حل معادلات مشتق تابع مختلط. نمونه هایی از اعمال فرمول برای مشتق یک تابع مختلط

از زمانی که به اینجا آمدید، احتمالاً قبلاً موفق شده اید این فرمول را در کتاب درسی ببینید

و چهره ای مانند این بسازید:

دوست، نگران نباش! در واقع، همه چیز به سادگی قابل رسوایی است. قطعا همه چیز را خواهید فهمید. فقط یک درخواست - مقاله را بخوانید به آرامیسعی کن هر مرحله رو بفهمی من تا حد امکان ساده و واضح نوشتم، اما شما هنوز باید در این ایده عمیق شوید. و حتماً وظایف را از مقاله حل کنید.

تابع پیچیده چیست؟

تصور کنید که به آپارتمان دیگری نقل مکان می کنید و به همین دلیل وسایل را در جعبه های بزرگ بسته بندی می کنید. اجازه دهید جمع آوری برخی از وسایل کوچک، به عنوان مثال، لوازم التحریر مدرسه ضروری باشد. اگر آنها را فقط در یک جعبه بزرگ بیندازید، در میان چیزهای دیگر گم می شوند. برای جلوگیری از این کار، ابتدا آنها را مثلاً در یک کیسه قرار می دهید، سپس در یک جعبه بزرگ قرار می دهید و بعد آن را می بندید. این "سخت ترین" فرآیند در نمودار زیر نشان داده شده است:

به نظر می رسد، ریاضیات کجاست؟ و علاوه بر این، یک تابع پیچیده دقیقاً به همان روش تشکیل می شود! فقط ما نه نوت بوک و خودکار، بلکه \ (x\) "بسته بندی" می کنیم، در حالی که "بسته ها" و "جعبه" های مختلف خدمت می کنند.

به عنوان مثال، اجازه دهید x را گرفته و آن را در یک تابع "بسته" کنیم:

در نتیجه، مطمئناً \(\cos⁡x\) را دریافت می کنیم. این "کیف چیزهای" ماست. و اکنون آن را در یک "جعبه" قرار می دهیم - مثلاً آن را در یک تابع مکعبی بسته بندی می کنیم.

در نهایت چه اتفاقی خواهد افتاد؟ بله، درست است، یک "بسته با چیزهایی در یک جعبه" وجود خواهد داشت، یعنی "کسینوس x مکعب".

ساختار حاصل یک تابع پیچیده است. از این جهت با ساده تفاوت دارد چندین "تاثیر" (بسته) روی یک X در یک ردیف اعمال می شودو معلوم می شود، همانطور که بود، "یک تابع از یک تابع" - "یک بسته در یک بسته".

در دوره مدرسه، انواع بسیار کمی از همین "بسته ها" وجود دارد، فقط چهار نوع:

اکنون x را در یک تابع نمایی با پایه 7 و سپس در یک تابع مثلثاتی قرار می دهیم. ما گرفتیم:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

و حالا بیایید x را دو بار داخل "بسته بندی" کنیم توابع مثلثاتیابتدا در و سپس در:

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

ساده است، درست است؟

حالا توابع را خودتان بنویسید، جایی که x:
- ابتدا در یک کسینوس و سپس در یک تابع نمایی با پایه \(3\) "بسته بندی" می شود.
- ابتدا به توان پنجم و سپس به مماس.
- ابتدا به لگاریتم پایه \(4\) ، سپس به توان \(-2\).

پاسخ این سوال را در انتهای مقاله ببینید.

اما آیا می توانیم x را نه دو، بلکه سه بار «بسته» کنیم؟ مشکلی نیست! و چهار و پنج و بیست و پنج بار. در اینجا، برای مثال، تابعی است که در آن x \(4\) بار "بسته" شده است:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

اما چنین فرمول هایی در تمرین مدرسه یافت نمی شوند (دانش آموزان خوش شانس تر هستند - آنها می توانند دشوارتر باشند☺).

"باز کردن بسته بندی" یک عملکرد پیچیده

دوباره به عملکرد قبلی نگاه کنید. آیا می توانید دنباله "بسته بندی" را بفهمید؟ ابتدا X در چه چیزی قرار گرفت، سپس چه چیزی، و همینطور تا آخر. یعنی کدام تابع در کدام تودرتو است؟ یک تکه کاغذ بردارید و آنچه را که فکر می کنید بنویسید. همانطور که در بالا نوشتیم می توانید این کار را با زنجیره ای از فلش ها یا هر روش دیگری انجام دهید.

حال پاسخ صحیح این است: ابتدا x به توان \(4\)ام بسته شد، سپس نتیجه به سینوس بسته شد، به نوبه خود در پایه لگاریتم \(2\) قرار گرفت و در در پایان کل ساخت و ساز به پنج قدرت رانده شد.

یعنی باید دنباله را به ترتیب معکوس باز کرد. و در اینجا یک راهنمایی است که چگونه این کار را آسان تر انجام دهید: فقط به X نگاه کنید - باید از روی آن برقصید. بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

برای مثال، در اینجا یک تابع وجود دارد: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). ما به X نگاه می کنیم - ابتدا چه اتفاقی برای او می افتد؟ از او گرفته شده است. و سپس؟ مماس حاصل گرفته می شود. و دنباله یکسان خواهد بود:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

مثال دیگر: \(y=\cos⁡((x^3))\). ما تجزیه و تحلیل می کنیم - ابتدا x مکعب شد و سپس کسینوس از نتیجه گرفته شد. بنابراین دنباله به این صورت خواهد بود: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). توجه کنید، عملکرد به نظر می رسد شبیه به اولین (جایی که با تصاویر). اما این یک تابع کاملاً متفاوت است: اینجا در مکعب x (یعنی \(\cos⁡((x x x)))\)، و آنجا در مکعب کسینوس \(x\) (یعنی \(\ cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). این تفاوت از توالی های مختلف "بسته بندی" ناشی می شود.

آخرین مثال (با اطلاعات مهمدر آن): \(y=\sin⁡((2x+5))\). بدیهی است که ابتدا در اینجا چه کاری انجام شد. عملیات حسابیبا x، سپس یک سینوس از نتیجه گرفته شد: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). و این نکته مهم: علیرغم اینکه عملیات حسابی به خودی خود توابع نیستند، در اینجا به عنوان یک روش "بسته بندی" نیز عمل می کنند. بیایید کمی عمیق تر به این ظرافت بپردازیم.

همانطور که در بالا گفتم، در توابع ساده x یک بار و در توابع پیچیده - دو یا بیشتر "بسته بندی" می شود. علاوه بر این، هر ترکیبی از توابع ساده (یعنی مجموع، تفاوت، ضرب یا تقسیم آنها) نیز یک تابع ساده است. به عنوان مثال، \(x^7\) یک تابع ساده است و همچنین \(ctg x\). بنابراین، تمام ترکیبات آنها توابع ساده ای هستند:

\(x^7+ ctg x\) - ساده،
\(x^7 ctg x\) ساده است،
\(\frac(x^7)(ctg x)\) ساده است و غیره.

با این حال، اگر یک تابع دیگر برای چنین ترکیبی اعمال شود، از قبل یک تابع پیچیده خواهد بود، زیرا دو "بسته" وجود خواهد داشت. نمودار را ببینید:

خوب، بیایید با آن ادامه دهیم. دنباله توابع "پیچیدن" را بنویسید:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
پاسخ ها دوباره در انتهای مقاله آمده است.

عملکردهای داخلی و خارجی

چرا باید تودرتوی تابع را درک کنیم؟ این چه چیزی به ما می دهد؟ نکته این است که بدون چنین تحلیلی نمی‌توانیم مشتقات توابع مورد بحث در بالا را با اطمینان پیدا کنیم.

و برای ادامه، به دو مفهوم دیگر نیاز داریم: عملکردهای داخلی و خارجی. این یک چیز بسیار ساده است، علاوه بر این، در واقع، ما قبلاً آنها را در بالا تجزیه و تحلیل کرده ایم: اگر قیاس خود را در همان ابتدا به یاد بیاوریم، سپس عملکرد داخلی«بسته» و بیرونی «جعبه» است. آن ها چیزی که X ابتدا در آن "پیچیده شده" یک تابع داخلی است، و آنچه درونی در آن "پیچیده شده" در حال حاضر خارجی است. خوب، قابل درک است که چرا - بیرون است، به معنای خارجی است.

در این مثال: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\)، تابع \(\log_2⁡x\) داخلی است، و
- خارجی

و در این یکی: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\)، \(x^3+2x+1\) داخلی است، و
- خارجی

آخرین تمرین تجزیه و تحلیل توابع پیچیده را انجام دهید، و در نهایت، اجازه دهید به نقطه ای که همه چیز برای آن شروع شده است برویم - مشتقاتی از توابع پیچیده را خواهیم یافت:

جاهای خالی جدول را پر کنید:

مشتق تابع مرکب

آفرین به ما، ما هنوز به "رئیس" این موضوع رسیدیم - در واقع یک مشتق تابع پیچیدهو به طور خاص، به آن فرمول بسیار وحشتناک از ابتدای مقاله.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

این فرمول به شرح زیر است:

مشتق یک تابع مختلط برابر است با حاصلضرب مشتق تابع خارجی نسبت به تابع داخلی ثابت و مشتق تابع داخلی.

و بلافاصله با توجه به کلمات به طرح تجزیه نگاه کنید تا بفهمید به چه چیزی مربوط می شود:

امیدوارم عبارات «مشتق» و «محصول» مشکلی ایجاد نکند. "عملکرد پیچیده" - ما قبلاً برچیده شده ایم. گرفتن در "مشتق تابع خارجی با توجه به درونی ثابت" است. آن چیست؟

پاسخ: این مشتق معمول تابع بیرونی است که در آن فقط تابع بیرونی تغییر می کند در حالی که تابع درونی ثابت می ماند. هنوز مشخص نیست؟ خوب، بیایید یک مثال بزنیم.

فرض کنید یک تابع \(y=\sin⁡(x^3)\) داریم. واضح است که تابع درونی در اینجا \(x^3\) و تابع خارجی است
. اکنون مشتق بیرونی را نسبت به درونی ثابت پیدا می کنیم.

اگر از تعریف پیروی کنیم، مشتق یک تابع در یک نقطه حد نسبت افزایشی تابع Δ است. yبه افزایش آرگومان Δ ایکس:

به نظر می رسد همه چیز روشن است. اما سعی کنید با این فرمول مثلاً مشتق تابع را محاسبه کنید f(ایکس) = ایکس 2 + (2ایکس+ 3) · ه ایکسگناه ایکس. اگر همه کارها را طبق تعریف انجام دهید، پس از چند صفحه محاسبات به سادگی می خوابید. بنابراین، راه‌های ساده‌تر و مؤثرتری وجود دارد.

برای شروع، توجه می کنیم که توابع به اصطلاح ابتدایی را می توان از کل توابع مختلف متمایز کرد. نسبی است عبارات ساده، که مشتقات آن مدتهاست محاسبه و در جدول درج شده است. یادآوری چنین توابعی به همراه مشتقات آنها به اندازه کافی آسان است.

مشتقات توابع ابتدایی

توابع ابتدایی همه موارد ذکر شده در زیر است. مشتقات این توابع را باید از روی قلب دانست. علاوه بر این، حفظ آنها دشوار نیست - به همین دلیل آنها ابتدایی هستند.

بنابراین، مشتقات توابع ابتدایی:

نام	عملکرد	مشتق
مقدار ثابت	f(ایکس) = سی, سی ∈ آر	0 (بله، بله، صفر!)
درجه با توان منطقی	f(ایکس) = ایکس n	n · ایکس n − 1
سینوسی	f(ایکس) = گناه ایکس	cos ایکس
کسینوس	f(ایکس) = cos ایکس	- گناه ایکس(منهای سینوس)
مماس	f(ایکس) = tg ایکس	1/cos 2 ایکس
کوتانژانت	f(ایکس) = ctg ایکس	− 1/sin2 ایکس
لگاریتم طبیعی	f(ایکس) = ورود ایکس	1/ایکس
لگاریتم دلخواه	f(ایکس) = ورود آ ایکس	1/(ایکسلوگاریتم آ)
تابع نمایی	f(ایکس) = ه ایکس	ه ایکس(هیچ چیز تغییر نکرد)

اگر یک تابع ابتدایی در یک ثابت دلخواه ضرب شود، مشتق تابع جدید نیز به راحتی محاسبه می شود:

(سی · f)’ = سی · f ’.

به طور کلی، ثابت ها را می توان از علامت مشتق خارج کرد. مثلا:

(2ایکس 3)' = 2 ( ایکس 3)' = 2 3 ایکس 2 = 6ایکس 2 .

بدیهی است که توابع ابتدایی را می توان به یکدیگر اضافه کرد، ضرب کرد، تقسیم کرد و موارد دیگر. به این ترتیب توابع جدید ظاهر می شوند که دیگر خیلی ابتدایی نیستند، بلکه طبق قوانین خاصی قابل تمایز هستند. در زیر به این قوانین پرداخته شده است.

مشتق جمع و تفاضل

اجازه دهید توابع f(ایکس) و g(ایکس) که مشتقات آن برای ما شناخته شده است. به عنوان مثال، می توانید توابع ابتدایی مورد بحث در بالا را انتخاب کنید. سپس می توانید مشتق حاصل از مجموع و تفاضل این توابع را پیدا کنید:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

پس مشتق مجموع (تفاوت) دو تابع برابر است با مجموع (تفاوت) مشتقات. ممکن است شرایط بیشتری وجود داشته باشد. مثلا، ( f + g + ساعت)’ = f ’ + g ’ + ساعت ’.

به بیان دقیق، هیچ مفهومی از «تفریق» در جبر وجود ندارد. مفهوم "عنصر منفی" وجود دارد. بنابراین، تفاوت f − gرا می توان به صورت جمع بازنویسی کرد f+ (-1) g، و سپس فقط یک فرمول باقی می ماند - مشتق جمع.

f(ایکس) = ایکس 2 + سینکس; g(ایکس) = ایکس 4 + 2ایکس 2 − 3.

عملکرد f(ایکس) مجموع دو تابع ابتدایی است، بنابراین:

f ’(ایکس) = (ایکس 2+ گناه ایکس)’ = (ایکس 2)' + (گناه ایکس)’ = 2ایکس+ cosx;

ما به طور مشابه برای تابع استدلال می کنیم g(ایکس). فقط سه اصطلاح وجود دارد (از نظر جبر):

g ’(ایکس) = (ایکس 4 + 2ایکس 2 − 3)’ = (ایکس 4 + 2ایکس 2 + (−3))’ = (ایکس 4)’ + (2ایکس 2)’ + (−3)’ = 4ایکس 3 + 4ایکس + 0 = 4ایکس · ( ایکس 2 + 1).

پاسخ:
f ’(ایکس) = 2ایکس+ cosx;
g ’(ایکس) = 4ایکس · ( ایکس 2 + 1).

مشتق از یک محصول

ریاضیات یک علم منطقی است، بنابراین بسیاری از مردم معتقدند که اگر مشتق حاصل از مجموع آن برابر با مشتقات باشد، پس مشتق حاصلضرب است. ضربه"\u003e برابر با حاصلضرب مشتقات است. اما انجیر برای شما! مشتق حاصل از یک فرمول کاملاً متفاوت محاسبه می شود. یعنی:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

فرمول ساده است، اما اغلب فراموش می شود. و نه تنها دانش آموزان، بلکه دانش آموزان نیز. نتیجه مشکلات حل نادرست است.

وظیفه. مشتقات توابع را پیدا کنید: f(ایکس) = ایکس 3 cosx; g(ایکس) = (ایکس 2 + 7ایکس− 7) · ه ایکس .

عملکرد f(ایکس) محصول دو تابع ابتدایی است، بنابراین همه چیز ساده است:

f ’(ایکس) = (ایکس 3 cos ایکس)’ = (ایکس 3)' cos ایکس + ایکس 3 (co ایکس)’ = 3ایکس 2 cos ایکس + ایکس 3 (- گناه ایکس) = ایکس 2 (3cos ایکس − ایکسگناه ایکس)

عملکرد g(ایکس) ضریب اول کمی پیچیده تر است، اما طرح کلیاین تغییر نمی کند بدیهی است که اولین ضرب کننده تابع g(ایکس) چند جمله ای است و مشتق آن مشتق جمع است. ما داریم:

g ’(ایکس) = ((ایکس 2 + 7ایکس− 7) · ه ایکس)’ = (ایکس 2 + 7ایکس− 7)' · ه ایکس + (ایکس 2 + 7ایکس− 7) ( ه ایکس)’ = (2ایکس+ 7) · ه ایکس + (ایکس 2 + 7ایکس− 7) · ه ایکس = ه ایکس(2 ایکس + 7 + ایکس 2 + 7ایکس −7) = (ایکس 2 + 9ایکس) · ه ایکس = ایکس(ایکس+ 9) · ه ایکس .

پاسخ:
f ’(ایکس) = ایکس 2 (3cos ایکس − ایکسگناه ایکس);
g ’(ایکس) = ایکس(ایکس+ 9) · ه ایکس .

توجه داشته باشید که در مرحله آخر، مشتق فاکتورسازی می شود. به طور رسمی، این ضروری نیست، اما بیشتر مشتقات به تنهایی محاسبه نمی شوند، بلکه برای کشف تابع محاسبه می شوند. این بدان معنی است که در ادامه مشتق برابر با صفر می شود، علائم آن مشخص می شود و غیره. برای چنین موردی، بهتر است یک عبارت تجزیه شده به عوامل باشد.

اگر دو عملکرد وجود دارد f(ایکس) و g(ایکس) و g(ایکس) ≠ 0 در مجموعه مورد علاقه ما، می توانیم یک تابع جدید تعریف کنیم ساعت(ایکس) = f(ایکس)/g(ایکس). برای چنین تابعی، می توانید مشتق را نیز پیدا کنید:

ضعیف نیست، درسته؟ منهای از کجا آمد؟ چرا g 2 اما اینجوری! این یکی از پیچیده ترین فرمول ها است - بدون بطری نمی توانید آن را بفهمید. بنابراین، بهتر است آن را مطالعه کنید نمونه های عینی.

وظیفه. مشتقات توابع را پیدا کنید:

توابع ابتدایی در صورت و مخرج هر کسر وجود دارد، بنابراین تنها چیزی که نیاز داریم فرمول مشتق ضریب است:

طبق سنت، ما شمارنده را به فاکتورها تبدیل می کنیم - این پاسخ را بسیار ساده می کند:

یک تابع پیچیده لزوماً فرمولی به طول نیم کیلومتر نیست. به عنوان مثال، برای گرفتن تابع کافی است f(ایکس) = گناه ایکسو متغیر را جایگزین کنید ایکس، بگو ، در ایکس 2 + ln ایکس. معلوم می شود f(ایکس) = گناه ( ایکس 2 + ln ایکس) یک تابع پیچیده است. او همچنین یک مشتق دارد، اما یافتن آن طبق قوانینی که در بالا ذکر شد کار نخواهد کرد.

چگونه بودن؟ در چنین مواردی، جایگزینی یک متغیر و فرمول مشتق یک تابع مختلط کمک می کند:

f ’(ایکس) = f ’(تی) · تی"، اگر ایکسجایگزین می شود تی(ایکس).

به عنوان یک قاعده، وضعیت با درک این فرمول حتی غم انگیزتر از مشتق ضریب است. بنابراین بهتر است آن را نیز با مثال های مشخص، با توصیف همراه با جزئیاتهر قدم.

وظیفه. مشتقات توابع را پیدا کنید: f(ایکس) = ه 2ایکس + 3 ; g(ایکس) = گناه ( ایکس 2 + ln ایکس)

توجه داشته باشید که اگر در تابع f(ایکس) به جای عبارت 2 ایکس+ 3 آسان خواهد بود ایکس، سپس یک تابع ابتدایی دریافت می کنیم f(ایکس) = ه ایکس. بنابراین، ما یک جایگزین انجام می دهیم: اجازه دهید 2 ایکس + 3 = تی, f(ایکس) = f(تی) = ه تی. ما به دنبال مشتق یک تابع پیچیده با فرمول هستیم:

f ’(ایکس) = f ’(تی) · تی ’ = (ه تی)’ · تی ’ = ه تی · تی ’

و اکنون - توجه! انجام یک تعویض معکوس: تی = 2ایکس+ 3. دریافت می کنیم:

f ’(ایکس) = ه تی · تی ’ = ه 2ایکس+ 3 (2 ایکس + 3)’ = ه 2ایکس+ 3 2 = 2 ه 2ایکس + 3

حالا بیایید به تابع نگاه کنیم g(ایکس). بدیهی است که نیاز به تعویض دارد. ایکس 2 + ln ایکس = تی. ما داریم:

g ’(ایکس) = g ’(تی) · تی= (گناه تی)’ · تی' = cos تی · تی ’

تعویض معکوس: تی = ایکس 2 + ln ایکس. سپس:

g ’(ایکس) = cos ( ایکس 2 + ln ایکس) · ( ایکس 2 + ln ایکس)' = cos ( ایکس 2 + ln ایکس) · (2 ایکس + 1/ایکس).

همین! همانطور که از عبارت آخر مشاهده می شود، کل مسئله به محاسبه مشتق جمع خلاصه شده است.

پاسخ:
f ’(ایکس) = 2 ه 2ایکس + 3 ;
g ’(ایکس) = (2ایکس + 1/ایکس) cos ( ایکس 2 + ln ایکس).

خیلی اوقات در درس هایم به جای اصطلاح مشتق از کلمه سکته مغزی استفاده می کنم. مثلا سکته مغزی از مجموع برابر با مجموع استسکته های مغزی این واضح تر است؟ خوب، این خوب است.

بنابراین، محاسبه مشتق به خلاص شدن از شر این سکته ها طبق قوانینی که در بالا توضیح داده شد، ختم می شود. به عنوان مثال آخر، اجازه دهید به توان مشتق با توان گویا برگردیم:

(ایکس n)’ = n · ایکس n − 1

کمتر کسی آن را در نقش می داند nممکن است به خوبی عمل کند عدد کسری. به عنوان مثال، ریشه است ایکس 0.5 . اما اگر چیزی روی حیله و تزویر در زیر ریشه وجود داشته باشد چه؟ دوباره، یک عملکرد پیچیده به نظر می رسد - آنها دوست دارند چنین سازه هایی را به کار ببرند کار کنترلو امتحانات

وظیفه. مشتق یک تابع را پیدا کنید:

ابتدا، بیایید ریشه را به عنوان یک توان با توان گویا بازنویسی کنیم:

f(ایکس) = (ایکس 2 + 8ایکس − 7) 0,5 .

اکنون یک جایگزین می کنیم: اجازه دهید ایکس 2 + 8ایکس − 7 = تی. ما مشتق را با فرمول پیدا می کنیم:

f ’(ایکس) = f ’(تی) · تی ’ = (تی 0.5)' تی' = 0.5 تی-0.5 تی ’.

ما یک تعویض معکوس انجام می دهیم: تی = ایکس 2 + 8ایکس− 7. داریم:

f ’(ایکس) = 0.5 ( ایکس 2 + 8ایکس− 7) −0.5 ( ایکس 2 + 8ایکس− 7)' = 0.5 (2 ایکس+ 8) ( ایکس 2 + 8ایکس − 7) −0,5 .

در نهایت، به ریشه ها بازگردیم:

مشتق تابع مختلط نمونه های راه حل

در این درس، نحوه پیدا کردن را یاد خواهیم گرفت مشتق یک تابع پیچیده. درس ادامه منطقی درس است چگونه مشتق را پیدا کنیم؟، که بر روی آن ساده ترین مشتقات را تحلیل کردیم و همچنین با قوانین تمایز و برخی روش های فنی برای یافتن مشتقات آشنا شدیم. بنابراین، اگر با مشتقات توابع خیلی خوب نیستید یا برخی از نکات این مقاله کاملاً واضح نیست، ابتدا درس بالا را بخوانید. لطفاً با حال و هوای جدی هماهنگ شوید - مطالب آسان نیست، اما من همچنان سعی خواهم کرد آن را ساده و واضح ارائه دهم.

در عمل، شما باید اغلب با مشتق یک تابع پیچیده سر و کار داشته باشید، حتی می توانم بگویم تقریباً همیشه، زمانی که به شما وظایفی برای یافتن مشتقات داده می شود.

ما در جدول به قانون (شماره 5) برای تمایز یک تابع پیچیده نگاه می کنیم:

متوجه هستیم. اول از همه، بیایید نگاهی به نماد بیاندازیم. در اینجا ما دو تابع داریم - و، و تابع، به طور مجازی، در تابع تودرتو است. تابعی از این نوع (زمانی که یک تابع درون دیگری تودرتو باشد) تابع پیچیده نامیده می شود.

من تابع را فراخوانی خواهم کرد عملکرد خارجی، و عملکرد - عملکرد داخلی (یا تو در تو)..

! این تعاریف نظری نیستند و نباید در طراحی نهایی تکالیف ظاهر شوند. من از عبارات غیررسمی "عملکرد خارجی"، "عملکرد داخلی" استفاده می کنم تا درک مطلب را برای شما آسانتر کنم.

برای روشن شدن وضعیت، در نظر بگیرید:

مثال 1

مشتق تابع را بیابید

در زیر سینوس، ما نه فقط حرف "x"، بلکه کل عبارت را داریم، بنابراین یافتن مشتق بلافاصله از جدول کار نخواهد کرد. ما همچنین متوجه می شویم که اعمال چهار قانون اول در اینجا غیرممکن است، به نظر می رسد تفاوت وجود دارد، اما واقعیت این است که "پاره کردن" سینوس غیرممکن است:

در این مثال، قبلاً از توضیحات من، به طور شهودی مشخص است که تابع یک تابع پیچیده است و چند جمله ای یک تابع داخلی (جاسازی) و یک تابع خارجی است.

گام اول، که باید هنگام یافتن مشتق یک تابع مختلط انجام شود درک کنید که کدام تابع داخلی و کدام خارجی است.

چه زمانی مثال های سادهبه نظر واضح است که یک چند جمله ای زیر سینوس تو در تو قرار دارد. اما اگر واضح نباشد چه؟ چگونه مشخص کنیم که دقیقا کدام تابع خارجی و کدام داخلی است؟ برای انجام این کار، من پیشنهاد می کنم از تکنیک زیر استفاده کنید، که می تواند به صورت ذهنی یا پیش نویس انجام شود.

بیایید تصور کنیم که باید مقدار عبارت را با یک ماشین حساب محاسبه کنیم (به جای یک، هر عددی می تواند وجود داشته باشد).

اول چی حساب کنیم؟ در درجه اولشما باید عمل زیر را انجام دهید: بنابراین چند جمله ای یک تابع داخلی خواهد بود:

دوماشما باید پیدا کنید، بنابراین سینوس - یک تابع خارجی خواهد بود:

بعد از ما فهمیدنبا توابع درونی و بیرونی، زمان اعمال قانون تمایز تابع مرکب فرا رسیده است.

ما شروع به تصمیم گیری می کنیم. از درس چگونه مشتق را پیدا کنیم؟ما به یاد می آوریم که طراحی راه حل هر مشتقی همیشه به این صورت شروع می شود - عبارت را در پرانتز قرار می دهیم و یک ضربه را در بالا سمت راست قرار می دهیم:

در ابتدامشتق تابع خارجی (سینوس) را پیدا می کنیم، به جدول مشتقات توابع ابتدایی نگاه می کنیم و متوجه می شویم که . همه فرمول های جدولی قابل اجرا هستند حتی اگر "x" با یک عبارت پیچیده جایگزین شود، در این مورد:

توجه داشته باشید که عملکرد درونی تغییر نکرده است، ما آن را لمس نمی کنیم.

خب این کاملا واضحه

نتیجه نهایی اعمال فرمول به صورت زیر است:

عامل ثابت معمولاً در ابتدای عبارت قرار می گیرد:

در صورت وجود هرگونه سوء تفاهم، تصمیم را روی کاغذ بنویسید و توضیحات را دوباره بخوانید.

مثال 2

مشتق تابع را بیابید

مثال 3

مشتق تابع را بیابید

مثل همیشه می نویسیم:

ما متوجه می شویم که کجا یک عملکرد خارجی داریم و کجا یک عملکرد داخلی. برای این کار، سعی می کنیم (به صورت ذهنی یا پیش نویس) مقدار عبارت را برای . ابتدا چه کاری باید انجام شود؟ اول از همه، شما باید محاسبه کنید که پایه برابر است با:، به این معنی که چند جمله ای تابع داخلی است:

و تنها پس از آن توان انجام می شود، بنابراین، تابع توانیک تابع خارجی است:

طبق فرمول، ابتدا باید مشتق تابع خارجی، در این مورد، درجه را پیدا کنید. ما به دنبال فرمول مورد نظر در جدول هستیم:. باز هم تکرار می کنیم: هر فرمول جدولی نه تنها برای "x"، بلکه برای یک عبارت پیچیده نیز معتبر است. بنابراین، نتیجه اعمال قانون تمایز یک تابع پیچیده به شرح زیر است:

باز هم تاکید می کنم که وقتی مشتق تابع بیرونی را می گیریم، تابع درونی تغییر نمی کند:

اکنون باقی مانده است که یک مشتق بسیار ساده از تابع داخلی پیدا کنیم و نتیجه را کمی "شانه" کنیم:

مثال 4

مشتق تابع را بیابید

این یک مثال برای راه حل مستقل(پاسخ در پایان درس).

برای تثبیت درک مشتق یک تابع پیچیده، بدون نظر مثالی می زنم، سعی کنید خودتان آن را بفهمید، دلیل، تابع خارجی کجا و تابع داخلی کجاست، چرا کارها به این ترتیب حل می شوند؟

مثال 5

الف) مشتق تابع را بیابید

ب) مشتق تابع را بیابید

مثال 6

مشتق تابع را بیابید

در اینجا ما یک ریشه داریم و برای اینکه ریشه را متمایز کنیم باید به صورت درجه نشان داده شود. بنابراین، ابتدا تابع را به شکل مناسب برای تمایز می آوریم:

با تجزیه و تحلیل تابع به این نتیجه می رسیم که مجموع سه جمله یک تابع درونی و توان یک تابع خارجی است. ما قانون تمایز یک تابع پیچیده را اعمال می کنیم:

درجه دوباره به عنوان یک رادیکال (ریشه) نشان داده می شود، و برای مشتق تابع داخلی، یک قانون ساده را برای متمایز کردن مجموع اعمال می کنیم:

آماده. همچنین می توانید عبارت را به یک مخرج مشترک در پرانتز بیاورید و همه چیز را به صورت یک کسری بنویسید. البته زیبا است، اما وقتی مشتقات طولانی دست و پا گیر به دست می آید، بهتر است این کار را انجام ندهید (گیج شدن، اشتباه غیر ضروری آسان است و بررسی آن برای معلم ناخوشایند خواهد بود).

مثال 7

مشتق تابع را بیابید

این یک مثال برای حل خود است (پاسخ آخر درس).

جالب است بدانید که گاهی اوقات به جای قاعده افتراق یک تابع مختلط، می توان از قانون افتراق یک ضریب استفاده کرد. ، اما چنین راه حلی مانند یک انحراف خنده دار به نظر می رسد. در اینجا یک مثال معمولی است:

مثال 8

مشتق تابع را بیابید

در اینجا می توانید از قانون تمایز ضریب استفاده کنید ، اما یافتن مشتق از طریق قانون تمایز یک تابع پیچیده بسیار سودآورتر است:

ما تابع را برای تمایز آماده می کنیم - علامت منهای مشتق را بیرون می آوریم و کسینوس را به صورت شمارش می کنیم:

کسینوس یک تابع درونی است، توان یک تابع خارجی است.
بیایید از قانون خود استفاده کنیم:

ما مشتق تابع داخلی را پیدا می کنیم، کسینوس را به عقب برگردانیم:

آماده. در مثال مورد بررسی، مهم است که در علائم سردرگم نشوید. به هر حال، سعی کنید آن را با قانون حل کنید ، پاسخ ها باید مطابقت داشته باشند.

مثال 9

مشتق تابع را بیابید

این یک مثال برای حل خود است (پاسخ آخر درس).

تا اینجا مواردی را در نظر گرفتیم که در یک تابع پیچیده فقط یک تودرتو داشتیم. در کارهای عملی، اغلب می توانید مشتقاتی را پیدا کنید، جایی که، مانند عروسک های تودرتو، یکی در داخل دیگری، 3 یا حتی 4-5 تابع به طور همزمان تو در تو قرار می گیرند.

مثال 10

مشتق تابع را بیابید

ما پیوست های این تابع را درک می کنیم. ما سعی می کنیم عبارت را با استفاده از مقدار تجربی ارزیابی کنیم. چگونه روی یک ماشین حساب حساب کنیم؟

ابتدا باید پیدا کنید، به این معنی که آرکسین عمیق ترین لانه است:

سپس این کمان وحدت باید مجذور شود:

و در نهایت، ما هفت را به قدرت بالا می بریم:

یعنی در این مثال ما سه تابع مختلف و دو تودرتو داریم، در حالی که درونی ترین تابع آرکسین و بیرونی ترین تابع تابع نمایی است.

ما شروع به تصمیم گیری می کنیم

طبق قانون، ابتدا باید مشتق تابع خارجی را بگیرید. در جدول مشتقات نگاه می کنیم و مشتق را پیدا می کنیم تابع نمایی: تنها تفاوت این است که به جای "x" یک عبارت پیچیده داریم که اعتبار این فرمول را نفی نمی کند. بنابراین، نتیجه اعمال قانون تمایز یک تابع پیچیده به شرح زیر است:

در زیر خط تیره، دوباره یک عملکرد پیچیده داریم! اما در حال حاضر آسان تر است. به راحتی می توان فهمید که تابع درونی آرکسین و تابع بیرونی درجه است. طبق قانون تمایز یک تابع پیچیده، ابتدا باید مشتق درجه را بگیرید.

تعریف.اجازه دهید تابع \(y = f(x) \) در بازه‌ای حاوی نقطه \(x_0 \) در داخل تعریف شود. اجازه دهید \(\Delta x\) را به آرگومان افزایش دهیم تا از این فاصله خارج نشویم. افزایش مربوط به تابع \(\Delta y \) (هنگام عبور از نقطه \(x_0 \) به نقطه \(x_0 + \Delta x\)) را پیدا کنید و رابطه \(\frac(\Delta y را بسازید. )(\Delta x) \). اگر حدی از این رابطه در \(\Delta x \right arrow 0\) وجود داشته باشد، حد مشخص شده فراخوانی می شود. تابع مشتق\(y=f(x) \) در نقطه \(x_0 \) و نشان دهنده \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

نماد y اغلب برای نشان دادن مشتق استفاده می شود. توجه داشته باشید که y" = f(x) یک تابع جدید است، اما به طور طبیعی با تابع y = f(x) مرتبط است، که در تمام نقاط x تعریف شده است که در آن حد بالا وجود دارد. این تابع به این صورت نامیده می شود: مشتق تابع y \u003d f (x).

معنای هندسی مشتقشامل موارد زیر است. اگر یک مماس که با محور y موازی نیست را بتوان به نمودار تابع y \u003d f (x) در نقطه ای با آبسیسا x \u003d a رسم کرد، آنگاه f (a) شیب مماس را بیان می کند:
\(k = f"(a)\)

از آنجایی که \(k = tg(a) \)، برابری \(f"(a) = tg(a) \) صادق است.

و اینک تعریف مشتق را بر حسب برابری های تقریبی تفسیر می کنیم. اجازه دهید تابع \(y = f(x) \) در یک نقطه خاص \(x\) مشتق داشته باشد:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
این بدان معنی است که در نزدیکی نقطه x، برابری تقریبی \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \)، یعنی \(\Delta y \حدود f"(x) \cdot \Deltax\). معنی معنی دار برابری تقریبی به دست آمده به این صورت است: افزایش تابع "تقریباً متناسب" با افزایش استدلال است و ضریب تناسب مقدار مشتق در نقطه داده شدهایکس. برای مثال، برای تابع \(y = x^2 \) برابری تقریبی \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x\) درست است. اگر تعریف مشتق را به دقت تجزیه و تحلیل کنیم، متوجه خواهیم شد که حاوی الگوریتمی برای یافتن آن است.

بیایید آن را فرمول بندی کنیم.

چگونه مشتق تابع y \u003d f (x) را پیدا کنیم؟

1. مقدار \(x\) را ثابت کنید، \(f(x) \) را پیدا کنید
2. آرگومان \(x \) \(\Delta x\) را افزایش دهید، به نقطه جدید \(x+ \Delta x\) بروید، \(f(x+ \Delta x) \) را پیدا کنید.
3. افزایش تابع را پیدا کنید: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. رابطه \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) را بنویسید.
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ را محاسبه کنید
این حد مشتق تابع x است.

اگر تابع y = f(x) در نقطه x مشتق داشته باشد، در نقطه x به آن متمایز می گویند. روش یافتن مشتق تابع y \u003d f (x) نامیده می شود تفکیکتوابع y = f(x).

اجازه دهید در مورد سوال زیر بحث کنیم: تداوم و تمایز یک تابع در یک نقطه چگونه به هم مرتبط هستند؟

اجازه دهید تابع y = f(x) در نقطه x قابل تفکیک باشد. سپس یک مماس را می توان به نمودار تابع در نقطه M رسم کرد (x; f (x)) و به یاد بیاورید که شیب مماس برابر با f "(x) است. چنین نموداری نمی تواند "شکست" نقطه M، یعنی تابع باید در x پیوسته باشد.

این استدلال "روی انگشتان" بود. اجازه دهید استدلال دقیق تری ارائه کنیم. اگر تابع y = f(x) در نقطه x قابل تمایز باشد، آنگاه برابری تقریبی \(\Delta y \تقریبا f"(x) \cdot \Delta x\) برقرار است. صفر و سپس \(\Delta y \) ) نیز به سمت صفر میل خواهد کرد و این شرط تداوم تابع در یک نقطه است.

بنابراین، اگر تابعی در نقطه x قابل تمایز باشد، در آن نقطه نیز پیوسته است.

این صحبت درست نیست. به عنوان مثال: تابع y = |x| در همه جا پیوسته است، به ویژه در نقطه x = 0، اما مماس بر نمودار تابع در "نقطه مشترک" (0؛ 0) وجود ندارد. اگر در نقطه ای نتوان مماس بر نمودار تابع رسم کرد، در این نقطه مشتقی وجود ندارد.

یک مثال دیگر تابع \(y=\sqrt(x) \) در کل خط عددی، از جمله در نقطه x = 0، پیوسته است. و مماس بر نمودار تابع در هر نقطه وجود دارد، از جمله در نقطه x = 0 اما در این نقطه مماس با محور y منطبق است ، یعنی بر محور آبسیسا عمود است ، معادله آن به شکل x \u003d 0 است. شیبچنین خطی وجود ندارد، به این معنی که \(f"(0) \) نیز وجود ندارد

بنابراین، ما با ویژگی جدیدی از یک تابع - تفاوت پذیری آشنا شدیم. چگونه می توان تشخیص داد که یک تابع از نمودار یک تابع قابل تمایز است؟

پاسخ در واقع در بالا داده شده است. اگر در نقطه‌ای بتوان بر نمودار تابعی که عمود بر محور x نیست مماس رسم کرد، در این نقطه تابع قابل تمایز است. اگر در نقطه ای مماس بر نمودار تابع وجود نداشته باشد یا بر محور x عمود باشد، در این نقطه تابع قابل تمایز نیست.

قوانین تمایز

عملیات یافتن مشتق نامیده می شود تفکیک. هنگام انجام این عملیات، اغلب باید با ضریب، مجموع، حاصلضرب توابع و همچنین با "توابع توابع" یعنی توابع پیچیده کار کنید. بر اساس تعریف مشتق، می‌توانیم قوانین تمایز را استخراج کنیم که این کار را تسهیل می‌کند. اگر C یک عدد ثابت است و f=f(x)، g=g(x) برخی از توابع قابل تمایز هستند، آنگاه موارد زیر درست هستند. قوانین تمایز:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ مشتق تابع مرکب:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

جدول مشتقات برخی از توابع

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \راست) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\n a) $$$$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

در این مقاله، در مورد یک مفهوم مهم ریاضی مانند یک تابع مختلط صحبت خواهیم کرد و نحوه یافتن مشتق یک تابع مختلط را یاد خواهیم گرفت.

قبل از یادگیری نحوه یافتن مشتق یک تابع مختلط، بیایید مفهوم تابع مختلط، چیستی آن، "با چه چیزی خورده می شود" و "چگونه آن را به درستی بپزیم" را درک کنیم.

یک تابع دلخواه مانند این را در نظر بگیرید:

توجه داشته باشید که آرگومان سمت راست و چپ معادله تابع یک عدد یا عبارت است.

به جای متغیر، می‌توانیم برای مثال عبارت زیر را قرار دهیم: و سپس تابع را دریافت می کنیم

بیایید عبارت را یک آرگومان میانی و تابع را یک تابع خارجی بنامیم. اینها مفاهیم دقیق ریاضی نیستند، اما به روشن شدن معنای مفهوم یک تابع پیچیده کمک می کنند.

یک تعریف دقیق از مفهوم تابع پیچیده به شرح زیر است:

اجازه دهید یک تابع روی یک مجموعه تعریف شود و مجموعه مقادیر این تابع باشد. بگذارید مجموعه (یا زیر مجموعه آن) دامنه تابع باشد. بیایید هر یک از شماره ها را اختصاص دهیم. بنابراین، عملکرد روی مجموعه تنظیم می شود. به آن ترکیب تابع یا تابع پیچیده می گویند.

در این تعریف، اگر از اصطلاحات خود استفاده کنیم، - یک تابع خارجی، - یک آرگومان میانی.

مشتق تابع مختلط طبق قانون زیر یافت می شود:

برای روشن تر شدن، من دوست دارم این قانون را در قالب چنین طرحی بنویسم:

در این عبارت with یک تابع میانی را نشان می دهد.

بنابراین. برای پیدا کردن مشتق یک تابع پیچیده، شما نیاز دارید

1. مشخص کنید کدام تابع خارجی است و مشتق مربوطه را در جدول مشتقات بیابید.

2. یک آرگومان میانی تعریف کنید.

در این روش یافتن تابع بیرونی بیشترین مشکل را ایجاد می کند. برای این کار از یک الگوریتم ساده استفاده می شود:

آ. معادله تابع را بنویسید.

ب تصور کنید که باید مقدار یک تابع را برای مقداری x محاسبه کنید. برای انجام این کار، این مقدار x را جایگزین معادله تابع کرده و حساب را انجام می دهید. آخرین اقدامی که انجام می دهید عملکرد بیرونی است.

به عنوان مثال، در تابع

آخرین اقدام توانمندسازی است.

بیایید مشتق این تابع را پیدا کنیم. برای این کار یک آرگومان میانی می نویسیم