقلیل آنها به شکل زیر حل می شوند:

به دنبال حل معادله

در واقع، در مثال قبلی دقیقاً این کار را انجام دادیم: موارد زیر را دریافت کردیم: و ما ساده ترین معادله را حل کردیم.

به نظر هیچ چیز پیچیده ای نیست، درست است؟ بیایید ابتدا ساده ترین ها را تمرین کنیم مثال ها:

دوباره می بینیم که سمت راست و چپ معادله باید به عنوان توان های یک عدد نشان داده شوند. درست است، در سمت چپ این کار قبلا انجام شده است، اما در سمت راست یک عدد وجود دارد. اما اشکالی ندارد، زیرا معادله من به طور معجزه آسایی به این تبدیل می شود:

اینجا باید از چی استفاده کنم؟ چه قانونی؟ قانون "درجات تحصیلی در درجات"که میخواند:

چه می شود اگر:

قبل از پاسخ به این سوال، بیایید جدول زیر را پر کنیم:

برای ما آسان است که متوجه شویم هر چه کمتر، ارزش کمتر، اما با این وجود، همه این مقادیر بزرگتر از صفر هستند. و همیشه همینطور خواهد بود!!! همین ویژگی برای هر مبنایی با هر شاخصی صادق است!! (برای هر و). سپس در مورد معادله چه نتیجه ای می توانیم بگیریم؟ در اینجا چیست: آن است ریشه ندارد! درست مثل هر معادله ای که ریشه ندارد. حالا بیایید تمرین کنیم و بیایید مثال های ساده را حل کنیم:

بیایید بررسی کنیم:

1. در اینجا چیزی جز آگاهی از خواص درجات از شما خواسته نخواهد شد (که اتفاقاً از شما خواستم تکرار کنید!) قاعدتاً همه چیز به کوچکترین پایه منتهی می شود: , . سپس معادله اصلی معادل زیر خواهد بود: تنها چیزی که نیاز دارم این است که از خواص توان ها استفاده کنم: هنگام ضرب اعداد با پایه های یکسان، توان ها جمع می شوند و در هنگام تقسیم، آنها کم می شوند.سپس دریافت خواهم کرد: خوب، اکنون با وجدان راحت از معادله نمایی به معادله خطی حرکت می کنم: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\پایان (تراز کردن)

2. در مثال دوم، ما باید بیشتر مراقب باشیم: مشکل اینجاست که در سمت چپ ما نمی‌توانیم همان عدد را به عنوان یک توان نشان دهیم. در این مورد گاهی اوقات مفید است اعداد را به عنوان حاصل ضرب توان ها با پایه های مختلف، اما توان های یکسان نشان می دهد:

سمت چپ معادله به صورت زیر خواهد بود: این چه چیزی به ما داد؟ این چیزی است که: اعداد با پایه های مختلف اما توان های یکسان را می توان ضرب کرد.در این مورد، پایه ها ضرب می شوند، اما نشانگر تغییر نمی کند:

در شرایط من این به شما خواهد داد:

\شروع (تراز کردن)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400،\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400،\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4)، \\
& ((1600)^(x))=1600، \\
&x=1. \\
\پایان (تراز کردن)

بد نیست، درست است؟

3. وقتی بیهوده دو عبارت در یک طرف معادله داشته باشم و هیچ یک در طرف دیگر را دوست ندارم (البته گاهی اوقات این موجه است، اما اکنون چنین نیست). عبارت منهای را به سمت راست منتقل می کنم:

اکنون، مانند قبل، همه چیز را بر حسب قدرت های سه می نویسم:

من درجات سمت چپ را جمع می کنم و معادله ای معادل می گیریم

شما به راحتی می توانید ریشه آن را پیدا کنید:

4. مانند مثال سه، عبارت منهای در سمت راست جایی دارد!

در سمت چپ من تقریباً همه چیز خوب است، به جز چه چیزی؟ بله، "درجه اشتباه" این دو مرا آزار می دهد. اما من به راحتی می توانم این را با نوشتن: . اورکا - در سمت چپ همه پایه ها متفاوت هستند، اما همه درجات یکسان هستند! بیایید فوراً ضرب کنیم!

