موضوع درس: «فرمول مجموع n جمله اول یک پیشرفت حسابی. چگونه یک پیشرفت حسابی را پیدا کنیم؟ مثال های پیشروی حسابی با حل

هنگام مطالعه جبر در مدرسه راهنمایی(پایه نهم) یکی از مباحث مهم مطالعه دنباله اعداد است که شامل پیشروی - هندسی و حسابی می باشد. در این مقاله به یک پیشروی حسابی و مثال هایی همراه با راه حل خواهیم پرداخت.

پیشروی حسابی چیست؟

برای درک این موضوع، لازم است پیشروی مورد نظر را تعریف کنیم و همچنین فرمول های اساسی را ارائه کنیم که بعداً در حل مسائل مورد استفاده قرار خواهند گرفت.

حسابی یا مجموعه ای از اعداد گویا مرتب شده است که هر یک از اعضای آن با مقداری ثابت با اعداد قبلی متفاوت است. این مقدار تفاوت نامیده می شود. یعنی با دانستن هر عضوی از یک سری اعداد مرتب شده و تفاوت، می توانید کل پیشروی حسابی را بازیابی کنید.

بیایید یک مثال بزنیم. دنباله اعداد زیر یک پیشرفت حسابی خواهد بود: 4، 8، 12، 16، ...، زیرا تفاوت در این مورد 4 است (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). اما مجموعه اعداد 3، 5، 8، 12، 17 را دیگر نمی توان به نوع پیشرفت مورد بررسی نسبت داد، زیرا تفاوت برای آن یک مقدار ثابت نیست (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

فرمول های مهم

اجازه دهید فرمول های اساسی را که برای حل مسائل با استفاده از پیشروی حسابی مورد نیاز است، ارائه کنیم. اجازه دهید با علامت a n نشان دهیم ترم نهمدنباله هایی که n یک عدد صحیح است. ما تفاوت را نشان می دهیم حرف لاتیند سپس عبارات زیر معتبر هستند:

1. برای تعیین مقدار n ام فرمول زیر مناسب است: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. برای تعیین مجموع n جمله اول: S n = (a n +a 1)*n/2.

برای درک هر نمونه ای از پیشروی حسابی با راه حل در کلاس نهم، کافی است این دو فرمول را به خاطر بسپارید، زیرا هر گونه مشکلی از نوع مورد بررسی بر اساس استفاده از آنها است. همچنین باید به یاد داشته باشید که تفاوت پیشرفت با فرمول تعیین می شود: d = a n - a n-1.

مثال شماره 1: یافتن یک اصطلاح ناشناخته

بیایید یک مثال ساده از یک پیشروی حسابی و فرمول هایی که برای حل آن باید استفاده شود، بیاوریم.

بگذارید دنباله 10، 8، 6، 4، ... داده شود، باید پنج عبارت را در آن پیدا کنید.

از شرایط مسئله از قبل چنین است که 4 عبارت اول شناخته شده است. پنجم را می توان به دو صورت تعریف کرد:

1. بیایید ابتدا تفاوت را محاسبه کنیم. ما داریم: d = 8 - 10 = -2. به طور مشابه، می توانید هر دو عضو دیگر را که در کنار یکدیگر ایستاده اند، ببرید. به عنوان مثال، d = 4 - 6 = -2. از آنجا که مشخص است که d = a n - a n-1، پس d = a 5 - a 4، که از آن به دست می آوریم: a 5 = a 4 + d. جایگزین کنیم ارزش های شناخته شده: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. روش دوم همچنین نیاز به آگاهی از تفاوت پیشرفت مورد نظر دارد، بنابراین ابتدا باید آن را همانطور که در بالا نشان داده شده است تعیین کنید (d = -2). با دانستن اینکه جمله اول a 1 = 10 است، از فرمول n عدد دنباله استفاده می کنیم. داریم: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. با جایگزینی n = 5 به آخرین عبارت، به دست می آوریم: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

همانطور که می بینید، هر دو راه حل به یک نتیجه منجر شد. توجه داشته باشید که در این مثال تفاوت d پیشرفت است ارزش منفی. به این دنباله ها نزولی می گویند، زیرا هر جمله بعدی از جمله قبلی کمتر است.

مثال شماره 2: تفاوت پیشرفت

حالا بیایید مسئله را کمی پیچیده کنیم، مثالی از نحوه پیدا کردن تفاوت یک پیشروی حسابی بیاوریم.

مشخص است که در برخی از پیشرفت های جبری جمله اول برابر با 6 و جمله هفتم برابر با 18 است.

بیایید از فرمول برای تعیین عبارت مجهول استفاده کنیم: a n = (n - 1) * d + a 1 . بیایید داده های شناخته شده از شرط را در آن جایگزین کنیم، یعنی اعداد a 1 و a 7، داریم: 18 = 6 + 6 * d. از این عبارت می توانید به راحتی تفاوت را محاسبه کنید: d = (18 - 6) /6 = 2. بنابراین، بخش اول مسئله را پاسخ دادیم.

برای بازگرداندن دنباله به جمله هفتم، باید از تعریف پیشروی جبری استفاده کنید، یعنی a 2 = a 1 + d، a 3 = a 2 + d و غیره. در نتیجه، کل دنباله را بازیابی می کنیم: a 1 = 6، a 2 = 6 + 2=8، a 3 = 8 + 2 = 10، a 4 = 10 + 2 = 12، a 5 = 12 + 2 = 14 ، a 6 = 14 + 2 = 16، a 7 = 18.

مثال شماره 3: ترسیم یک پیشرفت

بیایید مشکل را حتی بیشتر پیچیده کنیم. حال باید به این سوال پاسخ دهیم که چگونه یک پیشروی حسابی را پیدا کنیم. می توان مثال زیر را ارائه داد: دو عدد داده شده است، به عنوان مثال - 4 و 5. لازم است یک پیشروی جبری ایجاد شود تا سه عبارت دیگر بین آنها قرار گیرد.

قبل از شروع حل این مشکل، باید بدانید که اعداد داده شده چه جایگاهی را در پیشرفت آینده اشغال خواهند کرد. از آنجایی که سه عبارت دیگر بین آنها وجود خواهد داشت، پس 1 = -4 و 5 = 5. پس از ایجاد این، به مسئله می رویم، که مشابه مورد قبلی است. باز هم، برای ترم n که از فرمول استفاده می کنیم، به دست می آوریم: a 5 = a 1 + 4 * d. از: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. چیزی که در اینجا به دست آوردیم یک مقدار صحیح از تفاوت نیست، اما هست عدد گویا، بنابراین فرمول های پیشرفت جبری یکسان باقی می مانند.

حالا بیایید تفاوت پیدا شده را به 1 اضافه کنیم و عبارت های از دست رفته پیشرفت را بازیابی کنیم. دریافت می کنیم: a 1 = - 4، a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75، a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5، a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75، a 5 = 2.75 + 2.25 = 5، که منطبق با با شرایط مشکل

مثال شماره 4: ترم اول پیشرفت

بیایید به بیان مثال هایی از پیشروی حسابی با حل ادامه دهیم. در تمام مسائل قبلی، عدد اول پیشروی جبری مشخص بود. حالا بیایید یک مسئله از نوع دیگری را در نظر بگیریم: اجازه دهید دو عدد داده شود، که در آن 15 = 50 و 43 = 37. لازم است پیدا کنیم که این دنباله با کدام عدد شروع می شود.

فرمول های استفاده شده تا کنون دانش 1 و d را فرض می کنند. در بیانیه مشکل، چیزی در مورد این اعداد مشخص نیست. با این وجود، ما عباراتی را برای هر عبارت در مورد اطلاعات موجود می نویسیم: a 15 = a 1 + 14 * d و a 43 = a 1 + 42 * d. ما دو معادله دریافت کردیم که در آنها 2 کمیت مجهول وجود دارد (a 1 و d). این بدان معنی است که مسئله به حل یک سیستم معادلات خطی کاهش می یابد.

ساده ترین راه برای حل این سیستم، بیان یک 1 در هر معادله و سپس مقایسه عبارات به دست آمده است. معادله اول: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; معادله دوم: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. با معادل سازی این عبارات، به دست می آوریم: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d، از آنجا تفاوت d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (فقط 3 رقم اعشار داده شده است).

با دانستن d، می توانید از هر یک از 2 عبارت بالا برای 1 استفاده کنید. به عنوان مثال، ابتدا: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

اگر در مورد نتیجه به دست آمده شک دارید، می توانید آن را بررسی کنید، به عنوان مثال، ترم 43 پیشرفت را که در شرط مشخص شده است، تعیین کنید. دریافت می کنیم: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. خطای کوچک به این دلیل است که از گرد کردن به هزارم در محاسبات استفاده شده است.

مثال شماره 5: مبلغ

حال بیایید به چندین مثال با راه حل هایی برای مجموع یک پیشرفت حسابی نگاه کنیم.

یک پیشروی عددی به شکل زیر داده شود: 1، 2، 3، 4، ...،. چگونه می توان مجموع 100 عدد از این اعداد را محاسبه کرد؟

به لطف توسعه فناوری رایانه، می توان این مشکل را حل کرد، یعنی تمام اعداد را به ترتیب اضافه کرد که به محض فشار دادن کلید Enter رایانه این کار را انجام می دهد. با این حال، اگر توجه داشته باشید که سری اعداد ارائه شده یک پیشرفت جبری است و اختلاف آن برابر با 1 است، مشکل را می توان به صورت ذهنی حل کرد. a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

جالب است بدانید که این مشکل "گاوسی" نامیده می شود زیرا در آغاز قرن هجدهم آلمانی مشهور که هنوز تنها 10 سال داشت توانست در چند ثانیه آن را در ذهن خود حل کند. پسر فرمول جمع یک پیشروی جبری را نمی دانست، اما متوجه شد که اگر اعداد انتهای دنباله را به صورت جفت جمع کنید، همیشه همان نتیجه را می گیرید، یعنی 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ...، و از آنجایی که این مجموع دقیقاً 50 خواهد بود (100 / 2)، پس برای به دست آوردن پاسخ صحیح کافی است 50 را در 101 ضرب کنید.

مثال شماره 6: مجموع عبارت از n تا m

مثال معمولی دیگر از مجموع یک پیشروی حسابی به شرح زیر است: با توجه به یک سری اعداد: 3، 7، 11، 15، ...، باید دریابید که مجموع عبارت های آن از 8 تا 14 برابر است با چه چیزی. .

مشکل به دو صورت حل می شود. اولین مورد شامل یافتن عبارات مجهول از 8 تا 14 و سپس جمع کردن آنها به ترتیب است. از آنجایی که اصطلاحات کمی وجود دارد، این روش کاملاً کار فشرده نیست. با این وجود، برای حل این مشکل با استفاده از روش دوم، که جهانی تر است، پیشنهاد می شود.

ایده این است که فرمولی برای مجموع پیشرفت جبری بین ترم‌های m و n بدست آوریم که در آن n > m اعداد صحیح هستند. برای هر دو مورد، دو عبارت برای جمع می نویسیم:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

از آنجایی که n > m، بدیهی است که مجموع 2 شامل اولین است. نتیجه آخر یعنی اگر تفاضل این مجموع را بگیریم و عبارت a m را به آن اضافه کنیم (در صورت گرفتن اختلاف از مجموع S n کسر شود) پاسخ لازم را برای مسئله به دست خواهیم آورد. داریم: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). لازم است که فرمول های n و m را در این عبارت جایگزین کنید. سپس دریافت می کنیم: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

فرمول حاصل تا حدودی دست و پا گیر است، با این حال، مجموع S mn فقط به n، m، a 1 و d بستگی دارد. در مورد ما، a 1 = 3، d = 4، n = 14، m = 8. با جایگزینی این اعداد، به دست می آوریم: S mn = 301.

همانطور که از راه‌حل‌های بالا مشاهده می‌شود، همه مسائل مبتنی بر آگاهی از عبارت ترم n و فرمول مجموع مجموع جمله‌های اول هستند. قبل از شروع حل هر یک از این مشکلات، توصیه می شود که شرایط را به دقت بخوانید، به وضوح آنچه را که باید پیدا کنید، درک کنید و تنها پس از آن راه حل را ادامه دهید.

نکته دیگر این است که برای سادگی تلاش کنید، یعنی اگر بتوانید بدون استفاده از محاسبات پیچیده ریاضی به سؤالی پاسخ دهید، باید دقیقاً این کار را انجام دهید، زیرا در این مورد احتمال اشتباه کمتر است. به عنوان مثال، در مثال یک پیشروی حسابی با حل شماره 6، می توان در فرمول S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m متوقف شد و مسئله کلی را به وظایف فرعی جداگانه تقسیم کنید (در این مورد ابتدا عبارت a n و a m را پیدا کنید).

اگر در مورد نتیجه به دست آمده شک دارید، توصیه می شود همانطور که در برخی از مثال های ارائه شده انجام شد، آن را بررسی کنید. ما متوجه شدیم که چگونه یک پیشرفت حسابی را پیدا کنیم. اگر آن را بفهمید، آنقدرها هم سخت نیست.

مفهوم دنباله اعداد به این معناست که هر عدد طبیعی با مقداری واقعی مطابقت دارد. چنین سری از اعداد می توانند دلخواه باشند یا ویژگی های خاصی داشته باشند - یک پیشرفت. در مورد دوم، هر عنصر بعدی (عضو) دنباله را می توان با استفاده از عنصر قبلی محاسبه کرد.

پیشرفت حسابی- دنباله ای از مقادیر عددی که در آن اعضای همسایه آن با یک عدد متفاوت از یکدیگر متفاوت هستند (همه عناصر سری، از 2 شروع می شوند، دارای ویژگی مشابهی هستند). این عدد - تفاوت بین ترم های قبلی و بعدی - ثابت است و اختلاف پیشروی نامیده می شود.

تفاوت پیشرفت: تعریف

دنباله ای متشکل از مقادیر j را در نظر بگیرید A = a(1)، a(2)، a(3)، a(4) ... a(j)، j متعلق به مجموعه اعداد طبیعی N است. یک عدد حسابی پیشروی طبق تعریف آن دنباله ای است که در آن a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. مقدار d تفاوت مورد نظر این پیشرفت است.

d = a (j) - a (j-1).

برجسته:

• یک پیشرفت فزاینده، در این صورت d > 0. مثال: 4، 8، 12، 16، 20، ...
• کاهش پیشرفت، سپس d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

پیشرفت تفاوت و عناصر دلخواه آن

اگر 2 جمله دلخواه از پیشرفت شناخته شده باشد (i-th، k-th)، آنگاه تفاوت برای یک دنباله معین را می توان بر اساس رابطه تعیین کرد:

a(i) = a(k) + (i – k)*d که به معنی d = (a(i) – a(k))/(i-k) است.

تفاوت پیشرفت و اولین ترم آن

این عبارت تنها در مواردی که تعداد عنصر دنباله مشخص است به تعیین مقدار ناشناخته کمک می کند.

تفاوت پیشرفت و مجموع آن

مجموع یک پیشروی مجموع عبارات آن است. برای محاسبه مقدار کل اولین عناصر j آن، از فرمول مناسب استفاده کنید:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j، اما از آنجا که a(j) = a(1) + d(j – 1)، سپس S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(- 1))/2)*j.

بله، بله: پیشرفت حسابی برای شما اسباب بازی نیست :)

خوب، دوستان، اگر شما در حال خواندن این متن هستید، پس مدرک داخلی به من می گوید که شما هنوز نمی دانید پیشروی حسابی چیست، اما واقعاً (نه، مانند آن: SOOOOO!) می خواهید بدانید. بنابراین، من شما را با مقدمه های طولانی عذاب نمی دهم و مستقیماً می روم سر اصل مطلب.

ابتدا چند مثال. بیایید به چندین مجموعه از اعداد نگاه کنیم:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

وجه اشتراک همه این مجموعه ها چیست؟ در نگاه اول هیچی. اما در واقع چیزی وجود دارد. برای مثال: هر عنصر بعدی با یک عدد قبلی متفاوت است.

خودت قضاوت کن مجموعه اول به سادگی اعداد متوالی هستند که هر کدام یک عدد بیشتر از مجموعه قبلی است. در حالت دوم، تفاوت بین اعداد مجاور در حال حاضر پنج است، اما این تفاوت هنوز ثابت است. در مورد سوم، کلاً ریشه وجود دارد. با این حال، $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$، و $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$، یعنی. و در این مورد، هر عنصر بعدی به سادگی با $\sqrt(2)$ افزایش می یابد (و نترسید که این عدد غیرمنطقی است).

بنابراین: همه این دنباله ها را پیشروی های حسابی می نامند. بیایید یک تعریف دقیق ارائه دهیم:

تعریف. دنباله ای از اعداد که در آن هر عدد بعدی دقیقاً به همان میزان با اعداد قبلی تفاوت داشته باشد، پیشرفت حسابی نامیده می شود. همان مقداری که اعداد با هم تفاوت دارند، اختلاف پیشروی نامیده می شود و اغلب با حرف $d$ نشان داده می شود.

نماد: $\left(((a)_(n)) \right)$ خود پیشرفت است، $d$ تفاوت آن است.

و فقط چند نکته مهم اولاً، پیشرفت فقط در نظر گرفته می شود سفارش داده شدهدنباله ای از اعداد: آنها مجاز به خواندن دقیق به ترتیبی که نوشته شده اند - و نه چیز دیگر. اعداد را نمی توان دوباره مرتب کرد یا تعویض کرد.

