چگونه یک معادله ساده را با لگاریتم حل کنیم. حل معادلات لگاریتمی راهنمای کامل (2019)

معادلات لگاریتمی از ساده به پیچیده.

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

معادله لگاریتمی چیست؟

این یک معادله با لگاریتم است. تعجب کردم، درست است؟) سپس توضیح خواهم داد. این معادله ای است که مجهولات (x) و عبارات با آنها پیدا می شود داخل لگاریتم هاو فقط آنجا! مهم است.

در اینجا چند نمونه آورده شده است معادلات لگاریتمی :

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x+1 (x2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg (x+1)

خوب فهمیدی... )

توجه داشته باشید! متنوع ترین عبارات با X قرار دارند منحصراً در لگاریتماگر به طور ناگهانی یک X در جایی از معادله ظاهر شود خارج از، مثلا:

log 2 x = 3+x,

این یک معادله خواهد بود نوع مختلط. چنین معادلاتی قوانین روشنی برای حل آنها ندارند. فعلا آنها را در نظر نخواهیم گرفت. به هر حال، معادلاتی در داخل لگاریتم وجود دارد فقط اعداد. مثلا:

چه می توانم بگویم؟ شما خوش شانس هستید اگر با این روبرو شوید! لگاریتم با اعداد است تعدادی عددهمین. برای حل چنین معادله ای، دانستن خواص لگاریتم ها کافی است. دانش قوانین خاص، تکنیک هایی که به طور خاص برای حل اقتباس شده اند معادلات لگاریتمی،اینجا لازم نیست

بنابراین، معادله لگاریتمی چیست- ما متوجه شدیم

چگونه معادلات لگاریتمی را حل کنیم؟

راه حل معادلات لگاریتمی- موضوع در واقع خیلی ساده نیست. بنابراین بخش ما چهار ... دانش کافی در مورد انواع موضوعات مرتبط مورد نیاز است. علاوه بر این، ویژگی خاصی در این معادلات وجود دارد. و این ویژگی آنقدر مهم است که با خیال راحت می توان آن را مشکل اصلی در حل معادلات لگاریتمی نامید. در درس بعدی به طور مفصل به این مشکل خواهیم پرداخت.

در حال حاضر، نگران نباشید. راه درست را خواهیم رفت از ساده به پیچیدهبر نمونه های خاص. نکته اصلی این است که به چیزهای ساده بپردازید و برای دنبال کردن پیوندها تنبل نباشید، من آنها را به دلیلی در آنجا قرار دادم ... و همه چیز برای شما درست خواهد شد. لزوما.

بیایید با ابتدایی ترین و ساده ترین معادلات شروع کنیم. برای حل آنها، توصیه می شود ایده ای از لگاریتم داشته باشید، اما نه بیشتر. فقط هیچ ایده ای نیست لگاریتم،تصمیم بگیرند لگاریتمیمعادلات - به نوعی حتی ناجور... خیلی جسورانه، من می گویم).

ساده ترین معادلات لگاریتمی

اینها معادلات شکل هستند:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

فرآیند حل هر معادله لگاریتمیعبارت است از انتقال از یک معادله با لگاریتم به یک معادله بدون آنها. در ساده ترین معادلات این انتقال در یک مرحله انجام می شود. به همین دلیل آنها ساده ترین هستند.)

و حل چنین معادلات لگاریتمی به طرز شگفت انگیزی آسان است. خودت ببین.

بیایید مثال اول را حل کنیم:

log 3 x = log 3 9

برای حل این مثال، شما تقریباً نیازی به دانستن چیزی ندارید، بله... کاملاً شهود!) به چه چیزی نیاز داریم بخصوصاین مثال را دوست ندارید؟ چی-چی... لگاریتم رو دوست ندارم! درست. پس بیایید از شر آنها خلاص شویم. ما به دقت به مثال نگاه می کنیم و یک میل طبیعی در ما ایجاد می شود ... کاملاً غیر قابل مقاومت! لگاریتم ها را بردارید و به طور کلی دور بریزید. و آنچه خوب است این است می توانانجام دادن! ریاضیات اجازه می دهد. لگاریتم ها ناپدید می شوندپاسخ این است:

عالیه، درسته؟ این را می توان (و باید) همیشه انجام داد. حذف لگاریتم ها به این روش یکی از راه های اصلی حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها است. در ریاضیات به این عمل می گویند تقویتالبته، قوانینی برای چنین انحلال وجود دارد، اما آنها کم هستند. یاد آوردن:

شما می توانید لگاریتم ها را بدون هیچ ترسی حذف کنید اگر دارای موارد زیر باشند:

الف) پایه های عددی یکسان

ج) لگاریتم ها از چپ به راست خالص هستند (بدون هیچ ضرایبی) و در انزوای عالی قرار دارند.

نکته آخر را روشن کنم. در معادله، بیایید بگوییم

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

لگاریتم ها قابل حذف نیستند. دو طرف سمت راست این اجازه را نمی دهند. ضریب می دانید ... در مثال

log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)

همچنین تقویت معادله غیرممکن است. هیچ لگاریتمی تنها در سمت چپ وجود ندارد. دو تا از آنها موجود است.

به طور خلاصه، اگر معادله شبیه به این باشد و فقط به این شکل باشد، می توانید لگاریتم ها را حذف کنید:

log a (.....) = log a (.....)

در پرانتز، جایی که بیضی وجود دارد، ممکن است وجود داشته باشد هر عباراتیساده، فوق العاده پیچیده، همه نوع. هر چه. نکته مهم این است که پس از حذف لگاریتم ها باقی می ماند معادله ساده ترالبته فرض بر این است که شما قبلاً می دانید چگونه معادلات خطی، درجه دوم، کسری، نمایی و غیره را بدون لگاریتم حل کنید.)

حالا به راحتی می توانید مثال دوم را حل کنید:

log 7 (2x-3) = log 7 x

در واقع، در ذهن تصمیم گرفته شده است. ما تقویت می کنیم، دریافت می کنیم:

خوب، خیلی سخت است؟) همانطور که می بینید، لگاریتمیبخشی از حل معادله است فقط در حذف لگاریتم ...و سپس جواب معادله باقی مانده بدون آنها می آید. یک موضوع بی اهمیت

بیایید مثال سوم را حل کنیم:

log 7 (50x-1) = 2

می بینیم که یک لگاریتم در سمت چپ وجود دارد:

به یاد داشته باشیم که این لگاریتم عددی است که برای بدست آوردن یک عبارت زیر لگاریتمی، پایه باید به آن افزایش یابد (یعنی هفت). (50x-1).

اما این عدد دو است! با توجه به معادله به این معنا که:

اساساً همین است. لگاریتم ناپدید شد،چیزی که باقی می ماند یک معادله بی ضرر است:

ما این معادله لگاریتمی را فقط بر اساس معنی لگاریتم حل کردیم. آیا حذف لگاریتم ها هنوز آسان تر است؟) موافقم. به هر حال، اگر از دو لگاریتم بسازید، می توانید این مثال را از طریق حذف حل کنید. هر عددی را می توان به لگاریتم تبدیل کرد. علاوه بر این، روشی که ما به آن نیاز داریم. یک تکنیک بسیار مفید در حل معادلات لگاریتمی و (به خصوص!) نابرابری ها.

نمیدانید چگونه از یک عدد لگاریتم بسازید!؟ خوبه. بخش 555 این تکنیک را به تفصیل شرح می دهد. می توانید به آن مسلط شوید و از آن نهایت استفاده را ببرید! تعداد خطاها را تا حد زیادی کاهش می دهد.

معادله چهارم به روشی کاملاً مشابه حل شده است (طبق تعریف):

خودشه.

بیایید این درس را خلاصه کنیم. ما حل ساده ترین معادلات لگاریتمی را با استفاده از مثال بررسی کردیم. این خیلی مهمه. و نه تنها به این دلیل که چنین معادلاتی در آزمون ها و امتحانات ظاهر می شود. واقعیت این است که بدترین و پیچیده ترین معادلات نیز لزوماً به ساده ترین آنها تقلیل می یابد!

در واقع ساده ترین معادلات بخش پایانی راه حل هستند هرمعادلات و این قسمت پایانی را باید به شدت درک کرد! و بیشتر. این صفحه را حتما تا آخر بخوانید. اونجا یه سورپرایز هست...)

حالا خودمون تصمیم میگیریم به اصطلاح بهتر شویم...)

ریشه (یا مجموع ریشه ها، در صورت وجود چند) معادلات را بیابید:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0.5x-1.5) = 0.25

log 0.2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

پاسخ ها (البته به هم ریخته): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2 16.

چه، همه چیز درست نمی شود؟ اتفاق می افتد. نگران نباش! بخش 555 راه حل همه این مثال ها را به طور واضح و دقیق توضیح می دهد. شما قطعا آن را در آنجا کشف خواهید کرد. همچنین تکنیک های کاربردی مفیدی را یاد خواهید گرفت.

همه چیز درست شد!؟ همه نمونه های "یکی مانده"؟) تبریک می گویم!

وقت آن رسیده که حقیقت تلخ را برای شما فاش کنیم. حل موفقیت آمیز این مثال ها موفقیت در حل تمام معادلات لگاریتمی دیگر را تضمین نمی کند. حتی ساده ترین ها مثل این ها. افسوس.

واقعیت این است که راه حل هر معادله لگاریتمی (حتی ابتدایی ترین!) شامل دو قسمت مساویحل معادله و کار با ODZ. ما بر یک بخش مسلط شدیم - حل خود معادله. آنقدرها هم سخت نیستدرست؟

برای این درس، من به طور خاص نمونه هایی را انتخاب کردم که در آنها DL به هیچ وجه روی پاسخ تأثیر نمی گذارد. اما همه به اندازه من مهربان نیستند، درست است؟...)

بنابراین تسلط بر قسمت دیگر ضروری است. ODZ. این مشکل اصلی در حل معادلات لگاریتمی است. و نه به این دلیل که دشوار است - این قسمت حتی ساده تر از قسمت اول است. اما چون مردم به سادگی ODZ را فراموش می کنند. یا نمی دانند. یا هر دو). و از آب در می آیند...

در درس بعدی به این مشکل خواهیم پرداخت. سپس می توانید با اطمینان تصمیم بگیرید هرمعادلات لگاریتمی ساده و نزدیک به وظایف کاملا محکم.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

ویدئوهای نهایی در یک سری طولانی از درس در مورد حل معادلات لگاریتمی. این بار ما در درجه اول با ODZ لگاریتم کار خواهیم کرد - دقیقاً به دلیل در نظر گرفتن نادرست (یا حتی نادیده گرفتن) دامنه تعریف است که اکثر خطاها هنگام حل چنین مسائلی رخ می دهد.

در این درس ویدیویی کوتاه به استفاده از فرمول ها برای جمع و تفریق لگاریتم و همچنین معادلات گویا کسری می پردازیم که بسیاری از دانش آموزان نیز با آن مشکل دارند.

در مورد چه چیزی صحبت خواهیم کرد؟ فرمول اصلی که می خواهم بفهمم به این صورت است:

log a (f g ) = log a f + log a g

این یک انتقال استاندارد از حاصل ضرب به مجموع لگاریتم ها و برگشت است. این فرمول را احتمالا از همان ابتدای مطالعه لگاریتم می دانید. با این حال، یک مشکل وجود دارد.

تا زمانی که متغیرهای a، f و g اعداد معمولی باشند، مشکلی پیش نمی آید. این فرمول عالی عمل می کند.

با این حال، به محض ظاهر شدن توابع به جای f و g، مشکل گسترش یا باریک شدن دامنه تعریف بسته به جهتی که باید تبدیل شود، ایجاد می‌شود. خودتان قضاوت کنید: در لگاریتم نوشته شده در سمت چپ دامنه تعریف به صورت زیر است:

fg > 0

اما در مقدار نوشته شده در سمت راست، دامنه تعریف تا حدودی متفاوت است:

f > 0

g > 0

این مجموعه از الزامات سختگیرانه تر از مورد اصلی است. در حالت اول به گزینه f بسنده می کنیم< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 اجرا می شود).

بنابراین، هنگامی که از ساختار چپ به سمت راست حرکت می کنیم، دامنه تعریف باریک می شود. اگر در ابتدا یک جمع داشتیم و آن را به صورت یک محصول بازنویسی می کردیم، دامنه تعریف گسترش می یابد.

به عبارت دیگر، در حالت اول می‌توانیم ریشه‌ها را از دست بدهیم و در حالت دوم می‌توانیم ریشه‌های اضافی به دست آوریم. این باید هنگام حل معادلات لگاریتمی واقعی در نظر گرفته شود.

بنابراین، اولین کار:

[کپشن عکس]

در سمت چپ مجموع لگاریتم ها را با استفاده از همان پایه می بینیم. بنابراین، این لگاریتم ها را می توان اضافه کرد:

[کپشن عکس]

همانطور که می بینید، در سمت راست، صفر را با استفاده از فرمول جایگزین کردیم:

a = log b b a

بیایید معادله خود را کمی بیشتر تنظیم کنیم:

log 4 (x − 5) 2 = log 4 1

پیش از ما شکل متعارف معادله لگاریتمی است؛ می‌توانیم علامت ورود را خط بزنیم و آرگومان‌ها را برابر کنیم:

(x − 5) 2 = 1

|x − 5| = 1

لطفا توجه داشته باشید: ماژول از کجا آمده است؟ به شما یادآوری می کنم که ریشه یک مربع دقیق برابر با مدول است:

[کپشن عکس]

سپس معادله کلاسیک را با مدول حل می کنیم:

|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ± 1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

در اینجا دو پاسخ نامزد وجود دارد. آیا آنها راه حلی برای معادله لگاریتمی اصلی هستند؟ به هیچ وجه!

ما حق نداریم همه چیز را همینطور رها کنیم و جواب را بنویسیم. به مرحله ای نگاه کنید که مجموع لگاریتم ها را با یک لگاریتم حاصل ضرب آرگومان ها جایگزین می کنیم. مشکل اینجاست که در عبارات اصلی توابع داریم. بنابراین، شما باید نیاز داشته باشید:

x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.

هنگامی که محصول را تبدیل کردیم و یک مربع دقیق به دست آوردیم، الزامات تغییر کردند:

(x − 5) 2 > 0

چه زمانی این الزام برآورده می شود؟ بله، تقریباً همیشه! به جز حالتی که x − 5 = 0. یعنی نابرابری به یک نقطه سوراخ کاهش می یابد:

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

همانطور که می بینید دامنه تعریف گسترش یافته است که در همان ابتدای درس در مورد آن صحبت کردیم. در نتیجه، ممکن است ریشه های اضافی ظاهر شود.

چگونه می توانید از ظاهر شدن این ریشه های اضافی جلوگیری کنید؟ این بسیار ساده است: ما به ریشه های به دست آمده خود نگاه می کنیم و آنها را با دامنه تعریف معادله اصلی مقایسه می کنیم. بیا بشماریم:

x (x − 5) > 0

ما با استفاده از روش فاصله حل خواهیم کرد:

x (x - 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

اعداد به دست آمده را روی خط علامت گذاری می کنیم. همه نکات گم شده اند زیرا نابرابری شدید است. هر عدد بزرگتر از 5 را بگیرید و جایگزین کنید:

[کپشن عکس]

ما به فواصل (-∞؛ 0) ∪ (5؛ ∞) علاقه مندیم. اگر ریشه های خود را روی قطعه علامت گذاری کنیم، خواهیم دید که x = 4 برای ما مناسب نیست، زیرا این ریشه خارج از محدوده تعریف معادله لگاریتمی اصلی قرار دارد.

به کل باز می گردیم، ریشه x = 4 را خط می زنیم و جواب را می نویسیم: x = 6. این پاسخ نهایی معادله لگاریتمی اصلی است. همین، مشکل حل شد

بریم سراغ معادله لگاریتمی دوم:

[کپشن عکس]

حلش کنیم توجه داشته باشید که جمله اول یک کسری است و دومی همان کسری است اما معکوس. از عبارت lgx نترسید - این فقط یک لگاریتم اعشاری است، ما می توانیم آن را بنویسیم:

lgx = log 10 x

از آنجایی که ما دو کسر معکوس داریم، پیشنهاد می کنم یک متغیر جدید معرفی کنیم:

[کپشن عکس]

بنابراین، معادله ما را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

t + 1/t = 2;

t + 1/t - 2 = 0;

(t 2 - 2t + 1)/t = 0;

(t - 1) 2 /t = 0.

همانطور که می بینید، صورت کسر یک مربع دقیق است. کسری وقتی که صورتش باشد برابر با صفر است برابر با صفر، و مخرج با صفر متفاوت است:

(t − 1) 2 = 0; t ≠ 0

بیایید معادله اول را حل کنیم:

t - 1 = 0;

t = 1.

این مقدار نیاز دوم را برآورده می کند. بنابراین می توان گفت که معادله خود را به طور کامل حل کرده ایم اما فقط با توجه به متغیر t. حالا بیایید به یاد بیاوریم t چیست:

[کپشن عکس]

نسبت را گرفتیم:

logx = 2 logx + 1

2 logx − logx = −1

logx = -1

ما این معادله را به شکل متعارف آن می آوریم:

logx = log 10-1

x = 10-1 = 0.1

در نتیجه، یک ریشه واحد دریافت کردیم که در تئوری، حل معادله اصلی است. با این حال، بیایید همچنان مطمئن باشیم و دامنه تعریف معادله اصلی را بنویسیم:

[کپشن عکس]

بنابراین، ریشه ما تمام الزامات را برآورده می کند. ما یک راه حل برای معادله لگاریتمی اصلی پیدا کرده ایم. پاسخ: x = 0.1. مشکل حل شده است.

در درس امروز فقط یک نکته کلیدی وجود دارد: هنگام استفاده از فرمول حرکت از یک محصول به یک جمع و برگشت، حتماً در نظر داشته باشید که دامنه تعریف بسته به جهتی که انتقال انجام می شود، می تواند محدود یا گسترش یابد.

چگونه بفهمیم چه اتفاقی می افتد: انقباض یا انبساط؟ بسیار ساده. اگر قبلاً توابع با هم بودند ، اما اکنون جدا هستند ، دامنه تعریف محدود شده است (زیرا الزامات بیشتری وجود دارد). اگر در ابتدا توابع جداگانه ایستاده بودند، و اکنون آنها با هم هستند، سپس دامنه تعریف گسترش می یابد (الزامات کمتری به محصول نسبت به عوامل فردی تحمیل می شود).

با در نظر گرفتن این تذکر، این نکته را متذکر می شوم که معادله لگاریتمی دوم اصلاً نیازی به این تبدیل ها ندارد، یعنی هیچ جا آرگومان ها را جمع و یا ضرب نمی کنیم. با این حال، در اینجا می خواهم توجه شما را به تکنیک فوق العاده دیگری جلب کنم که می تواند راه حل را به طور قابل توجهی ساده کند. این در مورد جایگزینی یک متغیر است.

با این حال، به یاد داشته باشید که هیچ جایگزینی ما را از محدوده تعریف آزاد نمی کند. به همین دلیل است که پس از یافتن همه ریشه ها، تنبل نبودیم و برای یافتن ODZ آن به معادله اصلی بازگشتیم.

اغلب، هنگام جایگزینی یک متغیر، زمانی که دانش آموزان مقدار t را پیدا می کنند و فکر می کنند که راه حل کامل است، یک خطای آزاردهنده رخ می دهد. به هیچ وجه!

هنگامی که مقدار t را پیدا کردید، باید به معادله اصلی برگردید و ببینید دقیقاً منظور ما از این حرف چیست. در نتیجه باید یک معادله دیگر را حل کنیم که البته بسیار ساده تر از معادله اصلی خواهد بود.

این دقیقاً هدف معرفی یک متغیر جدید است. ما معادله اصلی را به دو معادله میانی تقسیم می کنیم که هر کدام راه حل بسیار ساده تری دارند.

چگونه معادلات لگاریتمی "تودرتو" را حل کنیم

امروز ما به مطالعه معادلات لگاریتمی ادامه می دهیم و زمانی که یک لگاریتم تحت علامت لگاریتم دیگری قرار دارد، ساختارها را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. ما هر دو معادله را با استفاده از فرم متعارف حل خواهیم کرد.

امروز ما به مطالعه معادلات لگاریتمی ادامه می دهیم و زمانی که یک لگاریتم تحت علامت لگاریتم دیگری باشد ساختارها را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. ما هر دو معادله را با استفاده از فرم متعارف حل خواهیم کرد. یادآوری می کنم که اگر ساده ترین معادله لگاریتمی شکل log a f (x) = b را داشته باشیم، برای حل چنین معادله ای مراحل زیر را انجام می دهیم. ابتدا باید عدد b را جایگزین کنیم:

b = ورود a a b

نکته: a b یک آرگومان است. به طور مشابه، در معادله اصلی، آرگومان تابع f(x) است. سپس معادله را بازنویسی می کنیم و این ساختار را بدست می آوریم:

log a f (x) = log a a b

سپس می توانیم مرحله سوم را انجام دهیم - از شر علامت لگاریتم خلاص شویم و به سادگی بنویسیم:

f (x) = a b

در نتیجه یک معادله جدید بدست می آوریم. در این حالت هیچ محدودیتی برای تابع f (x) اعمال نمی شود. به عنوان مثال، در جای خود نیز ممکن است وجود داشته باشد تابع لگاریتمی. و سپس دوباره یک معادله لگاریتمی بدست می آوریم که دوباره آن را به ساده ترین شکل آن کاهش می دهیم و از طریق شکل متعارف حل می کنیم.

با این حال، به اندازه کافی از اشعار. بیایید مشکل واقعی را حل کنیم. بنابراین، وظیفه شماره 1:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2

همانطور که می بینید، ما یک معادله لگاریتمی ساده داریم. نقش f (x) ساخت 1 + 3 log 2 x است و نقش عدد b عدد 2 است (نقش a نیز با دو بازی می شود). بیایید این دو را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

درک این نکته مهم است که دو دوی اول از پایه لگاریتم به ما رسیده است، یعنی اگر در معادله اصلی 5 وجود داشته باشد، آن 2 = log 5 5 2 به دست می آید. به طور کلی، پایه تنها به لگاریتمی بستگی دارد که در ابتدا در مسئله آورده شده است. و در مورد ما این عدد 2 است.

بنابراین، ما معادله لگاریتمی خود را با در نظر گرفتن این واقعیت که دو سمت راست در واقع یک لگاریتم هستند، بازنویسی می‌کنیم. ما گرفتیم:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4

بیایید به آخرین مرحله طرح خود برویم - خلاص شدن از شکل متعارف. شما می توانید بگویید، ما به سادگی علائم ورود به سیستم را خط می زنیم. با این حال، از نقطه نظر ریاضی، غیرممکن است که "قطع کردن ورود" را انجام دهیم - صحیح تر است که بگوییم ما به سادگی استدلال ها را برابر می کنیم:

1 + 3 log 2 x = 4

از اینجا به راحتی می توانیم 3 log 2 x را پیدا کنیم:

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

ما دوباره ساده ترین معادله لگاریتمی را به دست آورده ایم، بیایید آن را به شکل متعارف برگردانیم. برای این کار باید تغییرات زیر را اعمال کنیم:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

چرا یک دو در پایه وجود دارد؟ زیرا در معادله متعارف ما در سمت چپ لگاریتمی دقیقاً به مبنای 2 وجود دارد. ما با در نظر گرفتن این واقعیت، مسئله را بازنویسی می کنیم:

log 2 x = log 2 2

دوباره از شر علامت لگاریتم خلاص می شویم، یعنی به سادگی آرگومان ها را برابر می کنیم. ما حق انجام این کار را داریم زیرا پایه ها یکسان هستند و هیچ اقدام اضافی دیگری در سمت راست یا چپ انجام نشده است:

همین! مشکل حل شده است. ما یک راه حل برای معادله لگاریتمی پیدا کرده ایم.

توجه داشته باشید! اگرچه متغیر x در آرگومان ظاهر می‌شود (یعنی الزاماتی برای دامنه تعریف وجود دارد)، ما هیچ الزام اضافی ایجاد نمی‌کنیم.

همانطور که در بالا گفتم، اگر متغیر فقط در یک آرگومان تنها یک لگاریتم ظاهر شود، این بررسی اضافی است. در مورد ما، x واقعاً فقط در آرگومان و فقط در زیر یک علامت log ظاهر می شود. بنابراین نیازی به بررسی اضافی نیست.

با این حال، اگر به این روش اعتماد ندارید، می توانید به راحتی تأیید کنید که x = 2 واقعاً یک ریشه است. کافی است این عدد را جایگزین معادله اصلی کنید.

بیایید به معادله دوم برویم، کمی جالب تر است:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1

اگر عبارت داخل لگاریتم بزرگ را با تابع f (x) نشان دهیم، ساده ترین معادله لگاریتمی را که درس ویدیویی امروز را با آن شروع کردیم، بدست می آوریم. بنابراین، می‌توانیم شکل متعارف را اعمال کنیم، که برای آن باید واحد را به شکل log 2 2 1 = log 2 2 نشان دهیم.

بیایید معادله بزرگ خود را بازنویسی کنیم:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

بیایید از علامت لگاریتم دور شویم و آرگومان ها را برابر کنیم. ما حق داریم این کار را انجام دهیم، زیرا هم در سمت چپ و هم در سمت راست پایه ها یکسان هستند. علاوه بر این، توجه داشته باشید که log 2 4 = 2:

log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x − 1) = 0

قبل از ما دوباره ساده ترین معادله لگاریتمی شکل log a f (x) = b است. بیایید به شکل متعارف برویم، یعنی صفر را در فرم log 1/2 (1/2) 0 = log 1/2 1 نشان می دهیم.

معادله خود را بازنویسی می کنیم و از شر علامت log خلاص می شویم و آرگومان ها را برابر می کنیم:

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x − 1 = 1

باز هم بلافاصله جواب گرفتیم. هیچ بررسی اضافی مورد نیاز نیست زیرا در معادله اصلی فقط یک لگاریتم حاوی تابع به عنوان آرگومان است.

بنابراین نیازی به بررسی اضافی نیست. به جرات می توان گفت که x = 1 تنها ریشه این معادله است.

اما اگر در لگاریتم دوم به جای چهار تابع x وجود داشت (یا 2x در آرگومان نبود، بلکه در پایه بود) - در این صورت لازم بود دامنه تعریف بررسی شود. در غیر این صورت، احتمال زیادی برای وارد شدن به ریشه های اضافی وجود دارد.

این ریشه های اضافی از کجا می آیند؟ این نکته را باید خیلی واضح فهمید. به معادلات اصلی نگاهی بیندازید: همه جا تابع x زیر علامت لگاریتمی است. در نتیجه، از آنجایی که ما log 2 x را یادداشت کردیم، به طور خودکار مورد نیاز x > 0 را تنظیم می کنیم. در غیر این صورت، این ورودی به سادگی معنا ندارد.

با این حال، همانطور که معادله لگاریتمی را حل می کنیم، از شر تمام علائم ورود به سیستم خلاص می شویم و ساختارهای ساده ای به دست می آوریم. دیگر هیچ محدودیتی در اینجا وجود ندارد، زیرا تابع خطیبرای هر مقدار x تعریف شده است.

این مشکل است، وقتی تابع نهایی همه جا و همیشه تعریف می شود، اما تابع اصلی در همه جا و نه همیشه تعریف می شود، به همین دلیل است که ریشه های اضافی اغلب در حل معادلات لگاریتمی به وجود می آیند.

اما یک بار دیگر تکرار می کنم: این فقط در شرایطی اتفاق می افتد که تابع یا در چندین لگاریتم یا در پایه یکی از آنها باشد. در مسائلی که امروز مد نظر ماست، اصولاً هیچ مشکلی برای گسترش دامنه تعریف وجود ندارد.

موارد از زمینه های مختلف

این درس به طراحی های پیچیده تر اختصاص دارد. لگاریتم ها در معادلات امروزی دیگر بلافاصله حل نمی شوند، ابتدا باید برخی از تبدیل ها انجام شود.

حل معادلات لگاریتمی را با مبانی کاملا متفاوت شروع می کنیم که قدرت های دقیق یکدیگر نیستند. اجازه ندهید چنین مشکلاتی شما را بترسانند - حل آنها دشوارتر از حل آنها نیست طرح های سادهکه در بالا به آن پرداختیم.

اما قبل از حرکت مستقیم به مسائل، اجازه دهید فرمول حل ساده ترین معادلات لگاریتمی را با استفاده از فرم متعارف به شما یادآوری کنم. مشکلی مانند این را در نظر بگیرید:

log a f (x) = b

مهم است که تابع f (x) فقط یک تابع باشد و نقش اعداد a و b باید اعداد باشد (بدون هیچ متغیر x). البته، به معنای واقعی کلمه در یک دقیقه ما به چنین مواردی نگاه خواهیم کرد که به جای متغیرهای a و b توابعی وجود دارد، اما اکنون این موضوع نیست.

همانطور که به یاد داریم، عدد b باید با یک لگاریتم به همان پایه a که در سمت چپ است جایگزین شود. این کار بسیار ساده انجام می شود:

b = ورود a a b

البته، کلمات "هر عدد b" و "هر عدد a" به معنای مقادیری هستند که محدوده تعریف را برآورده می کنند. به ویژه در این معادله ما در موردفقط پایه a > 0 و a ≠ 1.

با این حال، این نیاز به طور خودکار برآورده می شود، زیرا مسئله اصلی از قبل دارای یک لگاریتمی برای پایه a است - مطمئناً بزرگتر از 0 خواهد بود و برابر با 1 نخواهد بود. بنابراین، ما به حل معادله لگاریتمی ادامه می دهیم:

log a f (x) = log a a b

به چنین نمادی شکل متعارف می گویند. راحتی آن در این واقعیت نهفته است که می توانیم بلافاصله با معادل سازی آرگومان ها از شر علامت ورود خلاص شویم:

f (x) = a b

اکنون از این تکنیک برای حل معادلات لگاریتمی با پایه متغیر استفاده خواهیم کرد. پس بزن بریم!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0.5 0.125

بعدش چی؟ حالا یکی می گوید که باید لگاریتم درست را محاسبه کنید یا آنها را به همان پایه کاهش دهید یا چیز دیگری. و در واقع، اکنون باید هر دو پایه را به یک شکل بیاوریم - یا 2 یا 0.5. اما بیایید قانون زیر را یک بار برای همیشه یاد بگیریم:

اگر یک معادله لگاریتمی شامل اعداد اعشاری، حتما این کسرها را از نماد اعشاری به معمولی تبدیل کنید. این تبدیل می تواند راه حل را تا حد زیادی ساده کند.

چنین انتقالی باید بلافاصله انجام شود، حتی قبل از انجام هر گونه عمل یا تبدیل. بیایید نگاهی بیندازیم:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1/2 1/8

چنین رکوردی چه چیزی به ما می دهد؟ ما می توانیم 1/2 و 1/8 را به عنوان توان هایی با توان منفی نشان دهیم:

[کپشن عکس]

پیش روی ما شکل متعارف است. ما استدلال ها را برابر می کنیم و کلاسیک را می گیریم معادله درجه دوم:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

ما معادله درجه دوم زیر را داریم که با استفاده از فرمول های ویتا به راحتی قابل حل است. در دبیرستان، شما باید نمایشگرهای مشابه را به معنای واقعی کلمه به صورت شفاهی ببینید:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

همین! معادله لگاریتمی اصلی حل شده است. ما دو ریشه داشتیم.

اجازه دهید یادآوری کنم که در این مورد نیازی به تعیین دامنه تعریف نیست، زیرا تابع با متغیر x تنها در یک آرگومان وجود دارد. بنابراین، محدوده تعریف به صورت خودکار انجام می شود.

بنابراین، معادله اول حل می شود. بریم سراغ دومی:

log 0.5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9-1

اکنون توجه داشته باشید که آرگومان لگاریتم اول را می توان به صورت توانی با توان منفی نیز نوشت: 1/2 = 2-1. سپس می توانید قدرت های هر دو طرف معادله را بردارید و همه چیز را بر 1- تقسیم کنید:

[کپشن عکس]

و در حال حاضر ما بسیار انجام شده است گام مهمدر حل معادله لگاریتمی شاید کسی متوجه چیزی نشده باشد، بگذارید توضیح دهم.

به معادله ما نگاه کنید: هم در سمت چپ و هم در سمت راست یک علامت log وجود دارد، اما در سمت چپ لگاریتمی به پایه 2 وجود دارد و در سمت راست لگاریتمی به پایه 3 وجود دارد. سه عدد صحیحی از توان نیست. دو و برعکس، نمی توانید بنویسید که 2 در یک درجه صحیح 3 است.

در نتیجه، اینها لگاریتمی‌هایی با پایه‌های مختلف هستند که نمی‌توان آنها را با افزودن توان به یکدیگر کاهش داد. تنها راه حل چنین مسائلی خلاص شدن از شر یکی از این لگاریتم هاست. در این مورد، از آنجایی که ما هنوز کاملاً در حال بررسی هستیم کارهای ساده، لگاریتم سمت راست به سادگی محاسبه شد و ما ساده ترین معادله را به دست آوردیم - دقیقاً همان چیزی که در همان ابتدای درس امروز در مورد آن صحبت کردیم.

بیایید عدد 2 را که در سمت راست است، به صورت log 2 2 2 = log 2 4 نشان دهیم. و سپس از شر علامت لگاریتم خلاص می شویم، پس از آن به سادگی با یک معادله درجه دوم باقی می مانند:

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x 2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x − 2 = 0

ما یک معادله درجه دوم معمولی داریم، اما کاهش نمی یابد زیرا ضریب x 2 با واحد متفاوت است. بنابراین، ما آن را با استفاده از تمایز حل خواهیم کرد:

D = 81 - 4 5 (-2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (-9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (-9 - 11)/10 = -2

همین! ما هر دو ریشه را پیدا کرده ایم، به این معنی که برای معادله لگاریتمی اصلی راه حلی به دست آورده ایم. در واقع، در مسئله اصلی، تابع با متغیر x تنها در یک آرگومان وجود دارد. در نتیجه، هیچ بررسی اضافی در حوزه تعریف مورد نیاز نیست - هر دو ریشه ای که ما پیدا کردیم مطمئناً تمام محدودیت های ممکن را برآورده می کنند.

این می‌تواند پایان درس ویدیویی امروز باشد، اما در پایان می‌خواهم دوباره بگویم: هنگام حل معادلات لگاریتمی، حتماً همه کسرهای اعشاری را به کسری معمولی تبدیل کنید. در بیشتر موارد، این راه حل آنها را بسیار ساده می کند.

به ندرت، بسیار به ندرت، با مشکلاتی مواجه می شوید که در آن خلاص شدن از کسری اعشاری فقط محاسبات را پیچیده می کند. با این حال، در چنین معادلاتی، به عنوان یک قاعده، در ابتدا مشخص است که نیازی به خلاص شدن از کسری اعشاری نیست.

در بیشتر موارد دیگر (مخصوصا اگر تازه شروع به تمرین حل معادلات لگاریتمی کرده اید)، با خیال راحت از شر اعشار خلاص شوید و آنها را به اعداد معمولی تبدیل کنید. زیرا تمرین نشان می دهد که از این طریق راه حل و محاسبات بعدی را به طور قابل توجهی ساده خواهید کرد.

ظرافت ها و ترفندهای راه حل

امروز به سراغ مسائل پیچیده تری می رویم و یک معادله لگاریتمی را حل خواهیم کرد که نه بر اساس عدد، بلکه بر اساس یک تابع است.

و حتی اگر این تابع خطی باشد، باید تغییرات کوچکی در طرح حل ایجاد شود، که معنای آن به الزامات اضافی تحمیل شده بر دامنه تعریف لگاریتم خلاصه می شود.

وظایف پیچیده

این آموزش بسیار طولانی خواهد بود. در آن ما دو معادله لگاریتمی نسبتاً جدی را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد که هنگام حل آنها بسیاری از دانش آموزان اشتباه می کنند. در طول تمرین خود به عنوان معلم ریاضی، دائماً با دو نوع خطا مواجه می شدم:

1. ظهور ریشه های اضافی به دلیل گسترش دامنه تعریف لگاریتم. برای جلوگیری از چنین اشتباهات توهین آمیزی، فقط هر تحول را با دقت زیر نظر بگیرید.
2. از دست دادن ریشه به دلیل این واقعیت است که دانش آموز فراموش کرده است برخی موارد "لطیف" را در نظر بگیرد - اینها موقعیت هایی است که امروز روی آنها تمرکز خواهیم کرد.

این درس آخراختصاص داده شده به معادلات لگاریتمی. طولانی خواهد بود، ما معادلات لگاریتمی پیچیده را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. خودتان را راحت کنید، برای خودتان چای درست کنید و بیایید شروع کنیم.

معادله اول کاملاً استاندارد به نظر می رسد:

log x + 1 (x - 0.5) = log x - 0.5 (x + 1)

بیایید فوراً توجه کنیم که هر دو لگاریتم کپی معکوس یکدیگر هستند. بیایید فرمول فوق العاده را به خاطر بسپاریم:

log a b = 1/log b a

با این حال، این فرمول دارای تعدادی محدودیت است که اگر به جای اعداد a و b توابعی از متغیر x وجود داشته باشد، ایجاد می شود:

b > 0

1 ≠ a > 0

این الزامات برای پایه لگاریتم اعمال می شود. از طرف دیگر، در یک کسری باید 1 ≠ a > 0 داشته باشیم، زیرا نه تنها متغیر a در آرگومان لگاریتم است (از این رو a > 0)، بلکه خود لگاریتم در مخرج کسری است. . اما log b 1 = 0، و مخرج باید غیر صفر باشد، بنابراین a ≠ 1.

بنابراین، محدودیت ها در متغیر a باقی می مانند. اما برای متغیر b چه اتفاقی می افتد؟ از یک طرف، پایه دلالت بر b > 0 دارد، از سوی دیگر، متغیر b ≠ 1، زیرا پایه لگاریتم باید با 1 متفاوت باشد. در مجموع، از سمت راست فرمول نتیجه می گیرد که 1 ≠ b > 0.

اما مشکل اینجاست: شرط دوم (b ≠ 1) در نابرابری اول که با لگاریتم چپ سروکار دارد، وجود ندارد. به عبارت دیگر، هنگام انجام این تحول ما باید جداگانه چک کنید، که آرگومان b با یک متفاوت است!

پس بیایید آن را بررسی کنیم. بیایید فرمول خود را اعمال کنیم:

[کپشن عکس]

1 ≠ x − 0.5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

بنابراین ما از معادله لگاریتمی اصلی دریافتیم که a و b باید بزرگتر از 0 باشند و مساوی 1 نباشند.

پیشنهاد می کنم یک متغیر جدید معرفی کنید:

log x + 1 (x − 0.5) = t

در این مورد، ساخت ما به صورت زیر بازنویسی می شود:

(t 2 − 1)/t = 0

توجه داشته باشید که در صورت شمار اختلاف مربع ها را داریم. ما تفاوت مربع ها را با استفاده از فرمول ضرب اختصاری نشان می دهیم:

(t - 1) (t + 1)/t = 0

کسری وقتی برابر با صفر است که صورت آن صفر و مخرج آن غیر صفر باشد. اما عدد شامل یک محصول است، بنابراین ما هر عامل را با صفر برابر می کنیم:

t 1 = 1;

t 2 = -1;

t ≠ 0.

همانطور که می بینیم، هر دو مقدار متغیر t برای ما مناسب است. با این حال، راه حل به همین جا ختم نمی شود، زیرا ما باید نه t، بلکه مقدار x را پیدا کنیم. به لگاریتم برمی گردیم و می گیریم:

log x + 1 (x − 0.5) = 1;

log x + 1 (x - 0.5) = -1.

بیایید هر یک از این معادلات را به صورت متعارف قرار دهیم:

log x + 1 (x − 0.5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x - 0.5) = log x + 1 (x + 1) -1

در حالت اول از شر علامت لگاریتم خلاص می شویم و آرگومان ها را برابر می کنیم:

x − 0.5 = x + 1;

x - x = 1 + 0.5;

چنین معادله ای ریشه ندارد، بنابراین اولین معادله لگاریتمی نیز ریشه ندارد. اما با معادله دوم همه چیز بسیار جالب تر است:

(x − 0.5)/1 = 1/(x + 1)

با حل نسبت به دست می آوریم:

(x − 0.5) (x + 1) = 1

اجازه دهید به شما یادآوری کنم که هنگام حل معادلات لگاریتمی استفاده از تمام کسرهای اعشاری به عنوان کسرهای معمولی بسیار راحت تر است، بنابراین اجازه دهید معادله خود را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

(x − 1/2) (x + 1) = 1;

x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;

x 2 + 1/2x − 3/2 = 0.

معادله درجه دوم زیر را در اختیار داریم که با استفاده از فرمول های ویتا به راحتی قابل حل است:

(x + 3/2) (x − 1) = 0;

x 1 = -1.5;

x 2 = 1.

ما دو ریشه گرفتیم - آنها کاندیدای حل معادله لگاریتمی اصلی هستند. برای اینکه بفهمیم واقعاً چه ریشه‌هایی در پاسخ قرار می‌گیرند، اجازه دهید به مشکل اصلی بازگردیم. اکنون ما هر یک از ریشه های خود را بررسی می کنیم تا ببینیم آیا آنها در محدوده تعریف قرار دارند یا خیر:

1.5 ≠ x > 0.5; 0 ≠ x > -1.

این الزامات معادل یک نابرابری مضاعف است:

1 ≠ x > 0.5

از اینجا بلافاصله می بینیم که ریشه x = -1.5 مناسب ما نیست، اما x = 1 کاملاً مناسب ما است. بنابراین x = 1 راه حل نهایی معادله لگاریتمی است.

بریم سراغ کار دوم:

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

در نگاه اول ممکن است به نظر برسد که همه لگاریتم ها هستند دلایل مختلفو استدلال های مختلف با چنین سازه هایی چه باید کرد؟ ابتدا توجه داشته باشید که اعداد 25، 5 و 625 توان های 5 هستند:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

حال بیایید از خاصیت شگفت انگیز لگاریتم استفاده کنیم. نکته این است که شما می توانید قدرت ها را از یک آرگومان در قالب عوامل استخراج کنید:

log a b n = n ∙ log a b

این تبدیل همچنین در مواردی که b با یک تابع جایگزین شود، مشمول محدودیت‌هایی است. اما برای ما، b فقط یک عدد است و هیچ محدودیت اضافی وجود ندارد. بیایید معادله خود را دوباره بنویسیم:

2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5

معادله ای با سه جمله حاوی علامت ورود به سیستم بدست آورده ایم. علاوه بر این، آرگومان های هر سه لگاریتم برابر هستند.

وقت آن است که لگاریتم ها را معکوس کنیم تا آنها را به یک پایه - 5 برسانیم. از آنجایی که متغیر b ثابت است، هیچ تغییری در حوزه تعریف رخ نمی دهد. ما فقط بازنویسی می کنیم:

[کپشن عکس]

همانطور که انتظار می رفت، همان لگاریتم ها در مخرج ظاهر شدند. من پیشنهاد می کنم متغیر را جایگزین کنید:

log 5 x = t

در این حالت معادله ما به صورت زیر بازنویسی می شود:

بیایید شماره را بنویسیم و پرانتزها را باز کنیم:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

به کسری خود برگردیم. عدد باید صفر باشد:

[کپشن عکس]

و مخرج با صفر متفاوت است:

t ≠ 0; t ≠ -3; t ≠ -2

آخرین الزامات به طور خودکار برآورده می شوند، زیرا همه آنها به اعداد صحیح "گره خورده اند" و همه پاسخ ها غیر منطقی هستند.

بنابراین، معادله منطقی کسریحل شده، مقادیر متغیر t یافت می شود. بیایید به حل معادله لگاریتمی برگردیم و به یاد بیاوریم که t چیست:

[کپشن عکس]

این معادله را به شکل متعارف کاهش می دهیم و عددی با درجه غیر منطقی به دست می آوریم. اجازه ندهید این شما را گیج کند - حتی چنین استدلال هایی را می توان یکسان دانست:

[کپشن عکس]

ما دو ریشه داشتیم. به طور دقیق تر، دو پاسخ نامزد - بیایید آنها را برای مطابقت با دامنه تعریف بررسی کنیم. از آنجایی که پایه لگاریتم متغیر x است، به موارد زیر نیاز داریم:

1 ≠ x > 0;

با همان موفقیت ما ادعا می کنیم که x ≠ 1/125 است، در غیر این صورت پایه لگاریتم دوم به وحدت تبدیل می شود. در نهایت، x ≠ 1/25 برای لگاریتم سوم.

در مجموع، ما چهار محدودیت دریافت کردیم:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

حال سؤال این است: آیا ریشه های ما این الزامات را برآورده می کند؟ البته رضایت می دهند! زیرا 5 به هر توانی بزرگتر از صفر خواهد بود و شرط x > 0 به طور خودکار برآورده می شود.

از طرف دیگر، 1 = 5 0، 1/25 = 5-2، 1/125 = 5-3، به این معنی که این محدودیت ها برای ریشه های ما (که به شما یادآوری کنم، یک عدد غیر منطقی در توان دارند) نیز راضی هستند و هر دو پاسخ راه حلی برای مشکل هستند.

بنابراین، ما پاسخ نهایی را داریم. امتیاز کلیدیدر این مشکل دو مورد وجود دارد:

1. هنگامی که آرگومان و مبنا مبادله می شوند، هنگام چرخاندن لگاریتم مراقب باشید. چنین دگرگونی هایی محدودیت های غیرضروری را بر دامنه تعریف تحمیل می کند.
2. از تبدیل لگاریتم ها نترسید: آنها را نه تنها می توان معکوس کرد، بلکه با استفاده از فرمول مجموع می توان آنها را گسترش داد و به طور کلی با استفاده از فرمول هایی که هنگام حل عبارات لگاریتمی مطالعه کردید تغییر داد. با این حال، همیشه به یاد داشته باشید: برخی از تحولات دامنه تعریف را گسترش می دهند و برخی آنها را محدود می کنند.

همانطور که می دانید، هنگام ضرب عبارات با توان، نشان دهنده های آنها همیشه با هم جمع می شوند (a b *a c = a b+c). این قانون ریاضی توسط ارشمیدس استخراج شد و بعدها، در قرن هشتم، ریاضیدان ویراسن جدولی از توانای اعداد صحیح ایجاد کرد. این آنها بودند که برای کشف بیشتر لگاریتم ها خدمت کردند. نمونه‌هایی از استفاده از این تابع را می‌توان تقریباً در همه جا یافت که باید ضرب دست و پا گیر را با جمع ساده ساده کنید. اگر 10 دقیقه برای خواندن این مقاله وقت بگذارید، ما به شما توضیح خواهیم داد که لگاریتم چیست و چگونه با آنها کار کنید. به زبانی ساده و در دسترس.

تعریف در ریاضیات

لگاریتم عبارتی از شکل زیر است: log a b=c، یعنی لگاریتم هر عدد غیر منفی (یعنی هر مثبت) "b" به پایه آن "a" توان "c" در نظر گرفته می شود. ” که پایه “a” باید به آن افزایش یابد تا در نهایت مقدار “b” به دست آید. بیایید لگاریتم را با استفاده از مثال ها تجزیه و تحلیل کنیم، فرض کنید یک عبارت log وجود دارد 2 8. چگونه پاسخ را پیدا کنیم؟ خیلی ساده است، باید توانی پیدا کنید که از 2 به توان مورد نیاز 8 بگیرید. پس از انجام محاسباتی در ذهن شما، عدد 3 را به دست می آوریم! و این درست است، زیرا 2 به توان 3 پاسخ 8 را می دهد.

انواع لگاریتم

برای بسیاری از دانش آموزان و دانشجویان، این موضوع پیچیده و غیرقابل درک به نظر می رسد، اما در واقع لگاریتم ها چندان ترسناک نیستند، نکته اصلی درک معنای کلی آنها و به خاطر سپردن ویژگی ها و برخی قوانین است. سه وجود دارد گونه های منفردعبارات لگاریتمی:

1. لگاریتم طبیعی ln a، که در آن پایه عدد اویلر است (e = 2.7).
2. اعشاری a که پایه آن 10 است.
3. لگاریتم هر عدد b تا مبنای a>1.

هر یک از آنها به روشی استاندارد از جمله ساده سازی، کاهش و کاهش متعاقب آن به یک لگاریتم واحد با استفاده از قضایای لگاریتمی حل می شوند. برای به دست آوردن مقادیر صحیح لگاریتم ها، هنگام حل آنها باید ویژگی های آنها و دنباله اقدامات را به خاطر بسپارید.

قوانین و برخی محدودیت ها

در ریاضیات چندین قاعده-قید وجود دارد که به عنوان بدیهیات پذیرفته شده است، یعنی موضوع بحث نیست و حقیقت است. به عنوان مثال، تقسیم اعداد بر صفر غیرممکن است و همچنین نمی توان یک ریشه زوج را از آن استخراج کرد اعداد منفی. لگاریتم ها نیز قوانین خاص خود را دارند که به دنبال آن می توانید به راحتی کار با عبارات لگاریتمی طولانی و بزرگ را یاد بگیرید:

• پایه "a" باید همیشه بزرگتر از صفر باشد و مساوی 1 نباشد، در غیر این صورت این عبارت معنای خود را از دست می دهد، زیرا "1" و "0" به هر درجه ای همیشه با مقادیر خود برابر هستند.
• اگر a > 0، سپس a b > 0، معلوم می شود که "c" نیز باید بزرگتر از صفر باشد.

چگونه لگاریتم ها را حل کنیم؟

به عنوان مثال، وظیفه یافتن پاسخ معادله 10 x = 100 داده می شود. این کار بسیار آسان است، شما باید یک توان را با بالا بردن عدد ده انتخاب کنید که به عدد 100 می رسیم. البته این 10 2 = است. 100.

حال بیایید این عبارت را به شکل لگاریتمی نشان دهیم. ما log 10 100 = 2 را دریافت می کنیم. هنگام حل لگاریتم، همه اقدامات عملاً همگرا می شوند تا توانی را که برای به دست آوردن یک عدد معین وارد کردن پایه لگاریتم لازم است، پیدا کنیم.

برای تعیین دقیق مقدار یک درجه مجهول، باید نحوه کار با جدول درجات را یاد بگیرید. به نظر می رسد این است:

همانطور که می بینید، اگر ذهن فنی و دانش جدول ضرب داشته باشید، می توان برخی از توان ها را به طور مستقیم حدس زد. با این حال برای ارزش های بزرگشما به جدول درجات نیاز دارید. حتی برای کسانی که اصلاً در مورد موضوعات پیچیده ریاضی چیزی نمی دانند، می توان از آن استفاده کرد. ستون سمت چپ شامل اعداد (مبنای a) است، ردیف بالای اعداد مقدار توان c است که عدد a به آن افزایش می یابد. در محل تقاطع، سلول ها حاوی مقادیر عددی هستند که پاسخ هستند (a c =b). به عنوان مثال، اولین خانه را با عدد 10 در نظر می گیریم و مربع آن را مربع می کنیم، مقدار 100 را می گیریم که در محل تقاطع دو خانه ما نشان داده شده است. همه چیز به قدری ساده و آسان است که حتی واقعی ترین انسان گرا هم می فهمد!

معادلات و نابرابری ها

معلوم می شود که تحت شرایط معین، توان لگاریتم است. بنابراین، هر عبارت عددی ریاضی را می توان به عنوان یک برابری لگاریتمی نوشت. به عنوان مثال، 3 4 = 81 را می توان به عنوان لگاریتم پایه 3 81 برابر با چهار نوشت (log 3 81 = 4). برای توان های منفی قوانین یکسان است: 2 -5 = 1/32 آن را به صورت لگاریتم می نویسیم، log 2 (1/32) = -5 را دریافت می کنیم. یکی از جذاب ترین بخش های ریاضیات، موضوع "لگاریتم" است. ما بلافاصله پس از مطالعه خواص معادلات، نمونه ها و حل معادلات را در زیر بررسی خواهیم کرد. حال بیایید ببینیم که نابرابری ها چگونه هستند و چگونه آنها را از معادلات متمایز کنیم.

با توجه به شکل زیر: log 2 (x-1) > 3 - آن است نابرابری لگاریتمی، زیرا مقدار مجهول "x" زیر علامت لگاریتم است. و همچنین در عبارت دو کمیت با هم مقایسه می شود: لگاریتم عدد مورد نظر به پایه دو بزرگتر از عدد سه است.

مهمترین تفاوت بین معادلات لگاریتمی و نابرابری ها این است که معادلات با لگاریتم (مثال - لگاریتم 2 x = √9) دلالت بر یک یا چند مقدار عددی خاص در پاسخ دارند، در حالی که هنگام حل نابرابری ها به عنوان یک منطقه تعریف می شوند. ارزش های قابل قبولو نقاط شکست این تابع. در نتیجه، پاسخ یک مجموعه ساده از اعداد منفرد نیست، مانند پاسخ به یک معادله، بلکه یک سری یا مجموعه ای از اعداد پیوسته است.

قضایای اساسی در مورد لگاریتم

هنگام حل وظایف ابتدایی یافتن مقادیر لگاریتم، ممکن است ویژگی های آن مشخص نباشد. با این حال، هنگامی که صحبت از معادلات لگاریتمی یا نابرابری ها می شود، قبل از هر چیز، لازم است که به وضوح تمام ویژگی های اصلی لگاریتم ها را درک کرده و در عمل اعمال کنیم. در ادامه به نمونه‌هایی از معادلات خواهیم پرداخت؛ اجازه دهید ابتدا هر ویژگی را با جزئیات بیشتری بررسی کنیم.

1. هویت اصلی به این صورت است: alogaB =B. فقط زمانی اعمال می شود که a بزرگتر از 0 باشد نه برابر یک و B بزرگتر از صفر باشد.
2. لگاریتم محصول را می توان در فرمول زیر نشان داد: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. در این مورد، شرط اجباری است: d، s 1 و s 2 > 0; a≠1. شما می توانید برای این فرمول لگاریتمی با مثال و راه حل اثبات کنید. اجازه دهید log a s 1 = f 1 و log a s 2 = f 2، سپس a f1 = s 1، a f2 = s 2. به دست می آوریم که s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (خواص درجه) و سپس طبق تعریف: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2 که باید ثابت شود.
3. لگاریتم ضریب به این صورت است: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. قضیه به شکل فرمول به شکل زیر است: log a q b n = n/q log a b.

این فرمول "ویژگی درجه لگاریتم" نامیده می شود. این شبیه خواص درجات معمولی است و جای تعجب نیست، زیرا تمام ریاضیات بر اساس فرضیه های طبیعی است. بیایید به اثبات نگاه کنیم.

اجازه دهید log a b = t، به نظر می رسد t =b. اگر هر دو قسمت را به توان m برسانیم: a tn = b n ;

اما از آنجایی که a tn = (a q) nt/q = b n، بنابراین log a q b n = (n*t)/t، سپس log a q b n = n/q log a b. قضیه ثابت می شود.

نمونه هایی از مشکلات و نابرابری ها

رایج ترین انواع مسائل در لگاریتم مثال هایی از معادلات و نابرابری ها هستند. آنها تقریباً در تمام کتاب های مسئله یافت می شوند و همچنین جزء ضروری امتحانات ریاضی هستند. برای ورود به دانشگاه یا قبولی در امتحانات ورودی ریاضی، باید بدانید که چگونه به درستی چنین کارهایی را حل کنید.

متأسفانه هیچ طرح یا طرح واحدی برای حل و تعیین مقدار مجهول لگاریتم وجود ندارد، اما قوانین خاصی را می توان برای هر نابرابری ریاضی یا معادله لگاریتمی اعمال کرد. اول از همه، باید دریابید که آیا عبارت را می توان ساده کرد یا منجر به آن شد ظاهر عمومی. موارد طولانی را ساده کنید عبارات لگاریتمیاگر از خواص آنها به درستی استفاده کنید امکان پذیر است. بیایید سریع با آنها آشنا شویم.

هنگام حل معادلات لگاریتمی، باید مشخص کنیم که چه نوع لگاریتمی داریم: یک عبارت مثال ممکن است حاوی یک لگاریتم طبیعی یا یک اعشاری باشد.

در اینجا نمونه هایی از ln100، ln1026 آورده شده است. راه حل آنها به این واقعیت خلاصه می شود که آنها باید قدرتی را تعیین کنند که پایه 10 به ترتیب برابر با 100 و 1026 خواهد بود. برای راه حل ها لگاریتم های طبیعیشما باید هویت های لگاریتمی یا ویژگی های آنها را اعمال کنید. بیایید با مثال به راه حل نگاه کنیم مسائل لگاریتمیانواع متفاوت.

نحوه استفاده از فرمول های لگاریتمی: با مثال ها و راه حل ها

بنابراین، بیایید به نمونه هایی از استفاده از قضایای اساسی در مورد لگاریتم نگاه کنیم.

1. از خاصیت لگاریتم یک محصول می توان در کارهایی که نیاز به گسترش است استفاده کرد پراهمیتاعداد b به عوامل ساده تر مثلاً log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. جواب 9 است.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - همانطور که می بینید با استفاده از چهارمین خاصیت توان لگاریتمی موفق به حل یک عبارت به ظاهر پیچیده و غیرقابل حل شدیم. شما فقط باید پایه را فاکتور بگیرید و سپس مقادیر توان را از علامت لگاریتم خارج کنید.

تکالیف از آزمون دولتی واحد

لگاریتم ها اغلب در امتحانات ورودی یافت می شوند، به ویژه بسیاری از مشکلات لگاریتمی در آزمون یکپارچه دولتی (امتحان دولتی برای همه فارغ التحصیلان مدرسه). معمولاً این وظایف نه تنها در بخش A (ساده ترین بخش تستامتحان)، بلکه در قسمت C (پیچیده ترین و حجیم ترین وظایف). آزمون نیاز به دانش دقیق و کامل از مبحث لگاریتم های طبیعی دارد.

مثال ها و راه حل های مشکلات از رسمی گرفته شده است گزینه های آزمون دولتی یکپارچه. بیایید ببینیم چنین وظایفی چگونه حل می شوند.

با توجه به log 2 (2x-1) = 4. راه حل:
بیایید عبارت را بازنویسی کنیم، آن را کمی ساده کنیم log 2 (2x-1) = 2 2، با تعریف لگاریتم دریافت می کنیم که 2x-1 = 2 4، بنابراین 2x = 17. x = 8.5.

• بهتر است تمام لگاریتم ها را به یک پایه کاهش دهید تا راه حل دست و پا گیر و گیج کننده نباشد.
• تمام عبارات زیر علامت لگاریتم مثبت نشان داده می شوند، بنابراین، هنگامی که توان یک عبارتی که زیر علامت لگاریتم است و به عنوان پایه آن به عنوان ضریب خارج می شود، عبارت باقی مانده در زیر لگاریتم باید مثبت باشد.

آماده سازی برای آزمون نهایی در ریاضیات شامل بخش مهمی است - "لگاریتم". وظایف این مبحث لزوماً در آزمون یکپارچه ایالتی موجود است. تجربه سال‌های گذشته نشان می‌دهد که معادلات لگاریتمی برای بسیاری از دانش‌آموزان مشکل ایجاد کرده است. بنابراین، دانش آموزان با سطوح مختلف آموزشی باید بدانند که چگونه پاسخ صحیح را بیابند و به سرعت با آنها کنار بیایند.

با استفاده از پورتال آموزشی Shkolkovo آزمون گواهینامه را با موفقیت پشت سر بگذارید!

هنگام آماده شدن برای آزمون یکپارچه دولتی، فارغ التحصیلان دبیرستان به منبع معتبری نیاز دارند که کامل ترین و دقیق ترین اطلاعات را برای حل موفقیت آمیز مسائل آزمون ارائه دهد. با این حال، یک کتاب درسی همیشه در دسترس نیست و جستجوی قوانین و فرمول های لازم در اینترنت اغلب زمان می برد.

پورتال آموزشی Shkolkovo به شما این امکان را می دهد که در هر زمان و در هر مکانی برای آزمون دولتی واحد آماده شوید. وب سایت ما راحت ترین روش را برای تکرار و جذب حجم زیادی از اطلاعات در مورد لگاریتم ها و همچنین با یک و چند مجهول ارائه می دهد. با معادلات آسان شروع کنید. اگر بدون مشکل با آنها کنار آمدید، به سراغ موارد پیچیده تر بروید. اگر در حل یک نابرابری خاص مشکل دارید، می توانید آن را به موارد دلخواه خود اضافه کنید تا بتوانید بعداً به آن بازگردید.

با مراجعه به بخش "راهنمای نظری" می توانید فرمول های لازم برای تکمیل کار، تکرار موارد خاص و روش های محاسبه ریشه معادله لگاریتمی استاندارد را بیابید. معلمان Shkolkovo تمام مواد لازم برای گذراندن موفقیت آمیز را به ساده ترین و قابل فهم ترین شکل جمع آوری، سیستماتیک و ارائه کردند.

برای اینکه به راحتی با وظایف هر پیچیدگی کنار بیایید، در پورتال ما می توانید با حل برخی از معادلات لگاریتمی استاندارد آشنا شوید. برای انجام این کار، به بخش "کاتالوگ ها" بروید. ارائه می کنیم تعداد زیادی ازمثال ها از جمله معادلات سطح پروفایلآزمون دولتی واحد در ریاضیات.

دانش آموزان مدارس سراسر روسیه می توانند از پورتال ما استفاده کنند. برای شروع کلاس ها کافی است در سیستم ثبت نام کرده و شروع به حل معادلات کنید. برای تجمیع نتایج، به شما توصیه می کنیم که روزانه به وب سایت Shkolkovo بازگردید.

مثال ها:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

نحوه حل معادلات لگاریتمی:

هنگام حل یک معادله لگاریتمی، باید سعی کنید آن را به شکل \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\ تبدیل کنید و سپس به \(f(x) انتقال دهید. )=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

مثال:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

راه حل: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) معاینه:\(10>2\) - مناسب برای DL پاسخ:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

خیلی مهم!این انتقال فقط در صورتی انجام می شود که:

شما برای معادله اصلی نوشته اید، و در پایان بررسی می کنید که آیا مواردی که پیدا شده اند در ODZ گنجانده شده اند یا خیر. اگر این کار انجام نشود، ممکن است ریشه های اضافی ظاهر شود، که به معنای تصمیم اشتباه است.

عدد (یا عبارت) سمت چپ و راست یکسان است.

لگاریتم های سمت چپ و راست "خالص" هستند، یعنی نباید ضرب، تقسیم و غیره وجود داشته باشد. - فقط لگاریتم های منفرد در دو طرف علامت مساوی.

مثلا:

توجه داشته باشید که معادلات 3 و 4 را می توان به راحتی با اعمال خواص لازم لگاریتم حل کرد.

مثال . معادله \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) را حل کنید

راه حل :

		بیایید ODZ را بنویسیم: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		در سمت چپ مقابل لگاریتم ضریب، در سمت راست مجموع لگاریتم ها است. این ما را اذیت می کند. بیایید این دو را با توجه به ویژگی: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\) به توان \(x\) منتقل کنیم. اجازه دهید مجموع لگاریتم ها را با توجه به ویژگی: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\) به صورت یک لگاریتم نمایش دهیم.
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		معادله را به شکل \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) کاهش دادیم و ODZ را یادداشت کردیم، یعنی می‌توانیم به شکل \(f(x) برویم. =g(x)\ ).
		اتفاق افتاد. حلش می کنیم و ریشه می گیریم.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		ما بررسی می کنیم که آیا ریشه ها برای ODZ مناسب هستند یا خیر. برای انجام این کار، در \(x>0\) به جای \(x\) \(5\) و \(-5\) را جایگزین می کنیم. این عمل را می توان به صورت خوراکی انجام داد.
\(5>0\), \(-5>0\)		نابرابری اول درست است، دومی درست نیست. این بدان معناست که \(5\) ریشه معادله است، اما \(-5\) نیست. پاسخ را یادداشت می کنیم.

پاسخ : \(5\)

مثال : حل معادله \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

راه حل :

		بیایید ODZ را بنویسیم: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		یک معادله معمولی که با استفاده از . \(\log_2⁡x\) را با \(t\) جایگزین کنید.
\(t=\log_2⁡x\)
		معمولی را دریافت کردیم. ما به دنبال ریشه های آن هستیم.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		ایجاد جایگزینی معکوس
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		سمت راست را تبدیل می کنیم و آنها را به صورت لگاریتمی نشان می دهیم: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) و \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		اکنون معادلات ما \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) هستند و می‌توانیم به \(f(x)=g(x)\ انتقال دهیم.
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		ما مطابقت ریشه های ODZ را بررسی می کنیم. برای انجام این کار، \(4\) و \(2\) را به جای \(x\) در نابرابری \(x>0\) جایگزین کنید.
\(4>0\) \(2>0\)		هر دو نابرابری درست است. این بدان معنی است که هر دو \(4\) و \(2\) ریشه های معادله هستند.

پاسخ : \(4\); \(2\).