معادلات خطی و حل آنها حل سیستم ها با استفاده از روش گاوس روش بصری برای حل سیستم ها

و غیره، منطقی است که با معادلات انواع دیگر آشنا شوید. بعدی در صف هستند معادلات خطی، که مطالعه هدفمند آن در درس جبر در پایه هفتم آغاز می شود.

واضح است که ابتدا باید توضیح دهید که معادله خطی چیست، تعریفی از معادله خطی، ضرایب آن ارائه دهید، آن را نشان دهید. فرم کلی. سپس می توانید بفهمید که یک معادله خطی بسته به مقادیر ضرایب چند راه حل دارد و ریشه ها چگونه پیدا می شوند. این به شما امکان می دهد تا به حل مثال ها بروید و در نتیجه تئوری آموخته شده را تثبیت کنید. در این مقاله ما این کار را انجام خواهیم داد: به طور مفصل به تمام نکات نظری و عملی مربوط به معادلات خطی و حل آنها خواهیم پرداخت.

بیایید بلافاصله بگوییم که در اینجا ما فقط معادلات خطی را با یک متغیر در نظر می گیریم و در مقاله ای جداگانه اصول حل را مطالعه خواهیم کرد. معادلات خطی با دو متغیر.

پیمایش صفحه.

معادله خطی چیست؟

تعریف معادله خطی با نحوه نگارش آن ارائه می شود. همچنین در کتاب‌های مختلف ریاضی و جبر، صورت‌بندی تعاریف معادلات خطی دارای تفاوت‌هایی است که در اصل موضوع تأثیری ندارد.

به عنوان مثال، در کتاب جبر برای کلاس 7 توسط Yu. N. Makarychev و همکاران، یک معادله خطی به شرح زیر تعریف شده است:

تعریف.

معادله فرم a x=b، که در آن x یک متغیر است، a و b برخی از اعداد هستند، فراخوانی می شود معادله خطی با یک متغیر.

اجازه دهید مثال هایی از معادلات خطی را که با تعریف بیان شده مطابقت دارند، ارائه دهیم. به عنوان مثال، 5 x = 10 یک معادله خطی با یک متغیر x است، در اینجا ضریب a 5 و عدد b 10 است. مثال دیگر: −2.3·y=0 نیز یک معادله خطی است، اما با یک متغیر y، که در آن a=-2.3 و b=0 است. و در معادلات خطی x=−2 و −x=3.33 a به صراحت وجود ندارد و به ترتیب برابر با 1 و −1 است، در حالی که در معادله اول b=−2 و در رابطه دوم - b=3.33 است.

و یک سال قبل، در کتاب ریاضیات N. Ya. Vilenkin، معادلات خطی با یک مجهول، علاوه بر معادلات به شکل a x = b، معادلاتی را نیز در نظر گرفته اند که با انتقال عبارت از یک قسمت می توان به این شکل در آورد. از معادله به دیگری با علامت مخالف، و همچنین با کاهش عبارت های مشابه. با توجه به این تعریف، معادلات به شکل 5 x = 2 x + 6 و غیره. همچنین خطی

به نوبه خود، در کتاب درسی جبر برای کلاس 7 توسط A. G. Mordkovich تعریف زیر ارائه شده است:

تعریف.

معادله خطی با یک متغیر xمعادله ای به شکل a·x+b=0 است که a و b اعدادی هستند که ضرایب معادله خطی نامیده می شوند.

به عنوان مثال، معادلات خطی از این نوع 2 x−12=0، در اینجا ضریب a 2، و b برابر با −12، و 0.2 y+4.6=0 با ضرایب a=0.2 و b =4.6 است. اما در عین حال نمونه هایی از معادلات خطی وجود دارد که به شکل نه a·x+b=0 بلکه a·x=b مثلاً 3·x=12 هستند.

اجازه دهید برای اینکه در آینده مغایرتی نداشته باشیم، با یک معادله خطی با یک متغیر x و ضرایب a و b معادله ای به شکل a x + b = 0 را معنا کنیم. به نظر می رسد این نوع معادله خطی موجه ترین باشد، زیرا معادلات خطی هستند معادلات جبریدرجه نخست. و تمام معادلات دیگر نشان داده شده در بالا، و همچنین معادلاتی که با استفاده از تبدیل های معادل، به شکل x + b = 0 کاهش می یابد، ما فراخوانی خواهیم کرد. معادلاتی که به معادلات خطی تقلیل می یابند. با این رویکرد، معادله 2 x+6=0 یک معادله خطی است و 2 x=−6، 4+25 y=6+24 y، 4 (x+5)=12 و غیره. - اینها معادلاتی هستند که به خطی تقلیل می یابند.

چگونه معادلات خطی را حل کنیم؟

اکنون زمان آن است که بفهمیم چگونه معادلات خطی a·x+b=0 حل می شوند. به عبارت دیگر، زمان آن رسیده است که بفهمیم آیا یک معادله خطی ریشه دارد یا خیر، و اگر چنین است، چه تعداد از آنها و چگونه آنها را پیدا کنیم.

وجود ریشه های یک معادله خطی به مقادیر ضرایب a و b بستگی دارد. در این حالت معادله خطی a x+b=0 است

• تنها ریشه برای a≠0،
• هیچ ریشه ای برای a=0 و b≠0 ندارد،
• دارای ریشه های بی نهایت برای a=0 و b=0 است که در این صورت هر عددی ریشه یک معادله خطی است.

اجازه دهید توضیح دهیم که چگونه این نتایج به دست آمده است.

می دانیم که برای حل معادلات می توان از معادله اصلی به معادلات معادل یعنی به معادلات با ریشه های یکسان یا مانند معادله اصلی بدون ریشه حرکت کرد. برای این کار می توانید از تبدیل های معادل زیر استفاده کنید:

• انتقال عبارت از یک طرف معادله به سمت دیگر با علامت مخالف،
• و همچنین ضرب یا تقسیم هر دو طرف یک معادله در یک عدد غیر صفر یکسان.

بنابراین، در یک معادله خطی با یک متغیر فرم a·x+b=0 می توانیم عبارت b را از سمت چپ به سمت راست با علامت مخالف حرکت دهیم. در این صورت معادله به شکل a·x=−b خواهد بود.

و سپس این سوال مطرح می شود که هر دو طرف معادله را بر عدد a تقسیم کنیم. اما یک چیز وجود دارد: عدد a می تواند برابر با صفر باشد، در این صورت چنین تقسیمی غیرممکن است. برای مقابله با این مشکل ابتدا عدد a را غیر صفر فرض می کنیم و کمی بعد حالت یک موجود برابر با صفر را جداگانه بررسی می کنیم.

بنابراین، وقتی a برابر با صفر نباشد، می‌توانیم هر دو طرف معادله a·x=−b را بر a تقسیم کنیم، پس از آن به شکل x=(−b):a تبدیل می‌شود، این نتیجه می‌تواند با استفاده از اسلش کسری as نوشته می شود.

بنابراین برای a≠0 معادله خطی a·x+b=0 معادل معادله ای است که ریشه آن از آن قابل مشاهده است.

به راحتی می توان نشان داد که این ریشه منحصر به فرد است، یعنی معادله خطی ریشه دیگری ندارد. این به شما امکان می دهد روش مخالف را انجام دهید.

