لیست فراکتال درباره فراکتال ها و الگوریتم های آنها سوال اساسی کار

ریاضیات،
اگر درست نگاه کنی،
نه تنها حقیقت را منعکس می کند،
بلکه زیبایی بی نظیر
برتراند راسل.

البته در مورد فراکتال ها شنیده اید. شما مطمئناً این تصاویر نفس گیر از Bryce3d را دیده اید که واقعی تر از خود واقعیت هستند. کوه ها، ابرها، پوست درخت - همه اینها فراتر از هندسه معمول اقلیدسی است. ما نمی توانیم یک سنگ یا مرزهای یک جزیره را با استفاده از خطوط مستقیم، دایره ها و مثلث ها توصیف کنیم. و در اینجا فراکتال ها به کمک ما می آیند. این غریبه های آشنا چه هستند؟ چه زمانی ظاهر شدند؟

تاریخچه ظهور.

اولین ایده هندسه فراکتال در قرن نوزدهم بوجود آمد. کانتور، با استفاده از یک روش ساده بازگشتی (تکرار کننده)، خط را به مجموعه ای از نقاط غیر متصل (به اصطلاح Cantor Dust) تبدیل کرد. او یک خط می گرفت و یک سوم مرکزی را حذف می کرد و سپس همین کار را با قسمت های باقی مانده تکرار می کرد. پیانو نوع خاصی از خط کشید (شکل شماره 1). Peano برای ترسیم آن از الگوریتم زیر استفاده کرد.

در گام اول یک خط مستقیم گرفت و 9 قطعه 3 برابر کوتاهتر از طول خط اصلی را جایگزین آن کرد (قسمت 1 و 2 از شکل 1). سپس او همین کار را با هر بخش از خط حاصل انجام داد. و غیره تا بی نهایت. منحصر به فرد بودن آن این است که کل هواپیما را پر می کند. ثابت شده است که برای هر نقطه از هواپیما می توان نقطه ای را پیدا کرد که متعلق به خط Peano است. منحنی پیانو و غبار کانتور از اجسام هندسی معمولی فراتر رفتند. بعد مشخصی نداشتند. گرد و غبار کانتور به نظر می رسید که بر اساس یک خط مستقیم یک بعدی ساخته شده بود، اما از نقاط (بعد 0) تشکیل شده بود. و منحنی Peano بر اساس یک خط یک بعدی ساخته شد و نتیجه یک صفحه بود. در بسیاری از حوزه های دیگر علم، مشکلاتی ظاهر شد که راه حل آنها منجر به نتایج عجیب و غریب مشابه آنچه در بالا توضیح داده شد (حرکت براونی، قیمت سهام) شد.

پدر فراکتال ها

تا قرن بیستم، داده‌های مربوط به چنین اشیاء عجیبی بدون هیچ تلاشی برای سیستم‌بندی آنها جمع‌آوری می‌شد. این تا زمانی بود که بنوا ماندلبرو، پدر هندسه فراکتال مدرن و کلمه فراکتال، آنها را به کار گرفت. زمانی که به عنوان یک تحلیلگر ریاضی در IBM کار می کرد، در زمینه نویز مطالعه کرد مدارهای الکترونیکی، که با استفاده از آمار قابل توصیف نیست. به تدریج با مقایسه حقایق، او به یک جهت جدید در ریاضیات رسید - هندسه فراکتال.

فراکتال چیست؟ خود مندلبروت کلمه فراکتال را از کلمه لاتین fractus به معنای شکسته (تقسیم شده) گرفته است. و یکی از تعاریف فراکتال، شکل هندسی است که از اجزایی تشکیل شده و می توان آن را به قسمت هایی تقسیم کرد که هر کدام یک کپی کوچکتر از کل (حداقل تقریباً) را نشان می دهد.

برای تصور واضح تر یک فراکتال، بیایید مثالی را در کتاب «هندسه فراکتالی طبیعت» اثر بی. ماندلبروت در نظر بگیریم که به یک کلاسیک تبدیل شده است - «طول سواحل بریتانیا چقدر است؟» پاسخ به این سوال آنقدرها هم که به نظر می رسد ساده نیست. همه چیز به طول ابزاری که استفاده خواهیم کرد بستگی دارد. با اندازه گیری ساحل با استفاده از خط کش کیلومتر مقداری طول به دست می آوریم. با این حال، ما خلیج‌ها و شبه‌جزیره‌های کوچکی را که از نظر اندازه بسیار کوچکتر از خط ما هستند، از دست خواهیم داد. با کاهش اندازه خط کش به مثلاً 1 متر، این جزئیات منظره را در نظر می گیریم و بر این اساس، طول ساحل بزرگتر می شود. بیایید جلوتر برویم و طول ساحل را با استفاده از یک خط کش میلی متری اندازه گیری کنیم، جزئیات بزرگتر از یک میلی متر را در نظر می گیریم، طول حتی بیشتر خواهد بود. در نتیجه، پاسخ به چنین سؤال به ظاهر ساده ای می تواند هر کسی را گیج کند - طول سواحل بریتانیا بی پایان است.

کمی در مورد ابعاد

در او زندگی روزمرهما دائماً با ابعاد روبرو هستیم. ما طول جاده (250 متر) را تخمین می زنیم، مساحت آپارتمان (78 متر مربع) را پیدا می کنیم و حجم یک بطری آبجو را روی برچسب (0.33 dm3) جستجو می کنیم. این مفهوم کاملاً شهودی است و به نظر می رسد نیازی به توضیح ندارد. این خط دارای بعد 1 است. به این معنی که با انتخاب یک نقطه مرجع، می توانیم هر نقطه ای را در این خط با استفاده از 1 عدد - مثبت یا منفی تعریف کنیم. علاوه بر این، این برای همه خطوط - دایره، مربع، سهمی و غیره صدق می کند.

بعد 2 به این معنی است که ما می توانیم هر نقطه را به طور منحصر به فرد با دو عدد تعریف کنیم. فکر نکنید که دو بعدی به معنای مسطح است. سطح یک کره نیز دو بعدی است (با استفاده از دو مقدار می توان آن را تعریف کرد - زوایایی مانند عرض و طول).

اگر از دیدگاه ریاضی به آن نگاه کنیم، بعد به صورت زیر تعیین می شود: برای اجسام یک بعدی، دو برابر شدن اندازه خطی آنها منجر به افزایش اندازه (در این مورد، طول) به ضریب دو می شود (2). ^1).

برای اجسام دو بعدی، دو برابر شدن ابعاد خطی منجر به افزایش اندازه (مثلاً مساحت یک مستطیل) تا چهار برابر (2^2) می شود.

برای اجسام 3 بعدی، دوبرابر کردن ابعاد خطی منجر به افزایش هشت برابری حجم (2^3) و غیره می شود.

بنابراین، بعد D را می توان بر اساس وابستگی افزایش "اندازه" جسم S به افزایش ابعاد خطی L. D=log(S)/log(L) محاسبه کرد. برای خط D=log(2)/log(2)=1. برای صفحه D=log(4)/log(2)=2. برای جلد D=log(8)/log(2)=3. ممکن است کمی گیج کننده باشد، اما به طور کلی پیچیده و قابل درک نیست.

چرا این همه را می گویم؟ و برای درک چگونگی جدا کردن فراکتال ها از مثلاً سوسیس. بیایید سعی کنیم بعد منحنی Peano را محاسبه کنیم. بنابراین، ما خط اصلی را داریم که از سه بخش به طول X تشکیل شده است که با 9 قطعه سه برابر کوتاهتر جایگزین شده است. به این ترتیب وقتی مینیمم پاره 3 برابر می شود، طول کل خط 9 برابر می شود و D=log(9)/log(3)=2 یک شی دو بعدی است!!!

بنابراین وقتی بعد شکلی که از برخی اجسام ساده (قطعه ها) به دست می آید بیشتر از ابعاد این اجسام باشد، با یک فراکتال روبرو هستیم.

فراکتال ها به گروه هایی تقسیم می شوند. بزرگترین گروه ها عبارتند از:

فراکتال های هندسی

تاریخچه فراکتال ها از اینجا شروع شد. این نوع فراکتال از طریق ساختارهای هندسی ساده به دست می آید. معمولاً هنگام ساخت این فراکتال ها این کار را انجام می دهند: آنها یک "seed" - یک اصل موضوع - مجموعه ای از بخش ها را می گیرند که بر اساس آنها فراکتال ساخته می شود. در مرحله بعد، مجموعه ای از قوانین برای این "دانه" اعمال می شود که آن را به نوعی شکل هندسی تبدیل می کند. در مرحله بعد، دوباره همان مجموعه قوانین برای هر قسمت از این شکل اعمال می شود. با هر مرحله، شکل پیچیده تر و پیچیده تر می شود و اگر ما (حداقل در ذهن خود) تعداد بی نهایت تبدیل را انجام دهیم، یک فراکتال هندسی به دست خواهیم آورد.

منحنی Peano که در بالا مورد بحث قرار گرفت، یک فراکتال هندسی است. شکل زیر نمونه های دیگری از فراکتال های هندسی را نشان می دهد (از چپ به راست دانه های برف کوخ، لیست، مثلث سیرپینسکی).

دانه برف کخ

ورق

مثلث سیرپینسکی

از میان این فراکتال های هندسی، اولین مورد، دانه برف کوخ، بسیار جالب و کاملاً معروف است. بر اساس مثلث متساوی الاضلاع ساخته شده است. هر خط که ___ از آن با 4 خط هر 1/3 طول _/\_ اصلی جایگزین می شود. بنابراین، با هر تکرار، طول منحنی یک سوم افزایش می یابد. و اگر تعداد بی نهایت تکرار انجام دهیم، یک فراکتال به دست خواهیم آورد - یک دانه برف کوچ با طول بی نهایت. به نظر می رسد که منحنی نامتناهی ما یک منطقه محدود را پوشش می دهد. سعی کنید همین کار را با استفاده از روش ها و شکل های هندسه اقلیدسی انجام دهید.

ابعاد دانه برف کخ (وقتی دانه برف 3 برابر شود طول آن 4 برابر افزایش می یابد) D=log(4)/log(3)=1.2619...