ثانیاً خود دنباله می تواند متناهی یا نامتناهی باشد. برای مثال، مجموعه (1؛ 2؛ 3) آشکارا یک پیشرفت محاسباتی محدود است. اما اگر چیزی را در روح بنویسید (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ ...) - این قبلاً انجام شده است پیشرفت بی پایان. به نظر می رسد بیضی بعد از چهار نشان می دهد که تعداد کمی دیگر در راه است. برای مثال بی نهایت زیاد. :)

من همچنین می خواهم توجه داشته باشم که پیشرفت ها می تواند افزایش یا کاهش یابد. ما قبلاً شاهد افزایش آنها بوده ایم - همان مجموعه (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ ...). در اینجا نمونه هایی از کاهش پیشرفت ها آورده شده است:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

خوب، خوب: آخرین مثال ممکن است بیش از حد پیچیده به نظر برسد. اما بقیه، فکر می کنم، متوجه می شوید. بنابراین تعاریف جدیدی را معرفی می کنیم:

تعریف. یک پیشرفت حسابی نامیده می شود:

1. اگر هر عنصر بعدی بزرگتر از عنصر قبلی باشد افزایش می یابد.
2. اگر برعکس، هر عنصر بعدی کمتر از عنصر قبلی باشد، کاهش می یابد.

علاوه بر این، توالی های به اصطلاح "ایستا" وجود دارد - آنها از همان تعداد تکراری تشکیل شده اند. به عنوان مثال، (3; 3; 3; ...).

فقط یک سوال باقی می ماند: چگونه یک پیشرفت فزاینده را از یک روند کاهشی تشخیص دهیم؟ خوشبختانه، همه چیز در اینجا فقط به علامت عدد $d$ بستگی دارد، یعنی. تفاوت های پیشرفت:

1. اگر $d \gt 0$ باشد، پیشرفت افزایش می یابد.
2. اگر $d \lt 0$، آنگاه پیشرفت آشکارا در حال کاهش است.
3. در نهایت، حالت $d=0$ وجود دارد - در این مورد کل پیشرفت به دنباله ای ثابت از اعداد یکسان کاهش می یابد: (1؛ 1؛ 1؛ 1؛ ...) و غیره.

بیایید سعی کنیم تفاوت $d$ را برای سه روند کاهشی که در بالا ارائه شده است محاسبه کنیم. برای این کار کافی است هر دو عنصر مجاور (مثلاً اول و دوم) را بردارید و عدد سمت چپ را از عدد سمت راست کم کنید. شبیه این خواهد شد:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

همانطور که می بینیم، در هر سه مورد تفاوت در واقع منفی بود. و اکنون که کم و بیش تعاریف را فهمیدیم، وقت آن است که بفهمیم پیشرفت ها چگونه توصیف می شوند و چه ویژگی هایی دارند.

شرایط پیشرفت و فرمول عود

از آنجایی که عناصر دنباله های ما قابل تعویض نیستند، می توان آنها را شماره گذاری کرد:

\[\left(((a)_(n)) \راست)=\چپ\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 ))،... \درست\)\]

عناصر منفرد این مجموعه را اعضای یک پیشروی می نامند. آنها با یک عدد نشان داده می شوند: عضو اول، عضو دوم و غیره.

علاوه بر این، همانطور که قبلاً می دانیم، شرایط همسایه پیشرفت با فرمول مرتبط هستند:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\پیکان راست ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

به طور خلاصه، برای یافتن ترم $n$th یک پیشروی، باید عبارت $n-1$th و تفاوت $d$ را بدانید. این فرمول تکراری نامیده می شود، زیرا با کمک آن می توانید هر عددی را فقط با دانستن شماره قبلی (و در واقع همه موارد قبلی) پیدا کنید. این بسیار ناخوشایند است، بنابراین یک فرمول حیله گر تری وجود دارد که هر گونه محاسبات را به ترم اول و تفاوت کاهش می دهد:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\چپ(n-1 \راست)d\]

احتمالا قبلاً با این فرمول برخورد کرده اید. آنها دوست دارند آن را در انواع کتاب های مرجع و کتاب های حل ارائه دهند. و در هر کتاب ریاضی منطقی یکی از اولین هاست.

با این حال پیشنهاد می کنم کمی تمرین کنید.

وظیفه شماره 1. سه جمله اول پیشروی حسابی $\left(((a)_(n)) \right)$ را بنویسید اگر $((a)_(1))=8,d=-5$.

راه حل. بنابراین، اولین عبارت $((a)_(1))=8$ و تفاوت پیشرفت $d=-5$ را می دانیم. بیایید از فرمول ارائه شده استفاده کنیم و $n=1$، $n=2$ و $n=3$ را جایگزین کنیم:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\چپ(2-1 \راست)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\چپ(3-1 \راست)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \پایان (تراز کردن)\]

پاسخ: (8؛ 3؛ -2)

همین! لطفا توجه داشته باشید: پیشرفت ما در حال کاهش است.

البته، $n=1$ نمی تواند جایگزین شود - اولین عبارت از قبل برای ما شناخته شده است. با این حال، با جایگزینی وحدت، ما متقاعد شدیم که حتی برای اولین ترم فرمول ما کار می کند. در موارد دیگر، همه چیز به حساب پیش پا افتاده بود.

وظیفه شماره 2. اگر جملۀ هفتم آن برابر با 40- و جملۀ هفدهم آن برابر با 50- باشد، سه جمله اول یک تصاعد حسابی را بنویسید.

راه حل. بیایید شرط مشکل را با عبارات آشنا بنویسیم:

\[((a)_(7))=-40;\چهار ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \پایان (تراز کردن) \راست.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end (تراز کردن) \درست.\]

من علامت سیستم را گذاشتم زیرا این الزامات باید به طور همزمان برآورده شوند. حال توجه داشته باشیم که اگر معادله اول را از معادله دوم کم کنیم (از آنجایی که سیستم داریم حق انجام این کار را داریم)، ​​به این نتیجه می رسیم:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \پایان (تراز کردن)\]

به همین راحتی می توان تفاوت پیشرفت را پیدا کرد! تنها چیزی که باقی می ماند این است که عدد پیدا شده را با هر یک از معادلات سیستم جایگزین کنیم. به عنوان مثال، در مورد اول:

\[\begin(ماتریس) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \پایان (ماتریس)\]

حال، با دانستن عبارت اول و تفاوت، باقی مانده است که عبارت دوم و سوم را بیابیم:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \پایان (تراز کردن)\]

آماده! مشکل حل شده است.

پاسخ: (34-؛ 35-؛ 36-)

به ویژگی جالب پیشروی که کشف کردیم توجه کنید: اگر عبارت‌های $n$th و $m$th را بگیریم و آنها را از یکدیگر کم کنیم، تفاوت پیشرفت را در عدد $n-m$ ضرب می‌کنیم:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \چپ(n-m \راست)\]

ساده اما خیلی دارایی مفید، که قطعاً باید بدانید - با کمک آن می توانید حل بسیاری از مشکلات پیشرفت را به میزان قابل توجهی سرعت بخشید. در اینجا یک مثال واضح از این موضوع وجود دارد:

وظیفه شماره 3. جمله پنجم یک پیشروی حسابی 8.4 و جمله دهم آن 14.4 است. جمله پانزدهم این پیشرفت را پیدا کنید.

راه حل. از آنجایی که $((a)_(5))=8.4$، $((a)_(10))=14.4$، و ما باید $((a)_(15))$ را پیدا کنیم، به موارد زیر توجه می کنیم:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \پایان (تراز کردن)\]

اما با شرط $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$، بنابراین $5d=6$، که از آن داریم:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \پایان (تراز کردن)\]

پاسخ: 20.4

همین! ما نیازی به ایجاد سیستم معادلات و محاسبه اولین جمله و تفاوت نداشتیم - همه چیز فقط در چند خط حل شد.

اکنون بیایید به نوع دیگری از مشکل نگاه کنیم - جستجوی عبارات منفی و مثبت یک پیشرفت. بر کسی پوشیده نیست که اگر یک پیشرفت افزایش یابد و اولین عبارت آن منفی باشد، دیر یا زود اصطلاحات مثبت در آن ظاهر می شود. و بالعکس: شرایط یک پیشرفت کاهشی دیر یا زود منفی خواهد شد.

در عین حال، همیشه نمی‌توان این لحظه را با مرور متوالی عناصر به صورت «سر به سر» پیدا کرد. اغلب، مسائل به گونه‌ای نوشته می‌شوند که بدون دانستن فرمول‌ها، محاسبات چندین ورق کاغذ را می‌گیرد - در حالی که پاسخ را پیدا می‌کنیم به سادگی می‌خوابیم. بنابراین بیایید سعی کنیم این مشکلات را با سرعت بیشتری حل کنیم.

