فاصله نقطه تا خطی که با یک معادله به دست می آید. ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیما. موقعیت نسبی خطوط زاویه بین خطوط مستقیم

سطح اول

مختصات و بردارها. راهنمای جامع (2019)

در این مقاله، ما شروع به بحث در مورد یک "عصای جادویی" خواهیم کرد که به شما امکان می دهد بسیاری از مسائل هندسی را به حساب ساده کاهش دهید. این «چوب» می‌تواند زندگی شما را بسیار آسان‌تر کند، مخصوصاً زمانی که در مورد ساخت و ساز مطمئن نیستید چهره های فضایی، بخش ها و غیره همه اینها به تخیل و مهارت های عملی خاصی نیاز دارد. روشی که در اینجا شروع به بررسی خواهیم کرد به شما امکان می دهد تقریباً به طور کامل از انواع ساختارها و استدلال های هندسی انتزاع کنید. روش نامیده می شود "روش هماهنگی". در این مقاله به سوالات زیر می پردازیم:

1. هواپیمای مختصات
2. نقاط و بردارها در هواپیما
3. ساختن بردار از دو نقطه
4. طول برداری (فاصله بین دو نقطه).
5. مختصات وسط بخش
6. حاصل ضرب نقطه ای بردارها
7. زاویه بین دو بردار

فکر می کنم قبلاً حدس زده اید که چرا روش مختصات به این نام خوانده می شود؟ درست است، این نام را به این دلیل گرفت که نه با اجسام هندسی، بلکه با ویژگی های عددی آنها (مختصات) عمل می کند. و خود تبدیل، که به ما امکان می دهد از هندسه به جبر برویم، شامل معرفی یک سیستم مختصات است. اگر شکل اولیه مسطح بود، مختصات دو بعدی و اگر شکل سه بعدی بود، مختصات سه بعدی هستند. در این مقاله ما فقط مورد دو بعدی را در نظر خواهیم گرفت. و هدف اصلی مقاله آموزش نحوه استفاده از برخی است تکنیک های اساسیروش مختصات (گاهی اوقات هنگام حل مسائل مربوط به پلان سنجی در بخش B آزمون یکپارچه ایالت مفید می باشند). دو بخش بعدی در مورد این موضوع به بحث در مورد روش های حل مسائل C2 (مسئله استریومتری) اختصاص دارد.

منطقی است که بحث روش مختصات را از کجا شروع کنیم؟ احتمالاً از مفهوم یک سیستم مختصات است. به یاد داشته باشید که اولین بار با او روبرو شدید. به نظر من در کلاس هفتم، زمانی که شما از وجود یاد گرفتید تابع خطی، مثلا. بگذارید به شما یادآوری کنم که شما آن را نقطه به نقطه ساختید. یادت میاد؟ شما یک عدد دلخواه را انتخاب کردید، آن را جایگزین فرمول کردید و آن را به این ترتیب محاسبه کردید. مثلا اگر، پس، اگر، آنگاه و ... در نهایت چه چیزی به دست آوردی؟ و امتیاز با مختصات دریافت کردید: و. بعد، یک «صلیب» (سیستم مختصات) رسم کردید، یک مقیاس روی آن انتخاب کردید (چند سلول به عنوان بخش واحد خواهید داشت) و نقاطی را که به دست آوردید روی آن علامت‌گذاری کردید، سپس آنها را با یک خط مستقیم به هم متصل کردید. خط نمودار تابع است.

در اینجا چند نکته وجود دارد که باید با جزئیات بیشتر برای شما توضیح داده شود:

1. شما یک بخش را به دلایل راحتی انتخاب می کنید تا همه چیز به زیبایی و فشرده در نقاشی جا بیفتد.

2. پذیرفته شده است که محور از چپ به راست و محور از پایین به بالا می رود.

3. در زوایای قائمه همدیگر را قطع می کنند و نقطه تلاقی آنها را مبدا می گویند. با یک حرف مشخص می شود.

4. در نوشتن مختصات یک نقطه مثلاً در سمت چپ داخل پرانتز مختصات نقطه در امتداد محور و در سمت راست در امتداد محور وجود دارد. به طور خاص، به سادگی به این معنی است که در نقطه

5. برای تعیین هر نقطه در محور مختصات، باید مختصات آن را مشخص کنید (2 عدد)

6. برای هر نقطه ای که روی محور قرار دارد،

7. برای هر نقطه ای که روی محور قرار دارد،

8. محور را محور x می نامند

9. محور را محور y می نامند

حالا بیایید قدم بعدی را برداریم: دو نقطه را علامت بزنید. بیایید این دو نقطه را با یک قطعه به هم وصل کنیم. و فلش را طوری قرار می‌دهیم که انگار از نقطه‌ای به نقطه می‌کشیم: یعنی قطعه‌مان را جهت‌دار می‌کنیم!

به یاد داشته باشید که بخش جهتی دیگری نامیده می شود؟ درسته بهش میگن بردار!

بنابراین اگر نقطه را به نقطه وصل کنیم، و ابتدا نقطه A و پایان نقطه B خواهد بودسپس یک بردار می گیریم. شما هم این ساخت و ساز را در کلاس هشتم انجام دادید، یادتان هست؟

معلوم می شود که بردارها، مانند نقاط، را می توان با دو عدد نشان داد: این اعداد مختصات برداری نامیده می شوند. سوال: به نظر شما برای یافتن مختصات یک بردار کافی است مختصات ابتدا و انتهای یک بردار را بدانیم؟ معلوم می شود که بله! و این کار بسیار ساده انجام می شود:

بنابراین، از آنجایی که در یک بردار نقطه آغاز و نقطه پایان است، بردار دارای مختصات زیر است:

به عنوان مثال، اگر، سپس مختصات بردار

حالا برعکس عمل می کنیم، مختصات بردار را پیدا می کنیم. برای این چه چیزی را باید تغییر دهیم؟ بله، باید ابتدا و انتها را عوض کنید: اکنون ابتدای بردار در نقطه و انتهای آن در نقطه خواهد بود. سپس:

با دقت نگاه کنید، تفاوت بین بردار و چیست؟ تنها تفاوت آنها در علائم مختصات است. آنها متضاد هستند. این واقعیت معمولاً به این صورت نوشته می شود:

گاهی اوقات، اگر به طور مشخص گفته نشود که کدام نقطه ابتدای بردار و کدام نقطه پایان است، بردارها با بیش از دو نشان داده می شوند. با حروف بزرگو یک حرف کوچک، به عنوان مثال: و غیره.

حالا کمی تمرینخودتان و مختصات بردارهای زیر را بیابید:

معاینه:

حالا یک مشکل کمی دشوارتر را حل کنید:

بردار با شروع در یک نقطه دارای co-or-di-na-you است. نقاط abs-cis-su را پیدا کنید.

همه یکسان کاملاً مبتذل است: بگذارید مختصات نقطه باشد. سپس

من سیستم را بر اساس تعریف مختصات برداری کامپایل کردم. سپس نقطه دارای مختصاتی است. ما به آبسیسا علاقه مندیم. سپس

پاسخ:

چه کارهای دیگری می توانید با بردارها انجام دهید؟ بله، تقریباً همه چیز مانند اعداد معمولی است (به جز اینکه نمی توانید تقسیم کنید، اما می توانید به دو روش ضرب کنید، که یکی از آنها را کمی بعد در اینجا مورد بحث قرار خواهیم داد)

1. بردارها را می توان به یکدیگر اضافه کرد
2. بردارها را می توان از یکدیگر کم کرد
3. بردارها را می توان با یک عدد غیر صفر دلخواه ضرب (یا تقسیم کرد).
4. بردارها را می توان در یکدیگر ضرب کرد

همه این عملیات ها نمایش هندسی بسیار واضحی دارند. به عنوان مثال، قانون مثلث (یا متوازی الاضلاع) برای جمع و تفریق:

یک بردار با ضرب یا تقسیم بر یک عدد منقبض یا منقبض می شود یا جهتش را تغییر می دهد:

با این حال، در اینجا ما به این سوال علاقه مند خواهیم شد که چه اتفاقی برای مختصات می افتد.

1. هنگام جمع (تفریق) دو بردار، مختصات آنها را عنصر به عنصر اضافه می کنیم (تفریق). به این معنا که:

2. هنگام ضرب (تقسیم) یک بردار در یک عدد، تمام مختصات آن در این عدد ضرب (تقسیم) می شود:

مثلا:

· مقدار کو یا دی نات قرن به را بیابید.

ابتدا مختصات هر یک از بردارها را پیدا می کنیم. هر دوی آنها منشا یکسانی دارند - نقطه مبدا. انتهای آنها متفاوت است. سپس، . حال مختصات بردار را محاسبه می کنیم سپس مجموع مختصات بردار حاصل برابر است.

پاسخ:

حالا خودتان مشکل زیر را حل کنید:

· مجموع مختصات بردار را بیابید

بررسی می کنیم:

اکنون مشکل زیر را در نظر می گیریم: ما دو نقطه در صفحه مختصات داریم. چگونه فاصله بین آنها را پیدا کنیم؟ بگذارید نکته اول باشد و دومی. اجازه دهید فاصله بین آنها را با علامت گذاری کنیم. بیایید برای وضوح تصویر زیر را انجام دهیم:

من چه کرده ام؟ اول از همه، وصل شدم نقطه و، aهمچنین از نقطه ای خطی موازی با محور رسم کردم و از نقطه ای خطی موازی با محور رسم کردم. آیا آنها در نقطه ای تلاقی می کنند و شکل قابل توجهی را تشکیل می دهند؟ چه چیز خاصی در مورد او وجود دارد؟ بله، من و شما تقریباً همه چیز را می دانیم راست گوشه. خب، قضیه فیثاغورث قطعا. قطعه مورد نیاز هپوتنوز این مثلث است و پاره ها پاها هستند. مختصات نقطه چیست؟ بله، آنها به راحتی از تصویر پیدا می شوند: از آنجایی که بخش ها موازی محورها هستند و به ترتیب، طول آنها به راحتی پیدا می شود: اگر طول پاره ها را به ترتیب با علامت گذاری کنیم، سپس

حال بیایید از قضیه فیثاغورث استفاده کنیم. ما طول پاها را می دانیم، هیپوتانوس را پیدا می کنیم:

بنابراین، فاصله بین دو نقطه، ریشه مجموع اختلاف مجذور از مختصات است. یا - فاصله بین دو نقطه طول قطعه ای است که آنها را به هم متصل می کند. به راحتی می توان فهمید که فاصله بین نقاط به جهت بستگی ندارد. سپس:

از اینجا سه ​​نتیجه می گیریم:

بیایید کمی در مورد محاسبه فاصله بین دو نقطه تمرین کنیم:

به عنوان مثال، اگر، پس فاصله بین و برابر است با

یا به راه دیگری برویم: مختصات بردار را پیدا کنید

و طول بردار را پیدا کنید:

همانطور که می بینید، همان چیزی است!

حالا خودتان کمی تمرین کنید:

وظیفه: فاصله بین نقاط مشخص شده را پیدا کنید:

بررسی می کنیم:

در اینجا چند مشکل دیگر با استفاده از فرمول مشابه وجود دارد، اگرچه آنها کمی متفاوت به نظر می رسند:

1. مربع طول پلک را پیدا کنید.

2. مربع طول پلک را پیدا کنید

فکر می کنم بدون مشکل با آنها برخورد کردید؟ بررسی می کنیم:

1. و این برای توجه است) ما قبلا مختصات بردارها را پیدا کرده ایم: . سپس بردار مختصاتی دارد. مربع طول آن برابر خواهد بود با:

2. مختصات بردار را بیابید

سپس مربع طول آن است

هیچ چیز پیچیده ای نیست، درست است؟ محاسبات ساده، نه بیشتر.

مشکلات زیر را نمی توان به طور واضح طبقه بندی کرد؛ آنها بیشتر در مورد دانش عمومی و توانایی ترسیم تصاویر ساده هستند.

1. سینوس زاویه را از برش پیدا کنید، نقطه را با محور آبسیسا وصل کنید.

و

چگونه می خواهیم در اینجا پیش برویم؟ ما باید سینوس زاویه بین و محور را پیدا کنیم. کجا دنبال سینوس بگردیم؟ درست است، در یک مثلث قائم الزاویه. پس باید چکار کنیم؟ این مثلث را بسازید!

از آنجایی که مختصات نقطه و، پس پاره برابر است با، و پاره. باید سینوس زاویه را پیدا کنیم. اجازه دهید به شما یادآوری کنم که سینوس یک نسبت است طرف مقابلسپس به هیپوتانوز

چه کاری برای ما باقی می ماند؟ هیپوتانوس را پیدا کنید. شما می توانید این کار را به دو صورت انجام دهید: با استفاده از قضیه فیثاغورث (پاها مشخص است!) یا استفاده از فرمول فاصله بین دو نقطه (در واقع همان روش اول!). راه دوم را می روم:

پاسخ:

کار بعدی برای شما آسان تر به نظر می رسد. او در مختصات نقطه است.

وظیفه 2.از نقطه ای که per-pen-di-ku-lyar روی محور ab-ciss پایین می آید. نای-دی-ته ابس-سیس-سو او-نو-وا-نیا پر-پن-دی-کو-لا-را.

بیایید یک نقاشی بکشیم:

قاعده یک عمود نقطه ای است که در آن محور x (محور) را قطع می کند، برای من این یک نقطه است. شکل نشان می دهد که دارای مختصات است: . ما به abscissa علاقه مندیم - یعنی جزء "x". او برابر است.

پاسخ: .

وظیفه 3.در شرایط مسئله قبلی مجموع فواصل نقطه تا محورهای مختصات را بیابید.

اگر بدانید فاصله یک نقطه تا محورها چقدر است، کار به طور کلی ابتدایی است. میدونی؟ امیدوارم، اما باز هم یادآوری می کنم:

بنابراین، در طراحی من دقیقاً در بالا، آیا قبلاً یکی از این عمودها را کشیده ام؟ در کدام محور است؟ به محور. و پس طول آن چقدر است؟ او برابر است. حالا خودتان یک عمود بر محور بکشید و طول آن را پیدا کنید. برابر خواهد بود، درست است؟ سپس مجموع آنها برابر است.

پاسخ: .

وظیفه 4.در شرایط مسئله 2 ترتیب یک نقطه متقارن به نقطه نسبت به محور آبسیسا را ​​پیدا کنید.

فکر می کنم به طور شهودی برای شما روشن است که تقارن چیست؟ بسیاری از اشیاء آن را دارند: بسیاری از ساختمان ها، میزها، هواپیماها، بسیاری اشکال هندسی: توپ، استوانه، مربع، لوزی، و غیره. به طور کلی، تقارن را می توان به صورت زیر درک کرد: یک شکل از دو (یا چند) نیمه یکسان تشکیل شده است. این تقارن را تقارن محوری می نامند. پس یک محور چیست؟ این دقیقاً خطی است که در امتداد آن شکل می تواند، به طور نسبی، به نصف های مساوی بریده شود (در این تصویر، محور تقارن مستقیم است):

حالا بیایید به وظیفه خود برگردیم. می دانیم که به دنبال نقطه ای هستیم که نسبت به محور متقارن باشد. سپس این محور، محور تقارن است. این بدان معناست که باید نقطه ای را علامت گذاری کنیم که محور قطعه را به دو قسمت مساوی برش دهد. سعی کنید خودتان چنین نکته ای را مشخص کنید. حالا با راه حل من مقایسه کنید:

برای شما هم به همین شکل بود؟ خوب! ما به ترتیب نقطه یافت شده علاقه مندیم. برابر است

پاسخ:

حالا به من بگویید، پس از چند ثانیه فکر کردن، ابسیسا یک نقطه متقارن با نقطه A نسبت به مجمل چقدر خواهد بود؟ پاسخ شما چیست؟ پاسخ صحیح: .

به طور کلی، قانون را می توان اینگونه نوشت:

یک نقطه متقارن به یک نقطه نسبت به محور آبسیسا دارای مختصات است:

یک نقطه متقارن به یک نقطه نسبت به محور مختصات:

خب الان کاملا ترسناکه وظیفه: مختصات یک نقطه متقارن به نقطه نسبت به مبدا را پیدا کنید. شما ابتدا خودتان فکر کنید و بعد به نقاشی من نگاه کنید!

پاسخ:

اکنون مسئله متوازی الاضلاع:

وظیفه 5: نقاط ظاهر می شوند ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. or-di-on-آن نقطه را پیدا کنید.

شما می توانید این مشکل را به دو روش حل کنید: منطق و روش مختصات. من ابتدا از روش مختصات استفاده می کنم و سپس به شما می گویم که چگونه می توانید آن را متفاوت حل کنید.

کاملاً واضح است که ابسیسا نقطه برابر است. (روی عمود کشیده شده از نقطه به محور آبسیسا قرار دارد). ما باید منتخب را پیدا کنیم. بیایید از این واقعیت استفاده کنیم که شکل ما متوازی الاضلاع است، این به این معنی است. بیایید طول قطعه را با استفاده از فرمول فاصله بین دو نقطه پیدا کنیم:

عمود اتصال نقطه به محور را پایین می آوریم. نقطه تقاطع را با یک حرف نشان می دهم.

طول قطعه برابر است. (مشکل را خودتان در جایی که در مورد این نکته بحث کردیم پیدا کنید)، سپس طول بخش را با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا خواهیم کرد:

طول یک قطعه دقیقاً با مختصات آن منطبق است.

پاسخ: .

راه حل دیگر (فقط یک عکس می دهم که آن را نشان می دهد)

پیشرفت راه حل:

1. رفتار

2. مختصات نقطه و طول را بیابید

3. این را ثابت کنید.

یکی دیگه مشکل طول قطعه:

نقاط در بالای مثلث ظاهر می شوند. طول خط وسط آن را موازی پیدا کنید.

آیا یادتان هست خط وسط مثلث چیست؟ سپس این کار برای شما ابتدایی است. اگر یادتان نیست یادآوری می کنم: خط وسط مثلث خطی است که وسط اضلاع مقابل را به هم وصل می کند. موازی با پایه و برابر با نیمی از آن است.

پایه یک قطعه است. باید زودتر دنبال طولش می گشتیم، مساوی است. سپس طول خط وسط نصف بزرگ و مساوی است.

پاسخ: .

نظر: این مشکل به روش دیگری قابل حل است که کمی بعد به آن خواهیم پرداخت.

در ضمن چند تا مشکل براتون میزارم روی اونها تمرین کنید خیلی ساده هستن ولی به شما کمک میکنن در استفاده از روش مختصات بهتر بشین!

1. نقاط در بالای ترفندها هستند. طول خط وسط آن را پیدا کنید.

2. نکات و ظواهر ور-شی-نا-می پا-رال-له-لو-گرام-ما. or-di-on-آن نقطه را پیدا کنید.

3. طول را از برش، اتصال نقطه و

4. ناحیه پشت شکل رنگی را در صفحه هماهنگ پیدا کنید.

5. دایره ای با مرکز na-cha-le ko-or-di-nat از نقطه عبور می کند. Ra-di-us او را پیدا کنید.

6. یافت-دی-ته را-دی-وس دایره، توصیف-سان-نوی در مورد زاویه راست-نه-کا، بالای چیزی یک هم یا -دی-نا-تو خیلی مسئولی.

راه حل ها:

1. معلوم است که خط وسط ذوزنقه برابر با نصف مجموع قاعده های آن است. پایه برابر است و پایه. سپس

پاسخ:

2. ساده ترین راه برای حل این مشکل توجه به آن (قانون متوازی الاضلاع) است. محاسبه مختصات بردارها کار سختی نیست: . هنگام اضافه کردن بردارها، مختصات اضافه می شوند. سپس مختصات دارد. نقطه نیز دارای این مختصات است، زیرا مبدأ بردار نقطه با مختصات است. ما به ترتیب علاقه مندیم. او برابر است.

پاسخ:

3. بلافاصله طبق فرمول فاصله بین دو نقطه عمل می کنیم:

پاسخ:

4. به تصویر نگاه کنید و به من بگویید ناحیه سایه دار بین کدام دو شکل "ساندویچ" شده است؟ بین دو مربع قرار گرفته است. سپس مساحت شکل مورد نظر برابر است با مساحت مربع بزرگ منهای مساحت مربع کوچک. ضلع مربع کوچک قطعه ای است که نقاط را به هم متصل می کند و طول آن برابر است

سپس مساحت مربع کوچک است

ما همین کار را با یک مربع بزرگ انجام می دهیم: ضلع آن قطعه ای است که نقاط را به هم متصل می کند و طول آن است

سپس مساحت مربع بزرگ است

مساحت شکل مورد نظر را با استفاده از فرمول پیدا می کنیم:

پاسخ:

5. اگر دایره ای مبدأ را به عنوان مرکز خود داشته باشد و از نقطه ای عبور کند، شعاع آن دقیقاً برابر با طول قطعه خواهد بود (یک نقاشی بکشید و خواهید فهمید که چرا این واضح است). بیایید طول این بخش را پیدا کنیم:

پاسخ:

6. معلوم است که شعاع دایره ای که اطراف یک مستطیل است برابر با نصف قطر آن است. بیایید طول هر یک از دو مورب را پیدا کنیم (به هر حال، در یک مستطیل آنها مساوی هستند!)

پاسخ:

خوب با همه چیز کنار آمدی؟ فهمیدنش خیلی سخت نبود، نه؟ در اینجا فقط یک قانون وجود دارد - بتوانید یک تصویر بصری ایجاد کنید و به سادگی تمام داده ها را از آن "خواندن" کنید.

خیلی کم داریم. به معنای واقعی کلمه دو نکته دیگر وجود دارد که می خواهم در مورد آنها صحبت کنم.

بیایید سعی کنیم این مشکل ساده را حل کنیم. بگذارید دو امتیاز و داده شود. مختصات نقطه وسط پاره را پیدا کنید. راه حل این مشکل به شرح زیر است: بگذارید نقطه وسط مورد نظر باشد، سپس مختصات دارد:

به این معنا که: مختصات وسط پاره = میانگین حسابی مختصات متناظر انتهای پاره.

این قانون بسیار ساده است و معمولاً برای دانش آموزان مشکلی ایجاد نمی کند. بیایید ببینیم در چه مشکلاتی و چگونه استفاده می شود:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny from-cut، connect-the-point و

2. به نظر می رسد که نقاط در بالای جهان هستند. یافت-دی-ته یا-دی-نا-تو نقاط پر-ری-سه-چه-نیای او دیا-گو-نا-لی.

3. Find-di-te abs-cis-su مرکز دایره، توصیف-san-noy در مورد مستطیل-no-ka، بالای چیزی دارای co-or-di-na-شما خیلی مسئولانه-اما.

راه حل ها:

1. مشکل اول به سادگی یک کلاسیک است. بلافاصله برای تعیین وسط قطعه اقدام می کنیم. مختصات دارد. ترتیب مساوی است.

پاسخ:

2. به راحتی می توان فهمید که این چهار ضلعی متوازی الاضلاع است (حتی یک لوزی!). این را خودتان می توانید با محاسبه طول اضلاع و مقایسه آنها با یکدیگر ثابت کنید. از متوازی الاضلاع چه می دانم؟ قطرهای آن بر نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند! آره پس نقطه تلاقی قطرها چیست؟ این وسط هر یک از مورب هاست! من به ویژه مورب را انتخاب خواهم کرد. سپس نقطه دارای مختصاتی است که مختصات نقطه برابر است با.

پاسخ:

3. مرکز دایره ای که پیرامون مستطیل محصور شده است با چه منطبق است؟ منطبق با نقطه تقاطع قطرهای آن است. از قطرهای یک مستطیل چه می دانید؟ آنها مساوی هستند و نقطه تقاطع آنها را به نصف تقسیم می کند. وظیفه به کار قبلی کاهش یافت. به عنوان مثال، قطر را در نظر بگیرید. سپس اگر مرکز دایره باشد، آنگاه نقطه وسط است. من به دنبال مختصات هستم: آبسیسا برابر است.

پاسخ:

حالا خودتان کمی تمرین کنید، من فقط پاسخ هر مشکل را می‌دهم تا بتوانید خودتان را امتحان کنید.

1. Find-di-te ra-di-us دایره، توصیف-san-noy در مورد سه زاویه-no-ka، بالای چیزی یک co-or-di -no misters دارد.

2. یافتن-دی-ته یا-دی-رو-آن مرکز دایره، سان-نوی را در مورد مثلث-no-ka توصیف کنید، که بالای آن دارای مختصات است.

3. دایره ای با مرکز در یک نقطه به گونه ای که محور ab-ciss را لمس کند چه نوع رادی-و-سا باید باشد؟

4. یافتن-دی-آنها یا-دی-روی-آن نقطه ی دوباره ی اتصال محور و از-برش، اتصال-نقطه و

پاسخ ها:

آیا همه چیز موفق بود؟ من واقعا به آن امیدوارم! اکنون - آخرین فشار. حالا به خصوص مراقب باشید. مطالبی که اکنون توضیح خواهم داد مستقیماً نه تنها به مسائل ساده در روش مختصات از قسمت B مربوط می شود، بلکه در همه جای مسئله C2 نیز یافت می شود.

به کدام یک از وعده هایم هنوز عمل نکرده ام؟ به یاد دارید چه عملیاتی را روی بردارها قول معرفی کردم و در نهایت کدام را معرفی کردم؟ مطمئنی من چیزی را فراموش نکرده ام؟ یادم رفت! یادم رفت توضیح دهم ضرب برداری یعنی چه.

دو روش برای ضرب یک بردار در یک بردار وجود دارد. بسته به روش انتخاب شده، اشیایی با ماهیت های مختلف دریافت خواهیم کرد:

محصول متقاطع کاملاً هوشمندانه انجام می شود. در مقاله بعدی به چگونگی انجام آن و چرایی نیاز آن خواهیم پرداخت. و در این یکی ما بر روی محصول اسکالر تمرکز خواهیم کرد.

دو روش وجود دارد که به ما امکان محاسبه آن را می دهد:

همانطور که حدس زدید، نتیجه باید یکسان باشد! پس بیایید ابتدا روش اول را بررسی کنیم:

محصول نقطه از طریق مختصات

یافتن: - نماد پذیرفته شده کلی برای محصول اسکالر

فرمول محاسبه به شرح زیر است:

یعنی حاصل ضرب اسکالر = مجموع حاصلضرب مختصات برداری!

مثال:

پیدا-دی-ته

راه حل:

بیایید مختصات هر یک از بردارها را پیدا کنیم:

ما حاصل ضرب اسکالر را با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم:

پاسخ:

ببینید، مطلقاً هیچ چیز پیچیده ای نیست!

خب حالا خودت امتحان کن:

· یافتن اسکالر طرفدار ایز و د نی از قرن ها و

توانستی مدیریت کنی؟ شاید متوجه شکار کوچکی شده اید؟ بیایید بررسی کنیم:

مختصات برداری، مانند مشکل قبلی! پاسخ: .

علاوه بر مختصات، روش دیگری برای محاسبه حاصل ضرب اسکالر وجود دارد، یعنی از طریق طول بردارها و کسینوس زاویه بین آنها:

نشان دهنده زاویه بین بردارها و.

یعنی حاصل ضرب اسکالر برابر است با حاصل ضرب طول بردارها و کسینوس زاویه بین آنها.

چرا به این فرمول دوم نیاز داریم، اگر فرمول اول را داریم که بسیار ساده تر است، حداقل کسینوس در آن وجود ندارد. و لازم است تا از فرمول اول و دوم من و شما به این نتیجه برسیم که چگونه زاویه بین بردارها را پیدا کنیم!

اجازه دهید سپس فرمول طول بردار را به خاطر بسپارید!

سپس اگر این داده ها را با فرمول محصول اسکالر جایگزین کنم، دریافت می کنم:

اما به شکلی دیگر:

پس من و تو چی گرفتیم؟ اکنون فرمولی داریم که به ما امکان می دهد زاویه بین دو بردار را محاسبه کنیم! گاهی هم برای اختصار اینگونه می نویسند:

یعنی الگوریتم محاسبه زاویه بین بردارها به صورت زیر است:

1. حاصل ضرب اسکالر را از طریق مختصات محاسبه کنید
2. طول بردارها را بیابید و آنها را ضرب کنید
3. نتیجه نقطه 1 را بر نتیجه نقطه 2 تقسیم کنید

بیایید با مثال ها تمرین کنیم:

1. زاویه بین پلک ها و. پاسخ را در grad-du-sah بدهید.

2. در شرایط مسئله قبلی، کسینوس بین بردارها را پیدا کنید

بیایید این کار را انجام دهیم: من به شما کمک می کنم مشکل اول را حل کنید و سعی کنید دومی را خودتان انجام دهید! موافق؟ سپس بیایید شروع کنیم!

1. این بردارها دوستان قدیمی ما هستند. ما قبلاً حاصل ضرب اسکالر آنها را محاسبه کرده ایم و برابر بود. مختصات آنها عبارتند از: , . سپس طول آنها را پیدا می کنیم:

سپس به دنبال کسینوس بین بردارها می گردیم:

کسینوس زاویه چیست؟ این گوشه است.

پاسخ:

خب حالا خودت مشکل دوم رو حل کن بعد مقایسه کن! من فقط یک راه حل بسیار کوتاه می دهم:

2. مختصات دارد، مختصات دارد.

اجازه دهید زاویه بین بردارها و سپس

پاسخ:

لازم به ذکر است که مشکلات به طور مستقیم بر روی بردارها و روش مختصات در قسمت B مقاله امتحانی بسیار نادر است. با این حال، اکثریت قریب به اتفاق مسائل C2 را می توان به راحتی با معرفی یک سیستم مختصات حل کرد. بنابراین می توانید این مقاله را پایه ای در نظر بگیرید که بر اساس آن ساخت و سازهای کاملاً هوشمندانه ای خواهیم ساخت که برای حل مشکلات پیچیده به آن نیاز داریم.

مختصات و بردارها. سطح متوسط

من و شما به مطالعه روش مختصات ادامه می دهیم. در قسمت آخر، تعدادی فرمول مهم را استخراج کردیم که به شما امکان می دهد:

1. مختصات برداری را پیدا کنید
2. طول یک بردار را بیابید (به طور متناوب: فاصله بین دو نقطه)
3. بردارها را جمع و تفریق کنید. آنها را در یک عدد واقعی ضرب کنید
4. نقطه وسط یک پاره را پیدا کنید
5. محاسبه حاصل ضرب نقطه ای بردارها
6. زاویه بین بردارها را پیدا کنید

البته کل روش مختصات در این 6 نقطه نمی گنجد. زیربنای علمی مانند هندسه تحلیلی است که در دانشگاه با آن آشنا خواهید شد. من فقط می خواهم پایه ای بسازم که به شما امکان می دهد مشکلات را در یک دولت حل کنید. امتحان ما به وظایف قسمت B پرداختیم. اکنون زمان آن است که به سمت کیفیت بالا برویم سطح جدید! این مقاله به روشی برای حل مسائل C2 اختصاص خواهد داشت که در آن جابجایی به روش مختصات منطقی است. این معقول بودن با آنچه که باید در مسئله یافت شود و چه رقمی ارائه می شود تعیین می شود. بنابراین، اگر سؤالات زیر باشد، از روش مختصات استفاده می کنم:

1. زاویه بین دو صفحه را پیدا کنید
2. زاویه بین یک خط مستقیم و یک صفحه را پیدا کنید
3. زاویه بین دو خط مستقیم را پیدا کنید
4. فاصله یک نقطه تا یک صفحه را پیدا کنید
5. فاصله یک نقطه تا یک خط را پیدا کنید
6. فاصله یک خط مستقیم تا یک صفحه را پیدا کنید
7. فاصله بین دو خط را پیدا کنید

اگر شکل داده شده در بیان مسئله بدنه ای از چرخش باشد (توپ، استوانه، مخروط...)

ارقام مناسب برای روش مختصات عبارتند از:

1. متوازی الاضلاع مستطیلی
2. هرم (مثلثی، چهار گوش، شش ضلعی)

همچنین از تجربه من استفاده از روش مختصات برای آن نامناسب است:

1. یافتن مناطق مقطعی
2. محاسبه حجم اجسام

با این حال، بلافاصله باید توجه داشت که سه موقعیت "نامطلوب" برای روش مختصات در عمل بسیار نادر است. در بیشتر کارها، می تواند ناجی شما باشد، به خصوص اگر در ساخت و سازهای سه بعدی (که گاهی اوقات می تواند کاملاً پیچیده باشد) خیلی خوب نباشید.

تمام ارقامی که در بالا ذکر کردم چیست؟ آنها دیگر مسطح نیستند، مثلاً مربع، مثلث، دایره، بلکه حجیم هستند! بر این اساس، ما باید یک سیستم مختصات دو بعدی را در نظر نگیریم. ساختن آن کاملاً آسان است: فقط علاوه بر محور ابسیسا و مختصات، محور دیگری به نام محور کاربردی را معرفی خواهیم کرد. شکل به صورت شماتیک موقعیت نسبی آنها را نشان می دهد:

همه آنها عمود بر یکدیگر هستند و در یک نقطه متقاطع می شوند که ما آن را مبدأ مختصات می نامیم. مانند قبل، محور آبسیسا، محور ارتین - و محور کاربردی معرفی شده - را نشان خواهیم داد.

اگر قبلاً هر نقطه در هواپیما با دو عدد مشخص می شد - ابسیسا و مختصات، در این صورت هر نقطه در فضا قبلاً با سه عدد توصیف می شود - ابسیسا، ترتیب و اعمال. مثلا:

بر این اساس، انتزاع یک نقطه برابر است، ترتیب یک و مصداق است.

گاهی به ابسیسا یک نقطه، برآمدگی یک نقطه بر محور ابسیسا، اردینات - برآمدگی یک نقطه بر محور مجال، و اعمال - برآمدگی یک نقطه بر روی محور اعمالی نیز گفته می شود. بر این اساس، اگر یک نقطه داده شود، یک نقطه با مختصات:

به پرتاب یک نقطه بر روی صفحه می گویند

به پرتاب یک نقطه بر روی صفحه می گویند

یک سوال طبیعی مطرح می شود: آیا همه فرمول های مشتق شده برای حالت دو بعدی در فضا معتبر هستند؟ پاسخ مثبت است، آنها منصف هستند و ظاهر یکسانی دارند. برای یک جزئیات کوچک. فکر می کنم قبلاً حدس زده اید که کدام است. در تمام فرمول ها باید یک عبارت دیگر که مسئول محور کاربردی است اضافه کنیم. برای مثال.

1. اگر دو امتیاز داده شود:

• مختصات برداری:
• فاصله بین دو نقطه (یا طول برداری)
• نقطه میانی قطعه دارای مختصاتی است

2. اگر دو بردار داده شود: and، سپس:

• حاصل ضرب اسکالر آنها برابر است با:
• کسینوس زاویه بین بردارها برابر است با:

با این حال، فضا به این سادگی نیست. همانطور که می دانید، افزودن یک مختصات دیگر تنوع قابل توجهی را در طیف چهره های "زندگی" در این فضا ایجاد می کند. و برای روایت بیشتر لازم است که برخی، به طور تقریبی، «تعمیم» خط مستقیم را معرفی کنم. این "تعمیم" یک هواپیما خواهد بود. از هواپیما چه می دانید؟ سعی کنید به این سوال پاسخ دهید که هواپیما چیست؟ گفتنش خیلی سخته با این حال، همه ما به طور شهودی تصور می کنیم که چگونه به نظر می رسد:

به طور کلی، این یک نوع "ورق" بی پایان است که در فضا گیر کرده است. "بی نهایت" باید درک شود که هواپیما در همه جهات گسترش می یابد، یعنی مساحت آن برابر با بی نهایت است. با این حال، این توضیح «عملی» کوچکترین ایده ای در مورد ساختار هواپیما نمی دهد. و این اوست که به ما علاقه مند خواهد شد.

بیایید یکی از بدیهیات اساسی هندسه را به یاد بیاوریم:

• در دو نقاط مختلفیک خط مستقیم در هواپیما وجود دارد و فقط یک خط:

یا آنالوگ آن در فضا:

البته به یاد دارید که چگونه معادله یک خط را از دو نقطه داده شده استخراج کنید؛ اصلاً دشوار نیست: اگر نقطه اول دارای مختصات باشد: و دومی، معادله خط به صورت زیر خواهد بود:

شما این را در کلاس هفتم گرفتید. در فضا، معادله یک خط به این صورت است: اجازه دهید دو نقطه با مختصات به ما داده شود:، سپس معادله خطی که از آنها می گذرد به شکل زیر است:

به عنوان مثال، یک خط از نقاط عبور می کند:

این را چگونه باید فهمید؟ این باید به صورت زیر درک شود: یک نقطه روی یک خط قرار دارد اگر مختصات آن سیستم زیر را برآورده کند:

ما علاقه زیادی به معادله خط نخواهیم داشت، اما باید به آن توجه کنیم مفهوم مهمبردار هدایت خط مستقیم. - هر بردار غیر صفر که روی یک خط معین یا موازی با آن قرار دارد.

برای مثال، هر دو بردار بردار جهت یک خط مستقیم هستند. بگذارید یک نقطه روی یک خط باشد و بگذارید بردار جهت آن باشد. سپس معادله خط را می توان به شکل زیر نوشت:

یک بار دیگر، من خیلی به معادله یک خط مستقیم علاقه مند نخواهم شد، اما واقعاً به شما نیاز دارم که به یاد داشته باشید که بردار جهت چیست! از نو: این هر بردار غیر صفر است که روی یک خط یا موازی با آن قرار دارد.

کنار کشیدن معادله یک هواپیما بر اساس سه نقطه داده شدهدیگر چندان پیش پا افتاده نیست و معمولاً در دوره به این موضوع پرداخته نمی شود دبیرستان. اما بیهوده! این تکنیک زمانی حیاتی است که برای حل مسائل پیچیده به روش مختصات متوسل شویم. با این حال، من فرض می کنم که شما مشتاق یادگیری چیز جدیدی هستید؟ علاوه بر این، زمانی که معلوم شود از قبل می دانید که چگونه از تکنیکی استفاده کنید که معمولاً در یک دوره هندسه تحلیلی مطالعه می شود، می توانید معلم خود را در دانشگاه تحت تأثیر قرار دهید. پس بیایید شروع کنیم.

معادله یک هواپیما با معادله یک خط مستقیم در یک صفحه تفاوت زیادی ندارد، یعنی به شکل زیر است:

برخی از اعداد (نه همه برابر با صفر) و متغیرها، به عنوان مثال: و غیره. همانطور که می بینید، معادله یک هواپیما با معادله یک خط مستقیم (تابع خطی) تفاوت زیادی ندارد. با این حال، یادت هست من و تو چه بحثی داشتیم؟ گفتیم که اگر سه نقطه داشته باشیم که روی یک خط قرار نگیرند، می‌توان معادله هواپیما را به‌طور منحصربه‌فرد از روی آنها بازسازی کرد. اما چگونه؟ من سعی می کنم آن را برای شما توضیح دهم.

از آنجایی که معادله هواپیما به صورت زیر است:

و نقاط متعلق به این صفحه هستند، پس هنگام جایگزینی مختصات هر نقطه در معادله صفحه باید هویت صحیح را بدست آوریم:

بنابراین، نیاز به حل سه معادله با مجهول وجود دارد! دوراهی! با این حال، همیشه می توانید فرض کنید که (برای انجام این کار باید تقسیم بر). بنابراین، سه معادله با سه مجهول دریافت می کنیم:

با این حال، ما چنین سیستمی را حل نمی کنیم، بلکه عبارت اسرارآمیزی که از آن حاصل می شود را می نویسیم:

معادله صفحه ای که از سه نقطه داده شده عبور می کند

\[\چپ| (\begin(آرایه)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(آرایه)) \right| = 0\]

متوقف کردن! این چیه؟ چند ماژول بسیار غیر معمول! با این حال، شیئی که در مقابل خود می بینید ربطی به ماژول ندارد. این شیء را دترمینان مرتبه سوم می نامند. از این به بعد، وقتی با روش مختصات در یک هواپیما سر و کار دارید، اغلب با همین عوامل تعیین کننده مواجه خواهید شد. تعیین کننده مرتبه سوم چیست؟ به اندازه کافی عجیب، این فقط یک عدد است. باقی مانده است که بفهمیم چه عدد خاصی را با تعیین کننده مقایسه خواهیم کرد.

اجازه دهید ابتدا دترمینال مرتبه سوم را در موارد بیشتر بنویسیم نمای کلی:

چند عدد کجاست علاوه بر این، منظور از شاخص اول، شماره ردیف، و از شاخص، شماره ستون است. به عنوان مثال، به این معنی است که این عدد در تقاطع ردیف دوم و ستون سوم است. بگذار آن را بپوشانیم سوال بعدی: دقیقا چگونه چنین تعیین کننده ای را محاسبه خواهیم کرد؟ یعنی چه عدد خاصی را با آن مقایسه خواهیم کرد؟ برای تعیین کننده مرتبه سوم یک قانون مثلث اکتشافی (بصری) وجود دارد، به نظر می رسد این است:

1. حاصل ضرب عناصر مورب اصلی (از گوشه سمت چپ بالا به سمت راست پایین) حاصل ضرب عناصر تشکیل دهنده مثلث اول "عمود" به مورب اصلی حاصل ضرب عناصر تشکیل دهنده مثلث دوم "عمود بر" مورب اصلی
2. حاصل ضرب عناصر مورب ثانویه (از گوشه سمت راست بالا به سمت چپ پایین) حاصل ضرب عناصر تشکیل دهنده مثلث اول "عمود" به مورب ثانویه حاصل ضرب عناصر تشکیل دهنده مثلث دوم "عمود" به مورب ثانویه
3. سپس تعیین کننده برابر است با تفاوت بین مقادیر به دست آمده در مرحله و

اگر همه اینها را با اعداد بنویسیم، عبارت زیر را دریافت می کنیم:

با این حال، لازم نیست روش محاسبه را در این فرم به خاطر بسپارید؛ کافی است فقط مثلث ها و همین ایده را در ذهن خود نگه دارید که چه چیزی به چه چیزی اضافه می شود و چه چیزی سپس از چه چیزی کم می شود).

بیایید روش مثلث را با یک مثال توضیح دهیم:

1. تعیین کننده را محاسبه کنید:

بیایید بفهمیم چه چیزی را اضافه و چه چیزی را کم می کنیم:

شرایطی که دارای امتیاز مثبت هستند:

این مورب اصلی است: حاصلضرب عناصر برابر است با

مثلث اول، «عمود بر مورب اصلی: حاصل ضرب عناصر برابر است با

مثلث دوم «عمود بر مورب اصلی: حاصل ضرب عناصر برابر است با

سه عدد را جمع کنید:

اصطلاحاتی که با منهای همراه هستند

این یک مورب جانبی است: حاصل ضرب عناصر برابر است با

مثلث اول، «عمود بر قطر ثانویه: حاصل ضرب عناصر برابر است با

مثلث دوم، «عمود بر قطر ثانویه: حاصل ضرب عناصر برابر است با

سه عدد را جمع کنید:

تنها کاری که باید انجام شود این است که مجموع عبارت‌های «بعلاوه» را از مجموع عبارت‌های «منهای» کم کنیم:

بدین ترتیب،

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده یا فراطبیعی در محاسبه تعیین کننده های مرتبه سوم وجود ندارد. فقط مهم است که مثلث ها را به خاطر بسپارید و خطاهای حسابی نداشته باشید. حالا سعی کنید خودتان آن را محاسبه کنید:

بررسی می کنیم:

1. مثلث اول عمود بر مورب اصلی:
2. مثلث دوم عمود بر مورب اصلی:
3. مجموع اصطلاحات با پلاس:
4. مثلث اول عمود بر مورب ثانویه:
5. مثلث دوم عمود بر مورب ضلع:
6. جمع عبارات با منفی:
7. مجموع عبارات با یک به علاوه منهای مجموع عبارت های با منهای:

در اینجا چند عامل دیگر وجود دارد، مقادیر آنها را خودتان محاسبه کنید و آنها را با پاسخ ها مقایسه کنید:

پاسخ ها:

خوب، آیا همه چیز همزمان بود؟ عالی است، پس می توانید ادامه دهید! اگر مشکلاتی وجود دارد، توصیه من این است: در اینترنت برنامه های زیادی برای محاسبه تعیین کننده آنلاین وجود دارد. تنها چیزی که نیاز دارید این است که تعیین کننده خود را بیابید، خودتان آن را محاسبه کنید و سپس آن را با آنچه برنامه محاسبه می کند مقایسه کنید. و به همین ترتیب تا زمانی که نتایج شروع به همزمانی کنند. مطمئنم این لحظه دیری نخواهد رسید!

حالا بیایید به تعیین کننده ای که وقتی در مورد معادله هواپیمایی که از سه می گذرد صحبت کردم، نوشتم بازگردیم. امتیاز داده شده:

تنها چیزی که نیاز دارید این است که مقدار آن را مستقیماً (با استفاده از روش مثلث) محاسبه کنید و نتیجه را صفر کنید. به طور طبیعی، از آنجایی که اینها متغیر هستند، مقداری از عبارت را دریافت خواهید کرد که به آنها بستگی دارد. این عبارت است که معادله صفحه ای خواهد بود که از سه نقطه داده شده عبور می کند که روی یک خط مستقیم قرار ندارند!

بیایید این موضوع را با یک مثال ساده توضیح دهیم:

1. معادله صفحه ای را بسازید که از نقاط عبور می کند

ما برای این سه نقطه یک عامل تعیین می کنیم:

بیایید ساده کنیم:

اکنون آن را مستقیماً با استفاده از قانون مثلث محاسبه می کنیم:

\[(\ چپ| (\شروع(آرایه)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\پایان(آرایه)) \ راست| = \چپ((x + 3) \راست) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \راست) + \چپ((y - 2) \راست) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

بنابراین، معادله صفحه ای که از نقاط عبور می کند به صورت زیر است:

اکنون سعی کنید یک مشکل را خودتان حل کنید و سپس در مورد آن بحث خواهیم کرد:

2. معادله هواپیمای عبوری از نقاط را بیابید

خوب، بیایید اکنون راه حل را مورد بحث قرار دهیم:

بیایید یک تعیین کننده ایجاد کنیم:

و مقدار آن را محاسبه کنید:

سپس معادله هواپیما به شکل زیر است:

یا با کاهش، دریافت می کنیم:

اکنون دو وظیفه برای خودکنترلی:

1. معادله صفحه ای را بسازید که از سه نقطه عبور می کند:

پاسخ ها:

آیا همه چیز همزمان بود؟ باز هم، اگر مشکلات خاصی وجود دارد، پس توصیه من این است: سه نقطه را از سر خود بردارید (به احتمال زیاد روی یک خط مستقیم قرار نگیرند)، بر اساس آنها یک هواپیما بسازید. و سپس خود را آنلاین چک می کنید. به عنوان مثال در سایت:

با این حال، با کمک عوامل تعیین کننده، ما نه تنها معادله هواپیما را خواهیم ساخت. به یاد داشته باشید، من به شما گفتم که نه تنها محصول نقطه ای برای بردارها تعریف شده است. همچنین یک محصول برداری و همچنین یک محصول ترکیبی وجود دارد. و اگر حاصل ضرب اسکالر دو بردار عددی باشد، حاصل ضرب بردار دو بردار یک بردار خواهد بود و این بردار عمود بر بردارهای داده شده خواهد بود:

علاوه بر این، ماژول آن برابر با مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها و. برای محاسبه فاصله یک نقطه تا یک خط به این بردار نیاز داریم. چگونه می توانیم بشماریم؟ محصول برداریبردارها و اگر مختصات آنها داده شود؟ تعیین کننده مرتبه سوم دوباره به کمک ما می آید. با این حال، قبل از اینکه به الگوریتم محاسبه حاصلضرب بردار بروم، باید یک انحراف کوچک انجام دهم.

این انحراف مربوط به بردارهای پایه است.

آنها به صورت شماتیک در شکل نشان داده شده اند:

به نظر شما چرا به آنها پایه می گویند؟ حقیقت این هست که :

یا در تصویر:

اعتبار این فرمول بدیهی است، زیرا:

اثر هنری وکتور

اکنون می توانم شروع به معرفی محصول متقاطع کنم:

حاصل ضرب برداری دو بردار یک بردار است که طبق قانون زیر محاسبه می شود:

حال بیایید چند نمونه از محاسبه ضربدری را بیان کنیم:

مثال 1: حاصل ضرب بردارها را بیابید:

راه حل: من یک تعیین کننده می سازم:

و من آن را محاسبه می کنم:

اکنون از نوشتن از طریق بردارهای پایه، به نماد برداری معمول بازخواهم گشت:

بدین ترتیب:

حالا امتحانش کن

آماده؟ بررسی می کنیم:

و به طور سنتی دو وظایف برای کنترل:

1. حاصلضرب برداری بردارهای زیر را بیابید:
2. حاصلضرب برداری بردارهای زیر را بیابید:

پاسخ ها:

حاصلضرب مخلوط سه بردار

آخرین ساختنی که به آن نیاز دارم حاصلضرب مخلوط سه بردار است. مانند یک عدد اسکالر یک عدد است. دو روش برای محاسبه آن وجود دارد. - از طریق یک تعیین کننده، - از طریق یک محصول مخلوط.

یعنی سه بردار به ما داده می شود:

سپس حاصلضرب مخلوط سه بردار را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:

1. - یعنی حاصلضرب مخلوط حاصل ضرب اسکالر یک بردار و حاصلضرب برداری دو بردار دیگر است.

به عنوان مثال، حاصلضرب مخلوط سه بردار عبارت است از:

سعی کنید خودتان آن را با استفاده از حاصل ضرب برداری محاسبه کنید و مطمئن شوید که نتایج مطابقت دارند!

و دوباره - دو مثال برای تصمیم مستقل:

پاسخ ها:

انتخاب سیستم مختصات

خوب، اکنون ما تمام پایه های دانش لازم را برای حل مسائل پیچیده هندسی استریومتری داریم. با این حال، قبل از اینکه مستقیماً به مثال‌ها و الگوریتم‌هایی برای حل آنها بپردازیم، فکر می‌کنم که در این سؤال مفید خواهد بود: دقیقاً چگونه یک سیستم مختصات را برای یک شکل خاص انتخاب کنید.از این گذشته، این انتخاب موقعیت نسبی سیستم مختصات و شکل در فضا است که در نهایت تعیین می کند که محاسبات چقدر دست و پا گیر خواهند بود.

یادآور می شوم که در این بخش، ارقام زیر را در نظر می گیریم:

1. متوازی الاضلاع مستطیلی
2. منشور مستقیم (مثلثی، شش ضلعی ...)
3. هرم (مثلثی، چهار گوش)
4. چهار وجهی (همان هرم مثلثی)

برای یک متوازی الاضلاع یا مکعب مستطیلی، ساخت زیر را به شما توصیه می کنم:

یعنی شکل را "در گوشه" قرار می دهم. مکعب و متوازی الاضلاع بسیار هستند ارقام خوب. برای آنها، شما همیشه می توانید به راحتی مختصات رئوس آن را پیدا کنید. به عنوان مثال، اگر (همانطور که در شکل نشان داده شده است)

سپس مختصات رئوس به صورت زیر است:

البته، لازم نیست این را به خاطر بسپارید، اما به یاد داشته باشید که چگونه یک مکعب یا متوازی الاضلاع مستطیل شکل را به بهترین شکل قرار دهید.

منشور مستقیم

منشور شکل مضر تری است. می توان آن را به روش های مختلف در فضا قرار داد. با این حال، گزینه زیر به نظر من قابل قبول ترین است:

منشور مثلثی:

یعنی یکی از اضلاع مثلث را کاملا روی محور قرار می دهیم و یکی از رئوس منطبق بر مبدا مختصات است.

منشور شش ضلعی:

یعنی یکی از رئوس با مبدا منطبق است و یکی از اضلاع روی محور قرار دارد.

هرم چهار گوش و شش ضلعی:

وضعیت شبیه به یک مکعب است: دو طرف پایه را با محورهای مختصات تراز می کنیم و یکی از رئوس را با مبدا مختصات تراز می کنیم. تنها مشکل جزئی محاسبه مختصات نقطه خواهد بود.

برای یک هرم شش ضلعی - مانند یک منشور شش ضلعی. وظیفه اصلی دوباره یافتن مختصات راس خواهد بود.

چهار وجهی (هرم مثلثی)

وضعیت بسیار شبیه به چیزی است که من برای یک منشور مثلثی ارائه کردم: یک راس منطبق بر مبدا، یک طرف روی محور مختصات قرار دارد.

خب، حالا من و شما بالاخره به حل مشکلات نزدیک شده ایم. از آنچه در همان ابتدای مقاله گفتم، می توانید به این نتیجه برسید: اکثر مسائل C2 به 2 دسته تقسیم می شوند: مسائل زاویه و مسایل فاصله. ابتدا به مشکلات یافتن زاویه می پردازیم. آنها به نوبه خود به دسته های زیر تقسیم می شوند (با افزایش پیچیدگی):

مشکلات برای یافتن زاویه

1. پیدا کردن زاویه بین دو خط مستقیم
2. پیدا کردن زاویه بین دو صفحه

بیایید به ترتیب به این مشکلات نگاه کنیم: بیایید با پیدا کردن زاویه بین دو خط مستقیم شروع کنیم. خوب، به یاد داشته باشید، آیا من و شما قبلاً نمونه های مشابه را حل نکرده ایم؟ یادت هست قبلا چیزی شبیه به آن داشتیم... ما به دنبال زاویه بین دو بردار بودیم. به شما یادآوری می کنم، اگر دو بردار داده شود: and، آنگاه زاویه بین آنها از رابطه پیدا می شود:

اکنون هدف ما یافتن زاویه بین دو خط مستقیم است. بیایید به "تصویر مسطح" نگاه کنیم:

با قطع شدن دو خط مستقیم به چند زاویه رسیدیم؟ فقط چند چیز درست است، تنها دو مورد از آنها برابر نیستند، در حالی که بقیه نسبت به آنها عمودی هستند (و بنابراین با آنها مطابقت دارند). پس زاویه بین دو خط مستقیم را کدام زاویه در نظر بگیریم: یا؟ در اینجا قانون این است: زاویه بین دو خط مستقیم همیشه بیشتر از درجه نیست. یعنی از دو زاویه همیشه زاویه ای را با اندازه کوچکترین درجه انتخاب می کنیم. یعنی در این تصویر زاویه بین دو خط مستقیم برابر است. ریاضیدانان حیله گر برای اینکه هر بار با یافتن کوچکترین دو زاویه اذیت نشوند، استفاده از یک مدول را پیشنهاد کردند. بنابراین، زاویه بین دو خط مستقیم با فرمول تعیین می شود:

شما، به عنوان یک خواننده با دقت، باید این سوال را داشته باشید: دقیقاً این اعدادی را که برای محاسبه کسینوس یک زاویه به آن نیاز داریم، از کجا بدست می آوریم؟ پاسخ: آنها را از بردارهای جهت خطوط می گیریم! بنابراین، الگوریتم برای یافتن زاویه بین دو خط مستقیم به شرح زیر است:

1. ما فرمول 1 را اعمال می کنیم.

یا با جزئیات بیشتر:

1. ما به دنبال مختصات بردار جهت اولین خط مستقیم هستیم
2. ما به دنبال مختصات بردار جهت خط مستقیم دوم هستیم
3. ما مدول حاصل ضرب اسکالر آنها را محاسبه می کنیم
4. ما به دنبال طول اولین بردار هستیم
5. ما به دنبال طول بردار دوم هستیم
6. نتایج نقطه 4 را در نتیجه 5 ضرب کنید
7. نتیجه نقطه 3 را بر نتیجه نقطه 6 تقسیم می کنیم. کسینوس زاویه بین خطوط بدست می آید.
8. اگر این نتیجه به ما اجازه دهد که زاویه را به طور دقیق محاسبه کنیم، آن را جستجو می کنیم
9. در غیر این صورت از طریق کسینوس قوس می نویسیم

خوب، اکنون زمان آن است که به سراغ مشکلات برویم: راه حل دو مورد اول را با جزئیات نشان می دهم، راه حل را به یکی دیگر ارائه خواهم کرد. به طور خلاصهو برای دو مشکل آخر فقط جواب می‌دهم، شما باید خودتان همه محاسبات را برای آنها انجام دهید.

وظایف:

1. در سمت راست، زاویه بین ارتفاع تت را و ضلع وسط را پیدا کنید.

2. در سمت راست شش گوشه پی را می ده، صد اوس نو و نیا مساوی و لبه های کناری مساوی است، زاویه بین خطوط را بیابید و.

3. طول تمام لبه های سمت راست چهار زغال پی-را-می-دی با یکدیگر برابر است. زاویه بین خطوط مستقیم را بیابید و اگر از برش - با پی را-می-دی داده شده هستید، نقطه se-re-di-روی دنده های bo-co- دوم آن است.

4. در لبه مکعب نقطه ای وجود دارد که زاویه بین خطوط مستقیم را پیدا کنید و

5. نقطه - در لبه های مکعب زاویه بین خطوط مستقیم و.

تصادفی نیست که وظایف را به این ترتیب مرتب کردم. در حالی که شما هنوز شروع به پیمایش روش مختصات نکرده اید، من خودم "مشکل ساز" ترین ارقام را تجزیه و تحلیل می کنم و شما را به ساده ترین مکعب می گذارم! به تدریج باید یاد بگیرید که چگونه با تمام شکل ها کار کنید؛ من پیچیدگی کارها را از موضوعی به موضوع دیگر افزایش خواهم داد.

بیایید شروع به حل مشکلات کنیم:

1. یک چهار وجهی بکشید، آن را همانطور که قبلاً پیشنهاد کردم در سیستم مختصات قرار دهید. از آنجایی که چهار وجهی منظم است، تمام وجوه آن (از جمله قاعده) مثلث های منظم هستند. از آنجایی که طول ضلع به ما داده نمی شود، می توانم آن را برابر بدانم. فکر می‌کنم متوجه شده‌اید که زاویه واقعاً به میزان "کشش" چهار وجهی ما بستگی ندارد؟ همچنین ارتفاع و میانه را در چهار وجهی رسم خواهم کرد. در طول راه پایه آن را می کشم (برای ما هم مفید خواهد بود).

من باید زاویه بین و را پیدا کنم. چه می دانیم؟ ما فقط مختصات نقطه را می دانیم. یعنی باید مختصات نقاط را پیدا کنیم. حال فکر می کنیم: نقطه نقطه تلاقی ارتفاعات (یا نیمسازها یا وسط) مثلث است. و یک نقطه یک نقطه مطرح است. نقطه وسط بخش است. سپس در نهایت باید پیدا کنیم: مختصات نقاط: .

بیایید با ساده ترین چیز شروع کنیم: مختصات یک نقطه. به شکل نگاه کنید: واضح است که کاربرد یک نقطه برابر با صفر است (نقطه روی صفحه قرار دارد). ترتیب آن مساوی است (چون وسط است). پیدا کردن آبسیس آن دشوارتر است. با این حال، این به راحتی بر اساس قضیه فیثاغورث انجام می شود: یک مثلث را در نظر بگیرید. هیپوتنوز آن برابر است و یکی از پایه های آن برابر است سپس:

در نهایت داریم: .

حالا مختصات نقطه را پیدا می کنیم. معلوم است که مصداق آن دوباره برابر با صفر است و مصداق آن همان نقطه است، یعنی. بیایید آبسیس آن را پیدا کنیم. اگر آن را به خاطر داشته باشید، این کار کاملاً پیش پا افتاده انجام می شود ارتفاعات مثلث متساوی الاضلاعنقطه تقاطع به نسبت تقسیم می شود، از بالا می شمرد. از آنجایی که: , پس آبسیسا مورد نیاز نقطه برابر با طول پاره برابر است با: . بنابراین مختصات نقطه عبارتند از:

بیایید مختصات نقطه را پیدا کنیم. واضح است که تبرّک و ترتیب آن منطبق بر تبرّک و ترتیب نقطه است. و درخواست برابر با طول قطعه است. - این یکی از پایه های مثلث است. هیپوتنوز یک مثلث یک قطعه - یک پا است. به دلایلی جستجو می شود که به صورت پررنگ برجسته کرده ام:

نقطه وسط بخش است. سپس باید فرمول مختصات نقطه میانی قطعه را به خاطر بسپاریم:

تمام است، اکنون می توانیم مختصات بردارهای جهت را جستجو کنیم:

خوب، همه چیز آماده است: همه داده ها را در فرمول جایگزین می کنیم:

بدین ترتیب،

پاسخ:

شما نباید از چنین پاسخ های "ترسناک" بترسید: برای وظایف C2 این یک روش معمول است. ترجیح می دهم از پاسخ "زیبا" در این قسمت تعجب کنم. همچنین همانطور که متوجه شدید عملاً به غیر از قضیه فیثاغورث و خاصیت ارتفاعات مثلث متساوی الاضلاع متوسل نشدم. یعنی برای حل مشکل استریومتریک از حداقل استریومتری استفاده کردم. سود در این تا حدی با محاسبات نسبتاً دست و پا گیر "خاموش" می شود. اما کاملا الگوریتمی هستند!

2. اجازه دهید یک هرم شش ضلعی منظم را به همراه سیستم مختصات و همچنین پایه آن به تصویر بکشیم:

باید زاویه بین خطوط و را پیدا کنیم. بنابراین، وظیفه ما به یافتن مختصات نقاط می رسد: . مختصات سه مورد آخر را با استفاده از یک نقاشی کوچک پیدا می کنیم و مختصات راس را از طریق مختصات نقطه می یابیم. کارهای زیادی برای انجام دادن وجود دارد، اما باید شروع کنیم!

الف) مختصات: مشخص است که مصداق و مختصات آن برابر با صفر است. بیایید آبسیسا را ​​پیدا کنیم. برای این کار یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید. افسوس که در آن فقط هیپوتونوس را می دانیم که برابر است. ما سعی خواهیم کرد ساق را پیدا کنیم (چون واضح است که دو برابر طول ساق باعث می شود آبسیسا نقطه به ما برسد). چگونه می توانیم به دنبال آن باشیم؟ بیایید به یاد بیاوریم که چه شکلی در قاعده هرم داریم؟ این یک شش ضلعی منظم است. چه مفهومی داره؟ این بدان معنی است که همه اضلاع و همه زوایا برابر هستند. ما باید یکی از این زاویه ها را پیدا کنیم. هر ایده؟ ایده های زیادی وجود دارد، اما یک فرمول وجود دارد:

مجموع زوایای یک n-گون منتظم برابر است با .

بنابراین مجموع زوایای یک شش ضلعی منتظم برابر با درجه است. سپس هر یک از زوایا برابر است با:

بیایید دوباره به تصویر نگاه کنیم. واضح است که قطعه نیمساز زاویه است. سپس زاویه برابر با درجه است. سپس:

بعد از کجا

بنابراین، دارای مختصات است

ب) اکنون می توانیم مختصات نقطه را به راحتی پیدا کنیم: .

ج) مختصات نقطه را بیابید. از آنجایی که آبسیسه آن با طول قطعه منطبق است، برابر است. پیدا کردن مختصات نیز چندان دشوار نیست: اگر نقطه ها را به هم وصل کنیم و نقطه تقاطع خط را به عنوان مثال تعیین کنیم. (این کار را خودتان انجام دهید ساخت و ساز ساده). بنابراین، ترتیب نقطه B برابر است با مجموع طول قطعات. بیایید دوباره به مثلث نگاه کنیم. سپس

سپس از Then then نقطه دارای مختصاتی است

د) حالا مختصات نقطه را پیدا می کنیم. مستطیل را در نظر بگیرید و ثابت کنید که بنابراین مختصات نقطه عبارتند از:

ه) برای یافتن مختصات راس باقی مانده است. واضح است که تبرّک و ترتیب آن منطبق بر تبرّک و ترتیب نقطه است. بیایید اپلیکیشن را پیدا کنیم. از آن به بعد. یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید. با توجه به شرایط مشکل، یک لبه جانبی. این هیپوتنوز مثلث من است. سپس ارتفاع هرم یک پا است.

سپس نقطه دارای مختصاتی است:

خوب، همین، من مختصات تمام نکاتی را که برایم جالب است، دارم. من به دنبال مختصات بردارهای هدایت کننده خطوط مستقیم هستم:

ما به دنبال زاویه بین این بردارها هستیم:

پاسخ:

باز هم، در حل این مشکل، من از هیچ تکنیک پیچیده ای به جز فرمول مجموع زوایای یک n-gon منظم و همچنین تعریف کسینوس و سینوس مثلث قائم الزاویه استفاده نکردم.

3. از آنجایی که دوباره طول لبه های هرم به ما داده نشده است، آنها را می شمارم. برابر با یک. بنابراین، از آنجایی که همه لبه ها، و نه فقط لبه های کناری، با یکدیگر برابر هستند، در قاعده هرم و من یک مربع وجود دارد و وجه های جانبی مثلث های منظم هستند. اجازه دهید چنین هرمی و همچنین پایه آن را روی یک صفحه بکشیم و تمام داده های داده شده در متن مسئله را یادداشت کنیم:

ما به دنبال زاویه بین و هستیم. وقتی مختصات نقاط را جستجو می کنم محاسبات بسیار مختصری انجام خواهم داد. شما باید آنها را "رمزگشایی" کنید:

ب) - وسط قطعه. مختصات آن:

ج) طول پاره را با استفاده از قضیه فیثاغورث در مثلث پیدا می کنم. من می توانم آن را با استفاده از قضیه فیثاغورث در یک مثلث پیدا کنم.

مختصات:

د) - وسط بخش. مختصات آن است

ه) مختصات برداری

و) مختصات برداری

ز) به دنبال زاویه:

مکعب ساده ترین شکل است. مطمئنم خودت متوجه میشی پاسخ مسائل 4 و 5 به شرح زیر است:

پیدا کردن زاویه بین یک خط مستقیم و یک صفحه

خوب، زمان معماهای ساده به پایان رسیده است! اکنون مثال ها حتی پیچیده تر خواهند شد. برای یافتن زاویه بین خط و صفحه به صورت زیر عمل می کنیم:

1. با استفاده از سه نقطه معادله ای از هواپیما می سازیم
   ,
   با استفاده از یک تعیین کننده مرتبه سوم
2. با استفاده از دو نقطه، مختصات بردار جهت دهنده خط مستقیم را جستجو می کنیم:
3. برای محاسبه زاویه بین یک خط مستقیم و یک صفحه از فرمول استفاده می کنیم:

همانطور که می بینید، این فرمول بسیار شبیه فرمولی است که برای یافتن زاویه بین دو خط مستقیم استفاده کردیم. ساختار سمت راست به سادگی یکسان است و در سمت چپ ما اکنون به دنبال سینوس هستیم، نه کسینوس قبلی. خوب، یک اقدام بد اضافه شد - جستجو برای معادله هواپیما.

معطل نکنیم مثال های راه حل:

1. منشور مستقیم اصلی-اما-و-نی-ام-ما یک مثلث مساوی به ضعیف هستیم. زاویه بین خط مستقیم و صفحه را پیدا کنید

2. در یک مستطیل par-ral-le-le-pi-pe-de از غرب زاویه بین خط مستقیم و صفحه را پیدا کنید.

3. در یک منشور شش گوشه راست، تمام یال ها با هم برابرند. زاویه بین خط مستقیم و صفحه را پیدا کنید.

4. در مثلث راست پی را می د با os-no-va-ni-em از دنده های شناخته شده یک گوشه پیدا کنید، ob-ra-zo-van - مسطح در قاعده و مستقیم، عبور از خاکستری. دنده ها و

5. طول تمام یال های یک چهار گوش راست pi-ra-mi-dy با راس با یکدیگر برابر است. اگر نقطه در سمت لبه pi-ra-mi-dy باشد، زاویه بین خط مستقیم و صفحه را پیدا کنید.

باز هم دو مشکل اول را به طور مفصل حل می کنم، سومی را به طور خلاصه و دو تای آخر را می گذارم تا خودتان حل کنید. علاوه بر این، شما قبلاً مجبور شده اید با هرم های مثلثی و چهار گوش برخورد کنید، اما هنوز با منشورها سروکار نداشته اید.

راه حل ها:

1. اجازه دهید یک منشور و همچنین پایه آن را به تصویر بکشیم. بیایید آن را با سیستم مختصات ترکیب کنیم و تمام داده‌هایی را که در عبارت مشکل داده شده است یادداشت کنیم:

من از برخی عدم رعایت تناسب عذرخواهی می کنم، اما برای حل مشکل این در واقع چندان مهم نیست. هواپیما به سادگی "دیوار پشتی" منشور من است. کافی است حدس بزنیم که معادله چنین صفحه ای به شکل زیر است:

با این حال، این را می توان به طور مستقیم نشان داد:

بیایید سه نقطه دلخواه را در این صفحه انتخاب کنیم: به عنوان مثال، .

بیایید معادله هواپیما را ایجاد کنیم:

برای شما تمرین کنید: خودتان این عامل تعیین کننده را محاسبه کنید. موفق شدی؟ سپس معادله هواپیما به نظر می رسد:

یا به سادگی

بدین ترتیب،

برای حل مثال، باید مختصات بردار جهت خط مستقیم را پیدا کنم. از آنجایی که نقطه منطبق بر مبدا مختصات است، مختصات بردار به سادگی با مختصات نقطه منطبق خواهد شد، برای این کار ابتدا مختصات نقطه را پیدا می کنیم.

برای این کار یک مثلث را در نظر بگیرید. بیایید ارتفاع (همچنین به عنوان میانه و نیمساز شناخته می شود) را از راس رسم کنیم. از آنجا که، ترتیب نقطه برابر است با. برای یافتن آبسیسا این نقطه باید طول قطعه را محاسبه کنیم. طبق قضیه فیثاغورث داریم:

سپس نقطه دارای مختصاتی است:

یک نقطه یک نقطه "برآمده" است:

سپس مختصات برداری عبارتند از:

پاسخ:

همانطور که می بینید، هنگام حل چنین مشکلاتی هیچ چیز اساساً دشوار نیست. در واقع، این فرآیند با "صراط مستقیم" شکلی مانند منشور کمی ساده تر می شود. حالا بریم سراغ مثال بعدی:

2. یک متوازی الاضلاع رسم کنید، یک صفحه و یک خط مستقیم در آن بکشید و همچنین به طور جداگانه پایه پایینی آن را بکشید:

ابتدا معادله صفحه را پیدا می کنیم: مختصات سه نقطه در آن قرار دارد:

(دو مختصات اول به صورت واضح به دست می آیند و شما می توانید آخرین مختصات را از روی نقطه به راحتی از روی تصویر پیدا کنید). سپس معادله هواپیما را می سازیم:

محاسبه می کنیم:

ما به دنبال مختصات بردار راهنما هستیم: مشخص است که مختصات آن با مختصات نقطه منطبق است، اینطور نیست؟ چگونه مختصات را پیدا کنیم؟ اینها مختصات نقطه هستند که در امتداد محور کاربردی یک بار بالا آمده اند! . سپس به دنبال زاویه مورد نظر می گردیم:

پاسخ:

3. یک هرم شش ضلعی منظم بکشید و سپس یک صفحه و یک خط مستقیم در آن بکشید.

در اینجا حتی ترسیم هواپیما مشکل است، نه به حل این مشکل، اما روش مختصات اهمیتی ندارد! تطبیق پذیری آن مزیت اصلی آن است!

هواپیما از سه نقطه عبور می کند: . ما به دنبال مختصات آنها هستیم:

1) . مختصات دو نقطه آخر را خودتان بیابید. برای این کار باید مشکل هرم شش ضلعی را حل کنید!

2) معادله هواپیما را می سازیم:

ما به دنبال مختصات بردار هستیم: . (مسئله هرم مثلثی را دوباره ببینید!)

3) به دنبال زاویه:

پاسخ:

همانطور که می بینید، هیچ چیز فوق طبیعی در این وظایف دشوار نیست. فقط باید خیلی مراقب ریشه ها باشید. من فقط به دو مشکل آخر پاسخ خواهم داد:

همانطور که می بینید، تکنیک حل مسائل در همه جا یکسان است: وظیفه اصلی یافتن مختصات رئوس و جایگزینی آنها با فرمول های خاص است. ما هنوز باید یک دسته دیگر از مسائل را برای محاسبه زاویه در نظر بگیریم، یعنی:

محاسبه زوایای بین دو صفحه

الگوریتم حل به صورت زیر خواهد بود:

1. با استفاده از سه نقطه معادله صفحه اول را جستجو می کنیم:
2. با استفاده از سه نقطه دیگر معادله صفحه دوم را جستجو می کنیم:
3. ما فرمول را اعمال می کنیم:

همانطور که می بینید، فرمول بسیار شبیه به دو فرمول قبلی است که با کمک آن به دنبال زاویه بین خطوط مستقیم و بین یک خط مستقیم و یک صفحه بودیم. بنابراین به خاطر سپردن این مورد برای شما دشوار نخواهد بود. بیایید به تجزیه و تحلیل وظایف بپردازیم:

1. ضلع قاعده منشور مثلثی راست مساوی و مورب وجه جانبی برابر است. زاویه بین صفحه و صفحه محور منشور را پیدا کنید.

2. در چهار گوشه سمت راست پی را می‌ده که تمام لبه‌های آن با هم برابر هستند، سینوس زاویه بین صفحه و استخوان صفحه را پیدا کنید که از نقطه هر قلم دی‌کو- می‌گذرد. دروغگو، اما راست.

3. در یک منشور چهار گوشه منظم، اضلاع پایه برابر و لبه های جانبی برابر هستند. یک نقطه در لبه از-من-چه-آن وجود دارد به طوری که. زاویه بین صفحات و

4. در منشور چهار گوش راست، اضلاع قاعده مساوی، و لبه های جانبی برابر هستند. یک نقطه در لبه از نقطه وجود دارد به طوری که زاویه بین صفحات و.

5. در یک مکعب، co-si-nus زاویه بین صفحات و را پیدا کنید

راه حل های مشکل:

1. من یک منشور مثلثی منتظم (مثلث متساوی الاضلاع در قاعده) رسم می کنم و صفحاتی را که در بیان مسئله ظاهر می شوند روی آن علامت می زنم:

ما باید معادلات دو صفحه را پیدا کنیم: معادله پایه بی اهمیت است: شما می توانید تعیین کننده مربوطه را با استفاده از سه نقطه بسازید، اما من بلافاصله معادله را می سازم:

حالا بیایید معادله نقطه دارای مختصات نقطه است - از آنجایی که میانه و ارتفاع مثلث است، به راحتی با استفاده از قضیه فیثاغورث در مثلث پیدا می شود. سپس نقطه دارای مختصاتی است: بیایید کاربرد نقطه را پیدا کنیم برای این کار یک مثلث قائم الزاویه در نظر بگیرید.

سپس مختصات زیر را بدست می آوریم: معادله هواپیما را می سازیم.

ما زاویه بین صفحات را محاسبه می کنیم:

پاسخ:

2. کشیدن نقاشی:

دشوارترین چیز این است که بفهمیم این چه نوع هواپیمای مرموز است که به طور عمود از نقطه عبور می کند. خوب، نکته اصلی این است که چیست؟ نکته اصلی توجه است! در واقع خط عمود است. خط مستقیم نیز عمود است. سپس صفحه ای که از این دو خط می گذرد عمود بر خط خواهد بود و اتفاقاً از نقطه عبور می کند. این هواپیما از بالای هرم نیز عبور می کند. سپس هواپیمای مورد نظر - و هواپیما قبلاً در اختیار ما قرار گرفته است. ما به دنبال مختصات نقاط هستیم.

مختصات نقطه را از طریق نقطه پیدا می کنیم. از تصویر کوچک به راحتی می توان استنباط کرد که مختصات نقطه به صورت زیر خواهد بود: اکنون چه چیزی برای یافتن مختصات بالای هرم باقی مانده است؟ شما همچنین باید ارتفاع آن را محاسبه کنید. این کار با استفاده از همان قضیه فیثاغورث انجام می شود: ابتدا ثابت کنید که (به طور بی اهمیت از مثلث های کوچکی که یک مربع در قاعده تشکیل می دهند). از آنجایی که به شرط، ما داریم:

اکنون همه چیز آماده است: مختصات راس:

معادله هواپیما را می سازیم:

شما قبلاً در محاسبه عوامل تعیین کننده متخصص هستید. بدون مشکل دریافت خواهید کرد:

یا در غیر این صورت (اگر هر دو طرف را در ریشه دو ضرب کنیم)

حال بیایید معادله هواپیما را پیدا کنیم:

(فراموش نکرده اید که چگونه معادله یک هواپیما را به دست می آوریم، درست است؟ اگر متوجه نشدید که این منهای یک از کجا آمده است، پس به تعریف معادله یک هواپیما برگردید! همیشه قبل از آن مشخص می شد. هواپیمای من متعلق به مبدأ مختصات بود!)

ما تعیین کننده را محاسبه می کنیم:

(ممکن است متوجه شوید که معادله هواپیما با معادله خطی که از نقاط می گذرد منطبق است و به این فکر کنید که چرا!)

حالا بیایید زاویه را محاسبه کنیم:

باید سینوس را پیدا کنیم:

پاسخ:

3. سوال پیچیده: به نظر شما منشور مستطیلی چیست؟ این فقط یک متوازی الاضلاع است که شما خوب می دانید! بیایید بلافاصله یک نقاشی بکشیم! حتی لازم نیست پایه را جداگانه به تصویر بکشید؛ در اینجا کاربرد کمی دارد:

هواپیما، همانطور که قبلاً اشاره کردیم، به شکل یک معادله نوشته شده است:

حالا بیایید یک هواپیما بسازیم

بلافاصله معادله هواپیما را ایجاد می کنیم:

به دنبال زاویه:

اکنون پاسخ دو مشکل آخر:

خوب، اکنون وقت آن است که کمی استراحت کنیم، زیرا من و شما عالی هستیم و کار بزرگی انجام داده ایم!

مختصات و بردارها. سطح پیشرفته

در این مقاله با شما دسته دیگری از مسائل را که می توان با استفاده از روش مختصات حل کرد، بحث خواهیم کرد: مسائل محاسبه فاصله. یعنی موارد زیر را بررسی خواهیم کرد:

1. محاسبه فاصله بین خطوط متقاطع.

من این تکالیف را به منظور افزایش سختی سفارش داده ام. به نظر می رسد که پیدا کردن آن ساده ترین است فاصله از نقطه به هواپیما، و پیدا کردن سخت ترین چیز است فاصله بین خطوط عبور. اگرچه، البته، هیچ چیز غیر ممکن نیست! بیایید تعلل نکنیم و بلافاصله به بررسی اولین دسته از مشکلات بپردازیم:

محاسبه فاصله نقطه تا صفحه

برای حل این مشکل به چه چیزی نیاز داریم؟

1. مختصات نقطه

بنابراین، به محض دریافت تمام داده های لازم، فرمول را اعمال می کنیم:

شما از قبل باید بدانید که چگونه معادله یک هواپیما را از مسائل قبلی که در قسمت آخر بحث کردم، می سازیم. بیایید مستقیم به وظایف برسیم. طرح به شرح زیر است: 1، 2 - من به شما کمک می کنم تصمیم بگیرید، و در برخی جزئیات، 3، 4 - فقط پاسخ، شما خودتان راه حل را انجام دهید و مقایسه کنید. بیا شروع کنیم!

وظایف:

1. یک مکعب داده می شود. طول لبه مکعب برابر است. فاصله se-re-di-na را از برش تا صفحه پیدا کنید

2. با توجه به سمت راست چهار ذغال پی-را-می-بله، ضلع ضلع برابر با پایه است. فاصله نقطه تا صفحه را پیدا کنید که در آن - لبه‌ها را دوباره تکرار کنید.

3. در مثلث راست پی را می د با os-no-va-ni-em، لبه کناری برابر است، و صد رو روی os-no-vania برابر است. فاصله از بالا تا هواپیما را پیدا کنید.

4. در یک منشور شش ضلعی راست، تمام یال ها با هم برابرند. فاصله یک نقطه تا یک صفحه را پیدا کنید.

راه حل ها:

1. مکعبی با لبه های منفرد رسم کنید، یک پاره و یک صفحه بسازید، وسط قطعه را با یک حرف مشخص کنید.

.

اول، بیایید با ساده شروع کنیم: مختصات نقطه را پیدا کنید. از آن زمان به بعد (مختصات وسط بخش را به خاطر بسپارید!)

حالا با استفاده از سه نقطه معادله هواپیما را می سازیم

\[\چپ| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

اکنون می توانم شروع به یافتن فاصله کنم:

2. دوباره با نقاشی شروع می کنیم که تمام داده ها را روی آن علامت گذاری می کنیم!

برای یک هرم، ترسیم پایه آن به طور جداگانه مفید خواهد بود.

حتی این که من مثل مرغ با پنجه اش می کشم مانع از این نمی شود که این مشکل را به راحتی حل کنیم!

اکنون یافتن مختصات یک نقطه آسان است

از آنجایی که مختصات نقطه، پس

2. از آنجایی که مختصات نقطه a وسط پاره است، پس

بدون هیچ مشکلی می توانیم مختصات دو نقطه دیگر را در صفحه پیدا کنیم و برای هواپیما معادله ایجاد کرده و آن را ساده می کنیم:

\[\چپ| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(آرایه)) \right|) \right| = 0\]

از آنجایی که نقطه دارای مختصات است: فاصله را محاسبه می کنیم:

پاسخ (بسیار نادر!):

خوب متوجه شدی؟ به نظر من همه چیز در اینجا به همان اندازه فنی است که در نمونه هایی که در قسمت قبل به آن نگاه کردیم. بنابراین مطمئن هستم که اگر به آن مطالب تسلط داشته باشید، حل دو مشکل باقیمانده برای شما دشوار نخواهد بود. من فقط جواب ها را به شما می دهم:

محاسبه فاصله یک خط مستقیم تا یک صفحه

در واقع هیچ چیز جدیدی در اینجا وجود ندارد. چگونه می توان یک خط مستقیم و یک صفحه را نسبت به یکدیگر قرار داد؟ آنها فقط یک امکان دارند: قطع شوند، یا یک خط مستقیم موازی با صفحه باشد. به نظر شما فاصله یک خط مستقیم تا صفحه ای که این خط مستقیم با آن قطع می شود چقدر است؟ به نظر من اینجا واضح است که چنین فاصله ای برابر با صفر است. مورد جالبی نیست

مورد دوم پیچیده تر است: در اینجا فاصله در حال حاضر غیر صفر است. با این حال، از آنجایی که خط موازی با صفحه است، پس هر نقطه از خط از این صفحه مساوی فاصله دارد:

بدین ترتیب:

این بدان معنی است که وظیفه من به کار قبلی کاهش یافته است: ما به دنبال مختصات هر نقطه در یک خط مستقیم هستیم، به دنبال معادله هواپیما و محاسبه فاصله نقطه تا صفحه هستیم. در واقع، چنین وظایفی در آزمون یکپارچه دولتی بسیار نادر است. من فقط یک مشکل را پیدا کردم و داده های موجود در آن به گونه ای بود که روش مختصات برای آن چندان کاربردی نبود!

حالا بیایید به دسته دیگری از مسائل مهمتر برویم:

محاسبه فاصله یک نقطه تا یک خط

چه چیزی نیاز داریم؟

1. مختصات نقطه ای که به دنبال فاصله از آن هستیم:

2. مختصات هر نقطه ای که روی یک خط قرار دارد

3. مختصات بردار جهت دهنده خط مستقیم

از چه فرمولی استفاده کنیم؟

منظور از مخرج این کسر باید برای شما روشن باشد: این طول بردار جهت دهنده خط مستقیم است. این یک شمارش بسیار مشکل است! عبارت به معنای مدول (طول) حاصل ضرب برداری بردارها و نحوه محاسبه حاصلضرب بردار است که در قسمت قبل کار مطالعه کردیم. دانش خود را تازه کنید، ما اکنون به آن بسیار نیاز خواهیم داشت!

بنابراین، الگوریتم برای حل مسائل به صورت زیر خواهد بود:

1. ما به دنبال مختصات نقطه ای هستیم که از آن فاصله را جستجو می کنیم:

2. ما به دنبال مختصات هر نقطه از خطی هستیم که فاصله تا آن را جستجو می کنیم:

3. بردار بسازید

4. بردار جهت دهنده یک خط مستقیم بسازید

5. حاصل ضرب برداری را محاسبه کنید

6. طول بردار حاصل را جستجو می کنیم:

7. محاسبه فاصله:

ما کار زیادی داریم که باید انجام دهیم و نمونه ها بسیار پیچیده خواهند بود! پس اکنون تمام توجه خود را متمرکز کنید!

1. یک مثلث قائم الزاویه pi-ra-mi-da با یک بالا داده می شود. صد رو بر اساس پی را میدی مساوی است، شما مساوی هستید. فاصله لبه خاکستری تا خط مستقیم را پیدا کنید، جایی که نقاط و لبه های خاکستری هستند و از دامپزشکی.

2. طول دنده ها و زاویه مستقیم-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da بر این اساس برابر است و فاصله از بالا تا خط مستقیم را بیابید.

3. در یک منشور شش ضلعی راست، تمام یال ها برابر هستند، فاصله یک نقطه تا یک خط مستقیم را پیدا کنید.

راه حل ها:

1. ما یک نقاشی منظم می سازیم که روی آن همه داده ها را علامت گذاری می کنیم:

ما خیلی زیاد کار داریم که انجام دهیم! اول، من می خواهم با کلمات توضیح دهم که به دنبال چه چیزی و به چه ترتیبی خواهیم بود:

1. مختصات نقاط و

2. مختصات نقطه

3. مختصات نقاط و

4. مختصات بردارها و

5. محصول متقاطع آنها

6. طول برداری

7. طول محصول برداری

8. فاصله از تا

خب ما خیلی کار در پیش داریم! بیایید با آستین بالا به آن برسیم!

1. برای یافتن مختصات ارتفاع هرم باید مختصات نقطه را بدانیم که مصداق آن صفر است و مختصات آن برابر با آبسیس آن برابر طول پاره است.از آنجایی که ارتفاع آن برابر است یک مثلث متساوی الاضلاع است که از اینجا به نسبت تقسیم می شود. در نهایت مختصات را بدست آوردیم:

مختصات نقطه

2. - وسط بخش

3. - وسط بخش

نقطه میانی بخش

4. مختصات

مختصات برداری

5. حاصل ضرب برداری را محاسبه کنید:

6. طول برداری: ساده ترین راه برای جایگزینی این است که پاره خط وسط مثلث باشد، به این معنی که برابر با نصف قاعده است. بنابراین.

7. طول حاصلضرب بردار را محاسبه کنید:

8. در نهایت فاصله را پیدا می کنیم:

اوه، همین! من صادقانه به شما می گویم: حل این مشکل با استفاده از روش های سنتی (از طریق ساخت و ساز) بسیار سریع تر خواهد بود. اما اینجا همه چیز را به یک الگوریتم آماده تقلیل دادم! فکر می کنم الگوریتم حل برای شما واضح است؟ بنابراین از شما می خواهم دو مشکل باقی مانده را خودتان حل کنید. بیایید پاسخ ها را با هم مقایسه کنیم؟

باز هم تکرار می‌کنم: حل این مشکلات از طریق ساخت‌وساز آسان‌تر (سریع‌تر) به جای متوسل شدن به روش مختصات است. من این روش راه‌حل را فقط برای نشان دادن روشی جهانی به شما نشان دادم که به شما امکان می‌دهد «هیچ چیزی را به پایان نرسانید».

در نهایت، آخرین دسته از مسائل را در نظر بگیرید:

محاسبه فاصله بین خطوط متقاطع

در اینجا الگوریتم حل مسائل مشابه الگوریتم قبلی خواهد بود. آن چه که ما داریم:

3. هر بردار که نقاط خط اول و دوم را به هم متصل می کند:

چگونه فاصله بین خطوط را پیدا کنیم؟

فرمول به شرح زیر است:

شمارنده مدول است محصول مخلوط(در قسمت قبل معرفی کردیم) و مخرج مانند فرمول قبلی است (مدول حاصلضرب بردار بردارهای جهت دهنده خطوط مستقیم که فاصله بین آنها را جستجو می کنیم).

من آن را به شما یادآوری می کنم

سپس فرمول فاصله را می توان به صورت بازنویسی کرد:

این یک تعیین کننده تقسیم بر یک تعیین کننده است! هر چند راستش را بخواهید اینجا وقت شوخی ندارم! این فرمول در واقع بسیار دست و پا گیر است و به محاسبات بسیار پیچیده ای منجر می شود. من اگر جای شما بودم فقط به عنوان آخرین راه به آن متوسل می شدم!

بیایید سعی کنیم چند مشکل را با استفاده از روش بالا حل کنیم:

1. در یک منشور مثلثی قائم الزاویه که تمام لبه های آن با هم برابرند، فاصله خطوط مستقیم را پیدا کنید و.

2. با توجه به منشور مثلثی قائم الزاویه، تمام لبه های پایه برابر با مقطعی است که از دنده بدنه می گذرد و دنده های se-re-di-well یک مربع هستند. فاصله بین خطوط مستقیم و

اولی را من تصمیم می گیرم و بر اساس آن شما دومی را!

1. منشور می کشم و خطوط مستقیم را مشخص می کنم و

مختصات نقطه ج: سپس

مختصات نقطه

مختصات برداری

مختصات نقطه

مختصات برداری

مختصات برداری

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \راست) = \چپ| (\begin(آرایه)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (ج)) 0&0&1\پایان(آرایه))\\(\شروع(آرایه)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\پایان(آرایه))\پایان(آرایه)) \راست| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

ما حاصل ضرب برداری بین بردارها و را محاسبه می کنیم

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j)&(\overrightarrow k)\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\پایان(آرایه)\\\شروع(آرایه)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

حالا طول آن را محاسبه می کنیم:

پاسخ:

حالا سعی کنید کار دوم را با دقت کامل کنید. پاسخ آن این خواهد بود: .

مختصات و بردارها. توضیحات مختصر و فرمول های اساسی

بردار یک قطعه جهت دار است. - آغاز بردار، - پایان بردار.
یک بردار با یا نشان داده می شود.

قدر مطلقبردار - طول قطعه ای که بردار را نشان می دهد. به عنوان مشخص شده است.

مختصات برداری:

,
انتهای بردار \displaystyle a کجاست.

مجموع بردارها: .

محصول بردارها:

حاصل ضرب نقطه ای بردارها:

اوه-او-او-او-اوه... خوب، سخت است، انگار که داشت یک جمله را برای خودش می خواند =) با این حال، آرامش بعدا کمک خواهد کرد، به خصوص که امروز لوازم جانبی مناسب را خریدم. بنابراین، بیایید به بخش اول برویم، امیدوارم تا پایان مقاله روحیه شادی را حفظ کنم.

موقعیت نسبی دو خط مستقیم

این مورد زمانی است که مخاطب به صورت کر همراهی می کند. دو خط مستقیم می تواند:

1) مطابقت؛

2) موازی باشد: ;

3) یا در یک نقطه قطع شوند: .

کمک به آدمک ها : لطفا به یاد بیاور علامت ریاضیتقاطع ها، اغلب اتفاق می افتد. علامت گذاری به این معنی است که خط با خط در نقطه قطع می شود.

چگونه موقعیت نسبی دو خط را تعیین کنیم؟

بیایید با مورد اول شروع کنیم:

دو خط منطبق هستند اگر و فقط در صورتی که ضرایب متناظر آنها متناسب باشد، یعنی یک عدد "لامبدا" وجود دارد که برابری ها برآورده می شود

بیایید خطوط مستقیم را در نظر بگیریم و از ضرایب مربوطه سه معادله ایجاد کنیم: . از هر معادله نتیجه می شود که بنابراین، این خطوط بر هم منطبق هستند.

در واقع، اگر تمام ضرایب معادله ضرب در -1 (علائم تغییر)، و تمام ضرایب معادله برش 2، معادله یکسان را بدست می آورید: .

حالت دوم، زمانی که خطوط موازی هستند:

دو خط موازی هستند اگر و فقط در صورتی که ضرایب آنها از متغیرها متناسب باشد: ، ولی.

به عنوان مثال، دو خط مستقیم را در نظر بگیرید. تناسب ضرایب مربوطه را برای متغیرها بررسی می کنیم:

با این حال، کاملاً بدیهی است که.

و حالت سوم، وقتی خطوط را قطع می کنند:

دو خط اگر و فقط در صورتی قطع می شوند که ضرایب متغیرهای آنها متناسب نباشدیعنی هیچ مقداری از "لامبدا" وجود ندارد که برابری ها برآورده شوند

بنابراین، برای خطوط مستقیم، ما یک سیستم ایجاد خواهیم کرد:

از معادله اول نتیجه می شود که , و از معادله دوم: که به معنی سیستم ناسازگار است(بدون راه حل). بنابراین، ضرایب متغیرها متناسب نیستند.

نتیجه گیری: خطوط قطع می شوند

در مسائل عملی، می توانید از طرح راه حلی که قبلاً در مورد آن بحث شد استفاده کنید. به هر حال، بسیار یادآور الگوریتم بررسی بردارها برای همخطی بودن است که در کلاس به آن نگاه کردیم. مفهوم وابستگی خطی (نا)بردارها. اساس بردارها. اما بسته بندی متمدن تری وجود دارد:

مثال 1

موقعیت نسبی خطوط را پیدا کنید:

راه حلبر اساس مطالعه بردارهای جهت دهنده خطوط مستقیم:

الف) از معادلات بردارهای جهت خطوط را پیدا می کنیم: .

یعنی بردارها خطی نیستند و خطوط همدیگر را قطع می کنند.

در هر صورت، سنگی با علائم سر چهارراه می گذارم:

بقیه از روی سنگ می پرند و ادامه می دهند، مستقیم به کشچه ای جاودانه =)

ب) بردارهای جهت خطوط را بیابید:

خطوط بردار جهت یکسانی دارند، به این معنی که آنها یا موازی هستند یا همزمان. در اینجا نیازی به شمارش تعیین کننده نیست.

بدیهی است که ضرایب مجهولات متناسب هستند و .

بیایید دریابیم که آیا برابری درست است یا خیر:

بدین ترتیب،

ج) بردارهای جهت خطوط را بیابید:

بیایید دترمینان تشکیل شده از مختصات این بردارها را محاسبه کنیم:
بنابراین، بردارهای جهت خطی هستند. خطوط یا موازی هستند یا همزمان.

ضریب تناسب "لامبدا" مستقیماً از نسبت بردارهای جهت خطی قابل مشاهده است. با این حال، می توان آن را از طریق ضرایب خود معادلات نیز یافت: .

حال بیایید دریابیم که آیا برابری درست است یا خیر. هر دو عبارت رایگان صفر هستند، بنابراین:

مقدار حاصل این معادله را برآورده می کند (به طور کلی هر عددی آن را برآورده می کند).

بنابراین، خطوط منطبق هستند.

پاسخ:

خیلی زود یاد خواهید گرفت (یا حتی قبلاً یاد گرفته اید) مشکلی را که به صورت شفاهی مورد بحث قرار گرفته است را در عرض چند ثانیه حل کنید. در این زمینه، من هیچ فایده ای برای ارائه یک راه حل مستقل نمی بینم؛ بهتر است یک آجر مهم دیگر را در شالوده هندسی بگذاریم:

چگونه یک خط موازی با یک خط داده شده بسازیم؟

به دلیل ناآگاهی از این ساده ترین کار، بلبل دزد به شدت مجازات می کند.

مثال 2

خط مستقیم با معادله به دست می آید. برای خط موازی که از نقطه عبور می کند معادله بنویسید.

راه حل: خط مجهول را با حرف نشان می دهیم. شرایط در مورد او چه می گوید؟ خط مستقیم از نقطه عبور می کند. و اگر خطوط موازی باشند، بدیهی است که بردار جهت خط مستقیم "tse" برای ساخت خط مستقیم "de" نیز مناسب است.

بردار جهت را از معادله خارج می کنیم:

پاسخ:

هندسه مثال ساده به نظر می رسد:

تست تحلیلی شامل مراحل زیر است:

1) بررسی می کنیم که خطوط بردار جهت یکسانی داشته باشند (اگر معادله خط به درستی ساده نشده باشد، بردارها هم خط خواهند بود).

2) بررسی کنید که آیا نقطه معادله حاصل را برآورده می کند یا خیر.

در بیشتر موارد، تست تحلیلی را می توان به راحتی به صورت شفاهی انجام داد. به دو معادله نگاه کنید، بسیاری از شما به سرعت موازی خطوط را بدون هیچ ترسیمی تعیین خواهید کرد.

مثال هایی برای راه حل های مستقل امروز خلاقانه خواهد بود. زیرا شما همچنان باید با بابا یاگا رقابت کنید و او، می دانید، عاشق انواع معماها است.

مثال 3

برای خطی که از نقطه ای موازی با خط if می گذرد معادله بنویسید

یک راه منطقی و نه چندان منطقی برای حل آن وجود دارد. کوتاه ترین راه در پایان درس است.

ما کمی با خطوط موازی کار کردیم و بعداً به آنها باز خواهیم گشت. مورد منطبق بودن خطوط چندان جالب نیست، بنابراین بیایید مشکلی را در نظر بگیریم که از برنامه درسی مدرسه برای شما بسیار آشناست:

چگونه نقطه تلاقی دو خط را پیدا کنیم؟

اگر مستقیم در نقطه ای قطع می شود، سپس مختصات آن راه حل هستند سیستم های معادلات خطی

چگونه نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنیم؟ سیستم را حل کنید.

بفرمایید معنی هندسیسیستم های دوتایی معادلات خطیبا دو مجهول- این دو خط متقاطع (اغلب) در یک هواپیما هستند.

مثال 4

نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنید

راه حل: دو راه برای حل وجود دارد - گرافیکی و تحلیلی.

روش گرافیکیاین است که به سادگی خطوط داده شده را رسم کنید و نقطه تقاطع را مستقیماً از نقاشی پیدا کنید:

نکته ما اینجاست: . برای بررسی، باید مختصات آن را در هر معادله خط جایگزین کنید، آنها باید هم آنجا و هم آنجا قرار بگیرند. به عبارت دیگر مختصات یک نقطه راه حلی برای سیستم است. در اصل، ما به یک راه حل گرافیکی نگاه کردیم سیستم های معادلات خطیبا دو معادله، دو مجهول.

روش گرافیکی البته بد نیست، اما معایب قابل توجهی دارد. نه، نکته این نیست که دانش آموزان کلاس هفتم اینگونه تصمیم می گیرند، نکته این است که ایجاد یک نقاشی صحیح و دقیق زمان می برد. علاوه بر این، ساختن برخی از خطوط مستقیم چندان آسان نیست و خود نقطه تقاطع ممکن است جایی در سی ام پادشاهی خارج از برگه دفترچه یادداشت قرار داشته باشد.

بنابراین، جستجوی نقطه تقاطع با استفاده از روش تحلیلی به مصلحت‌تر است. بیایید سیستم را حل کنیم:

برای حل سیستم از روش جمع ترم به ترم معادلات استفاده شد. برای توسعه مهارت های مرتبط، یک درس بخوانید چگونه یک سیستم معادلات را حل کنیم؟

پاسخ:

بررسی بی اهمیت است - مختصات نقطه تقاطع باید هر معادله سیستم را برآورده کند.

مثال 5

نقطه تلاقی خطوط را در صورت قطع آنها پیدا کنید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. تقسیم کار به چند مرحله راحت است. تجزیه و تحلیل وضعیت نشان می دهد که لازم است:
1) معادله خط مستقیم را بنویسید.
2) معادله خط مستقیم را بنویسید.
3) موقعیت نسبی خطوط را پیدا کنید.
4) اگر خطوط همدیگر را قطع کنند، نقطه تلاقی را پیدا کنید.

توسعه یک الگوریتم عمل برای بسیاری معمول است مسائل هندسیو من بارها بر این موضوع تمرکز خواهم کرد.

راه حل کاملو پاسخ در پایان درس:

قبل از اینکه به بخش دوم درس برسیم، حتی یک جفت کفش کهنه نشده بود:

خطوط عمود بر هم. فاصله از یک نقطه تا یک خط.
زاویه بین خطوط مستقیم

بیایید با یک معمولی و بسیار شروع کنیم وظیفه مهم. در قسمت اول یاد گرفتیم که چگونه یک خط مستقیم به موازات این خط بسازیم و اکنون کلبه روی پای مرغ 90 درجه خواهد چرخید:

چگونه یک خط عمود بر یک معین بسازیم؟

مثال 6

خط مستقیم با معادله به دست می آید. معادله ای عمود بر خطی که از نقطه عبور می کند بنویسید.

راه حل: به شرط معلوم است که . خوب است که بردار هدایت خط را پیدا کنید. از آنجایی که خطوط عمود هستند، ترفند ساده است:

از معادله، بردار نرمال: را حذف می کنیم که بردار هدایت کننده خط مستقیم خواهد بود.

بیایید با استفاده از یک نقطه و یک بردار جهت، معادله یک خط مستقیم را بسازیم:

پاسخ:

بیایید طرح هندسی را گسترش دهیم:

هوم... آسمان نارنجی، دریای نارنجی، شتر نارنجی.

بررسی تحلیلی راه حل:

1) بردارهای جهت را از معادلات خارج می کنیم و با کمک حاصل ضرب اسکالر بردارهاما به این نتیجه می رسیم که خطوط در واقع عمود هستند: .

به هر حال، می توانید از بردارهای معمولی استفاده کنید، حتی ساده تر است.

2) بررسی کنید که آیا نقطه معادله حاصل را برآورده می کند یا خیر .

آزمایش، دوباره، به راحتی به صورت شفاهی انجام می شود.

مثال 7

اگر معادله مشخص باشد، نقطه تلاقی خطوط عمود بر هم را پیدا کنید و دوره

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. چندین عمل در مسئله وجود دارد، بنابراین فرموله کردن راه حل نقطه به نقطه راحت است.

سفر هیجان انگیز ما ادامه دارد:

فاصله از نقطه به خط

ما یک نوار مستقیم رودخانه در مقابل خود داریم و وظیفه ما این است که از کوتاه ترین مسیر به آن برسیم. هیچ مانعی وجود ندارد و بهینه ترین مسیر حرکت در امتداد عمود خواهد بود. یعنی فاصله یک نقطه تا یک خط طول پاره عمود بر هم است.

فاصله در هندسه به طور سنتی با حرف یونانی "rho" نشان داده می شود، به عنوان مثال: - فاصله از نقطه "em" تا خط مستقیم "de".

فاصله از نقطه به خط با فرمول بیان می شود

مثال 8

فاصله یک نقطه تا یک خط را پیدا کنید

راه حل: تنها کاری که باید انجام دهید این است که اعداد را با دقت در فرمول جایگزین کرده و محاسبات را انجام دهید:

پاسخ:

بیایید نقاشی را انجام دهیم:

فاصله یافت شده از نقطه تا خط دقیقاً به اندازه طول قطعه قرمز است. اگر نقاشی را روی کاغذ شطرنجی در مقیاس 1 واحد بکشید. = 1 سانتی متر (2 سلول)، سپس فاصله را می توان با یک خط کش معمولی اندازه گیری کرد.

بیایید کار دیگری را بر اساس همان نقاشی در نظر بگیریم:

وظیفه یافتن مختصات نقطه ای است که با نقطه نسبت به خط مستقیم متقارن است . من پیشنهاد می‌کنم مراحل را خودتان انجام دهید، اما الگوریتم حل را با نتایج متوسط ​​بیان می‌کنم:

1) خطی را پیدا کنید که عمود بر خط باشد.

2) نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنید: .

هر دو عمل به تفصیل در این درس مورد بحث قرار می گیرند.

3) نقطه نقطه وسط قطعه است. مختصات وسط و یکی از انتها را می دانیم. توسط فرمول مختصات نقطه وسط یک قطعهما پیدا می کنیم .

بهتر است بررسی کنید که فاصله نیز 2.2 واحد باشد.

در اینجا ممکن است مشکلاتی در محاسبات ایجاد شود، اما یک ریزمحاسبه کمک بزرگی در برج است و به شما امکان می دهد تا بشمارید. کسرهای رایج. من بارها به شما توصیه کرده ام و دوباره به شما توصیه می کنم.

چگونه فاصله بین دو خط موازی را پیدا کنیم؟

مثال 9

فاصله بین دو خط موازی را پیدا کنید

این مثال دیگری برای تصمیم گیری شماست. من یک اشاره کوچک به شما می دهم: راه های بی نهایت زیادی برای حل این مشکل وجود دارد. خلاصه در پایان درس، اما بهتر است سعی کنید خودتان حدس بزنید، فکر می کنم نبوغ شما به خوبی توسعه یافته است.

زاویه بین دو خط مستقیم

هر گوشه ای یک چوب است:


در هندسه، زاویه بین دو خط مستقیم، زاویه کوچکتر در نظر گرفته می شود، که از آن به طور خودکار نتیجه می شود که نمی تواند مبهم باشد. در شکل، زاویه نشان داده شده با قوس قرمز، زاویه بین خطوط متقاطع در نظر گرفته نمی شود. و همسایه "سبز" او یا مخالف جهت گیریگوشه "تمشک".

اگر خطوط عمود باشند، هر یک از 4 زاویه را می توان به عنوان زاویه بین آنها در نظر گرفت.

زاویه ها چگونه متفاوت است؟ گرایش. اولاً، جهتی که در آن زاویه "پیمایش" می شود اساساً مهم است. ثانیا، یک زاویه جهت منفی با علامت منفی نوشته می شود، برای مثال اگر .

چرا این را به شما گفتم؟ به نظر می رسد که می توانیم با مفهوم معمول زاویه کنار بیاییم. واقعیت این است که فرمول هایی که با آنها زاویه پیدا می کنیم به راحتی می توانند نتیجه منفی داشته باشند و این نباید شما را غافلگیر کند. زاویه ای با علامت منفی بدتر نیست و معنای هندسی بسیار خاصی دارد. در طراحی، برای زاویه منفی، حتما جهت آن را با یک فلش (در جهت عقربه های ساعت) نشان دهید.

چگونه زاویه بین دو خط مستقیم را پیدا کنیم؟دو فرمول کار وجود دارد:

مثال 10

زاویه بین خطوط را پیدا کنید

راه حلو روش یک

بیایید دو خط مستقیم را در نظر بگیریم که با معادلات به صورت کلی تعریف شده اند:

اگر مستقیم عمود نیست، آن جهت دارزاویه بین آنها را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

بیایید به مخرج بسیار توجه کنیم - این دقیقاً همین است حاصلضرب عددیبردارهای جهت دهنده خطوط مستقیم:

اگر، مخرج فرمول صفر می شود و بردارها متعامد و خطوط عمود می شوند. به همین دلیل است که در مورد عمود نبودن خطوط مستقیم در فرمول بندی قید شد.

بر اساس موارد فوق، رسمی کردن راه حل در دو مرحله راحت است:

1) بیایید حاصل ضرب اسکالر بردارهای جهت خطوط را محاسبه کنیم:
یعنی خطوط عمود نیستند.

2) زاویه بین خطوط مستقیم را با استفاده از فرمول پیدا کنید:

با استفاده از تابع معکوسپیدا کردن خود گوشه آسان است. در این مورد، ما از عجیب و غریب بودن مماس قوس استفاده می کنیم (نگاه کنید به. نمودارها و خواص توابع ابتدایی):

پاسخ:

در پاسخ شما، مقدار دقیق و همچنین مقدار تقریبی (ترجیحاً در هر دو درجه و رادیان) را که با استفاده از ماشین حساب محاسبه می شود، نشان می دهیم.

خوب، منهای، منهای، چیز مهمی نیست. در اینجا یک تصویر هندسی است:

تعجب آور نیست که زاویه دارای جهت منفی است، زیرا در بیان مسئله، عدد اول یک خط مستقیم است و "باز کردن" زاویه دقیقاً با آن آغاز شد.

اگر واقعاً می خواهید زاویه مثبت بگیرید، باید خطوط را عوض کنید، یعنی ضرایب را از معادله دوم بگیرید. ، و ضرایب را از معادله اول بگیرید. به طور خلاصه، شما باید با یک مستقیم شروع کنید .

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، مراحل قانونی و/یا بر اساس درخواست‌های عمومی یا درخواست‌های سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

فاصله یک نقطه تا یک خط، طول عمود رسم شده از نقطه به خط است. در هندسه توصیفی با استفاده از الگوریتم زیر به صورت گرافیکی تعیین می شود.

الگوریتم

1. خط مستقیم به موقعیتی منتقل می شود که در آن موازی با هر صفحه نمایشی خواهد بود. برای این منظور از روش های تبدیل برجستگی های متعامد استفاده می شود.
2. از یک نقطه یک عمود بر یک خط کشیده می شود. این ساختار بر اساس قضیه در مورد طرح زاویه قائمه است.
3. طول یک عمود با تبدیل برجستگی های آن یا با استفاده از روش مثلث قائم الزاویه تعیین می شود.

شکل زیر یک رسم پیچیده از نقطه M و خط b را نشان می دهد که با قطعه CD تعریف شده است. باید فاصله بین آنها را پیدا کنید.

طبق الگوریتم ما، اولین کاری که باید انجام دهیم این است که خط مستقیم را به موقعیت حرکت دهیم موازی با هواپیماطرح ها. درک این نکته مهم است که پس از انجام تبدیل ها، فاصله واقعی بین نقطه و خط نباید تغییر کند. به همین دلیل است که در اینجا استفاده از روش جایگزینی هواپیما راحت است، که شامل حرکت ارقام در فضا نیست.

نتایج مرحله اول ساخت در زیر نشان داده شده است. شکل نشان می دهد که چگونه یک صفحه جلوی اضافی P 4 به موازات b معرفی می شود. که در سیستم جدید(P 1, P 4) نقاط C"" 1، D"" 1، M"" 1 در همان فاصله از محور X 1 قرار دارند که C"، D"، M"" از محور X.

با اجرای بخش دوم الگوریتم، از M"" 1 عمود بر M"" 1 N"" 1 را به خط مستقیم b"" 1 پایین می آوریم، زیرا زاویه راست MND بین b و MN بر روی صفحه P پیش بینی می شود. 4 در سایز کامل با استفاده از خط ارتباطی، موقعیت نقطه N" را تعیین می کنیم و طرح M"N" قطعه MN را انجام می دهیم.

بر مرحله نهاییشما باید اندازه بخش MN را از پیش بینی های آن M"N" و M"" 1 N"" 1 تعیین کنید. برای این کار یک مثلث قائم الزاویه M"" 1 N"" 1 N 0 می سازیم که ساق آن N"" 1 N 0 برابر است با اختلاف (Y M 1 – Y N 1) فاصله نقاط M" و N" از محور X 1 طول هیپوتانوز M"" 1 N 0 مثلث M"" 1 N"" 1 N 0 با فاصله مورد نظر از M تا b مطابقت دارد.

راه حل دوم

• به موازات CD، ما یک صفحه جلویی جدید P 4 را معرفی می کنیم. P 1 را در امتداد محور X 1 و X 1 ∥C"D را قطع می کند. مطابق با روش جایگزینی صفحات، پیش بینی نقاط C"" 1، D"" 1 و M"" 1 را همانطور که در شکل نشان داده شده است تعیین می کنیم.
• عمود بر C"" 1 D"" 1 یک صفحه افقی اضافی P 5 می سازیم، که روی آن خط مستقیم b به نقطه C" 2 = b" 2 پیش بینی می شود.
• فاصله بین نقطه M و خط b با طول قطعه M" 2 C" 2 که با رنگ قرمز مشخص شده است تعیین می شود.

وظایف مشابه: