چگونه معادلات منطقی را حل کنیم. الگوریتم حل معادلات منطقی

بیایید به صحبت کردن ادامه دهیم حل معادلات. در این مقاله به جزئیات در مورد آن خواهیم پرداخت معادلات منطقیو اصول حل معادلات گویا با یک متغیر. ابتدا بیایید بفهمیم که چه نوع معادلاتی را گویا می نامند، از کل معادلات گویا و کسری تعریف کنیم و مثال هایی بزنیم. در ادامه الگوریتم هایی برای حل معادلات گویا به دست می آوریم و البته راه حل هایی برای مثال های معمولی با تمام توضیحات لازم در نظر می گیریم.

پیمایش صفحه.

بر اساس تعاریف بیان شده، چندین مثال از معادلات گویا را بیان می کنیم. برای مثال، x=1، 2·x−12·x 2·y·z 3 =0، همه معادلات گویا هستند.

از مثال های نشان داده شده مشخص می شود که معادلات گویا و همچنین معادلات انواع دیگر می توانند با یک متغیر یا با دو، سه و غیره باشند. متغیرها در پاراگراف های بعدی در مورد حل معادلات گویا با یک متغیر صحبت خواهیم کرد. حل معادلات در دو متغیرو آنها تعداد زیادیسزاوار توجه ویژه هستند.

معادلات گویا علاوه بر تقسیم بر تعداد متغیرهای مجهول، به عدد صحیح و کسری نیز تقسیم می شوند. اجازه دهید تعاریف مربوطه را ارائه دهیم.

تعریف.

معادله منطقی نامیده می شود کل، اگر هر دو سمت چپ و راست آن عبارت های منطقی صحیح باشند.

تعریف.

اگر حداقل یکی از اجزای یک معادله گویا یک عبارت کسری باشد، چنین معادله ای نامیده می شود. کسری منطقی(یا عقلی کسری).

واضح است که معادلات کل شامل تقسیم بر متغیر نیستند، برعکس، معادلات گویا کسری لزوماً شامل تقسیم بر متغیر (یا متغیر در مخرج) هستند. پس 3 x+2=0 و (x+y)·(3·x 2-1)+x=-y+0.5- اینها معادلات کل عقلی هستند، هر دو قسمت آنها عبارت های کل هستند. A و x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 نمونه هایی از معادلات گویا کسری هستند.

در پایان به این نکته توجه کنیم که معادلات خطی و معادلات درجه دوم شناخته شده در این نقطه، معادلات کامل عقلی هستند.

حل معادلات کل

یکی از رویکردهای اصلی برای حل کل معادلات، کاهش آنها به معادلات است معادلات جبری. همیشه می توان این کار را با انجام تبدیل های معادل زیر در معادله انجام داد:

• ابتدا عبارت از سمت راست معادله عدد صحیح اصلی با علامت مخالف به سمت چپ منتقل می شود تا صفر در سمت راست به دست آید.
• پس از این، در سمت چپ معادله به دست آمده است نمای استاندارد.

نتیجه یک معادله جبری است که معادل معادله عدد صحیح اصلی است. بنابراین، در ساده ترین موارد، حل کل معادلات به حل معادلات خطی یا درجه دوم، و در حالت کلی، به حل کاهش می یابد. معادله جبریدرجه n. برای وضوح، بیایید به راه حل مثال نگاه کنیم.

مثال.

ریشه های کل معادله را پیدا کنید 3·(x+1)·(x-3)=x·(2·x-1)-3.

راه حل.

اجازه دهید حل کل این معادله را به حل یک معادله جبری معادل تقلیل دهیم. برای این کار ابتدا عبارت را از سمت راست به چپ منتقل می کنیم و در نتیجه به معادله می رسیم. 3·(x+1)·(x-3)-x·(2·x-1)+3=0. و ثانیاً عبارت تشکیل شده در سمت چپ را با تکمیل موارد لازم به یک چند جمله ای استاندارد تبدیل می کنیم: 3·(x+1)·(x-3)-x·(2·x-1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2-9 x+3 x-9-2 x 2 +x+3=x 2-5 x-6. بنابراین، حل معادله اعداد صحیح اصلی به حل معادله درجه دوم x 2-5·x-6=0 کاهش می یابد.

تفکیک آن را محاسبه می کنیم D=(-5) 2-4·1·(-6)=25+24=49، مثبت است، به این معنی که معادله دارای دو ریشه واقعی است که با استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم آنها را پیدا می کنیم:

برای اطمینان کامل، بیایید این کار را انجام دهیم بررسی ریشه های یافت شده معادله. ابتدا ریشه 6 را بررسی می کنیم، آن را به جای متغیر x در معادله عدد صحیح اصلی جایگزین می کنیم: 3·(6+1)·(6-3)=6·(2·6-1)-3که همان 63=63 است. این یک معادله عددی معتبر است، بنابراین x=6 در واقع ریشه معادله است. اکنون ریشه −1 را بررسی می کنیم 3·(-1+1)·(-1-3)=(-1)·(2·(-1)-1)-3، از کجا، 0=0 . هنگامی که x=−1، معادله اصلی نیز به یک برابری عددی صحیح تبدیل می‌شود، بنابراین، x=−1 نیز ریشه‌ای از معادله است.

پاسخ:

6 , −1 .

در اینجا همچنین باید توجه داشت که اصطلاح "درجه کل معادله" با نمایش کل معادله در قالب یک معادله جبری همراه است. اجازه دهید تعریف مربوطه را ارائه دهیم:

تعریف.

قدرت کل معادلهدرجه یک معادله جبری معادل نامیده می شود.

طبق این تعریف، کل معادله مثال قبلی دارای درجه دوم است.

این می‌توانست پایان حل معادلات منطقی باشد، اگر نه برای یک چیز…. همانطور که مشخص است حل معادلات جبری درجه بالاتر از دوم با مشکلات قابل توجهی همراه است و برای معادلات درجه بالاتر از چهارم هیچ مشکلی وجود ندارد. فرمول های کلیریشه ها بنابراین، برای حل کامل معادلات سوم، چهارم و بیشتر درجات بالااغلب شما باید به روش های دیگر راه حل متوسل شوید.

در چنین مواردی، رویکردی برای حل کل معادلات عقلی بر اساس روش فاکتورسازی. در این مورد، الگوریتم زیر رعایت می شود:

• ابتدا از وجود یک صفر در سمت راست معادله اطمینان حاصل می کنند؛ برای انجام این کار، عبارت را از سمت راست کل معادله به سمت چپ منتقل می کنند.
• سپس، عبارت حاصل در سمت چپ به‌عنوان محصولی از چندین عامل ارائه می‌شود که به ما امکان می‌دهد به مجموعه‌ای از چندین معادله ساده‌تر برویم.

الگوریتم ارائه شده برای حل یک معادله کامل از طریق فاکتورسازی نیاز به توضیح دقیق با استفاده از یک مثال دارد.

مثال.

کل معادله را حل کنید (x 2-1)·(x2-10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

راه حل.

ابتدا، طبق معمول، عبارت را از سمت راست به سمت چپ معادله منتقل می کنیم، بدون اینکه تغییر علامت را فراموش کنیم، دریافت می کنیم (x2-1)·(x2-10·x+13)- 2 x (x 2 −10 x+13) = 0. در اینجا کاملاً واضح است که تبدیل سمت چپ معادله به دست آمده به یک چند جمله ای از فرم استاندارد توصیه نمی شود ، زیرا این یک معادله جبری درجه چهارم شکل را به دست می دهد. x 4 -12 x 3 +32 x 2 -16 x-13=0، که حل آن دشوار است.

از سوی دیگر، بدیهی است که در سمت چپ معادله حاصل می‌توانیم x 2 −10 x+13 را داشته باشیم و در نتیجه آن را به‌عنوان یک محصول ارائه کنیم. ما داریم (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. معادله حاصل معادل معادله کل اصلی است و به نوبه خود می توان آن را با مجموعه ای از دو معادله درجه دوم x 2 −10·x+13=0 و x 2 −2·x−1=0 جایگزین کرد. یافتن ریشه های آنها با استفاده از فرمول های ریشه شناخته شده از طریق یک تفکیک کار دشواری نیست؛ ریشه ها برابر هستند. آنها ریشه های مورد نظر معادله اصلی هستند.