وظیفه شماره 4. چند جمله منفی در پیشروی حسابی 38.5- وجود دارد. −35.8; ...؟

راه حل. بنابراین، $((a)_(1))=-38.5$، $((a)_(2))=-35.8$، از جایی که بلافاصله تفاوت را پیدا می کنیم:

توجه داشته باشید که تفاوت مثبت است، بنابراین پیشرفت افزایش می یابد. جمله اول منفی است، بنابراین در برخی مواقع به اعداد مثبت برخورد خواهیم کرد. تنها سوال این است که چه زمانی این اتفاق خواهد افتاد.

بیایید سعی کنیم دریابیم که منفی بودن عبارات چه مدت (یعنی تا چه عدد طبیعی $n$) باقی می ماند:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \راست. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \پایان (تراز کردن)\]

خط آخر نیاز به توضیح دارد. بنابراین می دانیم که $n \lt 15\frac(7)(27)$. از طرف دیگر، ما فقط به مقادیر صحیح عدد راضی هستیم (به علاوه: $n\in \mathbb(N)$)، بنابراین بزرگترین عدد مجاز دقیقاً $n=15$ است و در هیچ موردی 16 است. .

وظیفه شماره 5. در پیشروی حسابی $(()_(5))=-150،(()_(6))=-147$. عدد اولین جمله مثبت این پیشرفت را بیابید.

این دقیقاً همان مشکل قبلی است، اما ما $((a)_(1))$ را نمی دانیم. اما اصطلاحات همسایه شناخته شده اند: $((a)_(5))$ و $((a)_(6))$، بنابراین ما به راحتی می توانیم تفاوت پیشرفت را پیدا کنیم:

علاوه بر این، بیایید سعی کنیم جمله پنجم را از طریق اول و تفاوت را با استفاده از فرمول استاندارد بیان کنیم:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \پایان (تراز کردن)\]

اکنون به قیاس با کار قبلی پیش می رویم. بیایید دریابیم که اعداد مثبت در چه نقطه ای از دنباله ما ظاهر می شوند:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \پایان (تراز کردن)\]

حداقل راه حل عدد صحیح برای این نابرابری عدد 56 است.

لطفاً توجه داشته باشید: در آخرین کار همه چیز به نابرابری شدید منجر شد، بنابراین گزینه $n=55$ برای ما مناسب نیست.

اکنون که یاد گرفتیم چگونه مسائل ساده را حل کنیم، بیایید به مسائل پیچیده تر برویم. اما ابتدا، بیایید یکی دیگر از ویژگی های بسیار مفید پیشرفت های حسابی را مطالعه کنیم که در آینده باعث صرفه جویی در زمان و سلول های نابرابر می شود. :)

میانگین حسابی و تورفتگی مساوی

بیایید چندین ترم متوالی از پیشرفت محاسباتی فزاینده $\left(((a)_(n)) \right)$ را در نظر بگیریم. بیایید سعی کنیم آنها را روی خط شماره علامت گذاری کنیم:

شرایط یک تصاعد حسابی روی خط اعداد

من به طور خاص عبارات دلخواه را علامت گذاری کردم $((a)_(n-3))،...،((a)_(n+3))$، و نه برخی از $((a)_(1)) ،\ ((a)_(2))،\ ((a)_(3))$ و غیره. زیرا قانونی که اکنون در مورد آن به شما خواهم گفت برای هر "بخش" یکسان عمل می کند.

و قانون بسیار ساده است. بیایید فرمول تکرارشونده را به خاطر بسپاریم و آن را برای تمام عبارات علامت گذاری شده بنویسیم:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \پایان (تراز کردن)\]

با این حال، این برابری ها را می توان به طور متفاوت بازنویسی کرد:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \پایان (تراز کردن)\]

خب پس چی؟ و این واقعیت که عبارات $((a)_(n-1))$ و $((a)_(n+1))$ در فاصله یکسانی از $((a)_(n)) $ قرار دارند. . و این فاصله برابر با $d$ است. همین امر را می توان در مورد عبارات $((a)_(n-2))$ و $((a)_(n+2))$ گفت - آنها نیز از $((a)_(n) حذف شده اند. )$ در همان فاصله برابر با $2d$. ما می‌توانیم تا بی نهایت ادامه دهیم، اما معنی به خوبی توسط تصویر نشان داده شده است

شرایط پیشرفت در همان فاصله از مرکز قرار دارد

معنی این برای ما چیست؟ این بدان معنی است که اگر اعداد مجاور شناخته شده باشند، $((a)_(n))$ را می توان یافت:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

ما یک جمله عالی به دست آورده ایم: هر جمله یک پیشرفت حسابی با میانگین حسابی عبارت های مجاور آن برابر است! علاوه بر این: می‌توانیم از $((a)_(n))$ خود به چپ و راست نه با یک قدم، بلکه با $k$ قدم برداریم - و فرمول همچنان درست خواهد بود:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

آن ها ما به راحتی می توانیم مقداری $((a)_(150))$ پیدا کنیم اگر $((a)_(100))$ و $((a)_(200))$ را بدانیم، زیرا $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. در نگاه اول، ممکن است به نظر برسد که این واقعیت چیز مفیدی به ما نمی دهد. با این حال، در عمل، بسیاری از مسائل به طور خاص برای استفاده از میانگین حسابی طراحی شده اند. نگاهی بیاندازید:

وظیفه شماره 6. تمام مقادیر $x$ را پیدا کنید که برای آنها اعداد $-6((x)^(2))$، $x+1$ و $14+4((x)^(2))$ عبارت های متوالی هستند. یک پیشرفت حسابی (به ترتیب نشان داده شده).

راه حل. از آنجایی که این اعداد اعضای یک پیشرفت هستند، شرط میانگین حسابی برای آنها برآورده می شود: عنصر مرکزی $x+1$ را می توان بر حسب عناصر همسایه بیان کرد:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \پایان (تراز کردن)\]

کلاسیک شد معادله درجه دوم. ریشه های آن: $x=2$ و $x=-3$ پاسخ هستند.

پاسخ: −3; 2.

وظیفه شماره 7. مقادیر $$ را بیابید که اعداد $-1;4-3;(()^(2))+1$ یک پیشروی حسابی را تشکیل می دهند (به ترتیب).

راه حل. اجازه دهید دوباره عبارت میانی را از طریق میانگین حسابی اصطلاحات همسایه بیان کنیم:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \پایان (تراز کردن)\]

دوباره معادله درجه دوم. و دوباره دو ریشه وجود دارد: $x=6$ و $x=1$.

پاسخ 1؛ 6.

اگر در روند حل یک مشکل با تعدادی اعداد وحشیانه مواجه شدید یا کاملاً از صحت پاسخ های یافت شده مطمئن نیستید، تکنیک فوق العاده ای وجود دارد که به شما امکان می دهد بررسی کنید: آیا مشکل را به درستی حل کرده ایم؟

فرض کنید در مسئله شماره 6 پاسخ های -3 و 2 را دریافت کردیم. چگونه می توانیم درستی این پاسخ ها را بررسی کنیم؟ بیایید آنها را به حالت اولیه وصل کنیم و ببینیم چه اتفاقی می افتد. اجازه دهید یادآوری کنم که ما سه عدد ($-6(()^(2))$، $+1$ و $14+4(()^(2))$ داریم که باید یک پیشروی حسابی تشکیل دهند. بیایید $x=-3$ را جایگزین کنیم:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \پایان (تراز کردن)\]

ما اعداد -54 را بدست آوردیم. −2; 50 که با 52 تفاوت دارند بدون شک یک پیشرفت حسابی است. همین اتفاق برای $x=2$ نیز می افتد:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \پایان (تراز کردن)\]

باز هم یک پیشرفت، اما با اختلاف 27. بنابراین، مشکل به درستی حل شد. کسانی که مایل هستند می توانند مشکل دوم را خودشان بررسی کنند، اما من فوراً می گویم: همه چیز در آنجا نیز درست است.

به طور کلی در حین حل آخرین مشکلات به مشکل دیگری برخوردیم حقیقت جالب، که همچنین باید به خاطر داشت:

اگر سه عدد به گونه ای باشد که دومی میانگین حسابی اول و آخر باشد، این اعداد یک تصاعد حسابی را تشکیل می دهند.

در آینده، درک این بیانیه به ما این امکان را می دهد که به معنای واقعی کلمه پیشرفت های لازم را بر اساس شرایط مشکل "ساخت" کنیم. اما قبل از پرداختن به چنین «ساختی»، باید به یک واقعیت دیگر توجه کنیم، که مستقیماً از آنچه قبلاً بحث شد ناشی می شود.

گروه بندی و جمع بندی عناصر

بیایید دوباره به محور اعداد برگردیم. اجازه دهید در آنجا چندین عضو از پیشرفت را یادداشت کنیم که شاید بین آنها وجود داشته باشد. ارزش بسیاری از اعضای دیگر را دارد:

6 عنصر در خط اعداد مشخص شده است

بیایید سعی کنیم "دم سمت چپ" را از طریق $((a)_(n))$ و $d$، و "دم سمت راست" را از طریق $((a)_(k))$ و $d$ بیان کنیم. خیلی ساده است:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \پایان (تراز کردن)\]

اکنون توجه داشته باشید که مقادیر زیر برابر است:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= اس. \پایان (تراز کردن)\]

به بیان ساده، اگر دو عنصر پیشرفت را به عنوان شروع در نظر بگیریم که در مجموع برابر با مقداری $S$ هستند و سپس شروع به گام برداشتن از این عناصر در جهت مخالف (به سمت یکدیگر یا برعکس برای دور شدن) کنیم. سپس مجموع عناصری که به آنها برخورد خواهیم کرد نیز برابر خواهد بود$S$. این را می توان به وضوح به صورت گرافیکی نشان داد:

تورفتگی های مساوی مقادیر مساوی را نشان می دهند

درك كردن این حقیقتبه ما این امکان را می دهد که مشکلات را اساساً بیشتر حل کنیم سطح بالامشکلاتی نسبت به مواردی که در بالا در نظر گرفتیم. مثلاً اینها:

وظیفه شماره 8. تفاوت یک تصاعد حسابی را که جمله اول 66 و حاصل ضرب جمله دوم و دوازدهم کوچکترین است را تعیین کنید.

راه حل. بیایید همه چیزهایی را که می دانیم بنویسیم:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=؟ \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \پایان (تراز کردن)\]

بنابراین، ما تفاوت پیشرفت $d$ را نمی دانیم. در واقع، کل راه حل حول این تفاوت ساخته می شود، زیرا محصول $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \راست)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \پایان (تراز کردن)\]

برای کسانی که در مخزن هستند: من ضریب کل 11 را از براکت دوم برداشتم. بنابراین، محصول مورد نظر یک تابع درجه دوم با توجه به متغیر $d$ است. بنابراین، تابع $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ را در نظر بگیرید - نمودار آن یک سهمی با شاخه‌های بالا خواهد بود، زیرا اگر براکت ها را گسترش دهیم، دریافت می کنیم:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

همانطور که می بینید، ضریب بالاترین عبارت 11 است - این است عدد مثبت، بنابراین ما واقعاً با یک سهمی با شاخه های بالا روبرو هستیم:

برنامه تابع درجه دوم- سهمی

لطفاً توجه داشته باشید: این سهمی حداقل مقدار خود را در رأس خود با آبسیسا $((d)_(0))$ می گیرد. البته می توانیم این آبسیسا را ​​بر اساس محاسبه کنیم طرح استاندارد(فرمول $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ وجود دارد)، اما بسیار منطقی تر است که توجه داشته باشیم که راس مورد نظر روی محور تقارن قرار دارد. سهمی، بنابراین نقطه $((d) _(0))$ از ریشه های معادله $f\left(d \right)=0$ مساوی فاصله دارد:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\چهار ((د)_(2))=-6. \\ \پایان (تراز کردن)\]

به همین دلیل است که من عجله خاصی برای باز کردن براکت ها نداشتم: در شکل اصلی آنها، ریشه ها بسیار بسیار آسان بود. بنابراین آبسیسا برابر با میانگین است اعداد حسابی−66 و −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

عدد کشف شده چه چیزی به ما می دهد؟ با آن، محصول مورد نیاز می گیرد کوچکترین ارزش(به هر حال، ما هرگز $((y)_(\min ))$ را محاسبه نکردیم - این از ما لازم نیست). در عین حال، این عدد تفاوت پیشروی اصلی است، یعنی. ما جواب را پیدا کردیم. :)

پاسخ: -36

وظیفه شماره 9. بین اعداد $-\frac(1)(2)$ و $-\frac(1)(6)$ سه عدد درج کنید تا همراه با این اعداد یک تصاعد حسابی تشکیل دهند.

راه حل. در اصل، ما باید دنباله ای از پنج عدد بسازیم که اولین و آخرین عدد از قبل مشخص باشد. بیایید اعداد گمشده را با متغیرهای $x$، $y$ و $z$ نشان دهیم:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

توجه داشته باشید که عدد $y$ "وسط" دنباله ما است - از اعداد $x$ و $z$ و از اعداد $-\frac(1)(2)$ و $-\frac فاصله دارد. (1) (6) دلار. و اگر از اعداد $x$ و $z$ وارد شویم این لحظهما نمی‌توانیم $y$ را دریافت کنیم، سپس وضعیت با انتهای پیشرفت متفاوت است. بیایید میانگین حسابی را به خاطر بسپاریم:

اکنون با دانستن $y$، اعداد باقیمانده را خواهیم یافت. توجه داشته باشید که $x$ بین اعداد $-\frac(1)(2)$ و $y=-\frac(1)(3)$ قرار دارد که به تازگی پیدا کردیم. از همین رو

با استفاده از استدلال مشابه، عدد باقیمانده را پیدا می کنیم:

آماده! ما هر سه عدد را پیدا کردیم. بیایید آنها را به ترتیبی که باید بین اعداد اصلی درج شوند، در پاسخ بنویسیم.

پاسخ: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

وظیفه شماره 10. بین اعداد 2 و 42 چند عدد درج کنید که به همراه این اعداد یک تصاعد حسابی تشکیل می دهند، اگر می دانید مجموع اعداد اول، دوم و آخر اعداد درج شده 56 است.

راه حل. یک مشکل حتی پیچیده تر، که، با این حال، مطابق با همان طرح قبلی - از طریق میانگین حسابی حل می شود. مشکل این است که ما دقیقا نمی دانیم چند عدد باید درج شود. بنابراین، برای قطعیت فرض می کنیم که پس از درج همه چیز دقیقاً اعداد $n$ وجود خواهد داشت که اولین آنها 2 و آخرین آن 42 است. در این حالت، پیشرفت محاسباتی مورد نیاز را می توان به شکل زیر نشان داد:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \راست\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

البته توجه داشته باشید که اعداد $((a)_(2))$ و $((a)_(n-1))$ از اعداد 2 و 42 در لبه ها یک قدم به سمت یکدیگر به دست می آیند. یعنی . به مرکز دنباله و این به این معنی است

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

اما سپس عبارت نوشته شده در بالا را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \پایان (تراز کردن)\]

با دانستن $((a)_(3))$ و $((a)_(1))$، ما به راحتی می توانیم تفاوت پیشرفت را پیدا کنیم:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\چپ(3-1 \راست)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\arrow d=5. \\ \پایان (تراز کردن)\]

تنها چیزی که باقی می ماند یافتن شرایط باقی مانده است:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \پایان (تراز کردن)\]

بنابراین، در مرحله نهم به انتهای سمت چپ دنباله خواهیم رسید - عدد 42. در مجموع، فقط 7 عدد باید درج می شد: 7. 12; 17; 22; 27; 32; 37.

پاسخ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

مشکلات کلمه با پیشرفت

در پایان، من می خواهم چند مورد را نسبتاً در نظر بگیرم کارهای ساده. خب، به همین سادگی: برای اکثر دانش‌آموزانی که در مدرسه ریاضیات می‌خوانند و آنچه در بالا نوشته شده را نخوانده‌اند، این مشکلات ممکن است سخت به نظر برسند. با این وجود، اینها انواع مشکلاتی هستند که در OGE و آزمون دولتی واحد در ریاضیات ظاهر می شوند، بنابراین توصیه می کنم با آنها آشنا شوید.

کار شماره 11. این تیم در ژانویه 62 قسمت تولید کرد و در هر ماه بعد 14 قسمت بیشتر از ماه قبل تولید کرد. تیم در ماه نوامبر چند قسمت تولید کرد؟

راه حل. بدیهی است که تعداد قسمت‌های فهرست‌شده بر اساس ماه نشان‌دهنده یک پیشرفت محاسباتی فزاینده است. علاوه بر این:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\چپ(n-1 \راست)\cdot 14. \\ \end (تراز کردن)\]

نوامبر یازدهمین ماه سال است، بنابراین باید $((a)_(11))$ را پیدا کنیم:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

بنابراین در آبان ماه 202 قطعه تولید خواهد شد.

کار شماره 12. کارگاه صحافی در دی ماه 216 جلد کتاب صحافی کرد و در هر ماه بعد 4 جلد کتاب بیشتر از ماه قبل صحافی کرد. کارگاه در آذرماه چند کتاب صحافی کرد؟

راه حل. به همین ترتیب:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \راست)\cdot 4. \\ \end (تراز کردن)$

دسامبر آخرین و دوازدهمین ماه سال است، بنابراین ما به دنبال $((a)_(12))$ هستیم:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

پاسخ این است - 260 کتاب در دسامبر صحافی می شود.

خوب، اگر تا اینجا خوانده اید، من عجله می کنم به شما تبریک بگویم: شما "دوره مبارزان جوان" را در پیشرفت های حسابی با موفقیت به پایان رساندید. می توانید با خیال راحت به درس بعدی بروید، جایی که ما فرمول جمع پیشرفت و همچنین پیامدهای مهم و بسیار مفید آن را مطالعه خواهیم کرد.

سطح اول

پیشرفت حسابی نظریه تفصیلیبا مثال (2019)

دنباله اعداد

بنابراین، بیایید بنشینیم و شروع به نوشتن چند عدد کنیم. مثلا:
شما می توانید هر عددی را بنویسید، و می تواند هر تعداد که دوست دارید وجود داشته باشد (در مورد ما، آنها وجود دارند). مهم نیست که چند عدد بنویسیم، همیشه می توانیم بگوییم کدام اول است، کدام دوم و همینطور تا آخرین عدد، یعنی می توانیم آنها را شماره گذاری کنیم. این نمونه ای از دنباله اعداد است:

دنباله اعداد
به عنوان مثال، برای دنباله ما:

شماره اختصاص داده شده فقط مختص یک عدد در دنباله است. به عبارت دیگر، سه عدد دوم در دنباله وجود ندارد. عدد دوم (مانند عدد هفتم) همیشه یکسان است.
عددی که دارای عدد است، ترم امین دنباله نامیده می شود.

ما معمولاً کل دنباله را با یک حرف صدا می زنیم (مثلاً)، و هر عضو این دنباله همان حرف است با شاخصی برابر با تعداد این عضو: .

در مورد ما:

فرض کنید یک دنباله عددی داریم که در آن تفاوت بین اعداد مجاور یکسان و مساوی است.
مثلا:

و غیره.
این دنباله اعداد را پیشروی حسابی می نامند.
اصطلاح "پیشرفت" توسط نویسنده رومی Boethius در قرن ششم معرفی شد و در معنای گسترده تر به عنوان یک دنباله عددی بی نهایت درک شد. نام "حساب" از نظریه نسبت های پیوسته که توسط یونانیان باستان مورد مطالعه قرار گرفت، منتقل شد.

این یک دنباله اعداد است که هر عضو آن برابر است با عضو قبلی که به همان عدد اضافه شده است. این عدد را تفاضل یک تصاعد حسابی می نامند و مشخص می شود.

سعی کنید تعیین کنید که کدام دنباله اعداد یک تصاعد حسابی هستند و کدام یک نیستند:

آ)
ب)
ج)
د)

فهمیدم؟ بیایید پاسخ های خود را با هم مقایسه کنیم:
استپیشرفت حسابی - b، c.
نیستپیشرفت حسابی - a, d.

بیایید به پیشرفت داده شده () برگردیم و سعی کنیم مقدار ترم آن را پیدا کنیم. وجود دارد دوراهی برای پیدا کردن آن

1. روش

می‌توانیم عدد پیشرفت را به مقدار قبلی اضافه کنیم تا زمانی که به ترم پیشروی برسیم. خوب است که چیز زیادی برای خلاصه کردن نداریم - فقط سه مقدار:

بنابراین، امین ترم پیشروی حسابی توصیف شده برابر است با.

2. روش

اگر نیاز به یافتن مقدار ترم ترم پیشرفت داشته باشیم چه می‌شود؟ جمع‌بندی بیش از یک ساعت طول می‌کشد و این یک واقعیت نیست که هنگام جمع کردن اعداد اشتباه نکنیم.
البته ریاضیدانان روشی را ابداع کرده اند که در آن لازم نیست تفاوت یک تصاعد حسابی را به مقدار قبلی اضافه کنیم. به تصویر کشیده شده با دقت نگاه کنید... مطمئناً قبلاً متوجه الگوی خاصی شده اید، یعنی:

برای مثال، بیایید ببینیم که مقدار ترم سوم این پیشروی حسابی شامل چه چیزی است:


به عبارت دیگر:

سعی کنید ارزش عضوی از یک پیشرفت محاسباتی را خودتان از این طریق بیابید.

حساب کردی؟ یادداشت های خود را با پاسخ مقایسه کنید:

لطفاً توجه داشته باشید که دقیقاً همان عددی را به دست آوردید که در روش قبلی، زمانی که ما به طور متوالی شرایط پیشروی حسابی را به مقدار قبلی اضافه کردیم.
بیایید سعی کنیم این فرمول را "شخصی" کنیم - بیایید آن را وارد کنیم فرم کلیو دریافت می کنیم:

معادله پیشرفت حسابی.

پیشروی های حسابی می تواند افزایش یا کاهش یابد.

در حال افزایش است- پیشرفت هایی که در آنها هر مقدار بعدی از عبارت ها از مقدار قبلی بیشتر است.
مثلا:

نزولی- پیشرفت هایی که در آنها هر مقدار بعدی از عبارت ها کمتر از مقدار قبلی است.
مثلا:

فرمول مشتق شده در محاسبه عبارات در هر دو حالت افزایشی و کاهشی یک پیشروی حسابی استفاده می شود.
بیایید این را در عمل بررسی کنیم.
به ما یک تصاعد حسابی متشکل از اعداد زیر داده شده است: بیایید بررسی کنیم که اگر از فرمول خود برای محاسبه آن استفاده کنیم، عدد امین این پیشروی حسابی چقدر خواهد بود:

از آن به بعد:

بنابراین، ما متقاعد شده‌ایم که این فرمول هم در کاهش و هم در افزایش پیشروی حسابی عمل می‌کند.
سعی کنید خود ترم های این پیشروی حسابی را پیدا کنید.

بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم:

خاصیت پیشرفت حسابی

بیایید مشکل را پیچیده کنیم - ما خاصیت پیشرفت حسابی را به دست خواهیم آورد.
فرض کنید شرایط زیر به ما داده شده است:
- پیشرفت حسابی، مقدار را پیدا کنید.
آسان است، می گویید و طبق فرمولی که از قبل می دانید شروع به شمارش می کنید:

بگذار، آه، پس:

کاملا درسته معلوم می شود که ما ابتدا پیدا می کنیم، سپس آن را به عدد اول اضافه می کنیم و آنچه را که به دنبال آن هستیم به دست می آوریم. اگر پیشرفت با مقادیر کوچک نشان داده شود، هیچ چیز پیچیده ای در مورد آن وجود ندارد، اما اگر در شرایط به ما اعداد داده شود چه؟ موافقم، احتمال اشتباه در محاسبات وجود دارد.
حال به این فکر کنید که آیا با استفاده از هر فرمولی می توان این مشکل را در یک مرحله حل کرد؟ البته بله، و این چیزی است که ما اکنون سعی خواهیم کرد آن را بیان کنیم.

بیایید عبارت مورد نیاز پیشروی حسابی را به عنوان فرمول پیدا کردن آن برای ما مشخص کنیم - این همان فرمولی است که در ابتدا استخراج کردیم:
، سپس:

• ترم قبلی پیشرفت عبارت است از:
• ترم بعدی پیشرفت عبارت است از:

بیایید شرایط قبلی و بعدی پیشرفت را خلاصه کنیم:

به نظر می رسد که مجموع عبارت های قبلی و بعدی پیشرفت، مقدار دو برابر عبارت پیشروی است که بین آنها قرار دارد. به عبارت دیگر، برای یافتن مقدار یک عبارت پیشرفت با مقادیر قبلی و متوالی شناخته شده، باید آنها را جمع کرده و بر آن تقسیم کنید.

درست است، ما همین عدد را گرفتیم. بیایید مواد را ایمن کنیم. ارزش پیشرفت را خودتان محاسبه کنید، اصلاً سخت نیست.

آفرین! شما تقریباً همه چیز را در مورد پیشرفت می دانید! باقی مانده است که فقط یک فرمول را پیدا کنیم، که طبق افسانه، یکی از بزرگترین ریاضیدانان تمام دوران، "پادشاه ریاضیدانان" - کارل گاوس به راحتی استنباط شده است.

وقتی کارل گاوس 9 ساله بود، معلمی که مشغول بررسی کار دانش‌آموزان در کلاس‌های دیگر بود، این کار را در کلاس محول کرد: «مجموع تمام اعداد طبیعی را از تا (طبق منابع دیگر تا) فراگیر محاسبه کنید.» تعجب معلم را تصور کنید که یکی از شاگردانش (این کارل گاوس بود) یک دقیقه بعد جواب درست را به تکلیف داد، در حالی که اکثر همکلاسی های جسور، پس از محاسبات طولانی، نتیجه اشتباه را دریافت کردند...

کارل گاوس جوان متوجه الگوی خاصی شد که شما نیز به راحتی می توانید متوجه آن شوید.
فرض کنید ما یک پیشروی حسابی داریم که از جمله های -ام تشکیل شده است: باید مجموع این ترم های پیشروی حسابی را پیدا کنیم. البته، ما می‌توانیم به صورت دستی همه مقادیر را جمع کنیم، اما اگر کار مستلزم یافتن مجموع عبارت‌های آن باشد، همانطور که گاوس به دنبال آن بود، چه؟

اجازه دهید پیشرفتی که به ما داده شده را به تصویر بکشیم. به اعداد برجسته شده دقت کنید و سعی کنید با آنها عملیات ریاضی مختلفی انجام دهید.


این را امتحان کرده ای؟ چه چیزی را متوجه شدید؟ درست! مجموع آنها مساوی است

حالا به من بگویید، در مجموع چند جفت از این دست در پیشرفتی که به ما داده شده است وجود دارد؟ البته دقیقاً نیمی از اعداد، یعنی.
بر اساس این واقعیت که مجموع دو جمله یک پیشروی حسابی مساوی است و جفت های مشابه برابر هستند، به دست می آوریم که مجموع کل برابر است با:
.
بنابراین، فرمول مجموع جمله های اول هر پیشروی حسابی به صورت زیر خواهد بود:

در برخی از مسائل ما اصطلاح هفتم را نمی دانیم، اما تفاوت پیشرفت را می دانیم. سعی کنید فرمول جمله ام را با فرمول جمع جایگزین کنید.
چی به دست آوردی؟

آفرین! حال برگردیم به مسئله ای که از کارل گاوس پرسیده شد: خودتان محاسبه کنید که مجموع اعدادی که از th شروع می شوند با چه عددی و مجموع اعدادی که از th شروع می شوند برابر است.

چقدر گرفتی؟
گاوس دریافت که مجموع عبارت ها برابر است و مجموع عبارت ها. این همان چیزی است که شما تصمیم گرفتید؟

در واقع، فرمول مجموع اصطلاحات یک پیشروی حسابی توسط دانشمند یونان باستان دیوفانتوس در قرن سوم به اثبات رسید و در طول این مدت، افراد شوخ از خواص پیشروی حسابی استفاده کامل کردند.
مثلا تصور کنید مصر باستانو بیشترین ساخت و ساز در مقیاس بزرگآن زمان - ساخت یک هرم ... تصویر یک طرف آن را نشان می دهد.

شما می گویید پیشرفت اینجا کجاست؟ با دقت نگاه کنید و الگویی از تعداد بلوک های شنی در هر ردیف دیوار هرم پیدا کنید.


چرا یک پیشرفت حسابی نیست؟ اگر آجرهای بلوکی در پایه قرار گیرند، محاسبه کنید که برای ساخت یک دیوار چند بلوک لازم است. امیدوارم وقتی انگشت خود را روی مانیتور حرکت می‌دهید، شمارش نکنید، آخرین فرمول و همه چیزهایی را که در مورد پیشروی حسابی گفتیم به خاطر دارید؟

در این مورد، پیشرفت به این صورت است: .
تفاوت پیشروی حسابی
تعداد اصطلاحات یک تصاعد حسابی.
بیایید داده های خود را با آخرین فرمول ها جایگزین کنیم (تعداد بلوک ها را به 2 روش محاسبه کنید).

روش 1.

روش 2.

و اکنون می توانید روی مانیتور محاسبه کنید: مقادیر به دست آمده را با تعداد بلوک هایی که در هرم ما هستند مقایسه کنید. فهمیدم؟ آفرین، شما بر مجموع nام یک پیشروی حسابی تسلط دارید.
البته، شما نمی توانید یک هرم را از بلوک هایی در پایه بسازید، اما از؟ سعی کنید محاسبه کنید که برای ساخت یک دیوار با این شرایط چند آجر شنی لازم است.
توانستی مدیریت کنی؟
پاسخ صحیح بلوک است:

آموزش

وظایف:

1. ماشا در حال خوش فرم شدن برای تابستان است. او هر روز تعداد اسکات ها را افزایش می دهد. اگر ماشا در اولین جلسه تمرین اسکوات انجام دهد، چند بار در هفته اسکات انجام می دهد؟
2. مجموع همه اعداد فرد موجود در چیست؟
3. هنگام ذخیره لاگ ها، لاگرها آنها را به گونه ای روی هم می چینند که هر لایه بالایی یک لاگ کمتر از لاگ قبلی داشته باشد. در صورتی که پایه سنگ تراشی کنده ها باشد در یک سنگ تراشی چند کنده وجود دارد؟

پاسخ ها:

1. اجازه دهید پارامترهای پیشرفت حسابی را تعریف کنیم. در این مورد
   (هفته = روز).

   پاسخ:در دو هفته، ماشا باید یک بار در روز اسکات انجام دهد.

2. اولین عدد فرد، آخرین شماره
   تفاوت پیشروی حسابی
   تعداد اعداد فرد در نصف است، با این حال، بیایید این واقعیت را با استفاده از فرمول برای یافتن جمله ترم یک پیشرفت حسابی بررسی کنیم:

   اعداد حاوی اعداد فرد هستند.
   بیایید داده های موجود را با فرمول جایگزین کنیم:

   پاسخ:مجموع تمام اعداد فرد موجود در برابر است.

3. بیایید مشکل اهرام را به یاد بیاوریم. برای مورد ما، a، از آنجایی که هر لایه بالایی یک لاگ کاهش می یابد، در مجموع یک دسته لایه وجود دارد، یعنی.
   بیایید داده ها را با فرمول جایگزین کنیم:

   پاسخ:در سنگ تراشی کنده هایی وجود دارد.

بیایید آن را جمع بندی کنیم

1. - دنباله اعدادی که در آن تفاوت بین اعداد مجاور یکسان و مساوی است. می تواند در حال افزایش یا کاهش باشد.
2. یافتن فرمولجمله ترم یک پیشروی حسابی با فرمول - نوشته می شود، که در آن تعداد اعداد در پیشروی است.
3. ویژگی اعضای یک پیشرفت حسابی- - تعداد اعداد در حال پیشرفت کجاست.
4. مجموع عبارات یک تصاعد حسابیرا می توان به دو صورت یافت:
   
   ، تعداد مقادیر کجاست.

پیشرفت حسابی. سطح متوسط

دنباله اعداد

بیا بشینیم و شروع کنیم به نوشتن چند عدد. مثلا:

شما می توانید هر عددی را بنویسید و هر تعداد که دوست دارید می تواند وجود داشته باشد. اما همیشه می توانیم بگوییم کدام اول است کدام دوم و ... یعنی می توانیم آنها را شماره گذاری کنیم. این نمونه ای از دنباله اعداد است.

دنباله اعدادمجموعه ای از اعداد است که به هر کدام می توان یک شماره منحصر به فرد اختصاص داد.

به عبارت دیگر، هر عدد می تواند با یک عدد طبیعی خاص و یک عدد منحصر به فرد مرتبط باشد. و این شماره را به هیچ شماره دیگری از این مجموعه اختصاص نمی دهیم.

به عددی که دارای عدد است، امین عضو دنباله نامیده می شود.

ما معمولاً کل دنباله را با یک حرف صدا می زنیم (مثلاً)، و هر عضو این دنباله همان حرف است با شاخصی برابر با تعداد این عضو: .

بسیار راحت است اگر بتوان ترم 7 دنباله را با فرمولی مشخص کرد. به عنوان مثال، فرمول

دنباله را تنظیم می کند:

و فرمول به ترتیب زیر است:

به عنوان مثال، یک پیشروی حسابی یک دنباله است (جمله اول در اینجا برابر است و تفاوت آن است). یا (، تفاوت).

فرمول ترم n

ما یک فرمول را تکراری می نامیم که در آن، برای پیدا کردن عبارت، باید موارد قبلی یا چند مورد قبلی را بدانید:

برای مثال برای یافتن ترم ترم پیشروی با استفاده از این فرمول، باید نه قبلی را محاسبه کنیم. به عنوان مثال، اجازه دهید. سپس:

خوب حالا معلوم شد فرمولش چیه؟

در هر خطی که به آن اضافه می کنیم، در یک عدد ضرب می کنیم. کدام یک؟ خیلی ساده: این تعداد عضو فعلی منهای است:

الان خیلی راحت تره، درسته؟ بررسی می کنیم:

خودتان تصمیم بگیرید:

در یک تصاعد حسابی، فرمول جمله n را پیدا کنید و جمله صدم را پیدا کنید.

راه حل:

جمله اول برابر است. تفاوت در چیست؟ این چیزی است که:

(به همین دلیل است که به آن تفاوت می گویند زیرا برابر است با اختلاف ترم های متوالی پیشرفت).

بنابراین، فرمول:

سپس جمله صدم برابر است با:

مجموع همه اعداد طبیعی از تا چقدر است؟

طبق افسانه، ریاضیدان بزرگکارل گاوس به عنوان یک پسر 9 ساله این مقدار را در چند دقیقه محاسبه کرد. او متوجه شد که مجموع اعداد اول و آخر برابر است، مجموع عدد دوم و ماقبل آخر یکسان است، مجموع عدد سوم و سوم از آخر یکسان است و غیره. در کل چند جفت از این دست وجود دارد؟ درست است، دقیقاً نصف تعداد تمام اعداد، یعنی. بنابراین،

فرمول کلی برای مجموع جمله های اول هر پیشروی حسابی به صورت زیر خواهد بود:

مثال:
مجموع همه را بیابید اعداد دو رقمی، مضرب.

راه حل:

اولین چنین عددی این است. هر عدد بعدی با اضافه کردن به عدد قبلی بدست می آید. بنابراین، اعدادی که ما به آنها علاقه مندیم، با جمله اول و تفاوت، یک پیشروی حسابی تشکیل می دهند.

فرمول ترم این پیشرفت:

اگر همه آنها باید دو رقمی باشند، چند عبارت در پیشرفت وجود دارد؟

بسیار آسان: .

آخرین ترم پیشرفت برابر خواهد بود. سپس مجموع:

پاسخ: .

حالا خودتان تصمیم بگیرید:

1. هر روز ورزشکار مترهای بیشتری نسبت به روز قبل می دود. اگر در روز اول کیلومتر متر دوید، مجموعا چند کیلومتر در هفته خواهد دوید؟
2. یک دوچرخه سوار هر روز کیلومترهای بیشتری را نسبت به روز قبل طی می کند. روز اول کیلومتر را طی کرد. برای طی کردن یک کیلومتر به چند روز سفر نیاز دارد؟ او در آخرین روز سفر چند کیلومتر را طی خواهد کرد؟
3. قیمت یخچال در مغازه ها هر سال به همین میزان کاهش می یابد. تعیین کنید که قیمت یک یخچال در هر سال چقدر کاهش می یابد اگر شش سال بعد به روبل برای فروش گذاشته شود.

پاسخ ها:

1. مهمترین چیز در اینجا تشخیص پیشروی حسابی و تعیین پارامترهای آن است. در این صورت، (هفته = روز). شما باید مجموع جمله های اول این پیشرفت را تعیین کنید:
   .
   پاسخ:
2. در اینجا داده می شود: , باید پیدا شود.
   بدیهی است که باید از همان فرمول جمع مانند مشکل قبلی استفاده کنید:
   .
   مقادیر را جایگزین کنید:

   بدیهی است که ریشه مناسب نیست، بنابراین پاسخ این است.
   بیایید مسیر طی شده در روز گذشته را با استفاده از فرمول جمله ام محاسبه کنیم:
   (کیلومتر).
   پاسخ:

3. داده شده: . پیدا کردن: .
   ساده تر از این نمی تواند باشد:
   (مالیدن).
   پاسخ:

پیشرفت حسابی. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

این یک دنباله اعداد است که در آن تفاوت بین اعداد مجاور یکسان و مساوی است.

پیشرفت محاسباتی می تواند افزایش () و کاهش () باشد.

مثلا:

فرمول یافتن ترم n یک پیشرفت حسابی

با فرمول نوشته می شود، جایی که تعداد اعداد در حال پیشرفت است.

ویژگی اعضای یک پیشرفت حسابی

این به شما امکان می دهد به راحتی یک عبارت از یک پیشروی را در صورت شناخته شدن شرایط همسایه آن پیدا کنید - تعداد اعداد در پیشرفت کجاست.

مجموع شرایط یک پیشرفت حسابی

دو راه برای پیدا کردن مقدار وجود دارد:

تعداد مقادیر کجاست.

تعداد مقادیر کجاست.

شعار درس ما سخنان ریاضیدان روسی V.P. ارماکووا: "در ریاضیات، نه فرمول ها، بلکه فرآیندهای تفکر را باید به خاطر داشت."

در طول کلاس ها

فرمول بندی مسئله

روی تابلو پرتره ای از گاوس است. معلم یا دانش آموزی که از قبل وظیفه تهیه یک پیام را به او داده شده بود، می گوید که وقتی گاوس در مدرسه بود، معلم از دانش آموزان خواست تا همه را جمع کنند. اعداد صحیحاز 1 تا 100. گاوس کوچک این مشکل را در یک دقیقه حل کرد.

سوال . گاوس چگونه پاسخ را دریافت کرد؟

یافتن راه حل ها

دانش‌آموزان مفروضات خود را بیان می‌کنند، سپس خلاصه می‌کنند: متوجه می‌شوند که مجموع‌ها 1 + 100، 2 + 99 و غیره است. برابر هستند، گاوس 101 را در 50 ضرب کرد، یعنی در تعداد چنین مجموعی. به عبارت دیگر، او متوجه الگویی شد که ذاتی پیشرفت حسابی است.

استخراج فرمول جمع nاولین ترم های یک پیشرفت حسابی

موضوع درس را روی تخته و در دفترچه یادداشت کنید. دانش آموزان به همراه معلم نتیجه فرمول را یادداشت می کنند:

اجازه دهید آ 1 ; آ 2 ; آ 3 ; آ 4 ; ...; a n – 2 ; a n – 1 ; a n- پیشرفت حسابی

ادغام اولیه

1. با استفاده از فرمول (1)، مسئله گاوس را حل می کنیم:

2. با استفاده از فرمول (1) مسائل را به صورت شفاهی حل کنید (شرایط آنها روی تابلو یا کد مثبت نوشته شده است) a n) - پیشرفت حسابی:

آ) آ 1 = 2, آ 10 = 20. اس 10 - ?

ب) آ 1 = –5, آ 7 = 1. اس 7 - ? [–14]

V) آ 1 = –2, آ 6 = –17. اس 6 - ? [–57]

ز) آ 1 = –5, آ 11 = 5. اس 11 - ?

3. کار را کامل کنید.

داده شده: ( a n) - پیشرفت حسابی;

آ 1 = 3, آ 60 = 57.

پیدا کردن: اس 60 .

راه حل. بیایید از فرمول جمع استفاده کنیم nاولین ترم های یک پیشرفت حسابی

پاسخ: 1800.

سوال تکمیلیبا استفاده از این فرمول چند نوع مسئله مختلف را می توان حل کرد؟

پاسخ. چهار نوع کار:

مقدار را پیدا کنید S n;

جمله اول یک پیشرفت حسابی را پیدا کنید آ 1 ;

پیدا کردن nترم یک پیشرفت حسابی a n;

تعداد عبارت های یک تصاعد حسابی را بیابید.

4. کار کامل: شماره 369 (ب).

مجموع شصت جمله اول پیشروی حسابی را بیابید ( a n)، اگر آ 1 = –10,5, آ 60 = 51,5.

راه حل.

پاسخ: 1230.

سوال تکمیلی. فرمول را یادداشت کنید nترم یک پیشرفت حسابی

پاسخ: a n = آ 1 + د(n – 1).

5. فرمول نه جمله اول پیشروی حسابی را محاسبه کنید ( b n),
اگر ب 1 = –17, د = 6.

آیا می توان بلافاصله با استفاده از فرمول محاسبه کرد؟

خیر، چون ترم نهم نامعلوم است.

چگونه آن را پیدا کنیم؟

طبق فرمول nترم یک پیشرفت حسابی

راه حل. ب 9 = ب 1 + 8د = –17 + 8∙6 = 31;

پاسخ: 63.

سوال. آیا می توان مجموع را بدون محاسبه ترم نهم پیشرفت یافت؟

فرمول بندی مسئله

مشکل: بدست آوردن فرمول جمع nاولین جمله های یک پیشروی حسابی، با دانستن جمله اول و تفاوت آن د.

(استخراج فرمول در تابلو توسط دانش آموز.)

ما در مورد شماره 371 (a) تصمیم خواهیم گرفت فرمول جدید (2):

اجازه دهید فرمول های شفاهی (2) را ایجاد کنیم ( شرایط وظایف روی تابلو نوشته شده است).

(a n

1. آ 1 = 3, د = 4. اس 4 - ?

2. آ 1 = 2, د = –5. اس 3 - ? [–9]

از دانش آموزان دریابید که چه سوالاتی نامشخص است.

کار مستقل

انتخاب 1

داده شده: (a n) - پیشروی حسابی.

1. آ 1 = –3, آ 6 = 21. اس 6 - ?

2. آ 1 = 6, د = –3. اس 4 - ?

گزینه 2

داده شده: (a n) - پیشروی حسابی.

1.آ 1 = 2, آ 8 = –23. اس 8 - ? [–84]

2.آ 1 = –7, د = 4. اس 5 - ?

دانش آموزان دفترچه های یادداشت را با هم عوض می کنند و راه حل های یکدیگر را بررسی می کنند.

یادگیری مطالب را بر اساس نتایج کار مستقل خلاصه کنید.