به اصطلاح L-Systems برای ساختن فراکتال های هندسی مناسب هستند. ماهیت این سیستم ها این است که مجموعه خاصی از نمادهای سیستم وجود دارد که هر یک از آنها یک عمل خاص و مجموعه ای از قوانین تبدیل نماد را نشان می دهد. به عنوان مثال، شرح دانه های برف Koch با استفاده از L-Systems در برنامه Fractint

; آدریان ماریانو از هندسه فراکتالی طبیعت اثر ماندلبرو Koch1 ( زاویه چرخش را روی 360/6=60 درجه تنظیم کنیدزاویه 6 ; نقشه اولیه برای ساخت و سازاصل موضوع F--F--F ; قانون تبدیل کاراکتر F=F+F--F+F)

در این توضیحات، معانی هندسی نمادها به شرح زیر است:

F یعنی یک خط بکش + چرخش در جهت عقربه های ساعت - چرخش در خلاف جهت عقربه های ساعت

دومین خاصیت فراکتال ها خود شباهت است. به عنوان مثال، مثلث Sierpinski را در نظر بگیرید. برای ساختن آن، یک مثلث را از مرکز یک مثلث متساوی الاضلاع "برش می دهیم". بیایید همین روش را برای سه مثلث تشکیل شده (به جز مثلث مرکزی) و غیره تا بی نهایت تکرار کنیم. اگر اکنون هر یک از مثلث های به دست آمده را برداریم و آن را بزرگ کنیم، یک کپی دقیق از کل به دست خواهیم آورد. در این مورد ما با شباهت کامل خود سر و کار داریم.

اجازه دهید فوراً رزرو کنم که بیشتر نقاشی های فراکتال در این مقاله با استفاده از برنامه Fractint به دست آمده اند. اگر به فراکتال ها علاقه دارید، پس این یک برنامه ضروری برای شماست. با کمک آن می توانید صدها فراکتال مختلف بسازید، اطلاعات جامعی در مورد آنها به دست آورید و حتی به نحوه صدای فراکتال ها گوش دهید؛).

گفتن اینکه برنامه خوب است، چیزی نگفتن است. او عالی است، به جز یک چیز - آخرین نسخه 20.0 فقط در نسخه DOS موجود است:(. می توانید این برنامه (آخرین نسخه 20.0) را در http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html پیدا کنید.

پیام بگذارید

نظرات

خوب، برای یک میان وعده مثال جالب مایکروسافت اکسلسلول های A2 و B2 دارای مقادیر یکسانی بین 0 و 1 هستند. مقدار 0.5 هیچ تاثیری ندارد.

سلام به همه کسانی که توانستند با استفاده از یک تصویر فرتال برنامه بسازند. چه کسی می تواند به من بگوید از کدام روش سیکلی برای ساختن پاکسازی سرخس های فراکتال با پشتیبان حداکثر 3 بعدی با تکرار dt 100000 روی سنگی با 2800 میلی ساعت استفاده کنم.

یک کد منبع با برنامه ای برای رسم منحنی اژدها، همچنین یک فراکتال وجود دارد.

مقاله فوق العاده است. و اکسل احتمالاً یک خطای مشترک پردازنده است (در آخرین رقم های مرتبه پایین)

مثال فراکتال

"فرکتال" کمتر از نیم قرن پیش توسط ریاضیدانان مورد استفاده قرار گرفت و به زودی همراه با هم افزایی و جذب کننده، به یکی از "سه ستون" نظریه جوان آشوب قطعی تبدیل شد و امروزه به عنوان یکی از آن ها شناخته می شود. عناصر اساسی ساختار جهان

با کلمه لاتین fractus ترجمه شده استبه عنوان "شکسته"، زبان های لاتین مدرن به آن معنی "دریده" داده اند. فراکتال چیزی است که با کل/بزرگتر که بخشی از آن است یکسان است و در عین حال از هر یک از خود کپی می کند. جزء. بنابراین، «فرکتالیته» شباهت بی‌نهایت «همه چیز» به اجزای آن است، یعنی خود شباهت در هر سطحی است. هر سطح از یک شاخه فراکتال "تکرار" نامیده می شود؛ هر چه سیستم توصیف شده یا به صورت گرافیکی به تصویر کشیده شده توسعه یافته تر باشد، ناظر تکرارهای فراکتالی بیشتری می بیند. در این حالت به نقطه ای که تقسیم می شود (مثلاً یک تنه به شاخه، یک رودخانه به دو نهر و غیره) نقطه انشعاب می گویند.

اصطلاح فراکتوسدر سال 1975 توسط ریاضیدان بنوا ماندلبرو برای توصیف انتخاب شد کشف علمیو چند سال بعد محبوب شد - پس از اینکه او این موضوع را برای مخاطبان وسیع تری در کتاب هندسه فراکتال طبیعت خود توسعه داد.

امروزه فراکتال به طور گسترده ای به عنوان الگوهای خارق العاده به اصطلاح "هنر فراکتال" شناخته می شود که توسط برنامه های کامپیوتری. اما با کمک یک کامپیوتر می توانید نه تنها تصاویر انتزاعی زیبا، بلکه مناظر طبیعی بسیار باورپذیر - کوه ها، رودخانه ها، جنگل ها را نیز تولید کنید. اینجا، در واقع، نقطه انتقال علم به زندگی واقعی، یا برعکس، اگر فرض کنیم که به طور کلی امکان جداسازی آنها وجود دارد.

حقیقت این هست که اصل فراکتالمناسب نه تنها برای توصیف اکتشافات در علوم دقیق. این، اول از همه، اصل ساختار و توسعه خود طبیعت است. همه چیز در اطراف ما فراکتال است! بارزترین گروه نمونه‌ها رودخانه‌هایی با شاخه‌های فرعی، سیستم وریدی با مویرگ‌ها، رعد و برق، الگوهای یخبندان، درختان... اخیراً، دانشمندان، آزمایش می‌کنند. نظریه فراکتال، ما به طور تجربی متقاعد شدیم که حتی از نمودار یک درخت می توان نتیجه گیری کرد منطقه جنگلیجایی که این درختان رشد می کنند نمونه های دیگر از گروه های فراکتال: اتم - مولکول - سیستم سیاره ای - منظومه شمسی- کهکشانها - کیهان... دقیقه - ساعت - روز - هفته - ماه - سال - قرن... حتی جامعه مردمی خود را بر اساس اصول فراکتالیته سازماندهی می کند: من - خانواده - طایفه - ملیت - ملیتها - نژادها.. فردی - گروهی - حزبی - دولتی. کارمند - بخش - بخش - بنگاه - نگرانی ... حتی پانتئون های الهی ادیان مختلف بر اساس یک اصل ساخته شده اند، از جمله مسیحیت: خدای پدر - تثلیث - قدیسان - کلیسا - مؤمنان، ناگفته نماند سازمان پانتئون های الهی ادیان بت پرستی

داستانبیان می‌کند که مجموعه‌های مشابه برای اولین بار در قرن نوزدهم در آثار دانشمندان - پوانکاره، فاتو، جولیا، کانتور، هاسدورف، مشاهده شد، اما حقیقت این است که قبلاً اسلاوهای بت پرست برای ما مدرکی به جا گذاشته بودند که مردم وجود فردی را جزئی کوچک می‌دانستند. در بی نهایت کیهان این یک شی فرهنگ عامیانه به نام "عنکبوت" است که توسط مورخان هنر بلاروس و اوکراین مورد مطالعه قرار گرفته است. این یک نوع نمونه اولیه از یک مجسمه به سبک مدرن "موبایل" است (قطعات در حرکت ثابتنسبت به یکدیگر). "عنکبوت" اغلب از کاه ساخته شده است، از عناصر کوچک، متوسط ​​و بزرگ به همان شکل تشکیل شده است که از یکدیگر آویزان شده اند به طوری که هر قسمت کوچکتر دقیقاً قسمت بزرگتر و کل ساختار را به طور کلی تکرار می کند. این طرح در گوشه اصلی خانه آویزان شده بود، گویی خانه فرد را به عنوان عنصری از کل جهان نشان می دهد.

تئوری فرکتالیته امروزه در همه جا کار می کند، از جمله در فلسفه، که می گوید در طول هر زندگی، و هر زندگی به طور کلی فراکتال است، "نقاط دوشاخه" رخ می دهد، زمانی که بیشتر سطوح بالاتوسعه می تواند مسیرهای مختلفی را طی کند و لحظه ای که یک فرد "خود را در برابر یک انتخاب می بیند" "نقطه انحراف" واقعی در فراکتال های زندگی او است.

نظریه آشوب قطعی می گوید که توسعه هر فراکتال بی نهایت نیست. دانشمندان بر این باورند که در یک لحظه مشخص محدودیتی وجود دارد که فراتر از آن رشد تکرارها متوقف می شود و فراکتال شروع به "تریک شدن" می کند، به تدریج به اندازه واحد اصلی خود می رسد، و سپس این روند دوباره به صورت دایره ای پیش می رود - شبیه دم و بازدم. تغییرات صبح و شب، زمستان و تابستان در طبیعت.

خواص فراکتال یک هوی و هوس یا حاصل تخیل بیهوده ریاضیدانان نیست. با مطالعه آنها، ما یاد می گیریم که ویژگی های مهم اشیاء و پدیده های اطراف خود را تشخیص داده و پیش بینی کنیم، که قبلا، اگر به طور کامل نادیده گرفته نمی شد، سپس فقط به طور تقریبی، کیفی، با چشم ارزیابی می شد. به عنوان مثال، با مقایسه ابعاد فراکتال سیگنال های پیچیده، انسفالوگرام یا سوفل قلب، پزشکان می توانند برخی از موارد را تشخیص دهند. بیماری های جدیدر مراحل اولیه، زمانی که هنوز می توان به بیمار کمک کرد. همچنین، یک تحلیلگر با مقایسه رفتار قیمت قبلی، در ابتدای پیدایش مدل، می‌تواند توسعه بیشتر آن را پیش‌بینی کند و در نتیجه از اشتباهات فاحش در پیش‌بینی جلوگیری کند.

بی نظمی فراکتال ها

اولین خاصیت فراکتال ها بی نظمی آنهاست. اگر یک فراکتال با یک تابع توصیف شود، آنگاه خاصیت بی‌نظمی در شرایط ریاضی به این معنی است که چنین تابعی قابل تمایز نیست، یعنی در هیچ نقطه‌ای صاف نیست. در واقع، این مستقیم ترین رابطه را با بازار دارد. نوسانات قیمت گاهی آنقدر بی ثبات و نوسان است که بسیاری از معامله گران را سردرگم می کند. وظیفه ما این است که همه این هرج و مرج را مرتب کنیم و به آن نظم دهیم.

آیا می دانید که:چنین تنوع گسترده ای فرصت های سرمایه گذاری، که Alpari ارائه می کند، هیچ کارگزار فارکس دیگری نمی تواند به آن ببالد.

خود شباهت فراکتال ها

خاصیت دوم بیان می کند که فراکتال شیئی است که دارای خاصیت خود تشابهی است. این یک مدل بازگشتی است که هر بخش از آن در توسعه خود توسعه کل مدل را به عنوان یک کل تکرار می کند و در مقیاس های مختلف بدون تغییرات قابل مشاهده بازتولید می شود. با این حال، تغییراتی رخ می دهد، که می تواند به طور قابل توجهی بر درک ما از شی تأثیر بگذارد.

خود تشابهی به این معنی است که جسم دارای مقیاس مشخصی نیست: اگر چنین مقیاسی داشت، بلافاصله یک کپی بزرگ شده از قطعه را از عکس اصلی تشخیص می دادید. اشیای مشابه خود دارای مقیاس های بی نهایت زیادی هستند که مطابق با هر سلیقه ای باشد. ماهیت خود شباهت را می توان با مثال زیر نشان داد. تصور کنید که در مقابل شما عکسی از یک خط هندسی «واقعی» است، «طول بدون عرض»، همانطور که اقلیدس یک خط را تعریف کرده است، و شما در حال تفریح ​​با یک دوست هستید و سعی می کنید حدس بزنید که آیا او عکس اصلی را به شما نشان می دهد یا خیر ( اصلی) یا عکسی که به تعداد مورد نیاز از هر قطعه از یک خط مستقیم بزرگ شده است. هر چقدر هم که تلاش کنید، هرگز نمی توانید اصل را از یک کپی بزرگ شده تشخیص دهید؛ خط مستقیم در تمام قسمت هایش ساختار یکسانی دارد، شبیه خودش است، اما این ویژگی قابل توجه آن تا حدودی است. که توسط ساختار ساده خود خط مستقیم، "صراط مستقیم" آن پنهان شده است (شکل 7).

اگر به همین ترتیب، نمی توانید عکس یک شی را از یک عکس بزرگ شده به درستی از هر قطعه ای از آن تشخیص دهید، در این صورت یک شی مشابه خود را پیش روی خود دارید. تمام فراکتال هایی که حداقل تقارن دارند، خود مشابه هستند. این بدان معنی است که برخی از قطعات ساختار آنها به شدت در فواصل مکانی خاص تکرار می شوند. بدیهی است که این اشیاء می توانند از هر ماهیتی باشند و ظاهر و شکل آنها بدون توجه به مقیاس بدون تغییر باقی می ماند. نمونه ای از یک فراکتال خود مشابه:

در امور مالی، این مفهوم یک انتزاع بی‌پایه نیست، بلکه بیان مجدد نظری یک ضرب‌المثل عملی در بازار است - یعنی اینکه حرکات یک سهام یا ارز بدون توجه به مقیاس زمانی و قیمت، ظاهراً مشابه است. ناظر نمی تواند بگوید ظاهرنمودار مربوط به تغییرات هفتگی، روزانه یا ساعتی داده ها.

البته، همه فراکتال‌ها ساختار منظم و بی‌پایان تکرار شونده‌ای مانند آن نمایشگاه‌های شگفت‌انگیز موزه هنر فراکتال آینده، که از تخیل ریاضی‌دانان و هنرمندان متولد شده‌اند، ندارند. بسیاری از فراکتال های موجود در طبیعت (سطوح گسل سنگ ها و فلزات، ابرها، قیمت ارز، جریان های متلاطم، فوم، ژل ها، خطوط ذرات دوده و غیره) فاقد شباهت هندسی هستند، اما سرسختانه ویژگی های آماری کل را در هر قطعه بازتولید می کنند. مندلبروت فرکتال‌های با شکل غیرخطی توسعه را چند فراکتال نامید. مولتی فراکتال یک شی شبه فراکتالی با ابعاد فراکتالی متغیر است. طبیعتاً اشیاء و فرآیندهای واقعی توسط مولتی فراکتال ها بسیار بهتر توصیف می شوند.

این خود شباهت آماری یا به طور متوسط ​​خود شباهت، فراکتال ها را از انواع اشیاء طبیعی متمایز می کند.

بیایید مثالی از خود شباهت در بازار ارز را در نظر بگیریم:

در این شکل ها می بینیم که آنها مشابه هستند، در حالی که مقیاس زمانی متفاوتی دارند، در شکل. و مقیاس 15 دقیقه ای، در شکل. ب مقیاس قیمت هفتگی. همانطور که می بینید، این نقل قول ها خاصیت تکرار کامل یکدیگر را ندارند، اما می توانیم آنها را مشابه در نظر بگیریم.

حتی ساده‌ترین فرکتال‌ها -فرکتال‌هایی که از نظر هندسی خود مشابه هستند- خواص غیرعادی دارند. به عنوان مثال، یک دانه برف فون کوخ دارای محیطی با طول نامحدود است، اگرچه یک منطقه محدود را محدود می کند (شکل 9). علاوه بر این، آنقدر خاردار است که کشیدن مماس بر روی آن در هر نقطه‌ای از کانتور غیرممکن است (یک ریاضیدان می‌گوید که دانه‌های برف فون کوخ هیچ‌جا قابل تمایز نیست، یعنی در هیچ نقطه‌ای صاف نیست).

ماندلبروت دریافت که نتایج اندازه گیری کسری برای درجات مختلف افزایش بی نظمی جسم ثابت می ماند. به عبارت دیگر، برای هر بی نظمی، قاعده مندی (نظم، نظم) وجود دارد. وقتی با چیزی به گونه‌ای برخورد می‌کنیم که گویی به صورت تصادفی اتفاق می‌افتد، این نشان می‌دهد که ماهیت این تصادفی را درک نمی‌کنیم. از نظر بازار، این بدان معناست که تشکیل همان تشکل‌های معمولی باید در بازه‌های زمانی متفاوتی اتفاق بیفتد. نمودار یک دقیقه ای تشکیل فراکتال را به همان شیوه نمودار ماهانه توصیف می کند. چنین «شبهات خود» که در نمودارهای بازارهای کالایی و مالی یافت می‌شود، همه نشانه‌هایی را نشان می‌دهد که اقدامات بازار به پارادایم رفتار «طبیعت» نزدیک‌تر است تا رفتار تحلیل‌های اقتصادی و بنیادی.

در این ارقام می توانید تأیید موارد فوق را بیابید. در سمت چپ نمودار با مقیاس دقیقه، در سمت راست مقیاس هفتگی است. در اینجا جفت ارز دلار/ین (شکل 9 (الف)) و یورو/دلار (شکل 9 (ب)) با مقیاس‌های قیمتی متفاوت است. اگرچه جفت ارز JPY/USD در مقایسه با EUR/USD نوسان متفاوتی دارد، می‌توانیم ساختار حرکت قیمت یکسانی را مشاهده کنیم.

بعد فراکتال

سومین ویژگی فراکتال ها این است که اجسام فراکتالی دارای بعد متفاوت با اقلیدسی (به عبارت دیگر بعد توپولوژیکی) هستند. بعد فراکتال نشانگر پیچیدگی منحنی است. با تجزیه و تحلیل تناوب نواحی با ابعاد مختلف فراکتال و نحوه تأثیرگذاری سیستم توسط عوامل خارجی و داخلی، می توانید پیش بینی رفتار سیستم را یاد بگیرید. و مهمتر از همه، تشخیص و پیش بینی شرایط ناپایدار.

در زرادخانه ریاضیات مدرن، ماندلبرو یک معیار کمی مناسب برای ناقص بودن اشیاء پیدا کرد - پیچ خوردگی کانتور، چروک شدن سطح، شکستگی و تخلخل حجم. این توسط دو ریاضیدان - فلیکس هاسدورف (1868-1942) و آبرام سامویلوویچ بسیکوویچ (1891-1970) پیشنهاد شد. امروزه به شایستگی نام های باشکوه سازندگانش (بعد Hausdorff – Besicovich) – Hausdorff – Besicovich بعد را یدک می کشد. بعد چیست و چرا در رابطه با تحلیل بازارهای مالی به آن نیاز داریم؟ قبل از این، ما فقط یک نوع بعد را می شناختیم - توپولوژیک (شکل 11). خود کلمه بعد نشان می دهد که یک شی چند بعد دارد. برای یک پاره یا یک خط مستقیم، برابر با 1 است، یعنی. ما فقط یک بعد داریم، یعنی طول یک پاره یا خط مستقیم. برای یک هواپیما، بعد 2 خواهد بود، زیرا ما یک بعد، طول و عرض دو بعدی داریم. برای فضا یا اجسام حجمی، بعد 3 است: طول، عرض و ارتفاع.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم بازی های کامپیوتری. اگر بازی با گرافیک سه بعدی ساخته شده باشد، فضایی و سه بعدی است، اگر در گرافیک دوبعدی، گرافیک در یک صفحه نمایش داده می شود (شکل 10).

غیرمعمول ترین (درست تر است بگوییم غیرعادی) در مورد بعد Hausdorff-Besicovitch این بود که می تواند نه تنها مقادیر صحیح، مانند یک بعد توپولوژیکی، بلکه مقادیر کسری را نیز بگیرد. برابر با یک برای یک خط مستقیم (بی نهایت، نیمه نامتناهی یا قسمت متناهی)، بعد هاسدورف-بسیکوویچ با افزایش پیچش افزایش می یابد، در حالی که بعد توپولوژیکی سرسختانه تمام تغییراتی را که با خط رخ می دهد نادیده می گیرد.

بعد، پیچیدگی یک مجموعه (به عنوان مثال، یک خط) را مشخص می کند. اگر این منحنی با بعد توپولوژیکی برابر با 1 باشد (خط مستقیم)، آنگاه منحنی را می توان با تعداد بی نهایت خم و شاخه پیچیده کرد تا حدی که بعد فراکتالی آن به دو نزدیک شود، یعنی. تقریباً کل صفحه را پر می کند (شکل 12)

با افزایش مقدار، بعد هاسدورف-بسیکوویچ به طور ناگهانی آن را تغییر نمی دهد، همانطور که بعد توپولوژیکی "در جای خود" انجام می دهد، از 1 مستقیم به 2 حرکت می کند. - مقادیر کسری را می گیرد: برای یک خط مستقیم برابر با یک، برای یک خط کمی خمیده برابر با 1.15، برای یک خط خمیده تر 1.2، برای یک خط بسیار منحنی 1.5 و غیره می شود.

دقیقاً به منظور تأکید ویژه بر توانایی بعد هاسدورف-بسیکویچ در گرفتن مقادیر کسری و غیر صحیح، بود که ماندلبرو نئولوژیسم خود را مطرح کرد و آن را بعد فراکتال نامید. بنابراین، بعد فراکتال (نه تنها هاسدورف-بسیکوویچ، بلکه هر بعد دیگری) بعد است که می تواند نه لزوماً مقادیر صحیح، بلکه مقادیر کسری را نیز بگیرد.

برای فرکتال‌های هندسی خطی، بعد، شباهت خود را مشخص می‌کند. بیایید به شکل نگاه کنیم. 17 (A)، خط از N=4 قطعه تشکیل شده است که طول هر کدام r = 1/3 است. در نتیجه نسبت را بدست می آوریم:

D = logN/log (1/r)

وقتی در مورد مولتی فراکتال ها (غیرخطی) صحبت می کنیم، وضعیت کاملاً متفاوت است. در اینجا بعد معنای خود را به عنوان تعریف شباهت یک شی از دست می دهد و از طریق تعمیم های مختلف تعریف می شود، بسیار کمتر طبیعی از بعد منحصر به فرد اشیاء خود مشابه.