پاسخ:

همچنین برای حل کل معادلات منطقی مفید است روشی برای معرفی یک متغیر جدید. در برخی موارد، به شما امکان می دهد به معادلاتی بروید که درجه آنها کمتر از درجه معادله کل اصلی است.

مثال.

ریشه های واقعی یک معادله گویا را پیدا کنید (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

راه حل.

تقلیل کل این معادله منطقی به یک معادله جبری، به بیان خفیف، ایده خوبی نیست، زیرا در این صورت نیاز به حل یک معادله درجه چهارم خواهیم بود که فاقد آن است. ریشه های عقلانی. بنابراین، شما باید به دنبال راه حل دیگری باشید.

در اینجا به راحتی می توان فهمید که می توانید یک متغیر جدید y را معرفی کنید و عبارت x 2 +3·x را با آن جایگزین کنید. این جایگزینی ما را به کل معادله (y+1) 2 +10=−2·(y−4) می رساند که پس از انتقال عبارت −2·(y−4) به سمت چپ و تبدیل بعدی عبارت در آنجا تشکیل می شود، به یک معادله درجه دوم y 2 +4·y+3=0 کاهش می یابد. ریشه های این معادله y=−1 و y=−3 به راحتی یافت می شوند، برای مثال، می توان آنها را بر اساس قضیه معکوس قضیه ویتا انتخاب کرد.

حال به سراغ قسمت دوم روش معرفی متغیر جدید یعنی انجام جایگزینی معکوس می رویم. پس از انجام تعویض معکوس، دو معادله x 2 +3 x=−1 و x 2 +3 x=−3 به دست می‌آوریم که می‌توان آن‌ها را به صورت x 2 +3 x+1=0 و x 2 +3 x+3 بازنویسی کرد. =0. با استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم، ریشه های معادله اول را پیدا می کنیم. و دومی معادله درجه دومریشه واقعی ندارد، زیرا تمایز آن منفی است (D=3 2 −4·3=9−12=−3).

پاسخ:

به طور کلی، زمانی که با کل معادلات درجات بالا سر و کار داریم، همیشه باید آماده جستجوی یک روش غیر استاندارد یا یک تکنیک مصنوعی برای حل آنها باشیم.

حل معادلات گویا کسری

ابتدا، درک چگونگی حل معادلات گویا کسری به شکل مفید خواهد بود، جایی که p(x) و q(x) عبارات منطقی اعداد صحیح هستند. و سپس نشان خواهیم داد که چگونه حل معادلات دیگر کسری گویا را به حل معادلات از نوع مشخص شده کاهش دهیم.

یک رویکرد برای حل معادله بر اساس عبارت زیر است: کسری عددی u/v، که در آن v عددی غیر صفر است (در غیر این صورت با آن مواجه خواهیم شد، که تعریف نشده است)، برابر با صفر است اگر و فقط اگر عدد آن باشد. برابر با صفر است، اگر و فقط اگر u=0 است. به موجب این عبارت، حل معادله به تحقق دو شرط p(x)=0 و q(x)≠0 کاهش می یابد.

این نتیجه گیری با موارد زیر مطابقت دارد الگوریتم حل یک معادله گویا کسری. برای حل یک معادله گویا کسری از شکل، شما نیاز دارید

• حل کل معادله گویا p(x)=0 ;
• و بررسی کنید که آیا شرط q(x)≠0 برای هر ریشه یافت شده برآورده می شود، while
• اگر درست باشد، این ریشه ریشه معادله اصلی است.
• اگر ارضا نشد، این ریشه خارجی است، یعنی ریشه معادله اصلی نیست.

بیایید به مثالی از استفاده از الگوریتم اعلام شده در حل یک معادله گویا کسری نگاه کنیم.

مثال.

ریشه های معادله را بیابید.

راه حل.

این یک معادله گویا کسری است، و به شکل p(x)=3·x-2، q(x)=5·x 2-2=0 است.

با توجه به الگوریتم حل معادلات گویا کسری از این نوع، ابتدا باید معادله 3 x−2=0 را حل کنیم. این یک معادله خطی است که ریشه آن x=2/3 است.

باقی مانده است که این ریشه را بررسی کنید، یعنی بررسی کنید که آیا شرط 5 x 2 −2≠0 را برآورده می کند یا خیر. عدد 2/3 را به جای x در عبارت 5 x 2-2 قرار می دهیم و می گیریم. شرط برقرار است، بنابراین x=2/3 ریشه معادله اصلی است.

پاسخ:

2/3 .

شما می توانید به حل یک معادله منطقی کسری از موقعیت کمی متفاوت نزدیک شوید. این معادله معادل معادله عدد صحیح p(x)=0 در متغیر x معادله اصلی است. یعنی می توانید به این موضوع پایبند باشید الگوریتم حل یک معادله گویا کسری :

• حل معادله p(x)=0 ;
• ODZ متغیر x را پیدا کنید.
• ریشه های متعلق به منطقه می گیرند ارزش های قابل قبول، - آنها ریشه های مورد نظر معادله کسری اصلی هستند.

برای مثال بیایید با استفاده از این الگوریتم یک معادله گویا کسری را حل کنیم.

مثال.

معادله را حل کنید.

راه حل.

ابتدا معادله درجه دوم x 2 −2·x−11=0 را حل می کنیم. ریشه های آن را می توان با استفاده از فرمول ریشه برای ضریب زوج دوم محاسبه کرد D 1 =(-1) 2-1·(-11)=12، و .

در مرحله دوم، ما ODZ متغیر x را برای معادله اصلی پیدا می کنیم. این شامل تمام اعدادی است که برای آنها x 2 +3·x≠0، که همان x·(x+3)≠0 است، از آنجا x≠0، x≠−3 است.

باقی مانده است که بررسی کنیم آیا ریشه های یافت شده در مرحله اول در ODZ گنجانده شده اند یا خیر. بدیهی است که بله. بنابراین، معادله گویا کسری اصلی دو ریشه دارد.

پاسخ:

توجه داشته باشید که اگر ODZ به راحتی پیدا شود، این رویکرد سودآورتر از روش اول است، و به ویژه اگر ریشه های معادله p(x) = 0 غیرمنطقی یا منطقی باشند، به عنوان مثال، یا منطقی باشند، اما با یک عدد و عدد نسبتا بزرگ و / یا مخرج، برای مثال، 127/1101 و −31/59. این به دلیل این واقعیت است که در چنین مواردی، بررسی شرط q(x)≠0 به تلاش محاسباتی قابل توجهی نیاز دارد و حذف ریشه های خارجی با استفاده از ODZ آسان تر است.

در موارد دیگر، هنگام حل معادله، به ویژه زمانی که ریشه های معادله p(x) = 0 اعداد صحیح هستند، استفاده از الگوریتم اول از الگوریتم های داده شده سود بیشتری دارد. به این معنی که توصیه می شود به جای یافتن ODZ، بلافاصله ریشه های کل معادله p(x)=0 را پیدا کنید و سپس بررسی کنید که آیا شرط q(x)≠0 برای آنها برآورده می شود یا خیر، و سپس معادله را حل کنید. p(x)=0 در این ODZ. این به این دلیل است که در چنین مواردی معمولاً بررسی آسان تر از یافتن DZ است.

اجازه دهید راه حل دو مثال را برای نشان دادن تفاوت های ظریف مشخص شده در نظر بگیریم.

مثال.

ریشه های معادله را بیابید.

راه حل.

ابتدا بیایید ریشه های کل معادله را پیدا کنیم (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0، با استفاده از عدد کسر ساخته شده است. سمت چپ این معادله حاصلضرب و سمت راست آن صفر است، بنابراین با توجه به روش حل معادلات از طریق فاکتورگیری، این معادله معادل مجموعه ای از چهار معادله 2 x−1=0 , x−6= است. 0، x 2 −5 x+ 14=0، x+1=0. سه تا از این معادلات خطی و یکی درجه دوم است که می توانیم آنها را حل کنیم. از معادله اول x=1/2، از دومی - x=6، از سومی - x=7، x=−2، از چهارمی - x=−1 را پیدا می کنیم.

با یافتن ریشه ها، بررسی اینکه آیا مخرج کسری در سمت چپ معادله اصلی ناپدید می شود، بسیار آسان است، اما برعکس، تعیین ODZ چندان ساده نیست، زیرا برای این کار باید یک مشکل را حل کنید. معادله جبری درجه پنجم. بنابراین، ما از یافتن ODZ به نفع بررسی ریشه ها صرف نظر می کنیم. برای این کار به جای متغیر x در عبارت، آنها را یکی یکی جایگزین می کنیم x 5 -15 x 4 +57 x 3 -13 x 2 +26 x+112، پس از تعویض به دست آمده و آنها را با صفر مقایسه کنید: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3-13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(-2) 5-15·(-2) 4 +57·(-2) 3-13·(-2) 2 + 26·(-2)+112=-720≠0 ;
(-1) 5-15·(-1) 4 +57·(-1) 3-13·(-1) 2 + 26·(-1)+112=0.

بنابراین، 1/2، 6 و -2 ریشه های مورد نظر معادله گویا کسری اصلی هستند و 7 و -1 ریشه های خارجی هستند.

پاسخ:

1/2 , 6 , −2 .

مثال.

ریشه های یک معادله گویا کسری را پیدا کنید.

راه حل.

ابتدا بیایید ریشه های معادله را پیدا کنیم (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. این معادله معادل مجموعه ای از دو معادله است: مربع 5·x 2 −7·x−1=0 و خطی x−2=0. با استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم دو ریشه پیدا می کنیم و از معادله دوم x=2 داریم.

بررسی اینکه آیا مخرج در مقادیر یافت شده x به صفر می رسد بسیار ناخوشایند است. و تعیین محدوده مقادیر مجاز متغیر x در معادله اصلی بسیار ساده است. بنابراین از طریق ODZ اقدام خواهیم کرد.

در مورد ما، ODZ متغیر x معادله گویا کسری اصلی شامل همه اعدادی است به جز اعدادی که شرط x2 +5·x-14=0 برای آنها برآورده می شود. ریشه‌های این معادله درجه دوم x=−7 و x=2 هستند که از آن‌ها در مورد ODZ نتیجه‌گیری می‌کنیم: این معادله از همه x تشکیل شده است به طوری که .

باقی مانده است که بررسی کنیم آیا ریشه های یافت شده و x=2 به محدوده مقادیر قابل قبول تعلق دارند یا خیر. ریشه ها تعلق دارند، بنابراین ریشه های معادله اصلی هستند و x=2 تعلق ندارد، بنابراین یک ریشه خارجی است.

پاسخ:

همچنین مفید خواهد بود که به طور جداگانه در مواردی صحبت کنیم که در یک معادله گویا کسری شکل یک عدد در صورت وجود دارد، یعنی زمانی که p(x) با مقداری نشان داده می شود. که در آن

• اگر این عدد غیر صفر باشد، معادله هیچ ریشه ای ندارد، زیرا یک کسری برابر با صفر است اگر و فقط اگر عدد آن برابر با صفر باشد.
• اگر این عدد صفر باشد، ریشه معادله هر عددی از ODZ است.

مثال.

راه حل.

از آنجایی که شمارنده کسری در سمت چپ معادله حاوی یک عدد غیر صفر است، بنابراین برای هر x مقدار این کسر نمی تواند برابر با صفر باشد. بنابراین، این معادله ریشه ندارد.

پاسخ:

بدون ریشه

مثال.

معادله را حل کنید.

راه حل.

عدد کسری در سمت چپ این معادله گویا کسری حاوی صفر است، بنابراین مقدار این کسری برای هر x که منطقی است، صفر است. به عبارت دیگر راه حل این معادله هر مقدار x از ODZ این متغیر است.

تعیین این محدوده از مقادیر قابل قبول باقی مانده است. این شامل تمام مقادیر x است که برای آنها x 4 + 5 x 3 ≠0 است. راه حل های معادله x 4 + 5 x 3 = 0 0 و −5 هستند، زیرا این معادله معادل معادله x 3 (x+5)=0 است و به نوبه خود معادل ترکیب دو معادله x است. 3 = 0 و x +5 = 0، از جایی که این ریشه ها قابل مشاهده هستند. بنابراین، محدوده مورد نظر مقادیر قابل قبول هر x به جز x=0 و x=−5 است.

بنابراین، یک معادله گویا کسری راه حل های بی نهایت زیادی دارد که هر عددی به جز صفر و منهای پنج هستند.

پاسخ:

در نهایت، وقت آن است که در مورد حل معادلات گویا کسری به شکل دلخواه صحبت کنیم. آنها را می توان به صورت r(x)=s(x) نوشت که r(x) و s(x) عبارات گویا هستند و حداقل یکی از آنها کسری است. با نگاهی به آینده، بیایید بگوییم که راه حل آنها به حل معادلاتی از شکلی که قبلاً برای ما آشنا است، می رسد.

مشخص است که انتقال عبارت از قسمتی از معادله به قسمت دیگر با علامت مخالف منجر به معادله معادل می شود، بنابراین معادله r(x)=s(x) معادل معادله r(x)−s(x است. )=0.

ما همچنین می دانیم که هر یک، به طور یکسان با این عبارت، ممکن است. بنابراین، ما همیشه می‌توانیم عبارت منطقی سمت چپ معادله r(x)−s(x)=0 را به یک کسر منطقی یکسان از شکل تبدیل کنیم.

بنابراین از معادله گویا کسری اصلی r(x)=s(x) به معادله حرکت می کنیم و حل آن همانطور که در بالا متوجه شدیم به حل معادله p(x)=0 کاهش می یابد.

اما در اینجا لازم است این واقعیت را در نظر بگیریم که هنگام جایگزینی r(x)−s(x)=0 با و سپس با p(x)=0، دامنه مقادیر مجاز متغیر x ممکن است گسترش یابد. .

در نتیجه معادله اصلی r(x)=s(x) و معادله p(x)=0 که به آن رسیدیم ممکن است نابرابر باشند و با حل معادله p(x)=0 می‌توانیم ریشه بدست آوریم. که ریشه های خارجی معادله اصلی r(x)=s(x) خواهد بود. شما می توانید ریشه های اضافی را با انجام بررسی و یا با بررسی تعلق آنها به ODZ معادله اصلی شناسایی کنید و در پاسخ وارد نکنید.

بیایید این اطلاعات را خلاصه کنیم الگوریتم حل معادله منطقی کسری r(x)=s(x). برای حل معادله گویا کسری r(x)=s(x) نیاز دارید

• با حرکت دادن عبارت از سمت راست با علامت مخالف، صفر را در سمت راست بگیرید.
• عملیات را با کسرها و چند جمله ای ها در سمت چپ معادله انجام دهید و در نتیجه آن را به کسری گویا از فرم تبدیل کنید.
• معادله p(x)=0 را حل کنید.
• ریشه های خارجی را شناسایی و حذف کنید که با جایگزینی آنها در معادله اصلی یا بررسی تعلق آنها به ODZ معادله اصلی انجام می شود.

برای وضوح بیشتر، کل زنجیره حل معادلات گویا کسری را نشان خواهیم داد:
.

بیایید به راه‌حل‌های چندین مثال با توضیح دقیق فرآیند راه‌حل نگاه کنیم تا بلوک اطلاعات داده شده را روشن کنیم.

مثال.

یک معادله گویا کسری را حل کنید.

راه حل.

ما مطابق با الگوریتم حلی که به دست آمده عمل خواهیم کرد. و ابتدا عبارت ها را از سمت راست معادله به سمت چپ منتقل می کنیم در نتیجه به معادله می رویم.

در مرحله دوم باید عبارت منطقی کسری در سمت چپ معادله حاصل را به شکل کسری تبدیل کنیم. برای این کار، کسرهای گویا را به مخرج مشترک تقلیل می دهیم و عبارت حاصل را ساده می کنیم: . بنابراین به معادله می رسیم.

در مرحله بعد باید معادله −2·x−1=0 را حل کنیم. x=−1/2 را پیدا می کنیم.

باید بررسی کنیم که آیا عدد یافت شده 1/2 یک ریشه خارجی معادله اصلی نیست. برای این کار می توانید VA متغیر x معادله اصلی را بررسی یا پیدا کنید. بیایید هر دو رویکرد را نشان دهیم.

