رابطه سینوس و مماس. فرمول های اصلی مثلثات

یکی از حوزه‌های ریاضی که دانش‌آموزان بیشتر با آن درگیر هستند، مثلثات است. جای تعجب نیست: برای تسلط آزادانه بر این حوزه دانش، به تفکر فضایی، توانایی یافتن سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها، کوتانژانت ها با استفاده از فرمول ها، ساده سازی عبارات، و توانایی استفاده از عدد پی در آن نیاز دارید. محاسبات علاوه بر این، شما باید بتوانید هنگام اثبات قضایا از مثلثات استفاده کنید و این نیاز به یک حافظه ریاضی توسعه یافته یا توانایی استخراج زنجیره های منطقی پیچیده دارد.

خاستگاه مثلثات

آشنایی با این علم باید با تعریف سینوس، کسینوس و مماس زاویه شروع شود، اما ابتدا باید بدانید که مثلثات به طور کلی چه می کند.

از نظر تاریخی، موضوع اصلی مطالعه در این شاخه از علوم ریاضی، مثلث های قائم الزاویه بود. وجود زاویه 90 درجه امکان انجام عملیات مختلفی را فراهم می کند که به فرد امکان می دهد مقادیر تمام پارامترهای شکل مورد نظر را با استفاده از دو ضلع و یک زاویه یا دو زاویه و یک ضلع تعیین کند. در گذشته، مردم متوجه این الگو شدند و شروع به استفاده فعال از آن در ساخت ساختمان ها، ناوبری، نجوم و حتی در هنر کردند.

مرحله اول

در ابتدا، مردم در مورد رابطه بین زاویه ها و اضلاع به طور انحصاری با استفاده از مثال مثلث قائم الزاویه صحبت می کردند. سپس فرمول های خاصی کشف شد که امکان گسترش مرزهای استفاده را در آن فراهم می کرد زندگی روزمرهاین شاخه از ریاضیات

امروزه مطالعه مثلثات در مدرسه با مثلث های قائم الزاویه آغاز می شود و پس از آن دانش آموزان از دانش کسب شده در فیزیک و حل مسائل انتزاعی استفاده می کنند. معادلات مثلثاتی، کاری که با آن از دبیرستان شروع می شود.

مثلثات کروی

بعدها، زمانی که علم به سطح بعدی توسعه رسید، فرمول‌هایی با سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت در هندسه کروی مورد استفاده قرار گرفتند، جایی که قوانین متفاوتی اعمال می‌شود و مجموع زوایای یک مثلث همیشه بیش از 180 درجه است. این بخش در مدرسه مورد مطالعه قرار نمی گیرد، اما لازم است حداقل به دلیل وجود آن بدانیم سطح زمینو سطح هر سیاره دیگری محدب است، به این معنی که هر علامت سطحی در فضای سه بعدی "قوسی شکل" خواهد بود.

کره و نخ را بگیرید. نخ را به هر دو نقطه از کره زمین وصل کنید تا محکم شود. لطفا توجه داشته باشید - شکل یک قوس به خود گرفته است. هندسه کروی به این گونه اشکال می پردازد که در ژئودزی، نجوم و سایر زمینه های نظری و کاربردی استفاده می شود.

راست گوشه

پس از یادگیری کمی در مورد روش های استفاده از مثلثات، بیایید به مثلثات پایه برگردیم تا بیشتر بفهمیم که سینوس، کسینوس، مماس چیست، چه محاسباتی را می توان با کمک آنها انجام داد و از چه فرمول هایی استفاده کرد.

اولین قدم درک مفاهیم مربوط به مثلث قائم الزاویه است. اولاً، هیپوتنوز ضلع مقابل زاویه 90 درجه است. طولانی ترین است. به یاد داریم که طبق قضیه فیثاغورث، مقدار عددی آن برابر است با ریشه مجموع مربع های دو ضلع دیگر.

به عنوان مثال، اگر دو ضلع به ترتیب 3 و 4 سانتی متر باشند، طول هیپوتونوس 5 سانتی متر خواهد بود. به هر حال، مصریان باستان در مورد این موضوع حدود چهار و نیم هزار سال پیش می دانستند.

دو ضلع باقی مانده که یک زاویه قائمه تشکیل می دهند، پا نامیده می شوند. علاوه بر این، باید به یاد داشته باشیم که مجموع زوایای یک مثلث در یک سیستم مختصات مستطیلی برابر با 180 درجه است.

تعریف

در نهایت، با درک دقیق مبانی هندسی، می توان به تعریف سینوس، کسینوس و مماس زاویه روی آورد.

سینوس یک زاویه نسبت است پای مخالف(یعنی طرف مقابل زاویه مورد نظر) به هیپوتانوز. کسینوس یک زاویه نسبت است پای مجاوربه هیپوتانوز.