در بازار ارز، این بعد می تواند نوسان قیمت ها را مشخص کند. هر جفت ارز رفتار خاص خود را در مقیاس قیمت دارد. برای جفت پوند/دلار (شکل 13(الف)) آرامتر از یورو/دلار است (شکل 13(ب)). جالب‌ترین نکته این است که این ارزها با ساختار یکسانی به سطوح قیمتی حرکت می‌کنند، اما ابعاد آنها متفاوت است که می‌تواند بر معاملات روزانه و تغییر الگوهایی که از چشم‌های بی‌آموزش دور می‌ماند، تأثیر بگذارد.

در شکل شکل 14 بعد را در رابطه با مدل ریاضی نشان می دهد تا بتوانید معنای این اصطلاح را عمیق تر درک کنید. توجه داشته باشید که هر سه تصویر یک چرخه را نشان می دهند. در شکل و بعد در شکل 1.2 است. b بعد 1.5 است و در شکل. در 1.9. مشاهده می شود که با افزایش ابعاد، درک یک جسم پیچیده تر می شود و دامنه ارتعاشات افزایش می یابد.

در بازارهای مالی، ابعاد نه تنها در کیفیت نوسانات قیمت، بلکه در کیفیت جزئیات چرخه (امواج) نیز منعکس می شود. به لطف آن، ما قادر خواهیم بود تشخیص دهیم که آیا یک موج به مقیاس زمانی خاصی تعلق دارد یا خیر. در شکل شکل 15 جفت یورو/دلار را در مقیاس قیمت روزانه نشان می دهد. لطفا توجه داشته باشید که چرخه تشکیل شده و آغاز یک چرخه جدید و بزرگتر به وضوح قابل مشاهده است. با تغییر به مقیاس ساعتی و بزرگ‌تر کردن یکی از چرخه‌ها، می‌توانیم متوجه چرخه‌های کوچک‌تر و بخشی از بزرگ‌تر واقع در D1 شویم (شکل 16). جزئیات چرخه ها، به عنوان مثال بعد آنها به ما اجازه می دهد تا از شرایط اولیه تعیین کنیم که وضعیت در آینده چگونه ممکن است توسعه یابد. می توان گفت: بعد فراکتال خاصیت تغییرناپذیری مقیاس مجموعه مورد بررسی را منعکس می کند.

مفهوم تغییر ناپذیری توسط مندلبروت از کلمه "درزگیر" - مقیاس پذیر، یعنی. هنگامی که یک شی دارای خاصیت تغییر ناپذیری است، مقیاس های نمایش متفاوتی دارد.

در شکل 16، دایره A یک چرخه کوچک (موج مفصل) را برجسته می کند، دایره B - موجی از یک چرخه بزرگتر. دقیقاً به دلیل این بعد است که ما همیشه نمی توانیم همه چرخه ها را در مقیاس قیمت یکسان تعیین کنیم.

ما در مورد مشکلات تعریف و ویژگی های توسعه چرخه های غیر ادواری در بخش "چرخه ها در بازار ارز" صحبت خواهیم کرد؛ اکنون نکته اصلی برای ما این بود که بفهمیم این بعد چگونه و کجا خود را در بازارهای مالی نشان می دهد.

بنابراین، می توان گفت که فراکتال ها به عنوان مدل در مواردی استفاده می شوند که یک شی واقعی را نمی توان در قالب مدل های کلاسیک نشان داد. این بدان معناست که ما با روابط غیرخطی و ماهیت غیر قطعی (تصادفی) داده ها سر و کار داریم. غیرخطی بودن در مفهوم ایدئولوژیک به معنای مسیرهای توسعه چند متغیره، وجود انتخاب از مسیرهای جایگزین و سرعت معینی از تکامل و همچنین برگشت ناپذیری فرآیندهای تکاملی است. غیرخطی بودن در مفهوم ریاضی به معنای نوع معینی از معادلات ریاضی (معادلات دیفرانسیل غیرخطی) است که دارای مقادیر مورد نظر در توان های بیشتر از یک یا ضرایبی بسته به ویژگی های محیط است. یک مثال ساده از یک سیستم دینامیکی غیرخطی:

جانی سالی 2 اینچ رشد می کند. این سیستم توضیح می دهد که چگونه قد جانی در طول زمان تغییر می کند. بگذارید x(n) قد جانی امسال باشد. بگذارید رشد او در سال آینده به صورت x(n+1) نوشته شود. سپس می توانیم سیستم دینامیکی را به صورت معادله بنویسیم:

x(n+1) = x(n) + 2.

میبینی؟ آیا این فقط ریاضی ساده نیست؟ اگر قد جانی را امروز x(n) = 38 اینچ وارد کنیم، در سمت راست معادله قد جانی را در سال آینده به صورت x(n+1) = 40 اینچ می گیریم:

x(n+1) = x(n) + 2 = 38 + 2 = 40.

حرکت از راست به چپ در معادله را تکرار (تکرار) می گویند. می‌توانیم با وارد کردن ارتفاع جدید جانی به اندازه 40 اینچ در سمت صحیح معادله (یعنی x(n) = 40) معادله را دوباره تکرار کنیم و x(n+1) = 42 به دست می‌آید. اگر تکرار کنیم (تکرار) معادله 3 بار، قد جانی را بعد از 3 سال، یعنی 44 اینچ، با قد 38 اینچ شروع می کنیم.

این یک سیستم پویا قطعی است. اگر بخواهیم آن را غیر قطعی (تصادفی) کنیم، می‌توانیم مدلی مانند این بسازیم: جانی سالانه 2 اینچ، کم و بیش رشد می‌کند و معادله را به صورت زیر بنویسیم:

x(n+1) = x(n) + 2 + e

جایی که e یک خطای کوچک است (کوچک نسبت به 2)، نشان دهنده مقداری توزیع احتمال است.

بیایید به معادله قطعی اصلی برگردیم. معادله اصلی، x(n+1) = x(n) + 2، خطی است. خطی به این معنی است که متغیرها یا ثابت ها را اضافه می کنید یا متغیرها را در ثابت ضرب می کنید. مثلا معادله

z(n+l) = z(n) + 5 y(n) -2 x(n)

خطی است اما اگر متغیرها را ضرب کنید، یا آنها را به توانی بیشتر از یک برسانید، معادله (سیستم) غیرخطی می شود. مثلا معادله

x(n+1) = x(n) 2

غیر خطی است زیرا x(n) مربع است. معادله

غیر خطی است زیرا دو متغیر x و y ضرب می شوند.

وقتی مدل های کلاسیک را اعمال می کنیم (مثلاً روند، رگرسیون، و غیره)، می گوییم که آینده شی به طور منحصر به فردی تعیین می شود، یعنی. کاملا بستگی دارد شرایط اولیهو به وضوح قابل پیش بینی است. می توانید یکی از این مدل ها را خودتان در اکسل اجرا کنید. نمونه ای از یک مدل کلاسیک را می توان به عنوان یک روند دائماً کاهش یا افزایش نشان داد. و ما می توانیم رفتار آن را با دانستن گذشته شی (داده های اولیه برای مدل سازی) پیش بینی کنیم. و از فراکتال ها در مواردی استفاده می شود که یک شی چندین گزینه توسعه دارد و وضعیت سیستم با موقعیتی که در آن قرار دارد تعیین می شود. این لحظه. یعنی سعی می کنیم توسعه آشفته را شبیه سازی کنیم. بازار ارز بین بانکی دقیقاً چنین سیستمی است.

حال بیایید ببینیم که چگونه از یک خط مستقیم می‌توان چیزی را که ما فراکتال می‌نامیم، با ویژگی‌های ذاتی‌اش دریافت کرد.

در شکل 17 (A) منحنی کخ را نشان می دهد. بیایید یک پاره خط، طول آن = 1، یعنی. هنوز یک بعد توپولوژیکی است. حالا آن را به سه قسمت (هر 1/3 طول) تقسیم می کنیم و یک سوم وسط را حذف می کنیم. اما ثلث میانی را با دو قسمت (هر 3/1 طول) جایگزین می کنیم که می توان آن ها را دو ضلع مثلث متساوی الاضلاع در نظر گرفت. این طراحی مرحله دو (ب) در شکل 1 نشان داده شده است. 17 (الف). در این مرحله ما 4 قسمت کوچکتر داریم، هر یک 1/3 طول، بنابراین کل طول 4 (1/3) = 4/3 است. سپس این فرآیند را برای هر یک از 4 سهم کوچکتر خط تکرار می کنیم. این مرحله سوم (ج) است. این به ما 16 سهم خط حتی کوچکتر می دهد که هر کدام 1/9 طول دارند. بنابراین کل طول اکنون 16/9 یا (4/3) 2 است. در نتیجه یک بعد کسری به دست آوردیم. اما این تنها چیزی نیست که ساختار حاصل را از یک ساختار مستقیم متمایز می کند. شبیه خود شده است و رسم مماس در هیچ یک از نقاط آن غیرممکن است (شکل 17 (B)).

محتوا

مجموعه های خود مشابه با ویژگی های غیر معمول در ریاضیات

از اواخر قرن نوزدهم، نمونه‌هایی از اشیاء خود مشابه با ویژگی‌هایی که از دیدگاه تحلیل کلاسیک آسیب‌شناسی هستند در ریاضیات ظاهر شده‌اند. این موارد شامل موارد زیر است:

• مجموعه کانتور یک مجموعه کامل و غیرقابل شمارش متراکم است. با اصلاح رویه، می توان مجموعه ای متراکم از طول مثبت را نیز به دست آورد.
• مثلث Sierpinski ("سفره") و فرش Sierpinski آنالوگ از Cantor در هواپیما هستند.
• اسفنج منگر آنالوگ کانتور است که در فضای سه بعدی قرار گرفته است.
• مثال‌هایی توسط وایرشتراس و ون در واردن از یک تابع پیوسته متمایز ناپذیر.
• منحنی کخ یک منحنی پیوسته غیرخود متقاطع با طول بی نهایت است که در هیچ نقطه ای مماس ندارد.
• منحنی Peano - یک منحنی پیوسته که از تمام نقاط مربع عبور می کند.
• مسیر یک ذره براونی نیز در هیچ کجا با احتمال 1 قابل تمایز نیست. بعد هاسدورف آن دو [ ] .

روش بازگشتی برای به دست آوردن منحنی های فراکتال

فراکتال ها به عنوان نقاط ثابت نگاشت فشرده سازی

ویژگی خود شباهت را می توان به صورت ریاضی دقیق به صورت زیر بیان کرد. اجازه دهید نقشه برداری انقباضی از هواپیما. نگاشت زیر را روی مجموعه همه زیرمجموعه های فشرده (بسته و محدود) صفحه در نظر بگیرید: Ψ : K ↦ ∪ i = 1 n ψ i (K) (\displaystyle \Psi \colon K\mapsto \cup _(i=1)^(n)\psi _(i)(K))

می توان نشان داد که نقشه برداری Ψ (\displaystyle \Psi)یک نقشه انقباض بر روی مجموعه فشرده با متریک هاسدورف است. بنابراین، طبق قضیه باناخ، این نگاشت یک نقطه ثابت منحصر به فرد دارد. این نقطه ثابت فراکتال ما خواهد بود.

روش بازگشتی برای به دست آوردن منحنی های فراکتال که در بالا توضیح داده شد یک مورد خاص از این ساختار است. این شامل تمام نمایشگرها است ψ i , i = 1 , … , n (\displaystyle \psi _(i),\,i=1,\dots ,n)- نمایش شباهت، و n (\displaystyle n)- تعداد پیوندهای مولد.

ایجاد تصاویر گرافیکی زیبا بر اساس دینامیک پیچیده با رنگ آمیزی نقاط صفحه بسته به رفتار سیستم های دینامیکی مربوطه رایج است. به عنوان مثال، برای تکمیل مجموعه Mandelbrot، می توانید نقاط را بسته به سرعت آسپیراسیون رنگ کنید z n (\displaystyle z_(n))تا بی نهایت (مثلاً به عنوان کوچکترین عدد تعریف شده است n (\displaystyle n)، که در آن | z n | (\displaystyle |z_(n)|)از یک مقدار ثابت تجاوز خواهد کرد A (\displaystyle A)).

بیومورف ها فراکتال هایی هستند که بر اساس دینامیک پیچیده و یادآور موجودات زنده ساخته شده اند.

فراکتال های تصادفی

اجسام طبیعی اغلب شکل فراکتال دارند. می توان از فراکتال های تصادفی (تصادفی) برای مدل سازی آنها استفاده کرد. نمونه هایی از فراکتال های تصادفی:

• مسیر حرکت براونی در هواپیما و در فضا.
• مرز مسیر حرکت براونی در یک هواپیما. در سال 2001، لاولر، شرام و ورنر فرضیه ماندلبرات را اثبات کردند که بعد آن 4/3 است.
• تکامل‌های Schramm-Löwner منحنی‌های فراکتال ثابتی هستند که در مدل‌های دوبعدی مهم مکانیک آماری، مانند مدل Ising و نفوذ ایجاد می‌شوند.
• انواع مختلففراکتال های تصادفی، یعنی فرکتال هایی که با استفاده از یک روش بازگشتی به دست می آیند که در هر مرحله یک پارامتر تصادفی معرفی می شود. پلاسما نمونه ای از استفاده از چنین فراکتالی در گرافیک کامپیوتری است.

اجسام طبیعی با خواص فراکتالی

اشیاء طبیعی ( شبه فراکتال ها) با فراکتال های انتزاعی ایده آل در ناقص بودن و عدم دقت تکرارهای ساختار متفاوت است. بیشتر ساختارهای فراکتال مانندی که در طبیعت یافت می شوند (مرزهای ابرها، خطوط ساحلی، درختان، برگ های گیاهان، مرجان ها و ...) شبه فراکتال هستند، زیرا در مقیاس کوچک ساختار فراکتال ناپدید می شود. ساختارهای طبیعی به دلیل محدودیت‌های ناشی از اندازه سلول زنده و در نهایت اندازه مولکول‌ها نمی‌توانند فراکتال کامل باشند.

• در حیات وحش:
  • ستاره دریایی و جوجه تیغی
  • گل و گیاه (کلم بروکلی، کلم)
  • تاج درخت و برگ گیاهان
  • میوه (آناناس)
  • دستگاه گردش خون و برونش انسان و حیوان
• در طبیعت بی جان:
  • مرزهای اشیاء جغرافیایی (کشورها، مناطق، شهرها)
  • الگوهای یخ زده روی شیشه پنجره
  • استالاکتیت ها، استالاگمیت ها، هلیکتیت ها.

کاربرد

علوم طبیعی

در فیزیک، فراکتال‌ها به طور طبیعی هنگام مدل‌سازی فرآیندهای غیرخطی، مانند جریان سیال متلاطم، فرآیندهای پیچیده انتشار-جذب، شعله‌های آتش، ابرها و موارد مشابه به وجود می‌آیند. فراکتال ها در مدل سازی مواد متخلخل، به عنوان مثال، در پتروشیمی ها استفاده می شوند. در زیست شناسی، از آنها برای مدل سازی جمعیت ها و توصیف سیستم ها استفاده می شود. اعضای داخلی(سیستم عروق خونی). پس از ایجاد منحنی کخ، پیشنهاد شد از آن در محاسبه وسعت استفاده شود خط ساحلی.

مهندسی رادیو

آنتن های فراکتال

استفاده از هندسه فراکتال در طراحی

مفاهیم هندسه فراکتال و فراکتال، که در اواخر دهه 70 ظاهر شد، از اواسط دهه 80 در بین ریاضیدانان و برنامه نویسان به طور جدی تثبیت شد. کلمه فراکتال از کلمه لاتین fractus گرفته شده است و به معنای متشکل از قطعات است. بنوا ماندلبرو در سال 1975 برای اشاره به ساختارهای نامنظم اما خود مشابهی که به آن توجه داشت، پیشنهاد شد. تولد هندسه فراکتال معمولاً با انتشار کتاب ماندلبرو "هندسه فراکتالی طبیعت" در سال 1977 همراه است. آثار او از نتایج علمی دانشمندان دیگری که در دوره 1875-1925 در همین زمینه کار می کردند استفاده می کرد (پوانکاره، فاتو، جولیا، کانتور، هاوسدورف اما تنها در زمان ما امکان ترکیب کار آنها در یک سیستم واحد وجود داشت.
امروزه نقش فراکتال ها در گرافیک کامپیوتری بسیار زیاد است. آنها به کمک می آیند، به عنوان مثال، زمانی که لازم باشد، با استفاده از چندین ضریب، خطوط و سطوحی با اشکال بسیار پیچیده را تعریف کنند. از نقطه نظر گرافیک کامپیوتری، هندسه فراکتال هنگام تولید ابرهای مصنوعی، کوه ها و سطوح دریا ضروری است. در واقع راهی پیدا شده است که به راحتی اجرام پیچیده غیر اقلیدسی را نشان می دهد که تصاویر آنها بسیار شبیه به نمونه های طبیعی است.
یکی از ویژگی های اصلی فراکتال ها خود شباهت است. در ساده ترین حالت، بخش کوچکی از یک فراکتال حاوی اطلاعاتی درباره کل فراکتال است. تعریف مندلبروت از فراکتال این است: "فرکتال ساختاری است متشکل از قطعاتی که به نوعی شبیه به کل هستند."

وجود دارد عدد بزرگاشیاء ریاضی به نام فراکتال (مثلث سیرپینسکی، دانه برف کخ، منحنی پیانو، مجموعه مندلبرو و جاذبه های لورنتس). فراکتال ها بسیاری از پدیده ها و تشکل های فیزیکی دنیای واقعی را با دقت زیادی توصیف می کنند: کوه ها، ابرها، جریان های متلاطم (گرداب)، ریشه ها، شاخه ها و برگ های درختان، رگ های خونی که به دور از تطابق با ساده است. شکل های هندسی. برای اولین بار، بنوا ماندلبرو در اثر مهم خود "هندسه فراکتال طبیعت" در مورد ماهیت فراکتال جهان ما صحبت کرد.
اصطلاح فراکتال توسط بنوا ماندلبروت در سال 1977 در اثر بنیادی فراکتال ها، فرم، آشوب و ابعاد معرفی شد. به گفته مندلبروت، کلمه فراکتال از کلمات لاتین fractus - کسری و فرانگر - به شکستن می آید، که ماهیت یک فراکتال را به عنوان یک مجموعه "شکسته" و نامنظم منعکس می کند.

طبقه بندی فراکتال ها

برای ارائه طیف گسترده ای از فراکتال ها، راحت است که به طبقه بندی پذیرفته شده آنها متوسل شوید. سه دسته از فراکتال ها وجود دارد.

1. فراکتال های هندسی.

فراکتال های این کلاس بصری ترین هستند. در حالت دو بعدی، آنها با استفاده از یک خط شکسته (یا سطح در حالت سه بعدی)، به نام ژنراتور به دست می آیند. در یک مرحله از الگوریتم، هر یک از بخش‌هایی که چند خط را تشکیل می‌دهند با یک چند خط ژنراتور در مقیاس مناسب جایگزین می‌شوند. در نتیجه تکرار بی پایان این روش، یک فراکتال هندسی به دست می آید.

بیایید مثالی از یکی از این اشیاء فراکتال را در نظر بگیریم - منحنی کخ سه گانه.

ساخت منحنی کخ سه گانه.

بیایید یک قطعه مستقیم به طول 1 را در نظر بگیریم. بیایید آن را صدا کنیم دانه. بیایید دانه را به سه قسمت مساوی به طول 1/3 تقسیم کنیم، قسمت میانی را دور بیندازیم و با یک خط شکسته از دو پیوند به طول 1/3 جایگزین کنیم.

ما یک خط شکسته متشکل از 4 پیوند با طول کل 4/3 دریافت خواهیم کرد - به اصطلاح نسل اول.

برای انتقال به نسل بعدی منحنی کخ، باید قسمت میانی هر پیوند را دور انداخته و جایگزین کرد. بر این اساس، طول نسل دوم 16/9، سوم - 64/27 خواهد بود. اگر این فرآیند را تا بی نهایت ادامه دهیم، نتیجه یک منحنی کخ سه گانه است.

بیایید اکنون ویژگی های منحنی کخ سه گانه را در نظر بگیریم و دریابیم که چرا فراکتال ها "هیولا" نامیده می شوند.

اولاً، این منحنی طولی ندارد - همانطور که دیدیم، با تعداد نسل‌ها طول آن به بی‌نهایت میل می‌کند.

ثانیاً، ساختن مماس بر این منحنی غیرممکن است - هر یک از نقاط آن یک نقطه عطف است که مشتق در آن وجود ندارد - این منحنی صاف نیست.

طول و صافی خصوصیات اساسی منحنی ها هستند که هم توسط هندسه اقلیدسی و هم توسط هندسه لوباچفسکی و ریمان مورد مطالعه قرار می گیرند. روش‌های سنتی تجزیه و تحلیل هندسی برای منحنی کخ سه‌گانه غیرقابل اجرا بود، بنابراین منحنی کوخ یک هیولا بود - یک "هیولا" در میان ساکنان صاف هندسه‌های سنتی.

ساخت "اژدها" هارتر-هیثاوی.

برای به دست آوردن یک شی فراکتالی دیگر، باید قوانین ساخت و ساز را تغییر دهید. اجازه دهید عنصر تشکیل دهنده دو بخش مساوی باشد که در زوایای قائم به هم متصل شده اند. در نسل صفر، قطعه واحد را با این عنصر مولد جایگزین می کنیم تا زاویه در بالا باشد. می توان گفت که با چنین جایگزینی جابجایی وسط پیوند وجود دارد. هنگام ساخت نسل های بعدی، از این قانون پیروی می شود: اولین پیوند در سمت چپ با یک عنصر شکل دهنده جایگزین می شود به طوری که وسط پیوند به سمت چپ جهت حرکت منتقل می شود و هنگام جایگزینی پیوندهای بعدی، جهت های جابجایی وسط قطعات باید متناوب باشد. شکل، چند نسل اول و نسل یازدهم منحنی را نشان می دهد که طبق اصل توضیح داده شده در بالا ساخته شده است. منحنی با n تمایل به بی نهایت را اژدهای هارتر-هیتاوی می نامند.
در گرافیک کامپیوتری استفاده از فراکتال های هندسی هنگام به دست آوردن تصاویر درختان و بوته ها ضروری است. فراکتال های هندسی دو بعدی برای ایجاد بافت های سه بعدی (الگوهای روی سطح یک جسم) استفاده می شود.

2. فراکتال های جبری

این بزرگترین گروه فراکتال هاست. آنها با استفاده از فرآیندهای غیرخطی در فضاهای n بعدی به دست می آیند. فرآیندهای دو بعدی بیشترین مطالعه را دارند. هنگام تفسیر یک فرآیند تکراری غیرخطی به عنوان یک سیستم پویا گسسته، می توان از اصطلاحات تئوری این سیستم ها استفاده کرد: پرتره فاز، فرآیند حالت پایدار، جذب کننده و غیره.
مشخص است که سیستم های دینامیکی غیرخطی چندین حالت پایدار دارند. حالتی که سیستم پویا پس از تعداد معینی از تکرارها در آن قرار می گیرد به حالت اولیه آن بستگی دارد. بنابراین، هر حالت پایدار (یا، همانطور که می گویند، جذب کننده) دارای یک منطقه خاص از حالت های اولیه است، که سیستم لزوماً در حالت های نهایی مورد بررسی قرار می گیرد. بنابراین، فضای فاز سیستم به مناطق جذب جاذبه ها تقسیم می شود. اگر فضای فاز یک فضای دو بعدی باشد، با رنگ آمیزی مناطق جذب با رنگ های مختلف، می توان پرتره فاز رنگی این سیستم (فرایند تکراری) را به دست آورد. با تغییر الگوریتم انتخاب رنگ، می توانید الگوهای فراکتالی پیچیده با الگوهای چند رنگی عجیب و غریب به دست آورید. یک شگفتی برای ریاضیدانان توانایی تولید ساختارهای بسیار پیچیده غیر پیش پا افتاده با استفاده از الگوریتم های اولیه بود.

مجموعه ماندلبروت

به عنوان مثال مجموعه Mandelbrot را در نظر بگیرید. الگوریتم ساخت آن بسیار ساده است و بر اساس یک عبارت تکراری ساده است: Z = Z[i] * Z[i] + C، جایی که زیو سی- متغیرهای پیچیده تکرارها برای هر نقطه شروع از یک منطقه مستطیلی یا مربعی - زیر مجموعه ای از صفحه پیچیده - انجام می شود. روند تکراری ادامه می یابد تا زمانی که Z[i]از دایره شعاع 2 فراتر نمی رود، که مرکز آن در نقطه (0,0) قرار دارد، (این بدان معناست که جذب کننده سیستم دینامیکی در بی نهایت است)، یا پس از تعداد زیادی تکرار (به عنوان مثال) ، 200-500) Z[i]به نقطه ای از دایره همگرا می شود. بسته به تعداد تکرارهایی که طی آن Z[i]در داخل دایره باقی مانده است، می توانید رنگ نقطه را تنظیم کنید سی(اگر Z[i]برای مدت طولانی در داخل دایره باقی می ماند مقدار زیادتکرارها، فرآیند تکرار متوقف می شود و این نقطه شطرنجی سیاه رنگ می شود).

3. فراکتال های تصادفی

یکی دیگر از کلاس های شناخته شده فراکتال ها، فراکتال های تصادفی هستند که اگر برخی از پارامترهای آن به طور تصادفی در یک فرآیند تکرار شونده تغییر کنند، به دست می آیند. در این مورد، اشیاء حاصل بسیار شبیه به موارد طبیعی هستند - درختان نامتقارن، خطوط ساحلی ناهموار و غیره. فراکتال‌های تصادفی دو بعدی در مدل‌سازی سطوح زمین و دریا استفاده می‌شوند.
دسته بندی های دیگری از فراکتال ها وجود دارد، به عنوان مثال، تقسیم فراکتال ها به قطعی (جبری و هندسی) و غیر قطعی (تصادفی).

در مورد استفاده از فراکتال ها

اول از همه، فراکتال ها رشته ای از هنرهای شگفت انگیز ریاضی هستند که با کمک ساده ترین فرمول ها و الگوریتم ها، تصاویری با زیبایی و پیچیدگی خارق العاده به دست می آیند! برگ ها، درختان و گل ها اغلب در خطوط تصویر ساخته شده قابل مشاهده هستند.

برخی از قدرتمندترین کاربردهای فراکتال ها در گرافیک کامپیوتری نهفته است. اولاً این فشرده سازی فراکتالی تصاویر است و ثانیاً ساخت مناظر، درختان، گیاهان و تولید بافت های فراکتال است. فیزیک و مکانیک مدرن تازه شروع به مطالعه رفتار اجسام فراکتالی کرده است. و البته از فراکتال ها مستقیماً در خود ریاضیات استفاده می شود.
از مزایای الگوریتم های فشرده سازی تصویر فراکتال می توان به حجم بسیار کوچک فایل بسته بندی شده و زمان کوتاه بازیابی تصویر اشاره کرد. تصاویر بسته بندی شده فراکتال را می توان بدون ایجاد پیکسل شدن مقیاس بندی کرد. اما فرآیند فشرده سازی طول می کشد مدت زمان طولانیو گاهی ساعت ها ادامه دارد. الگوریتم بسته بندی با اتلاف فراکتال به شما امکان می دهد سطح فشرده سازی را مشابه فرمت jpeg تنظیم کنید. الگوریتم بر اساس جستجوی قطعات بزرگ تصویر است که شبیه به برخی از قطعات کوچک است. و فقط کدام قطعه مشابه آن در فایل خروجی نوشته می شود. هنگام فشرده سازی، معمولاً از یک شبکه مربع استفاده می شود (قطعه ها مربع هستند) که منجر به زاویه ای جزئی در هنگام بازیابی تصویر می شود؛ شبکه شش ضلعی این اشکال را ندارد.
Iterated فرمت تصویر جدیدی به نام "Sting" را توسعه داده است که ترکیبی از فشرده سازی فراکتال و موجی (مانند jpeg) بدون تلفات است. فرمت جدید به شما امکان می دهد تصاویری را با امکان مقیاس بندی بعدی با کیفیت بالا ایجاد کنید و حجم فایل های گرافیکی 15-20٪ از حجم تصاویر فشرده نشده است.
تمایل فراکتال ها به شباهت به کوه ها، گل ها و درختان توسط برخی ویرایشگرهای گرافیکی مورد سوء استفاده قرار می گیرد، به عنوان مثال، ابرهای فراکتال از استودیوی 3D MAX، کوه های فراکتال در World Builder. درختان فراکتال، کوه ها و کل مناظر با فرمول های ساده تعریف می شوند، به راحتی برنامه ریزی می شوند و در صورت نزدیک شدن به مثلث ها و مکعب های جداگانه تجزیه نمی شوند.
نمی توان استفاده از فراکتال ها را در خود ریاضیات نادیده گرفت. در نظریه مجموعه‌ها، مجموعه کانتور وجود مجموعه‌های متراکم بی‌نقص را اثبات می‌کند؛ در نظریه اندازه‌گیری، تابع خودوابستگی «نردبان کانتور» مثال خوبی از تابع توزیع یک اندازه‌گیری منفرد است.
در مکانیک و فیزیک، فراکتال ها به دلیل خاصیت منحصر به فردشان در تکرار خطوط کلی بسیاری از اجسام طبیعی استفاده می شوند. فراکتال ها به شما این امکان را می دهند که درختان، سطوح کوه ها و شکاف ها را با دقت بالاتری نسبت به تقریب ها با استفاده از مجموعه ای از بخش ها یا چند ضلعی ها (با همان مقدار داده های ذخیره شده) تقریب بزنید. مدل‌های فراکتال، مانند اجسام طبیعی، دارای یک "زبری" هستند و این ویژگی مهم نیست که بزرگنمایی مدل چقدر زیاد باشد، حفظ می‌شود. وجود یک اندازه گیری یکنواخت در فراکتال ها به فرد اجازه می دهد تا یکپارچگی، نظریه پتانسیل را اعمال کند و از آنها به جای اشیاء استاندارد در معادلات قبلاً مطالعه شده استفاده کند.
با رویکرد فراکتال، هرج و مرج دیگر بی نظمی آبی نیست و ساختار ظریفی پیدا می کند. علم فراکتال هنوز خیلی جوان است و آینده بزرگی در پیش دارد. زیبایی فراکتال‌ها به پایان نرسیده است و هنوز هم شاهکارهای زیادی را به ما خواهد داد - آنهایی که چشم را خوشحال می‌کنند و آنهایی که لذت واقعی را به ذهن می‌آورند.

درباره ساخت فراکتال ها

روش تقریب متوالی

با نگاه کردن به این تصویر، درک اینکه چگونه می توانید یک فراکتال خود مشابه (در این مورد، هرم Sierpinski) بسازید، دشوار نیست. ما باید یک هرم منظم (چهاروجهی) بگیریم، سپس وسط آن (هشت وجهی) را برش دهیم و در نتیجه چهار هرم کوچک ایجاد کنیم. با هر یک از آنها عملیات مشابه و غیره را انجام می دهیم. این یک توضیح ساده اما روشن است.

اجازه دهید ماهیت روش را دقیق تر در نظر بگیریم. اجازه دهید یک سیستم IFS وجود داشته باشد، به عنوان مثال. سیستم نقشه برداری فشرده سازی اس=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (به عنوان مثال، برای هرم ما نگاشتها به شکل S i (x)=1/2*x+o i هستند، جایی که o i هستند رئوس چهار وجهی، i=1،..،4). سپس مقداری از مجموعه فشرده A 1 در R n را انتخاب می کنیم (در مورد ما یک چهار وجهی انتخاب می کنیم). و توالی مجموعه ها را با استقرا تعریف می کنیم A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). مشخص است که مجموعه های A k با افزایش k، جذب کننده مورد نظر سیستم را بهتر و بهتر تقریب می کنند اس.

توجه داشته باشید که هر یک از این تکرارها یک جذب کننده هستند سیستم تکرارشونده توابع تکرار شده (اصطلاح انگلیسی دیگراف IFS, RIFSو همچنین IFS مبتنی بر نمودار) و بنابراین ساخت آنها با استفاده از برنامه ما آسان است.

روش نقطه به نقطه یا احتمال

این ساده ترین روش برای پیاده سازی در رایانه است. برای سادگی، ما مورد یک ست خود چسبنده تخت را در نظر می گیریم. پس اجازه دهید (S

) - برخی از سیستم انقباضات آفین. نمایش S

قابل نمایندگی به عنوان: S

اندازه ماتریس ثابت 2x2 و o

ستون برداری دو بعدی.

• بیایید نقطه ثابت اولین نقشه برداری S 1 را به عنوان نقطه شروع در نظر بگیریم:
  x:= o1;
  در اینجا ما از این واقعیت استفاده می کنیم که تمام نقاط ثابت فشرده سازی S 1 ,...,S m متعلق به فراکتال هستند. شما می توانید یک نقطه دلخواه را به عنوان نقطه شروع انتخاب کنید و دنباله نقاط ایجاد شده توسط آن به یک فراکتال کشیده می شود، اما سپس چندین نقطه اضافی روی صفحه ظاهر می شود.
• بیایید نقطه فعلی x=(x 1 ,x 2) را روی صفحه علامت گذاری کنیم:
  putpixel(x 1 , x 2 , 15 )؛
• بیایید به طور تصادفی یک عدد j را از 1 تا m انتخاب کنیم و مختصات نقطه x را دوباره محاسبه کنیم:
  j:=تصادفی(m)+1;
  x:=S j (x);
• ما به مرحله 2 می رویم، یا اگر تعداد زیادی تکرار انجام داده باشیم، متوقف می شویم.

توجه داشته باشید.اگر نسبت تراکم نگاشت های S i متفاوت باشد، آنگاه فراکتال با نقاطی به طور ناموزون پر می شود. اگر نگاشت S i مشابه باشد، می توان با کمی پیچیده کردن الگوریتم از این امر جلوگیری کرد. برای انجام این کار، در مرحله سوم الگوریتم، عدد j از 1 تا m باید با احتمالات p 1 =r 1 s,..,p m =r m s انتخاب شود که r i نشان دهنده ضرایب تراکم نگاشت Si است و عدد s (که بعد تشابه نامیده می شود) از معادله r 1 s +... + r m s =1 پیدا می شود. حل این معادله را می توان مثلاً با روش نیوتن پیدا کرد.

درباره فراکتال ها و الگوریتم های آنها

فراکتال از صفت لاتین "fractus" می آید و در ترجمه به معنای متشکل از قطعات است و فعل لاتین مربوطه "frangere" به معنای شکستن، یعنی ایجاد قطعات نامنظم است. مفاهیم هندسه فراکتال و فراکتال، که در اواخر دهه 70 ظاهر شد، از اواسط دهه 80 در بین ریاضیدانان و برنامه نویسان به طور جدی تثبیت شد. این اصطلاح توسط بنوا ماندلبرو در سال 1975 برای اشاره به ساختارهای نامنظم اما خود مشابهی که او به آن توجه داشت ابداع شد. تولد هندسه فراکتال معمولاً با انتشار کتاب ماندلبروت "هندسه فراکتال طبیعت" در سال 1977 همراه است. آثار او از نتایج علمی دانشمندان دیگری که در دوره 1875-1925 در همین زمینه کار می کردند (پوانکاره، فاتو، جولیا، کانتور، هاسدورف) استفاده می کرد.

تنظیمات

اجازه دهید برخی از تنظیمات را در الگوریتم های پیشنهاد شده در کتاب توسط H.-O انجام دهم. Peitgen and P.H. Richter "The Beauty of Fractals" M. 1993 صرفاً برای از بین بردن اشتباهات تایپی و تسهیل درک فرآیندها، زیرا پس از مطالعه آنها، بسیاری از آنها برای من یک راز باقی ماند. متأسفانه، این الگوریتم‌های «قابل درک» و «ساده» سبک زندگی تکان‌دهنده‌ای را پیش می‌برند.

ساخت فراکتال ها بر اساس یک تابع غیرخطی مشخص از یک فرآیند پیچیده با بازخورد z => z 2 +c است زیرا z و c اعداد مختلط هستند، سپس z = x + iy، c = p + iq تجزیه آن ضروری است. به x و y برای رفتن به واقع بینانه تر انسان عادیسطح:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

صفحه ای متشکل از تمام جفت ها (x,y) را می توان به عنوان مقادیر ثابت در نظر گرفت p و q، و با آنهایی که پویا هستند. در حالت اول، با عبور از تمام نقاط (x, y) صفحه طبق قانون و رنگ آمیزی آنها بسته به تعداد تکرارهای تابع لازم برای خروج از فرآیند تکراری یا عدم رنگ آمیزی آنها (رنگ سیاه) از حداکثر مجاز تکرار فراتر رفته است، ما نمایشی از مجموعه جولیا خواهیم داشت. اگر برعکس، جفت مقادیر اولیه (x,y) را تعیین کنیم و سرنوشت رنگی آن را با مقادیر متغیر پارامترهای p و q به صورت پویا دنبال کنیم، تصاویری به نام مجموعه های ماندلبروت به دست می آوریم.

در مورد الگوریتم های رنگ آمیزی فراکتال ها.

معمولاً بدنه یک مجموعه به صورت یک میدان سیاه نشان داده می شود، اگرچه واضح است که رنگ سیاه را می توان با هر رنگ دیگری جایگزین کرد، اما این نیز نتیجه کمی جالب است. گرفتن یک تصویر از یک مجموعه به رنگ تمام رنگ ها، کاری است که با استفاده از عملیات چرخه ای قابل حل نیست زیرا تعداد تکرارهای مجموعه های تشکیل دهنده بدنه برابر با حداکثر ممکن است و همیشه یکسان است. می توان با استفاده از نتیجه بررسی شرط خروج حلقه (z_magnitude) یا چیزی شبیه به آن، اما با سایر عملیات ریاضی، به عنوان عدد رنگ، یک مجموعه را در رنگ های مختلف رنگ آمیزی کرد.

استفاده از "میکروسکوپ فراکتال"

برای نشان دادن پدیده های مرزی

جاذبه‌ها مراکزی هستند که مبارزه برای تسلط را در هواپیما رهبری می‌کنند. مرزی بین جاذبه‌ها ظاهر می‌شود که نشان‌دهنده یک الگوی گلدار است. با افزایش مقیاس در نظر گرفتن در مرزهای مجموعه، می توان الگوهای غیر پیش پاافتاده ای را به دست آورد که وضعیت آشوب قطعی را منعکس می کند - یک پدیده رایج در دنیای طبیعی.

اشیایی که توسط جغرافیدانان مورد مطالعه قرار می گیرند، یک سیستم با مرزهای بسیار پیچیده سازمان یافته را تشکیل می دهند، و بنابراین شناسایی آنها به یک کار عملی ساده تبدیل نمی شود. مجموعه های طبیعی دارای هسته های معمولی هستند که به عنوان جاذبه هایی عمل می کنند که با دور شدن از قلمرو نفوذ خود را از دست می دهند.

با استفاده از یک میکروسکوپ فراکتال برای مجموعه‌های ماندلبروت و جولیا، می‌توان ایده‌ای از فرآیندهای مرزی و پدیده‌هایی که صرف‌نظر از مقیاس در نظر گرفتن به همان اندازه پیچیده هستند تشکیل داد و بنابراین درک متخصص را برای ملاقات با پویا و در نگاه اول آماده کرد. ، هرج و مرج در مکان و زمان شی طبیعی، برای درک هندسه فراکتال طبیعت. رنگ های رنگارنگ و موسیقی فراکتال قطعا تاثیر عمیقی در ذهن دانش آموزان خواهد گذاشت.

هزاران نشریه و منابع اینترنتی گسترده به فراکتال ها اختصاص داده شده است، اما برای بسیاری از متخصصان دور از علوم کامپیوتر، این اصطلاح کاملاً جدید به نظر می رسد. فراکتال ها به عنوان موضوعات مورد علاقه متخصصان رشته های مختلف دانش باید جایگاه مناسبی در دروس علوم کامپیوتر داشته باشند.

مثال ها

شبکه سیپینسکی

این یکی از فرکتال‌هایی است که ماندلبرو در هنگام توسعه مفاهیم ابعاد و تکرار فراکتال آزمایش کرد. مثلث هایی که از اتصال نقاط میانی یک مثلث بزرگتر به وجود می آیند از مثلث اصلی بریده می شوند و مثلثی با سوراخ های بیشتر تشکیل می دهند. در این حالت، آغازگر مثلث بزرگ و الگو عملیات برش مثلث های مشابه مثلث بزرگتر است. شما همچنین می توانید با استفاده از یک چهار ضلعی معمولی و برش دادن چهار وجهی های کوچک، یک نسخه سه بعدی از یک مثلث دریافت کنید. بعد چنین فراکتالی ln3/ln2 = 1.584962501 است. بدست آوردن فرش سیرپینسکییک مربع بردارید و به 9 مربع تقسیم کنید و وسط را ببرید. ما همین کار را با بقیه مربع های کوچکتر انجام خواهیم داد. در نهایت، یک شبکه فراکتال مسطح تشکیل می شود که هیچ مساحتی ندارد اما با اتصالات بی نهایت. اسفنج سیرپینسکی در شکل فضایی خود به سیستمی از فرم های سرتاسری تبدیل می شود که در آن هر عنصر انتها به انتها دائماً با نوع خود جایگزین می شود. این ساختار بسیار شبیه به بخشی از بافت استخوانی است. روزی چنین سازه های تکراری به عنصری از سازه های ساختمانی تبدیل خواهند شد. ماندلبرو معتقد است استاتیک و پویایی آنها مستحق مطالعه دقیق است.

منحنی KOCH

منحنی کخ یکی از معمولی ترین فراکتال های قطعی است. در قرن نوزدهم توسط یک ریاضیدان آلمانی به نام هلگه فون کوخ اختراع شد که در حین مطالعه آثار گئورگ کنتور و کارل وایرشتراسه، با توصیفاتی از منحنی های عجیب و غریب با رفتار غیرعادی مواجه شد. آغازگر یک خط مستقیم است. ژنراتور یک مثلث متساوی الاضلاع است که اضلاع آن برابر با یک سوم طول قطعه بزرگتر است. این مثلث ها بارها و بارها به وسط هر بخش اضافه می شوند. مندلبروت در تحقیقات خود آزمایش های زیادی با منحنی های کخ انجام داد و با استفاده از یک چهار وجهی و افزودن چهار وجهی کوچکتر به هر یک از چهره های آن، ارقامی مانند جزایر کوخ، صلیب های کوخ، دانه های برف کوخ و حتی نمایش های سه بعدی منحنی کخ را تولید کرد. منحنی کوخ دارای ابعاد ln4/ln3 = 1.261859507 است.

فراکتال ماندلبروت

این مجموعه Mandelbrot نیست، که اغلب آن را می بینید. مجموعه مندلبرو بر اساس معادلات غیر خطی است و یک فراکتال پیچیده است. این نیز نوعی از منحنی کخ است، اگرچه این شی شبیه به آن نیست. آغازگر و مولد نیز با مواردی که برای ایجاد فراکتال ها بر اساس اصل منحنی کوخ استفاده می شوند متفاوت هستند، اما ایده یکسان باقی می ماند. به جای پیوستن مثلث های متساوی الاضلاعبه یک بخش منحنی، مربع به مربع اضافه می شود. با توجه به اینکه این فراکتال در هر تکرار دقیقاً نیمی از فضای اختصاص داده شده را اشغال می کند، ابعاد فراکتال ساده 3/2 = 1.5 دارد.

پنتاگون دارر

یک فراکتال شبیه یک دسته پنج ضلعی است که به هم فشرده شده اند. در واقع با استفاده از یک پنج ضلعی به عنوان آغازگر و مثلث های متساوی الساقین که در آنها نسبت ضلع بزرگتر به ضلع کوچکتر دقیقاً برابر است با نسبت طلایی (1.618033989 یا 1/(2cos72)) به عنوان مولد تشکیل می شود. . این مثلث ها از وسط هر پنج ضلعی بریده می شوند و در نتیجه شکلی به نظر می رسد که 5 پنج ضلعی کوچک به یک پنج ضلعی بزرگ چسبانده شده اند. یک نوع از این فراکتال را می توان با استفاده از یک شش ضلعی به عنوان آغازگر به دست آورد. این فراکتال ستاره دیوید نامیده می شود و کاملاً شبیه نسخه شش ضلعی دانه برف کوخ است. بعد فراکتال پنج ضلعی دارر ln6/ln(1+g) است که g نسبت طول ضلع بزرگتر مثلث به طول ضلع کوچکتر است. در این مورد، g است نسبت طلاییبنابراین بعد فراکتال تقریباً 1.86171596 است. بعد فراکتال ستاره داوود ln6/ln3 یا 1.630929754.

فراکتال های پیچیده

در واقع، اگر یک ناحیه کوچک از هر فراکتال پیچیده را بزرگ‌نمایی کنید و سپس همین کار را با ناحیه کوچکی از آن ناحیه انجام دهید، این دو بزرگ‌نمایی به طور قابل توجهی با یکدیگر متفاوت خواهند بود. این دو تصویر در جزئیات بسیار شبیه به هم خواهند بود، اما کاملاً یکسان نخواهند بود.

شکل 1. تقریب مجموعه مندلبرو

به عنوان مثال، تصاویر مجموعه Mandelbrot را که در اینجا نشان داده شده است، مقایسه کنید، که یکی از آنها با بزرگ کردن ناحیه خاصی از دیگری به دست آمده است. همانطور که می بینید، آنها کاملاً یکسان نیستند، اگرچه در هر دو ما یک دایره سیاه می بینیم که از آن شاخک های شعله ور در جهات مختلف گسترش می یابند. این عناصر به طور نامحدود در مجموعه مندلبرو با نسبت های کاهشی تکرار می شوند.

فراکتال های قطعی خطی هستند، در حالی که فراکتال های پیچیده این گونه نیستند. از آنجایی که این فراکتال‌ها غیرخطی هستند، توسط چیزی که ماندلبروت آن را غیرخطی می‌نامد، تولید می‌شوند معادلات جبری. مثال خوبفرآیند Zn+1=ZnІ + C است که معادله ای است که برای ساخت مجموعه مندلبروت و جولیا درجه دوم استفاده می شود. حل این معادلات ریاضی شامل اعداد مختلط و خیالی است. هنگامی که معادله به صورت گرافیکی در صفحه مختلط تفسیر می شود، نتیجه شکل عجیبی است که در آن خطوط مستقیم به منحنی تبدیل می شوند و اثرات خود شباهت، البته نه بدون تغییر شکل، در سطوح مختلف مقیاس ظاهر می شوند. در عین حال، کل تصویر به طور کلی غیرقابل پیش بینی و بسیار آشفته است.

همانطور که با نگاه کردن به تصاویر می بینید، فراکتال های پیچیده در واقع بسیار پیچیده هستند و بدون کمک کامپیوتر نمی توان آنها را ایجاد کرد. برای به دست آوردن نتایج رنگارنگ، این رایانه باید دارای یک پردازشگر ریاضی قدرتمند و یک نمایشگر با وضوح بالا باشد. بر خلاف فراکتال های قطعی، فراکتال های پیچیده در 5-10 تکرار محاسبه نمی شوند. تقریباً هر نقطه روی صفحه رایانه مانند یک فراکتال جداگانه است. در طول پردازش ریاضی، هر نقطه به عنوان یک نقاشی جداگانه در نظر گرفته می شود. هر نقطه مربوط به یک مقدار خاص است. معادله برای هر نقطه ساخته شده است و برای مثال 1000 تکرار انجام می شود. برای به دست آوردن یک تصویر نسبتاً بدون تحریف در یک دوره زمانی قابل قبول برای رایانه های خانگی، می توان 250 تکرار را برای یک نقطه انجام داد.

اکثر فراکتال هایی که امروزه می بینیم به زیبایی رنگ شده اند. شاید تصاویر فراکتال دقیقاً به دلیل طرح های رنگی آنها چنین اهمیت زیبایی شناختی زیادی پیدا کنند. پس از محاسبه معادله، کامپیوتر نتایج را تجزیه و تحلیل می کند. اگر نتایج ثابت بماند یا حول یک مقدار مشخص در نوسان باشد، نقطه معمولا سیاه می شود. اگر مقدار در یک مرحله به بی نهایت میل کند، نقطه به رنگ دیگری، شاید آبی یا قرمز رنگ می شود. در طول این فرآیند، کامپیوتر رنگ ها را به تمام سرعت های حرکت اختصاص می دهد.

به طور معمول، نقاط با حرکت سریع قرمز رنگ می شوند، در حالی که نقاط کندتر به رنگ زرد و غیره هستند. لکه های تیره احتمالا پایدارترین هستند.

فراکتال های پیچیده از این نظر که بی نهایت پیچیده هستند با فرکتال های قطعی تفاوت دارند، اما هنوز هم می توانند با یک فرمول بسیار ساده تولید شوند. فراکتال های قطعی به فرمول یا معادله نیاز ندارند. فقط کمی کاغذ طراحی بردارید و می توانید بدون هیچ مشکلی یک الک Sierpinski تا 3 یا 4 تکرار بسازید. این را با تعداد زیادی جولیا امتحان کنید! اندازه گیری طول خط ساحلی انگلستان آسان تر است!

ست ماندلبروت

شکل 2. مجموعه Mandelbrot

مجموعه های ماندلبروت و جولیا احتمالاً دو مجموعه رایج در میان فراکتال های پیچیده هستند. آنها را می توان در بسیاری از مجلات علمی، جلد کتاب، کارت پستال و محافظ صفحه نمایش کامپیوتر یافت. مجموعه ماندلبروت که توسط بنوا ماندلبروت ساخته شده است، احتمالاً اولین ارتباطی است که افراد با شنیدن کلمه فراکتال به آن دست می یابند. این فراکتال که شبیه یک ماشین کارتینگ است که نواحی شعله ور درخت مانند و دایره ای به آن متصل است، با فرمول ساده Zn+1=Zna+C تولید می شود که در آن Z و C اعداد مختلط و a یک عدد مثبت است.

مجموعه مندلبرو که بیشتر دیده می شود، مجموعه مندلبرو درجه 2 است، یعنی a = 2. این واقعیت که مجموعه مندلبروت نه تنها Zn+1=ZnІ+C است، بلکه یک فراکتال است که توان فرمول آن می تواند هر کدام باشد. عدد مثبتبسیاری را گمراه کرده است در این صفحه نمونه ای از مجموعه Mandelbrot را مشاهده می کنید معانی مختلفنشانگر الف
شکل 3. ظاهر حباب ها در a=3.5

فرآیند Z=Z*tg(Z+C) نیز محبوب است. با گنجاندن تابع مماس، نتیجه یک مجموعه ماندلبرو است که توسط ناحیه ای شبیه سیب احاطه شده است. هنگام استفاده از تابع کسینوس، اثرات حباب هوا به دست می آید. به طور خلاصه، تعداد بی نهایت راه برای پیکربندی مجموعه Mandelbrot برای تولید تصاویر زیبای متفاوت وجود دارد.

بسیاری از جولیا

با کمال تعجب، مجموعه های جولیا بر اساس همان فرمول مجموعه مندلبرو شکل می گیرند. مجموعه جولیا توسط ریاضیدان فرانسوی گاستون جولیا اختراع شد که به نام او این مجموعه نامگذاری شد. اولین سوالی که پس از آشنایی بصری با مجموعه های ماندلبرو و جولیا مطرح می شود این است که "اگر هر دو فراکتال بر اساس یک فرمول تولید می شوند، چرا اینقدر متفاوت هستند؟" ابتدا به تصاویر ست جولیا نگاه کنید. به اندازه کافی عجیب، انواع مختلفی از ست های جولیا وجود دارد. هنگام ترسیم یک فراکتال با استفاده از نقاط شروع مختلف (برای شروع فرآیند تکرار)، تصاویر مختلفی تولید می شود. این فقط برای مجموعه جولیا صدق می کند.

شکل 4. مجموعه جولیا

اگرچه در تصویر دیده نمی شود، یک فراکتال ماندلبروت در واقع بسیاری از فراکتال های جولیا است که به هم متصل شده اند. هر نقطه (یا مختصات) مجموعه مندلبرو مربوط به فراکتال جولیا است. مجموعه های جولیا را می توان با استفاده از این نقاط به عنوان مقادیر اولیه در معادله Z=ZI+C تولید کرد. اما این بدان معنا نیست که اگر نقطه ای را در فراکتال ماندلبروت انتخاب کنید و آن را بزرگ کنید، می توانید فراکتال جولیا را دریافت کنید. این دو نقطه یکسان هستند، اما فقط در یک مفهوم ریاضی. اگر این نقطه را بگیرید و با استفاده از این فرمول محاسبه کنید، می توانید یک فراکتال جولیا مربوط به نقطه خاصی از فراکتال ماندلبروت را بدست آورید.