بیایید با بررسی شروع کنیم. عدد -1/2 را به جای متغیر x در معادله اصلی قرار می دهیم و همان چیزی را بدست می آوریم -1=-1. جایگزینی برابری عددی صحیح را به دست می دهد، بنابراین x=−1/2 ریشه معادله اصلی است.

حال نشان خواهیم داد که آخرین نقطه الگوریتم چگونه از طریق ODZ انجام می شود. محدوده مقادیر مجاز معادله اصلی مجموعه همه اعداد به جز -1 و 0 است (در x=−1 و x=0 مخرج کسرها ناپدید می شوند). ریشه x=−1/2 یافت شده در مرحله قبل متعلق به ODZ است، بنابراین، x=−1/2 ریشه معادله اصلی است.

پاسخ:

−1/2 .

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم.

مثال.

ریشه های معادله را بیابید.

راه حل.

ما باید یک معادله منطقی کسری را حل کنیم، بیایید تمام مراحل الگوریتم را طی کنیم.

ابتدا عبارت را از سمت راست به چپ منتقل می کنیم، دریافت می کنیم.

در مرحله دوم، عبارت تشکیل شده در سمت چپ را تبدیل می کنیم: . در نتیجه به معادله x=0 می رسیم.

ریشه آن واضح است - صفر است.

در مرحله چهارم، باید دریابیم که آیا ریشه یافت شده با معادله گویا کسری اصلی بیگانه است یا خیر. هنگامی که به معادله اصلی جایگزین می شود، عبارت به دست می آید. بدیهی است که منطقی نیست زیرا شامل تقسیم بر صفر است. از آنجا نتیجه می گیریم که 0 یک ریشه خارجی است. بنابراین معادله اصلی ریشه ندارد.

7 که منجر به معادله می شود. از اینجا می توان نتیجه گرفت که عبارت در مخرج سمت چپ باید برابر با سمت راست باشد، یعنی . حالا از دو طرف ثلاث کم می کنیم: . به قیاس، از کجا، و بیشتر.

بررسی نشان می دهد که هر دو ریشه یافت شده ریشه های معادله گویا کسری اصلی هستند.

پاسخ:

کتابشناسی - فهرست کتب.

• جبر:کتاب درسی برای کلاس هشتم آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2008. - 271 ص. : مریض - شابک 978-5-09-019243-9.
• موردکوویچ A.G.جبر. کلاس هشتم. ساعت 2 بعد از ظهر قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزشی/ A. G. Mordkovich. - چاپ یازدهم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. شابک 978-5-346-01155-2.
• جبر:پایه نهم: آموزشی. برای آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2009. - 271 ص. : مریض - شابک 978-5-09-021134-5.

بیایید با معادلات گویا و کسری آشنا شویم، تعریف آنها را بیان کنیم، مثال بزنیم و همچنین رایج ترین انواع مسائل را تحلیل کنیم.

Yandex.RTB R-A-339285-1

معادله منطقی: تعریف و مثال

آشنایی با عبارات عقلی از کلاس هشتم مدرسه شروع می شود. در این زمان، در درس های جبر، دانش آموزان به طور فزاینده ای شروع به مواجهه با تکالیف با معادلاتی می کنند که شامل عبارات منطقی در یادداشت های خود است. بیایید حافظه خود را از آنچه هست تازه کنیم.

تعریف 1

معادله منطقیمعادله ای است که در آن هر دو طرف دارای عبارات منطقی هستند.

در کتابچه های مختلف می توانید فرمول دیگری را پیدا کنید.

تعریف 2

معادله منطقی- این معادله ای است که سمت چپ آن حاوی یک عبارت منطقی و سمت راست آن صفر است.

تعاریفی که ما برای معادلات عقلی ارائه کردیم معادل هستند، زیرا آنها در مورد یک چیز صحبت می کنند. صحت سخنان ما با این واقعیت تأیید می شود که برای هر عبارات عقلانی پو سمعادلات P = Qو P - Q = 0عبارات معادل خواهد بود.

حالا بیایید به مثال ها نگاه کنیم.

مثال 1

معادلات منطقی:

x = 1، 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0، x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2)، 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3.

معادلات گویا، درست مانند معادلات انواع دیگر، می توانند شامل هر تعداد متغیر از 1 تا چند باشند. ابتدا نگاه می کنیم مثال های ساده، که در آن معادلات فقط شامل یک متغیر خواهد بود. و سپس ما به تدریج کار را پیچیده می کنیم.

معادلات گویا به دو گروه بزرگ تقسیم می شوند: عدد صحیح و کسری. بیایید ببینیم چه معادلاتی برای هر یک از گروه ها اعمال می شود.

تعریف 3

یک معادله گویا عدد صحیح خواهد بود اگر سمت چپ و راست آن شامل تمام عبارات گویا باشد.

تعریف 4

یک معادله گویا کسری خواهد بود اگر یک یا هر دو جزء آن دارای کسری باشد.

معادلات گویا کسری لزوماً شامل تقسیم بر یک متغیر هستند یا متغیر در مخرج وجود دارد. چنین تقسیم بندی در نوشتن معادلات کل وجود ندارد.

مثال 2

3 x + 2 = 0و (x + y) · (3 · x 2 - 1) + x = - y + 0، 5- کل معادلات منطقی در اینجا هر دو طرف معادله با عبارات عدد صحیح نشان داده می شود.

1 x - 1 = x 3 و x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5معادلات کسری گویا هستند.

معادلات کل منطقی شامل معادلات خطی و درجه دوم است.

حل معادلات کل

حل چنین معادلاتی معمولاً به تبدیل آنها به معادلات جبری معادل ختم می شود. این را می توان با انجام تبدیل معادلات مطابق با الگوریتم زیر بدست آورد:

• ابتدا در سمت راست معادله صفر می گیریم؛ برای این کار باید عبارت سمت راست معادله را به سمت چپ آن منتقل کنیم و علامت را تغییر دهیم.
• سپس عبارت سمت چپ معادله را به چند جمله ای با فرم استاندارد تبدیل می کنیم.

ما باید یک معادله جبری بدست آوریم. این معادله معادل معادله اصلی خواهد بود. موارد آسان به ما این امکان را می دهد که برای حل مسئله، کل معادله را به یک معادله خطی یا درجه دوم کاهش دهیم. به طور کلی معادله جبری درجه را حل می کنیم n.

مثال 3

باید ریشه کل معادله را پیدا کرد 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

راه حل

اجازه دهید عبارت اصلی را برای به دست آوردن یک معادله جبری معادل تبدیل کنیم. برای این کار عبارت موجود در سمت راست معادله را به سمت چپ منتقل می کنیم و علامت مقابل را جایگزین می کنیم. در نتیجه دریافت می کنیم: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

حال بیایید عبارتی که در سمت چپ است را به چند جمله ای از فرم استاندارد تبدیل کنیم و تولید کنیم اقدامات لازمبا این چند جمله ای:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

ما موفق شدیم حل معادله اصلی را به حل معادله درجه دوم فرم تقلیل دهیم x 2 − 5 x − 6 = 0. تمایز این معادله مثبت است: D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49.این بدان معناست که دو ریشه واقعی وجود خواهد داشت. بیایید آنها را با استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم پیدا کنیم:

x = - - 5 ± 49 2 1،

x 1 = 5 + 7 2 یا x 2 = 5 - 7 2،

x 1 = 6 یا x 2 = - 1

بیایید صحت ریشه های معادله ای را که در حین حل یافتیم بررسی کنیم. برای این کار، اعدادی که دریافت کرده‌ایم را در معادله اصلی جایگزین می‌کنیم: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3و 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 ​​· (− 1) − 1) − 3. در مورد اول 63 = 63 ، در دوم 0 = 0 . ریشه ها x=6و x = - 1در واقع ریشه های معادله داده شده در شرط مثال هستند.

پاسخ: 6 , − 1 .

بیایید ببینیم "درجه یک معادله کامل" به چه معناست. ما اغلب در مواردی با این اصطلاح روبرو خواهیم شد که نیاز به نمایش کل معادله به شکل جبری داریم. بیایید مفهوم را تعریف کنیم.

تعریف 5

درجه کل معادلهدرجه یک معادله جبری معادل معادله عدد صحیح اصلی است.

اگر به معادلات مثال بالا نگاه کنید، می توانید تعیین کنید: درجه کل این معادله دوم است.

اگر دوره ما محدود به حل معادلات درجه دوم بود، بحث در مورد موضوع می تواند به همین جا ختم شود. اما به این سادگی نیست. حل معادلات درجه سوم با مشکلاتی همراه است. و برای معادلات بالاتر از درجه چهارم هیچ فرمول ریشه کلی وجود ندارد. در این راستا، حل کل معادلات درجات سوم، چهارم و غیره مستلزم استفاده از تعدادی تکنیک و روش دیگر است.

متداول ترین رویکرد برای حل کل معادلات منطقی مبتنی بر روش فاکتورسازی است. الگوریتم اقدامات در این مورد به شرح زیر است:

• عبارت را از سمت راست به چپ منتقل می کنیم تا صفر در سمت راست رکورد باقی بماند.
• عبارت سمت چپ را به عنوان حاصلضرب فاکتورها نشان می دهیم و سپس به مجموعه ای از چندین معادله ساده تر می رویم.

مثال 4

جواب معادله (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) را بیابید.

راه حل

عبارت را از سمت راست رکورد به سمت چپ با علامت مخالف حرکت می دهیم: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. تبدیل سمت چپ به یک چند جمله ای از فرم استاندارد نامناسب است زیرا این امر معادله جبری درجه چهارم را به ما می دهد: x 4 - 12 x 3 + 32 x 2 - 16 x - 13 = 0. سهولت تبدیل همه مشکلات در حل چنین معادله ای را توجیه نمی کند.

رفتن به راه دیگر بسیار ساده تر است: بیایید عامل مشترک را از پرانتز خارج کنیم x 2 - 10 x + 13 .بنابراین به معادله ای از فرم می رسیم (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. اکنون معادله حاصل را با مجموعه ای از دو معادله درجه دوم جایگزین می کنیم x 2 − 10 x + 13 = 0و x 2 − 2 x − 1 = 0و ریشه های آنها را از طریق ممیز پیدا کنید: 5 + 2 3، 5 - 2 3، 1 + 2، 1 - 2.

پاسخ: 5 + 2 3، 5 - 2 3، 1 + 2، 1 - 2.

به همین ترتیب می توانیم از روش معرفی متغیر جدید استفاده کنیم. این روش به ما امکان می دهد به معادلات معادل با درجه کمتر از درجه معادله عدد صحیح اصلی حرکت کنیم.

مثال 5

آیا معادله ریشه دارد؟ (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

راه حل

اگر اکنون سعی کنیم یک معادله عقلی کامل را به یک معادله جبری تقلیل دهیم، معادله ای با درجه 4 به دست خواهیم آورد که ریشه عقلی ندارد. بنابراین، راه دیگری برای ما آسان تر خواهد بود: یک متغیر جدید y را معرفی کنید، که جایگزین عبارت در معادله خواهد شد. x 2 + 3 x.

حالا با کل معادله کار می کنیم (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). بیایید سمت راست معادله را با علامت مخالف به سمت چپ حرکت دهیم و تبدیل های لازم را انجام دهیم. ما گرفتیم: y 2 + 4 y + 3 = 0. بیایید ریشه های معادله درجه دوم را پیدا کنیم: y = - 1و y = - 3.

حالا بیایید جایگزینی معکوس را انجام دهیم. دو معادله بدست می آوریم x 2 + 3 x = - 1و x 2 + 3 · x = − 3 .بیایید آنها را به صورت x 2 + 3 x + 1 = 0 بازنویسی کنیم و x 2 + 3 x + 3 = 0. ما از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم استفاده می کنیم تا ریشه های معادله اول را از معادله های به دست آمده پیدا کنیم: - 3 ± 5 2. ممیز معادله دوم منفی است. یعنی معادله دوم ریشه واقعی ندارد.

پاسخ:- 3 ± 5 2

معادلات کامل با درجات بالا اغلب در مسائل ظاهر می شوند. نیازی به ترس از آنها نیست. شما باید آماده استفاده از یک روش غیر استاندارد برای حل آنها باشید، از جمله تعدادی تبدیل مصنوعی.

حل معادلات گویا کسری

ما بررسی این موضوع فرعی را با الگوریتمی برای حل معادلات منطقی کسری به شکل p (x) q (x) = 0 آغاز خواهیم کرد، که در آن p(x)و q(x)- کل عبارات عقلی حل سایر معادلات منطقی کسری را همیشه می توان به حل معادلات از نوع مشخص شده تقلیل داد.

متداول ترین روش برای حل معادلات p (x) q (x) = 0 بر اساس عبارت زیر است: کسر عددی u v، جایی که v- این عددی است که با صفر متفاوت است، فقط در مواردی که عدد کسری برابر با صفر است، برابر با صفر است. با پیروی از منطق عبارت فوق، می‌توان ادعا کرد که جواب معادله p (x) q (x) = 0 را می‌توان به دو شرط تقلیل داد: p(x)=0و q(x) ≠ 0. این اساس ساخت یک الگوریتم برای حل معادلات گویا کسری به شکل p (x) q (x) = 0 است:

• راه حل کل معادله عقلی را پیدا کنید p(x)=0;
• ما بررسی می کنیم که آیا شرایط برای ریشه هایی که در طول محلول یافت می شوند برآورده می شود یا خیر q(x) ≠ 0.

اگر این شرط برآورده شود، ریشه پیدا شده است، اگر نه، ریشه راه حل مشکل نیست.

مثال 6

بیایید ریشه های معادله 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 را پیدا کنیم.

راه حل

ما با یک معادله گویا کسری به شکل p (x) q (x) = 0 سروکار داریم که در آن p (x) = 3 x − 2، q (x) = 5 x 2 − 2 = 0. بیایید حل معادله خطی را شروع کنیم 3 x − 2 = 0. ریشه این معادله خواهد بود x = 2 3.

بیایید ریشه یافت شده را بررسی کنیم تا ببینیم آیا شرایط را برآورده می کند یا خیر 5 x 2 − 2 ≠ 0. برای انجام این کار، یک مقدار عددی را جایگزین عبارت کنید. دریافت می کنیم: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

شرط برقرار است. این به آن معنا است x = 2 3ریشه معادله اصلی است.

پاسخ: 2 3 .

گزینه دیگری برای حل معادلات منطقی کسری p (x) q (x) = 0 وجود دارد. به یاد داشته باشید که این معادله معادل کل معادله است p(x)=0در محدوده مقادیر مجاز متغیر x معادله اصلی. این به ما امکان می دهد از الگوریتم زیر در حل معادلات p (x) q (x) = 0 استفاده کنیم:

• معادله را حل کنید p(x)=0;
• محدوده مقادیر مجاز متغیر x را پیدا کنید.
• ما ریشه هایی را که در محدوده مقادیر مجاز متغیر x قرار دارند به عنوان ریشه های مورد نظر معادله کسری منطقی اصلی می گیریم.

مثال 7

معادله x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 را حل کنید.

راه حل

ابتدا معادله درجه دوم را حل می کنیم x 2 − 2 x − 11 = 0. برای محاسبه ریشه های آن از فرمول ریشه برای ضریب زوج دوم استفاده می کنیم. ما گرفتیم D 1 = (- 1) 2 - 1 · (- 11) = 12و x = 1 ± 2 3 .

اکنون می توانیم ODZ متغیر x را برای معادله اصلی پیدا کنیم. اینها همه اعدادی هستند که برای آنها x 2 + 3 x ≠ 0. همان است که x (x + 3) ≠ 0، از جایی که x ≠ 0، x ≠ - 3.

حالا بیایید بررسی کنیم که آیا ریشه های x = 1 ± 2 3 به دست آمده در مرحله اول حل، در محدوده مقادیر مجاز متغیر x قرار دارند یا خیر. ما آنها را می بینیم که وارد می شوند. این بدان معنی است که معادله گویا کسری اصلی دارای دو ریشه x = 1 ± 2 3 است.

پاسخ: x = 1 ± 2 3

روش حل دوم شرح داده شده ساده تر از روش اول در مواردی است که محدوده مقادیر مجاز متغیر x به راحتی پیدا می شود و ریشه های معادله p(x)=0غیر منطقی به عنوان مثال، 7 ± 4 · 26 9. ریشه ها می توانند گویا باشند، اما با صورت یا مخرج بزرگ. مثلا، 127 1101 و − 31 59 . این باعث صرفه جویی در زمان در بررسی وضعیت می شود q(x) ≠ 0: حذف ریشه هایی که بر اساس ODZ مناسب نیستند بسیار ساده تر است.

در مواردی که ریشه های معادله p(x)=0اعداد صحیح هستند، بهتر است از اولین الگوریتم توصیف شده برای حل معادلات به شکل p (x) q (x) = 0 استفاده شود. ریشه های یک معادله را سریعتر پیدا کنید p(x)=0و سپس بررسی کنید که آیا شرایط برای آنها برآورده شده است یا خیر q(x) ≠ 0به جای یافتن ODZ و سپس حل معادله p(x)=0در این ODZ. این به این دلیل است که در چنین مواردی معمولاً بررسی آسان تر از یافتن DZ است.

مثال 8

ریشه های معادله (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 را بیابید = 0.

راه حل

بیایید با نگاه کردن به کل معادله شروع کنیم (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0و ریشه یابی آن برای این کار از روش حل معادلات از طریق فاکتورگیری استفاده می کنیم. به نظر می رسد که معادله اصلی معادل مجموعه ای از چهار معادله 2 x − 1 = 0، x − 6 = 0، x 2 − 5 x + 14 = 0، x + 1 = 0 است، که سه مورد آن خطی هستند و یکی درجه دوم است. ریشه یابی: از معادله اول x = 1 2، از دوم - x=6، از سوم - x = 7، x = - 2، از چهارم - x = - 1.

بیایید ریشه های به دست آمده را بررسی کنیم. تعیین ODZ در این مورد برای ما دشوار است، زیرا برای این کار باید یک معادله جبری درجه پنجم را حل کنیم. بررسی شرطی که بر اساس آن مخرج کسری که در سمت چپ معادله قرار دارد، نباید به صفر برود آسان تر خواهد بود.

بیایید به نوبت ریشه ها را برای متغیر x در عبارت جایگزین کنیم x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112و مقدار آن را محاسبه کنید:

1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + ≥ 1

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .

راستی‌آزمایی انجام‌شده به ما امکان می‌دهد ثابت کنیم که ریشه‌های معادله گویا کسری اولیه 1 2، 6 و − 2 .

پاسخ: 1 2 , 6 , - 2

مثال 9

ریشه های معادله گویا کسری 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 را بیابید.

راه حل

بیایید کار با معادله را شروع کنیم (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. بیایید ریشه های آن را پیدا کنیم. برای ما آسان تر است که این معادله را به عنوان ترکیبی از درجه دوم و معادلات خطی 5 x 2 − 7 x − 1 = 0و x − 2 = 0.

ما از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم برای یافتن ریشه ها استفاده می کنیم. از رابطه اول دو ریشه x = 7 ± 69 10 و از رابطه دوم بدست می آوریم x = 2.

جایگزین کردن مقدار ریشه ها در معادله اصلی برای بررسی شرایط برای ما بسیار دشوار خواهد بود. تعیین ODZ متغیر x آسان تر خواهد بود. در این حالت، ODZ متغیر x همه اعداد است به جز آنهایی که شرط برای آنها برقرار است x 2 + 5 x − 14 = 0. دریافت می کنیم: x ∈ - ∞، - 7 ∪ - 7، 2 ∪ 2، + ∞.

حالا بیایید بررسی کنیم که آیا ریشه هایی که پیدا کردیم به محدوده مقادیر مجاز متغیر x تعلق دارند یا خیر.

ریشه های x = 7 ± 69 10 - متعلق هستند، بنابراین، آنها ریشه های معادله اصلی هستند، و x = 2- تعلق ندارد، بنابراین یک ریشه خارجی است.

پاسخ: x = 7 ± 69 10 .

اجازه دهید به طور جداگانه مواردی را بررسی کنیم که صورت‌گر یک معادله گویا کسری به شکل p (x) q (x) = 0 حاوی یک عدد باشد. در چنین مواردی، اگر عددی دارای عددی غیر از صفر باشد، معادله فاقد ریشه خواهد بود. اگر این عدد برابر با صفر باشد، ریشه معادله هر عددی از ODZ خواهد بود.

مثال 10

معادله گویا کسری را حل کنید - 3، 2 x 3 + 27 = 0.

راه حل

این معادله ریشه نخواهد داشت، زیرا شمارنده کسری در سمت چپ معادله حاوی یک عدد غیر صفر است. این به این معنی است که در هیچ مقدار x، مقدار کسری که در عبارت مشکل داده شده است برابر با صفر نخواهد بود.

پاسخ:بدون ریشه

مثال 11

معادله 0 x 4 + 5 x 3 = 0 را حل کنید.

راه حل

از آنجایی که عدد کسر حاوی صفر است، جواب معادله هر مقدار x از ODZ متغیر x خواهد بود.

حالا بیایید ODZ را تعریف کنیم. این شامل تمام مقادیر x برای آنها خواهد بود x 4 + 5 x 3 ≠ 0. راه حل های معادله x 4 + 5 x 3 = 0هستند 0 و − 5 ، از آنجایی که این معادله معادل معادله است x 3 (x + 5) = 0، و این به نوبه خود معادل ترکیب دو معادله x 3 = 0 و است x + 5 = 0، جایی که این ریشه ها قابل مشاهده است. ما به این نتیجه می رسیم که محدوده مورد نظر از مقادیر قابل قبول هر x به جز است x = 0و x = - 5.

معلوم می شود که معادله گویا کسری 0 x 4 + 5 x 3 = 0 دارای تعداد بی نهایت جواب است که هر عددی غیر از صفر و - 5 باشد.

پاسخ: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

حال بیایید در مورد معادلات گویا کسری شکل دلخواه و روش های حل آنها صحبت کنیم. می توان آنها را به صورت نوشتاری کرد r(x) = s(x)، جایی که r(x)و s(x)- عبارات منطقی و حداقل یکی از آنها کسری باشد. حل چنین معادلاتی به حل معادلات به شکل p (x) q (x) = 0 کاهش می یابد.

ما قبلاً می دانیم که با انتقال یک عبارت از سمت راست معادله به سمت چپ با علامت مخالف می توانیم یک معادله معادل به دست آوریم. این به این معنی است که معادله r(x) = s(x)معادل معادله است r (x) - s (x) = 0. همچنین قبلاً درباره روش‌های تبدیل یک عبارت منطقی به کسری گویا بحث کرده‌ایم. به لطف این، ما به راحتی می توانیم معادله را تبدیل کنیم r (x) - s (x) = 0به یک کسر گویا یکسان به شکل p (x) q (x) .

بنابراین از معادله گویا کسری اصلی حرکت می کنیم r(x) = s(x)به معادله ای به شکل p (x) q (x) = 0 که قبلاً حل آن را آموخته ایم.

باید در نظر گرفت که هنگام انتقال از r (x) - s (x) = 0به p(x)q(x) = 0 و سپس به p(x)=0ممکن است گسترش دامنه مقادیر مجاز متغیر x را در نظر نگیریم.

این کاملاً ممکن است که معادله اصلی باشد r(x) = s(x)و معادله p(x)=0در نتیجه دگرگونی ها دیگر معادل نیستند. سپس راه حل معادله p(x)=0می تواند به ما ریشه هایی بدهد که با آنها بیگانه خواهد بود r(x) = s(x). در این راستا، در هر مورد لازم است تا با استفاده از هر یک از روش های شرح داده شده در بالا، تأیید انجام شود.

برای سهولت در مطالعه موضوع، ما تمام اطلاعات را در یک الگوریتم برای حل یک معادله منطقی کسری خلاصه کرده ایم. r(x) = s(x):

• عبارت را از سمت راست با علامت مخالف منتقل می کنیم و در سمت راست صفر می گیریم.
• عبارت اصلی را به یک کسر گویا p (x) q (x) تبدیل می کند، که به طور متوالی عملیات با کسرها و چندجمله ای ها را انجام می دهد.
• معادله را حل کنید p(x)=0;
• ما ریشه های خارجی را با بررسی تعلق آنها به ODZ یا با جایگزینی در معادله اصلی شناسایی می کنیم.

از نظر بصری، زنجیره اقدامات به صورت زیر خواهد بود:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → حذف ریشه های خارجی

مثال 12

معادله گویا کسری را حل کنید x x + 1 = 1 x + 1 .

راه حل

بیایید به معادله x x + 1 - 1 x + 1 = 0 برویم. بیایید عبارت منطقی کسری در سمت چپ معادله را به شکل p (x) q (x) تبدیل کنیم.

برای انجام این کار، ما باید کسرهای گویا را به یک مخرج مشترک کاهش دهیم و عبارت را ساده کنیم:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

برای پیدا کردن ریشه های معادله - 2 x - 1 x (x + 1) = 0، باید معادله را حل کنیم. − 2 x − 1 = 0. ما یک ریشه می گیریم x = - 1 2.

تنها کاری که باید انجام دهیم این است که با استفاده از هر یک از روش ها بررسی کنیم. بیایید به هر دوی آنها نگاه کنیم.

بیایید مقدار حاصل را با معادله اصلی جایگزین کنیم. دریافت می کنیم - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. ما به برابری عددی صحیح رسیده ایم − 1 = − 1 . این به آن معنا است x = - 1 2ریشه معادله اصلی است.

حالا بیایید از طریق ODZ بررسی کنیم. اجازه دهید محدوده مقادیر مجاز متغیر x را تعیین کنیم. این کل مجموعه اعداد خواهد بود، به استثنای - 1 و 0 (در x = - 1 و x = 0، مخرج کسرها ناپدید می شوند). ریشه ای که به دست آوردیم x = - 1 2متعلق به ODZ است. یعنی ریشه معادله اصلی است.

پاسخ: − 1 2 .

مثال 13

ریشه های معادله x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x را بیابید.

راه حل

ما با یک معادله گویا کسری روبرو هستیم. بنابراین طبق الگوریتم عمل خواهیم کرد.

بیایید عبارت را از سمت راست به سمت چپ با علامت مخالف حرکت دهیم: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

بیایید تبدیل های لازم را انجام دهیم: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

به معادله می رسیم x = 0. ریشه این معادله صفر است.

بیایید بررسی کنیم که آیا این ریشه خارج از معادله اصلی است یا خیر. بیایید مقدار را با معادله اصلی جایگزین کنیم: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. همانطور که می بینید، معادله به دست آمده معنی ندارد. این بدان معنی است که 0 یک ریشه خارجی است و معادله گویا کسری اصلی هیچ ریشه ای ندارد.

پاسخ:بدون ریشه

اگر دیگر تبدیل‌های معادل را در الگوریتم لحاظ نکرده باشیم، به این معنی نیست که نمی‌توان از آنها استفاده کرد. الگوریتم جهانی است، اما برای کمک طراحی شده است، نه محدود کردن.

مثال 14

معادله 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24 را حل کنید

راه حل

ساده ترین راه حل معادله منطقی کسری بر اساس الگوریتم است. اما راه دیگری وجود دارد. بیایید آن را در نظر بگیریم.

7 را از سمت راست و چپ کم کنید، به دست می آید: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

از اینجا می توان نتیجه گرفت که عبارت در مخرج سمت چپ باید برابر با متقابل عدد سمت راست باشد، یعنی 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.

از هر دو طرف 3 کم کنید: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. بر اساس قیاس، 2 + 1 5 - x 2 = 7 3، از آنجا 1 5 - x 2 = 1 3، و سپس 5 - x 2 = 3، x 2 = 2، x = 2 ±

اجازه دهید بررسی کنیم تا مشخص کنیم آیا ریشه های یافت شده ریشه معادله اصلی هستند یا خیر.

پاسخ: x = ± 2

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

عبارت عدد صحیح یک عبارت ریاضی است که از اعداد و متغیرهای تحت اللفظی با استفاده از عملیات جمع، تفریق و ضرب تشکیل شده است. اعداد صحیح همچنین شامل عباراتی هستند که شامل تقسیم بر هر عددی غیر از صفر است.

مفهوم یک عبارت منطقی کسری

عبارت کسری یک عبارت ریاضی است که علاوه بر عملیات جمع، تفریق و ضرب که با اعداد و متغیرهای حروف انجام می شود و همچنین تقسیم بر عددی که برابر با صفر نیست، شامل تقسیم به عبارات دارای متغیرهای حرفی نیز می باشد.

عبارات گویا همه عبارت های کل و کسری هستند. معادلات گویا معادلاتی هستند که در آن سمت چپ و راست عبارات گویا هستند. اگر در یک معادله گویا، سمت چپ و راست عبارات اعداد صحیح باشند، چنین معادله ای را یک عدد صحیح می نامند.

اگر در یک معادله گویا سمت چپ یا راست عبارات کسری باشند، چنین معادله گویا را کسری می نامند.

نمونه هایی از عبارات منطقی کسری

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

طرحی برای حل یک معادله گویا کسری

1. مخرج مشترک همه کسری که در معادله گنجانده شده است را بیابید.

2. دو طرف معادله را در یک مخرج مشترک ضرب کنید.

3. معادله کامل حاصل را حل کنید.

4. ریشه ها را بررسی کنید و آنهایی را که مخرج مشترک را ناپدید می کنند حذف کنید.

از آنجایی که ما در حال حل معادلات گویا کسری هستیم، متغیرهایی در مخرج کسرها وجود خواهد داشت. این بدان معنی است که آنها یک مخرج مشترک خواهند بود. و در نقطه دوم الگوریتم در یک مخرج مشترک ضرب می کنیم، سپس ریشه های خارجی ممکن است ظاهر شوند. که در آن مخرج مشترک برابر با صفر خواهد بود، یعنی ضرب در آن بی معنی خواهد بود. بنابراین در پایان لازم است ریشه های به دست آمده را بررسی کنید.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

معادله گویا کسری را حل کنید: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

ما به آن پایبند خواهیم بود طرح کلی: ابتدا مخرج مشترک همه کسرها را پیدا می کنیم. x*(x-5) را بدست می آوریم.

هر کسر را در یک مخرج مشترک ضرب کنید و معادله کامل حاصل را بنویسید.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

اجازه دهید معادله حاصل را ساده کنیم. ما گرفتیم:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

یک معادله درجه دوم کاهش یافته ساده بدست می آوریم. ما آن را با هر یک از روش های شناخته شده حل می کنیم، ریشه های x=-2 و x=5 را می گیریم.

اکنون راه حل های به دست آمده را بررسی می کنیم:

اعداد -2 و 5 را با مخرج مشترک جایگزین کنید. در x=-2 مخرج مشترک x*(x-5) محو نمی شود، -2*(-2-5)=14. این بدان معنی است که عدد -2 ریشه معادله گویا کسری اصلی خواهد بود.

وقتی x=5 مخرج مشترک x*(x-5) می شود برابر با صفر. بنابراین، این عدد ریشه معادله گویا کسری اصلی نیست، زیرا تقسیم بر صفر وجود خواهد داشت.

در این مقاله به شما نشان خواهم داد الگوریتم های حل هفت نوع معادلات گویا، که با تغییر متغیرها می توان آن را به درجه دوم کاهش داد. در بیشتر موارد، دگرگونی هایی که منجر به جایگزینی می شوند، بسیار بی اهمیت هستند و حدس زدن آنها به تنهایی بسیار دشوار است.

برای هر نوع معادله، نحوه ایجاد تغییر متغیر در آن را توضیح خواهم داد و سپس در آموزش تصویری مربوطه، یک راه حل دقیق را نشان می دهم.

شما این فرصت را دارید که خودتان به حل معادلات ادامه دهید و سپس حل خود را با درس ویدیویی بررسی کنید.

بنابراین، بیایید شروع کنیم.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

توجه داشته باشید که در سمت چپ معادله حاصل ضرب چهار براکت و در سمت راست یک عدد وجود دارد.

1. بیایید پرانتزها را دو دسته کنیم تا مجموع عبارت های آزاد یکسان باشد.

2. آنها را ضرب کنید.

3. اجازه دهید تغییر متغیر را معرفی کنیم.

در معادله خود، براکت اول را با سومی و دومی را با چهارم گروه بندی می کنیم، زیرا (-1)+(-4)=(-7)+2:

در این مرحله جایگزینی متغیر آشکار می شود:

معادله را می گیریم

پاسخ:

2 .

معادله ای از این نوع مشابه معادله قبلی با یک تفاوت است: در سمت راست معادله حاصل ضرب عدد و . و به روشی کاملاً متفاوت حل می شود:

1. براکت ها را دو دسته می کنیم تا حاصل ضرب عبارت های آزاد یکسان باشد.

2. هر جفت براکت را ضرب کنید.

3. از هر فاکتور x را خارج می کنیم.

4. دو طرف معادله را بر .

5. تغییر متغیر را معرفی می کنیم.

در این معادله، براکت اول را با چهارم و دومی را با سوم گروه بندی می کنیم، زیرا:

توجه داشته باشید که در هر براکت ضریب در و عبارت آزاد یکسان است. بیایید از هر براکت یک فاکتور برداریم:

از آنجایی که x=0 ریشه معادله اصلی نیست، هر دو طرف معادله را بر . ما گرفتیم:

معادله را بدست می آوریم:

پاسخ:

3 .

توجه داشته باشید که مخرج هر دو کسر هستند سه جمله ای مربع، که ضریب پیشرو و عبارت آزاد برای آن یکسان است. اجازه دهید x را مانند معادله نوع دوم از براکت خارج کنیم. ما گرفتیم:

صورت و مخرج هر کسر را بر x تقسیم کنید:

اکنون می توانیم یک جایگزین متغیر را معرفی کنیم:

معادله ای برای متغیر t بدست می آوریم:

4 .

توجه داشته باشید که ضرایب معادله نسبت به ضرایب مرکزی متقارن است. این معادله نامیده می شود قابل برگشت .

برای حل آن،

1. هر دو طرف معادله را تقسیم بر (ما می توانیم این کار را انجام دهیم زیرا x=0 ریشه معادله نیست.) دریافت می کنیم:

2. بیایید اصطلاحات را به این ترتیب گروه بندی کنیم:

3. در هر گروه، عامل مشترک را از پرانتز خارج می کنیم:

4. بیایید جایگزین را معرفی کنیم:

5. عبارت را از طریق t بیان کنید:

از اینجا

معادله t را بدست می آوریم:

پاسخ:

5. معادلات همگن.

معادلاتی که ساختار همگن دارند در حل نمایی، لگاریتمی و معادلات مثلثاتی، بنابراین باید بتوانید آن را تشخیص دهید.

معادلات همگن دارای ساختار زیر هستند:

در این تساوی، A، B و C اعداد هستند و مربع و دایره بیانگر عبارات یکسان هستند. یعنی در سمت چپ یک معادله همگن مجموع تک جمله‌ای وجود دارد همان درجه(در این مورد درجه تک‌جملات 2 است)، و هیچ عبارت آزاد وجود ندارد.

برطرف كردن معادله همگن، هر دو طرف را تقسیم کنید

توجه! هنگام تقسیم سمت راست و چپ یک معادله بر یک عبارت حاوی مجهول، می توانید ریشه ها را از دست بدهید. بنابراین باید بررسی کرد که آیا ریشه های عبارتی که دو طرف معادله را با آن تقسیم می کنیم، ریشه معادله اصلی است یا خیر.

راه اول را برویم. معادله را بدست می آوریم:

اکنون جایگزینی متغیر را معرفی می کنیم:

بیایید عبارت را ساده کنیم و یک معادله دو درجه ای برای t بدست آوریم:

پاسخ:یا

7 .

این معادله دارای ساختار زیر است:

برای حل آن باید یک مربع کامل در سمت چپ معادله انتخاب کنید.

برای انتخاب مربع کامل، باید دو برابر حاصلضرب را کم یا اضافه کنید. سپس مجذور مجموع یا تفاوت را بدست می آوریم. این برای جایگزینی موفق متغیر بسیار مهم است.

بیایید با یافتن دو برابر محصول شروع کنیم. این کلید جایگزینی متغیر خواهد بود. در معادله ما دو برابر حاصلضرب برابر است با

حالا بیایید بفهمیم چه چیزی برای ما راحت تر است - مجذور مجموع یا تفاوت. بیایید ابتدا مجموع عبارات را در نظر بگیریم:

عالی! این عبارت دقیقا برابر با دو برابر حاصلضرب است. سپس، برای به دست آوردن مجذور مجموع در پرانتز، باید حاصل ضرب دو برابر را جمع و کم کنید:

حل معادلات گویا کسری

راهنمای مرجع

معادلات گویا معادلاتی هستند که در آنها هر دو سمت چپ و راست عبارت های گویا هستند.

(به یاد داشته باشید: عبارات گویا عبارت های اعداد صحیح و کسری بدون رادیکال هستند، از جمله عملیات جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم - برای مثال: 6x؛ (m – n)2؛ x/3y و غیره)

معادلات گویا کسری معمولاً به شکل زیر کاهش می یابد:

جایی که پ(ایکس) و س(ایکس) چند جمله ای هستند.

برای حل چنین معادلاتی، هر دو طرف معادله را در Q(x) ضرب کنید، که می تواند منجر به ظاهر شدن ریشه های خارجی شود. بنابراین، هنگام حل معادلات منطقی کسری، بررسی ریشه های یافت شده ضروری است.

معادله منطقی را کل یا جبری می نامند، اگر به عبارتی حاوی متغیر تقسیم نشود.

نمونه هایی از یک معادله منطقی کامل:

5x - 10 = 3 (10 - x)

3 برابر
- = 2x - 10
4

اگر در یک معادله گویا تقسیم بر عبارتی حاوی متغیر (x) باشد، آن معادله را گویا کسری می نامند.

مثالی از یک معادله گویا کسری:

15
x + - = 5x - 17
ایکس

معادلات گویا کسری معمولاً به صورت زیر حل می شوند:

1) مخرج مشترک کسرها را بیابید و دو طرف معادله را در آن ضرب کنید.

2) معادله کل حاصل را حل کنید.

3) آنهایی را که مخرج مشترک کسرها را به صفر کاهش می دهند از ریشه خود حذف کنید.

نمونه هایی از حل معادلات گویا اعداد صحیح و کسری.

مثال 1. بیایید کل معادله را حل کنیم

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

راه حل:

یافتن کمترین مخرج مشترک این عدد 6 است. 6 را بر مخرج تقسیم کنید و نتیجه حاصل را در عدد هر کسر ضرب کنید. معادله ای معادل این بدست می آوریم:

3 (x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

چون در سمت چپ و راست همان مخرج، می توان آن را حذف کرد. سپس یک معادله ساده تر به دست می آوریم:

3 (x – 1) + 4x = 5x.

ما آن را با باز کردن پرانتزها و ترکیب عبارات مشابه حل می کنیم:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

مثال حل شد.

مثال 2. یک معادله گویا کسری را حل کنید

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)

یافتن مخرج مشترک. این x (x - 5) است. بنابراین:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

اکنون دوباره از مخرج خلاص می شویم، زیرا برای همه عبارات یکسان است. عبارات مشابه را کاهش می دهیم، معادله را با صفر برابر می کنیم و یک معادله درجه دوم به دست می آوریم:

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3x – 10 = 0.

با حل معادله درجه دوم، ریشه های آن را پیدا می کنیم: -2 و 5.

بیایید بررسی کنیم که آیا این اعداد ریشه معادله اصلی هستند یا خیر.

در x = –2، مخرج مشترک x(x – 5) ناپدید نمی شود. این به این معنی است که -2 ریشه معادله اصلی است.

در x = 5، مخرج مشترک به صفر می رسد و از هر سه عبارت، دو عبارت بی معنی می شوند. یعنی عدد 5 ریشه معادله اصلی نیست.

پاسخ: x = -2

نمونه های بیشتر

مثال 1.

x 1 = 6، x 2 = - 2.2.

پاسخ: -2،2;6.

مثال 2.