بیایید ریشه را x 1 نشان دهیم. فرض کنید ریشه دیگری از معادله خطی وجود دارد که آن را به صورت x 2 و x 2 ≠x 1 نشان می دهیم که به دلیل تعیین اعداد مساوی از طریق تفاوتمعادل شرط x 1 −x 2 ≠0 است. از آنجایی که x 1 و x 2 ریشه های معادله خطی a·x+b=0 هستند، پس برابری های عددی a·x 1 +b=0 و a·x 2 +b=0 برقرار هستند. می‌توانیم قسمت‌های مربوط به این برابری‌ها را کم کنیم، که ویژگی‌های تساوی‌های عددی به ما اجازه می‌دهند، a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0 داریم که از آن a·(x 1 −x 2)+(b−b)=0 و سپس a·(x 1 −x2)=0. اما این برابری غیرممکن است، زیرا هم a≠0 و هم x 1 − x 2 ≠0. بنابراین به تناقضی رسیدیم که منحصر به فرد بودن ریشه معادله خطی a·x+b=0 برای a≠0 را ثابت می کند.

بنابراین معادله خطی a·x+b=0 را برای a≠0 حل کردیم. اولین نتیجه ای که در ابتدای این پاراگراف داده شده است موجه است. دو مورد دیگر باقی مانده است که شرط a=0 را دارند.

وقتی a=0، معادله خطی a·x+b=0 شکل 0·x+b=0 را به خود می گیرد. از این معادله و خاصیت ضرب اعداد در صفر چنین برمی‌آید که مهم نیست چه عددی را x بگیریم، وقتی آن را به معادله 0 x + b=0 جایگزین کنیم، برابری عددی b=0 به دست می‌آید. این برابری زمانی درست است که b=0 باشد و در موارد دیگر وقتی b≠0 این برابری نادرست است.

در نتیجه، با a=0 و b=0، هر عددی ریشه معادله خطی a·x+b=0 است، زیرا در این شرایط، با جایگزینی هر عددی به جای x برابری عددی صحیح 0=0 به دست می‌آید. و وقتی a=0 و b≠0، معادله خطی a·x+b=0 ریشه ندارد، زیرا در این شرایط، جایگزینی هر عددی به جای x منجر به برابری عددی نادرست b=0 می‌شود.

توجیهات ارائه شده به ما اجازه می دهد تا دنباله ای از اقدامات را فرموله کنیم که به ما امکان می دهد هر معادله خطی را حل کنیم. بنابراین، الگوریتم حل معادله خطیاست:

• ابتدا با نوشتن معادله خطی مقادیر ضرایب a و b را پیدا می کنیم.
• اگر a=0 و b=0 باشد، این معادله بی نهایت ریشه دارد، یعنی هر عددی یک ریشه از این معادله خطی است.
• اگر a غیر صفر است، پس
• ضریب b با علامت مخالف به سمت راست منتقل می شود و معادله خطی به شکل a·x=-b تبدیل می شود.
• پس از آن هر دو طرف معادله به دست آمده با یک عدد غیر صفر a تقسیم می شود که ریشه مورد نظر معادله خطی اصلی را به دست می دهد.

الگوریتم نوشتاری پاسخی جامع به این سوال است که چگونه معادلات خطی را حل کنیم.

در خاتمه این نکته، شایان ذکر است که از الگوریتم مشابهی برای حل معادلات به شکل a·x=b استفاده شده است. تفاوت آن در این است که وقتی a≠0 هر دو طرف معادله بلافاصله بر این عدد تقسیم می شود، در اینجا b قبلاً در قسمت مورد نیاز معادله است و نیازی به انتقال آن نیست.

برای حل معادلات به شکل a x = b از الگوریتم زیر استفاده می شود:

• اگر a=0 و b=0 باشد، معادله دارای ریشه های بی نهایت است که هر عددی باشد.
• اگر a=0 و b≠0 باشد، معادله اصلی ریشه ندارد.
• اگر a غیر صفر باشد، هر دو طرف معادله به عددی غیرصفر a تقسیم می شود که تنها ریشه معادله برابر با b/a از آن پیدا می شود.

نمونه هایی از حل معادلات خطی

بیایید به سراغ تمرین برویم. بیایید به نحوه استفاده از الگوریتم برای حل معادلات خطی نگاه کنیم. اجازه دهید راه حل هایی برای مثال های معمولی مربوط به آن ارائه دهیم معانی مختلفضرایب معادلات خطی

مثال.

معادله خطی 0·x−0=0 را حل کنید.

راه حل.

در این معادله خطی a=0 و b=−0 که همان b=0 است. بنابراین، این معادله بی نهایت ریشه دارد؛ هر عددی ریشه ای از این معادله است.

پاسخ:

x - هر عدد.

مثال.

آیا معادله خطی 0 x + 2.7 = 0 راه حل دارد؟

راه حل.

در این حالت ضریب a برابر با صفر، و ضریب b این معادله خطی برابر با 2.7 یعنی با صفر متفاوت است. بنابراین، یک معادله خطی ریشه ندارد.

یادگیری حل معادلات یکی از وظایف اصلی جبر برای دانش آموزان است. از ساده ترین ها شروع کنید، زمانی که از یک مجهول تشکیل شده باشد، و به سمت موارد پیچیده تر و بیشتر بروید. اگر به اقداماتی که باید با معادلات گروه اول انجام شود تسلط نداشته باشید، درک بقیه دشوار خواهد بود.

برای ادامه مکالمه، باید در مورد علامت گذاری به توافق برسید.

شکل کلی معادله خطی با یک مجهول و اصل حل آن

هر معادله ای که بتوان آن را به صورت زیر نوشت:

a * x = b,

تماس گرفت خطی. این فرمول کلی. اما اغلب در تکالیف معادلات خطی به صورت ضمنی نوشته می شوند. سپس شما باید انجام دهید تحولات هویتیبرای دریافت ورودی عمومی پذیرفته شده. این اقدامات عبارتند از:

• پرانتز باز؛
• انتقال همه عبارت‌ها با مقدار متغیر به سمت چپ برابری و بقیه به سمت راست.
• کاهش اصطلاحات مشابه

در موردی که یک کمیت مجهول در مخرج کسری باشد، باید مقادیر آن را تعیین کنید که در آن عبارت معنی ندارد. به عبارت دیگر، شما باید دامنه تعریف معادله را بدانید.

اصل حل تمام معادلات خطی به تقسیم مقدار سمت راست معادله بر ضریب مقابل متغیر می رسد. یعنی "x" برابر با b/a خواهد بود.

موارد خاص معادلات خطی و حل آنها

در طول استدلال، لحظاتی ممکن است به وجود بیایند که معادلات خطی یکی از اشکال خاص را به خود بگیرند. هر کدام از آنها راه حل خاصی دارند.

در موقعیت اول:

a * x = 0و یک ≠ 0.

جواب چنین معادله ای همیشه x=0 خواهد بود.

در حالت دوم، "a" مقدار برابر با صفر می گیرد:

0 * x = 0.

پاسخ چنین معادله ای هر عددی خواهد بود. یعنی بی نهایت ریشه دارد.

وضعیت سوم به این صورت است:

0 * x = اینچ، جایی که در ≠ 0.

این معادله منطقی نیست زیرا هیچ ریشه ای وجود ندارد که آن را ارضا کند.

نمای کلی یک معادله خطی با دو متغیر

از نام آن مشخص می شود که قبلاً دو کمیت ناشناخته در آن وجود دارد. معادلات خطی در دو متغیربه این شکل نگاه کنید:

a * x + b * y = c.

از آنجایی که دو مجهول در رکورد وجود دارد، پاسخ شبیه یک جفت اعداد خواهد بود. یعنی تنها تعیین یک مقدار کافی نیست. این یک پاسخ ناقص خواهد بود. یک جفت کمیت که معادله برای آنها هویت می شود راه حل معادله است. علاوه بر این، در پاسخ، متغیری که در الفبای اول قرار می گیرد همیشه ابتدا نوشته می شود. گاهی می گویند این اعداد او را راضی می کند. علاوه بر این، می تواند تعداد نامحدودی از این جفت ها وجود داشته باشد.

چگونه یک معادله خطی را با دو مجهول حل کنیم؟

برای انجام این کار، فقط باید هر جفت عددی را که درست است انتخاب کنید. برای سادگی، می‌توانید یکی از مجهولات را برابر با یک عدد اول بگیرید و سپس دومی را پیدا کنید.

هنگام حل، اغلب باید مراحلی را برای ساده کردن معادله انجام دهید. به آنها دگرگونی هویت می گویند. علاوه بر این، خواص زیر همیشه برای معادلات صادق است:

• هر عبارت را می توان با جایگزین کردن علامت آن با علامت مقابل به قسمت مقابل برابری منتقل کرد.
• ضلع چپ و راست هر معادله تا زمانی که برابر با صفر نباشد مجاز به تقسیم بر یک عدد است.

نمونه هایی از وظایف با معادلات خطی

اولین کارحل معادلات خطی: 4x = 20, 8 (x - 1) + 2x = 2 (4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

در معادله ای که اول این لیست است، به سادگی 20 را بر 4 تقسیم کنید. نتیجه 5 خواهد بود. این جواب است: x = 5.

معادله سوم مستلزم آن است که یک تبدیل هویت انجام شود. این شامل باز کردن پرانتزها و آوردن اصطلاحات مشابه است. پس از مرحله اول، معادله به شکل 8x - 8 + 2x = 8 - 4x خواهد بود. سپس باید تمام مجهولات را به سمت چپ معادله و بقیه را به سمت راست منتقل کنید. معادله به این صورت خواهد بود: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. پس از اضافه کردن عبارت های مشابه: 14x = 16. اکنون به نظر می رسد مانند مورد اول، و راه حل آن آسان است. پاسخ x=8/7 خواهد بود. اما در ریاضیات قرار است کل قسمت را از یک کسر نامناسب جدا کنید. سپس نتیجه تبدیل می شود و "x" برابر با یک کل و یک هفتم خواهد بود.

در مثال های باقی مانده، متغیرها در مخرج هستند. این بدان معنی است که ابتدا باید بدانید که معادلات در چه مقادیری تعریف شده اند. برای انجام این کار، باید اعدادی را که مخرج آن ها به صفر می رسد، حذف کنید. در مثال اول "-4" و در مثال دوم "-3" است. یعنی این مقادیر باید از پاسخ حذف شوند. پس از این، باید هر دو طرف تساوی را در عبارات مخرج ضرب کنید.

با باز کردن پرانتزها و آوردن عبارت های مشابه، در اولین مورد از این معادلات به دست می آید: 5x + 15 = 4x + 16 و در دومی 5x + 15 = 4x + 12. پس از تبدیل ها، جواب معادله اول x = خواهد بود. -1. دومی برابر با "-3" است، به این معنی که دومی هیچ راه حلی ندارد.

وظیفه دوم.معادله را حل کنید: -7x + 2y = 5.

فرض کنید که مجهول اول x = 1، سپس معادله به شکل -7 * 1 + 2y = 5 خواهد بود. با انتقال ضریب "-7" به سمت راست تساوی و تغییر علامت آن به مثبت، معلوم می شود که 2y = 12. این یعنی y =6. پاسخ: یکی از جواب های معادله x = 1، y = 6.

شکل کلی نابرابری با یک متغیر

تمام موقعیت های ممکن برای نابرابری ها در اینجا ارائه شده است:

• a * x > b;
• تبر< в;
• a * x ≥b;
• a * x ≤в.

به طور کلی، به نظر می رسد یک معادله خطی ساده است، فقط علامت مساوی با یک نامساوی جایگزین می شود.

قوانین تغییر هویت نابرابری ها

درست مانند معادلات خطی، نابرابری ها را می توان با توجه به قوانین خاصی اصلاح کرد. آنها به موارد زیر خلاصه می شوند:

1. به سمت چپ و راست نابرابری می توانید هر حرف یا را اضافه کنید بیان عددیو علامت نابرابری ثابت خواهد ماند.
2. شما همچنین می توانید ضرب یا تقسیم بر همان چیز کنید عدد مثبت، این دوباره علامت را تغییر نمی دهد.
3. هنگام ضرب یا تقسیم بر همان عدد منفی، برابری درست باقی می‌ماند، مشروط بر اینکه علامت نابرابری معکوس شود.

دیدگاه کلی از نابرابری های مضاعف

نابرابری های زیر را می توان در مسائل ارائه کرد:

• V< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• V< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

دوتایی نامیده می شود زیرا با علائم نابرابری در هر دو طرف محدود می شود. با استفاده از قوانین مشابه نابرابری های معمولی حل می شود. و یافتن پاسخ به یک سری تحولات یکسان ختم می شود. تا زمانی که ساده ترین مورد به دست آید.

ویژگی های حل نابرابری های مضاعف

اولین آنها تصویر آن بر روی محور مختصات است. از این روش برای نابرابری های سادهلازم نیست. اما در موارد دشوار ممکن است به سادگی لازم باشد.

برای به تصویر کشیدن یک نابرابری، باید تمام نقاطی را که در طول استدلال به دست آمده اند، روی محور علامت گذاری کنید. این مقادیر نامعتبر هستند که با نقاط سوراخ شده نشان داده می شوند و مقادیری از نابرابری های به دست آمده پس از تبدیل ها نشان داده می شوند. در اینجا نیز ترسیم صحیح نقطه ها مهم است. اگر نابرابری شدید باشد، یعنی< или >، سپس این مقادیر حذف می شوند. در نابرابری های غیر دقیق، نقاط باید سایه دار شوند.

سپس لازم است معنی نابرابری ها را نشان دهیم. این را می توان با استفاده از سایه یا قوس انجام داد. تقاطع آنها پاسخ را نشان خواهد داد.

ویژگی دوم مربوط به ضبط آن است. در اینجا دو گزینه ارائه شده است. اولین مورد نابرابری نهایی است. دومی به صورت فواصل است. با او اتفاق می افتد که مشکلات ایجاد می شود. پاسخ در فاصله ها همیشه شبیه یک متغیر با علامت عضویت و پرانتز با اعداد است. گاهی اوقات چندین فاصله وجود دارد، سپس باید علامت "و" را بین پرانتزها بنویسید. این علائم به این صورت است: ∈ و ∩. براکت های فاصله نیز نقش دارند. یک گرد زمانی قرار می گیرد که نقطه از پاسخ حذف شود و یک مستطیل شامل این مقدار است. علامت بی نهایت همیشه در پرانتز است.

نمونه هایی از حل نابرابری ها

1. نابرابری 7 - 5x ≥ 37 را حل کنید.

پس از تبدیل های ساده، به دست می آوریم: -5x ≥ 30. با تقسیم بر "-5" می توانیم عبارت زیر را بدست آوریم: x ≤ -6. این قبلاً پاسخ است، اما می توان آن را به روش دیگری نوشت: x ∈ (-∞; -6].

2. حل نابرابری مضاعف -4< 2x + 6 ≤ 8.

ابتدا باید 6 را از همه جا کم کنید< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

سطح اول

معادلات خطی راهنمای کامل (2019)

"معادلات خطی" چیست؟

یا در شفاهی- به سه دوست به هر کدام سیب داده شد بر این اساس که واسیا تمام سیب هایی را که داشت داشت.

و اکنون شما قبلاً تصمیم گرفته اید معادله خطی
حال بیایید یک تعریف ریاضی به این اصطلاح بدهیم.

معادله خطی - این معادله جبری، که مجموع درجه چندجمله ای های تشکیل دهنده آن برابر است با. به نظر می رسد این است:

کجا و هر اعداد و

برای مورد ما با واسیا و سیب، می نویسیم:

- "اگر واسیا همان تعداد سیب را به هر سه دوست بدهد، هیچ سیبی برای او باقی نمی ماند"

معادلات خطی «پنهان» یا اهمیت دگرگونی های هویت

علیرغم این واقعیت که در نگاه اول همه چیز بسیار ساده است، هنگام حل معادلات باید مراقب باشید، زیرا معادلات خطی نه تنها معادلات از این نوع، بلکه به هر معادله ای که با تبدیل و ساده سازی به این نوع کاهش می یابد نیز گفته می شود. مثلا:

ما آنچه را که در سمت راست است می بینیم که در تئوری نشان می دهد که معادله خطی نیست. علاوه بر این، اگر پرانتزها را باز کنیم، دو عبارت دیگر به دست می‌آوریم که در آن‌ها خواهد بود، اما در نتیجه گیری عجله نکنید! قبل از قضاوت در مورد خطی بودن یک معادله، لازم است تمام تبدیل ها را انجام دهیم و در نتیجه مثال اصلی را ساده کنیم. در این مورد، تحولات می تواند تغییر کند ظاهر، اما نه اصل معادله.

به عبارت دیگر، داده های تبدیل باید باشد همسانیا معادل. تنها دو تغییر از این دست وجود دارد، اما آنها بسیار، بسیار بازی می کنند نقش مهمهنگام حل مشکلات بیایید با استفاده از مثال های خاص به هر دو تبدیل نگاه کنیم.

انتقال به چپ - راست.

فرض کنید باید معادله زیر را حل کنیم:

همچنین در دبستانبه ما گفته شد: "با X - سمت چپ، بدون X - به سمت راست." کدام عبارت با X در سمت راست است؟ درست است، اما نه چگونه نیست. و این مهم است، زیرا اگر این اشتباه درک شود، به نظر می رسد سوال ساده، پاسخ اشتباه بیرون می آید. کدام عبارت با X در سمت چپ است؟ درست، .

حالا که این را فهمیدیم، تمام عبارت‌های مجهول را به سمت چپ و هر چیزی را که معلوم است به سمت راست منتقل می‌کنیم، به یاد داشته باشید که اگر مثلاً جلوی عدد علامتی نباشد، آن‌گاه عدد مثبت است. یعنی جلوی آن علامتی هست " "

منتقل شده؟ چی به دست آوردی؟

تنها کاری که باید انجام شود، آوردن شرایط مشابه است. ارائه می دهیم:

بنابراین، ما اولین تحول یکسان را با موفقیت تجزیه و تحلیل کردیم، اگرچه مطمئن هستم که شما آن را می دانستید و فعالانه از آن بدون من استفاده می کردید. نکته اصلی این است که هنگام انتقال از طریق علامت مساوی، علائم اعداد را فراموش نکنید و آنها را به موارد مخالف تغییر دهید!

ضرب - تقسیم.

بیایید بلافاصله با یک مثال شروع کنیم

بیایید نگاه کنیم و فکر کنیم: چه چیزی را در مورد این مثال دوست نداریم؟ مجهول همه در یک قسمت است، معلوم در قسمت دیگر است، اما چیزی مانع ما می شود... و این چیزی یک چهار است، زیرا اگر وجود نداشت، همه چیز عالی می شد - x برابر با یک عدد است - دقیقاً همانطور که ما نیاز داریم!

چگونه می توانید از شر آن خلاص شوید؟ ما نمی‌توانیم آن را به سمت راست ببریم، زیرا در این صورت باید کل ضریب را حرکت دهیم (نمی‌توانیم آن را برداریم و پاره کنیم)، و حرکت کل ضریب نیز منطقی نیست...

وقت آن است که در مورد تقسیم به یاد بیاوریم، پس بیایید همه چیز را بر تقسیم کنیم! همه چیز - این به معنای هر دو سمت چپ و راست است. این طرف و فقط این طرف! ما چه کار می کنیم؟

در اینجا پاسخ است.

حال به مثال دیگری نگاه می کنیم:

آیا می توانید حدس بزنید در این مورد چه کاری باید انجام شود؟ درست است، ضلع چپ و راست را در ضرب کنید! چه پاسخی دریافت کردید؟ درست. .

مطمئناً شما قبلاً همه چیز را در مورد تحولات هویت می دانستید. در نظر بگیرید که ما به سادگی این دانش را در حافظه شما تازه کرده ایم و وقت آن رسیده است که چیزهای بیشتری انجام دهیم - به عنوان مثال، مثال بزرگ خود را حل کنیم:

همانطور که قبلاً گفتیم، با نگاه کردن به آن، نمی توانید بگویید که این معادله خطی است، اما باید براکت ها را باز کنیم و تبدیل های یکسان را انجام دهیم. پس بیایید شروع کنیم!

برای شروع، فرمول های ضرب اختصاری، به ویژه، مجذور مجموع و مربع تفاوت را به یاد می آوریم. اگر به یاد نمی آورید که چیست و پرانتزها چگونه باز می شوند، اکیداً توصیه می کنم موضوع را مطالعه کنید، زیرا این مهارت ها هنگام حل تقریباً تمام مثال هایی که در امتحان با آنها مواجه می شوید برای شما مفید خواهد بود.
فاش شد؟ بیایید مقایسه کنیم:

اکنون وقت آن است که اصطلاحات مشابه را بیاوریم. یادتان هست در همان کلاس های ابتدایی چطور به ما می گفتند "مگس و کتلت را کنار هم نگذارید"؟ در اینجا من این را به شما یادآوری می کنم. ما همه چیز را جداگانه اضافه می کنیم - عواملی که دارند، عواملی که دارند و عوامل باقیمانده که مجهول ندارند. وقتی اصطلاحات مشابهی را می آورید، همه مجهولات را به چپ و هر آنچه را که شناخته شده است به راست منتقل کنید. چی به دست آوردی؟

همانطور که می بینید، X در مربع ناپدید شده اند و ما یک چیز کاملا عادی را می بینیم. معادله خطی. تنها چیزی که باقی می ماند یافتن آن است!

و در نهایت، من یک چیز بسیار مهم دیگر در مورد تبدیل هویت می گویم - تبدیل هویت نه تنها برای معادلات خطی، بلکه برای معقولات درجه دوم، کسری و غیره نیز قابل استفاده است. فقط باید به یاد داشته باشید که وقتی فاکتورها را از طریق علامت مساوی منتقل می کنیم، علامت را به علامت مقابل تغییر می دهیم و هنگام تقسیم یا ضرب در فلان عدد، هر دو طرف معادله را بر عدد یکسان ضرب/تقسیم می کنیم.

چه چیز دیگری از این مثال برداشتید؟ اینکه با نگاه کردن به یک معادله همیشه نمی توان مستقیماً و با دقت خطی بودن یا نبودن آن را تعیین کرد. لازم است ابتدا بیان را به طور کامل ساده کنید و فقط پس از آن قضاوت کنید که چیست.

معادلات خطی مثال ها.

در اینجا چند مثال دیگر وجود دارد تا بتوانید خودتان تمرین کنید - تعیین کنید که آیا معادله خطی است و اگر چنین است، ریشه های آن را پیدا کنید:

پاسخ ها:

1. است.

2. نیست.

بیایید پرانتزها را باز کنیم و اصطلاحات مشابه را ارائه کنیم:

بیایید یک تبدیل یکسان انجام دهیم - سمت چپ و راست را به دو قسمت تقسیم کنیم:

می بینیم که معادله خطی نیست، بنابراین نیازی به جستجوی ریشه های آن نیست.

3. است.

بیایید یک تبدیل یکسان انجام دهیم - سمت چپ و راست را در ضرب کنید تا از مخرج خلاص شوید.

به این فکر کنید که چرا اینقدر مهم است؟ اگر پاسخ این سوال را می دانید، به حل معادله ادامه دهید، اگر نه، حتما موضوع را بررسی کنید تا در موارد بیشتر اشتباه نکنید. نمونه های پیچیده. به هر حال، همانطور که می بینید، وضعیت غیرممکن است. چرا؟
بنابراین، اجازه دهید پیش برویم و معادله را دوباره مرتب کنیم:

اگر همه چیز را بدون مشکل مدیریت کردید، بیایید در مورد معادلات خطی با دو متغیر صحبت کنیم.

معادلات خطی در دو متغیر

حالا بیایید به کمی پیچیده تر - معادلات خطی با دو متغیر برویم.

معادلات خطیبا دو متغیر به شکل زیر است:

کجا، و - هر عدد و.

همانطور که می بینید، تنها تفاوت این است که متغیر دیگری به معادله اضافه می شود. و بنابراین همه چیز یکسان است - هیچ x مربع وجود ندارد، هیچ تقسیم بر یک متغیر و غیره وجود ندارد. و غیره

چه جور مثالی از زندگی برات بزنم... بیا همین واسیا رو بگیریم. فرض کنید او تصمیم گرفت که به هر یک از 3 دوستش به همان تعداد سیب بدهد و سیب ها را برای خودش نگه دارد. اگر واسیا به هر دوست یک سیب بدهد باید چند سیب بخرد؟ در مورد چی؟ اگر توسط؟

رابطه بین تعداد سیب هایی که هر فرد دریافت می کند و تعداد کل سیب هایی که باید خریداری شود با معادله بیان می شود:

• - تعداد سیب هایی که شخص دریافت می کند (، یا، یا)؛
• - تعداد سیب هایی که واسیا برای خود می گیرد.
• - با در نظر گرفتن تعداد سیب برای هر نفر، واسیا باید چند سیب بخرد؟

با حل این مشکل، متوجه می شویم که اگر واسیا به یکی از دوستانش سیب بدهد، باید تکه هایی بخرد، اگر سیب بدهد و غیره.

و به طور کلی. ما دو متغیر داریم. چرا این رابطه را روی یک نمودار رسم نمی کنید؟ ارزش خودمون یعنی امتیاز رو با مختصات و !

همانطور که می بینید، آنها به یکدیگر وابسته هستند خطی، از این رو نام معادلات - " خطی».

بیایید از سیب انتزاعی بگیریم و به معادلات مختلف به صورت گرافیکی نگاه کنیم. به دو نمودار ساخته شده با دقت نگاه کنید - یک خط مستقیم و یک سهمی که با توابع دلخواه مشخص شده اند:

نقاط مربوطه را در هر دو تصویر پیدا کنید و علامت بزنید.
چی به دست آوردی؟

این را در نمودار تابع اول مشاهده می کنید تنهامطابقت دارد یکییعنی به صورت خطی هم به هم وابسته اند که در مورد تابع دوم نمی توان گفت. البته، می توانید استدلال کنید که در نمودار دوم x - نیز مطابقت دارد، اما این فقط یک نقطه است، یعنی یک مورد خاص، زیرا هنوز هم می توانید یکی را پیدا کنید که با بیش از یک مورد مطابقت دارد. و نمودار ساخته شده به هیچ وجه شبیه یک خط نیست، بلکه یک سهمی است.

یک بار دیگر تکرار می کنم: نمودار یک معادله خطی باید یک خط مستقیم باشد.

با این واقعیت که اگر به هر درجه ای برویم معادله خطی نخواهد بود - این با استفاده از مثال سهمی واضح است ، اگرچه می توانید چند نمودار ساده دیگر برای خود بسازید ، به عنوان مثال یا. اما من به شما اطمینان می دهم - هیچ یک از آنها یک خط مستقیم نخواهد بود.

باور نکن؟ آن را بسازید و سپس آن را با آنچه به دست آوردم مقایسه کنید:

اگر چیزی را بر مثلاً عددی تقسیم کنیم چه اتفاقی می افتد؟ آیا آن را وابستگی خطیو بحث نکنیم، بلکه بسازیم! برای مثال، بیایید یک نمودار از یک تابع بسازیم.

به نوعی به نظر نمی رسد که به عنوان یک خط مستقیم ساخته شده باشد ... بر این اساس، معادله خطی نیست.
بیایید خلاصه کنیم:

1. معادله خطی -معادله ای جبری است که در آن مجموع چند جمله ای های تشکیل دهنده آن برابر است.
2. معادله خطیبا یک متغیر به شکل زیر است:
   ، هر اعداد کجا و هستند.
   معادله خطیبا دو متغیر:
   ، کجا و هر عددی هستند.
3. همیشه نمی توان فوراً تعیین کرد که آیا یک معادله خطی است یا خیر. گاهی اوقات، برای درک این موضوع، لازم است تبدیل‌های یکسان انجام دهیم، عبارت‌های مشابه را به چپ/راست منتقل کنیم، فراموش نکنیم که علامت را تغییر دهیم، یا هر دو طرف معادله را در یک عدد ضرب/تقسیم کنیم.

معادلات خطی. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

1. معادله خطی

این یک معادله جبری است که در آن درجه کل چندجمله ای های تشکیل دهنده آن برابر است.

2. معادله خطی با یک متغیردارای فرم:

هر اعداد کجا و هستند.

3. معادله خطی با دو متغیردارای فرم:

کجا، و - هر عدد.

4. دگرگونی های هویت

برای تعیین خطی بودن یا نبودن یک معادله، باید تبدیل‌های یکسان انجام داد:

• عبارات مشابه را به چپ/راست حرکت دهید، فراموش نکنید که علامت را تغییر دهید.
• دو طرف معادله را در یک عدد ضرب/تقسیم کنید.

در این ویدیو مجموعه کاملی از معادلات خطی را که با استفاده از همان الگوریتم حل شده اند تجزیه و تحلیل خواهیم کرد - به همین دلیل آنها را ساده ترین می نامند.

ابتدا اجازه دهید تعریف کنیم: معادله خطی چیست و کدام یک را ساده ترین می نامند؟

معادله خطی معادله ای است که در آن فقط یک متغیر و فقط تا درجه اول وجود داشته باشد.

ساده ترین معادله به معنای ساخت است:

تمام معادلات خطی دیگر با استفاده از الگوریتم به ساده ترین آنها کاهش می یابد:

1. در صورت وجود، پرانتزها را گسترش دهید.
2. عبارت‌های حاوی متغیر را به یک طرف علامت مساوی و عبارت‌های بدون متغیر را به طرف دیگر منتقل کنید.
3. برای سمت چپ و راست علامت مساوی عباراتی مشابه بنویسید.
4. معادله بدست آمده را بر ضریب متغیر $x$ تقسیم کنید.

البته این الگوریتم همیشه کمک نمی کند. واقعیت این است که گاهی اوقات پس از این همه ماشینکاری، ضریب متغیر $x$ برابر با صفر می شود. در این مورد، دو گزینه ممکن است:

1. معادله اصلاً راه حلی ندارد. برای مثال، وقتی چیزی شبیه $0\cdot x=8$ معلوم می‌شود، i.e. در سمت چپ صفر و در سمت راست عددی غیر از صفر است. در ویدیوی زیر به چندین دلیل برای امکان این وضعیت نگاه خواهیم کرد.
2. راه حل همه اعداد است. تنها موردی که این امکان وجود دارد زمانی است که معادله به ساختار $0\cdot x=0$ کاهش یافته باشد. کاملاً منطقی است که مهم نیست $x$ را جایگزین کنیم، باز هم معلوم می شود که "صفر برابر با صفر است". برابری عددی صحیح

حال بیایید ببینیم که چگونه همه اینها با استفاده از مثال های واقعی کار می کنند.

نمونه هایی از حل معادلات

امروز ما با معادلات خطی و فقط ساده ترین آنها سر و کار داریم. به طور کلی معادله خطی به معنای هر برابری است که دقیقاً یک متغیر داشته باشد و فقط به درجه اول می رود.

چنین سازه هایی تقریباً به همان روش حل می شوند:

1. اول از همه، شما باید پرانتزها را، در صورت وجود، گسترش دهید (مانند نمونه آخر ما).
2. سپس مشابه را با هم ترکیب کنید
3. در نهایت، متغیر را جدا کنید، i.e. هر چیزی که با متغیر مرتبط است - اصطلاحاتی که در آن وجود دارد - را به یک طرف منتقل کنید و هر چیزی که بدون آن باقی می ماند را به طرف دیگر منتقل کنید.

سپس، به عنوان یک قاعده، باید موارد مشابه را در هر طرف برابری حاصل ارائه دهید، و پس از آن تنها چیزی که باقی می ماند تقسیم بر ضریب "x" است و پاسخ نهایی را خواهیم گرفت.

از نظر تئوری، این کار زیبا و ساده به نظر می‌رسد، اما در عمل، حتی دانش‌آموزان با تجربه دبیرستانی نیز می‌توانند در معادلات خطی نسبتاً ساده مرتکب اشتباهات تهاجمی شوند. به طور معمول، هنگام باز کردن پرانتزها یا هنگام محاسبه "مضافات" و "منفی" خطاها رخ می دهد.

علاوه بر این، این اتفاق می افتد که یک معادله خطی اصلاً راه حلی ندارد، یا این که راه حل کل خط اعداد است، یعنی. هر عددی در درس امروز به این نکات ظریف خواهیم پرداخت. اما همانطور که قبلاً فهمیدید، ما با همین موضوع شروع خواهیم کرد کارهای ساده.

طرحی برای حل معادلات خطی ساده

ابتدا اجازه دهید یک بار دیگر کل طرح حل ساده ترین معادلات خطی را بنویسم:

1. در صورت وجود، براکت ها را باز کنید.
2. ما متغیرها را جدا می کنیم، یعنی. ما هر چیزی را که حاوی "X" است به یک سمت و هر چیزی که "X" وجود ندارد به سمت دیگر منتقل می کنیم.
3. ما اصطلاحات مشابهی را ارائه می دهیم.
4. همه چیز را بر ضریب "x" تقسیم می کنیم.

البته این طرح همیشه جواب نمی دهد؛ ظرافت ها و ترفندهای خاصی در آن وجود دارد که اکنون با آنها آشنا می شویم.

حل مثال های واقعی معادلات خطی ساده

وظیفه شماره 1

در مرحله اول باید پرانتزها را باز کنیم. اما آنها در این مثال نیستند، بنابراین از این مرحله می گذریم. در مرحله دوم باید متغیرها را جدا کنیم. توجه داشته باشید: ما در موردفقط در مورد شرایط فردی بیایید آن را بنویسیم:

ما اصطلاحات مشابهی را در سمت چپ و راست ارائه می کنیم، اما این قبلاً در اینجا انجام شده است. بنابراین، بیایید به ادامه مطلب برویم مرحله چهارم: تقسیم بر ضریب:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

پس جواب گرفتیم.

وظیفه شماره 2

می‌توانیم پرانتزها را در این مشکل ببینیم، بنابراین اجازه دهید آنها را گسترش دهیم:

هم در سمت چپ و هم در سمت راست تقریباً یک طرح را می بینیم، اما بیایید طبق الگوریتم عمل کنیم، i.e. جداسازی متغیرها:

در اینجا برخی از موارد مشابه آورده شده است:

این در چه ریشه ای کار می کند؟ پاسخ: برای هر. بنابراین، می توانیم بنویسیم که $x$ هر عددی است.

وظیفه شماره 3

معادله خطی سوم جالب تر است:

\[\چپ(6-x \راست)+\چپ(12+x \راست)-\چپ(3-2x \راست)=15\]

پرانتزهای متعددی وجود دارد، اما آنها در هیچ چیز ضرب نمی شوند، فقط قبل از آنها قرار می گیرند نشانه های مختلف. بیایید آنها را تجزیه کنیم:

ما مرحله دوم را که قبلاً برای ما شناخته شده است انجام می دهیم:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

بیایید حساب کنیم:

ما آخرین مرحله را انجام می دهیم - همه چیز را بر ضریب "x" تقسیم می کنیم:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

نکاتی که در حل معادلات خطی باید به خاطر بسپارید

اگر کارهای خیلی ساده را نادیده بگیریم، می خواهم موارد زیر را بگویم:

• همانطور که در بالا گفتم، هر معادله خطی راه حلی ندارد - گاهی اوقات به سادگی هیچ ریشه ای وجود ندارد.
• حتی اگر ریشه ها وجود داشته باشد، ممکن است در بین آنها صفر وجود داشته باشد - هیچ اشکالی در آن وجود ندارد.

صفر همان عدد دیگری است؛ شما نباید به هیچ وجه بین آن تبعیض قائل شوید یا فرض کنید که اگر به صفر رسیدید، کار اشتباهی انجام داده اید.

ویژگی دیگر مربوط به باز شدن براکت ها است. لطفا توجه داشته باشید: هنگامی که یک "منفی" در مقابل آنها وجود دارد، آن را حذف می کنیم، اما در پرانتز علامت ها را به تغییر می دهیم. مقابل. و سپس می توانیم آن را با استفاده از الگوریتم های استاندارد باز کنیم: آنچه را که در محاسبات بالا دیدیم به دست می آوریم.

درک این واقعیت ساده به شما کمک می کند تا از انجام اشتباهات احمقانه و آسیب زا در دبیرستان جلوگیری کنید، در حالی که انجام چنین کارهایی بدیهی است.

حل معادلات خطی پیچیده

بیایید به ادامه مطلب برویم معادلات پیچیده. اکنون ساختارها پیچیده تر می شوند و هنگام انجام تبدیل های مختلف یک تابع درجه دوم ظاهر می شود. با این حال، ما نباید از این ترس داشته باشیم، زیرا اگر طبق برنامه نویسنده، معادله خطی را حل کنیم، در طول فرآیند تبدیل، مطمئناً همه تک جملات حاوی یک تابع درجه دوم لغو می شوند.

مثال شماره 1

بدیهی است که اولین قدم باز کردن براکت ها است. بیایید این کار را با دقت انجام دهیم:

حالا بیایید نگاهی به حریم خصوصی بیندازیم:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

در اینجا برخی از موارد مشابه آورده شده است:

بدیهی است که این معادله هیچ راه حلی ندارد، بنابراین این را در پاسخ می نویسیم:

\[\varnothing\]

یا هیچ ریشه ای وجود ندارد.

مثال شماره 2

ما همین اقدامات را انجام می دهیم. گام اول:

بیایید همه چیز را با یک متغیر به سمت چپ و بدون آن - به راست منتقل کنیم:

در اینجا برخی از موارد مشابه آورده شده است:

بدیهی است که این معادله خطی هیچ راه حلی ندارد، بنابراین آن را به این صورت می نویسیم:

\[\varnothing\]،

یا هیچ ریشه ای وجود ندارد.

تفاوت های ظریف راه حل

هر دو معادله کاملا حل شده است. با استفاده از این دو عبارت به عنوان مثال، ما یک بار دیگر متقاعد شدیم که حتی در ساده ترین معادلات خطی، همه چیز ممکن است چندان ساده نباشد: می تواند یکی باشد، یا هیچ، یا بی نهایت ریشه. در مورد ما، ما دو معادله را در نظر گرفتیم، هر دو به سادگی ریشه ندارند.

اما توجه شما را به یک واقعیت دیگر جلب می کنم: نحوه کار با پرانتز و نحوه باز کردن آنها در صورت وجود علامت منفی در مقابل آنها. این عبارت را در نظر بگیرید:

قبل از باز کردن، باید همه چیز را در "X" ضرب کنید. لطفا توجه داشته باشید: ضرب می شود هر ترم جداگانه. در داخل دو عبارت وجود دارد - به ترتیب، دو جمله و ضرب.

و فقط پس از تکمیل این دگرگونی های به ظاهر ابتدایی، اما بسیار مهم و خطرناک، می توانید براکت را از این نظر باز کنید که بعد از آن علامت منفی وجود دارد. بله، بله: فقط اکنون، هنگامی که تبدیل ها کامل شد، به یاد می آوریم که یک علامت منفی در جلوی براکت ها وجود دارد، به این معنی که همه چیز زیر به سادگی علائم را تغییر می دهد. در عین حال ، خود براکت ها ناپدید می شوند و مهمتر از همه ، "منهای" جلو نیز ناپدید می شوند.

همین کار را با معادله دوم انجام می دهیم:

تصادفی نیست که به این حقایق کوچک و به ظاهر کم اهمیت توجه می کنم. از آنجا که حل معادلات همیشه دنباله ای از تبدیل های ابتدایی است، که در آن ناتوانی در انجام واضح و شایسته اقدامات ساده منجر به این واقعیت می شود که دانش آموزان دبیرستانی به سراغ من می آیند و دوباره حل چنین معادلات ساده ای را یاد می گیرند.

البته روزی فرا می رسد که این مهارت ها را تا حد خودکار ارتقا دهید. دیگر مجبور نخواهید بود هر بار این همه تغییر و تحول انجام دهید، همه چیز را در یک خط خواهید نوشت. اما در حالی که تازه در حال یادگیری هستید، باید هر عمل را جداگانه بنویسید.

حل معادلات خطی حتی پیچیده تر

چیزی که اکنون می خواهیم حل کنیم را به سختی می توان ساده ترین کار نامید، اما معنی همان است.

وظیفه شماره 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

بیایید تمام عناصر قسمت اول را ضرب کنیم:

بیایید حریم خصوصی را رعایت کنیم:

در اینجا برخی از موارد مشابه آورده شده است:

بیایید آخرین مرحله را کامل کنیم:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

در اینجا پاسخ نهایی ما است. و علیرغم اینکه در فرآیند حل ما ضرایبی با تابع درجه دوم داشتیم، آنها یکدیگر را خنثی کردند که باعث می شود معادله خطی باشد و درجه دوم نباشد.

وظیفه شماره 2

\[\ چپ (1-4x \راست)\ چپ (1-3x \راست)=6x\چپ (2x-1 \راست)\]

بیایید مرحله اول را با دقت انجام دهیم: هر عنصر از براکت اول را در هر عنصر از دومی ضرب کنید. پس از تبدیل ها باید در مجموع چهار عبارت جدید وجود داشته باشد:

حالا بیایید ضرب را در هر جمله با دقت انجام دهیم:

بیایید عبارات "X" را به سمت چپ و موارد بدون - را به راست منتقل کنیم:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

در اینجا اصطلاحات مشابه وجود دارد:

یک بار دیگر پاسخ نهایی را دریافت کردیم.

تفاوت های ظریف راه حل

مهم ترین نکته در مورد این دو معادله این است: به محض اینکه شروع به ضرب براکت هایی می کنیم که بیش از یک جمله دارند، این کار طبق قانون زیر انجام می شود: جمله اول را از اولی می گیریم و با هر عنصر از آن ضرب می کنیم. دومین؛ سپس عنصر دوم را از اولی می گیریم و به طور مشابه در هر عنصر از عنصر دوم ضرب می کنیم. در نتیجه چهار ترم خواهیم داشت.

در مورد جمع جبری

با این مثال آخر، می خواهم به دانش آموزان یادآوری کنم که جمع جبری چیست. در ریاضیات کلاسیک، منظور ما از 1 تا 7 دلار یک ساختار ساده است: هفت را از یک کم کنید. منظور ما در جبر این است: به عدد "یک" عدد دیگری به نام "منهای هفت" اضافه می کنیم. اینگونه است که یک مجموع جبری با یک مجموع حسابی معمولی متفاوت است.

به محض انجام تمام تبدیل ها، هر جمع و ضرب، شروع به دیدن ساختارهای مشابه آنچه در بالا توضیح داده شد، در جبر هنگام کار با چند جمله ای ها و معادله ها مشکلی نخواهید داشت.

در نهایت، بیایید به چند مثال دیگر نگاه کنیم که حتی پیچیده‌تر از نمونه‌هایی هستند که اکنون به آنها نگاه کردیم، و برای حل آنها باید کمی الگوریتم استاندارد خود را گسترش دهیم.

حل معادلات با کسر

برای حل چنین کارهایی باید یک مرحله دیگر به الگوریتم خود اضافه کنیم. اما ابتدا اجازه دهید الگوریتم خود را به شما یادآوری کنم:

1. پرانتز ها را باز کنید.
2. متغیرها را جدا کنید
3. موارد مشابه را بیاورید.
4. تقسیم بر نسبت.

افسوس، این الگوریتم فوق العاده، با تمام اثربخشی آن، زمانی که کسری در مقابل خود داریم، کاملاً مناسب نیست. و در آنچه در زیر خواهیم دید، در هر دو معادله هم در سمت چپ و هم در سمت راست کسری داریم.

در این مورد چگونه باید کار کرد؟ بله، خیلی ساده است! برای انجام این کار، باید یک مرحله دیگر به الگوریتم اضافه کنید، که هم قبل و هم بعد از اولین اقدام، یعنی خلاص شدن از شر کسری، قابل انجام است. بنابراین الگوریتم به صورت زیر خواهد بود:

1. از شر کسری خلاص شوید.
2. پرانتز ها را باز کنید.
3. متغیرها را جدا کنید
4. موارد مشابه را بیاورید.
5. تقسیم بر نسبت.

"رهایی از کسری" به چه معناست؟ و چرا می توان این کار را هم بعد و هم قبل از اولین مرحله استاندارد انجام داد؟ در واقع، در مورد ما، همه کسرها در مخرج خود عددی هستند، یعنی. همه جا مخرج فقط یک عدد است. بنابراین اگر هر دو طرف معادله را در این عدد ضرب کنیم از شر کسر خلاص می شویم.

مثال شماره 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \راست))(4)=((x)^(2))-1\]

بیایید از کسرهای این معادله خلاص شویم:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \راست)\cdot 4\]

لطفاً توجه داشته باشید: همه چیز یک بار در "چهار" ضرب می شود، یعنی. فقط به این دلیل که دو پرانتز دارید به این معنی نیست که باید هر یک را در "چهار" ضرب کنید. بیایید بنویسیم:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

حالا بیایید گسترش دهیم:

متغیر را جدا می کنیم:

ما کاهش عبارات مشابه را انجام می دهیم:

\[-4x=-1\ چپ| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

جواب نهایی را دریافت کردیم، به معادله دوم می رویم.

مثال شماره 2

\[\frac(\left(1-x \راست)\left(1+5x \راست))(5)+((x)^(2))=1\]

در اینجا ما همه اقدامات مشابه را انجام می دهیم:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \راست)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

مشکل حل شده است.

در واقع، این تنها چیزی است که امروز می خواستم به شما بگویم.

امتیاز کلیدی

یافته های کلیدی عبارتند از:

• الگوریتم حل معادلات خطی را بدانید.
• قابلیت باز کردن براکت ها
• اگه دیدی نگران نباش توابع درجه دوم، به احتمال زیاد، در روند تحولات بعدی آنها کاهش خواهند یافت.
• در معادلات خطی سه نوع ریشه وجود دارد، حتی ساده ترین آنها: یک ریشه واحد، کل خط اعداد یک ریشه است و اصلاً ریشه ندارد.

امیدوارم این درس به شما در تسلط بر یک مبحث ساده اما بسیار مهم برای درک بیشتر تمامی ریاضیات کمک کند. اگر چیزی واضح نیست، به سایت بروید و مثال های ارائه شده در آنجا را حل کنید. با ما همراه باشید، چیزهای جالب دیگری در انتظار شما هستند!

با این برنامه ریاضی می توانید یک سیستم دو معادله خطی را با دو حل کنید روش متغیرروش جایگزینی و اضافه

این برنامه نه تنها پاسخ مشکل را می دهد، بلکه می دهد راه حل دقیقبا توضیح مراحل حل به دو صورت: روش جایگزینی و روش جمع.

این برنامه ممکن است برای دانش آموزان دبیرستانی مفید باشد مدارس متوسطهدر آماده سازی برای تست هاو امتحانات، هنگام آزمایش دانش قبل از آزمون دولتی واحد، برای والدین برای کنترل حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و جبر. یا شاید استخدام معلم یا خرید کتاب های درسی جدید برای شما گران باشد؟ یا فقط می خواهید آن را در سریع ترین زمان ممکن انجام دهید؟ مشق شبدر ریاضیات یا جبر؟ در این صورت می توانید از برنامه های ما با راه حل های دقیق نیز استفاده کنید.

به این ترتیب می توانید آموزش و/یا آموزش خود را انجام دهید. برادران کوچکتریا خواهران، در حالی که سطح تحصیلات در زمینه مشکلات در حال حل افزایش می یابد.

قوانین وارد کردن معادلات

هر حرف لاتین می تواند به عنوان یک متغیر عمل کند.
به عنوان مثال: \(x، y، z، a، b، c، o، p، q\) و غیره.

هنگام وارد کردن معادلات می توانید از پرانتز استفاده کنید. در این حالت ابتدا معادلات ساده می شوند. معادلات پس از ساده سازی باید خطی باشند، یعنی. از شکل ax+by+c=0 با دقت ترتیب عناصر.
به عنوان مثال: 6x+1 = 5(x+y)+2

شما می توانید نه تنها از اعداد صحیح در معادلات استفاده کنید، بلکه می توانید از اعداد صحیح نیز استفاده کنید اعداد کسریبه صورت اعشاری و کسری معمولی.

قوانین وارد کردن کسرهای اعشاری
قطعات صحیح و کسری در اعداد اعشاریرا می توان با یک نقطه یا یک کاما از هم جدا کرد.
به عنوان مثال: 2.1n + 3.5m = 55

قوانین وارد کردن کسرهای معمولی
فقط یک عدد کامل می تواند به عنوان صورت، مخرج و جزء صحیح یک کسر عمل کند.
مخرج نمی تواند منفی باشد.
هنگام وارد کردن کسر عددی، صورت با یک علامت تقسیم از مخرج جدا می شود: /
کل قسمت با علامت آمپرسند از کسر جدا می شود: &

مثال ها.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7 (3.5p - 2&1/8q)

حل سیستم معادلات

مشخص شد که برخی از اسکریپت های لازم برای حل این مشکل بارگیری نشده اند و ممکن است برنامه کار نکند.
ممکن است AdBlock را فعال کرده باشید.
در این صورت آن را غیرفعال کرده و صفحه را Refresh کنید.

جاوا اسکریپت در مرورگر شما غیرفعال است.
برای اینکه راه حل ظاهر شود، باید جاوا اسکریپت را فعال کنید.
در اینجا دستورالعمل هایی در مورد نحوه فعال کردن جاوا اسکریپت در مرورگر خود آورده شده است.

زیرا افراد زیادی مایل به حل مشکل هستند، درخواست شما در صف قرار گرفته است.
پس از چند ثانیه راه حل در زیر ظاهر می شود.
لطفا صبر کنید ثانیه...

اگر شما متوجه خطا در راه حل شد، سپس می توانید در این مورد در فرم بازخورد بنویسید.
فراموش نکن مشخص کنید کدام کارشما تصمیم می گیرید چه چیزی در فیلدها وارد کنید.

بازی ها، پازل ها، شبیه سازهای ما:

کمی تئوری

حل سیستم معادلات خطی. روش تعویض

دنباله اقدامات هنگام حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش جایگزینی:
1) یک متغیر را از یک معادله سیستم بر حسب معادله دیگر بیان کنید.
2) عبارت حاصل را به جای این متغیر با معادله دیگری از سیستم جایگزین کنید.

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \راست. $$

بیایید y را بر حسب x از معادله اول بیان کنیم: y = 7-3x. با جایگزینی عبارت 7-3x در معادله دوم به جای y، سیستم را بدست می آوریم:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \راست. $$

به راحتی می توان نشان داد که سیستم اول و دوم راه حل های یکسانی دارند. در سیستم دوم، معادله دوم فقط شامل یک متغیر است. بیایید این معادله را حل کنیم:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

با جایگزینی عدد 1 به جای x به برابری y=7-3x، مقدار مربوط به y را پیدا می کنیم:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

جفت (1;4) - راه حل سیستم

سیستم های معادلات در دو متغیر که جواب های یکسانی دارند نامیده می شوند معادل. سیستم هایی که راه حل ندارند نیز معادل محسوب می شوند.

حل سیستم معادلات خطی با جمع

بیایید روش دیگری را برای حل سیستم های معادلات خطی در نظر بگیریم - روش جمع. هنگام حل سیستم ها به این روش، و همچنین هنگام حل با جایگزینی، از این سیستم به سیستم معادل دیگری می رویم که در آن یکی از معادلات فقط شامل یک متغیر است.

دنباله اقدامات هنگام حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش جمع:
1) معادلات سیستم را در ترم ضرب کنید، عواملی را انتخاب کنید تا ضرایب یکی از متغیرها به اعداد مخالف تبدیل شوند.
2) سمت چپ و راست معادلات سیستم را ترم به ترم اضافه کنید.
3) معادله حاصل را با یک متغیر حل کنید.
4) مقدار متناظر متغیر دوم را بیابید.

مثال. بیایید سیستم معادلات را حل کنیم:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \راست. $$

در معادلات این سیستم ضرایب y اعداد متضاد هستند. با جمع دو طرف چپ و راست معادلات به صورت ترم، معادله ای با یک متغیر 3x=33 به دست می آید. بیایید یکی از معادلات سیستم، مثلا معادله اول را با معادله 3x=33 جایگزین کنیم. بیایید سیستم را دریافت کنیم
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \راست. $$

از معادله 3x=33 در می یابیم که x=11. با جایگزینی این مقدار x به معادله \(x-3y=38\) معادله ای با متغیر y بدست می آوریم: \(11-3y=38\). بیایید این معادله را حل کنیم:
\(-3y=27 \پیکان راست y=-9 \)

بنابراین، ما جواب سیستم معادلات را با جمع یافتیم: \(x=11; y=-9\) یا \((11;-9)\)

با استفاده از این واقعیت که در معادلات سیستم ضرایب y اعداد متضاد هستند، حل آن را به حل یک سیستم معادل تقلیل دادیم (با جمع دو طرف هر یک از معادلات سیستم اصلی) که در آن یک از معادلات فقط یک متغیر را شامل می شود.

کتاب ها (کتاب های درسی) چکیده آزمون های آنلاین آزمون دولتی و آزمون یکپارچه دولتی بازی ها، پازل ها رسم نمودار توابع فرهنگ لغت املای زبان روسی فرهنگ لغت عامیانه جوانان کاتالوگ مدارس روسیه کاتالوگ موسسات آموزشی متوسطه روسیه کاتالوگ لیست دانشگاه های روسیه از وظایف