حل معادلات نمایی با همان درجه حل معادلات نمایی. مبانی

به کانال یوتیوب وب سایت ما بروید تا از تمام دروس ویدیویی جدید مطلع شوید.

ابتدا بیایید فرمول های اصلی توان ها و ویژگی های آنها را به یاد بیاوریم.

محصول یک عدد آ n بار روی خودش اتفاق می افتد، می توانیم این عبارت را به صورت a … a=a n بنویسیم

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

قدرت یا معادلات نمایی– اینها معادلاتی هستند که در آنها متغیرها در توان (یا توان) هستند و مبنا یک عدد است.

نمونه هایی از معادلات نمایی:

در این مثال، عدد 6 پایه است؛ همیشه در پایین و متغیر است ایکسدرجه یا نشانگر

اجازه دهید مثال های بیشتری از معادلات نمایی ارائه دهیم.
2*5=10
16 x - 4 x - 6=0

حال بیایید ببینیم معادلات نمایی چگونه حل می شوند؟

بیایید یک معادله ساده در نظر بگیریم:

2 x = 2 3

این مثال حتی در ذهن شما قابل حل است. مشاهده می شود که x=3. از این گذشته ، برای اینکه سمت چپ و راست برابر باشند ، باید به جای x عدد 3 را قرار دهید.
حال بیایید ببینیم که چگونه این تصمیم را رسمی کنیم:

2 x = 2 3
x = 3

برای حل چنین معادله ای حذف کردیم زمینه های یکسان(یعنی دوتایی) و آنچه باقی مانده را بنویسد، اینها درجات است. جوابی که دنبالش بودیم گرفتیم.

حالا بیایید تصمیم خود را خلاصه کنیم.

الگوریتم حل معادله نمایی:
1. نیاز به بررسی همانآیا معادله دارای پایه در سمت راست و چپ است. اگر دلایل یکسان نیستند، ما به دنبال گزینه هایی برای حل این مثال هستیم.
2. پس از یکسان شدن پایه ها، برابر کردندرجه و معادله جدید حاصل را حل کنید.

حال به چند نمونه نگاه می کنیم:

بیایید با یک چیز ساده شروع کنیم.

پایه های سمت چپ و راست برابر با عدد 2 هستند، یعنی می توانیم پایه را دور بیندازیم و درجات آنها را برابر کنیم.

x+2=4 ساده ترین معادله به دست می آید.
x=4 – 2
x=2
پاسخ: x=2

در مثال زیر می بینید که پایه ها متفاوت هستند: 3 و 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

ابتدا 9 را به سمت راست حرکت دهید، دریافت می کنیم:

حالا باید همان پایه ها را درست کنید. می دانیم که 9=3 2. بیایید از فرمول توان (a n) m = a nm استفاده کنیم.

3 3x = (3 2) x+8

9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16 بدست می آوریم

3 3x = 3 2x+16 حالا مشخص است که در سمت چپ و راست پایه ها یکسان و برابر با سه هستند، یعنی می توانیم آنها را دور بیندازیم و درجه ها را برابر کنیم.

3x=2x+16 ساده ترین معادله را بدست می آوریم
3x - 2x=16
x=16
پاسخ: x=16.

بیایید به مثال زیر نگاه کنیم:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

ابتدا به پایه ها، پایه های دو و چهار نگاه می کنیم. و ما نیاز داریم که آنها یکسان باشند. ما چهار را با استفاده از فرمول (a n) m = a nm تبدیل می کنیم.

4 x = (2 2) x = 2 2x

و همچنین از یک فرمول a n a m = a n + m استفاده می کنیم:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

به معادله اضافه کنید:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

به همین دلایل مثال زدیم. اما اعداد 10 و 24 دیگر ما را آزار می دهند با آنها چه کنیم؟ اگر به دقت نگاه کنید می توانید ببینید که در سمت چپ 2 2 برابر تکرار شده است، در اینجا پاسخ وجود دارد - می توانیم 2 2 برابر را خارج از پرانتز قرار دهیم:

2 2x (2 4 - 10) = 24

بیایید عبارت داخل پرانتز را محاسبه کنیم:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

کل معادله را بر 6 تقسیم می کنیم:

بیایید 4=2 2 را تصور کنیم:

2 2x = 2 2 پایه ها یکسان هستند، آنها را دور می اندازیم و درجه ها را برابر می کنیم.
2x = 2 ساده ترین معادله است. آن را بر 2 تقسیم می کنیم و به دست می آید
x = 1
پاسخ: x = 1.

بیایید معادله را حل کنیم:

9 x – 12*3 x +27= 0

بیایید تبدیل کنیم:
9 x = (3 2) x = 3 2x

معادله را بدست می آوریم:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

پایه های ما یکسان است، برابر با سه، در این مثال می بینید که سه درجه اول دو برابر (2x) نسبت به دومی (فقط x) درجه دارد. در این صورت می توانید حل کنید روش جایگزینی. عدد را با کوچکترین درجه جایگزین می کنیم:

سپس 3 2x = (3 x) 2 = t 2

تمام توان های x در معادله را با t جایگزین می کنیم:

t 2 - 12t+27 = 0
یک معادله درجه دوم بدست می آوریم. با حل از طریق تفکیک، دریافت می کنیم:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

بازگشت به متغیر ایکس.

t 1 را بگیرید:
t 1 = 9 = 3 x

به این معنا که،

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

یک ریشه پیدا شد. ما به دنبال مورد دوم از t 2 هستیم:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
پاسخ: x 1 = 2; x 2 = 1.

در وب سایت شما می توانید هر سوالی را که ممکن است در قسمت HELP DECIDE مطرح کنید، ما قطعا به شما پاسخ خواهیم داد.

به گروه ملحق بشید

تجهیزات:

• کامپیوتر،
• پروژکتور چند رسانه ای،
• صفحه نمایش،
• پیوست 1(ارائه اسلاید پاورپوینت) "روش های حل معادلات نمایی"
• ضمیمه 2(حل معادله ای مانند "سه پایه مختلف قدرت" در Word)
• پیوست 3(برنامه در Word for کار عملی).
• ضمیمه 4(برنامه در Word برای تکالیف).

در طول کلاس ها

1. مرحله سازمانی

• پیام موضوع درس (نوشته شده روی تخته)،
• نیاز به درس عمومی در پایه های 10-11:

مرحله آماده سازی دانش آموزان برای یادگیری فعال

تکرار

تعریف.

معادله نمایی معادله ای است که شامل یک متغیر با توان است (دانشجو پاسخ می دهد).

یادداشت معلم. معادلات نمایی متعلق به کلاس معادلات ماورایی هستند. این نام غیرقابل تلفظ نشان می دهد که به طور کلی نمی توان چنین معادلاتی را در قالب فرمول حل کرد.

آنها را فقط می توان تقریباً با روش های عددی در رایانه حل کرد. اما تکالیف امتحانی چطور؟ ترفند این است که آزمونگر مسئله را به گونه ای چارچوب بندی می کند که امکان یک راه حل تحلیلی را فراهم کند. به عبارت دیگر، شما می توانید (و باید!) موارد زیر را انجام دهید تحولات هویتی، که این معادله نمایی را به ساده ترین معادله نمایی کاهش می دهند. این ساده ترین معادله نامیده می شود: ساده ترین معادله نمایی داره حل میشه توسط لگاریتم

وضعیت حل یک معادله نمایی یادآور سفر از طریق یک هزارتو است که به طور خاص توسط نویسنده مسئله اختراع شده است. از این استدلال های بسیار کلی، توصیه های بسیار خاصی را دنبال کنید.