به یاد داشته باشید که نه سینوس و نه کسینوس نمی توانند بزرگتر از یک باشند! چرا؟ چون هیپوتنوز به طور پیش‌فرض طولانی‌ترین است، مهم نیست پا چقدر طولانی باشد، کوتاه‌تر از هیپوتانوز خواهد بود، یعنی نسبت آنها همیشه خواهد بود. کمتر از یک. بنابراین، اگر در پاسخ به یک مسئله، سینوس یا کسینوس با مقدار بیشتر از 1 دریافت کردید، به دنبال خطا در محاسبات یا استدلال بگردید. این پاسخ به وضوح نادرست است.

در نهایت، مماس یک زاویه، نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور است. تقسیم سینوس بر کسینوس همین نتیجه را خواهد داشت. نگاه کنید: طبق فرمول، طول ضلع را بر هیپوتانوز تقسیم می کنیم، سپس بر طول ضلع دوم تقسیم می کنیم و در هیپوتانوز ضرب می کنیم. بنابراین، ما همان رابطه ای را به دست می آوریم که در تعریف مماس وجود دارد.

بر این اساس، کتانژانت، نسبت ضلع مجاور گوشه به طرف مقابل است. با تقسیم یک بر مماس به همین نتیجه می رسیم.

بنابراین، ما به تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت نگاه کردیم و می‌توانیم به فرمول‌ها برویم.

ساده ترین فرمول ها

در مثلثات نمی توانید بدون فرمول انجام دهید - چگونه سینوس، کسینوس، مماس، کوتانژانت را بدون آنها پیدا کنید؟ اما این دقیقاً همان چیزی است که هنگام حل مشکلات مورد نیاز است.

اولین فرمولی که هنگام شروع مطالعه مثلثات باید بدانید می گوید که مجموع مجذورات سینوس و کسینوس یک زاویه برابر با یک است. این فرمول نتیجه مستقیم قضیه فیثاغورث است، اما اگر بخواهید اندازه زاویه را به جای ضلع بدانید، در زمان صرفه جویی می کند.

بسیاری از دانش آموزان نمی توانند فرمول دوم را به خاطر بسپارند، که در حل مسائل مدرسه نیز بسیار محبوب است: مجموع یک و مجذور مماس یک زاویه برابر است با یک تقسیم بر مجذور کسینوس زاویه. به دقت نگاه کنید: این همان عبارتی است که در فرمول اول وجود داشت، فقط هر دو طرف هویت با مربع کسینوس تقسیم شدند. به نظر می رسد که یک عملیات ساده ریاضی فرمول مثلثاتی را کاملاً غیرقابل تشخیص می کند. به یاد داشته باشید: با دانستن اینکه سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت چیست، قوانین تبدیل و چندین فرمول اساسی، می توانید در هر زمان به طور مستقل مقدار بیشتری را استخراج کنید. فرمول های پیچیدهروی یک تکه کاغذ

فرمول های زوایای دوتایی و جمع آرگومان ها

دو فرمول دیگر که باید یاد بگیرید مربوط به مقادیر سینوس و کسینوس برای مجموع و تفاضل زوایا است. در شکل زیر ارائه شده اند. لطفا توجه داشته باشید که در حالت اول سینوس و کسینوس هر دو ضرب می شوند و در حالت دوم حاصل ضرب زوجی سینوس و کسینوس اضافه می شود.

همچنین فرمول های مرتبط با آرگومان های دو زاویه ای وجود دارد. آنها کاملاً از موارد قبلی مشتق شده اند - به عنوان یک تمرین، سعی کنید خودتان با گرفتن زاویه آلفا برابر با زاویه بتا آنها را بدست آورید.

در نهایت، توجه داشته باشید که فرمول‌های دو زاویه را می‌توان برای کاهش توان سینوس، کسینوس، آلفای مماس مجدداً مرتب کرد.

قضایا

دو قضیه اصلی در مثلثات پایه، قضیه سینوسی و قضیه کسینوس هستند. با کمک این قضایا می توانید به راحتی بفهمید که چگونه سینوس، کسینوس و مماس و در نتیجه مساحت شکل و اندازه هر ضلع و غیره را پیدا کنید.

قضیه سینوس بیان می کند که تقسیم طول هر ضلع یک مثلث بر زاویه مقابل به همان عدد منجر می شود. علاوه بر این، این عدد برابر است با دو شعاع دایره محدود، یعنی دایره ای که تمام نقاط یک مثلث معین را در بر می گیرد.

قضیه کسینوس قضیه فیثاغورث را تعمیم می دهد و آن را بر هر مثلثی نمایش می دهد. معلوم می شود که از مجموع مربع های دو ضلع، حاصل ضرب آنها در کسینوس دو زاویه مجاور را کم کنید - مقدار حاصل برابر با مربع ضلع سوم خواهد بود. بنابراین، قضیه فیثاغورث یک مورد خاص از قضیه کسینوس است.

اشتباهات بی دقت

حتی با دانستن اینکه سینوس، کسینوس و مماس چیست، به راحتی می توان به دلیل غیبت یا اشتباه در ساده ترین محاسبات اشتباه کرد. برای جلوگیری از چنین اشتباهاتی، بیایید نگاهی به محبوب ترین آنها بیندازیم.

اولاً، تا زمانی که به نتیجه نهایی نرسیده اید، نباید کسرها را به اعشار تبدیل کنید - می توانید پاسخ را به این صورت بگذارید. کسر مشترک، مگر اینکه در شرایط به نحو دیگری ذکر شده باشد. چنین تحولی را نمی توان اشتباه نامید، اما باید به خاطر داشت که در هر مرحله از مشکل ممکن است ریشه های جدیدی ظاهر شود که طبق ایده نویسنده باید کاهش یابد. در این صورت وقت خود را صرف عملیات ریاضی غیرضروری خواهید کرد. این به ویژه برای مقادیری مانند ریشه سه یا ریشه دو صادق است، زیرا در هر مرحله در مشکلات یافت می شوند. همین امر در مورد گرد کردن اعداد "زشت" نیز صدق می کند.

علاوه بر این، توجه داشته باشید که قضیه کسینوس برای هر مثلثی اعمال می شود، اما قضیه فیثاغورث نیست! اگر به اشتباه فراموش کنید که دو برابر حاصل ضرب اضلاع در کسینوس زاویه بین آنها را کم کنید، نه تنها نتیجه کاملاً اشتباهی خواهید گرفت، بلکه عدم درک کامل موضوع را نیز نشان خواهید داد. این بدتر از یک اشتباه بی دقت است.

ثالثاً، مقادیر زوایای 30 و 60 درجه را برای سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها، کوتانژانت ها اشتباه نگیرید. این مقادیر را به خاطر بسپارید، زیرا سینوس 30 درجه برابر است با کسینوس 60 و بالعکس. به راحتی می توان آنها را گیج کرد، در نتیجه به ناچار نتیجه اشتباهی خواهید گرفت.

کاربرد

بسیاری از دانش آموزان عجله ای برای شروع مطالعه مثلثات ندارند زیرا معنای عملی آن را درک نمی کنند. سینوس، کسینوس، مماس برای یک مهندس یا ستاره شناس چیست؟ اینها مفاهیمی هستند که با آنها می توانید فاصله ستاره های دور را محاسبه کنید، سقوط یک شهاب سنگ را پیش بینی کنید یا یک کاوشگر تحقیقاتی را به سیاره دیگری بفرستید. بدون آنها، ساختن یک ساختمان، طراحی یک ماشین، محاسبه بار روی یک سطح یا مسیر حرکت یک جسم غیرممکن است. و اینها تنها بارزترین نمونه ها هستند! از این گذشته، مثلثات به یک شکل در همه جا استفاده می شود، از موسیقی گرفته تا پزشکی.

سرانجام

بنابراین شما سینوس، کسینوس، مماس هستید. می توانید از آنها در محاسبات استفاده کنید و مشکلات مدرسه را با موفقیت حل کنید.

کل نکته مثلثات به این واقعیت مربوط می شود که با استفاده از پارامترهای شناخته شده یک مثلث باید مجهولات را محاسبه کنید. در مجموع شش پارامتر وجود دارد: طول سه ضلع و اندازه سه گوشه. تنها تفاوت در وظایف در این واقعیت نهفته است که داده های ورودی مختلف داده می شود.

اکنون می دانید که چگونه سینوس، کسینوس، مماس را بر اساس طول شناخته شده پاها یا هیپوتنوز پیدا کنید. از آنجایی که این عبارات به معنای چیزی بیش از یک نسبت نیستند، و یک نسبت یک کسری است، هدف اصلیمسئله مثلثاتی پیدا کردن ریشه می شود معادله معمولییا سیستم معادلات و در اینجا ریاضیات عادی مدرسه به شما کمک می کند.

- مطمئناً وظایفی در مورد مثلثات وجود خواهد داشت. مثلثات معمولاً به دلیل نیاز به جمع کردن تعداد زیادی فرمول دشوار، مملو از سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها و کوتانژانت ها مورد علاقه نیست. این سایت قبلاً با استفاده از مثال فرمول های اویلر و پیل توصیه هایی در مورد نحوه به خاطر سپردن فرمول فراموش شده ارائه کرده است.

و در این مقاله سعی خواهیم کرد نشان دهیم که کافی است به طور قاطع فقط پنج ساده را بدانید فرمول های مثلثاتی، و در مورد بقیه دارند ایده کلیو در حین رفتن آنها را بیرون بیاورید. مانند DNA است: مولکول نقشه های کامل یک موجود زنده را ذخیره نمی کند. بلکه حاوی دستورالعمل هایی برای مونتاژ آن از اسیدهای آمینه موجود است. بنابراین در مثلثات، دانستن برخی اصول کلی، تمام فرمول های لازم را از مجموعه کوچکی از مواردی که باید در نظر داشته باشید به دست خواهیم آورد.

ما بر فرمول های زیر تکیه خواهیم کرد:

از فرمول‌های مجموع سینوس و کسینوس، با دانستن برابری تابع کسینوس و عجیب بودن تابع سینوس، با جایگزینی -b به جای b، فرمول‌هایی را برای تفاوت‌ها به دست می‌آوریم:

1. دلیل تفاوت: گناه(الف-ب) = گناهآcos(-ب)+cosآگناه(-ب) = گناهآcosب-cosآگناهب
2. کسینوس تفاوت: cos(الف-ب) = cosآcos(-ب)-گناهآگناه(-ب) = cosآcosب+گناهآگناهب

با قرار دادن a = b در فرمول های مشابه، فرمول های سینوس و کسینوس زاویه های دوتایی را به دست می آوریم:

1. سینوس زاویه دوتایی: گناه2a = گناه(a+a) = گناهآcosآ+cosآگناهآ = 2گناهآcosآ
2. کسینوس زاویه دوتایی: cos2a = cos(a+a) = cosآcosآ-گناهآگناهآ = cos2 الف-گناه2 الف

فرمول زوایای چندگانه دیگر نیز به همین صورت به دست می آید:

1. سینوس زاویه سه گانه: گناه3a = گناه(2a+a) = گناه2acosآ+cos2aگناهآ = (2گناهآcosآ)cosآ+(cos2 الف-گناه2 الف)گناهآ = 2گناهآcos2 الف+گناهآcos2 الف-گناه 3 a = 3 گناهآcos2 الف-گناه 3 a = 3 گناهآ(1-گناه2 الف)-گناه 3 a = 3 گناهآ-4گناه 3a
2. کسینوس زاویه سه گانه: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosآ-گناه2aگناهآ = (cos2 الف-گناه2 الف)cosآ-(2گناهآcosآ)گناهآ = cos 3 الف- گناه2 الفcosآ-2گناه2 الفcosآ = cos 3 الف-3 گناه2 الفcosآ = cos 3 a-3(1- cos2 الف)cosآ = 4cos 3 الف-3 cosآ

قبل از اینکه به ادامه مطلب بپردازیم، اجازه دهید یک مشکل را بررسی کنیم.
با توجه به: زاویه حاد است.
کسینوس آن را پیدا کنید اگر
راه حل ارائه شده توسط یک دانش آموز:
زیرا ، آن گناهآ= 3، a cosآ = 4.
(از طنز ریاضی)

بنابراین، تعریف مماس این تابع را به سینوس و کسینوس مرتبط می کند. اما می توانید فرمولی بدست آورید که مماس را فقط به کسینوس مرتبط می کند. برای استخراج آن، هویت مثلثاتی اصلی را در نظر می گیریم: گناه 2 آ+cos 2 آ= 1 و تقسیم آن بر cos 2 آ. ما گرفتیم:

بنابراین راه حل این مشکل این خواهد بود:

(از آنجایی که زاویه تند است، هنگام استخراج ریشه علامت + گرفته می شود)

فرمول مماس مجموع فرمول دیگری است که به خاطر سپردن آن دشوار است. بیایید آن را به این صورت خروجی بگیریم:

بلافاصله نمایش داده می شود و

از فرمول کسینوس برای زاویه مضاعف، می توانید فرمول سینوس و کسینوس را برای نیم زاویه به دست آورید. برای انجام این کار، در سمت چپ فرمول کسینوس دو زاویه:
cos2 آ = cos 2 آ-گناه 2 آ
ما یک را اضافه می کنیم، و به سمت راست - یک واحد مثلثاتی، یعنی. مجموع مجذورات سینوس و کسینوس
cos2a+1 = cos2 الف-گناه2 الف+cos2 الف+گناه2 الف
2cos 2 آ = cos2 آ+1
بیان کننده cosآاز طریق cos2 آو با انجام تغییر متغیرها، دریافت می کنیم:

علامت بسته به ربع گرفته می شود.

به همین ترتیب، با کم کردن یک از سمت چپ تساوی و مجموع مجذورات سینوس و کسینوس از سمت راست، به دست می‌آید:
cos2a-1 = cos2 الف-گناه2 الف-cos2 الف-گناه2 الف
2گناه 2 آ = 1-cos2 آ

و در نهایت برای تبدیل مجموع توابع مثلثاتی به حاصل ضرب از تکنیک زیر استفاده می کنیم. فرض کنید باید مجموع سینوس ها را به عنوان یک محصول نمایش دهیم گناهآ+گناهب. بیایید متغیرهای x و y را طوری معرفی کنیم که a = x+y، b+x-y. سپس
گناهآ+گناهب = گناه(x+y)+ گناه(x-y) = گناهایکس cos y+ cosایکس گناه y+ گناهایکس cos y- cosایکس گناه y=2 گناهایکس cos y اکنون x و y را بر حسب a و b بیان می کنیم.

از آنجایی که a = x+y، b = x-y، پس . از همین رو

شما می توانید بلافاصله پس بگیرید

1. فرمول پارتیشن بندی محصولات سینوس و کسینوس V میزان: گناهآcosب = 0.5(گناه(a+b)+گناه(الف-ب))

توصیه می کنیم برای تبدیل تفاضل سینوس ها و مجموع و تفاضل کسینوس ها به حاصل ضرب و همچنین برای تقسیم حاصل از سینوس ها و کسینوس ها به مجموع فرمول هایی را خودتان تمرین و استخراج کنید. با انجام این تمرین ها، مهارت استخراج فرمول های مثلثاتی را کاملاً مسلط خواهید کرد و حتی در سخت ترین آزمون، المپیاد یا تست زنی گم نمی شوید.

هویت های مثلثاتی- اینها تساوی هایی هستند که بین سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه رابطه برقرار می کنند، که به شما امکان می دهد هر یک از این توابع را پیدا کنید، مشروط بر اینکه هر یک دیگر مشخص باشد.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)، \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

این هویت می گوید که مجموع مجذور سینوس یک زاویه و مجذور کسینوس یک زاویه برابر با یک است که در عمل محاسبه سینوس یک زاویه را زمانی ممکن می سازد که کسینوس آن مشخص باشد و بالعکس. .

هنگام تبدیل عبارات مثلثاتیاین هویت اغلب استفاده می شود، که به فرد اجازه می دهد مجموع مجذورهای کسینوس و سینوس یک زاویه را با یک جایگزین کند و همچنین عملیات جایگزینی را در به صورت برعکس.

یافتن مماس و کتانژانت با استفاده از سینوس و کسینوس

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)،\enspace

این هویت ها از تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت شکل می گیرند. به هر حال، اگر به آن نگاه کنید، بنا به تعریف، مختص y یک سینوس است، و آبسیسا x یک کسینوس است. سپس مماس برابر با نسبت خواهد بود \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)، و نسبت \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- یک کوتانژانت خواهد بود.

بیایید اضافه کنیم که فقط برای چنین زوایایی \آلفا که توابع مثلثاتی موجود در آنها معنی دارند، هویت ها پابرجا خواهند بود. ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

مثلا: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)برای زوایای \alpha که متفاوت از \frac(\pi)(2)+\pi z، آ ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- برای یک زاویه \alpha غیر از \pi z، z یک عدد صحیح است.

رابطه مماس و کوتانژانت

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

این هویت فقط برای زوایای \alpha معتبر است که متفاوت از \frac(\pi)(2) z. در غیر این صورت کوتانژانت یا مماس مشخص نمی شود.

با توجه به نکات فوق به این نتیجه می رسیم tg \alpha = \frac(y)(x)، آ ctg \alpha=\frac(x)(y). نتیجه می شود که tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. بنابراین، مماس و کوتانژانت همان زاویه ای که در آن معنا پیدا می کنند، اعداد متقابل معکوس هستند.

روابط بین مماس و کسینوس، کوتانژانت و سینوس

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- مجموع مجذور مماس زاویه \آلفا و 1 برابر است با مجذور معکوس کسینوس این زاویه. این هویت برای همه \alpha غیر از \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- مجموع 1 و مجذور کتانژانت زاویه \آلفا برابر است با مجذور معکوس سینوس زاویه داده شده. این هویت برای هر \alpha متفاوت از \pi z معتبر است.

مثال هایی با راه حل مسائل با استفاده از هویت های مثلثاتی

مثال 1

\sin \alpha و tg \alpha if را پیدا کنید \cos \alpha=-\frac12و \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

نشان دادن راه حل

راه حل

توابع \sin \alpha و \cos \alpha با فرمول مرتبط هستند \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. جایگزینی در این فرمول \cos \alpha = -\frac12، ما گرفتیم:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \راست)^2 = 1

این معادله 2 راه حل دارد:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

با شرط \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . در سه ماهه دوم سینوس مثبت است، بنابراین \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

برای پیدا کردن tan \alpha از فرمول استفاده می کنیم tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2): \frac12 = \sqrt 3

مثال 2

\cos \alpha و ctg \alpha if and را پیدا کنید \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

نشان دادن راه حل

راه حل

جایگزین کردن در فرمول \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1شماره داده شده \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2)، ما گرفتیم \ چپ (\frac(\sqrt3)(2)\راست)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. این معادله دو راه حل دارد \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

با شرط \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . در سه ماهه دوم کسینوس منفی است، بنابراین \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

برای پیدا کردن ctg \alpha از فرمول استفاده می کنیم ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). ما مقادیر مربوطه را می دانیم.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

در این مقاله نگاهی جامع خواهیم داشت. پایه ای هویت های مثلثاتینشان دهنده برابری هایی است که بین سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه ارتباط برقرار می کند و به فرد اجازه می دهد هر یک از این توابع مثلثاتی را از طریق دیگری شناخته شده پیدا کند.

بیایید فوراً هویت های مثلثاتی اصلی را که در این مقاله تحلیل خواهیم کرد، فهرست کنیم. بیایید آنها را در یک جدول یادداشت کنیم و در زیر خروجی این فرمول ها را می دهیم و توضیحات لازم را ارائه می دهیم.

پیمایش صفحه.

رابطه بین سینوس و کسینوس یک زاویه

گاهی اوقات آنها در مورد هویت های مثلثاتی اصلی ذکر شده در جدول بالا صحبت نمی کنند، بلکه در مورد یک تک صحبت می کنند هویت مثلثاتی اولیهنوع . توضیح این واقعیت بسیار ساده است: تساوی ها از هویت مثلثاتی اصلی پس از تقسیم هر دو قسمت آن بر و به ترتیب و و تساوی ها به دست می آیند. و از تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت پیروی کنید. در پاراگراف های بعدی در این مورد با جزئیات بیشتری صحبت خواهیم کرد.

یعنی این برابری است که مورد توجه خاص است که نام هویت مثلثاتی اصلی به آن داده شد.

قبل از اثبات هویت مثلثاتی اصلی، فرمول آن را می‌دهیم: مجموع مجذورات سینوس و کسینوس یک زاویه به طور یکسان برابر با یک است. حالا بیایید ثابت کنیم.

هویت مثلثاتی اساسی اغلب زمانی استفاده می شود که تبدیل عبارات مثلثاتی. این اجازه می دهد تا مجموع مربع های سینوس و کسینوس یک زاویه با یک جایگزین شود. نه کمتر، از هویت مثلثاتی اصلی به ترتیب معکوس استفاده می شود: واحد با مجموع مربع های سینوس و کسینوس هر زاویه جایگزین می شود.

مماس و کتانژانت از طریق سینوس و کسینوس

هویت های اتصال مماس و کتانژانت با سینوس و کسینوس از یک زاویه دید و بلافاصله از تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت پیروی کنید. در واقع، طبق تعریف، سینوس مختص y است، کسینوس ابسیسا x، مماس نسبت مصداق به ابسیسا است، یعنی و کوتانژانت نسبت ابسیسا به مجمل است، یعنی .

به لطف چنین آشکار بودن هویت ها و مماس و کوتانژانت اغلب نه از طریق نسبت ابسیسا و مختصات، بلکه از طریق نسبت سینوس و کسینوس تعریف می شوند. بنابراین مماس یک زاویه نسبت سینوس به کسینوس این زاویه است و کوتانژانت نسبت کسینوس به سینوس است.

در خاتمه این بند لازم به ذکر است که هویت و برای تمام زوایایی که توابع مثلثاتی گنجانده شده در آنها معنا پیدا می کنند، اتفاق می افتد. بنابراین فرمول برای هر , غیر از ( در غیر این صورت مخرج صفر خواهد بود و ما تقسیم بر صفر را تعریف نکردیم ) و فرمول معتبر است - برای همه، متفاوت از، جایی که z هر کدام است.

رابطه مماس و کوتانژانت

یک هویت مثلثاتی آشکارتر از دو مورد قبلی، هویتی است که مماس و کتانژانت یک زاویه از فرم را به هم متصل می کند. . واضح است که برای هر زاویه ای غیر از .

اثبات فرمول بسیار ساده. با تعریف و از کجا . اثبات می توانست کمی متفاوت انجام شود. از آنجا که ، آن .

بنابراین، مماس و کتانژانت همان زاویه ای که در آن معنا پیدا می کنند، هستند.

مثلثات شاخه ای از علوم ریاضی است که به مطالعه توابع مثلثاتی و کاربرد آنها در هندسه می پردازد. توسعه مثلثات در همان روزها آغاز شد یونان باستان. در قرون وسطی، دانشمندان خاورمیانه و هند سهم مهمی در توسعه این علم داشتند.

این مقاله به مفاهیم اساسیو تعاریف مثلثات در مورد تعاریف توابع مثلثاتی اساسی بحث می کند: سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت. معنای آنها در زمینه هندسه توضیح و نشان داده شده است.

Yandex.RTB R-A-339285-1

در ابتدا تعاریف توابع مثلثاتی که استدلال آنها زاویه است بر حسب نسبت اضلاع یک مثلث قائم الزاویه بیان شد.

تعاریف توابع مثلثاتی

سینوس یک زاویه (sin α) نسبت پای مقابل این زاویه به هیپوتنوز است.

کسینوس زاویه (cos α) - نسبت پای مجاور به هیپوتنوز.

مماس زاویه (t g α) - نسبت طرف مقابل به ضلع مجاور.

کوتانژانت زاویه (c t g α) - نسبت ضلع مجاور به طرف مقابل.

این تعاریف برای زاویه حادراست گوشه!

بیایید یک تصویر ارائه دهیم.

در مثلث ABC با زاویه قائمه C، سینوس زاویه A برابر است با نسبت پایه BC به هیپوتنوز AB.

تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت به شما این امکان را می دهد که مقادیر این توابع را با استفاده از طول های شناخته شدهاضلاع مثلث

مهم به یاد داشته باشید!

محدوده مقادیر سینوس و کسینوس از -1 تا 1 است. به عبارت دیگر سینوس و کسینوس مقادیری از -1 تا 1 می گیرند. محدوده مقادیر مماس و کوتانژانت کل خط اعداد است. یعنی این توابع می توانند هر مقداری را بگیرند.

تعاریف ارائه شده در بالا برای زوایای حاد اعمال می شود. در مثلثات مفهوم زاویه چرخش مطرح می شود که مقدار آن بر خلاف زاویه حاد به 0 تا 90 درجه محدود نمی شود.زاویه چرخش بر حسب درجه یا رادیان با هر عدد واقعی از - ∞ تا + ∞ بیان می شود. .

در این زمینه می‌توان سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت را با زاویه‌ای با بزرگی دلخواه تعریف کرد. بیایید تصور کنیم دایره واحددر مبدأ سیستم مختصات دکارتی متمرکز شده است.

نقطه اولیه A با مختصات (1، 0) در اطراف مرکز دایره واحد از یک زاویه a خاص می چرخد ​​و به نقطه A 1 می رود. تعریف بر حسب مختصات نقطه A 1 (x,y) داده شده است.

سینوس (سین) زاویه چرخش

سینوس زاویه چرخش α، مختص نقطه A 1 (x,y) است. sin α = y

کسینوس (cos) زاویه چرخش

کسینوس زاویه چرخش α آبسیسا نقطه A 1 (x,y) است. cos α = x

مماس (tg) زاویه چرخش

مماس زاویه چرخش α نسبت مختصات نقطه A 1 (x, y) به آبسیسا آن است. t g α = y x

کوتانژانت (ctg) زاویه چرخش

کوتانژانت زاویه چرخش α نسبت آبسیسا نقطه A 1 (x, y) به مختصات آن است. c t g α = x y

سینوس و کسینوس برای هر زاویه چرخشی تعریف می شوند. این منطقی است، زیرا ابسیسا و مختصات یک نقطه پس از چرخش را می توان در هر زاویه ای تعیین کرد. وضعیت با مماس و کتانژانت متفاوت است. مماس زمانی تعریف نشده است که یک نقطه پس از چرخش به نقطه ای با آبسیسا صفر (0، 1) و (0، - 1) می رود. در چنین مواردی، بیان مماس t g α = y x به سادگی معنی ندارد، زیرا شامل تقسیم بر صفر است. وضعیت مشابه با کوتانژانت است. با این تفاوت که کوتانژانت در مواردی که رده یک نقطه به صفر می رسد تعریف نمی شود.

مهم به یاد داشته باشید!

سینوس و کسینوس برای هر زاویه α تعریف می شوند.

مماس برای همه زوایا به جز α = 90 درجه + 180 درجه k، k ∈ Z (α = π 2 + π k، k ∈ Z) تعریف می شود.

کوتانژانت برای همه زوایا به جز α = 180 درجه k، k ∈ Z (α = π k، k ∈ Z) تعریف شده است.

هنگام تصمیم گیری نمونه های عملی"سینوس زاویه چرخش α" را نگویید. کلمات "زاویه چرخش" به سادگی حذف شده اند، به این معنی که از قبل از متن آنچه مورد بحث قرار می گیرد، واضح است.

شماره

تعریف سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک عدد و نه زاویه چرخش چیست؟

سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت یک عدد

سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک عدد تیعددی است که به ترتیب برابر با سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت در است تیرادیان

به عنوان مثال، سینوس عدد 10 π برابر با سینوس زاویه چرخش 10 π راد است.

روش دیگری برای تعیین سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک عدد وجود دارد. بیایید نگاهی دقیق تر به آن بیندازیم.

هر عدد واقعی تییک نقطه روی دایره واحد با مرکز در مبدأ سیستم مختصات دکارتی مستطیلی مرتبط است. سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت از طریق مختصات این نقطه تعیین می شوند.

نقطه شروع روی دایره نقطه A با مختصات (1، 0) است.

عدد مثبت تی

عدد منفی تیمربوط به نقطه ای است که نقطه شروع اگر در خلاف جهت عقربه های ساعت به دور دایره حرکت کند و از مسیر t بگذرد، به آن می رسد.

اکنون که ارتباط بین عدد و نقطه روی یک دایره برقرار شد، به سراغ تعریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت می رویم.

سینوس (گناه) از t

سینوس یک عدد تی- ترتیب یک نقطه روی دایره واحد مربوط به عدد تی sin t = y

کسینوس (cos) از t

کسینوس یک عدد تی- آبسیسا نقطه دایره واحد مربوط به عدد تی cos t = x

مماس (tg) t

مماس یک عدد تی- نسبت مختصات به ابسیسا یک نقطه روی دایره واحد مربوط به عدد تی t g t = y x = گناه t cos t

آخرین تعاریف مطابق با تعریف ارائه شده در ابتدای این بند بوده و مغایرتی ندارد. روی دایره مربوط به عدد اشاره کنید تی، منطبق بر نقطه ای است که نقطه شروع پس از چرخش با یک زاویه به آن می رود تیرادیان

توابع مثلثاتی آرگومان زاویه ای و عددی

هر مقدار از زاویه α مربوط به مقدار مشخصی از سینوس و کسینوس این زاویه است. درست مانند تمام زوایای α غیر از α = 90 ° + 180 ° k، k ∈ Z (α = π 2 + π k، k ∈ Z) با مقدار مماس خاصی مطابقت دارد. همانطور که در بالا گفته شد، کوتانژانت برای همه α به جز α = 180 درجه k، k ∈ Z (α = π k، k ∈ Z) تعریف شده است.

می توان گفت sin α، cos α، tg α، c tg α توابعی از زاویه آلفا یا توابعی از آرگومان زاویه ای هستند.

به طور مشابه، ما می توانیم در مورد سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت به عنوان توابعی از یک استدلال عددی صحبت کنیم. هر عدد واقعی تیمربوط به مقدار معینی از سینوس یا کسینوس یک عدد است تی. همه اعداد غیر از π 2 + π · k، k ∈ Z، مربوط به یک مقدار مماس هستند. کتانژانت، به طور مشابه، برای همه اعداد به جز π · k، k ∈ Z تعریف شده است.

توابع اصلی مثلثات

سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت توابع اصلی مثلثاتی هستند.

معمولاً از زمینه مشخص می شود که کدام استدلال تابع مثلثاتی(آگومان زاویه ای یا آرگومان عددی) با آن سروکار داریم.

بیایید به تعاریف ارائه شده در همان ابتدا و زاویه آلفا که در محدوده 0 تا 90 درجه قرار دارد، برگردیم. تعاریف مثلثاتیسینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت کاملاً مطابق هستند تعاریف هندسی، با استفاده از نسبت های یک مثلث قائم الزاویه داده می شود. بیایید آن را نشان دهیم.

بیایید یک دایره واحد با یک مرکز در یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی را در نظر بگیریم. بیایید نقطه شروع A (1, 0) را با زاویه 90 درجه بچرخانیم و از نقطه حاصل A 1 (x, y) عمود بر محور آبسیسا بکشیم. در دریافتی راست گوشهزاویه A 1 O H برابر زاویهچرخش α، طول ساق O H برابر است با آبسیسا نقطه A 1 (x,y). طول پایه مقابل زاویه برابر با مختص نقطه A 1 (x, y) و طول هیپوتانوس برابر با یک است، زیرا شعاع دایره واحد است.

مطابق با تعریف هندسه، سینوس زاویه α برابر است با نسبت طرف مقابل به هیپوتنوز.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

این بدان معنی است که تعیین سینوس یک زاویه حاد در یک مثلث قائم الزاویه از طریق نسبت ابعاد معادل با تعیین سینوس زاویه چرخش α است که آلفا در محدوده 0 تا 90 درجه قرار دارد.

به طور مشابه، مطابقت تعاریف را می توان برای کسینوس، مماس و کوتانژانت نشان داد.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید