حل معادلات درجه دوم با استفاده از قضیه ویتا. حل شفاهی معادلات درجه دوم و قضیه ویتا

قضیه Vieta اغلب برای بررسی ریشه هایی که قبلاً پیدا شده اند استفاده می شود. اگر ریشه ها را پیدا کرده اید، می توانید از فرمول \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) برای محاسبه مقادیر \(p) استفاده کنید. \) و \(q\ ). و اگر آنها مانند معادله اصلی باشند، ریشه ها به درستی پیدا می شوند.

به عنوان مثال، اجازه دهید با استفاده از . بیایید بررسی کنیم که آیا در فرآیند راه حل اشتباه کرده ایم. در مورد ما، \(p=1\)، و \(q=-56\). با قضیه ویتا داریم:

\(\شروع(موارد)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\پایان(موارد)\) \(\پیکان راست چپ\) \(\شروع(موارد)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end (موارد)\) \(\فلش سمت راست\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end (موردها)\ )

هر دو عبارت همگرا شدند، یعنی معادله را به درستی حل کردیم.

این بررسی را می توان به صورت شفاهی انجام داد. 5 ثانیه طول می کشد و شما را از اشتباهات احمقانه نجات می دهد.

قضیه معکوس ویتا

اگر \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\)، آنگاه \(x_1\) و \(x_2\) ریشه های معادله درجه دوم هستند \ (x^ 2+px+q=0\).

یا به روشی ساده: اگر معادله ای به شکل \(x^2+px+q=0\ دارید)، سپس سیستم \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot را حل کنید. x_2=q\ end(cases)\) ریشه های آن را پیدا خواهید کرد.

با تشکر از این قضیه، شما می توانید به سرعت ریشه های یک معادله درجه دوم را پیدا کنید، به خصوص اگر این ریشه ها هستند. این مهارت مهم است زیرا باعث صرفه جویی در زمان می شود.

مثال . معادله \(x^2-5x+6=0\) را حل کنید.

راه حل : با استفاده از قضیه معکوس Vieta، متوجه می‌شویم که ریشه‌ها شرایط زیر را دارند: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
به معادله دوم سیستم \(x_1 \cdot x_2=6\) نگاه کنید. عدد \(6\) را به کدام دو می توان تجزیه کرد؟ در \(2\) و \(3\)، \(6\) و \(1\) یا \(-2\) و \(-3\)، و \(-6\) و \(- 1\). اولین معادله سیستم به شما می گوید که کدام جفت را انتخاب کنید: \(x_1+x_2=5\). \(2\) و \(3\) مشابه هستند، زیرا \(2+3=5\).
پاسخ : \(x_1=2\)، \(x_2=3\).

مثال ها . با استفاده از عکس قضیه ویتا، ریشه های معادله درجه دوم را پیدا کنید:
الف) \(x^2-15x+14=0\); ب) \(x^2+3x-4=0\); ج) \(x^2+9x+20=0\); د) \(x^2-88x+780=0\).

راه حل :
الف) \(x^2-15x+14=0\) - \(14\) به چه عواملی تجزیه می شود؟ \(2\) و \(7\)، \(-2\) و \(-7\)، \(-1\) و \(-14\)، \(1\) و \(14\ ). چه جفت اعدادی با \(15\) جمع می شوند؟ پاسخ: \(1\) و \(14\).

ب) \(x^2+3x-4=0\) - \(-4\) به چه عواملی تجزیه می شود؟ \(-2\) و \(2\)، \(4\) و \(-1\)، \(1\) و \(-4\). چه جفت اعدادی با \(-3\) جمع می شوند؟ پاسخ: \(1\) و \(-4\).

ج) \(x^2+9x+20=0\) - \(20\) به چه عواملی تجزیه می شود؟ \(4\) و \(5\)، \(-4\) و \(-5\)، \(2\) و \(10\)، \(-2\) و \(-10\ )، \(-20\) و \(-1\)، \(20\) و \(1\). چه جفت اعدادی به \(-9\) جمع می شوند؟ پاسخ: \(-4\) و \(-5\).

د) \(x^2-88x+780=0\) - \(780\) به چه عواملی تجزیه می شود؟ \(390\) و \(2\). آیا آنها به \(88\) اضافه می شوند؟ خیر \(780\) چه ضریب دیگری دارد؟ \(78\) و \(10\). آیا آنها به \(88\) اضافه می شوند؟ آره. پاسخ: \(78\) و \(10\).

لزومی ندارد که ترم آخر را به همه عوامل ممکن بسط دهیم (مانند مثال آخر). بلافاصله می توانید بررسی کنید که آیا مجموع آنها \(-p\) می دهد یا خیر.

مهم!قضیه ویتا و قضیه معکوس فقط با قضیه ای کار می کنند که ضریب آن جلوی \(x^2\) باشد. برابر با یک. اگر در ابتدا یک معادله غیر کاهش یافته به ما داده شد، می‌توانیم آن را با تقسیم بر ضریب جلوی \(x^2\) کاهش دهیم.

مثلا، اجازه دهید معادله \(2x^2-4x-6=0\) داده شود و می خواهیم از یکی از قضایای ویتا استفاده کنیم. اما ما نمی توانیم، زیرا ضریب \(x^2\) برابر با \(2\) است. بیایید با تقسیم کل معادله بر \(2\) از شر آن خلاص شویم.

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

آماده. اکنون می توانید از هر دو قضیه استفاده کنید.

پاسخ به سوالات متداول

سوال: با استفاده از قضیه ویتا، می توانید هر کدام را حل کنید؟
پاسخ: متاسفانه نه. اگر معادله شامل اعداد صحیح نباشد یا معادله اصلاً ریشه نداشته باشد، قضیه ویتا کمکی نخواهد کرد. در این مورد باید استفاده کنید ممیز . خوشبختانه 80 درصد معادلات ریاضی مدرسه دارای جواب های اعداد صحیح هستند.

با این برنامه ریاضی می توانید تصميم گرفتن معادله درجه دوم .

این برنامه نه تنها به مشکل پاسخ می دهد، بلکه روند حل را به دو صورت نمایش می دهد:
- استفاده از تمایز
- با استفاده از قضیه Vieta (در صورت امکان).

علاوه بر این، پاسخ به صورت دقیق و نه تقریبی نمایش داده می شود.
به عنوان مثال، برای معادله \(81x^2-16x-1=0\) پاسخ به شکل زیر نمایش داده می شود:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81)، \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ و نه مانند این: \(x_1 = 0.247; \quad x_2 = -0.05\)

این برنامه ممکن است برای دانش آموزان دبیرستانی مفید باشد مدارس متوسطهدر آماده سازی برای تست هاو امتحانات، هنگام آزمایش دانش قبل از آزمون دولتی واحد، برای والدین برای کنترل حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و جبر. یا شاید استخدام معلم یا خرید کتاب های درسی جدید برای شما گران باشد؟ یا فقط می خواهید آن را در سریع ترین زمان ممکن انجام دهید؟ مشق شبدر ریاضیات یا جبر؟ در این صورت می توانید از برنامه های ما با راه حل های دقیق نیز استفاده کنید.

به این ترتیب می توانید آموزش و/یا آموزش خود را انجام دهید. برادران کوچکتریا خواهران، در حالی که سطح تحصیلات در زمینه مشکلات در حال حل افزایش می یابد.

اگر با قوانین وارد کردن چند جمله ای درجه دوم آشنایی ندارید، توصیه می کنیم با آنها آشنا شوید.

قوانین وارد کردن چند جمله ای درجه دوم

هر حرف لاتین می تواند به عنوان یک متغیر عمل کند.
به عنوان مثال: \(x، y، z، a، b، c، o، p، q\) و غیره.

اعداد را می توان به صورت اعداد کامل یا کسری وارد کرد.
علاوه بر این، اعداد کسریرا می توان نه تنها به عنوان اعشار، بلکه به عنوان یک کسر معمولی وارد کرد.

قوانین وارد کردن کسرهای اعشاری
در کسرهای اعشاری، قسمت کسری را می توان با نقطه یا کاما از کل قسمت جدا کرد.
برای مثال می توانید وارد شوید اعداد اعشاریمانند این: 2.5x - 3.5x^2

قوانین وارد کردن کسرهای معمولی
فقط یک عدد کامل می تواند به عنوان صورت، مخرج و جزء صحیح یک کسر عمل کند.

مخرج نمی تواند منفی باشد.

هنگام وارد کردن کسر عددی، صورت با یک علامت تقسیم از مخرج جدا می شود: /
کل قسمت با علامت آمپرسند از کسر جدا می شود: &
ورودی: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
نتیجه: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

هنگام وارد کردن یک عبارت می توانید از پرانتز استفاده کنید. در این حالت، هنگام حل یک معادله درجه دوم، ابتدا عبارت معرفی شده ساده می شود.
به عنوان مثال: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

تصميم گرفتن

مشخص شد که برخی از اسکریپت های لازم برای حل این مشکل بارگیری نشده اند و ممکن است برنامه کار نکند.
ممکن است AdBlock را فعال کرده باشید.
در این صورت آن را غیرفعال کرده و صفحه را Refresh کنید.

جاوا اسکریپت در مرورگر شما غیرفعال است.
برای اینکه راه حل ظاهر شود، باید جاوا اسکریپت را فعال کنید.
در اینجا دستورالعمل هایی در مورد نحوه فعال کردن جاوا اسکریپت در مرورگر خود آورده شده است.

زیرا افراد زیادی مایل به حل مشکل هستند، درخواست شما در صف قرار گرفته است.
پس از چند ثانیه راه حل در زیر ظاهر می شود.
لطفا صبر کنید ثانیه...

اگر شما متوجه خطا در راه حل شد، سپس می توانید در این مورد در فرم بازخورد بنویسید.
فراموش نکن مشخص کنید کدام کارشما تصمیم می گیرید چه چیزی در فیلدها وارد کنید.

بازی ها، پازل ها، شبیه سازهای ما:

کمی تئوری

معادله درجه دوم و ریشه های آن. معادلات درجه دوم ناقص

هر یک از معادلات
\(-x^2+6x+1.4=0، \quad 8x^2-7x=0، \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
به نظر می رسد
\(ax^2+bx+c=0، \)
جایی که x یک متغیر است، a، b و c اعداد هستند.
در رابطه اول a = -1، b = 6 و c = 1.4، در رابطه دوم a = 8، b = -7 و c = 0، در رابطه سوم a = 1، b = 0 و c = 4/9. چنین معادلاتی نامیده می شوند معادلات درجه دوم.

تعریف.
معادله درجه دوممعادله ای به شکل ax 2 +bx+c=0 نامیده می شود که x یک متغیر است، a، b و c برخی اعداد هستند و \(a \neq 0 \).

اعداد a، b و c ضرایب معادله درجه دوم هستند. عدد a را ضریب اول، عدد b ضریب دوم و عدد c را جمله آزاد می نامند.

در هر یک از معادلات شکل ax 2 +bx+c=0 که \(a\neq 0\) بزرگترین توان متغیر x یک مربع است. از این رو نام: معادله درجه دوم.

توجه داشته باشید که یک معادله درجه دوم معادله درجه دوم نیز نامیده می شود، زیرا سمت چپ آن چند جمله ای درجه دوم است.

معادله درجه دومی که در آن ضریب x 2 برابر با 1 باشد نامیده می شود معادله درجه دوم داده شده. به عنوان مثال، معادلات درجه دوم داده شده، معادلات هستند
\(x^2-11x+30=0، \quad x^2-6x=0، \چهارار x^2-8=0 \)

اگر در یک معادله درجه دوم ax 2 +bx+c=0 حداقل یکی از ضرایب b یا c برابر با صفر، سپس چنین معادله ای نامیده می شود معادله درجه دوم ناقص. بنابراین، معادلات -2x 2 +7=0، 3x 2 -10x=0، -4x 2 =0 معادلات درجه دوم ناقص هستند. در اولی b=0، در دومی c=0، در سومی b=0 و c=0.

سه نوع معادله درجه دوم ناقص وجود دارد:
1) ax 2 +c=0، که در آن \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0، که در آن \(b \neq 0 \);
3) تبر 2 = 0.

بیایید حل معادلات هر یک از این انواع را در نظر بگیریم.

برای حل یک معادله ناقص درجه دوم از شکل ax 2 +c=0 برای \(c \neq 0 \(c\neq 0\)، جمله آزاد آن را به سمت راست ببرید و دو طرف معادله را بر a تقسیم کنید:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \راست فلش x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

از آنجایی که \(c \neq 0 \)، سپس \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

اگر \(-\frac(c)(a)>0\)، معادله دو ریشه دارد.

اگر \(-\frac(c)(a) برای حل یک معادله درجه دوم ناقص از شکل ax 2 +bx=0 با \(b \neq 0 \) سمت چپ آن را عامل کنید و معادله را بدست آورید.
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (آرایه)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end (آرایه) \راست. \)

این بدان معنی است که یک معادله درجه دوم ناقص به شکل ax 2 +bx=0 برای \(b \neq 0 \) همیشه دو ریشه دارد.

یک معادله درجه دوم ناقص به شکل ax 2 = 0 معادل معادله x 2 = 0 است و بنابراین دارای یک ریشه واحد 0 است.

فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

حال بیایید نحوه حل معادلات درجه دوم را در نظر بگیریم که در آن ضرایب مجهولات و جمله آزاد غیر صفر هستند.

بیایید معادله درجه دوم را حل کنیم نمای کلیو در نتیجه فرمول ریشه ها را بدست می آوریم. سپس می توان از این فرمول برای حل هر معادله درجه دوم استفاده کرد.

معادله درجه دوم ax 2 +bx+c=0 را حل کنید

با تقسیم هر دو ضلع بر a، معادله درجه دوم کاهش یافته معادل را بدست می آوریم
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

بیایید این معادله را با انتخاب مربع دو جمله ای تبدیل کنیم:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\راست)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \ فلش راست \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\راست)^ 2 - \frac(c)(a) \پیکان راست \) \(\چپ(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( ج)(الف) \پیکان راست \چپ(x+\frac(b)(2a)\راست)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \پیکان راست \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \پیکان راست \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

بیان رادیکال نامیده می شود تمایز یک معادله درجه دوم ax 2 +bx+c=0 ("ممیز" در لاتین - تشخیص دهنده). با حرف D مشخص می شود، یعنی.
\(D = b^2-4ac\)

اکنون با استفاده از نماد تفکیک، فرمول ریشه های معادله درجه دوم را بازنویسی می کنیم:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \)، جایی که \(D= b^2-4ac \)

بدیهی است که:
1) اگر D>0 باشد، معادله درجه دوم دو ریشه دارد.
2) اگر D=0 باشد، معادله درجه دوم یک ریشه دارد \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) اگر D بنابراین، بسته به مقدار ممیز، یک معادله درجه دوم می تواند دو ریشه داشته باشد (برای D > 0)، یک ریشه (برای D = 0) یا بدون ریشه (برای D هنگام حل یک معادله درجه دوم با استفاده از این فرمول، توصیه می شود به روش زیر انجام شود:
1) متمایز را محاسبه کنید و آن را با صفر مقایسه کنید.
2) اگر ممیز مثبت یا مساوی صفر است، از فرمول ریشه استفاده کنید و اگر ممیز منفی است، بنویسید که ریشه وجود ندارد.

قضیه ویتا

معادله درجه دوم داده شده ax 2 -7x+10=0 دارای ریشه های 2 و 5 است. مجموع ریشه ها 7 و حاصلضرب برابر با 10 است. علامت، و حاصل ضرب ریشه ها برابر با عبارت آزاد است. هر معادله درجه دوم کاهش یافته ای که ریشه داشته باشد این خاصیت را دارد.

مجموع ریشه های معادله درجه دوم فوق برابر با ضریب دوم است که با علامت مخالف گرفته می شود و حاصل ضرب ریشه ها برابر با جمله آزاد است.

آن ها قضیه ویتا بیان می کند که ریشه های x 1 و x 2 معادله درجه دوم کاهش یافته x 2 +px+q=0 دارای این ویژگی هستند:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \راست. \)

تعدادی رابطه در معادلات درجه دوم وجود دارد. اصلی ترین آنها روابط بین ریشه ها و ضرایب است. همچنین در معادلات درجه دوم تعدادی رابطه وجود دارد که توسط قضیه ویتا به دست می آید.

در این مبحث، خود قضیه ویتا و اثبات آن برای یک معادله درجه دوم، قضیه معکوس قضیه ویتا را ارائه خواهیم کرد و تعدادی مثال از حل مسائل را تحلیل خواهیم کرد. توجه ویژهدر مطالب ما بر روی فرمول های Vieta تمرکز خواهیم کرد که رابطه بین ریشه های واقعی را تعریف می کند معادله جبریدرجه nو ضرایب آن

Yandex.RTB R-A-339285-1

فرمول بندی و اثبات قضیه ویتا

فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم a x 2 + b x + c = 0از شکل x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a، جایی که D = b 2 − 4 a c، روابط را برقرار می کند x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a. این موضوع توسط قضیه ویتا تایید می شود.

قضیه 1

در یک معادله درجه دوم a x 2 + b x + c = 0، جایی که x 1و x 2– ریشه ها، مجموع ریشه ها برابر با نسبت ضرایب خواهد بود بو آکه با علامت مخالف گرفته شد و حاصل ضرب ریشه ها برابر با نسبت ضرایب خواهد بود. جو آ، یعنی x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a.

شواهد 1

ما طرح زیر را برای انجام اثبات به شما پیشنهاد می کنیم: فرمول ریشه ها را بگیرید، مجموع و حاصل ضرب ریشه های معادله درجه دوم را بسازید و سپس عبارات حاصل را تبدیل کنید تا مطمئن شوید که برابر هستند. -b aو ج الفبه ترتیب.

بیایید مجموع ریشه های x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a را ایجاد کنیم. بیایید کسرها را به یک مخرج مشترک بیاوریم - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. بیایید پرانتزها را در صورت کسر حاصل باز کنیم و عبارات مشابه را ارائه کنیم: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . بیایید کسر را کاهش دهیم: 2 - b a = - b a.

اینگونه است که اولین رابطه قضیه ویتا را که به مجموع ریشه های یک معادله درجه دوم مربوط می شود، اثبات کردیم.

حالا بریم سراغ رابطه دوم.

برای این کار باید حاصل ضرب ریشه های معادله درجه دوم را بسازیم: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.

بیایید قانون ضرب کسرها را به خاطر بسپاریم و حاصل ضرب آخر را به صورت زیر بنویسیم: - b + D · - b - D 4 · a 2.

بیایید یک براکت را در یک براکت در عدد کسر ضرب کنیم، یا از فرمول اختلاف مربع ها برای تبدیل سریعتر این حاصل ضرب استفاده کنیم: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .

بیایید از تعریف استفاده کنیم ریشه دومبه منظور انتقال زیر: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2. فرمول D = b 2 − 4 a cمطابق با تمایز یک معادله درجه دوم است، بنابراین، به جای کسری Dمی تواند جایگزین شود b 2 − 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

بیایید پرانتزها را باز کنیم، عبارات مشابه را اضافه کنیم و بدست آوریم: 4 · a · c 4 · a 2. اگر کوتاهش کنیم به 4 a، سپس چیزی که باقی می ماند c a است. اینگونه است که رابطه دوم قضیه ویتا را برای حاصلضرب ریشه ها اثبات کردیم.

اگر از توضیحات صرف نظر کنیم، اثبات قضیه ویتا را می توان به شکل بسیار لاکونیک نوشت:

x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a, x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .

وقتی ممیز یک معادله درجه دوم برابر با صفر باشد، معادله فقط یک ریشه خواهد داشت. برای اینکه بتوانیم قضیه ویتا را برای چنین معادله ای اعمال کنیم، می توانیم فرض کنیم که معادله با ممیز برابر صفر، دو ریشه یکسان دارد. در واقع، چه زمانی D=0ریشه معادله درجه دوم: - b 2 · a، سپس x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a و x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2، و چون D = 0، یعنی b 2 - 4 · a · c = 0، از آنجا b 2 = 4 · a · c، سپس b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a.

غالباً در عمل، قضیه ویتا برای معادله درجه دوم کاهش یافته فرم اعمال می شود x 2 + p x + q = 0، که در آن ضریب پیشرو a برابر با 1 است. در این راستا، قضیه ویتا به طور خاص برای معادلات از این نوع فرموله شده است. این امر کلیت را محدود نمی کند زیرا هر معادله درجه دوم را می توان با یک معادله معادل جایگزین کرد. برای این کار باید هر دو قسمت آن را به عددی متفاوت از صفر تقسیم کنید.

اجازه دهید فرمول دیگری از قضیه ویتا ارائه دهیم.

قضیه 2

مجموع ریشه ها در معادله درجه دوم داده شده x 2 + p x + q = 0برابر ضریب x خواهد بود که با علامت مخالف گرفته می شود، حاصل ضرب ریشه ها برابر با جمله آزاد خواهد بود، یعنی. x 1 + x 2 = − p، x 1 x 2 = q.

قضیه در مقابل قضیه ویتا قرار دارد

اگر به فرمول دوم قضیه ویتا با دقت نگاه کنید، می توانید ببینید که برای ریشه ها x 1و x 2معادله درجه دوم کاهش یافته x 2 + p x + q = 0روابط زیر معتبر خواهند بود: x 1 + x 2 = − p، x 1 · x 2 = q. از این روابط x 1 + x 2 = − p، x 1 x 2 = q نتیجه می شود که x 1و x 2ریشه های معادله درجه دوم هستند x 2 + p x + q = 0. بنابراین به بیانی می رسیم که برعکس قضیه ویتا است.

اکنون پیشنهاد می کنیم که این بیانیه را به عنوان یک قضیه رسمی کنیم و اثبات آن را انجام دهیم.

قضیه 3

اگر اعداد x 1و x 2به گونه ای هستند که x 1 + x 2 = - pو x 1 x 2 = q، آن x 1و x 2ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته است x 2 + p x + q = 0.

شواهد 2

جایگزینی شانس پو qبه بیان آنها از طریق x 1و x 2به شما امکان می دهد معادله را تبدیل کنید x 2 + p x + q = 0به یک معادل .

اگر عدد را جایگزین معادله حاصل کنیم x 1بجای ایکس، سپس برابری را بدست می آوریم x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. این برابری برای هر کسی است x 1و x 2به یک برابری عددی واقعی تبدیل می شود 0 = 0 ، زیرا x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 - x 1 2 - x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. این به آن معنا است x 1- ریشه معادله x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0، پس چی x 1همچنین ریشه معادله معادل است x 2 + p x + q = 0.

جایگزینی در معادله x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0شماره x 2به جای x به ما امکان می دهد برابری را بدست آوریم x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. این برابری را می توان درست در نظر گرفت، زیرا x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 - x 1 x 2 - x 2 2 + x 1 x 2 = 0. معلوم می شود که x 2ریشه معادله است x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0، و از این رو معادلات x 2 + p x + q = 0.

عکس قضیه ویتا ثابت شده است.

نمونه هایی از استفاده از قضیه ویتا

بیایید اکنون شروع به تجزیه و تحلیل نمونه های معمولی در مورد موضوع کنیم. بیایید با تجزیه و تحلیل مسائلی که نیازمند اعمال قضیه معکوس به قضیه ویتا هستند، شروع کنیم. می توان از آن برای بررسی اعداد تولید شده توسط محاسبات استفاده کرد تا ببینیم آیا آنها ریشه های یک معادله درجه دوم هستند یا خیر. برای این کار باید مجموع و تفاوت آنها را محاسبه کنید و سپس اعتبار روابط x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c را بررسی کنید.

تحقق هر دو رابطه نشان می دهد که اعداد به دست آمده در طول محاسبات ریشه معادله هستند. اگر دیدیم که حداقل یکی از شروط برآورده نشده است، این اعداد نمی توانند ریشه معادله درجه دومی باشند که در بیان مسئله آمده است.

مثال 1

کدام یک از جفت اعداد 1) x 1 = − 5، x 2 = 3، یا 2) x 1 = 1 - 3، x 2 = 3 + 3، یا 3) x 1 = 2 + 7 2، x 2 = 2 - 7 2 یک جفت ریشه یک معادله درجه دوم است 4 x 2 - 16 x + 9 = 0?

راه حل

بیایید ضرایب معادله درجه دوم را پیدا کنیم 4 x 2 - 16 x + 9 = 0.این a = 4، b = - 16، c = 9 است. بر اساس قضیه ویتا، مجموع ریشه های یک معادله درجه دوم باید برابر با -b a، به این معنا که، 16 4 = 4 ، و حاصلضرب ریشه ها باید برابر باشد ج الف، به این معنا که، 9 4 .

بیایید اعداد به دست آمده را با محاسبه مجموع و حاصل ضرب اعداد از سه جفت داده شده و مقایسه آنها با مقادیر به دست آمده بررسی کنیم.

در مورد اول x 1 + x 2 = - 5 + 3 = - 2. این مقدار با 4 متفاوت است، بنابراین بررسی نیازی به ادامه ندارد. با توجه به قضیه معکوس با قضیه ویتا، بلافاصله می‌توان نتیجه گرفت که جفت اعداد اول ریشه‌های این معادله درجه دوم نیستند.

در حالت دوم، x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. می بینیم که شرط اول برقرار است. اما شرط دوم این نیست: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3. ارزشی که ما گرفتیم با آن تفاوت دارد 9 4 . این بدان معنی است که جفت دوم اعداد ریشه معادله درجه دوم نیستند.

بیایید به بررسی جفت سوم بپردازیم. در اینجا x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 و x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. هر دو شرط رعایت می شود، یعنی این x 1و x 2ریشه های یک معادله درجه دوم هستند.

پاسخ: x 1 = 2 + 7 2، x 2 = 2 - 7 2

همچنین می‌توانیم از عکس قضیه ویتا برای یافتن ریشه‌های یک معادله درجه دوم استفاده کنیم. ساده ترین راه این است که ریشه های اعداد صحیح معادلات درجه دوم را با ضرایب صحیح انتخاب کنید. گزینه های دیگری را می توان در نظر گرفت. اما این می تواند محاسبات را به طور قابل توجهی پیچیده کند.

برای انتخاب ریشه از این واقعیت استفاده می کنیم که اگر مجموع دو عدد برابر با ضریب دوم یک معادله درجه دوم باشد که با علامت منفی گرفته می شود و حاصل ضرب این اعداد برابر با جمله آزاد است، این اعداد عبارتند از: ریشه های این معادله درجه دوم

مثال 2

به عنوان مثال از معادله درجه دوم استفاده می کنیم x 2 − 5 x + 6 = 0. شماره x 1و x 2اگر دو برابری برآورده شود می تواند ریشه های این معادله باشد x 1 + x 2 = 5و x 1 x 2 = 6. بیایید این اعداد را انتخاب کنیم. اینها اعداد 2 و 3 هستند، زیرا 2 + 3 = 5 و 2 3 = 6. معلوم می شود که 2 و 3 ریشه های این معادله درجه دوم هستند.

برعکس قضیه ویتا را می توان برای یافتن ریشه دوم در زمانی که ریشه اول مشخص یا آشکار است استفاده کرد. برای این کار می توانیم از روابط x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a استفاده کنیم.

مثال 3

معادله درجه دوم را در نظر بگیرید 512 x 2 − 509 x − 3 = 0. باید ریشه های این معادله را پیدا کرد.

راه حل

ریشه اول معادله 1 است، زیرا مجموع ضرایب این معادله درجه دوم صفر است. معلوم می شود که x 1 = 1.

حالا بیایید ریشه دوم را پیدا کنیم. برای این می توانید از رابطه استفاده کنید x 1 x 2 = c a. معلوم می شود که 1 x 2 = - 3512، جایی که x 2 = - 3512.

پاسخ:ریشه های معادله درجه دوم مشخص شده در بیان مسئله 1 و - 3 512 .

انتخاب ریشه با استفاده از قضیه معکوس قضیه ویتا فقط در موارد ساده امکان پذیر است. در موارد دیگر، بهتر است با استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم از طریق ممیز جستجو کنید.

به لطف برعکس قضیه ویتا، می توانیم با استفاده از ریشه های موجود معادلات درجه دوم بسازیم. x 1و x 2. برای این کار باید مجموع ریشه ها را محاسبه کنیم که ضریب برای را می دهد ایکسبا علامت مخالف معادله درجه دوم داده شده، و حاصل ضرب ریشه ها، که عبارت آزاد را می دهد.

مثال 4

معادله درجه دومی بنویسید که ریشه آن اعداد باشد − 11 و 23 .

راه حل

بیایید این را فرض کنیم x 1 = − 11و x 2 = 23. مجموع و حاصلضرب این اعداد برابر خواهد بود: x 1 + x 2 = 12و x 1 x 2 = − 253. این به این معنی است که ضریب دوم 12، عبارت آزاد است − 253.

بیایید یک معادله بسازیم: x 2 − 12 x − 253 = 0.

پاسخ: x 2 - 12 x - 253 = 0.

می‌توانیم از قضیه ویتا برای حل مسائلی استفاده کنیم که شامل نشانه‌های ریشه‌های معادلات درجه دوم است. ارتباط بین قضیه ویتا مربوط به نشانه های ریشه معادله درجه دوم کاهش یافته است. x 2 + p x + q = 0به روش زیر:

• اگر معادله درجه دوم ریشه واقعی داشته باشد و اگر عبارت قطع باشد qیک عدد مثبت است، سپس این ریشه ها همان علامت "+" یا "-" را خواهند داشت.
• اگر معادله درجه دوم ریشه داشته باشد و اگر جمله قطع باشد qیک عدد منفی است، سپس یک ریشه "+" و دومی "-" خواهد بود.

هر دوی این گزاره ها نتیجه فرمول هستند x 1 x 2 = qو قوانین ضرب اعداد مثبت و منفی و همچنین اعداد با نشانه های مختلف.

مثال 5

آیا ریشه های یک معادله درجه دوم هستند x 2 − 64 x − 21 = 0مثبت؟

راه حل

طبق قضیه ویتا، ریشه های این معادله نمی توانند هر دو مثبت باشند، زیرا باید برابری را برآورده کنند. x 1 x 2 = − 21. این با مثبت غیرممکن است x 1و x 2.

پاسخ:خیر

مثال 6

در چه مقادیر پارامتری rمعادله درجه دوم x 2 + (r + 2) x + r - 1 = 0دو ریشه واقعی با علائم متفاوت خواهد داشت.

راه حل

بیایید با یافتن مقادیر آن شروع کنیم r، که معادله آن دو ریشه خواهد داشت. بیایید متمایز کننده را پیدا کنیم و ببینیم در چه چیزی است rاو خواهد پذیرفت ارزش های مثبت. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. مقدار بیان r 2 + 8مثبت برای هر واقعی rبنابراین، تفکیک کننده برای هر واقعی بزرگتر از صفر خواهد بود r. این بدان معنی است که معادله درجه دوم اصلی دو ریشه برای هر مقدار واقعی پارامتر خواهد داشت r.

حالا ببینیم ریشه ها چه زمانی نشانه های متفاوتی دارند. این در صورتی امکان پذیر است که محصول آنها منفی باشد. بر اساس قضیه ویتا، حاصل ضرب ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته برابر با جمله آزاد است. به معنای، تصمیم درستآن ارزش ها وجود خواهد داشت r، که عبارت آزاد r − 1 برای آن منفی است. بیا تصمیم بگیریم نابرابری خطی r - 1< 0 , получаем r < 1 .

پاسخ:در r< 1 .

فرمول های ویتا

تعدادی فرمول وجود دارد که برای انجام عملیات با ریشه ها و ضرایب نه تنها معادلات درجه دوم، بلکه مکعب و سایر انواع معادلات قابل استفاده هستند. به آنها فرمول های ویتتا می گویند.

برای یک معادله جبری درجه nاز شکل 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 معادله در نظر گرفته می شود nریشه های واقعی x 1، x 2، …، x n، که ممکن است یکی از آنها باشد:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = - a 1 a 0، x 1 · x 2 + x 1 · x 3 +. . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0، x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 +. . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0

تعریف 1

فرمول های Vieta به ما کمک می کند تا به دست آوریم:

• قضیه تجزیه یک چند جمله ای به عوامل خطی.
• تعیین چند جمله ای های مساوی از طریق برابری همه ضرایب متناظر آنها.

بنابراین، چند جمله ای a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n و بسط آن به عوامل خطی به شکل a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) برابر هستند.

اگر براکت ها را در آخرین حاصلضرب باز کنیم و ضرایب مربوطه را برابر کنیم، فرمول های ویتا را به دست می آوریم. با گرفتن n = 2، می توانیم فرمول Vieta را برای معادله درجه دوم بدست آوریم: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.

تعریف 2

فرمول ویتا برای معادله مکعب:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0، x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0، x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

سمت چپ فرمول Vieta شامل چند جمله ای های متقارن ابتدایی است.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

قضیه Vieta (به طور دقیق تر، قضیه معکوس قضیه Vieta) به شما امکان می دهد زمان حل معادلات درجه دوم را کاهش دهید. فقط باید بدانید که چگونه از آن استفاده کنید. چگونه حل معادلات درجه دوم را با استفاده از قضیه ویتا یاد بگیریم؟ اگر کمی به آن فکر کنید کار سختی نیست.

اکنون فقط در مورد حل معادله درجه دوم کاهش یافته با استفاده از قضیه ویتا صحبت خواهیم کرد. همچنین می توان معادلات درجه دومی را حل کرد که با استفاده از قضیه ویتا داده نشده اند، اما حداقل یکی از ریشه ها عدد صحیح نیست. حدس زدن آنها دشوارتر است.

قضیه معکوس قضیه ویتا می گوید: اگر اعداد x1 و x2 به گونه ای باشند که

سپس x1 و x2 ریشه های معادله درجه دوم هستند

هنگام حل یک معادله درجه دوم با استفاده از قضیه ویتا، تنها 4 گزینه ممکن است. اگر خط استدلال را به خاطر داشته باشید، می توانید یاد بگیرید که ریشه های کامل را خیلی سریع پیدا کنید.

I. اگر q یک عدد مثبت باشد،

این بدان معنی است که ریشه های x1 و x2 اعدادی با یک علامت هستند (زیرا فقط ضرب اعداد با علائم یکسان یک عدد مثبت تولید می کند).

I.a. اگر -p یک عدد مثبت است، (به ترتیب، ص<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. اگر -p - یک عدد منفی, (به ترتیب p>0)، سپس هر دو ریشه اعداد منفی هستند (اعداد هم علامت را اضافه کردیم و یک عدد منفی گرفتیم).

II. اگر q یک عدد منفی است،

این بدان معنی است که ریشه های x1 و x2 دارای علائم متفاوتی هستند (هنگام ضرب اعداد، تنها زمانی که علائم عوامل متفاوت باشد، یک عدد منفی به دست می آید). در این حالت، x1 + x2 دیگر یک مجموع نیست، بلکه یک تفاوت است (در نهایت، هنگام جمع کردن اعداد با علائم مختلف، ما کوچکتر را از بزرگتر در مقدار مطلق کم می کنیم). بنابراین، x1+x2 نشان می دهد که ریشه های x1 و x2 چقدر با هم تفاوت دارند، یعنی چقدر یک ریشه از دیگری بزرگتر است (در مقدار مطلق).

II.a. اگر -p یک عدد مثبت است، (یعنی ص<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. اگر -p یک عدد منفی است، (p>0)، سپس ریشه بزرگتر (مدول) یک عدد منفی است.

بیایید حل معادلات درجه دوم را با استفاده از قضیه ویتا با استفاده از مثال در نظر بگیریم.

معادله درجه دوم داده شده را با استفاده از قضیه ویتا حل کنید:

در اینجا q=12>0، بنابراین ریشه های x1 و x2 اعدادی با علامت یکسان هستند. مجموع آنها -p=7>0 است، بنابراین هر دو ریشه اعداد مثبت هستند. ما اعداد صحیحی را انتخاب می کنیم که حاصل ضرب آنها 12 باشد. این اعداد 1 و 12، 2 و 6، 3 و 4 هستند. مجموع آن ها برای جفت 3 و 4 برابر با 7 است. یعنی 3 و 4 ریشه های معادله هستند.

در این مثال q=16>0 یعنی ریشه های x1 و x2 اعدادی با یک علامت هستند. مجموع آنها -p=-10 است<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

اینجا q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0، سپس عدد بزرگتر مثبت است. بنابراین ریشه ها 5 و -3 هستند.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

ابتدا بیایید خود قضیه را فرموله کنیم: اجازه دهید یک معادله درجه دوم کاهش یافته به شکل x^2+b*x + c = 0 داشته باشیم. فرض کنید این معادله حاوی ریشه های x1 و x2 است. سپس با توجه به قضیه، گزاره های زیر معتبر هستند:

1) مجموع ریشه های x1 و x2 برابر با مقدار منفی ضریب b خواهد بود.

2) حاصل ضرب همین ریشه ها ضریب c را به ما می دهد.

اما معادله داده شده چیست؟

معادله درجه دوم کاهش یافته معادله درجه دومی است که ضریب بالاترین درجه آن برابر با یک است، یعنی. این معادله ای به شکل x^2 + b*x + c = 0 است. (و معادله a*x^2 + b*x + c = 0 کاهش نیافته است). به عبارت دیگر، برای آوردن معادله به شکل داده شده، باید این معادله را بر ضریب بالاترین توان (a) تقسیم کنیم. وظیفه این است که این معادله را به شکل زیر در آورید:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1.5*x^2 + 7.5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

با تقسیم هر معادله بر ضریب بالاترین درجه، به دست می آید:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3.5*x − 5.5 = 0.

همانطور که از مثال ها می بینید، حتی معادلات حاوی کسر را می توان به شکل داده شده کاهش داد.

با استفاده از قضیه ویتا

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

ریشه ها را می گیریم: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = -6; x1*x2 = 8;

در نتیجه ریشه ها را بدست می آوریم: x1 = -2 ; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = -5; x1*x2 = 4;

ما ریشه ها را بدست می آوریم: x1 = -1; x2 = -4.

معنای قضیه ویتا

قضیه ویتا به ما امکان می دهد هر معادله کاهش یافته درجه دوم را تقریباً در چند ثانیه حل کنیم. در نگاه اول، به نظر می رسد این کار نسبتاً دشواری باشد، اما پس از 5 معادله 10، می توانید فوراً یاد بگیرید که ریشه ها را ببینید.

از مثال های ارائه شده و با استفاده از قضیه، مشخص می شود که چگونه می توانید حل معادلات درجه دوم را به طور قابل توجهی ساده کنید، زیرا با استفاده از این قضیه می توانید یک معادله درجه دوم را عملاً بدون محاسبات پیچیده و محاسبه ممیز حل کنید و همانطور که می دانید، محاسبات کمتر، اشتباه کردن دشوارتر است، که مهم است.

در تمام مثال‌ها، ما از این قانون بر اساس دو فرض مهم استفاده کردیم:

معادله داده شده، یعنی ضریب بالاترین درجه برابر است با یک (از این شرط به راحتی اجتناب می شود. می توانید از شکل کاهش نیافته معادله استفاده کنید، سپس عبارات زیر معتبر خواهند بود x1+x2=-b/a؛ x1*x2=c/ الف، اما معمولا حل کردنش سخت تره :))

وقتی یک معادله دو ریشه متفاوت داشته باشد. فرض می کنیم که نابرابری درست است و تفکیک کننده به شدت بزرگتر از صفر است.

بنابراین، می‌توانیم یک الگوریتم حل کلی با استفاده از قضیه Vieta ایجاد کنیم.

الگوریتم حل کلی با استفاده از قضیه ویتا

اگر معادله به صورت تقلیل نشده به ما داده شود، یک معادله درجه دوم را به شکل کاهش یافته کاهش می دهیم. هنگامی که ضرایب در معادله درجه دوم، که قبلاً به صورت داده شده ارائه کردیم، کسری (نه اعشاری) به نظر می رسد، در این صورت معادله ما باید از طریق تفکیک حل شود.

همچنین مواردی وجود دارد که بازگشت به معادله اولیه به ما امکان می دهد با اعداد "راحتی" کار کنیم.