حل معادلات تابع لگاریتمی نحوه استفاده از فرمول های لگاریتمی: با مثال و راه حل. قضایای اساسی در مورد لگاریتم

معادلات لگاریتمی از ساده به پیچیده.

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

معادله لگاریتمی چیست؟

این یک معادله با لگاریتم است. تعجب کردم، درست است؟) سپس توضیح خواهم داد. این معادله ای است که مجهولات (x) و عبارات با آنها پیدا می شود داخل لگاریتم هاو فقط آنجا! مهم است.

در اینجا چند نمونه آورده شده است معادلات لگاریتمی:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x+1 (x2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg (x+1)

خوب فهمیدی... )

توجه داشته باشید! متنوع ترین عبارات با X قرار دارند منحصراً در لگاریتماگر به طور ناگهانی یک X در جایی از معادله ظاهر شود خارج از، مثلا:

log 2 x = 3+x,

این یک معادله خواهد بود نوع مختلط. چنین معادلاتی قوانین روشنی برای حل آنها ندارند. فعلا آنها را در نظر نخواهیم گرفت. به هر حال، معادلاتی در داخل لگاریتم وجود دارد فقط اعداد. مثلا:

چه می توانم بگویم؟ شما خوش شانس هستید اگر با این روبرو شوید! لگاریتم با اعداد است تعدادی عددهمین. برای حل چنین معادله ای، دانستن خواص لگاریتم ها کافی است. دانش قوانین خاص، تکنیک هایی که به طور خاص برای حل اقتباس شده اند معادلات لگاریتمی،اینجا لازم نیست

بنابراین، معادله لگاریتمی چیست- ما متوجه شدیم

چگونه معادلات لگاریتمی را حل کنیم؟

راه حل معادلات لگاریتمی- موضوع در واقع خیلی ساده نیست. بنابراین بخش ما چهار ... دانش کافی در مورد انواع موضوعات مرتبط مورد نیاز است. علاوه بر این، ویژگی خاصی در این معادلات وجود دارد. و این ویژگی آنقدر مهم است که با خیال راحت می توان آن را مشکل اصلی در حل معادلات لگاریتمی نامید. در درس بعدی به طور مفصل به این مشکل خواهیم پرداخت.

در حال حاضر، نگران نباشید. راه درست را خواهیم رفت از ساده به پیچیدهبر نمونه های خاص. نکته اصلی این است که به چیزهای ساده بپردازید و برای دنبال کردن پیوندها تنبل نباشید، من آنها را به دلیلی در آنجا قرار دادم ... و همه چیز برای شما درست خواهد شد. لزوما.

بیایید با ابتدایی ترین و ساده ترین معادلات شروع کنیم. برای حل آنها، توصیه می شود ایده ای از لگاریتم داشته باشید، اما نه بیشتر. فقط هیچ ایده ای نیست لگاریتم،تصمیم بگیرند لگاریتمیمعادلات - به نوعی حتی ناجور... خیلی جسورانه، من می گویم).

ساده ترین معادلات لگاریتمی

اینها معادلات شکل هستند:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

فرآیند حل هر معادله لگاریتمیعبارت است از انتقال از یک معادله با لگاریتم به یک معادله بدون آنها. در ساده ترین معادلات این انتقال در یک مرحله انجام می شود. به همین دلیل آنها ساده ترین هستند.)

و حل چنین معادلات لگاریتمی به طرز شگفت انگیزی آسان است. خودت ببین.

بیایید مثال اول را حل کنیم:

log 3 x = log 3 9

برای حل این مثال، شما تقریباً نیازی به دانستن چیزی ندارید، بله... کاملاً شهود!) به چه چیزی نیاز داریم بخصوصاین مثال را دوست ندارید؟ چی-چی... لگاریتم رو دوست ندارم! درست. پس بیایید از شر آنها خلاص شویم. ما به دقت به مثال نگاه می کنیم و یک میل طبیعی در ما ایجاد می شود ... کاملاً غیر قابل مقاومت! لگاریتم ها را بردارید و به طور کلی دور بریزید. و آنچه خوب است این است می توانانجام دادن! ریاضیات اجازه می دهد. لگاریتم ها ناپدید می شوندپاسخ این است:

عالیه، درسته؟ این را می توان (و باید) همیشه انجام داد. حذف لگاریتم ها به این روش یکی از راه های اصلی حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها است. در ریاضیات به این عمل می گویند تقویتالبته، قوانینی برای چنین انحلال وجود دارد، اما آنها کم هستند. یاد آوردن:

شما می توانید لگاریتم ها را بدون هیچ ترسی حذف کنید اگر دارای موارد زیر باشند:

الف) پایه های عددی یکسان

ج) لگاریتم ها از چپ به راست خالص هستند (بدون هیچ ضرایبی) و در انزوای عالی قرار دارند.

نکته آخر را روشن کنم. در معادله، بیایید بگوییم

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

لگاریتم ها قابل حذف نیستند. دو طرف سمت راست این اجازه را نمی دهند. ضریب می دانید ... در مثال

log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)

همچنین تقویت معادله غیرممکن است. هیچ لگاریتمی تنها در سمت چپ وجود ندارد. دو تا از آنها موجود است.

به طور خلاصه، اگر معادله شبیه به این باشد و فقط به این شکل باشد، می توانید لگاریتم ها را حذف کنید:

log a (.....) = log a (.....)

در پرانتز، جایی که بیضی وجود دارد، ممکن است وجود داشته باشد هر عباراتیساده، فوق العاده پیچیده، همه نوع. هر چه. نکته مهم این است که پس از حذف لگاریتم ها باقی می ماند معادله ساده ترالبته فرض بر این است که شما قبلاً می دانید چگونه معادلات خطی، درجه دوم، کسری، نمایی و غیره را بدون لگاریتم حل کنید.)

حالا به راحتی می توانید مثال دوم را حل کنید:

log 7 (2x-3) = log 7 x

در واقع، در ذهن تصمیم گرفته شده است. ما تقویت می کنیم، دریافت می کنیم:

خوب، خیلی سخت است؟) همانطور که می بینید، لگاریتمیبخشی از حل معادله است فقط در حذف لگاریتم ...و سپس جواب معادله باقی مانده بدون آنها می آید. یک موضوع بی اهمیت

بیایید مثال سوم را حل کنیم:

log 7 (50x-1) = 2

می بینیم که یک لگاریتم در سمت چپ وجود دارد:

به یاد داشته باشیم که این لگاریتم عددی است که برای بدست آوردن یک عبارت زیر لگاریتمی، پایه باید به آن افزایش یابد (یعنی هفت). (50x-1).

اما این عدد دو است! با توجه به معادله به این معنا که:

اساساً همین است. لگاریتم ناپدید شد،چیزی که باقی می ماند یک معادله بی ضرر است:

ما این معادله لگاریتمی را فقط بر اساس معنی لگاریتم حل کردیم. آیا حذف لگاریتم ها هنوز آسان تر است؟) موافقم. به هر حال، اگر از دو لگاریتم بسازید، می توانید این مثال را از طریق حذف حل کنید. هر عددی را می توان به لگاریتم تبدیل کرد. علاوه بر این، روشی که ما به آن نیاز داریم. یک تکنیک بسیار مفید در حل معادلات لگاریتمی و (به خصوص!) نابرابری ها.

نمیدانید چگونه از یک عدد لگاریتم بسازید!؟ خوبه. بخش 555 این تکنیک را به تفصیل شرح می دهد. می توانید به آن مسلط شوید و از آن نهایت استفاده را ببرید! تعداد خطاها را تا حد زیادی کاهش می دهد.

معادله چهارم به روشی کاملاً مشابه حل شده است (طبق تعریف):

خودشه.

بیایید این درس را خلاصه کنیم. ما حل ساده ترین معادلات لگاریتمی را با استفاده از مثال بررسی کردیم. این خیلی مهمه. و نه تنها به این دلیل که چنین معادلاتی در آزمون ها و امتحانات ظاهر می شود. واقعیت این است که بدترین و پیچیده ترین معادلات نیز لزوماً به ساده ترین آنها تقلیل می یابد!

در واقع ساده ترین معادلات بخش پایانی راه حل هستند هرمعادلات و این قسمت پایانی را باید به شدت درک کرد! و بیشتر. این صفحه را حتما تا آخر بخوانید. اونجا یه سورپرایز هست...)

حالا خودمون تصمیم میگیریم به اصطلاح بهتر شویم...)

ریشه (یا مجموع ریشه ها، در صورت وجود چند) معادلات را بیابید:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0.5x-1.5) = 0.25

log 0.2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

پاسخ ها (البته به هم ریخته): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2 16.

چه، همه چیز درست نمی شود؟ اتفاق می افتد. نگران نباش! بخش 555 راه حل همه این مثال ها را به طور واضح و دقیق توضیح می دهد. شما قطعا آن را در آنجا کشف خواهید کرد. همچنین تکنیک های کاربردی مفیدی را یاد خواهید گرفت.

همه چیز درست شد!؟ همه نمونه های "یکی مانده"؟) تبریک می گویم!

وقت آن رسیده که حقیقت تلخ را برای شما فاش کنیم. حل موفقیت آمیز این مثال ها موفقیت در حل تمام معادلات لگاریتمی دیگر را تضمین نمی کند. حتی ساده ترین ها مثل این ها. افسوس.

واقعیت این است که راه حل هر معادله لگاریتمی (حتی ابتدایی ترین!) شامل دو قسمت مساویحل معادله و کار با ODZ. ما بر یک بخش مسلط شدیم - حل خود معادله. آنقدرها هم سخت نیستدرست؟

برای این درس، من به طور خاص نمونه هایی را انتخاب کردم که در آنها DL به هیچ وجه روی پاسخ تأثیر نمی گذارد. اما همه به اندازه من مهربان نیستند، درست است؟...)

بنابراین تسلط بر قسمت دیگر ضروری است. ODZ. این مشکل اصلی در حل معادلات لگاریتمی است. و نه به این دلیل که دشوار است - این قسمت حتی ساده تر از قسمت اول است. اما چون مردم به سادگی ODZ را فراموش می کنند. یا نمی دانند. یا هر دو). و از آب در می آیند...

در درس بعدی به این مشکل خواهیم پرداخت. سپس می توانید با اطمینان تصمیم بگیرید هرمعادلات لگاریتمی ساده و نزدیک به وظایف کاملا محکم.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

همانطور که می دانید، هنگام ضرب عبارات با توان، نشان دهنده های آنها همیشه با هم جمع می شوند (a b *a c = a b+c). این قانون ریاضی توسط ارشمیدس استخراج شد و بعدها، در قرن هشتم، ریاضیدان ویراسن جدولی از توانای اعداد صحیح ایجاد کرد. این آنها بودند که برای کشف بیشتر لگاریتم ها خدمت کردند. نمونه‌هایی از استفاده از این تابع را می‌توان تقریباً در همه جا یافت که باید ضرب دست و پا گیر را با جمع ساده ساده کنید. اگر 10 دقیقه برای خواندن این مقاله وقت بگذارید، ما به شما توضیح خواهیم داد که لگاریتم چیست و چگونه با آنها کار کنید. به زبانی ساده و در دسترس.

تعریف در ریاضیات

لگاریتم عبارتی از شکل زیر است: log a b=c، یعنی لگاریتم هر عدد غیر منفی (یعنی هر مثبت) "b" به پایه آن "a" توان "c" در نظر گرفته می شود. ” که پایه “a” باید به آن افزایش یابد تا در نهایت مقدار “b” به دست آید. بیایید لگاریتم را با استفاده از مثال ها تجزیه و تحلیل کنیم، فرض کنید یک عبارت log وجود دارد 2 8. چگونه پاسخ را پیدا کنیم؟ خیلی ساده است، باید توانی پیدا کنید که از 2 به توان مورد نیاز 8 بگیرید. پس از انجام محاسباتی در ذهن شما، عدد 3 را به دست می آوریم! و این درست است، زیرا 2 به توان 3 پاسخ 8 را می دهد.

انواع لگاریتم

برای بسیاری از دانش آموزان و دانشجویان، این موضوع پیچیده و غیرقابل درک به نظر می رسد، اما در واقع لگاریتم ها چندان ترسناک نیستند، نکته اصلی درک معنای کلی آنها و به خاطر سپردن ویژگی ها و برخی قوانین است. سه وجود دارد گونه های منفردعبارات لگاریتمی:

1. لگاریتم طبیعی ln a، که در آن پایه عدد اویلر است (e = 2.7).
2. اعشاری a که پایه آن 10 است.
3. لگاریتم هر عدد b تا مبنای a>1.

هر یک از آنها به روشی استاندارد از جمله ساده سازی، کاهش و کاهش متعاقب آن به یک لگاریتم واحد با استفاده از قضایای لگاریتمی حل می شوند. برای به دست آوردن مقادیر صحیح لگاریتم ها، هنگام حل آنها باید ویژگی های آنها و دنباله اقدامات را به خاطر بسپارید.

قوانین و برخی محدودیت ها

در ریاضیات چندین قاعده-قید وجود دارد که به عنوان بدیهیات پذیرفته شده است، یعنی موضوع بحث نیست و حقیقت است. به عنوان مثال، تقسیم اعداد بر صفر غیرممکن است و همچنین نمی توان ریشه زوج اعداد منفی را استخراج کرد. لگاریتم ها نیز قوانین خاص خود را دارند که به دنبال آن می توانید به راحتی کار با عبارات لگاریتمی طولانی و بزرگ را یاد بگیرید:

• پایه "a" باید همیشه بزرگتر از صفر باشد و مساوی 1 نباشد، در غیر این صورت این عبارت معنای خود را از دست می دهد، زیرا "1" و "0" به هر درجه ای همیشه با مقادیر خود برابر هستند.
• اگر a > 0، سپس a b > 0، معلوم می شود که "c" نیز باید بزرگتر از صفر باشد.

چگونه لگاریتم ها را حل کنیم؟

به عنوان مثال، وظیفه یافتن پاسخ معادله 10 x = 100 داده می شود. این کار بسیار آسان است، شما باید یک توان را با بالا بردن عدد ده انتخاب کنید که به عدد 100 می رسیم. البته این 10 2 = است. 100.

حال بیایید این عبارت را به شکل لگاریتمی نشان دهیم. ما log 10 100 = 2 را دریافت می کنیم. هنگام حل لگاریتم، همه اقدامات عملاً همگرا می شوند تا توانی را که برای به دست آوردن یک عدد معین وارد کردن پایه لگاریتم لازم است، پیدا کنیم.

برای تعیین دقیق مقدار یک درجه مجهول، باید نحوه کار با جدول درجات را یاد بگیرید. به نظر می رسد این است:

همانطور که می بینید، اگر ذهن فنی و دانش جدول ضرب داشته باشید، می توان برخی از توان ها را به طور مستقیم حدس زد. با این حال برای ارزش های بزرگشما به جدول درجات نیاز دارید. حتی برای کسانی که اصلاً در مورد موضوعات پیچیده ریاضی چیزی نمی دانند، می توان از آن استفاده کرد. ستون سمت چپ شامل اعداد (مبنای a) است، ردیف بالای اعداد مقدار توان c است که عدد a به آن افزایش می یابد. در محل تقاطع، سلول ها حاوی مقادیر عددی هستند که پاسخ هستند (a c =b). به عنوان مثال، اولین خانه را با عدد 10 در نظر می گیریم و مربع آن را مربع می کنیم، مقدار 100 را می گیریم که در محل تقاطع دو خانه ما نشان داده شده است. همه چیز به قدری ساده و آسان است که حتی واقعی ترین انسان گرا هم می فهمد!

معادلات و نابرابری ها

معلوم می شود که تحت شرایط معین، توان لگاریتم است. بنابراین، هر عبارت عددی ریاضی را می توان به عنوان یک برابری لگاریتمی نوشت. به عنوان مثال، 3 4 = 81 را می توان به عنوان لگاریتم پایه 3 81 برابر با چهار نوشت (log 3 81 = 4). برای توان های منفی قوانین یکسان است: 2 -5 = 1/32 آن را به صورت لگاریتم می نویسیم، log 2 (1/32) = -5 را دریافت می کنیم. یکی از جذاب ترین بخش های ریاضیات، موضوع "لگاریتم" است. ما بلافاصله پس از مطالعه خواص معادلات، نمونه ها و حل معادلات را در زیر بررسی خواهیم کرد. حال بیایید ببینیم که نابرابری ها چگونه هستند و چگونه آنها را از معادلات متمایز کنیم.

با توجه به شکل زیر: log 2 (x-1) > 3 - آن است نابرابری لگاریتمی، زیرا مقدار مجهول "x" زیر علامت لگاریتم است. و همچنین در عبارت دو کمیت با هم مقایسه می شود: لگاریتم عدد مورد نظر به پایه دو بزرگتر از عدد سه است.

مهمترین تفاوت بین معادلات لگاریتمی و نابرابری ها این است که معادلات با لگاریتم (مثال - لگاریتم 2 x = √9) دلالت بر یک یا چند مقدار عددی خاص در پاسخ دارند، در حالی که هنگام حل نابرابری ها به عنوان یک منطقه تعریف می شوند. ارزش های قابل قبولو نقاط شکست این تابع. در نتیجه، پاسخ یک مجموعه ساده از اعداد منفرد نیست، مانند پاسخ به یک معادله، بلکه یک سری یا مجموعه ای از اعداد پیوسته است.

قضایای اساسی در مورد لگاریتم

هنگام حل وظایف ابتدایی یافتن مقادیر لگاریتم، ممکن است ویژگی های آن مشخص نباشد. با این حال، هنگامی که صحبت از معادلات لگاریتمی یا نابرابری ها می شود، قبل از هر چیز، لازم است که به وضوح تمام ویژگی های اصلی لگاریتم ها را درک کرده و در عمل اعمال کنیم. در ادامه به نمونه‌هایی از معادلات خواهیم پرداخت؛ اجازه دهید ابتدا هر ویژگی را با جزئیات بیشتری بررسی کنیم.

1. هویت اصلی به این صورت است: alogaB =B. فقط زمانی اعمال می شود که a بزرگتر از 0 باشد نه برابر یک و B بزرگتر از صفر باشد.
2. لگاریتم محصول را می توان در فرمول زیر نشان داد: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. در این مورد، شرط اجباری است: d، s 1 و s 2 > 0; a≠1. شما می توانید برای این فرمول لگاریتمی با مثال و راه حل اثبات کنید. اجازه دهید log a s 1 = f 1 و log a s 2 = f 2، سپس a f1 = s 1، a f2 = s 2. به دست می آوریم که s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (خواص درجه) و سپس طبق تعریف: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2 که باید ثابت شود.
3. لگاریتم ضریب به این صورت است: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. قضیه به شکل فرمول به شکل زیر است: log a q b n = n/q log a b.

این فرمول "ویژگی درجه لگاریتم" نامیده می شود. این شبیه خواص درجات معمولی است و جای تعجب نیست، زیرا تمام ریاضیات بر اساس فرضیه های طبیعی است. بیایید به اثبات نگاه کنیم.

اجازه دهید log a b = t، به نظر می رسد t =b. اگر هر دو قسمت را به توان m برسانیم: a tn = b n ;

اما از آنجایی که a tn = (a q) nt/q = b n، بنابراین log a q b n = (n*t)/t، سپس log a q b n = n/q log a b. قضیه ثابت می شود.

نمونه هایی از مشکلات و نابرابری ها

رایج ترین انواع مسائل در لگاریتم مثال هایی از معادلات و نابرابری ها هستند. آنها تقریباً در تمام کتاب های مسئله یافت می شوند و همچنین جزء ضروری امتحانات ریاضی هستند. برای ورود به دانشگاه یا قبولی در امتحانات ورودی ریاضی، باید بدانید که چگونه به درستی چنین کارهایی را حل کنید.

متأسفانه هیچ طرح یا طرح واحدی برای حل و تعیین مقدار مجهول لگاریتم وجود ندارد، اما قوانین خاصی را می توان برای هر نابرابری ریاضی یا معادله لگاریتمی اعمال کرد. اول از همه، باید دریابید که آیا عبارت را می توان ساده کرد یا به یک فرم کلی تقلیل داد. موارد طولانی را ساده کنید عبارات لگاریتمیاگر از خواص آنها به درستی استفاده کنید امکان پذیر است. بیایید سریع با آنها آشنا شویم.

هنگام حل معادلات لگاریتمی، باید مشخص کنیم که چه نوع لگاریتمی داریم: یک عبارت مثال ممکن است حاوی یک لگاریتم طبیعی یا یک اعشاری باشد.

در اینجا نمونه هایی از ln100، ln1026 آورده شده است. راه حل آنها به این واقعیت خلاصه می شود که آنها باید قدرتی را تعیین کنند که پایه 10 به ترتیب برابر با 100 و 1026 خواهد بود. برای راه حل ها لگاریتم های طبیعیشما باید هویت های لگاریتمی یا ویژگی های آنها را اعمال کنید. بیایید با مثال به راه حل نگاه کنیم مسائل لگاریتمیانواع متفاوت.

نحوه استفاده از فرمول های لگاریتمی: با مثال ها و راه حل ها

بنابراین، بیایید به نمونه هایی از استفاده از قضایای اساسی در مورد لگاریتم نگاه کنیم.

1. از خاصیت لگاریتم یک محصول می توان در کارهایی که نیاز به گسترش است استفاده کرد پراهمیتاعداد b به عوامل ساده تر مثلاً log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. جواب 9 است.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - همانطور که می بینید با استفاده از چهارمین خاصیت توان لگاریتمی موفق به حل یک عبارت به ظاهر پیچیده و غیرقابل حل شدیم. شما فقط باید پایه را فاکتور بگیرید و سپس مقادیر توان را از علامت لگاریتم خارج کنید.

تکالیف از آزمون دولتی واحد

لگاریتم ها اغلب در امتحانات ورودی یافت می شوند، به ویژه بسیاری از مشکلات لگاریتمی در آزمون یکپارچه دولتی (امتحان دولتی برای همه فارغ التحصیلان مدرسه). معمولاً این وظایف نه تنها در بخش A (ساده ترین بخش تستامتحان)، بلکه در قسمت C (پیچیده ترین و حجیم ترین وظایف). آزمون نیاز به دانش دقیق و کامل از مبحث لگاریتم های طبیعی دارد.

مثال ها و راه حل های مشکلات از رسمی گرفته شده است گزینه های آزمون دولتی یکپارچه. بیایید ببینیم چنین وظایفی چگونه حل می شوند.

با توجه به log 2 (2x-1) = 4. راه حل:
بیایید عبارت را بازنویسی کنیم، آن را کمی ساده کنیم log 2 (2x-1) = 2 2، با تعریف لگاریتم دریافت می کنیم که 2x-1 = 2 4، بنابراین 2x = 17. x = 8.5.

• بهتر است تمام لگاریتم ها را به یک پایه کاهش دهید تا راه حل دست و پا گیر و گیج کننده نباشد.
• تمام عبارات زیر علامت لگاریتم مثبت نشان داده می شوند، بنابراین، هنگامی که توان یک عبارتی که زیر علامت لگاریتم است و به عنوان پایه آن به عنوان ضریب خارج می شود، عبارت باقی مانده در زیر لگاریتم باید مثبت باشد.

معرفی

لگاریتم ها برای سرعت بخشیدن و ساده کردن محاسبات اختراع شدند. ایده لگاریتم، یعنی ایده بیان اعداد به عنوان توان های یک پایه، متعلق به میخائیل استیفل است. اما در زمان استیفل، ریاضیات چندان توسعه نیافته بود و ایده لگاریتم توسعه نیافته بود. لگاریتم ها بعدها به طور همزمان و مستقل از یکدیگر توسط دانشمند اسکاتلندی جان ناپیر (1550-1617) و سوئیسی جابست بورگی (1552-1632) اختراع شدند.ناپیر اولین کسی بود که این اثر را در سال 1614 منتشر کرد. با عنوان "توضیحات" میز شگفت انگیزلگاریتم‌ها، نظریه لگاریتم‌های ناپیر در حجم نسبتاً کاملی ارائه شد، روش محاسبه لگاریتم به عنوان ساده‌ترین روش ارائه شد، بنابراین شایستگی‌های ناپیر در اختراع لگاریتم‌ها بیشتر از بورگی بود. بورگی همزمان با ناپیر روی میزها کار می کرد اما برای مدت طولانیآنها را مخفی نگه داشت و فقط در سال 1620 منتشر کرد. ناپیر در حدود سال 1594 بر ایده لگاریتم تسلط یافت. اگرچه این جداول 20 سال بعد منتشر شد. او ابتدا لگاریتم های خود را "اعداد مصنوعی" نامید و تنها پس از آن پیشنهاد کرد که این "اعداد مصنوعی" را در یک کلمه "لگاریتم" نامیده شود، که از یونانی به معنای "اعداد همبسته" است، یکی از یک پیشرفت حسابی و دیگری از یک پیشروی حسابی گرفته شده است. پیشرفت هندسی که مخصوصاً برای آن انتخاب شده است. اولین جداول به زبان روسی در سال 1703 منتشر شد. با مشارکت معلم فوق العاده قرن هجدهم. L. F. Magnitsky. آثار آکادمیک سن پترزبورگ، لئونهارد اویلر، اهمیت زیادی در توسعه نظریه لگاریتم داشتند. او اولین کسی بود که لگاریتم ها را معکوس افزایش به توان در نظر گرفت؛ او اصطلاحات «پایه لگاریتم» و «مانتیسا» را معرفی کرد. بریگز جداول لگاریتم ها را با پایه 10 گردآوری کرد. جداول اعشاری برای استفاده عملی راحت تر هستند، نظریه آنها این است. ساده تر از لگاریتم های ناپیر. از همین رو لگاریتم های اعشاریگاهی اوقات بریگ نامیده می شود. اصطلاح «شخصیت‌پردازی» توسط بریگز معرفی شد.

در آن زمان های دور، زمانی که حکما برای اولین بار شروع به فکر کردن در مورد برابری های حاوی مقادیر ناشناخته کردند، احتمالاً هیچ سکه یا کیف پولی وجود نداشت. اما انبوهی و همچنین گلدان ها و سبدهایی وجود داشت که برای نقش انبارهای ذخیره سازی که می توانست تعداد نامعلومی از اقلام را در خود جای دهد عالی بود. در مسائل ریاضی باستانی بین النهرین، هند، چین، یونان، مقادیر ناشناخته تعداد طاووس های باغ، تعداد گاوهای نر در گله و مجموع چیزهایی که هنگام تقسیم اموال در نظر گرفته می شد را بیان می کرد. دبیران، مقامات و افراد مبتدی که در علم حسابداری به خوبی آموزش دیده اند دانش مخفیکشیش ها با چنین وظایفی کاملاً موفق عمل کردند.

منابعی که به دست ما رسیده است نشان می دهد که دانشمندان باستانی صاحب برخی بوده اند تکنیک های عمومیحل مسائل با مقادیر نامعلوم با این حال، حتی یک پاپیروس یا لوح گلی حاوی شرحی از این تکنیک ها نیست. نویسندگان فقط گاهی اوقات محاسبات عددی خود را با نظرات کوتاهی مانند: "ببین!"، "این کار را انجام بده!"، "شما مورد مناسب را پیدا کردید" ارائه می کردند. از این نظر، استثنا "حساب" ریاضیدان یونانی دیوفانتوس اسکندریه (قرن III) است - مجموعه ای از مسائل برای ترکیب معادلات با ارائه سیستماتیک راه حل های آنها.

با این حال، اولین کتابچه راهنمای حل مسائل که به طور گسترده شناخته شد، کار دانشمند بغدادی قرن نهم بود. محمد بن موسی خوارزمی. کلمه «الجبر» از نام عربی این رساله - «کتاب الجابر والمکابله» («کتاب اعاده و مخالفت») - به مرور زمان به کلمه معروف «جبر» تبدیل شد و ال کار خوارزمی خود نقطه آغازی در توسعه علم حل معادلات بود.

معادلات لگاریتمیو نابرابری ها

1. معادلات لگاریتمی

معادله ای که در زیر علامت لگاریتمی یا در پایه آن یک مجهول وجود دارد، معادله لگاریتمی نامیده می شود.

ساده ترین معادله لگاریتمی معادله ای از فرم است

ورود به سیستم آ ایکس = ب . (1)

بیانیه 1. اگر آ > 0, آ≠ 1، معادله (1) برای هر واقعی براه حل منحصر به فردی دارد ایکس = a ب .

مثال 1. معادلات را حل کنید:

الف) لاگ 2 ایکس= 3، ب) لاگ 3 ایکس= -1، ج)

راه حل. با استفاده از بیانیه 1، الف) ایکس= 2 3 یا ایکس= 8; ب) ایکس= 3 -1 یا ایکس= 1/3; ج)

یا ایکس = 1.

اجازه دهید ویژگی های اصلی لگاریتم را ارائه دهیم.

P1. هویت لگاریتمی پایه:

جایی که آ > 0, آ≠ 1 و ب > 0.

P2. لگاریتم حاصل ضرب عوامل مثبت برابر با مجموعلگاریتم این عوامل:

ورود به سیستم آ ن 1 · ن 2 = ورود به سیستم آ ن 1 + ورود آ ن 2 (آ > 0, آ ≠ 1, ن 1 > 0, ن 2 > 0).

اظهار نظر. اگر ن 1 · ن 2 > 0، سپس ویژگی P2 شکل می گیرد

ورود به سیستم آ ن 1 · ن 2 = ورود به سیستم آ |ن 1 | + ثبت نام آ |ن 2 | (آ > 0, آ ≠ 1, ن 1 · ن 2 > 0).

P3. لگاریتم ضریب دو اعداد مثبتبرابر با اختلاف لگاریتم تقسیم کننده و مقسوم علیه

(آ > 0, آ ≠ 1, ن 1 > 0, ن 2 > 0).

اظهار نظر. اگر

، (که معادل است ن 1 ن 2 > 0) سپس ویژگی P3 شکل می گیرد (آ > 0, آ ≠ 1, ن 1 ن 2 > 0).

P4. لگاریتم توان یک عدد مثبت برابر است با حاصل ضرب توان و لگاریتم این عدد:

ورود به سیستم آ ن ک = کورود به سیستم آ ن (آ > 0, آ ≠ 1, ن > 0).

اظهار نظر. اگر ک - عدد زوج (ک = 2س) آن

ورود به سیستم آ ن 2س = 2سورود به سیستم آ |ن | (آ > 0, آ ≠ 1, ن ≠ 0).

P5. فرمول انتقال به پایگاه دیگر:

(آ > 0, آ ≠ 1, ب > 0, ب ≠ 1, ن > 0),

به ویژه اگر ن = ب، ما گرفتیم

(آ > 0, آ ≠ 1, ب > 0, ب ≠ 1). (2)

با استفاده از خواص P4 و P5 به راحتی می توان خواص زیر را به دست آورد

(آ > 0, آ ≠ 1, ب > 0, ج ≠ 0), (3) (آ > 0, آ ≠ 1, ب > 0, ج ≠ 0), (4) (آ > 0, آ ≠ 1, ب > 0, ج ≠ 0), (5)

و اگر در (5) ج- عدد زوج ( ج = 2n) رخ می دهد

(ب > 0, آ ≠ 0, |آ | ≠ 1). (6)

اجازه دهید ویژگی های اصلی تابع لگاریتمی را فهرست کنیم f (ایکس) = ورود آ ایکس :

1. دامنه تعریف تابع لگاریتمی مجموعه اعداد مثبت است.

2. محدوده مقادیر تابع لگاریتمی مجموعه اعداد واقعی است.

3. وقتی آ > 1 تابع لگاریتمیبه شدت در حال افزایش (0< ایکس 1 < ایکس 2log آ ایکس 1 < logآ ایکس 2) و در 0< آ < 1, - строго убывает (0 < ایکس 1 < ایکس 2log آ ایکس 1 > ورود آ ایکس 2).

4.log آ 1 = 0 و وارد شوید آ آ = 1 (آ > 0, آ ≠ 1).

5. اگر آ> 1، سپس تابع لگاریتمی زمانی که منفی است ایکس(0;1) و مثبت در ایکس(1;+∞)، و اگر 0 باشد< آ < 1, то логарифмическая функция положительна при ایکس (0;1) و منفی در ایکس (1;+∞).

6. اگر آ> 1، سپس تابع لگاریتمی به سمت بالا محدب است و اگر آ(0;1) - محدب رو به پایین.

عبارات زیر (برای مثال، را ببینید) هنگام حل معادلات لگاریتمی استفاده می شود.

جبر یازدهم

موضوع: روش های حل معادلات لگاریتمی

اهداف درس:

آموزشی: شکل گیری دانش در مورد به روش های مختلفحل معادلات لگاریتمی، توانایی اعمال آنها در هر موقعیت خاص و انتخاب هر روشی برای حل.

توسعه: توسعه مهارت های مشاهده، مقایسه، به کارگیری دانش در موقعیت جدید، شناسایی الگوها، تعمیم. توسعه مهارت های کنترل متقابل و خودکنترلی؛

آموزشی: پرورش نگرش مسئولانه نسبت به کار آموزشی، درک دقیق مطالب در درس و یادداشت برداری دقیق.

نوع درس: درس معرفی مطالب جدید.

اختراع لگاریتم، در عین حال که کار منجم را کاهش داد، عمر او را افزایش داد.
ریاضیدان و ستاره شناس فرانسوی P.S. لاپلاس

در طول کلاس ها

I. تعیین هدف درس

تعریف مورد مطالعه لگاریتم، خواص لگاریتم و تابع لگاریتمی به ما امکان حل معادلات لگاریتمی را می دهد. تمام معادلات لگاریتمی، مهم نیست که چقدر پیچیده باشند، با استفاده از الگوریتم های یکنواخت حل می شوند. در درس امروز به بررسی این الگوریتم ها خواهیم پرداخت. تعداد آنها زیاد نیست. اگر به آنها تسلط داشته باشید، هر معادله ای با لگاریتم برای هر یک از شما امکان پذیر خواهد بود.

موضوع درس را در دفتر خود یادداشت کنید: "روش حل معادلات لگاریتمی". از همه دعوت به همکاری میکنم

II. به روز رسانی دانش مرجع

بیایید برای مطالعه موضوع درس آماده شویم. شما هر کار را حل می کنید و پاسخ را یادداشت می کنید؛ لازم نیست شرط را بنویسید. دوتایی کار کنید.

1) تابع برای چه مقادیری از x معنی دارد:

(پاسخ ها برای هر اسلاید بررسی می شوند و خطاها مرتب می شوند)

2) آیا نمودارهای توابع منطبق هستند؟

3) تساوی ها را به صورت تساوی لگاریتمی بازنویسی کنید:

4) اعداد را به صورت لگاریتمی با پایه 2 بنویسید:

5) محاسبه کنید:

6) سعی کنید عناصر گمشده در این برابری ها را بازیابی یا تکمیل کنید.

III. مقدمه ای بر مواد جدید

عبارت زیر روی صفحه نمایش داده می شود:

"معادله کلید طلایی است که تمام کنجدهای ریاضی را باز می کند."
S. Kowal ریاضیدان مدرن لهستانی

سعی کنید تعریف یک معادله لگاریتمی را فرموله کنید. (معادله ای حاوی یک مجهول در زیر علامت لگاریتم).

در نظر بگیریم ساده ترین معادله لگاریتمی:ورود به سیستمآx = b(که a>0، a ≠ 1). از آنجایی که تابع لگاریتمی بر روی مجموعه اعداد مثبت افزایش (یا کاهش می‌یابد) و تمام مقادیر واقعی را می‌گیرد، پس از قضیه ریشه نتیجه می‌شود که برای هر b این معادله فقط یک جواب و یک مثبت دارد.

تعریف لگاریتم را به خاطر بسپارید. (لگاریتم یک عدد x به پایه a نشانگر توانی است که برای بدست آوردن عدد x باید پایه a را به آن برد). از تعریف لگاریتم فوراً نتیجه می شود که آVچنین راه حلی است

عنوان را بنویسید: روش های حل معادلات لگاریتمی

1. با تعریف لگاریتم.

به این ترتیب ساده ترین معادلات فرم حل می شود.

در نظر بگیریم شماره 514 (a)): معادله را حل کنید

چگونه پیشنهاد می کنید آن را حل کنید؟ (با تعریف لگاریتم)

راه حل. ، بنابراین 2x - 4 = 4; x = 4.

در این کار، 2x - 4 > 0، زیرا > 0، بنابراین هیچ ریشه اضافی نمی تواند ظاهر شود و نیازی به بررسی نیست. در این کار نیازی به نوشتن شرط 2x - 4 > 0 نیست.

2. توانمندسازی(انتقال از لگاریتم یک عبارت داده شده به خود این عبارت).

در نظر بگیریم شماره 519 (g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

به چه ویژگی توجه کردید؟ (پایه ها یکسان و لگاریتم دو عبارت برابرند.) چه کاری می توان انجام داد؟ (تقویت کردن).

باید در نظر گرفت که هر راه حلی در بین تمام x ها وجود دارد که عبارات لگاریتمی آن مثبت است.

راه حل: ODZ:

X2+8>0 یک نابرابری غیر ضروری است

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8 x+8)

بیایید معادله اصلی را تقویت کنیم

معادله x2+8= 8x+8 را بدست می آوریم

بیایید آن را حل کنیم: x2-8x=0

پاسخ: 0; 8

که در نمای کلی انتقال به یک سیستم معادل:

معادله

(سیستم شامل یک شرط اضافی است - یکی از نابرابری ها لازم نیست در نظر گرفته شود).

سوال برای کلاس: کدام یک از این سه راه حل را بیشتر دوست داشتید؟ (بحث روش ها).

شما حق دارید به هر نحوی تصمیم بگیرید.

3. معرفی یک متغیر جدید.

در نظر بگیریم شماره 520 (g). .

چه چیزی را متوجه شدید؟ (این معادله درجه دومدر مورد log3x) پیشنهادات شما؟ (یک متغیر جدید معرفی کنید)

راه حل. ODZ: x > 0.

اجازه دهید، سپس معادله به شکل:. ممیز D > 0. ریشه ها طبق قضیه ویتا:.

بیایید به جایگزینی برگردیم: یا.

با حل ساده ترین معادلات لگاریتمی، به دست می آوریم:

پاسخ: 27;

4. دو طرف معادله را لگاریتم کنید.

معادله را حل کنید:

راه حل: ODZ: x>0، لگاریتم هر دو طرف معادله را در مبنای 10 بگیرید:

بیایید خاصیت لگاریتم یک توان را اعمال کنیم:

(logx + 3) logx = 4

اجازه دهید logx = y، سپس (y + 3)y = 4

، (D > 0) ریشه ها طبق قضیه ویتا: y1 = -4 و y2 = 1.

بیایید به جایگزینی برگردیم، دریافت می کنیم: lgx = -4,; lgx = 1، .

پاسخ: 0.0001; 10.

5. کاهش به یک پایه.

شماره 523 (ج). معادله را حل کنید:

راه حل: ODZ: x>0. بیایید به پایه 3 برویم.

6. روش کارکردی- گرافیکی.

№ 509 (د).معادله را به صورت گرافیکی حل کنید: = 3 - x.

چگونه پیشنهاد حل می کنید؟ (گراف دو تابع y = log2x و y = 3 - x را با استفاده از نقاط بسازید و به دنبال آبسیسا نقاط تقاطع نمودارها بگردید).

به راه حل خود در اسلاید نگاه کنید.

راهی برای جلوگیری از ایجاد نمودار وجود دارد . به شرح زیر می باشد : اگر یکی از توابع y = f(x) افزایش می یابد و دیگری y = g(x) در بازه X و سپس معادله کاهش می یابد f(x)= g(x) حداکثر یک ریشه در بازه X دارد.

اگر ریشه ای وجود داشته باشد، می توان حدس زد.

در مورد ما، تابع برای x>0 افزایش می یابد و تابع y = 3 - x برای تمام مقادیر x کاهش می یابد، از جمله برای x>0، به این معنی که معادله بیش از یک ریشه ندارد. توجه داشته باشید که در x = 2 معادله به یک برابری واقعی تبدیل می شود، زیرا .

« استفاده صحیحروش ها قابل یادگیری است
فقط با به کار بردن آنها در نمونه های مختلف.»
مورخ دانمارکی ریاضیات G. G. Zeiten

منV. مشق شب

ص 39 مثال 3 را در نظر بگیرید، شماره 514 (ب)، شماره 529 (ب)، شماره 520 (ب)، شماره 523 (ب) را حل کنید.

V. جمع بندی درس

چه روش هایی برای حل معادلات لگاریتمی در کلاس بررسی کردیم؟

در درس های بعدی به بررسی بیشتر خواهیم پرداخت معادلات پیچیده. برای حل آنها، روش های مورد مطالعه مفید خواهد بود.

آخرین اسلاید نشان داده شده:

«چه چیزی بیش از هر چیزی در جهان است؟
فضا.
عاقلانه ترین کار چیست؟
زمان.
بهترین قسمت چیست؟
به آنچه می خواهید برسید."
تالس

آرزو می کنم همه به آنچه می خواهند برسند. از همکاری و درک متقابل شما متشکریم.

آماده سازی برای آزمون نهایی در ریاضیات شامل بخش مهمی است - "لگاریتم". وظایف این مبحث لزوماً در آزمون یکپارچه ایالتی موجود است. تجربه سال‌های گذشته نشان می‌دهد که معادلات لگاریتمی برای بسیاری از دانش‌آموزان مشکل ایجاد کرده است. بنابراین، دانش آموزان با سطوح مختلف آموزشی باید بدانند که چگونه پاسخ صحیح را بیابند و به سرعت با آنها کنار بیایند.

با استفاده از پورتال آموزشی Shkolkovo آزمون گواهینامه را با موفقیت پشت سر بگذارید!

هنگام آماده شدن برای آزمون یکپارچه دولتی، فارغ التحصیلان دبیرستان به منبع معتبری نیاز دارند که کامل ترین و دقیق ترین اطلاعات را برای حل موفقیت آمیز مسائل آزمون ارائه دهد. با این حال، یک کتاب درسی همیشه در دسترس نیست و جستجوی قوانین و فرمول های لازم در اینترنت اغلب زمان می برد.

پورتال آموزشی Shkolkovo به شما این امکان را می دهد که در هر زمان و در هر مکانی برای آزمون دولتی واحد آماده شوید. وب سایت ما راحت ترین روش را برای تکرار و جذب حجم زیادی از اطلاعات در مورد لگاریتم ها و همچنین با یک و چند مجهول ارائه می دهد. با معادلات آسان شروع کنید. اگر بدون مشکل با آنها کنار آمدید، به سراغ موارد پیچیده تر بروید. اگر در حل یک نابرابری خاص مشکل دارید، می توانید آن را به موارد دلخواه خود اضافه کنید تا بتوانید بعداً به آن بازگردید.

با مراجعه به بخش "راهنمای نظری" می توانید فرمول های لازم برای تکمیل کار، تکرار موارد خاص و روش های محاسبه ریشه معادله لگاریتمی استاندارد را بیابید. معلمان Shkolkovo تمام مواد لازم برای گذراندن موفقیت آمیز را به ساده ترین و قابل فهم ترین شکل جمع آوری، سیستماتیک و ارائه کردند.

برای اینکه به راحتی با وظایف هر پیچیدگی کنار بیایید، در پورتال ما می توانید با حل برخی از معادلات لگاریتمی استاندارد آشنا شوید. برای انجام این کار، به بخش "کاتالوگ ها" بروید. ارائه می کنیم تعداد زیادی ازمثال ها، از جمله معادلات پروفایل سطح آزمون دولتی یکپارچهریاضیات

دانش آموزان مدارس سراسر روسیه می توانند از پورتال ما استفاده کنند. برای شروع کلاس ها کافی است در سیستم ثبت نام کرده و شروع به حل معادلات کنید. برای تجمیع نتایج، به شما توصیه می کنیم که روزانه به وب سایت Shkolkovo بازگردید.