اینجا دوباره همه چیز مشخص است: (اگر متوجه نشدید که چگونه با جادویی به آخرین برابری رسیدم، یک دقیقه استراحت کنید، یک نفس بکشید و دوباره خصوصیات مدرک را با دقت بخوانید. کی گفته که می توانید یک را رد کنید. درجه با توان منفی؟ حالا می گیرم:

\شروع (تراز کردن)
& ((2)^(4\چپ((x) -9 \راست)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\پایان (تراز کردن)

در اینجا چند مشکل برای شما برای تمرین وجود دارد که من فقط به آنها پاسخ خواهم داد (اما به صورت "مخلوط"). آنها را حل کنید، آنها را بررسی کنید، و من و شما به تحقیقات خود ادامه می دهیم!

آماده؟ پاسخ هامثل اینها:

هر عددی

باشه، باشه، شوخی کردم! در اینجا چند طرح از راه حل ها (بعضی بسیار مختصر!)

آیا فکر نمی کنید تصادفی نیست که یک کسری در سمت چپ، دیگری "معکوس" است؟ سوء استفاده نکردن از این امر گناه است:

این قانون اغلب هنگام حل معادلات نمایی استفاده می شود، آن را خوب به خاطر بسپارید!

سپس معادله اصلی به این صورت می شود:

پس از تصمیم گیری در این مورد معادله درجه دوم، شما این ریشه ها را دریافت خواهید کرد:

2. راه حل دیگر: تقسیم دو طرف معادله بر عبارت سمت چپ (یا راست). تقسیم بر آنچه در سمت راست است، سپس دریافت می کنم:

کجا (چرا؟!)

3. من حتی نمی خواهم خودم را تکرار کنم، همه چیز قبلاً بسیار "جویده" شده است.

4. معادل یک معادله درجه دوم، ریشه

5. باید از فرمول داده شده در مسئله اول استفاده کنید، سپس به این نتیجه خواهید رسید:

معادله به یک هویت پیش پا افتاده تبدیل شده است که برای هر کسی صادق است. سپس پاسخ هر عدد واقعی است.

خوب، حالا شما حل کردن را تمرین کرده اید معادلات نمایی سادهاکنون می‌خواهم چند مثال از زندگی را برای شما بیان کنم که به شما کمک می‌کند بفهمید چرا اصولاً به آنها نیاز دارید. در اینجا دو مثال می زنم. یکی از آنها کاملاً روزمره است، اما دیگری به احتمال زیاد به جای علاقه عملی، علمی است.

مثال 1 (تجاری)اجازه دهید روبل داشته باشید، اما می خواهید آن را به روبل تبدیل کنید. بانک به شما پیشنهاد می دهد که این پول را با نرخ سالانه با سرمایه ماهانه سود (اقلام تعهدی ماهانه) از شما دریافت کنید. سوال این است که برای رسیدن به مبلغ نهایی لازم برای چند ماه باید سپرده باز کرد؟ یک کار کاملا پیش پا افتاده، اینطور نیست؟ با این وجود، راه حل آن با ساخت معادله نمایی مربوطه مرتبط است: اجازه دهید - مقدار اولیه، - مقدار نهایی، - نرخ بهره برای دوره، - تعداد دوره ها. سپس:

در مورد ما (اگر نرخ سالانه باشد، در هر ماه محاسبه می شود). چرا تقسیم شده است؟ اگر پاسخ این سوال را نمی دانید، موضوع "" را به خاطر بسپارید! سپس این معادله را بدست می آوریم:

این معادله نمایی را فقط می توان با استفاده از یک ماشین حساب حل کرد ظاهربه این نکته اشاره می کند و این نیاز به دانش لگاریتم دارد که کمی بعد با آن آشنا می شویم که این کار را انجام خواهم داد: ... بنابراین برای دریافت یک میلیون باید یک ماه سپرده گذاری کنیم ( نه خیلی سریع، درست است؟).

مثال 2 (بیشتر علمی).با وجود "انزوا" خاص او، توصیه می کنم به او توجه کنید: او مرتباً "در آزمون یکپارچه دولتی می لغزد!! (مشکل از نسخه "واقعی" گرفته شده است) در طول واپاشی ایزوتوپ رادیواکتیو، جرم آن طبق قانون کاهش می یابد، جایی که (mg) جرم اولیه ایزوتوپ است، (min.) زمان سپری شده از ایزوتوپ است. لحظه اولیه، (دقیقه) نیمه عمر است. در لحظه اولیه زمان، جرم ایزوتوپ میلی گرم است. نیمه عمر آن حداقل است. جرم ایزوتوپ بعد از چند دقیقه برابر میلی گرم خواهد بود؟ اشکالی ندارد: ما فقط تمام داده ها را می گیریم و در فرمولی که به ما پیشنهاد می شود جایگزین می کنیم:

بیایید هر دو قسمت را بر اساس تقسیم کنیم، "به امید" که در سمت چپ چیزی قابل هضم بدست آوریم:

خب ما خیلی خوش شانسیم! در سمت چپ است، سپس به معادله معادل می رویم:

دقیقه کجاست

همانطور که می بینید، معادلات نمایی در عمل کاربرد بسیار واقعی دارند. اکنون می خواهم یک راه (ساده) دیگر را برای حل معادلات نمایی به شما نشان دهم که بر اساس خارج کردن عامل مشترک از پرانتز و سپس گروه بندی عبارت ها است. از حرف های من نترسید، شما قبلاً در کلاس هفتم وقتی چند جمله ای ها را مطالعه می کردید با این روش برخورد کردید. به عنوان مثال، اگر شما نیاز به فاکتور کردن عبارت داشتید:

بیایید گروه بندی کنیم: ترم اول و سوم و همچنین دوم و چهارم. واضح است که اول و سوم تفاوت مربع ها هستند:

و دوم و چهارم ضریب مشترک سه دارند:

سپس عبارت اصلی معادل این است:

از کجا به دست آوردن عامل مشترک دیگر دشوار نیست:

از این رو،

این تقریباً همان کاری است که ما هنگام حل معادلات نمایی انجام خواهیم داد: به دنبال "مشترک" در بین عبارت ها باشید و آن را از پرانتز خارج کنید و سپس - هر چه ممکن است، من معتقدم که ما خوش شانس خواهیم بود =)) به عنوان مثال:

سمت راست فاصله زیادی با قدرت هفت دارد (من بررسی کردم!) و در سمت چپ - کمی بهتر است، البته می توانید فاکتور a را از دومین ترم اول "قطع کنید" و سپس معامله کنید. با آنچه به دست آورده اید، اما بیایید با شما محتاط تر باشیم. من نمی‌خواهم با کسری‌هایی که هنگام «انتخاب» به‌طور اجتناب‌ناپذیر تشکیل می‌شوند، برخورد کنم، بنابراین آیا بهتر نیست آن را بیرون بیاورم؟ سپس من هیچ کسری نخواهم داشت: همانطور که می گویند، گرگ ها تغذیه می شوند و گوسفندها در امان هستند:

عبارت داخل پرانتز را محاسبه کنید. به طور جادویی، جادویی، معلوم می شود که (با کمال تعجب، اگرچه چه چیز دیگری باید انتظار داشته باشیم؟).

سپس دو طرف معادله را با این ضریب کاهش می دهیم. دریافت می کنیم:، از.

در اینجا یک مثال پیچیده تر (واقعاً کمی):

چه مشکلی! ما اینجا یک نقطه مشترک نداریم! اکنون کاملاً مشخص نیست که چه باید کرد. بیایید آنچه را که می توانیم انجام دهیم: ابتدا "چهار" را به یک طرف و "پنج" را به طرف دیگر منتقل کنیم:

حالا بیایید "عمومی" را در سمت چپ و راست بیرون بیاوریم:

حالا که چی؟ سود چنین گروه احمقی چیست؟ در نگاه اول به هیچ وجه قابل مشاهده نیست، اما بیایید عمیق تر نگاه کنیم:

خوب، اکنون مطمئن خواهیم شد که در سمت چپ فقط عبارت c را داریم و در سمت راست - هر چیز دیگری. چطور این کار را انجام دهیم؟ به این ترتیب: ابتدا هر دو طرف معادله را تقسیم بر (بنابراین از درجه سمت راست خلاص می کنیم) و سپس هر دو طرف را تقسیم بر (بنابراین خلاص می شویم ضرب عددیترک کرد). در نهایت می رسیم:

باور نکردنی! در سمت چپ یک عبارت داریم و در سمت راست یک عبارت ساده داریم. سپس بلافاصله نتیجه می گیریم که

در اینجا مثال دیگری برای تقویت شما آورده شده است:

من او را می آورم راه حل کوتاه(بدون اینکه واقعاً خودتان را با توضیحات آزار دهید)، سعی کنید تمام "ظرافت های" راه حل را خودتان درک کنید.

حال برای تجمیع نهایی مواد تحت پوشش. سعی کنید مشکلات زیر را خودتان حل کنید. من فقط می دهم توصیه های مختصرو نکاتی برای حل آنها:

بیایید فاکتور مشترک را از پرانتز خارج کنیم: کجا:
بیایید اولین عبارت را به شکل زیر ارائه کنیم: هر دو طرف را تقسیم کنید و آن را بدست آورید
، سپس معادله اصلی به شکل تبدیل می شود: خوب، اکنون یک اشاره - به دنبال جایی باشید که من و شما قبلاً این معادله را حل کرده ایم!
تصور کنید چگونه، چگونه، آه، خوب، سپس هر دو طرف را تقسیم کنید، بنابراین ساده ترین معادله نمایی را به دست می آورید.
آن را از پرانتز بیرون بیاورید.
آن را از پرانتز بیرون بیاورید.

معادلات نمایی. سطح متوسط

من فرض می کنم که پس از خواندن مقاله اول، که در مورد صحبت کرد معادلات نمایی چیست و چگونه آنها را حل کنیم، شما مسلط شدید حداقل لازمدانش لازم برای حل مثال های ساده

اکنون به روش دیگری برای حل معادلات نمایی نگاه خواهم کرد، این است

"روش معرفی یک متغیر جدید" (یا جایگزینی).او اکثر مسائل "سخت" را در مورد معادلات نمایی (و نه تنها معادلات) حل می کند. این روش یکی از پرکاربردترین روش ها در عمل است. ابتدا توصیه می کنم با موضوع آشنا شوید.

همانطور که قبلاً از نام فهمیدید، ماهیت این روش این است که چنین تغییری از متغیر را معرفی کنید که معادله نمایی شما به طور معجزه آسایی به معادله ای تبدیل شود که بتوانید به راحتی آن را حل کنید. تنها چیزی که پس از حل این "معادله ساده شده" برای شما باقی می ماند این است که یک "جایگزینی معکوس" انجام دهید: یعنی از جایگزین شده به جایگزین شده برگردید. بیایید آنچه را که گفتیم با یک مثال بسیار ساده توضیح دهیم:

مثال 1:

این معادله با استفاده از یک "جایگزینی ساده" حل می شود، همانطور که ریاضیدانان آن را تحقیر آمیز می نامند. در واقع، جایگزینی در اینجا واضح ترین است. فقط باید آن را ببیند

سپس معادله اصلی به این شکل تبدیل می شود:

اگر علاوه بر این تصور کنیم که چگونه، آنگاه کاملاً واضح است که چه چیزی باید جایگزین شود: البته، . پس چه چیزی معادله اصلی می شود؟ این چیزی است که:

به راحتی می توانید ریشه های آن را خودتان پیدا کنید: . حالا باید چه کار کنیم؟ زمان بازگشت به متغیر اصلی فرا رسیده است. چه چیزی را فراموش کردم ذکر کنم؟ یعنی: هنگام جایگزینی یک درجه خاص با یک متغیر جدید (یعنی هنگام جایگزینی یک نوع)، من علاقه مند خواهم شد فقط ریشه های مثبت!شما خودتان به راحتی می توانید پاسخ دهید چرا. بنابراین، من و شما علاقه ای نداریم، اما ریشه دوم برای ما کاملا مناسب است:

بعد از کجا

پاسخ:

همانطور که می بینید، در مثال قبلی، یک جایگزین فقط دست ما را می خواست. بدبختانه، موضوع همیشه اینطور نیست. با این حال، اجازه دهید مستقیماً به چیزهای غم انگیز نرویم، اما بیایید با یک مثال دیگر با یک جایگزین نسبتاً ساده تمرین کنیم.

مثال 2.

واضح است که به احتمال زیاد مجبور به جایگزینی خواهیم بود (این کوچکترین قدرت موجود در معادله ما است)، اما قبل از معرفی یک جایگزین، معادله ما باید برای آن "آماده" شود، یعنی: , . سپس می توانید جایگزین کنید، در نتیجه من عبارت زیر را دریافت می کنم:

اوه وحشت: یک معادله مکعبی با فرمول های کاملا وحشتناک برای حل آن (خوب، صحبت کردن در نمای کلی). اما بیایید فوراً ناامید نشویم، بلکه به این فکر کنیم که چه باید بکنیم. من تقلب را پیشنهاد می کنم: ما می دانیم که برای دریافت یک پاسخ "زیبا"، باید آن را به شکل قدرت سه دریافت کنیم (چرا اینطور باشد، نه؟). بیایید سعی کنیم حداقل یک ریشه معادله خود را حدس بزنیم (من حدس زدن را با توان های سه شروع می کنم).

حدس اول ریشه نیست. افسوس و آه...

.
سمت چپ برابر است.
قسمت راست: !
بخور! ریشه اول را حدس زد. حالا همه چیز راحت تر خواهد شد!

آیا از طرح تقسیم "گوشه" اطلاع دارید؟ البته شما این کار را می کنید، زمانی که یک عدد را بر عدد دیگری تقسیم می کنید از آن استفاده می کنید. اما تعداد کمی از مردم می دانند که همین کار را می توان با چند جمله ای انجام داد. یک قضیه شگفت انگیز وجود دارد:

با اعمال وضعیت من، این به من می گوید که بدون باقیمانده بر قابل تقسیم است. تقسیم بندی چگونه انجام می شود؟ که چگونه:

من نگاه می کنم که باید در کدام تک جمله ضرب کنم تا Clearly به دست آید، سپس:

من عبارت به دست آمده را از آن کم می کنم، دریافت می کنم:

حالا برای بدست آوردن چه چیزی باید ضرب کنم؟ واضح است که در آن زمان من دریافت خواهم کرد:

و دوباره عبارت به دست آمده را از عبارت باقی مانده کم کنید:

خوب، آخرین مرحله این است که در عبارت باقی مانده ضرب و از آن کم کنیم:

هورا، تقسیم به پایان رسید! چه چیزهایی را در خلوت جمع کرده ایم؟ به خودی خود: .

سپس بسط زیر را از چند جمله ای اصلی دریافت کردیم:

بیایید معادله دوم را حل کنیم:

این ریشه دارد:

سپس معادله اصلی:

سه ریشه دارد:

البته از آنجایی که کمتر از صفر است، ریشه آخر را کنار می گذاریم. و دو مورد اول پس از تعویض معکوس دو ریشه به ما می دهد:

پاسخ: ..

من اصلاً نمی‌خواستم شما را با این مثال بترسانم، بلکه هدفم این بود که نشان دهم اگرچه ما یک جایگزین نسبتاً ساده داشتیم، اما به هر حال منجر به معادله پیچیده، که حل آن مهارت خاصی را از ما می طلبید. خوب، هیچ کس از این مصون نیست. اما جایگزینی در این مورد کاملاً آشکار بود.

در اینجا یک مثال با جایگزینی کمی کمتر واضح آورده شده است:

اصلاً مشخص نیست که باید چه کار کنیم: مشکل این است که در معادله ما دو پایه متفاوت وجود دارد و یک پایه را نمی توان با بالا بردن آن به هیچ قدرتی (معقول، طبیعی) از دیگری به دست آورد. با این حال، چه چیزی می بینیم؟ هر دو پایه فقط از نظر علامت با هم تفاوت دارند و حاصل ضرب آنها اختلاف مربعات برابر با یک است:

تعریف:

بنابراین، اعدادی که در مثال ما پایه هستند مزدوج هستند.

در این صورت، گام هوشمندانه خواهد بود دو طرف معادله را در عدد مزدوج ضرب کنید.

به عنوان مثال، on، سپس سمت چپ معادله برابر و سمت راست می شود. اگر جایگزینی انجام دهیم، معادله اصلی ما به این صورت می شود:

پس ریشه های آن، و با یادآوری آن، متوجه می شویم.

پاسخ: ، .

به عنوان یک قاعده، روش جایگزینی برای حل اکثر معادلات نمایی "مدرسه" کافی است. وظایف زیر از آزمون یکپارچه دولتی C1 گرفته شده است ( افزایش سطحمشکلات). شما در حال حاضر به اندازه کافی سواد دارید که می توانید این مثال ها را به تنهایی حل کنید. من فقط جایگزین مورد نیاز را می دهم.