برای حل موفقیت آمیز معادلات نمایی باید:

1. نه تنها به طور فعال تمام هویت های نمایی را می شناسید، بلکه مجموعه ای از مقادیر متغیر را که این هویت ها بر اساس آنها تعریف شده اند را نیز پیدا کنید، به طوری که هنگام استفاده از این هویت ها، ریشه های غیرضروری به دست نیاورید و حتی بیشتر از آن، راه حل ها را از دست ندهید. به معادله

2. فعالانه همه هویت های نمایی را بشناسید.

3. به وضوح، با جزئیات و بدون خطا، تبدیل های ریاضی معادلات را انجام دهید (ترجمه ها را از یک قسمت معادله به قسمت دیگر منتقل کنید، فراموش نکنید که علامت را تغییر دهید، کسرها را به مخرج مشترک بیاورید و غیره). به این می گویند فرهنگ ریاضی. در عین حال، خود محاسبات باید به طور خودکار با دست انجام شود و رئیس باید در مورد موضوع راهنمای کلی راه حل فکر کند. تغییرات باید تا حد امکان با دقت و با جزئیات انجام شود. فقط این یک تصمیم درست و بدون خطا را تضمین می کند. و به یاد داشته باشید: یک خطای محاسباتی کوچک به سادگی می تواند معادله ای ماورایی ایجاد کند که در اصل نمی توان آن را به صورت تحلیلی حل کرد. معلوم می شود که راه خود را گم کرده اید و به دیوار هزارتو برخورد کرده اید.

4. روش های حل مسائل را بشناسید (یعنی همه مسیرهای عبور از پیچ و خم راه حل را بشناسید). برای پیمایش صحیح در هر مرحله، باید (آگاهانه یا شهودی!):

• تعريف كردن نوع معادله;
• نوع مربوطه را به خاطر بسپار روش حلوظایف

مرحله تعمیم و نظام مند سازی مطالب مورد مطالعه.

معلم، همراه با دانش آموزان با استفاده از رایانه، مروری بر انواع معادلات نمایی و روش های حل آنها انجام می دهد، گردآوری می کند. طرح کلی. (آموزش استفاده شده برنامه کامپیوتری L.Ya. Borevsky "دوره ریاضیات - 2000"، نویسنده ارائه پاورپوینت T.N. کوپتسووا.)

برنج. 1.شکل یک نمودار کلی از انواع معادلات نمایی را نشان می دهد.

همانطور که از این نمودار مشاهده می شود، استراتژی حل معادلات نمایی این است که معادله نمایی داده شده را به معادله کاهش دهیم، اول از همه، با همان پایه درجات و سپس – و با همان شاخص های درجه

با دریافت معادله ای با مبانی و توان های یکسان، این توان را با یک متغیر جدید جایگزین می کنید و یک معادله جبری ساده (معمولاً کسری-گویا یا درجه دوم) با توجه به این متغیر جدید بدست می آورید.

پس از حل این معادله و جایگزینی معکوس، به مجموعه ای از معادلات نمایی ساده می رسید که می توانند در نمای کلیبا استفاده از لگاریتم

معادلاتی که در آنها فقط محصولات توان های (جزئی) یافت می شوند برجسته هستند. با استفاده از هویت های نمایی، می توان بلافاصله این معادلات را به یک پایه کاهش داد، به ویژه به ساده ترین معادله نمایی.

بیایید نحوه حل یک معادله نمایی با سه پایه مختلف را بررسی کنیم.

(اگر معلم برنامه کامپیوتر آموزشی L.Ya. Borevsky "دوره ریاضیات - 2000" را داشته باشد، طبیعتاً ما با دیسک کار می کنیم، اگر نه، می توانید از این نوع معادله برای هر میز پرینت بگیرید. در زیر ارائه شده است.)

برنج. 2.برای حل معادله برنامه ریزی کنید.

برنج. 3.شروع به حل معادله کنید

برنج. 4.حل معادله را تمام کنید.

انجام کار عملی

نوع معادله را مشخص کرده و حل کنید.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

جمع بندی درس

نمره دادن به درس

پایان درس

برای معلم

طرح پاسخ را تمرین کنید.

ورزش:از لیست معادلات، معادلات از نوع مشخص شده را انتخاب کنید (عدد پاسخ را در جدول وارد کنید):

1. سه پایه درجه متفاوت
2. دو پایه مختلف - شارحان مختلف
3. پایه های قدرت - قدرت های یک عدد
4. پایه های یکسان - شارحان مختلف
5. همان پایه های درجه - همان شاخص های درجه
6. محصول قدرت ها
7. دو پایه درجه متفاوت - شاخص های یکسان
8. ساده ترین معادلات نمایی

1. (محصول قدرت ها)

2. (پایه های یکسان – توان های مختلف)

مثال ها:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4.8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

چگونه معادلات نمایی را حل کنیم

هنگام حل هر معادله نمایی، سعی می کنیم آن را به شکل \(a^(f(x))=a^(g(x))\ برسانیم، و سپس انتقال را به برابری توانها انجام دهیم، یعنی:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

مثلا:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

مهم! از همین منطق، دو شرط برای چنین انتقالی به دست می آید:
- شماره در چپ و راست باید یکسان باشند.
- درجات سمت چپ و راست باید "خالص" باشندیعنی ضرب و تقسیم و غیره نباشد.

مثلا:

برای کاهش معادله به شکل \(a^(f(x))=a^(g(x))\) و استفاده می شود.

مثال . حل معادله نمایی \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
راه حل:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		ما می دانیم که \(27 = 3^3\). با در نظر گرفتن این، معادله را تبدیل می کنیم.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		با خاصیت ریشه \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) بدست می آوریم که \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). سپس با استفاده از خاصیت درجه \((a^b)^c=a^(bc)\)، \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ را بدست می آوریم (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		همچنین می دانیم که \(a^b·a^c=a^(b+c)\). با اعمال این در سمت چپ، دریافت می کنیم: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)\).
\(3^(x+0.5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		حالا به یاد داشته باشید که: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). این فرمول همچنین می تواند در سمت معکوس: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). سپس \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)		با اعمال ویژگی \((a^b)^c=a^(bc)\) در سمت راست، به دست می آوریم: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)		و اکنون پایه های ما برابر است و ضرایب تداخلی و غیره وجود ندارد. بنابراین ما می توانیم انتقال را انجام دهیم.
		مثال . حل معادله نمایی \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) راه حل: \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) ما دوباره از ویژگی power \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) در جهت مخالف استفاده می کنیم. \(4^x 4^(0.5)-5 2^x+2=0\) حالا به یاد داشته باشید که \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^(0.5)-5·2^x+2=0\) با استفاده از خصوصیات درجه، تبدیل می کنیم: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) ما با دقت به معادله نگاه می کنیم و می بینیم که جایگزین \(t=2^x\) خودش را پیشنهاد می کند. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) با این حال، ما مقادیر \(t\) را پیدا کرده ایم و به \(x\) نیاز داریم. ما به X برمی گردیم و جایگزینی معکوس می کنیم. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) بیایید معادله دوم را با استفاده از خاصیت توان منفی تبدیل کنیم... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ... و تا جواب تصمیم می گیریم. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) پاسخ : \(-1; 1\). سوال باقی می ماند - چگونه بفهمیم چه زمانی از کدام روش استفاده کنیم؟ این با تجربه همراه است. تا زمانی که آن را بدست آورید، از آن استفاده کنید توصیه کلیبرای حل مشکلات پیچیده - "اگر نمی دانید چه کاری انجام دهید، آنچه را که می توانید انجام دهید." یعنی به دنبال این باشید که چگونه می توانید معادله را در اصل تغییر دهید و سعی کنید آن را انجام دهید - اگر چه اتفاقی بیفتد؟ نکته اصلی این است که فقط تبدیلات مبتنی بر ریاضی ایجاد کنیم. معادلات نمایی بدون جواب بیایید به دو موقعیت دیگر که اغلب دانش‌آموزان را گیج می‌کنند نگاه کنیم: - یک عدد مثبت به توان برابر با صفر است، به عنوان مثال، \(2^x=0\); - یک عدد مثبت برابر با توان یک عدد منفی است، برای مثال \(2^x=-4\). بیایید سعی کنیم با زور وحشیانه حل کنیم. اگر x یک عدد مثبت باشد، با رشد x، کل توان \(2^x\) فقط افزایش می یابد: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) همچنین توسط. X منفی باقی می ماند. با یادآوری ویژگی \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\)، بررسی می کنیم: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) علیرغم اینکه عدد با هر مرحله کوچکتر می شود، هرگز به صفر نمی رسد. بنابراین درجه منفی ما را نجات نداد. ما به یک نتیجه منطقی می رسیم: یک عدد مثبت به هر درجه ای یک عدد مثبت باقی می ماند. بنابراین، هر دو معادله بالا هیچ راه حلی ندارند. معادلات نمایی با پایه های مختلف در عمل گاهی با معادلات نمایی با پایه های مختلف که قابل تقلیل به یکدیگر نیستند و در عین حال با توان های یکسان مواجه می شویم. آنها به این شکل هستند: \(a^(f(x))=b^(f(x))\)، که در آن \(a\) و \(b\) اعداد مثبت هستند. مثلا: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) چنین معادلاتی را می توان به راحتی با تقسیم بر هر یک از اضلاع معادله حل کرد (معمولاً تقسیم بر سمت راست، یعنی بر \(b^(f(x))\) می توانید به این ترتیب تقسیم کنید زیرا یک عدد مثبت است. به هر توانی مثبت است (یعنی بر صفر تقسیم نمی کنیم) دریافت می کنیم: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) مثال . حل معادله نمایی \(5^(x+7)=3^(x+7)\) راه حل: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) در اینجا ما نمی‌توانیم یک پنج را به سه یا برعکس (حداقل بدون استفاده از) تبدیل کنیم. این بدان معنی است که ما نمی توانیم به شکل \(a^(f(x))=a^(g(x))\) برسیم. با این حال، شاخص ها یکسان است. بیایید معادله را به سمت راست تقسیم کنیم، یعنی بر \(3^(x+7)\) (می توانیم این کار را انجام دهیم زیرا می دانیم که سه به هیچ درجه ای صفر نخواهد بود). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) حالا ویژگی \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) را به خاطر بسپارید و از سمت چپ در جهت مخالف استفاده کنید. در سمت راست، ما به سادگی کسر را کاهش می دهیم. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) به نظر می رسد که اوضاع بهتر نشده است. اما یک ویژگی دیگر از توان را به خاطر بسپارید: \(a^0=1\)، به عبارت دیگر: "هر عددی به توان صفر برابر است با \(1\)." عکس آن نیز صادق است: "یک را می توان به عنوان هر عددی به توان صفر نشان داد." بیایید با درست کردن پایه سمت راست مانند سمت چپ از این مزیت استفاده کنیم. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) وویلا! بیایید از شر پایه ها خلاص شویم. ما در حال نوشتن پاسخ هستیم. پاسخ : \(-7\). گاهی اوقات «یکسانی» شارح ها آشکار نیست، اما استفاده ماهرانه از ویژگی های شارح این مشکل را حل می کند. مثال . حل معادله نمایی \(7^(2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) راه حل: \(7^(2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) معادله بسیار غم انگیز به نظر می رسد... نه تنها نمی توان پایه ها را به یک عدد کاهش داد (هفت به هیچ وجه برابر با \(\frac(1)(3)\) نخواهد بود)، بلکه توان ها نیز متفاوت هستند. .. با این حال، بیایید از نمایی چپ استفاده کنیم. \(7^(2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) با به خاطر سپردن ویژگی \((a^b)^c=a^(b·c)\) از سمت چپ تبدیل می کنیم: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) حالا با به خاطر سپردن خاصیت درجه منفی \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\)، از سمت راست تبدیل می کنیم: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) سپاس خداوند را! شاخص ها یکی هستند! طبق طرحی که قبلاً برای ما آشناست عمل می کنیم ، قبل از پاسخ حل می کنیم. پاسخ : \(2\).

سخنرانی: "روش های حل معادلات نمایی".

1 . معادلات نمایی.

معادلات حاوی مجهولات در توان را معادلات نمایی می نامند. ساده ترین آنها معادله ax = b است که a > 0، a ≠ 1 است.

1) در ب< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 تابع نمایی، راه حلی ندارد.

2) برای b > 0، با استفاده از یکنواختی تابع و قضیه ریشه، معادله یک ریشه منحصر به فرد دارد. برای یافتن آن، b باید به شکل b = aс، аx = bс ó x = c یا x = logab نمایش داده شود.

معادلات نمایی با تبدیل های جبری منجر به معادلات استاندارد می شود که با استفاده از روش های زیر حل می شوند:

1) روش کاهش به یک پایه؛

2) روش ارزیابی؛

3) روش گرافیکی؛

4) روش معرفی متغیرهای جدید.

5) روش فاکتورسازی؛

6) نشان دهنده - معادلات قدرت;

7) نمایشی با یک پارامتر.

2 . روش کاهش به یک پایه

این روش بر اساس ویژگی درجه های زیر است: اگر دو درجه مساوی و پایه های آنها مساوی باشد، توان آنها برابر است، یعنی باید سعی کرد معادله را به شکل کاهش داد.

مثال ها. معادله را حل کنید:

1 . 3x = 81;

بیایید سمت راست معادله را به شکل 81 = 34 نشان دهیم و معادله را معادل 3 x = 34 اصلی بنویسیم. x = 4. پاسخ: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">و اجازه دهید به معادله برای نماهای 3x+1 = 3 – 5x؛ 8x = برویم. 4؛ x = 0.5 پاسخ: 0.5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

توجه داشته باشید که اعداد 0.2، 0.04، √5 و 25 قدرت های 5 را نشان می دهند. بیایید از این مزیت استفاده کنیم و معادله اصلی را به صورت زیر تبدیل کنیم:

, از آنجا 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2، که از آن راه حل x = -1 را پیدا می کنیم. پاسخ 1.

5. 3x = 5. با تعریف لگاریتم، x = log35. پاسخ: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

بیایید معادله را به شکل 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8 بازنویسی کنیم، یعنی..png" width="181" height="49 src="> بنابراین x – 4 =0، x = 4. پاسخ: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. با استفاده از خواص توان ها، معادله را به شکل 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 سپس 3∙3x = 9، 3x+1 می نویسیم. = 32، یعنی x+1 = 2، x =1. پاسخ 1.

بانک مشکل شماره 1.

معادله را حل کنید:

تست شماره 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3؛ 1 2) -3؛-1 3) 0؛ 2 4) بدون ریشه
	1) 7؛ 1 2) بدون ریشه 3) -7؛ 1 4) -1؛-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

تست شماره 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) بدون ریشه 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 روش ارزشیابی.

قضیه ریشه: اگر تابع f(x) در بازه I افزایش (کاهش) پیدا کند، عدد a هر مقداری است که با f در این بازه گرفته شود، سپس معادله f(x) = a دارای یک ریشه در بازه I است.

هنگام حل معادلات با استفاده از روش تخمین، از این قضیه و ویژگی های یکنواختی تابع استفاده می شود.

مثال ها. حل معادلات: 1. 4x = 5 - x.

راه حل. بیایید معادله را به صورت 4x +x = 5 بازنویسی کنیم.

1. اگر x = 1، 41 + 1 = 5، 5 = 5 درست است، به این معنی که 1 ریشه معادله است.

تابع f(x) = 4x – در R افزایش می یابد، و g(x) = x – در R => h(x)= f(x)+g(x) در R افزایش می یابد، به عنوان مجموع توابع افزایشی، سپس x = 1 تنها ریشه معادله 4x = 5 – x است. پاسخ 1.

2.

راه حل. بیایید معادله را به شکل بازنویسی کنیم .

1. اگر x = -1، پس 3 = 3 درست است، یعنی x = -1 ریشه معادله است.

2. ثابت کنید که او تنها است.

3. تابع f(x) = - در R کاهش می یابد، و g(x) = - x - کاهش می یابد در R=> h(x) = f(x)+g(x) - در R کاهش می یابد، به عنوان مجموع کاهش توابع . این بدان معناست که طبق قضیه ریشه، x = -1 تنها ریشه معادله است. پاسخ 1.

بانک مشکل شماره 2. معادله را حل کنید

الف) 4x + 1 =6 - x;

ب)

ج) 2x – 2 =1 – x;

4. روش معرفی متغیرهای جدید.

روش در بند 2.1 توضیح داده شده است. معرفی یک متغیر جدید (جایگزینی) معمولاً پس از تبدیل (ساده سازی) شرایط معادله انجام می شود. بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

مثال ها. آرمعادله را حل کنید: 1. .

بیایید معادله را متفاوت بنویسیم: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

راه حل. بیایید معادله را متفاوت بنویسیم:

بیایید https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> را تعیین کنیم - مناسب نیست.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - معادله غیر منطقی. توجه می کنیم که

جواب معادله x = 2.5 ≤ 4 است، یعنی 2.5 ریشه معادله است. پاسخ: 2.5.

راه حل. بیایید معادله را به شکل بازنویسی کنیم و هر دو طرف را بر 56x+6 ≠ 0 تقسیم کنیم. معادله را بدست می آوریم

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

ریشه های معادله درجه دوم t1 = 1 و t2 است<0, т. е..png" width="200" height="24">.

راه حل . بیایید معادله را به شکل بازنویسی کنیم

و توجه داشته باشید که یک معادله همگن درجه دوم است.

معادله را بر 42 برابر تقسیم می کنیم، به دست می آید

بیایید https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> را جایگزین کنیم.

پاسخ: 0; 0.5.

بانک مشکل شماره 3. معادله را حل کنید

ب)

ز)

تست شماره 3 با انتخابی از پاسخ ها حداقل سطح.

A1	1) -0.2؛ 2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0.52x – 3 0.5x +2 = 0.	1) 2؛ 1 2) -1؛ 0 3) بدون ریشه 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) بدون ریشه 2) 2؛ 4 3) 3 4) -1؛ 2

تست شماره 4 با انتخابی از پاسخ ها سطح عمومی.

A1	1) 2؛ 1 2) ½؛ 0 3) 2؛ 0 4) 0
A2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0؛ 1 4) بدون ریشه

5. روش فاکتورسازی.

1. معادله را حل کنید: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69">، از کجا

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

راه حل. بیایید 6 برابر از براکت ها را در سمت چپ معادله و 2 برابر را در سمت راست قرار دهیم. معادله 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x را بدست می آوریم.

از آنجایی که 2x>0 برای همه x، می‌توانیم هر دو طرف این معادله را بر 2x تقسیم کنیم، بدون ترس از از دست دادن راه‌حل. ما 3x = 1- x = 0 دریافت می کنیم.

3.

راه حل. بیایید معادله را با استفاده از روش فاکتورسازی حل کنیم.

اجازه دهید مربع دو جمله ای را انتخاب کنیم

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 ریشه معادله است.

معادله x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

تست شماره 6 سطح عمومی.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1؛ 3 4) 0.2
A2	1) 2.5 2) 3؛ 4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. معادلات نمایی – توان.

در مجاورت معادلات نمایی، معادلات به اصطلاح توان نمایی قرار دارند، یعنی معادلات به شکل (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

اگر معلوم شود که f(x)> 0 و f(x) ≠ 1، آنگاه معادله، مانند نمایی، با معادل سازی توان های g(x) = f(x) حل می شود.

اگر شرط امکان f(x)=0 و f(x)=1 را رد نکند، باید این موارد را هنگام حل یک معادله نمایی در نظر بگیریم.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

راه حل. x2 +2x-8 - برای هر x منطقی است، زیرا یک چند جمله ای است، به این معنی که معادله معادل کل است.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

ب)

7. معادلات نمایی با پارامترها.

1. معادله 4 (5-3)2 +4p2-3p = 0 (1) برای چه مقادیری از پارامتر p یک راه حل منحصر به فرد دارد؟

راه حل. اجازه دهید جایگزین 2x = t، t > 0 را معرفی کنیم، سپس معادله (1) به شکل t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 خواهد بود. (2)

ممیز معادله (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

اگر معادله (2) یک ریشه مثبت داشته باشد، معادله (1) یک راه حل منحصر به فرد دارد. این امر در موارد زیر امکان پذیر است.

1. اگر D = 0، یعنی p = 1، معادله (2) به شکل t2 – 2t + 1 = 0 خواهد بود، بنابراین t = 1، بنابراین، معادله (1) یک جواب منحصر به فرد x = 0 دارد.

2. اگر p1، آنگاه 9(p – 1)2 > 0، آنگاه معادله (2) دارای دو ریشه مختلف t1 = p، t2 = 4p – 3 است. شرایط مسئله توسط مجموعه ای از سیستم ها برآورده می شود.

جایگزینی t1 و t2 در سیستم ها، داریم

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

راه حل. اجازه دهید سپس معادله (3) به شکل t2 – 6t – a = 0 خواهد بود. (4)

اجازه دهید مقادیر پارامتر a را پیدا کنیم که حداقل یک ریشه از معادله (4) شرط t> 0 را برآورده کند.

اجازه دهید تابع f(t) = t2 – 6t – a را معرفی کنیم. موارد زیر ممکن است.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} سه جمله ای درجه دوم f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

مورد 2. معادله (4) یک راه حل مثبت منحصر به فرد دارد اگر

D = 0، اگر a = – 9 باشد، معادله (4) به شکل (t – 3) 2 = 0، t = 3، x = – 1 خواهد بود.

مورد 3. معادله (4) دارای دو ریشه است، اما یکی از آنها نابرابری t > 0 را برآورده نمی کند. این در صورتی امکان پذیر است که

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

بنابراین، برای a 0، معادله (4) یک ریشه مثبت دارد . سپس معادله (3) یک راه حل منحصر به فرد دارد

وقتی یک< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

اگر یک< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
اگر a = – 9، آنگاه x = – 1.

اگر a  0 باشد، آنگاه

اجازه دهید روش های حل معادلات (1) و (3) را با هم مقایسه کنیم. توجه داشته باشید که هنگام حل معادله (1) به یک معادله درجه دوم که ممیز آن یک مربع کامل است کاهش می یابد. بدین ترتیب ریشه های معادله (2) بلافاصله با استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم محاسبه شد و سپس در رابطه با این ریشه ها نتیجه گیری شد. معادله (3) به یک معادله درجه دوم (4) تقلیل یافته است، که ممیز آن مربع کامل نیست، بنابراین، هنگام حل معادله (3)، توصیه می شود از قضایایی در مورد محل ریشه های یک سه جمله درجه دوم استفاده شود. و یک مدل گرافیکی توجه داشته باشید که معادله (4) را می توان با استفاده از قضیه ویتا حل کرد.

بیایید معادلات پیچیده تری را حل کنیم.

مسئله 3: معادله را حل کنید

راه حل. ODZ: x1، x2.

بیایید جایگزینی را معرفی کنیم. فرض کنید 2x = t، t > 0، سپس در نتیجه تبدیل ها، معادله به شکل t2 + 2t - 13 - a = 0 خواهد بود. (*) اجازه دهید مقادیر a را پیدا کنیم که حداقل یک ریشه معادله (*) شرط t > 0 را برآورده می کند.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

پاسخ: اگر a > – 13، a  11، a  5، سپس اگر a – 13،

a = 11، a = 5، پس هیچ ریشه ای وجود ندارد.

کتابشناسی - فهرست کتب.

1. Guzeev مبانی فناوری آموزشی.

2. تکنولوژی Guzeev: از پذیرش تا فلسفه.

م «مدیر مدرسه» شماره 4، 1375

3. Guzeev و اشکال سازمانی آموزش.

4. گوزیف و تمرین فناوری آموزشی یکپارچه.

م." اموزش عمومی"، 2001

5. Guzeev از فرم های یک درس - سمینار.

ریاضیات در مدرسه شماره 2، 1366 ص 9 – 11.

6. فن آوری های آموزشی Seleuko.

م. «آموزش عمومی»، 1377

7. دانش آموزان Episheva برای مطالعه ریاضیات.

م. "روشنگری"، 1990

8. ایوانوا دروس - کارگاه ها را آماده می کند.

ریاضیات در مدرسه شماره 6، 1990 ص. 37-40.

9. مدل اسمیرنوف در تدریس ریاضیات.

ریاضیات در مدرسه شماره 1، 1376 ص. 32-36.

10. Tarasenko راه های سازماندهی کار عملی.

ریاضیات در مدرسه شماره 1، 1993 ص. 27-28.

11. در مورد یکی از انواع کار فردی.

ریاضیات در مدرسه شماره 2، 94، ص 63 – 64.

12. خازنکین مهارت های خلاقانهدانش آموزان

ریاضیات در مدرسه شماره 2، 1989 ص. 10.

13. اسکانوی. ناشر، 1997

14. و دیگران جبر و آغاز تحلیل. مواد آموزشی برای

15. وظایف Krivonogov در ریاضیات.

M. "اول سپتامبر"، 2002

16. چرکاسوف. کتاب راهنمای دانش آموزان دبیرستانی و

ورود به دانشگاه ها "A S T - مدرسه مطبوعات"، 2002

17. Zhevnyak برای کسانی که وارد دانشگاه می شوند.

مینسک و فدراسیون روسیه "بررسی"، 1996

18. کتبی د. ما برای امتحان ریاضی آماده می شویم. M. Rolf، 1999

19. و غیره آموزش حل معادلات و نامساوی.

م. «عقل – مرکز»، 1382

20. و غیره. مواد آموزشی و آموزشی برای آماده سازی برای EGE.

م. "اطلاعات - مرکز"، 1382 و 1383.

21 و دیگران. گزینه های CMM. مرکز تست وزارت دفاع فدراسیون روسیه، 2002، 2003.

22. معادلات گلدبرگ. "کوانتوم" شماره 3، 1971

23. Volovich M. چگونه ریاضیات را با موفقیت تدریس کنیم.

ریاضی، 1376 شماره 3.

24 Okunev برای درس، بچه ها! م. آموزش و پرورش، 1367

25. Yakimanskaya - یادگیری گرا در مدرسه.

26. Liimets در کلاس کار می کنند. م. دانش، 1975

این درس برای کسانی است که تازه شروع به یادگیری معادلات نمایی کرده اند. مثل همیشه، بیایید با تعریف و مثال های ساده شروع کنیم.

اگر در حال خواندن این درس هستید، پس من گمان می کنم که حداقل درک حداقلی از ساده ترین معادلات - خطی و درجه دوم دارید: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ و غیره. توانایی حل چنین سازه هایی کاملاً ضروری است تا در موضوعی که اکنون مورد بحث قرار خواهد گرفت "گیر نمانید".

بنابراین، معادلات نمایی. اجازه بدهید چند مثال برایتان بزنم:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

برخی از آنها ممکن است برای شما پیچیده تر به نظر برسند، در حالی که برخی دیگر، برعکس، بسیار ساده هستند. اما همه آنها یک چیز مشترک دارند علامت مهم: نماد آنها حاوی تابع نمایی $f\left(x \right)=((a)^(x))$ است. بنابراین، اجازه دهید تعریف را معرفی کنیم:

معادله نمایی هر معادله ای است که دارای تابع نمایی باشد. بیان فرم $((a)^(x))$. علاوه بر تابع نشان داده شده، چنین معادلاتی می تواند شامل هر ساختار جبری دیگری - چند جمله ای، ریشه، مثلثات، لگاریتم و غیره باشد.

باشه پس ما تعریف را مرتب کردیم. حال سوال این است: چگونه می توان این همه مزخرف را حل کرد؟ پاسخ هم ساده و هم پیچیده است.

بیایید با خبر خوب شروع کنیم: با توجه به تجربه من در تدریس به بسیاری از دانش آموزان، می توانم بگویم که بیشتر آنها معادلات نمایی را بسیار ساده تر از همان لگاریتم ها و حتی بیشتر از آن مثلثات می یابند.

اما خبر بدی وجود دارد: گاهی اوقات نویسندگان مسائل مربوط به انواع کتاب های درسی و امتحانات تحت تأثیر «الهام» قرار می گیرند و مغز ملتهب مواد مخدر آنها شروع به تولید چنین معادلات وحشیانه ای می کند که حل آنها نه تنها برای دانش آموزان - حتی بسیاری از معلمان - مشکل ساز می شود. در چنین مشکلاتی گیر کنید

با این حال، اجازه دهید در مورد چیزهای غم انگیز صحبت نکنیم. و برگردیم به آن سه معادله ای که در همان ابتدای داستان بیان شد. بیایید سعی کنیم هر یک از آنها را حل کنیم.

معادله اول: $((2)^(x))=4$. خوب، برای به دست آوردن عدد 4 باید عدد 2 را به چه قدرتی برسانید؟ احتمالا دومی؟ پس از همه، $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - و برابری عددی صحیح را بدست آوردیم، یعنی. در واقع $x=2$. خب، ممنون، کلاه، اما این معادله آنقدر ساده بود که حتی گربه من هم توانست آن را حل کند. :)

بیایید به معادله زیر نگاه کنیم:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

اما اینجا کمی پیچیده تر است. بسیاری از دانش آموزان می دانند که $((5)^(2))=25$ جدول ضرب است. برخی همچنین گمان می کنند که $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ اساساً تعریف قدرت های منفی است (مشابه فرمول $((a)^(-n)) = \ frac(1)(((a)^(n)))$).

در نهایت، تنها تعداد معدودی متوجه می شوند که این حقایق را می توان با هم ترکیب کرد و نتیجه زیر را به دست آورد:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

بنابراین، معادله اصلی ما به صورت زیر بازنویسی می شود:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

اما این در حال حاضر کاملا قابل حل است! در سمت چپ در معادله یک تابع نمایی وجود دارد، در سمت راست در معادله یک تابع نمایی وجود دارد، هیچ چیز دیگری به جز آنها وجود ندارد. بنابراین، می‌توانیم پایه‌ها را «دور» کنیم و شاخص‌ها را احمقانه برابر کنیم:

ما ساده ترین معادله خطی را به دست آورده ایم که هر دانش آموزی می تواند تنها در چند خط آن را حل کند. خوب، در چهار خط:

\[\شروع(تراز)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\پایان (تراز کردن)\]

اگر متوجه نشدید در چهار خط آخر چه اتفاقی می‌افتد، حتماً به موضوع بازگردید. معادلات خطی"و تکرار کن. زیرا بدون درک دقیق از این موضوع، برای شما خیلی زود است که معادلات نمایی را بپذیرید.

\[((9)^(x))=-3\]

پس چگونه می توانیم این را حل کنیم؟ فکر اول: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$، بنابراین معادله اصلی را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[((\left(((3)^(2)) \راست))^(x))=-3\]

سپس به یاد می آوریم که هنگام افزایش توان به توان، توان ها ضرب می شوند:

\[((\left(((3)^(2)) \راست))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end (align)\]

و برای چنین تصمیمی ما دو نفر را که واقعاً شایسته است دریافت خواهیم کرد. زیرا، با یک پوکمون، علامت منفی را در جلوی سه به توان این سه فرستادیم. اما شما نمی توانید این کار را انجام دهید. و به همین دلیل. به قدرت های مختلف سه نگاهی بیندازید:

\[\begin(ماتریس) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(ماتریس)\]

هنگام جمع آوری این لوح، من تا حد امکان منحرف نشدم: درجات مثبت و منفی و حتی کسری را در نظر گرفتم ... خوب، حداقل یک کجا وجود دارد. یک عدد منفی? او رفته است! و نمی تواند باشد، زیرا تابع نمایی $y=((a)^(x))$، اولا، همیشه فقط می گیرد ارزش های مثبت(هرچقدر هم که یک را ضرب یا بر دو تقسیم کنید، باز هم یک عدد مثبت خواهد بود) و ثانیاً پایه چنین تابعی - عدد $a$ - طبق تعریف یک عدد مثبت است!

خوب، پس چگونه معادله $((9)^(x))=-3$ را حل کنیم؟ اما به هیچ وجه: هیچ ریشه ای وجود ندارد. و از این نظر، معادلات نمایی بسیار شبیه معادلات درجه دوم هستند - همچنین ممکن است هیچ ریشه ای وجود نداشته باشد. اما اگر در معادلات درجه دومتعداد ریشه ها توسط ممیز تعیین می شود (ممیز مثبت - 2 ریشه ، منفی - بدون ریشه) ، سپس در نمایی همه چیز به آنچه در سمت راست علامت مساوی است بستگی دارد.

بنابراین، اجازه دهید نتیجه کلیدی را فرموله کنیم: ساده ترین معادله نمایی به شکل $((a)^(x))=b$ ریشه دارد اگر و فقط اگر $b>0$ باشد. با دانستن این واقعیت ساده می توانید به راحتی تشخیص دهید که آیا معادله ای که به شما پیشنهاد می شود ریشه دارد یا خیر. آن ها آیا اصلاً ارزش دارد که آن را حل کنید یا بلافاصله بنویسید که هیچ ریشه ای وجود ندارد.

این دانش در مواقعی که مجبوریم مشکلات پیچیده تری را حل کنیم به ما کمک می کند. در حال حاضر، اشعار کافی است - زمان مطالعه الگوریتم اصلی برای حل معادلات نمایی است.

چگونه معادلات نمایی را حل کنیم

بنابراین، اجازه دهید مشکل را فرموله کنیم. حل معادله نمایی ضروری است:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

با توجه به الگوریتم "ساده لوح" که قبلا استفاده کردیم، لازم است عدد $b$ را به عنوان توان عدد $a$ نشان دهیم:

علاوه بر این، اگر به جای متغیر $x$ هر عبارتی وجود داشته باشد، معادله جدیدی دریافت خواهیم کرد که از قبل قابل حل است. مثلا:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\پیکان راست ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\پیکان راست ((5)^(2x))=((5)^(3))\راست فلش 2x=3\ فلش راست x=\frac(3)( 2). \\\پایان (تراز کردن)\]

و به اندازه کافی عجیب، این طرح در حدود 90٪ موارد کار می کند. پس در مورد 10٪ باقی مانده چطور؟ 10٪ باقیمانده معادلات نمایی کمی "اسکیزوفرنیک" هستند به شکل:

\[((2)^(x))=3;\چهار ((5)^(x))=15;\چهار ((4)^(2x))=11\]

خوب، برای به دست آوردن 3، به چه قدرتی نیاز دارید تا 2 را افزایش دهید؟ اولین؟ اما خیر: $((2)^(1))=2$ کافی نیست. دومین؟ نه: $((2)^(2))=4$ خیلی زیاد است. اونوقت کدوم؟

دانش آموزان آگاه احتمالاً قبلاً حدس زده اند: در چنین مواردی، هنگامی که نمی توان آن را "به زیبایی" حل کرد، "توپخانه سنگین" - لگاریتم - وارد بازی می شود. اجازه دهید یادآوری کنم که با استفاده از لگاریتم، هر عدد مثبت را می توان به عنوان توان هر عدد مثبت دیگری (به جز یک) نشان داد:

این فرمول را به خاطر دارید؟ وقتی به دانش‌آموزانم در مورد لگاریتم می‌گویم، همیشه هشدار می‌دهم: این فرمول (که هویت اصلی لگاریتمی یا اگر دوست داشته باشید، تعریف لگاریتم است) برای مدت طولانی شما را آزار می‌دهد و در بیشتر موارد «پاپ می‌شود». مکان های غیر منتظره خوب، او ظاهر شد. بیایید به معادله و این فرمول نگاه کنیم:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end (تراز کردن) \]

اگر فرض کنیم که $a=3$ عدد اصلی ما در سمت راست است، و $b=2$ همان پایه تابع نمایی است که می‌خواهیم سمت راست را به آن کاهش دهیم، به شکل زیر می‌گیریم:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^((\log )_(2))3 ))) \\& ((2)^(x))=3\پیکان راست ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\ فلش راست x=( (\log )_(2))3. \\\پایان (تراز کردن)\]

ما یک پاسخ کمی عجیب دریافت کردیم: $x=((\log )_(2))3$. در یک کار دیگر، بسیاری با چنین پاسخی شک می‌کنند و شروع به بررسی مجدد راه‌حل خود می‌کنند: اگر خطایی در جایی رخ می‌داد چه می‌شد؟ من عجله دارم که شما را خوشحال کنم: در اینجا هیچ خطایی وجود ندارد و لگاریتم در ریشه معادلات نمایی یک وضعیت کاملاً معمولی است. بنابراین بهش عادت کن. :)

حال بیایید دو معادله باقیمانده را با قیاس حل کنیم:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\پیکان راست ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\پیکان راست 2x=( (\log )_(4))11\فلش راست x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\پایان (تراز کردن)\]

همین! به هر حال، پاسخ آخر را می توان متفاوت نوشت:

ما یک ضریب به آرگومان لگاریتم معرفی کردیم. اما هیچ کس ما را از اضافه کردن این فاکتور به پایه باز نمی دارد:

علاوه بر این، هر سه گزینه صحیح هستند - ساده است اشکال مختلفسوابق به همین تعداد اینکه کدام یک را انتخاب کنید و در این راه حل بنویسید به شما بستگی دارد که تصمیم بگیرید.

بنابراین، ما یاد گرفته‌ایم که معادلات نمایی به شکل $((a)^(x))=b$ را حل کنیم، جایی که اعداد $a$ و $b$ کاملا مثبت هستند. با این حال واقعیت تلخدنیای ما به گونه ای است که مشابه است کارهای سادهخیلی خیلی به ندرت ملاقات خواهید کرد. اغلب اوقات با چیزی شبیه به این روبرو می شوید:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\پایان (تراز کردن)\]

پس چگونه می توانیم این را حل کنیم؟ اصلا میشه اینو حل کرد؟ و اگر چنین است، چگونه؟

وحشت نکنید. همه این معادلات به سرعت و به راحتی به فرمول های ساده ای که قبلاً در نظر گرفته ایم کاهش می یابد. فقط باید چند ترفند از درس جبر را به خاطر بسپارید. و البته هیچ قانونی برای کار با مدرک وجود ندارد. الان همه اینا رو بهت میگم :)

تبدیل معادلات نمایی

اولین چیزی که باید به خاطر بسپارید: هر معادله نمایی، مهم نیست چقدر پیچیده باشد، باید به یک روش به ساده ترین معادلات تقلیل داد - معادلاتی که قبلاً در نظر گرفته ایم و می دانیم چگونه حل کنیم. به عبارت دیگر، طرح حل هر معادله نمایی به صورت زیر است:

1. معادله اصلی را بنویسید. به عنوان مثال: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. یه کار عجیب و غریب انجام بده یا حتی برخی از مزخرفات به نام "تبدیل یک معادله";
3. در خروجی، ساده ترین عبارات فرم $((4)^(x))=4$ یا چیزی شبیه به آن را دریافت کنید. علاوه بر این، یک معادله اولیه می تواند چندین عبارت از این قبیل را در یک زمان ارائه دهد.

با اولین نکته همه چیز مشخص است - حتی گربه من می تواند معادله را روی یک تکه کاغذ بنویسد. نکته سوم نیز کم و بیش روشن به نظر می رسد - ما قبلاً یک دسته کامل از این معادلات را در بالا حل کرده ایم.

اما نکته دوم چطور؟ چه نوع تحولاتی؟ چه چیزی را به چه چیزی تبدیل کنید؟ و چطور؟

خب بیایید بفهمیم قبل از هر چیز به موارد زیر اشاره می کنم. تمام معادلات نمایی به دو نوع تقسیم می شوند:

1. معادله از توابع نمایی با پایه یکسان تشکیل شده است. مثال: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. فرمول شامل توابع نمایی با پایه های مختلف است. مثال‌ها: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ و $((100)^(x-1) )\cdot ((2،7)^(1-x))=0.09$.

بیایید با معادلات نوع اول شروع کنیم - آنها ساده ترین حل هستند. و در حل آنها از تکنیکی مانند برجسته کردن عبارات پایدار کمک خواهیم کرد.

جداسازی یک بیان پایدار

بیایید دوباره به این معادله نگاه کنیم:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

ما چه می بینیم؟ این چهار به درجات مختلف ارتقا یافته اند. اما تمام این توان ها حاصل جمع ساده متغیر $x$ با اعداد دیگر هستند. بنابراین، لازم است قوانین کار با مدرک را به خاطر بسپارید:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac((((a)^(x)))((a )^(y))). \\\پایان (تراز کردن)\]

به بیان ساده، جمع را می توان به حاصل ضرب توان ها تبدیل کرد و تفریق را می توان به راحتی به تقسیم تبدیل کرد. بیایید سعی کنیم این فرمول ها را به درجات معادله خود اعمال کنیم:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\پایان (تراز کردن)\]

بیایید با در نظر گرفتن این واقعیت، معادله اصلی را بازنویسی کنیم و سپس تمام عبارات سمت چپ را جمع آوری کنیم:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -یازده \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\پایان (تراز کردن)\]

چهار عبارت اول حاوی عنصر $((4)^(x))$ هستند - بیایید آن را از براکت خارج کنیم:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \راست)=-11. \\\پایان (تراز کردن)\]

باقی مانده است که هر دو طرف معادله را بر کسری $-\frac(11)(4)$ تقسیم کنیم، یعنی. اساساً در کسر معکوس ضرب کنید - $-\frac(4)(11)$. ما گرفتیم:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\پایان (تراز کردن)\]

همین! معادله اصلی را به ساده ترین شکل آن تقلیل داده ایم و پاسخ نهایی را به دست آورده ایم.

در همان زمان، در فرآیند حل ما فاکتور مشترک $((4)^(x))$ را کشف کردیم (و حتی آن را از براکت خارج کردیم) - این یک عبارت پایدار است. می توان آن را به عنوان یک متغیر جدید تعیین کرد یا به سادگی می توانید آن را با دقت بیان کنید و پاسخ را دریافت کنید. در هر صورت، اصل کلیدی راه حل به شرح زیر است:

در معادله اصلی یک عبارت پایدار حاوی متغیری پیدا کنید که به راحتی از همه توابع نمایی متمایز شود.

خبر خوب این است که تقریباً هر معادله نمایی به شما امکان می دهد چنین عبارت پایداری را جدا کنید.

اما خبر بد این است که این عبارات می توانند بسیار مشکل باشند و شناسایی آنها بسیار دشوار است. پس بیایید یک مشکل دیگر را بررسی کنیم:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

شاید کسی اکنون این سؤال را داشته باشد: «پاشا، سنگسار شدی؟ در اینجا پایه های مختلفی وجود دارد - 5 و 0.2. اما بیایید سعی کنیم پاور را به پایه 0.2 تبدیل کنیم. برای مثال، بیایید با کاهش کسر اعشاری به یک عدد معمولی، از شر آن خلاص شویم:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \راست)))=((\left(\frac(2)(10 ) \راست))^(-\چپ(x+1 \راست)))=((\چپ(\frac(1)(5) \راست))^(-\چپ(x+1 \راست)) )\]

همانطور که می بینید، عدد 5 هنوز ظاهر می شود، البته در مخرج. در همان زمان اندیکاتور به صورت منفی بازنویسی شد. و حالا یکی از آنها را به یاد بیاوریم مهمترین قوانینکار با مدرک:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\راست فلش ((\left(\frac(1)(5) \راست))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

اینجا البته کمی دروغ می گفتم. زیرا برای درک کامل، فرمول خلاصی از شاخص های منفی باید به این صورت نوشته می شد:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \راست))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ راست))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

از سوی دیگر، هیچ چیز ما را از کار با کسرها منع نمی کرد:

\[((\left(\frac(1)(5) \راست))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ راست))^(-\چپ(x+1 \راست)))=((5)^(\چپ(-1 \راست)\cdot \چپ(-\چپ(x+1 \راست) \راست) ))=((5)^(x+1))\]

اما در این مورد، شما باید بتوانید یک توان را به توان دیگری برسانید (به شما یادآوری می کنم: در این حالت، شاخص ها با هم جمع می شوند). اما من مجبور نبودم کسرها را "معکوس" کنم - شاید این برای برخی آسان تر باشد. :)

در هر صورت، معادله نمایی اصلی به صورت زیر بازنویسی می شود:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\پایان (تراز کردن)\]

بنابراین معلوم می شود که معادله اصلی را می توان حتی ساده تر از آنچه قبلاً در نظر گرفته شد حل کرد: در اینجا شما حتی نیازی به انتخاب یک عبارت پایدار ندارید - همه چیز به خودی خود کاهش یافته است. فقط باید به یاد داشته باشیم که $1=((5)^(0))$، که از آن دریافت می کنیم:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\پایان (تراز کردن)\]

راه حل همینه! ما پاسخ نهایی را دریافت کردیم: $x=-2$. در عین حال، من می خواهم به یک تکنیک توجه کنم که تمام محاسبات را برای ما بسیار ساده کرد:

در معادلات نمایی حتما خلاص شوید اعداد اعشاری، آنها را به معمولی تبدیل کنید. این به شما امکان می دهد پایه های یکسانی را ببینید و راه حل را تا حد زیادی ساده کنید.

بیایید اکنون به ادامه مطلب برویم معادلات پیچیده، که در آن پایه های مختلفی وجود دارد که با استفاده از درجه به هیچ وجه قابل تقلیل به یکدیگر نیستند.

استفاده از ویژگی Degrees

اجازه دهید به شما یادآوری کنم که ما دو معادله سخت تر داریم:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\پایان (تراز کردن)\]

مشکل اصلی اینجاست که معلوم نیست چه چیزی و بر چه اساسی باید داد. عبارات پایدار کجا هستند؟ همین زمینه ها کجاست؟ هیچ کدام از اینها وجود ندارد.

اما بیایید سعی کنیم راه دیگری را طی کنیم. اگر آماده نیست زمینه های یکسان، می توانید با فاکتورگیری پایه های موجود سعی کنید آنها را بیابید.

بیایید با معادله اول شروع کنیم:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\پیکان راست ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \راست))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\پایان (تراز کردن)\]

اما می توانید برعکس انجام دهید - عدد 21 را از اعداد 7 و 3 بسازید. انجام این کار به خصوص در سمت چپ آسان است، زیرا شاخص های هر دو درجه یکسان است:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\پایان (تراز کردن)\]

همین! شما توان را خارج از حاصلضرب گرفتید و بلافاصله معادله زیبایی به دست آوردید که در چند خط قابل حل است.

حال بیایید به معادله دوم نگاه کنیم. همه چیز در اینجا بسیار پیچیده تر است:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \راست))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

در این مورد، کسرها غیر قابل کاهش هستند، اما اگر چیزی قابل کاهش است، حتما آن را کاهش دهید. اغلب، دلایل جالبی ظاهر می شود که می توانید با آنها کار کنید.

متاسفانه چیز خاصی برای ما ظاهر نشد. اما می بینیم که توان های سمت چپ در حاصلضرب مخالف هستند:

اجازه دهید یادآوری کنم: برای خلاص شدن از شر علامت منفی در نشانگر، فقط باید کسری را "برگردانید". خوب، بیایید معادله اصلی را بازنویسی کنیم:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \راست))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\پایان (تراز کردن)\]

در خط دوم ما به سادگی انجام شد شاخص کلیاز محصول خارج از پرانتز طبق قانون $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x)) $، و در دومی به سادگی عدد 100 را در کسری ضرب کنید.

حالا توجه داشته باشید که اعداد سمت چپ (در پایه) و سمت راست تا حدودی شبیه هم هستند. چگونه؟ بله، واضح است: آنها قدرت های یکسانی هستند! ما داریم:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \راست))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \راست))^(2)). \\\پایان (تراز کردن)\]

بنابراین، معادله ما به صورت زیر بازنویسی می شود:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \راست))^(3)) \راست))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10)\راست))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \راست))^(3)) \راست))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \راست))^(3\چپ(x-1 \راست)))=((\left(\frac(10)(3) \راست))^(3x-3))\]

در این حالت ، در سمت راست نیز می توانید مدرکی با همان پایه دریافت کنید ، که برای آن کافی است به سادگی کسری را "برگردانید".

\[((\left(\frac(3)(10) \راست))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \راست))^(-2))\]

معادله ما در نهایت به شکل زیر در می آید:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \راست)) ^(-2))؛ \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\پایان (تراز کردن)\]

راه حل همین است. ایده اصلی او به این خلاصه می شود که حتی با پایه های مختلف ما سعی می کنیم، با قلاب یا کلاهبرداری، این پایه ها را به یک چیز کاهش دهیم. دگرگونی های اولیه معادلات و قوانین کار با قدرت ها به ما در این امر کمک می کند.

اما چه قوانینی و چه زمانی استفاده کنیم؟ چگونه متوجه می شوید که در یک معادله باید هر دو طرف را بر چیزی تقسیم کنید و در معادله دیگر باید پایه تابع نمایی را فاکتور بگیرید؟

پاسخ این سوال با تجربه خواهد آمد. ابتدا دست خود را امتحان کنید معادلات سادهو سپس به تدریج کارها را پیچیده کنید - و خیلی زود مهارت های شما برای حل هر معادله نمایی از همان آزمون دولتی واحد یا هر کار مستقل/آزمایشی کافی خواهد بود.

و برای کمک به شما در این امر دشوار، پیشنهاد می کنم مجموعه ای از معادلات را دانلود کنید تصمیم مستقل. همه معادلات پاسخ دارند، بنابراین شما همیشه می توانید خود را آزمایش کنید.