معادله را حل کنید:
ریشه های معادله را پیدا کنید:
معادله را حل کنید: . تمام ریشه های این معادله را که متعلق به بخش هستند پیدا کنید:

و اکنون چند توضیح و پاسخ مختصر:

در اینجا کافی است به این نکته توجه کنیم که ... سپس معادله اصلی معادل این خواهد بود: این معادله را می توان با جایگزین کردن محاسبات بعدی حل کرد. در پایان، وظیفه شما به حل مسائل ساده مثلثاتی (بسته به سینوس یا کسینوس) خلاصه می شود. در بخش‌های دیگر به راه‌حل‌هایی برای مثال‌های مشابه خواهیم پرداخت.
در اینجا حتی می‌توانید بدون جایگزینی انجام دهید: فقط زیرترهند را به سمت راست حرکت دهید و هر دو پایه را با قدرت دو نشان دهید و سپس مستقیماً به معادله درجه دوم بروید.
معادله سوم نیز کاملاً استاندارد حل شده است: بیایید تصور کنیم چگونه. سپس، با جایگزینی، یک معادله درجه دوم بدست می آوریم: سپس،
شما قبلاً می دانید لگاریتم چیست، درست است؟ نه؟ بعد فوری تاپیک رو بخون!

ریشه اول مشخصا متعلق به بخش نیست، اما دومی نامشخص است! اما خیلی زود متوجه خواهیم شد! از آنجا که، پس (این یک ویژگی لگاریتم است!) بیایید مقایسه کنیم:

از هر دو طرف تفریق می کنیم، سپس می گیریم:

سمت چپ را می توان به صورت زیر نشان داد:

هر دو طرف را در:

را می توان در آن ضرب کرد

سپس مقایسه کنید:

از آن به بعد:

سپس ریشه دوم به بازه مورد نیاز تعلق دارد

پاسخ:

همانطور که مشاهده می کنید، انتخاب ریشه معادلات نمایی نیازمند دانش نسبتاً عمیقی از خواص لگاریتم استبنابراین من به شما توصیه می کنم در حل معادلات نمایی تا حد امکان مراقب باشید. همانطور که می دانید، در ریاضیات همه چیز به هم مرتبط است! همانطور که معلم ریاضی من گفت: "ریاضی، مانند تاریخ، یک شبه خوانده نمی شود."

به عنوان یک قاعده، همه مشکل در حل مسائل C1 دقیقاً انتخاب ریشه های معادله است.بیایید با یک مثال دیگر تمرین کنیم:

واضح است که خود معادله کاملاً ساده حل می شود. با انجام یک جایگزین، معادله اصلی خود را به زیر کاهش می دهیم:

ابتدا بیایید به ریشه اول نگاه کنیم. بیایید مقایسه کنیم و: از آن پس. (خاصیت یک تابع لگاریتمی، در). بعد معلوم می شود که ریشه اول به فاصله ما تعلق ندارد. حالا ریشه دوم: . واضح است که (از آنجایی که تابع at در حال افزایش است). باید مقایسه کرد و...

از آن زمان، در همان زمان. به این ترتیب من می‌توانم «میخ‌زنی» بین و. این میخ یک عدد است. عبارت اول کمتر و دومی بزرگتر است. سپس عبارت دوم بزرگتر از اولی است و ریشه متعلق به فاصله است.

پاسخ: .

در نهایت، بیایید به مثال دیگری از یک معادله نگاه کنیم که در آن جایگزینی کاملاً غیر استاندارد است:

بیایید فوراً با آنچه که می توان انجام داد، و آنچه - در اصل، می توان انجام داد، شروع کنیم، اما بهتر است آن را انجام ندهیم. شما می توانید همه چیز را از طریق قدرت های سه، دو و شش تصور کنید. به کجا منتهی می شود؟ به هیچ چیز منجر نخواهد شد: درهم آمیزی از درجات، که خلاص شدن از برخی از آنها بسیار دشوار خواهد بود. پس چه چیزی لازم است؟ بیایید توجه داشته باشیم که یک و چه چیزی به ما می دهد؟ و اینکه می توانیم جواب این مثال را به حل یک معادله نمایی نسبتاً ساده تقلیل دهیم! ابتدا معادله خود را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:

حال بیایید هر دو طرف معادله حاصل را بر دو تقسیم کنیم:

اورکا! اکنون می توانیم جایگزین کنیم، دریافت می کنیم:

خب حالا نوبت شماست که مشکلات تظاهراتی را حل کنید و من فقط نظرات مختصری را به آنها خواهم داد تا به بیراهه نروید! موفق باشید!

1. سخت ترین! دیدن جایگزینی در اینجا بسیار سخت است! اما با این وجود، این مثال را می توان با استفاده از آن به طور کامل حل کرد تخلیه مربع کامل . برای حل آن، توجه به این نکته کافی است:

سپس جایگزین شما اینجاست:

(لطفاً توجه داشته باشید که در اینجا در طول تعویض ما نمی توانیم ریشه منفی را کنار بگذاریم!!! به نظر شما چرا؟)

اکنون برای حل مثال فقط باید دو معادله را حل کنید:

هر دوی آنها را می توان با "جایگزینی استاندارد" حل کرد (اما مورد دوم در یک مثال!)

2. به آن توجه کنید و جایگزینی بسازید.

3. عدد را به ضرایب هم اولی تجزیه کنید و عبارت حاصل را ساده کنید.

4. صورت و مخرج کسری را بر (یا در صورت تمایل) تقسیم کنید و یا را جایگزین کنید.

5. توجه کنید که اعداد و مزدوج هستند.

معادلات نمایی. سطح پیشرفته

علاوه بر این، بیایید به راه دیگری نگاه کنیم - حل معادلات نمایی با استفاده از روش لگاریتمی. نمی توانم بگویم که حل معادلات نمایی با استفاده از این روش بسیار محبوب است، اما در برخی موارد تنها می تواند ما را به تصمیم درستمعادله ما این به ویژه اغلب برای حل به اصطلاح استفاده می شود. معادلات مختلط": یعنی آنهایی که در آنها توابع انواع مختلف رخ می دهد.

به عنوان مثال، معادله ای از شکل:

در حالت کلی، تنها با گرفتن لگاریتم های هر دو طرف (مثلاً به پایه) می توان آن را حل کرد، که در آن معادله اصلی به شکل زیر تبدیل می شود:

بیایید به مثال زیر نگاه کنیم:

واضح است که با توجه به ODZ تابع لگاریتمی، ما فقط علاقه مند هستیم. با این حال، این نه تنها از ODZ لگاریتم، بلکه به یک دلیل دیگر نیز ناشی می شود. فکر می کنم حدس زدن کدام یک برای شما دشوار نخواهد بود.

بیایید لگاریتم هر دو طرف معادله خود را به پایه برسانیم:

همانطور که می بینید، گرفتن لگاریتم معادله اصلی ما به سرعت ما را به پاسخ صحیح (و زیبا!) رساند. بیایید با یک مثال دیگر تمرین کنیم:

در اینجا هم هیچ اشکالی وجود ندارد: بیایید لگاریتم هر دو طرف معادله را به پایه بگیریم، سپس می‌گیریم:

بیایید جایگزینی ایجاد کنیم:

با این حال، ما چیزی را از دست دادیم! دقت کردی کجا اشتباه کردم؟ پس از همه، پس:

که الزامات را برآورده نمی کند (فکر کنید از کجا آمده است!)

پاسخ:

سعی کنید جواب معادلات نمایی زیر را بنویسید:

حالا تصمیم خود را با این مقایسه کنید:

1. بیایید هر دو طرف پایه را لگاریتم کنیم، با در نظر گرفتن اینکه:

(روت دوم به دلیل جایگزینی برای ما مناسب نیست)

2. لگاریتم به پایه:

اجازه دهید عبارت حاصل را به شکل زیر تبدیل کنیم:

معادلات نمایی. شرح مختصر و فرمول های اساسی

معادله نمایی

معادله فرم:

تماس گرفت ساده ترین معادله نمایی

خواص درجات

رویکردهای راه حل

کاهش به همان مبنا
کاهش به همان توان
جایگزینی متغیر
ساده کردن عبارت و به کار بردن یکی از موارد بالا.

در این درس به حل معادلات نمایی پیچیده تر نگاه خواهیم کرد و اصول نظری اساسی در مورد تابع نمایی را یادآوری خواهیم کرد.

1. تعریف و خواص تابع نمایی، روش های حل ساده ترین معادلات نمایی

اجازه دهید تعریف و ویژگی های اساسی تابع نمایی را به یاد بیاوریم. حل تمام معادلات نمایی و نابرابری ها بر اساس این خصوصیات است.

تابع نماییتابعی از فرم است که پایه آن درجه و در اینجا x متغیر مستقل، آرگومان است. y متغیر وابسته، تابع است.

برنج. 1. نمودار تابع نمایی

نمودار افزایش و کاهش توان را نشان می دهد که تابع نمایی را به ترتیب با پایه بزرگتر از یک و کوچکتر از یک اما بزرگتر از صفر نشان می دهد.

هر دو منحنی از نقطه (0;1) عبور می کنند

ویژگی های تابع نمایی:

دامنه: ؛

محدوده مقادیر: ;

تابع یکنواخت است، با افزایش می یابد، با کاهش می یابد.

یک تابع یکنواخت هر یک از مقادیر خود را با یک مقدار آرگومان می گیرد.

وقتی آرگومان از منهای به مثبت بی‌نهایت افزایش می‌یابد، تابع از صفر به اضافه بی‌نهایت افزایش می‌یابد. برعکس، وقتی آرگومان از منهای به مثبت بی نهایت افزایش می یابد، تابع از بی نهایت به صفر کاهش می یابد، نه شامل.

2. حل معادلات نمایی استاندارد

بیایید به شما یادآوری کنیم که چگونه ساده ترین معادلات نمایی را حل کنید. حل آنها بر اساس یکنواختی تابع نمایی است. تقریباً تمام معادلات نمایی پیچیده را می توان به چنین معادلاتی تقلیل داد.

برابری توان در در شرایط مساویبه دلیل خاصیت تابع نمایی، یعنی یکنواختی آن.

روش حل:

مساوی کردن پایه های درجه؛

نماها را برابر کنید.

بیایید به بررسی معادلات نمایی پیچیده تر بپردازیم؛ هدف ما کاهش هر یک از آنها به ساده ترین آنها است.

بیایید از ریشه سمت چپ خلاص شویم و درجات را به همان پایه برسانیم:

به منظور کاهش یک معادله نمایی پیچیده به ساده ترین آن، اغلب از جایگزینی متغیرها استفاده می شود.

بیایید از ویژگی power استفاده کنیم:

ما در حال معرفی یک جایگزین هستیم. بگذار آن وقت باشد

بیایید معادله حاصل را در دو ضرب کنیم و همه عبارت ها را به سمت چپ منتقل کنیم:

ریشه اول محدوده مقادیر y را برآورده نمی کند، بنابراین آن را کنار می گذاریم. ما گرفتیم:

بیایید درجه ها را به همان شاخص کاهش دهیم:

بیایید جایگزینی را معرفی کنیم:

بگذار آن وقت باشد . با چنین جایگزینی، بدیهی است که y مقادیر کاملاً مثبتی به خود می گیرد. ما گرفتیم:

ما می دانیم که چگونه چنین معادلات درجه دوم را حل کنیم، می توانیم پاسخ را بنویسیم:

برای اطمینان از درستی یافتن ریشه ها، می توانید با استفاده از قضیه Vieta بررسی کنید، یعنی مجموع ریشه ها و حاصل ضرب آنها را بیابید و آنها را با ضرایب مربوطه معادله مقایسه کنید.

ما گرفتیم:

3. روش حل معادلات نمایی همگن درجه دو

بیایید نوع مهم معادلات نمایی زیر را مطالعه کنیم:

معادلات این نوع با توجه به توابع f و g همگن درجه دوم نامیده می شوند. در سمت چپ آن یک مثلث مربع نسبت به f با پارامتر g یا یک مثلث مربع نسبت به g با پارامتر f وجود دارد.

روش حل:

این معادله را می توان به عنوان یک معادله درجه دوم حل کرد، اما انجام آن به روشی ساده تر است. دو مورد برای رسیدگی وجود دارد:

در حالت اول دریافت می کنیم

در حالت دوم، ما حق داریم بر بالاترین درجه تقسیم کنیم و به دست آوریم: